专题3.3 空间向量在立体几何中的应用（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用，系统梳理方向向量与法向量的确定、平行垂直关系的向量证明、空间角（异面直线角、线面角、二面角）计算及点面距离求解等核心知识点，形成从概念理解到应用实践的学习支架。 资料以“知识点+即学即练+题型分类”为主线，通过典例与变式分层设计，引导学生用数学眼光抽象几何问题，用数学思维推理向量关系，用数学语言表达空间形式。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化应用能力。

专题3.3 空间向量在立体几何中的应用 教学目标 1．理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 3．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 教学重难点 1.重点 法向量的求解． 2.难点 利用空间向量解决空间中的距离问题 知识点01 直线的方向向量与法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为. 【即学即练】 1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面垂直，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．已知平面平面，与的法向量分别为，，且，，则 . 知识点02 用向量证明空间中的平行与垂直关系 1.平行关系的证明 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2. 2.垂直关系的证明 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 【即学即练】 1．如图，在正方体中，点Q是棱上的动点，下列说法中错误的是（    ）． ①存在点Q，使得； ②存在点Q，使得； ③对于任意点Q，Q到的距离为定值； ④存在点Q，是锐角三角形． A．①③ B．②③ C．②④ D．①③④ 2．若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是 ． 3．如图所示，在正方体中，是底面的中心，是的中点，则的位置关系是 ． 4．如图，在直四棱柱中，，是的中点，是线段上不与端点重合的动点． (1)证明:． (2)若点满足，且直线平面，求的值． (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 知识点03 空间向量与空间角 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉. 2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉. 【即学即练】 1．如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 3．定义：在空间直角坐标系中，经过且法向量的平面方程为，经过且方向向量的直线方程为.阅读上面材料，并解决下列问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 4．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形，且分别在棱上，平面. (1)若是的中点，求与平面所成角的余弦值； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 知识点04 利用空间向量求点面距离 如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝. 【即学即练】 1．在长方体中，为上一点且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且，，不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于 . 3．已知点在平面内，的一个法向量为，则点到平面的距离为 ． 4．如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. (1)求证： 平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 题型01 平面法向量的概念及求解 【典例1】已知是平面的一个法向量，点，均在平面内，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】阅读材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为. 阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【变式3】已知是平面的一个法向量，点，均在平面内，则 ． 【变式4】已知，若平面的一个法向量为，则 ． 题型02 用向量证明空间中的平行和垂直问题 【典例1】若平面的法向量分别为，且平面，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【变式1】如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，下列说法不正确的是（   ） A． B．若E是棱的中点，则平面截该正方体所成的截面是五边形 C．当三棱锥体积最大时，的长度为 D．当三棱锥体积最大时，二面角的正切值是 【变式2】已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 【变式3】如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为 .    【变式4】棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 题型03 空间向量求异面直线夹角 【典例1】如图，在长方体中，，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，且,则异面直线与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C．0 D．无法确定 【变式2】已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角 ． 【变式3】如图，在棱长为2的正方体中，已知点E，F分别为直线BD，上的动点，给出下面四个结论：    ①异面直线，BD的角为30°；②点F到平面的距离为定值；③若F为中点，则点F到BD距离为；④的最小值为，则其中所有正确结论的序号是 . 【变式4】如图所示的四棱锥中，平面，， (1)证明：平面平面； (2)若，，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 题型04 空间向量求二面角 【典例1】已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论中错误的是（    ） A．直线与直线平行 B．直线与平面平行 C．直线与底面所成角的正切值为 D．平面与底面夹角的正弦值为 【变式2】如图，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角．若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角．设平面与平面的夹角为，则 ． 【变式3】如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 ．    【变式4】在四棱锥中，底面为直角梯形，满足， 底面.点为棱的中点，点为棱的中点. (1)证明： 平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； 题型05 用向量求异面直线间的距离 【典例1】在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式1】正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】空间直角坐标系中过点的直线的一个方向向量为，则直线与轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为 . 【变式4】如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 题型06 用向量求点或直线到平面的距离 【典例1】如图，正方体的棱长为4，G，E、F分别是，AB，BC的中点，P是四边形内一动点，若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式2】已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点P到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知点在平面内，点 均在外，且，则 P 到的距离为 . 【变式4】如图，在棱长为的正方体中， 为线段的中点， 为线段的中点. (1)求点到直线的距离; (2)求直线到直线的距离; (3)求点到平面的距离; (4)求直线到平面的距离. 1．正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在直三棱柱中，为线段的中点，分别为线段与线段上的点，则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在正方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是（    ） A．直角梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰梯形 5．在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 7．已知正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，，M为内部一动点，过M分别作平面OAB，平面OBC，平面OAC的垂线，垂足分别为P，O，R． ①直线PR与直线BC是异面直线； ②为定值； ③三棱锥的外接球半径的最小值为； ④当时，平面PQR与平面OBC的夹角余弦值为． 则以上结论中所有正确结论的序号是 ． 9．在长方体中，，，点M满足，则点M到直线的距离为 . 10．如图，棱长为3的正方体中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为 ． 11．已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为 ． 12．在棱长为1的正方体中，E为BC中点，则点到平面的距离为 . 13．在空间直角坐标系中，直线l的方向向量，点在直线l上，则点到直线l的距离是 . 14．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，，，，，点M满足． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点A到平面的距离． 15．在三棱锥中，，平面平面. (1)证明：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求. 16．如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 17．如图，在四棱锥中，，，点在上，点在上，. (1)若平面，求证：为线段中点. (2)若，求直线与平面夹角的正弦值. 18．如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若为线段上靠近点的三等分点，求到平面的距离． 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 空间向量在立体几何中的应用 教学目标 1．理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 3．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 教学重难点 1.重点 法向量的求解． 2.难点 利用空间向量解决空间中的距离问题 知识点01 直线的方向向量与法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为. 【即学即练】 1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面垂直，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面垂直得到与平行，设，得到方程组，求出. 【详解】因为直线与平面垂直，故与平行； 设且，即，解得. 故选：D 2．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面内的两个不共线向量的坐标，然后根据法向量的定义验证． 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 3．已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量，利用，求得向量的坐标，进而判断选项所给向量是否与共线，即可得答案. 【详解】设平面的法向量，则， 因为，所以， 令，则，所以平面的一个法向量为． 所以平面的一个法向量的坐标为， 又，故坐标为的向量不与共线，故A错误； 又，故坐标为的向量与共线，故B正确； 又，故坐标为的向量不与共线，故C错误； 又，故坐标为的向量不与共线，故D错误. 故选：B． 4．已知平面平面，与的法向量分别为，，且，，则 . 【答案】 【分析】根据两平面平行时，法向量互相平行，结合空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为平面平面，与的法向量分别为，，所以， 所以，即，所以， 解得，所以. 故答案为： 知识点02 用向量证明空间中的平行与垂直关系 1.平行关系的证明 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2. 2.垂直关系的证明 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 【即学即练】 1．如图，在正方体中，点Q是棱上的动点，下列说法中错误的是（    ）． ①存在点Q，使得； ②存在点Q，使得； ③对于任意点Q，Q到的距离为定值； ④存在点Q，是锐角三角形． A．①③ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次判断即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，，设，其中， 所以，， 若，则存在实数使得， 则，无解，故①错误； 若，则，解得，故②正确； ，点到的距离为， 不是定值，故③错误； ，， 所以， 所以为直角三角形或钝角三角形，故④错误. 故选：D. 2．若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是 ． 【答案】平行或直线在面内 【分析】由题意可得，进而可得结论. 【详解】由，， 可得，所以， 所以直线与平面的位置关系是平行或直线在面内． 故答案为：平行或直线在面内. 3．如图所示，在正方体中，是底面的中心，是的中点，则的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. 【详解】如图，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则，，，，，， 于是，即，而点直线，所以. 故答案为：平行 4．如图，在直四棱柱中，，是的中点，是线段上不与端点重合的动点． (1)证明:． (2)若点满足，且直线平面，求的值． (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质证得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面平行的向量条件（的向量与法向量垂直）列方程求解. （3）通过线面角的向量公式求出，再求平面与平面的法向量，利用二面角的向量公式计算其余弦值. 【详解】（1）因为四棱柱为直四棱柱， 所以平面平面，且交线为． 又因为，且平面，所以平面． 因为平面，所以． 又因为为正方形，所以． 因为平面，且，所以平面． 又平面，所以． （2）以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则． 设平面的法向量为， 所以即 取，得，所以． 由题意，， 则点，所以． 因直线平面，则， 即，得． （3）设，由（2）得， 解得或（舍去）． 当时，． 设平面的法向量为． 由得 取，得，所以． 易得平面的一个法向量为． 设平面与平面所成的角为， ， 故平面与平面所成角的余弦值为． 知识点03 空间向量与空间角 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉. 2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉. 【即学即练】 1．如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】过点向线段的延长线作垂线，垂足为，因为， 所以，所以，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则， 所以，， 故选：B. 2．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选择恰当的基底，求得向量与夹角的余弦值，其绝对值即为与所成角的余弦值. 【详解】直三棱柱中，平面.又，所以两两垂直. . . 所以， . . . 所以与所成角的余弦值是. 故选：B. 3．定义：在空间直角坐标系中，经过且法向量的平面方程为，经过且方向向量的直线方程为.阅读上面材料，并解决下列问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】先求出三个平面的法向量，设两平面的交线的方向向量为，列方程组求出其坐标，利用空间向量的夹角公式即可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因平面的方程为，则其法向量可取为， 则平面的法向量为，平面的法向量为， 设这两个平面的交线的方向向量为， 由，令，则，即得， 设直线与平面所成角为， 则. 故答案为：. 4．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形，且分别在棱上，平面. (1)若是的中点，求与平面所成角的余弦值； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【详解】（1）由题意：底面是正方形；连接交于点，连接； 因为平面，平面平面平面， 所以；又是中点，故是中点； 以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系； 不妨设，则. 因是的中点，则； 故； 设平面的法向量为， 则，故可取； 记与平面所成角为， 则， 因，故. 故与平面所成角的余弦值为. （2）由（1）可知，故， ，又平面， 故平面，即平面的法向量可取为， 而平面的法向量， 记平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 知识点04 利用空间向量求点面距离 如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝. 【即学即练】 1．在长方体中，为上一点且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可得解. 【详解】 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ， 则，设平面的法向量为， 则有，即，取，则，即. 则点到平面的距离. 故选：B. 2．在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且，，不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求出侧面的平面方程，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】设正四棱锥的底面中心为，连接，则底面，. 设，的中点为，，连接，. 以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设平面的一般方程为， 则，解得， 所以平面的一般方程为，即. 所以底面中心到侧面的距离为 . 故答案为：. 3．已知点在平面内，的一个法向量为，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】利用空间中点到平面的距离公式计算即可. 【详解】，，， 所以. 故答案为： 4．如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. (1)求证： 平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行； （2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离； （3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 设平面的一个法向量为，又， ，所以 令，解得 ，所以平面的一个法向量为， 又，所以， 又平面，所以 平面. （2）由（1）知. 设平面的一个法向量为，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. （3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 又 所以， 即二面角的正弦值为. 题型01 平面法向量的概念及求解 【典例1】已知是平面的一个法向量，点，均在平面内，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由即可得解. 【详解】因为，所以. 故选:C. 【变式1】空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面的法向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】阅读材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为. 阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据给定的材料求出平面的法向量，利用另外两个平面的法向量求出它们交线的方向向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】由平面的方程为，得平面的法向量， 同理得平面的法向量，平面的法向量， 设直线l的方向向量为，由直线l是两平面的交线，得向量与向量、都垂直， 则，令，得，设直线l与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 【变式3】已知是平面的一个法向量，点，均在平面内，则 ． 【答案】 【分析】由，即可求解. 【详解】由，，得， 由题意， 解得：， 故答案为： 【变式4】已知，若平面的一个法向量为，则 ． 【答案】. 【分析】根据题意，求得向量，得到方程组，即可求解. 【详解】因为，可得， 因为平面的一个法向量为，则， 解得，所以. 故答案为：. 题型02 用向量证明空间中的平行和垂直问题 【典例1】若平面的法向量分别为，且平面，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，得，利用数量积坐标运算列式计算求解. 【详解】因为平面，所以，则，解得. 故选：B. 【变式1】如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，下列说法不正确的是（   ） A． B．若E是棱的中点，则平面截该正方体所成的截面是五边形 C．当三棱锥体积最大时，的长度为 D．当三棱锥体积最大时，二面角的正切值是 【答案】B 【分析】对A，建系由向量法证明；对B，由面面平行的性质定理确定截面形状；对C，由三棱锥的体积和的关系确定；对D，由三垂线定理得到二面角的平面角计算判断. 【详解】对于A：以C为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 所以，所以，A正确； 对于B：若为棱的中点，则为的中点，所以， 因为平面平面， 所以平面与平面交线与平面和平面的交线平行， 所以平面和平面的交线为， 所以平面截该正方体所成的截面是四边形，B错误； 对于C：因为， 所以当三棱锥体积最大时，最大， 又由可知最大时 此时分别为线段中点，，C正确； 对于D：当三棱锥体积最大时，分别为线段中点， 取中点，连接，则，连接， 由三垂线定理可知，所以是二面角的平面角， 又，所以二面角的正切值是，D正确； 故选：B. 【变式2】已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 【答案】2 【分析】由直线与平面平行得出直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用垂直向量数量积为0构造方程求解． 【详解】，是平面的一个法向量，是直线的一个方向向量， ， ，解得． 故答案为：2． 【变式3】如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为 .    【答案】 【分析】建系后分别求出，的坐标，设，即得的坐标，利用平面推得，建立的方程组，求解即得. 【详解】如图建系，因正方体的棱长为4，则， 由点在上，且，可得 由点在上，且，可得，则. 又点是平面上一点，故可设，则， 因平面，而平面，故， 即得，解得. 故点的坐标为. 故答案为：. 【变式4】棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 题型03 空间向量求异面直线夹角 【典例1】如图，在长方体中，，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出异面直线与所成角的余弦值即可. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则. 那么，所以异面直线与所成角的余弦值为 , 故选：A. 【变式1】如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，且,则异面直线与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C．0 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】四棱柱的底面为平行四边形， 因为，且 由，， ， 又由， 所以， 所以 ， 所以. 故选：A. 【变式2】已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角 ． 【答案】 【分析】将，利用向量运算得，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】如图，因为，又， 所以，又， 所以，即， 所以，化简得， 所以，所以. 所以异面直线与的夹角为. 故答案为：. 【变式3】如图，在棱长为2的正方体中，已知点E，F分别为直线BD，上的动点，给出下面四个结论：    ①异面直线，BD的角为30°；②点F到平面的距离为定值；③若F为中点，则点F到BD距离为；④的最小值为，则其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②④ 【分析】连接，，先确定即为异面直线，所成的角，求解可判断选项①；利用线面平行的判定定理证明平面，即可判断选项②；利用等面积法求解点到的距离，即可判断选项③；利用异面直线间的公垂线距离最短，建立合适的空间直角坐标系，利用异面直线间的距离公式求解，即可判断选项④． 【详解】解：①连接，，由正方体的几何性质可得， 所以异面直线，BD所成的角即为与BD所成的角即， 因为为等边三角形，所以，故选项①不正确； 因为，且不在平面内，平面， 所以平面，则直线上的点到平面的距离相等， 所以点F到平面的距离为定值，故选项②正确； 连接FD，FB，因为，，，    所以，故为直角三角形， 设点F到BD距离为d，由等面积法可得，，即，解得， 所以若F为中点，则点F到BD距离为，故选项③错误； 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 由三垂线定理可得，，， 故向量是异面直线与BD的法向量，又， 所以直线BD，公垂线的长度为， 因为异面直线间的公垂线距离最短，所以的最小值为，故选项④正确． 故答案为：②④． 【变式4】如图所示的四棱锥中，平面，， (1)证明：平面平面； (2)若，，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）． 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证得平面平面. （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法证得在平面上 （ii）利用向量法求得直线与直线所成角的余弦值． 【详解】（1）平面，平面，平面， ，． ，，且平面， 又平面，平面，平面． 平面，平面平面． （2）（i）证明：由(1)知：，，， 以为原点，直线、、方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则有：，，，，， 设，由是球心，可得， ， 解得，，，即． 故点在平面上； （ii）由（i）可得：，． 设直线和直线所成角为． ， 即直线和直线所成角的余弦值为． 题型04 空间向量求二面角 【典例1】已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的夹角公式即可求解 【详解】平面与所成角的余弦值． 故选：B 【变式1】如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论中错误的是（    ） A．直线与直线平行 B．直线与平面平行 C．直线与底面所成角的正切值为 D．平面与底面夹角的正弦值为 【答案】D 【分析】利用空间向量共线来判断线线平行，利用线向量与平面的法向量数量积为零来判断线面平行，利用空间向量法来求线面角和面面角来判断CD. 【详解】在棱长为1的正方体中， 如图，以D为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， 对A，，则， 又因为不重合，所以，故A正确； 对B，由 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，， 由，则， 因为平面， 所以直线与平面平行，故B正确； 对C，，平面的法向量为， 则， 故直线与底面ABCD所成的角的正弦值为，即， 则，故C正确； 对D，由B知平面的法向量为，， 设平面与底面ABCD的夹角， 则， ，， 所以平面与底面的夹角的正弦值为，故D错误. 故选：D 【变式2】如图，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角．若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角．设平面与平面的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 【变式3】如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 【变式4】在四棱锥中，底面为直角梯形，满足， 底面.点为棱的中点，点为棱的中点. (1)证明： 平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一，由线面平行的判定定理进行求证，方法二，由面面平行的判定定理进行求证； （2）求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式即可求解； 【详解】（1）方法一：证明：连接， 是中点，是中点， 是的中位线，故 . 又平面平面， 根据线面平行的判定定理，可得 平面. 方法二： 证明：取的中点，连接. 是中点，是中点， . 又平面平面，故 平面. 同理可证 平面. 又平面，所以平面 平面. 平面 平面. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ，. .设平面的法向量为， 则， 令，得 .设平面PCD的法向量为， 则， 令，得 设平面与平面所成的夹角为，则 故平面与平面所成夹角的余弦值为. 题型05 用向量求异面直线间的距离 【典例1】在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，进而点的坐标可以用来表示，由题可知，时, 取得最小值，利用数量积为0，即可求出，进而可知的模长. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 因为点在线段上，点在线段上， 所以设，， ，，又，， 所以，，则， 当的长度最小时，有，， 所以，即，解得， 此时，所以， 所以的长度最小值为. 故选：C. 【变式1】正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 【变式2】空间直角坐标系中过点的直线的一个方向向量为，则直线与轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明直线与轴异面，设为上一动点，且，，由关系，求点，的坐标，由此可求结论. 【详解】设为轴上的动点，设点为， 设 若点在直线上，则， 又，所以，矛盾， 所以点不在直线上， 又直线的一个方向向量为，轴的一个方向向量为， 所以直线与轴不平行，所以直线与轴异面， 设为上一动点，且， 所以点的坐标为，所以， 当，时，取最小值， 所以当，时，取最小值， 所以，时，取最小值， 所以，时，取最小值， 此时，的最小值为， 所以直线与轴之间的距离为. 故选：B. 【变式3】如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，表示出，求出同时垂直于的，再通过公式求距离即可. 【详解】 以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知， ，设同时垂直于，由，令，得， 又，则异面直线，EN间的距离为. 故答案为：. 【变式4】如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据空间向量基本定理，利用基底表示各向量，再结合向量垂直的数量积表示，可得证. （2）直线平面，直线平面，求出平面的法向量，进而求出异面直线的距离. 【详解】（1）取空间向量的一个基底，则，， 且，， ， 因此， 即，所以直线直线. （2）由（1）得，， 由和是异面直线，令直线平面，直线平面， 设是平面的法向量，则，且， 即，取，得， ， ， 异面直线与间的距离即在上投影向量的模长， 所以异面直线与间的距离为. 题型06 用向量求点或直线到平面的距离 【典例1】如图，正方体的棱长为4，G，E、F分别是，AB，BC的中点，P是四边形内一动点，若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，由直线与平面没有公共点得，代入配方求最值可得答案. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为直线与平面没有公共点，所以平面， 则，即，， 所以， 即当时，此时,取得最小值，最小值为. 故选：C. 【变式1】已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出向量，然后利用点到平面的距离公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又点在平面内，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为， 故选：B． 【变式2】已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点P到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知：，结合点到平面的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：，且平面的一个法向量， 所以点P到平面的距离. 故选：A. 【变式3】已知点在平面内，点 均在外，且，则 P 到的距离为 . 【答案】 【分析】利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】因为平面的法向量可取为，向量，所以. 故答案为： 【变式4】如图，在棱长为的正方体中， 为线段的中点， 为线段的中点. (1)求点到直线的距离; (2)求直线到直线的距离; (3)求点到平面的距离; (4)求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）建立坐标系，求出向量坐标，利用点到直线的向量公式求解即可； （2）根据平行关系，把直线间的距离转化为点到直线的距离，代入公式求解即可； （3）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式可得答案； （4）线面距转化为点面距，利用点面距的公式可求答案. 【详解】（1）以为原点， ， ，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则； ，则， ， 所以向量在直线上的投影向量的长度为. 所以点到直线的距离为. （2）直线与直线平行 ， 因此直线到直线的距离 ， 即点到直线的距离. ， 则, 所以向量在直线上的投影向量的长度为. 所以点到直线的距离为, 故直线到直线的距离为. （3），设平面的法向量， 则，取 ， 则 ， ， 所以平面的一个法向量为 . 又， 所以， 所以点到平面的距离为. （4）因为， 平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离即直线到平面的距离 . 由 ( 3 ) 可知平面的一个法向量为. 因为，所以. 所以点到平面的距离为， 故直线到平面的距离为 1．正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 2．已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为，即点， ，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 3．如图，在直三棱柱中，为线段的中点，分别为线段与线段上的点，则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后设出的坐标，根据两点距离公式列出的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值即可. 【详解】因为直三棱柱中，，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 因为点在线段上，设，， 所以，所以. 因为点在线段上，所以设，所以. 为了求其最小值，则时，， 此时， 根据二次函数的性质，由于，所以当时，取最小值为. 故选：C. 4．如图所示，在正方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是（    ） A．直角梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，根据四点共面及向量的运算可得，又因为不共线，从而可证明四边形为平行四边形. 【详解】设正方体的棱长为a，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. ∵在同一个平面内，∴， 即，解得. 所以，，即， 所以且，又因为不共线，所以四边形是平行四边形. 故选：C. 5．在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出各点坐标，利用异面直线向量夹角公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 设异面直线与所成角大小为， 则. 故选：A 6．已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接用向量的方法计算点到平面的距离可得. 【详解】由，，得. 又因为平面的一个法向量为， 所以. 所以点到平面的距离为. 故选：B 7．已知正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可求解. 【详解】由题意：以为坐标原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令得， 所以点C到平面的距离为, 故选：C. 8．如图，在三棱锥中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，，M为内部一动点，过M分别作平面OAB，平面OBC，平面OAC的垂线，垂足分别为P，O，R． ①直线PR与直线BC是异面直线； ②为定值； ③三棱锥的外接球半径的最小值为； ④当时，平面PQR与平面OBC的夹角余弦值为． 则以上结论中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】根据，即可判断②；由题意可知两两垂直，由②结合基本不等式求出三棱锥的外接球半径的最小值，即可判断③；当时，为的中心，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断④；当为的中心时，利用向量法证明，即可判断①． 【详解】对于②，设， 由题意， 即， 所以，即为定值，故②正确； 对于③，设三棱锥的外接球的半径为， 由题意可知两两垂直， ，，， 相加得：， ，， 故，即， 即，， 当且仅当时，取等号，所以的最小值为， 即的最小值为，故③正确； 对于④，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以， 此时，为的中心， 因为，所以平面， 故即为平面的一条法向量， 设平面的法向量为，则，取， 则， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为，故④正确， 由④可知，当为的中心时，， 所以， 所以直线与直线共面，故①错误． 故答案为：②③④ 9．在长方体中，，，点M满足，则点M到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】以为原点建系，利用坐标计算得出向量在上的投影向量的模长、，再利用勾股定理可得. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，得， 则向量在上的投影向量的模长为， 又，则点M到直线的距离为. 故答案为： 10．如图，棱长为3的正方体中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，此时的使得最小，据此即可求解. 【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点， 任取(不含)，此时. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系，如图， 则， 因为E，F分别为的三等分点，所以， 又点F距平面的距离为1，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 11．已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】求出，得到答案. 【详解】向量，， 则， 设异面直线所成角的大小为，则， 所以. 故答案为： 12．在棱长为1的正方体中，E为BC中点，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立坐标系，利用点面距的向量求解公式可得答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则,; 设平面的一个法向量为，则，即， 令，可得， 设点到平面的距离为，则， 故答案为：    13．在空间直角坐标系中，直线l的方向向量，点在直线l上，则点到直线l的距离是 . 【答案】/ 【分析】根据已知有，应用向量法求点线距离即可. 【详解】由题设，又点在直线l上，直线l的方向向量， 而，， 所以点到直线l的距离是. 故答案为： 14．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，，，，，点M满足． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，交于点，连接．由线段成比例得到线线平行，然后得到线面平行； （2）由空间中三条线两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到点坐标和向量坐标，由空间向量的数量积求得两个平面的法向量，由法向量的数量积求得面面角； （3）由（2）中结论求向量在平面法向量上的投影长，从而得到点到面的距离. 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接． 因为，，则，故． 又，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）∵平面，平面，平面， ∴，， 又∵，，∴ 故以为原点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 因， 而，则， 所以平面与平面的夹角为， （3）由（2）知，平面的一个法向量为， 故点到平面的距离为． 15．在三棱锥中，，平面平面. (1)证明：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）作，连接，利用三角形全等得，利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，显然平面的一个法向量，求出平面法向量，利用平面夹角的向量公式列方程求得，即可求解. 【详解】（1） 如图，作，垂足为，连接，由， 可知，故， 由，平面，平面可知平面， 由平面可知，； （2）由，平面平面，平面平面，平面可知平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系， 又，即， 故可设，则， 于是，则， 于是， 显然平面的一个法向量， 而， 记平面的法向量，则， 即，令，则， 记平面与平面的夹角为，， 即，可得， 于是或. 16．如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接，结合等边三角形性质和勾股定理，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，利用空间向量平面夹角公式列方程求得，即可得解. 【详解】（1）在图（1）中，连接，如图所示： 因为四边形为菱形，，所以是等边三角形. 因为为的中点，所以. 又，所以. 在图（2）中，，所以，即. 因为 ，所以. 又平面.所以平面. 因为平面，所以. （2）由（1）知，. 因为，平面.所以平面. 故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系： 则， 所以， ， 所以. 设平面的一个法向量为， 由，得， 令得. 平面的一个法向量可取. 令，解得， 所以存在点，使得平面与平面夹角为，此时. 17．如图，在四棱锥中，，，点在上，点在上，. (1)若平面，求证：为线段中点. (2)若，求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，由平面，利用线面平行的性质定理，证得，得到四边形为平行四边形，结合，证得为的中位线，即可证得为线段中点. （2）连接，利用勾股定理证得和，得到平面，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：过点作交于点，连接， 因为，所以，所以四点共面， 因为平面，平面，平面平面，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以为的中位线，所以为线段中点. （2）解：连接，因为，可得，所以， 又因为，，且平面，所以平面， 又由，以为原点，以所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，则， 可得 设平面的法向量为，则由， 取，可得，所以取，则， 设直线与平面的夹角为，则， 所以直线与平面夹角的正弦值为. 18．如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若为线段上靠近点的三等分点，求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证得∥，利用线面平行的判定定理，即可证得∥平面； （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.求得平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得平面与平面夹角的余弦值，由同角三角函数关系式得到其正弦值； （3）求出点的坐标，根据点到平面距离的向量求法求得到平面的距离． 【详解】（1）连接，由，，得∥. 因为，所以四边形是平行四边形. 由点，分别为，的中点，得∥，且. 由，，点为的中点，得，∥. 所以，∥.所以四边形为平行四边形，所以∥. 因为平面，平面，所以∥平面. （2）因为平面，，所以两两垂直. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系. 则. 所以. 设平面的法向量为， 则，所以. 令，则，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以. 令，则，所以平面的一个法向量为. ，所以. 平面与平面夹角的正弦值为. （3）由（2）知平面的一个法向量为. 且. 所以到平面的距离． 37 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $