第六章 图形的初步知识全章复习讲义（知识回顾+5重难点题型）-2025-2026学年浙教版七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列

第六章 图形的初步知识 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 立体图形 题型二 线段的相关概念 题型三 线段的和差倍分计算 题型四 角与角的度量 题型五 角的相关概念及计算 知识清单 知识点1认识立体图形 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 知识点2点、线、面、体 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． 知识点3.直线、射线、线段 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 知识点4.直线的性质：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．  简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 知识点5.两点间的距离 （1）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 知识点6.角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． （5）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． 知识点7.角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点8.余角与补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 知识点9.对顶角与邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 题型方法 【题型一】立体图形 【例1】（2022七年级上·浙江·专题练习）构成如图所示的图案的几何图形是（　　） A．三角形、正方形、半圆形 B．长方形、半圆形、正方形 C．三角形、半圆形、长方形 D．三角形、半圆形、长方形、正方形 【答案】D 【分析】应用平面图形的特征进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， 构成如图所示的图案的几何图形是：三角形，半圆形，长方形，正方形． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了认识平面图形，熟练掌握平面图形的特征进行求解是解决本题的关键． 【举一反三】【变式1】（21-22七年级上·浙江金华·期末）图中的蛋糕的形状类似于（   ） A．圆 B．球体 C．圆锥体 D．圆柱体 【答案】D 【分析】根据几何体的特征可知蛋糕跟圆柱的形状类似，由此即可得到答案． 【详解】解：由蛋糕的形状可知图中的蛋糕的形状类似于圆柱， 故选D 【点睛】本题主要考查了简单几何体形状，熟知圆柱的特点是解题的关键． 【变式2】（2023七年级上·浙江·专题练习）如图所示几何体中，棱柱是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的识别，根据棱柱的特点，即可求解． 【详解】解：选项A中几何体是圆柱，选项B中几何体是圆锥，选项C中几何体是三棱柱，选项D中几何体是球体． 故选：C． 【变式3】（2022七年级上·浙江·专题练习）下列几何体中，圆柱体是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据圆柱的特征：上下两个底面是完全相等的圆，侧面是一个曲面即可得出答案． 【详解】解：A．是正方体，故该选项不符合题意； B．是圆锥，故该选项不符合题意； C．是三棱锥，故该选项不符合题意； D．是圆柱体，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆柱，掌握圆柱的特征：上下两个底面是完全相等的圆，侧面是一个曲面是解题的关键． 【题型二】线段的相关概念 【例2】（23-24七年级上·浙江杭州·月考）下列说法不正确的是（　　） A．直线与直线是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．射线与射线是同一条射线 D．线段与线段是同一条线段 【答案】B 【分析】本题考查了直线，射线，线段的表示方法，熟练掌握射线的端点不同，射线不同是解题的关键． 根据直线，射线，线段的表示方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：直线与直线是同一条直线，A选项正确，不符合题意； 射线与射线是是同一条射线，故B选项错误，符合题意； 射线与射线是同一条射线，C选项正确，不符合题意； 线段与线段是同一条线段，D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，小明和小红看到建筑工人砌墙时经常先在两端立桩、拉线，然后沿着线砌出笔直的墙．小明认为依据是两点之间，线段最短；小红认为依据是两点确定一条直线，你认为 的说法正确．（填“小明”或“小红”）    【答案】小红 【分析】本题考查的是公理“两点确定一条直线”在实际生活中的运用，根据两点确定一条直线判断即可． 【详解】解：依题意，建筑工人砌墙时经常先在两端立桩、拉线，然后沿着线砌出笔直的墙，依据是两点确定一条直线，故小红的说法正确 故答案为：小红． 【变式2】（21-22七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，平面上有A、B、C、D四个点，请根据下列语句作图． (1)画直线； (2)线段与线段相交于点O； (3)射线与射线相交于点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型． （1）根据直线的定义画出图形即可． （2）根据线段的定义画出图形即可． （3）根据射线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：直线如图所示． （2）解：线段与线段相交于点，如图所示． （3）解：射线与射线相交于点，如图所示． 【变式3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知点A和直线，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作射线、线段． (2)比较大小： ，依据： ． (3)在射线上取一点D，使． 【答案】(1)见解析 (2)，两点之间线段最短 (3)见解析 【分析】本题考查直线，射线，线段作图，以及两点之间线段最短，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据射线和线段的定义作出图形，即可解题； （2）根据两点之间线段最短判断即可； （3）以为圆心，长为半径画弧，交在射线于一点，再此点为圆心，长为半径画弧，即可得到点D． 【详解】（1）解：所作射线、线段，如图所示： （2）解：，依据是：两点之间线段最短． 故答案为：，两点之间线段最短． （3）解：所取点D，如图所示： 【题型三】线段的和差倍分计算 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，延长线段至点C，使．若D恰好为线段的中点，且，则线段的长度是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义等知识点，根据线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可，熟练掌握线段中点的定义是解决此题的关键． 【详解】解：∵点D是线段中点，， ， ，， ， ， 故选：． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知点C是线段的三等分点，点D是线段的中点．若，则的长为 ．（结果用含a的代数式表示） 【答案】或/或 【分析】本题考查了线段的和差计算，解决本题的关键是分两种情况画图计算．根据点C是线段上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵点C是线段上的三等分点， ∴， ∵D是线段的中点，， ∴， ∴； 如图， ∵D是线段的中点，， ∴， ∵点C是线段上的三等分点， ∴， ∴， 则的长为或． 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知点D是线段上一点，点C是线段的中点，若，． (1)求的长；    (2)在线段上取点E，使得，取的中点F，求线段的长．    【答案】(1)1 (2)或． 【分析】本题考查了线段的和差关系以及与线段的中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点C是线段的中点，，得，故，即可作答． （2）分类讨论，当线段上时以及当在线段上时，结合线段的中点以及线段的和差关系进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵点C是线段的中点，， ∴， ∵， ∴； （2）解：依题意，∵点C是线段的中点，， ∴， 当在线段上时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴； 当在线段上时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 综上：线段的长为或． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·月考）如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 【答案】(1)4，4 (2) 【分析】本题考查列代数式、两点间的距离、线段和差，弄清线段长度之间的数量关系是解题的关键． （1）根据与的数量关系求出，从而求出，再由中点的定义求出，根据求出即可； （2）根据与的数量关系分别将用含 n的代数式表示出来，从而将用含n的代数式表示出来，进而由中点的定义分别将用含n的代数式表示出来，再根据将用含m和n的代数式表示出来即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：4，4； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别为的中点， ∴， ∵， ∴． 【题型四】角与角的度量 【例4】（23-24七年级上·浙江丽水·期末）我县某中学举行越野赛，学生于早上7点在操场集合，裁判长强调了比赛规则和安全方面的注意事项．出发时，裁判长看了手表刚好是7点分，此刻时针和分针的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有关时针分针夹角的计算，计算出时针一分钟所走的角度，再计算出两个大刻度之间的度数即可得到答案 【详解】解：由题意可得，时针一分钟走：， 4与7所组成的夹角为：， ∴时针和分针的夹角为：， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，甲从处出发向北偏东方向行至处，乙从处出发向南偏西方向行至处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方位角的计算，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．首先求得与正东方向的夹角的度数，然后结合图形，由求解即可． 【详解】解：根据题意，与正东方向的夹角的度数是， 则． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查角度的和差计算，熟练掌握角度的换算是解题的关键．根据角度差的计算方法计算即可． 【详解】 故答案为： 【变式3】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的角平分线．是的反向延长线．求： (1)射线的方向． (2)的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) 【分析】（1）先求的度数，再求得结论； （2）利用平角和角的和差关系，计算得结论． 【详解】（1）解：由图知：， ∵是的角平分线， ∴， ∴ ， ∴射线在北偏东方向上． （2）∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了方向角、角的和差关系及平角等知识．掌握方向角及角的和差关系是解决本题的关键． 【题型五】角的相关概念及计算 【例5】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知与互为余角，与互为补角，有以下三个结论：①；②；③．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．① C．③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是互余，互补的含义，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．由与互为余角，与互为补角，可得 再利用等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵ 与互为余角，与互为补角， 即，故①符合题意； ， ，故②不符合题意； ∵， ∴， ，故③符合题意； 综上分析可知：正确的有①③． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，O是直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)在内作射线，使，请你写出一对互余的角，并说明理由． 【答案】(1) (2)与互余，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，角的概念，角平分线的定义，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用平角定义可得：，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答； （2）先利用平角定义可得：，再根据已知易得：，，然后利用角的和差关系可得：，即可解答． 【详解】（1）解：， ， 平分， ； （2）与互余， 理由：， ， ， ，， ； 【变式3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）有一副三角板． (1)如图1，将边放在直线上，求的度数； (2)如图2，三角板固定不动，边仍在直线上，把三角板绕点顺时针旋转一周． ①当平分时，求的度数； ②当时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，一元一次方程，角平分线的定义，正确认识图形是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，可得到的度数； （2）①根据图2，结合角平分线，得到的度数，从而得到结果； ②根据旋转的不同位置，得到角度之间的数量关系，得到结果． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， 即； （2）解：①如图2，当未旋转到时， ， ， 平分， ， ， ； ②如图2，当旋转到，且未到的延长线时，， 设，则， ， ， 解得， ， 如图3，设，则， ， ， ， 解得， 即， 当旋转超过延长线时，不存在，故不符合题意， 综上所述，的度数为或． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法中，错误的是（    ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．两点确定一条直线 C．连接两点的线段叫做两点间的距离 D．线段和线段是同一条线段 【答案】C 【分析】此题考查了线段、直线、两点间的距离等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间的所有连线中，线段最短，故选项正确，不符合题意； B．两点确定一条直线，故选项正确，不符合题意； C．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故选项错误，符合题意； D．线段和线段是同一条线段，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．（21-22七年级上·浙江台州·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角度的运算，掌握角度的四则运算法则是解题关键．将换成，再做加法运算即可． 【详解】解：． 故选D． 3．（21-22七年级上·浙江·期末）下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“面动成体”进行判断即可． 【详解】解：如图，将四边形ABCD绕AB所在的直线旋转一周，可得选项B的几何体， 选项A、C、D中的几何体不能由一个平面图形绕着一条边旋转一周得到， 故选：B． 【点睛】本题考查点、线、面、体，掌握“点动成线，线动成面，面动成体”是解决问题的关键． 4．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点B重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板中角的计算，注意分类讨论，是解题的关键．分四种情况：当与的夹角为，且在右侧时，当与的夹角为，且在左侧时，当与的夹角为，且在右侧时，当与的夹角为，且在左侧时，分别求出三角尺②的另一条直角边与边的夹角，然后进行判断即可． 【详解】解：当与的夹角为，且在右侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在左侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在右侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在左侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 综上可知：三角尺②的另一条直角边与边的夹角可能是或或或， ∴四个选项中三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是， 故选：B． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，C点是线段的中点，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差关系以及与线段有关的中点计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据C点是线段的中点，，得，再结合，，则，，即可判断A选项和D选项；再结合线段的和差运算得，，即可判断B选项和C选项，进行作答即可． 【详解】解：∵C点是线段的中点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 故D选项是符合题意的，A选项是不符合题意的； ∵C点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故B选项是不符合题意的； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故C选项是不符合题意的； 二、填空题 6．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）比较大小： ．（填“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了角度制，将换算成，从而进行比较即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 7．（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，为了缩短A，B之间河道的长度，把弯曲的河道改直，这体现的数学道理是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，解题的关键是读懂题意，熟知两点之间，线段最短． 【详解】解：为了缩短A，B之间河道的长度，把弯曲的河道改直，这体现的数学道理是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）是的补角，是的余角，若，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了余角与补角的计算，根据余角和补角的定义求解即可. 【详解】解：∵是的补角， ∴， ∵是的余角， ∴， 故答案为： 9．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，熟练掌握六等分点的含义是解题的关键； 根据与分别是的六等分点处，得出，然后结合几何根据线段和和与差求出即可． 【详解】解：∵洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，已知，，且D是的中点．求和的长度． 【答案】， 【分析】本题考查了线段的和与差，两点间的距离，线段中点的有关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用线段差求得，再根据线段中点求得，然后利用线段的和求得． 【详解】解：，， ． 是AC的中点， ． ． 11．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，已知四点，请按要求作图，并解答． (1)画线段，并延长； (2)画直线，连接交直线于点； (3)若，是线段的中点，则的长为__________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)1 【分析】本题主要考查作图、线段中点和线段之间的关系， （1）根据定义画线段并延长即可； （2）根据直线的定义作图即可； （3）根据，结合中点求得，则即可． 【详解】（1）解：如图，线段，并延长即为所求， （2）解：如图，直线，连接交直线于点， （3）解：∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是注意数形结合． （1）根据角的倍数关系及和差关系直接解决即可； （2）根据角的和差关系先求出及，进而求出结论． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 所以． （2）解：因为，． 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 13．（24-25七年级上·浙江·期末）综合探究：探究旋转过程中角度之间的关系． 已知点O是直线上一点，．现将直角三角尺的直角顶点放在点O处，并绕着点O旋转． (1)如图1，落在直线上，若，求的度数． (2)将直角三角尺旋转至图2所示的位置，请判断和是否互补，并说明理由． (3)将直角三角尺旋转至图3所示的位置，若平分，，求的度数．（用含β的代数式表示） 【答案】(1) (2)和互补，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了余角与补角和角平分线． （1）先根据余角的定义和已知条件，求出，再根据求出答案即可； （2）先根据，，结合图形求出即可； （3）先根据，把用表示出来，再根据角平分线的定义证明，最后根据，求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：和互补，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴和互补； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 图形的初步知识 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 立体图形 题型二 线段的相关概念 题型三 线段的和差倍分计算 题型四 角与角的度量 题型五 角的相关概念及计算 知识清单 知识点1认识立体图形 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 知识点2点、线、面、体 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． 知识点3.直线、射线、线段 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 知识点4.直线的性质：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．  简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 知识点5.两点间的距离 （1）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 知识点6.角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． （5）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． 知识点7.角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点8.余角与补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 知识点9.对顶角与邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 题型方法 【题型一】立体图形 【例1】（2022七年级上·浙江·专题练习）构成如图所示的图案的几何图形是（　　） A．三角形、正方形、半圆形 B．长方形、半圆形、正方形 C．三角形、半圆形、长方形 D．三角形、半圆形、长方形、正方形 【举一反三】【变式1】（21-22七年级上·浙江金华·期末）图中的蛋糕的形状类似于（   ） A．圆 B．球体 C．圆锥体 D．圆柱体 【变式2】（2023七年级上·浙江·专题练习）如图所示几何体中，棱柱是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2022七年级上·浙江·专题练习）下列几何体中，圆柱体是（　　） A．   B．   C．   D．   【题型二】线段的相关概念 【例2】（23-24七年级上·浙江杭州·月考）下列说法不正确的是（　　） A．直线与直线是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．射线与射线是同一条射线 D．线段与线段是同一条线段 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，小明和小红看到建筑工人砌墙时经常先在两端立桩、拉线，然后沿着线砌出笔直的墙．小明认为依据是两点之间，线段最短；小红认为依据是两点确定一条直线，你认为 的说法正确．（填“小明”或“小红”）    【变式2】（21-22七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，平面上有A、B、C、D四个点，请根据下列语句作图． (1)画直线； (2)线段与线段相交于点O； (3)射线与射线相交于点P． 【变式3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知点A和直线，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作射线、线段． (2)比较大小： ，依据： ． (3)在射线上取一点D，使． 【题型三】线段的和差倍分计算 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，延长线段至点C，使．若D恰好为线段的中点，且，则线段的长度是（      ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知点C是线段的三等分点，点D是线段的中点．若，则的长为 ．（结果用含a的代数式表示） 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知点D是线段上一点，点C是线段的中点，若，． (1)求的长；    (2)在线段上取点E，使得，取的中点F，求线段的长．    【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·月考）如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 【题型四】角与角的度量 【例4】（23-24七年级上·浙江丽水·期末）我县某中学举行越野赛，学生于早上7点在操场集合，裁判长强调了比赛规则和安全方面的注意事项．出发时，裁判长看了手表刚好是7点分，此刻时针和分针的夹角为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，甲从处出发向北偏东方向行至处，乙从处出发向南偏西方向行至处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 【变式3】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的角平分线．是的反向延长线．求： (1)射线的方向． (2)的度数． 【题型五】角的相关概念及计算 【例5】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知与互为余角，与互为补角，有以下三个结论：①；②；③．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．① C．③ D．①②③ 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，O是直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)在内作射线，使，请你写出一对互余的角，并说明理由． 【变式3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）有一副三角板． (1)如图1，将边放在直线上，求的度数； (2)如图2，三角板固定不动，边仍在直线上，把三角板绕点顺时针旋转一周． ①当平分时，求的度数； ②当时，请直接写出的度数． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法中，错误的是（    ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．两点确定一条直线 C．连接两点的线段叫做两点间的距离 D．线段和线段是同一条线段 2．（21-22七年级上·浙江台州·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级上·浙江·期末）下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点B重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，C点是线段的中点，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 6．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）比较大小： ．（填“”，“”，“”） 7．（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，为了缩短A，B之间河道的长度，把弯曲的河道改直，这体现的数学道理是 ． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）是的补角，是的余角，若，则 ． 9．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 三、解答题 10．（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，已知，，且D是的中点．求和的长度． 11．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，已知四点，请按要求作图，并解答． (1)画线段，并延长； (2)画直线，连接交直线于点； (3)若，是线段的中点，则的长为__________． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 13．（24-25七年级上·浙江·期末）综合探究：探究旋转过程中角度之间的关系． 已知点O是直线上一点，．现将直角三角尺的直角顶点放在点O处，并绕着点O旋转． (1)如图1，落在直线上，若，求的度数． (2)将直角三角尺旋转至图2所示的位置，请判断和是否互补，并说明理由． (3)将直角三角尺旋转至图3所示的位置，若平分，，求的度数．（用含β的代数式表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $