第6章 平面图形的初步认识 单元测试卷 2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（苏科版2024）

第6章 平面图形的初步认识 单元测试卷 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 3．（本题3分）上午十点半，时针与分针的夹角是（   ）． A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，已知直线上顺次三个点，已知，．D是的中点，M是的中点，那么（　　）cm． A．4 B．3 C．2 D．1 6．（本题3分）如图，下列条件中，能判断的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如果∠A的两边分别垂直于∠B的两边，那么∠A和∠B的数量关系是（　　） A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补 8．（本题3分）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 9．（本题3分）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个． A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个 10．（本题3分）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（本题3分）如图，如果，那么 ． 12．（本题3分）五边形一共有 条对角线． 13．（本题3分）已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是 ． 14．（本题3分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝35°时，∠1＝ ． 15．（本题3分）如图，直线、交于点O，，是的平分线，是的平分线，，则 ．    16．（本题3分）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 17．（本题3分）已知，平分，，，则 ． 18．（本题3分）观察下列图形：若，在第个图中，可得，则按照以上规律， ． 三.解答题（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）如图，用一根吸管吸吮杯中的豆浆，图是其截面图，与平行，表示吸管，若，求的度数． 20．（本题6分）点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段． (1)如图①，若点C为线段AB的“雅点”，，则AB＝______； (2)如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．（写出必要的推理步骤） 21．（本题6分）如图1，有一张四边形ABCD纸片，，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点D，C分别与点G，H重合，FH交线段AD于点P． (1)求证：∠GEA＝∠HFB； (2)如图2，∠D＝70°，猜想当∠EFC多少度时，，并说明理由． 22．（本题8分）已知如图，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC． (1)如果∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，那么∠EOF是多少度？ (2)如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，那么∠EOF是多少度？ (3)通过（1）、（2）的计算，你发现了什么？ 23．（本题8分）作图题． (1)如图1，所有小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上，用直尺画图：过点B画，垂足为Q． (2)在图1中，线段_____的长度表示点A到的距离； (3)已知，利用直尺和圆规作图：在图2中直线的上方作射线，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 24．（本题10分）【新知理解】 点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”． （1）若点为图1中线段的“优点”，且，则__________； （2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点），则_______（填“”“ ”或“”） 【解决问题】 如图2，数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4； （3）若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，则线段的长为____________； （4）若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，则点表示的数为___________． 25．（本题10分）（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）． ①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法： ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线． （2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）． 25．（本题12分）综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点O重合，是直角，平分． 【问题发现】 (1)如图1，若，求的度数； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将直角三角尺绕点O顺时针旋转一周，旋转过程中始终平分，当与存在两倍关系时，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 平面图形的初步认识 单元测试卷 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，据此可得答案． 【详解】解：由对顶角的定义可知，只有D选项中的与是对顶角， 故选：D． 2．（本题3分）下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 【答案】D 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形的概念与分类 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立． 根据正多边形的定义即可判断A、B、D，根据多边形从一个顶点出发可以作条对角线判断C． 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意； B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D． 3．（本题3分）上午十点半，时针与分针的夹角是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角，解题关键是确定时针与分针的位置． 根据所给的时间，确定时针与分针的位置，再求角度． 【详解】解：钟面一圈为，共12个大格，每个大格为， 上午十点半，分针指向6，时针指向10与11的正中间（即10.5的位置），二者相差个大格， 其夹角为， 故选：B． 4．（本题3分）如图，，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算 【分析】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：， ， 平分， ． 故选：B 5．（本题3分）如图，已知直线上顺次三个点，已知，．D是的中点，M是的中点，那么（　　）cm． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】由，，于是得到，根据线段中点的定义由D是的中点，得到，根据线段的和差得到，于是得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴； ∵M是的中点， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了两点之间的距离，线段的和差、线段的中点的定义，利用线段差及中点性质是解题的关键． 6．（本题3分）如图，下列条件中，能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 故①选项符合题意； ∵， ∴， 故②选项不符合题意； ∵， ∴， 故③选项不符合题意； ∵，不能判定， 故④选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键． 7．（本题3分）如果∠A的两边分别垂直于∠B的两边，那么∠A和∠B的数量关系是（　　） A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补 【答案】D 【知识点】垂线的定义理解、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】由题意直接根据∠A的两边分别垂直于∠B的两边画出符合条件的图形进行判断即可. 【详解】解：BD⊥AD，CE⊥AB，如图： ∵∠A＝90°﹣∠ABD＝∠DBC， ∴∠A与∠DBC两边分别垂直，它们相等， 而∠DBE＝180°﹣∠DBC＝180°﹣∠A， ∴∠A与∠DBE两边分别垂直，它们互补， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线及角的关系，解题关键是根据已知画出符合条件的图形． 8．（本题3分）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线，外，直线在直线，之间两种情况讨论求解，熟练掌握平行线间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】如图，直线在直线，外时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 如图，直线在直线，之间时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 综上所述，与之间的距离为或， 故选：． 9．（本题3分）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个． A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个 【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】根据三条直线是否有平行线分类讨论即可． 【详解】解：当三条直线平行时，交点个数为0； 当三条直线相交于1点时，交点个数为1； 当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2； 当三条直线互相不平行时，且交点不重合时，交点个数为3； 所以，它们的交点个数有4种情形． 故选：D． 【点睛】本题考查多条直线交点问题，解题关键是根据三条直线中是否有平行线和是否交于一点进行分类讨论． 10．（本题3分）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、一元一次方程解的综合应用 【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D， ∴∠EAD=∠B， ∴AD∥BC，故①正确； ∴∠AGK=∠CKG， ∵∠CKG=∠CGK， ∴∠AGK=∠CGK， ∴GK平分∠AGC；故②正确； ∵∠FGA的余角比∠DGH大16°， ∴90°-∠FGA-∠DGH=16°， ∵∠FGA=∠DGH， ∴90°-2∠FGA=16°， ∴∠FGA=∠DGH=37°，故③正确； 设∠AGM=α，∠MGK=β， ∴∠AGK=α+β， ∵GK平分∠AGC， ∴∠CGK=∠AGK=α+β， ∵GM平分∠FGC， ∴∠FGM=∠CGM， ∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK， ∴37°+α=β+α+β， ∴β=18.5°， ∴∠MGK=18.5°，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（本题3分）如图，如果，那么 ． 【答案】/50度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能推出是解此题的关键．根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（本题3分）五边形一共有 条对角线． 【答案】5 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】由n边形的对角线有： 条，再把代入计算即可得． 【详解】解：∵边形共有条对角线， 五边形共有条对角线． 故答案为：5 【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数，掌握n边形的对角线的条数是解题的关键． 13．（本题3分）已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是 ． 【答案】或/或 【知识点】求平行线间的距离 【分析】此题考查了平行线间的距离，分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：如图1，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 如图2，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 综上所述，a与c的距离为或． 故答案为：或． 14．（本题3分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝35°时，∠1＝ ． 【答案】55° 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据平行线的性质，可以得到∠2和∠3的关系，从而可以得到∠3的度数，然后根据∠1＋∠3=90°，即可得到∠1的度数． 【详解】解：∵AB∥CD，∠2=35°， ∴∠2=∠3=35°， ∵∠1＋∠3=90°， ∴∠1=55°， 故答案为：55°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 15．（本题3分）如图，直线、交于点O，，是的平分线，是的平分线，，则 ．    【答案】 【知识点】对顶角相等、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了对顶角相等，角度的和差计算，垂直等定义，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 根据邻补角求得，根据，求得，进而求得，根据对顶角求得，根据角平分线的定义求得，根据即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵是的平分线，是的平分线， ， 又， ， 故答案为：． 16．（本题3分）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 【答案】①②③⑤⑦ 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 若，则：， ∴；故⑦正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤⑦． 17．（本题3分）已知，平分，，，则 ． 【答案】/30度 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，作于，作于， 则， 设，则，， 平分， ， 设，则， ， ，， ， ，， ，， 又， ， 解得， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 18．（本题3分）观察下列图形：若，在第个图中，可得，则按照以上规律， ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、图形类规律探索 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．分别过作直线a的平行线，由平行线的性质可得出：于是得到，，，根据规律得到结果． 【详解】解：如图，过作， 同理可得，， 如图，分别过作直线a的平行线， ∵， ∴． 由平行线的性质可得出： ∴第1个图中：， 第2个图中：， 第3个图中：， 第4个图中：， ……， ∴第n个图中：． 故答案为：． 三.解答题（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）如图，用一根吸管吸吮杯中的豆浆，图是其截面图，与平行，表示吸管，若，求的度数． 【答案】的度数是 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】先根据邻补角的定义求出与互补的角的度数，再利用平行线的性质求出的度数． 本题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ． ， ． 20．（本题6分）点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段． (1)如图①，若点C为线段AB的“雅点”，，则AB＝______； (2)如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．（写出必要的推理步骤） 【答案】(1)18 (2)或或8.5或16． 【知识点】线段的和与差 【分析】（1）由BC=2AC即可得答案； （2）点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，分种情况讨论即可． 【详解】（1）∵点C为线段AB的“雅点”，AC=6（AC＜BC）， ∴BC=2AC， ∵AC=6， ∴BC=12， ∴AB=AC+BC=18， 故答案为：18； （2）点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，分以下四种情况： ①G在线段EF上，EG=2FG，如图1： ∵EG=2FG，EG+FG=5， ∴EG=， ∵E表示的数为1， ∴G点表示的数为1+=， ②G在线段EF上，且FG=2EG，如图2： ∵FG=2EG，EG+FG=5， ∴EG=， ∵E表示的数为1， ∴G表示的数为1+=， ③G在线段EF外，且EF=2FG，如图3： ∵EF=2FG，EF=5， ∴FG=2.5， ∴G表示的数是1+5+2.5=8.5， ④G在EF外，且FG=2EF，如图4： ∵FG=2EF，EF=5， ∴FG=10， ∴G表示的数为1+5+10=16， 总上所述，G表示的数为：或或8.5或16． 【点睛】本题考查数轴相关知识，解答需要分类，解题的关键是读懂“雅点”、“雅点”伴侣线段的定义． 21．（本题6分）如图1，有一张四边形ABCD纸片，，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点D，C分别与点G，H重合，FH交线段AD于点P． (1)求证：∠GEA＝∠HFB； (2)如图2，∠D＝70°，猜想当∠EFC多少度时，，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）根据可得，进而可得，而，由等量代换可得结论； （2）由翻折前后对应角的大小不变的性质可得∠G＝∠D＝70°，当∠EFC＝35°，可得∠HFC＝70°，进而可得∠HPE＝∠HFC＝70°，又因为，可得∠GEP＝110°，由∠G＋∠GEP＝180°可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD沿EF折叠，， ∴， ∴∠GEA＝∠EPF， 又∵， ∴∠EPF＝∠HFB， ∴∠GEA＝∠HFB； （2）当∠EFC＝35°时，， ∵四边形ABCD沿EF折叠， ∴∠G＝∠D＝70°，∠HFE＝∠EFC＝35°， ∴∠HFC＝70°， 又∵， ∴∠HPE＝∠HFC＝70°， ∵， ∠GEP＝110°， ∴∠G＋∠GEP＝180°， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 22．（本题8分）已知如图，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC． (1)如果∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，那么∠EOF是多少度？ (2)如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，那么∠EOF是多少度？ (3)通过（1）、（2）的计算，你发现了什么？ 【答案】(1)35° (2) (3)∠EOF＝∠AOB 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）把∠EOC=∠AOC，∠COF=∠BOC，代入∠EOF=∠EOC-∠COF，进行计算即可； （2）利用（1）中的方法进行计算即可； （3）通过第（1）、（2）的计算，发现∠EOF=∠AOB． 【详解】（1）解：∵OE平分∠AOC， ∴∠EOC=∠AOC， ∵OF平分∠BOC， ∴∠COF=∠BOC， ∵∠EOF=∠EOC-∠COF， ∴∠EOF=∠AOC-∠BOC=（∠AOC-∠BOC）=∠AOB=×70°=35°； （2）解：∵OE平分∠AOC， ∴∠EOC=∠AOC， ∵OF平分∠BOC， ∴∠COF=∠BOC， ∵∠EOF=∠EOC-∠COF， ∴∠EOF=∠AOC-∠BOC=（∠AOC-∠BOC）=∠AOB=×α=α； （3）解：通过第（1）、（2）的计算，发现∠EOF=∠AOB． 【点睛】本题考查了角的计算与角平分线的定义．此题注意掌握数形结合思想的应用． 23．（本题8分）作图题． (1)如图1，所有小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上，用直尺画图：过点B画，垂足为Q． (2)在图1中，线段_____的长度表示点A到的距离； (3)已知，利用直尺和圆规作图：在图2中直线的上方作射线，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】画垂线、尺规作一个角等于已知角、点到直线的距离 【分析】本题主要考查了画垂线，点到直线的距离，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的画法作图即可； （2）根据点到直线的距离的定义可得答案； （3）作，则，即可得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴线段的长度表示点A到的距离， 故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求． 24．（本题10分）【新知理解】 点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”． （1）若点为图1中线段的“优点”，且，则__________； （2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点），则_______（填“”“ ”或“”） 【解决问题】 如图2，数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4； （3）若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，则线段的长为____________； （4）若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，则点表示的数为___________． 【答案】（1）9；（2）；（3）；（4）或10 【知识点】线段的和与差、数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题主要查了线段的和与差： （1）根据“优点”的定义解答，即可求解； （2）根据“优点”的定义解答，即可求解； （3）根据“优点”的定义可得，即可求解； （4）根据题意可得，再由“优点”伴侣线段的定义解答，即可求解． 【详解】解：（1）∵点为图1中线段的“优点”，且， ∴， ∴； 故答案为：9 （2）∵点也是图1中线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （3）∵点表示的数为4， ∴， ∵点在点的左侧，且，均为线段的“优点”， ∴， ∴； 故答案为： （4）∵点表示的数为1，点表示的数为4， ∴， ∵线段与互为“优点”伴侣线段， 当时，， ∴点G表示的数为， 当时，， ∴点G表示的数为10， 综上，点G表示的数为或10． 故答案为：或10 25．（本题10分）（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）． ①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法： ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线． （2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）． 【答案】（1）①见解析；②垂；（2）见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、作线段(尺规作图) 【分析】（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线； ②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线． （2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定得到结论． 【详解】（1）解：①如图2所示： ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线． 故答案为垂； （2）证明：平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式性质）， （内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定． 25．（本题12分）综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点O重合，是直角，平分． 【问题发现】 (1)如图1，若，求的度数； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将直角三角尺绕点O顺时针旋转一周，旋转过程中始终平分，当与存在两倍关系时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查角平分线的定义，平角的定义，角与角之间的和差关系； （1）由可求出，再由可求出，最后根据，即可求解； （2）由题意得，再由，即可得到结论； （3）分类讨论：将直角三角尺绕点O顺时针旋转一周，当与存在两倍关系时，分为四种情况，利用角分线的定义和平角的定义，根据角与角之间的和差关系建立方程求解即可. 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵点A，O，B在同一条直线上， ∴． （2）解：，理由如下： ∵是直角， ∴， ∴， ∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ∴， ∴． （3）解：设， ∵始终平分， ∴， 将直角三角尺绕点O顺时针旋转一周，当与存在两倍关系时，分为四种情况： ①，如图所示： ∵点A，O，B在同一条直线上，是直角， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ②，即，如图所示： ∵点A，O，B在同一条直线上，是直角， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ③，即，如图所示： ∵点A，O，B在同一条直线上，是直角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ④，如图所示： ∵点A，O，B在同一条直线上，是直角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上：当与存在两倍关系时，的度数为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $