专题03 等比数列的通项公式和性质的八种题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第一册

专题03 等比数列的通项公式和性质的八种题型 题型一：判断、证明数列是等比数列 题型二：等比中项的求解和应用 题型三：求等比数列的通项公式 题型四：利用等比数列的性质计算 题型五：等比数列的单调性和项的最值 题型六：等比数列的前n项和的计算 题型七：等比数列前n项和的性质 题型八：等比数列的应用 题型一：判断、证明数列是等比数列 1．已知为非常数数列，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差数列与等比数列的定义验证充分性与必要性即可得结论. 【详解】已知为非常数数列， 若为等比数列，设公比为，则，且，即， ，因为常数，故为等差数列； 又若为等差数列，设公差为，则，且， ，即，为常数，所以为等比数列； 故“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C. 2．记数列的前项和是，前项积是． ①若是等差数列，则是等差数列； ②若和都是等差数列，则是等差数列； ③若是等比数列，则是等比数列； ④若是等比数列，则是等比数列．其中真命题的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据等差数列通项的形式和定义可判断①②的正误，根据反例结合等比数列的定义可判断③④的正误. 【详解】对于①，若是等差数列，则，故，其中为常数, 故，整理得到：， 故，此时，故是等差数列，故①正确. 对于②，因为为等差数列，则，其中常数为公差， 则即，因为为等差数列，故， 故，此时， 故是等差数列，故②正确. 对于③，设等比数列的通项为，则， 此时不是等比数列，故③错误. 对于④，设等比数列的通项为， 则，此时， 此时，故不为常数， 故不是等比数列， 故选：B. 3．已知数列是等比数列，下面的数列中必为等比数列的个数是（    ） ①                ②        ③                ④ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列定义依次验证各个选项即可. 【详解】设等比数列的公比为， 对于①，，数列为等比数列，①正确； 对于②，当时，，此时数列不是等比数列，②错误； 对于③，，数列为等比数列，③正确； 对于④，，当时，不是等比数列，④错误. 故选：B. 4．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.对于数列（，2，3，4）及数列（，2，3，4），若，则下列说法正确的是 .①存在数列，使得与都为等比数列；②存在数列，使得与都为等差数列；③存在数列，使得为等比数列，且为等差数列；④存在数列，使得为等差数列，且为等比数列. 【答案】②③④ 【分析】利用奇偶性得到，然后利用等差等比数列的定义和特殊值的思路判断即可得. 【详解】因为为定义在上的奇函数， 令，则，， 又为奇函数，所以， 所以， 对①、③：若为等比数列，由，可知公比， 设，则，所以不为定值， 且为定值， 设，则，所以也不为定值， 即①错误，③正确； 对②④：若为等差数列，由，可知公差， 所以可取，即， 此时令，则，解得， 此时，，， 满足为等差数列，即②正确； 令，则，解得， 此时，，，， 满足为等比数列，即④正确. 故答案为：②③④. 5．若为数列的前项和，且，则下列结论正确的是 .（填序号） ①；②；③数列是等比数列；④数列是等比数列. 【答案】①③ 【分析】分别研究与时数列的解析式，进而可判断③且可得，，分别代入可判断①②，运用等比数列定义法可判断④. 【详解】因为， 所以当时，，解得， 当时，，即， 所以为等比数列，首项为，公比为2，故③正确 所以， 综述：. 所以， 所以， 当时，，故①正确； 当时，，故②错误； 因为不是一个与n无关的数，故④错误. 所以正确的有①③. 故答案为：①③. 6．下面有四个结论: ①若数列的前项和为 (为常数),则为等差数列; ②若数列是常数列,数列是等比数列,则数列是等比数列; ③在等差数列中,若公差,则此数列是递减数列; ④在等比数列中,各项与公比都不能为. 其中正确的结论为 (只填序号即可). 【答案】③④ 【分析】根据等差数列通项公式得数列单调性确定于公差正负，根据等差数列和项特点确定①真假，根据等比数列各项不为零的要求可判断②④真假. 【详解】因为公差不为零的等差数列单调性类似于直线，所以公差,则此数列是递减数列; ③正确；因为等差数列和项中常数项为零，即中所以①不对，因为等比数列各项不为零，所以②中若数列是为零的常数列,则不是等比数列; ②不对，④正确，即正确的结论为③④. 【点睛】等差数列特征：为的一次函数；；等比数列特征：各项以及公比都不为零，为的类指数函数，. 7．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：. (1)写出数列的各项，并在如图的坐标系中作出该数列的图象（单位网格边长为1）； (2)设为素数，证明：数列为等比数列. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据欧拉函数的定义，分别得的值，作图即可； （2）进一步分析，设为素数，则不超过且与不互质的正整数只有的倍数，从而可得，根据等比数列的定义证明即可. 【详解】（1）由题意可得， 绘制图象如图： （2）证明：设为素数，则不超过且与不互质的正整数只有的倍数， 所以互质的数的数目为 ，     故，故数列，为公比为的等比数列. 8．已知数列的各项互不相同，且 ， 若对任意，都有则称数列A具有性质P；若对任意， 都有则称数列A具有性质T. (1)若，写出所有具有性质T的数列A； (2)证明：具有性质P的数列A一定具有性质T； (3)记所有具有性质T的数列A的个数为，证明：数列是等比数列. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由数列新定义可得； （2）由数列新定义证明即可； （3）结合数列新定义，假设，分，，三种情况讨论数列的个数，再结合等比数列的性质可证明. 【详解】（1）所有具有性质的数列有 （2）证明：因为数列具有性质，所以对任意都有 所以即 由的任意性可得，是的单调递增排列， 所以数列即为，此时， 所以对任意的，都有所以数列具有性质. （3）（i）假设， 由已知，所以， 又因为，所以， 依此类推，若，则 ①若，则满足条件的数列为，只有一个； ②若，则，所以， 此时满足条件的数列为，只有一个； ③若，只要是的满足条件的一个数列，就可以相应得到满足条件的一个数列， 此时满足条件的数列有个 . （ii）假设，只要是的满足条件的排列，此时满足条件的数列有个. 综上，， 又因为时，， 上面两式相减得，时，. 所以对任意，都有，所以数列是等比数列. 9．若项数为的有穷数列满足：，且对任意的或是数列中的项，则称数列具有性质. (1)判断数列，，，与数列，，，是否具有性质，并说明理由； (2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项； (3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等比数列. 【答案】(1)数列，，，具有性质，数列，，，不具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据性质的定义直接判断； （2）由数列具有性质，可得不是数列中的项，所以为数列中的项，由，所以是数列中的项，当时，不是数列中的项，所以一定是数列中的项； （3）由已知可得，结合（2）可得，所以（*），易知当，是数列中的项，由，且，可得，因为，由以上可知：且，所以且，所以，可得，即可得证. 【详解】（1）数列，，，，则，，，，，，， 所以数列，，，具有性质； 数列，，，，，，都不是数列里的项，所以数列，，，不具有性质. （2）由数列具有性质， 由，可得， 即不是数列中的项，所以为数列中的项， 由，所以是数列中的项， 当时，则，所以不是数列中的项， 因为数列具有性质，所以一定是数列中的项； 综上，一定是中的项； （3）依题意，所以， 由（2）可知一定是中的项， 所以，，，，，， 所以（*） 当，则，所以不是数列中的项， 所以是数列中的项，由， 又因为， 可得，，，， 所以， 因为，由以上可知：且， 所以且， 所以，（**） 由（*）知，， 两式相除，可得， 所以当时，数列为等比数列. 10．记数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足： ，，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）求取最大值时的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用基本量法求得公差为4，从而可求的通项公式. （2）根据（1）求出，判断其符号后可得取最大值时的值. 【详解】（1）设的公差为，则， 所以即，而，故， 故. （2）（ⅰ），, 而，故， 而，，所以 所以为等比数列且公比为2，首项为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，所以， 故当时，，当时，， 故， 故取最大值时. 题型二：等比中项的求解和应用 1．已知实数是1，4的等比中项，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比中项定义计算可得结果. 【详解】依题意可知，解得. 故选：C 2．已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由韦达定理可得，，根据等比中项可求，注意符号的判定. 【详解】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 3．已知2既是2m与n的等差中项，也是m与2n的等比中项，则m，n的等比中项为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差中项与等比中项的性质即可求解. 【详解】2是与的等差中项，所以， 2是与的等比中项，所以， 解得，所以的等比中项为. 故选：. 4．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A．211 B．210 C．11 D．9 【答案】C 【分析】设出等比数列的公比，利用等式求得，根据等比中项，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即， 故. 故选：C. 5．已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根与系数的关系及等比中项的性质求. 【详解】数列为等比数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的中项性质得，则， 因为等比数列的偶数项的符号相同，，都是负数，所以. 故选：B 6．已知实数，，，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质分析求解，注意各值的符号判断. 【详解】因为实数，，，，成等比数列， 由等比数列的性质可得，解得，或， 又因为，即，可得， 所以. 故选：A. 7．若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的相关计算，可求得，，进而可求得和，再结合等比中项的性质即可求解. 【详解】因为为等差数列的前项和，且，， 所以可得，解得， 所以，， 设与的等比中项为，则，则， 所以与的等比中项为. 故答案为： 8．已知等比数列满足，，则 . 【答案】 【分析】分析可得，结合等比中项的性质可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比中项的性质可得，解得. 故答案为：. 9．已知和的等比中项为B，则B = . 【答案】 【分析】由等比中项的定义结合二倍角的正弦公式可得. 【详解】由和的等比中项为B， 则， 故. 故答案为：. 10．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【答案】 【分析】通过已知条件可求得，再根据等比中项的定义即可求得答案. 【详解】解：因为为等差数列，且， 所以， 所以， 解得， 所以与的等比中项为. 故答案为： 11．设是等比数列，、是方程的两个根，则 . 【答案】 【分析】求出的值，利用等比中项的性质可求得的值. 【详解】因为是等比数列，、是方程的两个根， 由韦达定理可得，由等比中项的性质可得，故. 故答案为：. 12．已知为等差数列，其公差，且成等比，则 . 【答案】420 【分析】由成等比，可求出；可以看成以为首项，8为公差的等差数列，则由等差数列求和公式计算即可. 【详解】由题意，成等比，得，则， 代入，解得或，因为，所以， 则， 所以可以看成以为首项，8为公差的等差数列， 所以. 故答案为：420. 题型三：求等比数列的通项公式 1．在等差数列中，公差是与的等比中项．已知数列成等比数列，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算等差数列的基本量，进而得，数列记为，则为等比数列，即可得，由等差数列通项公式即可求解. 【详解】依题意，即，解得，故． 新数列，记为，则为等比数列， 所以公比， 所以， 又因为， 所以． 故选：B 2．已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用等差中项的性质及等比数列的通项公式求得公比，进而写出通项公式. 【详解】由题设，若的公比为，则，， 所以 ，则. 故选：D 3．已知等差数列和等比数列满足，，，，则的通项公式 ． 【答案】， 【分析】根据等差数列与等比数列的定义，进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，，， 可得，，，解得，，， 所以，, 所以，. 故答案为：，. 4．在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是 . 【答案】 【分析】记这个数构成递增的等比数列为，则由，，可求得，代入即可得出答案. 【详解】记这个数构成递增的等比数列为，则由，， 由，则， ，故. 故答案为：. 5．已知是等差数列，满足，数列满足，且为等比数列，则 ，使成立的最小的 ． 【答案】 11 【分析】根据等差数列的通项公式求的公差，进而写出通项公式，由已知及等比数列的通项公式求公比，即可得，结合其单调性和不等式能成立求参数最小值即可. 【详解】设的公差为，则，故， 由题设，，，为等比数列，若公比为， 所以，故，则，且在上为单调递增数列， 由，， 所以使成立的最小的. 故答案为：，11 6．已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】由数列递推式，利用构造法得为等比数列，再根据等比数列通项公式求解即可. 【详解】， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列， ， 故答案为：. 7．等比数列满足如下条件：①，②数列单调递减，写出满足上述两个条件的数列的一个通项公式 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据等比数列的性质进行求解即可. 【详解】等比数列为单调递减数列， ， ，满足上述条件的一个数列的通项公式为： 故答案为：(答案不唯一) 8．数列与的通项公式分别为，，它们的公共项由小到大排成的数列是，求． 【答案】 【分析】先将所给数列与的前若干项一一列出，找出它们的公共项中的前几项，由这几项进行分析，猜想的项可能是中除去前两项的所有奇数项，构成以8为首项，以4为公比的等比数列．再证明猜想，可得出答案． 【详解】解：由题意可知的前几项是：2，4，8，16，32，64，128，256，…， 的前几项是：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，…（即被3除余2的数）． 由此可知，数列的前三项是8，32，128． 回到数列中，不难发现的项可能是中除去前两项的所有奇数项，构成以8为首项，以4为公比的等比数列． 对此猜想证明如下： 设数列中的第n项在中是第m项，在中是第k项， 由数列的定义可知，，故有， 则中的第项为． 显然，不是数列中的项，从而不是中的项． 而中的第项为：， 显然它是数列中的项，从而是中的第项，且， 故是以8为首项，4为公比的等比数列， ． 9．在数列中，，. (1)证明：为等比数列； (2)求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）可得，即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 则， 则是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可得，即. 10．已知数列满足，. (1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）根据已知有、，应用等比数列的定义证明结论，并写出通项公式； （2）应用裂项相消法求即可. 【详解】（1）由，则，又，则， 所以是首项、公比都为4的等比数列，则，故； （2）由（1）及已知有， 所以， 所以 . 11．已知数列满足，，. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用给定的递推公式变形，结合等比数列定义即可证明； （2）利用（1）的结论结合等比数列的通项公式，再利用累加法和等比数列的求和公式即可求解； （3）由（2）知.利用反证法即可证明. 【详解】（1）证明：，所以， 由， ∴数列是首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）知， ， ，即数列的通项公式为. （3）由（2）知. 假设存在不同的三个正整数，使得成等差数列， 则有， 两边同时乘以，得到， 由于是大于或等于1的整数，是大于或等于2的整数， ∴是奇数，是偶数，∴不可能成立，故假设不成立， ∴数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 题型四：利用等比数列的性质计算 1．已知数列为等比数列，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由等比数列的性质求出，再由得出即可. 【详解】，， 又，. 故选：B． 2．已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质和等比中项的性质即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比数列的性质可得，， 所以，，所以. 故选：C. 3．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（    ） A．32 B．34 C．65 D．67 【答案】C 【分析】由等差数列和等比数列的性质与求和、求积，可得所求和． 【详解】等差数列的前项和为，等比数列的前项积为， 且，， 则． 故选：C． 4．在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】已知条件作商可求得，然后根据等比数列性质可得. 【详解】因为，，所以，解得，则． 故选：B 5．在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据韦达定理以及等比数列的性质即可求解. 【详解】由于是方程的两个根，故，， 因此，从而， 又是等比数列，故，， 故选：B 6．已知等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，因为， 故，所以，所以． 故答案为：． 7．已知是公比为2的等比数列，若，则 . 【答案】200 【分析】将两个等式左右分别相除，借助于公比，找到两式间的数量关系即得. 【详解】记等比数列的公比为q，则. 因， 故． 故答案为：200. 8．设等比数列的公比为q，若，则 ． 【答案】2 【分析】由等比数列的性质有，结合已知求公比. 【详解】因为，所以． 故答案为：2 9．已知公比为的等比数列满足，且，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先判断的符号和公比的关系，求得关于的表达式，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由，得时，；时，， 由，得，所以， 若，可得，可得，则， 此时，； 若，则，此时，，矛盾. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在求解关于等比数列有关的取值范围时，通过构造函数并结合函数的基本性质求出函数的取值范围，这种方法可以有效地处理涉及不等式与单调性的范围问题. 10．已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为 ． 【答案】2 【分析】根据条件得，再由，得，解方程即可,注意公比为正数的取舍问题. 【详解】因为与的等差中项为4，所以，又，各项为正数,所以公比为正数， 所以，解得:或(舍). 故答案为：2 11．在等比数列中，，则 . 【答案】4 【分析】根据等比数列性质运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：4. 12．已知数列为等比数列． (1)若，求； (2)若，，求公比. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由等比数列的性质可得，结合条件可得，所以是方程的两根和，解方程结合等比数列的通项公式即可得出答案； （2）由等比数列的性质可得，即可得出答案. 【详解】（1）∵，∴， ∴. 又， ∴是方程的两根和. 当时，，； 当时，，； （2）∵， ∴，∴. 13．已知{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等比数列的性质求解即可. （2）利用等比中项和等比数列的性质求解即可. （3）利用等比数列的性质以及对数的运算求解即可. 【详解】（1）在等比数列中， ，， . （2）由等比中项， ， ，， ， 即， ，. （3）由等比数列的性质， ， . 14．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，， 且成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设试问数列是否存在最大项?若存在，求出最大项序号n的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，序号，理由见解析 【分析】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）根据数列最大项的性质进行求解即可. 【详解】（1）设该等差数列的公差为，， 由， 因为成等比数列，所以， 由可得： （2）由上可知：，， 假设否存在最大项， 则有， 因为，所以，所以假设成立，数列是否存在最大项，序号. 15．已知数列满足，，. （1）若是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比； （2）若，，…，成等差数列，求数列，，…，的公差的取值范围.（参考数值：，） 【答案】（1）的最小值为8，. （2） 【分析】（1）利用等比数列性质令n=1,确定，结合等比数列通项公式及对数运算得m的范围得解 （2）利用等差数列通项公式列的不等式组，利用分离参数转化为恒成立问题求解公差的取值范围 【详解】（1）设公比为，则.由已知，则. ∴，则.∵， ∴ ， ∴的最小值为8，∴，. （2）设公差为，则. ∴且. 时，. 时，则有且，∴. 综上所述，. 【点睛】本题考查等差与等比数列的通项公式，考查基本量的运算，熟练转化为恒成立问题是关键，是中档题 题型五：等比数列的单调性和项的最值 1．已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4051 【答案】C 【分析】通过分析得等比数列为单调递减，且前项大于1，项以后小于1，再结合等比数列的性质可得. 【详解】由，所以和中一个大于1一个小于1. 若公比，而，所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以； 若公比，则数列为摆动数列，因，所以奇数项为正数，偶数项为负数，这与矛盾； 所以，，等比数列是单调递减数列，且，. 所以当时，，当时，. 由等比数列性质，， 所以，. 当时，，单调递增且； 当时，，,单调递减且； 当时，，即，所以时，单调递减, 又 . 所以，即时，单调递减且小于1. 所以最大的自然数为. 故选：C. 2．已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的正整数，满足，则下列选项中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，当，时，结合等比数列的通项和性质分析判断． 【详解】是等比数列，公比为，存在无穷多个不同的满足， 当时，则： ①当时，则为非零常数列，，符合题意，故A可能成立； ②当时，则为单调数列， 恒不成立，且不合题意； 当时，可得，则： ①当时，若，为偶数时，则； 若时，为奇数时，则； 符合题意，故B可能成立； ②当，若，为偶数时，则，，， 且，即； 若，为奇数时，则，，，且， 即；故符合题意，故D可能成立； ③当，， ， ，则，，可得， 则，这与等比数列相矛盾， 故和均不合题意，故C不可能成立． 故选：C． 3．数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据等比数列的单调性判断时，的前n项积越来越大 ，当时，的前n项积越来越小 ，从而可得答案. 【详解】因为，所以数列是递减数列， ，， 所以 所以时，的前n项积越来越大 ， 当时，的前n项积越来越小 ， 所以当数列的前项积最大时的值为4． 故选：C． 4．等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 【答案】C 【分析】A选项，计算出且，故A正确；B选项，计算出且公比大于1，B正确；C选项，在B选项基础上得到最小值；D选项，计算出，从而得到当时，，当时，，故. 【详解】A选项，由题意可知，， 且公比，故为递增数列，A正确； B选项，，， 则为递增数列，故B正确； C选项，当时，取得最小值，故C错误； D选项，， 当时，， 当时，， 故，故D正确． 故选：C． 5．设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有最大值 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等比数列通项分析求出公比的范围，再逐项分析判断作答. 【详解】在等比数列中，由，，得，即有，， 若，则，，此时，与已知条件矛盾，因此，B正确，C错误； 显然数列是递减数列，由，得，则，A错误； 由于，当，，而，则，当时，，则， 因此当时，逐渐增大，当时，逐渐减小，所以的最大值为，D错误. 故选：B 6．已知，是等比数列图象上的两点，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意知，，∴，∴， ∴． 故答案为： 7．已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则 ，不等式成立的的最小值为 ． 【答案】 14 13 【分析】①根据，得，代入即可得解；②根据，得，对分奇偶讨论即可得解. 【详解】令，得， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以. 当为奇数时，， 即，因为，所以，即， 因为为奇数，所以的最小值为； 当为偶数时，， 因为，所以，， 因为为偶数，所以的最小值为. 综上所述，的最小值为. 故答案为： ， 【点睛】关键点点睛：讨论m的奇偶性求出对应通项公式为关键. 8．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 9．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时， . 【答案】6 【分析】先求出的通项公式，当时，其前n项积最大，得解. 【详解】由题意可得，， ，且， 当时，最大，即，解得. 故答案为：6. 10．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则 . 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，则，根据等差中项和等比数列的通项公式列式求出，再根据等比数列的通项公式可求出结果. 【详解】设等比数列的公比为，则， 因为，，成等差数列，所以， 所以，所以， 解得或（舍）， 所以 . 故答案为：. 11．在首项为2022，公比为的等比数列中，最接近1的项是第 项． 【答案】12 【分析】求出等比数列的通项公式，根据数列的单调性确定只需比较与1的远近即可，利用作差法比较即可. 【详解】根据等比数列的性质可得：，显然单调递减， 当得：， 当得：， 所以只需比较与1的远近即可， 因为，，， 所以比离1近， 故答案为：12 12．已知为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式，结合题设求基本量，进而写出和的通项公式； （2）由（1）得，应用错位相减法求前项和； （3）由（1）得，要使题设不等式恒成立即在上恒成立，讨论的奇偶性，判断是否存在使之成立. 【详解】（1）若的公差为，结合题设可得：，又，故， ∴， 若的公比为且，结合题设可得：，又，故， ∴. （2）由（1）知：， ∴， ∴， 以上两式相减，得：， ∴. （3）由题设，，要使任意恒有， ∴，则恒成立 当为奇数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立； 当为偶数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立； 综上，存在实数，使得对任意的，恒有. 13．已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. 【答案】(1) (2)25 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）由等差数列的通项公式可求得，，从而得到结果； （2）利用等差数列前项和公式得到，由二次函数单调性易得的最大值； （3）先求出等比数列的通项公式，然后分奇偶项讨论单调性即得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意知 解得，.所以的通项公式为. （2）的前n项和. 所以当时，取得最大值. （3）由（1）知，，， 因为等比数列满足，，所以，. 所以等比数列的公比为，.所以. 所以，. 故当时，取得最小值.当时，取得最大值. 题型六：等比数列的前n项和的计算 1．已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】由对数运算性质及等比数列的定义得是首项、公比都为2的等比数列，应用等比数列前n项和公式及求的最大值. 【详解】由题设，又，即是首项、公比都为2的等比数列， 所以，则， 由，则，即. 所以满足的的最大值为9. 故选：A. 2．已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且 ，则 的值为（   ）. A．2045 B．2046 C．2047 D．2048 【答案】B 【分析】利用递推公式并项求和即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：B 3．已知数列的通项公式为，设数列的前n项和为，求的最大值和最小值为 （    ） A．， B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列求和公式得到，再结合的单调性即可求解. 【详解】由， 由等比数列求和公式可得， 当为奇数时，， 又， 所以时，得最大值 当为偶数时，， 又， 所以时，得最小值 由函数，在单调递增， 所以当时，取得最大值， 所以当时，取得最小值， 故选：A 4．记等比数列的前n项和为．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出等比数列得首项和公比，依据等比数列前项和公式即可得 【详解】设首项为，公比为，则根据题意，所以， 因为，因为，所以， 所以， 故选:D 5．已知正项等比数列的前n项和为，若且，则（   ） A．40 B．84 C．121 D．364 【答案】D 【分析】利用基本量进行计算. 【详解】设公比为q，由，得或（舍）， 则，解得， 故． 故选：D. 6．已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 【答案】9 【分析】根据等比数列的片段和的性质及等比中项求解即可. 【详解】由已知，显然公比， 所以成等比数列， 所以，即，解得或者， 因为，所以舍去， 故答案为：9 7．已知正项等比数列的前项和为，，，则 ． 【答案】 【分析】由条件，结合等比数列的前n项公式，可得到公比；再用等比数列的前n项公式可得到答案. 【详解】（1）当公比为1，则，不符合题意，舍去； （2）当公比不为1，，解得：， 所以： ． 故答案为：. 8．等比数列的前项和为，且，则 ． 【答案】306 【分析】利用通项公式得到关于，的方程，求出，的值后，直接代入等比数列的求和公式中，求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，由于，所以，解得：，所以 故答案为： 9．设等比数列的前项和为，且，，则 . 【答案】1020 【分析】利用等比数列基本量的计算可求得公比，进而利用等比数列前项和公式可求得. 【详解】设数列的公比为，又，，则， 所以，则. 故答案为：. 10．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，6a1＋a3＝30，则Sn＝ ． 【答案】或 【分析】根据条件建立方程组求出，，即可求出前项和. 【详解】设等比数列{an}的公比为，则，解得：，或， 当时，， 当时，， 故答案为：或， 11．已知等差数列的前n项和为且． (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列前n项和列出方程组求出首项及公差即可求解. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合裂项相消法及等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由及，得， 解得，所以数列的通项公式为， 前n项和. （2）由（1）得， 所以 . 12．已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证； （2）利用等比数列的前项和公式，分组求和即可求解； （3）由（2）得，即，得，令，比较与1的大小来判断数列的单调性，进而求出最大项. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得， 所以 ， 化简得； （3）由（2）得， 所以， 令， 易得，又单调递减，当时，即， 又当时，， 所以数列的最大项为. 13．已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)，，； (2). 【分析】（1）根据等差数列前项和公式即可求出，求出公比，再利用等比数列通项公式和求和公式即可得到； （2）写出，再利用错位相减法即可得到答案. 【详解】（1）因为数列的通项公式为，故， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 所以． 因为数列为公比大于0的等比数列，且， 设公比为，则，解得或（舍去）， 所以． 所以． （2）由（1）可得， 所以①． ②． ①②得， 所以． 14．在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量运算求得，即可求解； （2）利用等比数列及求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意得， 解得，所以． （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以． 从而， 所以 ． 15．已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列前项和公式可构造方程组求得，由等差数列通项公式可得；根据已知等式可得，由前项和与通项之间关系可得，由此可得； （2）求得后，采用错位相减法可求得结果； （3）通过分析可确定前项中，包含数列的前项和数列的前项，结合并项求和法和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由得：，； ， ， 当且时，， ，则； 当时，，满足； 综上所述：. （2）由（1）得：， ， ， ， . （3）当为奇数时，；当为偶数时，； ，均为递增数列，，，， 的前项中，包含数列的前项和数列的前项， 的前项和为 . 题型七：等比数列前n项和的性质 1．设等比数列的前n项和为，若，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】解析  解法一：因为等比数列的前n项和为，，所以，解得，所以． 解法二：，不妨设，，而，，也成等比数列，容易求得．故选C． 2．已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解. 【详解】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A 3．设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】A 【分析】根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案. 【详解】等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 4．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 5．设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质建立方程求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为是等比数列，所以成等比数列， 所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确. 故选：A. 6．在等比数列中，公比，前87项和，则（    ） A． B．60 C．80 D．160 【答案】C 【分析】根据题意，得到构成公比为的等比数列，设，得到，进而求得的值. 【详解】在等比数列中，由公比， 可得构成公比为的等比数列， 设，则， 因为数列的前87项和， 所以，解得，所以. 故选：C. 7．若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 8．已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 9．已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质运算求解. 【详解】设， 由题意可知：，解得， 所以． 故答案为：2. 10．设是等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】5 【分析】根据题意，由等比数列前项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，， 因为，，，，成等比数列， 故，即，解得， 则，所以，，故. 故答案为： 11．已知等比数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前n项和； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由已知及等比数列的性质求公比和首项，进而写出等比数列通项公式； （2）讨论n的奇偶性，结合数列通项公式及等差数列前n项和公式求； （3）等比数列前n项和得，且能成立，讨论n的奇偶性，结合的单调性求参数范围. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，则， 由，解得， 所以. （2）由（1），得，则， 当n为偶数时，令，则， 当n为奇数时，. 所以. （3）由（1），知， 存在正整数n，使得成立. 当n为偶数时，，， 由，得. 因为单调递增，所以的最小值为， 因为单调递减，所以的最大值为， 所以. 当n为奇数时，，， 由，得. 因为单调递减，所以的最大值为， 因为单调递增，所以的最小值为， 所以. 综上，m的取值范围是. 12．设是数列的前项和，已知 (1)求，并证明：是等比数列； (2)求满足的所有正整数. 【答案】(1)，证明见解析 (2)1，2 【分析】（1）利用代入计算即可求得，由等比数列定义可求得，即可得出证明； （2）利用数列分组求和可得出，再利用二次函数及指数函数单调性即可求得结果. 【详解】（1）由可得， 所以， 可得； 由已知得， 所以， 其中， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知， 所以， 所以， 所以 ， 由二次函数及指数函数性质可知当时，单调递减， 其中， 所以满足的所有正整数为1，2. 13．已知等差数列的公差不为，且是等比数列从前到后的连续三项. (1)若，求等差数列的前10项的和； (2)若等比数列的前项的和，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用等比中项以及等差数列的通项公式建立方程组求解； （2）根据可得等比数列的公比，进而运用等比数列的性质，即可得奇数项的和与偶数项的和的关系，即可求解： 【详解】（1）设公差为,则, 由得, 因为,∴,故 因此 （2）由（1）知，所以， ∴公比 又 ∴ ∴ 题型八：等比数列的应用 1．如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形洛边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，结合等比数列的定义、性质、前项和公式进行求解即可. 【详解】因为正方形的边长为， 所以正方形的对角线为， 所以第二个正方形的边长为， 所以第二个正方形的对角线为， 所以第三个正方形的边长为， 所以这些正方形的边长为为首项，为公比的等比数列， 所以这些正方形的面积为为首项，为公比的等比数列 因此前6个正方形面积和为， 故选：C 2．云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以． 故选：B 3．李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为等比数列的前项和求解. 【详解】依题意，2015年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 同理可得：2016年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； 2017年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； …… 2024年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 所以，2025年10月1日取出前面的存款共有：. 故选：D 4．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算每关收税金，由5关所收税金之和为1斤，列出方程，求出的值. 【详解】由题意知：这个人原来持金为斤， 第1关收税金为：斤； 第2关收税金为斤； 第3关收税金为斤， 以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤， 所以， 即，解得. 故选：C. 5．如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为 ，次操作后图中所有圆的面积总和为 . 【答案】 【分析】由题意可知小圆半径是首项为，公比为等比数列；大圆半径是首项为，公比为等比数列，结合等比数列前项和公式计算即可求解. 【详解】次操作后，小圆的半径依次为， 大圆的半径依次为， 所以小圆半径是首项为，公比为等比数列， 大圆半径是首项为，公比为等比数列， 4次操作后图中最小的圆的半径为； 次操作后，小圆面积和为： ， 大圆面积和为： 所以大圆与小圆面积和为， 则所有圆的面积总和为. 故答案为： 6．某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为 ．（用含的式子表示） 【答案】41t 【分析】由题意求等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设表示该模型第轮比第轮参数增加的数量， 则，， 所以是首项为，公比为3的等比数列，通项公式为：， 所以，第一轮参数为， 第二轮参数增加的数量为， 第三轮参数增加的数量为， 第四轮参数增加的数量为， 第五轮参数增加的数量为， 所以第五轮训练的模型参数的数量为. 故答案为： 7．按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，...来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；②将纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为 . 【答案】8 【分析】根据题意可将问题转化为所需纸张的总面积问题，确定大概张数再进行裁剪分配即可得出结果. 【详解】依题意1张A0规格的纸张可以裁剪出2张A1规格的纸张，或4张A2规格的纸张，或16张A4规格的纸张, 设一张A0规格的纸张的面积为， 则一张A1规格的纸张的面积为，一张A2规格的纸张面积为，一张A4规格的纸张面积为； 依题意共需要的纸张面积为， 所以至少提供8张A0规格的纸张， 其中将3张A0规格的纸张裁成5张A1和2张A2，将2张A0规格的纸张裁成8张A2， 将剩下的3张A0规格的纸张裁成48张A4规格， 共可以裁出A4规格纸张48张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张. 故答案为：8 8．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是 . 【答案】 【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解. 【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为， 则，解得 所以第二天织布的尺数为. 故答案为：. 9．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机 秒，该病毒占据内存． 【答案】39 【分析】根据等比数列的通项公式计算． 【详解】由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列， 且，，，则，． 即病毒共复制了13次． 所需时间为（秒）． 故答案为：39 10．如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 【答案】 【分析】根据已知第个圆柱的高，底面半径，应用等比数列前n项和公式求工艺品的表面积. 【详解】由题设，第个圆柱的高，底面半径， 所以，第个圆柱的侧面积为，底面积为， 则侧面积之和为 ， 底面积之和为 ， 所以工艺品的表面积为 . 故答案为： 11．某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上，理由见解析 【分析】（1）根据条件得到数列的递推关系，利用数列是等比数列，求的值即可； （2）首先由（1）得数列的通项公式，再求出的范围判断不等式是否有解即可. 【详解】（1）由题意知，经过次技术更新后，， 则， 即．设，则， 令，解得．又， 所以当时，是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知， 则，． 所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为， 对于任意，所以， 即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上． 12．在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 【答案】(1)约万元 (2)11年 【分析】（1）利用乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%，即可求出他在第5年的年薪； （2）求出小李在甲公司工作连续工作n年的工资总收入，小李在乙公司工作10年的总收入，建立不等式，即可得出结论． 【详解】（1）小李在乙公司工作第年的年薪为, 小李在乙公司连续工作年，万元， 所以，小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪约是万元； （2）由题意，小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入为， 小李在乙公司工作10年的总收入， 则， 即, ，， 小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入. 13．生态采摘园商业模式是农业生态发展中创新与盈利的完美结合．年某地生态采摘园的苹果产量为千克，计划不超过天完成销售，销售渠道主要有批发销售和游客采摘零售两大渠道，根据往年数据统计，游客从开园第一天到闭园，采摘量（千克）和开园第（）天满足：．批发销售每天的销售量为千克，售价为每千克元，采摘零售的价格是批发销售价格的倍． (1)取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入； (2)采摘零售的总采摘量是多少？能否天内完成销售计划？ 【答案】(1) (2)千克，不能 【分析】（1）分为和两种情形解不等式即可； （2）分为前22天和后8天计算采摘量，根据等比数列和等差数列的前项和公式即可得结果. 【详解】（1）当时，，得， 当时，， 整理有， 令函数，易知单调递减， 又因为，， 所以不等式的解为， 因此当时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入． （2）设采摘零售量前天和为千克， 前22天的采摘量为千克 后8天的采摘量为： （千克） 综上，采摘零售的总采摘量千克， 生态采摘园天批发销售和采摘零售总量为千克， 因为，所以天内不能完成销售计划． 14．某市2013年共有一万辆燃油型公交车.现计划于2014年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1)该市在2020年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？ 【答案】(1)1458（辆）． (2)2021年底 【分析】（1）由题意该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列，根据等比数列的通项公式求解即可. （2）结合等比数列求和公式列不等式，解指数不等式即可得解. 【详解】（1）该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列， 其中， 则在2020年应该投入的电力型公交车为（辆）． （2）记，依题意，得， 于是，即，则有，因此． 答：到2021年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的． 15．小李同学最近进步很大，有希望考入一本院校.李爷爷决定从2023年6月2日开始，每月的2号为小李存一笔钱，到2024年8月2日，共存入15笔.2024年9月2日，李爷爷一次性取出全部本息，作为小李同学大学入学后购买手机、电脑、平板等设备的专项资金.李爷爷第一次存入1000元，以后每月增加100元. 银行与李爷爷约定这笔存款按复利每月计息一次，月利率为0.2%. (1)李爷爷总共存入多少元？ (2)李爷爷在2024年9月2日可一次性取出本息共多少元？ （提示：，计算过程中，请不要再次取近似值，否则会产生较大误差.） 【答案】(1)25500 (2)26350 【分析】（1）依题意根据等差数列模型，由前项和公式计算可得结果； （2）利用等比数列模型，再由等比数列错位相减法求和，计算即可求得结果. 【详解】（1）根据题意，存入的钱数成等差数列，首项为1000，公差为100， 利用等差数列前15项和可知， 总共存入了元. （2）第一笔1000元，取出时计息15次，本息共； 第二笔1100元，取出时计息14次，本息共； …… 第十五笔2400元，取出时计息1次，本息共. 设在2024年9月2日可一次性取出本息共元 得 所以李爷爷在2024年9月2日可一次性取出本息共26350元. 48 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等比数列的通项公式和性质的八种题型 题型一：判断、证明数列是等比数列 题型二：等比中项的求解和应用 题型三：求等比数列的通项公式 题型四：利用等比数列的性质计算 题型五：等比数列的单调性和项的最值 题型六：等比数列的前n项和的计算 题型七：等比数列前n项和的性质 题型八：等比数列的应用 题型一：判断、证明数列是等比数列 1．已知为非常数数列，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．记数列的前项和是，前项积是． ①若是等差数列，则是等差数列； ②若和都是等差数列，则是等差数列； ③若是等比数列，则是等比数列； ④若是等比数列，则是等比数列．其中真命题的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知数列是等比数列，下面的数列中必为等比数列的个数是（    ） ①                ②        ③                ④ A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.对于数列（，2，3，4）及数列（，2，3，4），若，则下列说法正确的是 .①存在数列，使得与都为等比数列；②存在数列，使得与都为等差数列；③存在数列，使得为等比数列，且为等差数列；④存在数列，使得为等差数列，且为等比数列. 5．若为数列的前项和，且，则下列结论正确的是 .（填序号） ①；②；③数列是等比数列；④数列是等比数列. 6．下面有四个结论: ①若数列的前项和为 (为常数),则为等差数列; ②若数列是常数列,数列是等比数列,则数列是等比数列; ③在等差数列中,若公差,则此数列是递减数列; ④在等比数列中,各项与公比都不能为. 其中正确的结论为 (只填序号即可). 7．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：. (1)写出数列的各项，并在如图的坐标系中作出该数列的图象（单位网格边长为1）； (2)设为素数，证明：数列为等比数列. 8．已知数列的各项互不相同，且 ， 若对任意，都有则称数列A具有性质P；若对任意， 都有则称数列A具有性质T. (1)若，写出所有具有性质T的数列A； (2)证明：具有性质P的数列A一定具有性质T； (3)记所有具有性质T的数列A的个数为，证明：数列是等比数列. 9．若项数为的有穷数列满足：，且对任意的或是数列中的项，则称数列具有性质. (1)判断数列，，，与数列，，，是否具有性质，并说明理由； (2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项； (3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等比数列. 10．记数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足： ，，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）求取最大值时的值. 题型二：等比中项的求解和应用 1．已知实数是1，4的等比中项，则（ ） A． B． C． D． 2．已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知2既是2m与n的等差中项，也是m与2n的等比中项，则m，n的等比中项为（    ） A．2 B． C． D． 4．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A．211 B．210 C．11 D．9 5．已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 6．已知实数，，，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 7．若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为 . 8．已知等比数列满足，，则 . 9．已知和的等比中项为B，则B = . 10．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 11．设是等比数列，、是方程的两个根，则 . 12．已知为等差数列，其公差，且成等比，则 . 题型三：求等比数列的通项公式 1．在等差数列中，公差是与的等比中项．已知数列成等比数列，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 2．已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 3．已知等差数列和等比数列满足，，，，则的通项公式 ． 4．在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是 . 5．已知是等差数列，满足，数列满足，且为等比数列，则 ，使成立的最小的 ． 6．已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式 ． 7．等比数列满足如下条件：①，②数列单调递减，写出满足上述两个条件的数列的一个通项公式 . 8．数列与的通项公式分别为，，它们的公共项由小到大排成的数列是，求． 9．在数列中，，. (1)证明：为等比数列； (2)求的通项公式. 10．已知数列满足，. (1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 11．已知数列满足，，. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 题型四：利用等比数列的性质计算 1．已知数列为等比数列，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（    ） A．32 B．34 C．65 D．67 4．在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 5．在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 6．已知等比数列满足，则 . 7．已知是公比为2的等比数列，若，则 . 8．设等比数列的公比为q，若，则 ． 9．已知公比为的等比数列满足，且，，则的取值范围为 ． 10．已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为 ． 11．在等比数列中，，则 . 12．已知数列为等比数列． (1)若，求； (2)若，，求公比. 13．已知{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 14．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，， 且成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设试问数列是否存在最大项?若存在，求出最大项序号n的值;若不存在，请说明理由. 15．已知数列满足，，. （1）若是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比； （2）若，，…，成等差数列，求数列，，…，的公差的取值范围.（参考数值：，） 题型五：等比数列的单调性和项的最值 1．已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4051 2．已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的正整数，满足，则下列选项中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 3．数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 5．设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有最大值 6．已知，是等比数列图象上的两点，则 ． 7．已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则 ，不等式成立的的最小值为 ． 8．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 9．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时， . 10．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则 . 11．在首项为2022，公比为的等比数列中，最接近1的项是第 项． 12．已知为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 13．已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. 题型六：等比数列的前n项和的计算 1．已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且 ，则 的值为（   ）. A．2045 B．2046 C．2047 D．2048 3．已知数列的通项公式为，设数列的前n项和为，求的最大值和最小值为 （    ） A．， B． C． D． 4．记等比数列的前n项和为．若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知正项等比数列的前n项和为，若且，则（   ） A．40 B．84 C．121 D．364 6．已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 7．已知正项等比数列的前项和为，，，则 ． 8．等比数列的前项和为，且，则 ． 9．设等比数列的前项和为，且，，则 . 10．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，6a1＋a3＝30，则Sn＝ ． 11．已知等差数列的前n项和为且． (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)设，求数列的前n项和． 12．已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 13．已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 14．在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 15．已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 题型七：等比数列前n项和的性质 1．设等比数列的前n项和为，若，则（   ） A．2 B． C． D．3 2．已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 3．设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 4．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 5．设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 6．在等比数列中，公比，前87项和，则（    ） A． B．60 C．80 D．160 7．若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 8．已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 9．已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 10．设是等比数列的前项和，若，，则 . 11．已知等比数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前n项和； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 12．设是数列的前项和，已知 (1)求，并证明：是等比数列； (2)求满足的所有正整数. 13．已知等差数列的公差不为，且是等比数列从前到后的连续三项. (1)若，求等差数列的前10项的和； (2)若等比数列的前项的和，求的值. 题型八：等比数列的应用 1．如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形洛边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（   ） A． B． C． D．8 2．云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 3．李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 4．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为 ，次操作后图中所有圆的面积总和为 . 6．某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为 ．（用含的式子表示） 7．按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，...来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；②将纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为 . 8．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是 . 9．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机 秒，该病毒占据内存． 10．如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 11．某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 12．在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 13．生态采摘园商业模式是农业生态发展中创新与盈利的完美结合．年某地生态采摘园的苹果产量为千克，计划不超过天完成销售，销售渠道主要有批发销售和游客采摘零售两大渠道，根据往年数据统计，游客从开园第一天到闭园，采摘量（千克）和开园第（）天满足：．批发销售每天的销售量为千克，售价为每千克元，采摘零售的价格是批发销售价格的倍． (1)取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入； (2)采摘零售的总采摘量是多少？能否天内完成销售计划？ 14．某市2013年共有一万辆燃油型公交车.现计划于2014年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1)该市在2020年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？ 15．小李同学最近进步很大，有希望考入一本院校.李爷爷决定从2023年6月2日开始，每月的2号为小李存一笔钱，到2024年8月2日，共存入15笔.2024年9月2日，李爷爷一次性取出全部本息，作为小李同学大学入学后购买手机、电脑、平板等设备的专项资金.李爷爷第一次存入1000元，以后每月增加100元. 银行与李爷爷约定这笔存款按复利每月计息一次，月利率为0.2%. (1)李爷爷总共存入多少元？ (2)李爷爷在2024年9月2日可一次性取出本息共多少元？ （提示：，计算过程中，请不要再次取近似值，否则会产生较大误差.） 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $