阶段检测验收卷 四边形（综合训练）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 四边形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于(      ) A． B． C． D． 2．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．一组邻边相等的平行四边形是正方形 4．如图，是正方形的一条对角线，延长至点E，使得，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 6．如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的对角线相交于点O，以点C为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，作射线交于点H，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，对角线交于点O，且，点E为上一个动点，点P为的中点，点F为的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．如图的七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为 ． 10．如图，为菱形的一条对角线，过点C作于点E，若，则的度数为 ． 11．如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为 ． 12．如图，在正方形中，点在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为 ． 13．（2025·安徽亳州·一模）如图，矩形中，连接对角线，将沿折叠，点B落在点处，交边于点E，则：（1）的形状是 ；（2）若，则点到边的距离是 ． 三、解答题（本大题共5个小题，14题12分，15题8分，16题8分，17题10分，18题10分，共48分） 14．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点。线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中，画一个以为边且面积为12的平行四边形； (2)在图②中，画一个以为腰的锐角等腰三角形； (3)在图③中，画一个以为边且面积为8的菱形． 15．如图，平行四边形的对角线交于O，，连接． (1)求证四边形是平行四边形；(2)若点E是的中点，的面积为2，求四边形的面积． 16．如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求菱形的面积． 17．如图，在正方形中，点是对角线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交于点，连接．(1)求证：；(2)判断四边形的形状，并说明理由．(3)已知，当点恰为中点时，求的长度． 18．（1）【方法回顾】在学习三角形中位线时，探究其性质的思路如下： 第一步，添加辅助线：如图1，在中，D，E分别是，的中点，延长到点F，使得，连接； 第二步，探究与的关系：先证明，再证明四边形是平行四边形，从而得出中位线与的位置、数量关系是______；（直接写结果） （2）【问题解决】如图2，在正方形中，E为的中点，G，F分别为，边上的点，若，，，求的长； （3）【拓展研究】如图3，在四边形中，，，E为的中点，G，F分别为，边上的点．若，，，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图， 在正方形中，， 点P在上，， 将沿方向平移， 当点P位于边的中点处时，点A 的对应点到的距离为 ． 20．如图，点O是的对称中心，点E在边上，点F是的中点，连接并延长交于点G．若，则与的面积之比等于 ． 21．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B点坐标为，D为的中点，线段在边上移动，且，当四边形的周长最小时，则点M的坐标为 ． 22．如图，四边形是平行四边形，，，点在边上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，，在同一直线上，则的值为 ． 23．如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，．当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．    二、解答题（本大题共3个小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．平行四边形中，是对角线，过点B作、的垂线，垂足点E在边上，垂足点F在延长线上，，，． (1)如图1，求的面积；(2)如图2，连接，点G是的中点，求的长； (3)如图3，与交点为P，，的两边，分别与，所在直线交于点M，N，绕点B逆时针旋转，当点M从点A运动到点P时，求线段中点H的运动路径长． 25．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】（1）如图，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接、、．若点的位置恰好使得．① ；②求的长； 【探究提炼】（2）如图2，若（1）中的点是上任意一点，求的度数． 【理解应用】（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 26．（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：． （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 四边形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这个多边形为正边形．则有，解得． 又因为任意多边形的外角和为，所以．故选：A． 2．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，无法判断，故选：D． 3．下列说法正确的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．一组邻边相等的平行四边形是正方形 【答案】B 【详解】解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形，选项错误； B．三个角都是直角的四边形是矩形，选项正确； C．对角线相等的平行四边形是矩形，选项错误； D．一组邻边相等的平行四边形是菱形，选项错误．故选：B． 4．如图，是正方形的一条对角线，延长至点E，使得，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是正方形的一条对角线，∴， ∵，∴，∴，∴；故选A． 5．如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：是菱形，， ，， ，，故选：B． 6．如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过D点作轴，交轴于点，如图： 与矩形周长相等，，， 的面积是矩形面积的一半，，， 由勾股定理得：，点D的坐标为．故选：A． 7．如图，正方形的对角线相交于点O，以点C为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，作射线交于点H，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ∵正方形，∴，，， ∵由作图步骤可得平分，∴，故选项A正确，不合题意； ∴，故选项B正确，不合题意； ∵，∴， ∴，故选项D正确，不合题意；∴， ∴，， ∴，故选项C不正确，符合题意；故选：C． 8．如图，在矩形中，，对角线交于点O，且，点E为上一个动点，点P为的中点，点F为的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：取的中点M，作直线， ∵点P是的中点，∴，作点B关于直线的对称点H，连接交直线于点G，连接， ∵垂直平分，∴，，∵四边形是矩形，， ∴，，，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形， ∴，，∴，，， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴的最小值为，故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．如图的七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为 ． 【答案】/40度 【详解】解：、、、的外角的角度和为， ，， 五边形内角和，， ，故答案为：． 10．如图，为菱形的一条对角线，过点C作于点E，若，则的度数为 ． 【答案】/56度 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∵四边形为菱形，∴，∴， ∴，故答案为：． 11．如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为 ． 【答案】6 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，的周长为，，故答案为：． 12．如图，在正方形中，点在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：∵四边形为正方形，∴，， ∵为直角三角形斜边边上的中线，，∴， 由于三角形为直角三角形，由勾股定理得， ∴，故答案为：2． 13．（2025·安徽亳州·一模）如图，矩形中，连接对角线，将沿折叠，点B落在点处，交边于点E，则：（1）的形状是 ；（2）若，则点到边的距离是 ． 【答案】 等腰三角形 【详解】解：（1）由折叠的性质得， ∵四边形是矩形，∴，∴，∴， ∴，∴是等腰三角形；故答案为：等腰三角形； （2）∵四边形是矩形，∴， 由折叠的性质得，， 设，则， 在中，，即，解得：， ∴，设点到边的距离为d， ∵，∴，即点到边的距离为，故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，14题12分，15题8分，16题8分，17题10分，18题10分，共48分） 14．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点。线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中，画一个以为边且面积为12的平行四边形； (2)在图②中，画一个以为腰的锐角等腰三角形； (3)在图③中，画一个以为边且面积为8的菱形． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求作的平行四边形； ；（4分） （2）解：如图，即为所求作的三角形； （7分） （3）解：如图，菱形即为所求作的菱形． ．（12分） 15．如图，平行四边形的对角线交于O，，连接． (1)求证四边形是平行四边形；(2)若点E是的中点，的面积为2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2)8 【详解】（1）证明：为平行四边形，，． ，．∴四边形是平行四边形．（3分） （2）解：当E为中点时，的面积的面积． ，的面积的面积． ，的面积的面积， 的面积的面积．∴四边形的面积．（8分） 16．如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：∵点是的中点，∴， ∵，∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，∴，即，∴四边形是矩形；（3分） （2）∵四边形是矩形，，∴， ∵四边形是菱形，∴，，，， ∴，∴， ∴，，∴，， ∴四边形的面积为．（8分） 17．如图，在正方形中，点是对角线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交于点，连接． (1)求证：；(2)判断四边形的形状，并说明理由． (3)已知，当点恰为中点时，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)正方形，理由见解析(3) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，，． 由旋转的性质得：，． ．．即． 在和中，， ．，．（3分） （2）解：四边形为正方形，理由如下：连接． 在正方形中，，．，． 则点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆， ．．．．． ，．四边形为平行四边形． ，，四边形为正方形．（6分） （3）解：过点作，交于点，设交于点，则． ，．．． ，．． ．． ∵四边形为正方形，．． 又，． ，．． ．． 为中点，．．． ，，．．（10分） 18．（1）【方法回顾】在学习三角形中位线时，探究其性质的思路如下： 第一步，添加辅助线：如图1，在中，D，E分别是，的中点，延长到点F，使得，连接； 第二步，探究与的关系：先证明，再证明四边形是平行四边形，从而得出中位线与的位置、数量关系是______；（直接写结果） （2）【问题解决】如图2，在正方形中，E为的中点，G，F分别为，边上的点，若，，，求的长； （3）【拓展研究】如图3，在四边形中，，，E为的中点，G，F分别为，边上的点．若，，，求的长． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【详解】解：（1）∵D，E分别是和的中点，∴，， 又∵，，∴， ∴，，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，，故答案为：，．（2分） （2）延长交的延长线于点，则，， ∵是的中点，∴，∴，∴，， 又∵，∴．（6分） （3）延长至点M，使得，连接，，过点作，交的延长线于点， 同上可证，∴，， ∵，∴，∴，∴为等腰直角三角形， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴．（10分） B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图， 在正方形中，， 点P在上，， 将沿方向平移， 当点P位于边的中点处时，点A 的对应点到的距离为 ． 【答案】/ 【详解】解：设边的中点为， ∵正方形中，，∴，∵，∴， ∵将沿方向平移， 当点P位于边的中点处时， ∴平移的距离为，∴，作于点， ∵正方形，∴，∴， ∴点到的距离为，故答案为：． 20．如图，点O是的对称中心，点E在边上，点F是的中点，连接并延长交于点G．若，则与的面积之比等于 ． 【答案】 【详解】解：如图：连接， 点O是的对称中心，，， 点F是的中点，OF为的中位线， ，，，， ，，，，而， ，与的面积之比等于．故答案为． 21．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B点坐标为，D为的中点，线段在边上移动，且，当四边形的周长最小时，则点M的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：作点D关于y轴的对称点E，过点E作，截取，连接、． ∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴， ∵D是的中点，，∴，， ， 要使四边形的周长最小，只要使的值最小， ∴当A、N、F三点共线时的值最小． 设直线的解析式为：， ∵，，∴，解得，， 当时，，∴ ，∴．故答案为：． 22．如图，四边形是平行四边形，，，点在边上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，，在同一直线上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：在平行四边形中，，设，， ，，，由翻折可得，，，， 过点作于，，，， ，， 设，过作于，则，， 在直角三角形中，，， ，，， 延长、交于点，，，，， ，， ．故答案为：． 23．如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，．当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．    【答案】 / 【详解】解：当点与点重合时，由折叠的性质知垂直平分， ∴；；连接，如图所示：    当长取得最小值时，长取得最大值；由折叠的性质知垂直平分，则， ∴时，长取得最小值，此时长取得最大值， 过点D作于点G，则四边形为矩形，∴， 在直角三角形中，，∴， ∴长的最大值为；故答案为：①② 二、解答题（本大题共3个小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．平行四边形中，是对角线，过点B作、的垂线，垂足点E在边上，垂足点F在延长线上，，，． (1)如图1，求的面积；(2)如图2，连接，点G是的中点，求的长； (3)如图3，与交点为P，，的两边，分别与，所在直线交于点M，N，绕点B逆时针旋转，当点M从点A运动到点P时，求线段中点H的运动路径长． 【答案】(1)8(2)(3)中点H的运动路径长为8 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，∴，， ∵，∴， ∵，∴是等腰直角三角形， ∴，∴；（2分） （2）（2）如图，过F作的垂线，垂足为M，交于N，与的延长线交于H， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴， 由勾股定理得，，∴， 同理，也是等腰直角三角形，， ∵，，又∵，∴， ∴，，∵点G是的中点，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， 在等腰直角中，， ∴， 在直角中，，∴；（5分） （3）如图3，延长、，交于点G，取、中点S、T，连接， 当点M于点A处时，∵，∴点N与点G重合，中点H与中点S重合， 当点M运动到点P处时，∵，∴点N与点C重合，中点H与中点T重合， ∴当点M在从点A运动到点P时，点N从点G运动到点C， ∵点S是中点，点T是中点，∴为的中位线， ∴，且，同理，是的中位线， ∴，即，∴点H在上运动，∴中点H的运动路径长为的长， ∵，，∴，∵，∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∴，故中点H的运动路径长为8．（8分） 25．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】（1）如图，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接、、．若点的位置恰好使得．① ；②求的长； 【探究提炼】（2）如图2，若（1）中的点是上任意一点，求的度数． 【理解应用】（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）存在，最小值为． 【详解】解：（1）①正方形中， ∴，，， ∵，∴，∴， 由折叠可知：，∴， ∵，∴；（2分） ②由折叠可知：，，， ∴，如图，连接， ∵，，即是垂直平分线， ∴，∴，∴， ∴， ∴，∴；（4分） （2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，∴， ∵是的角平分线，，∴，， ∵，∴（），， ∴，∴， ∴，∴；（7分） （3）如图；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，∴， ∵在菱形中，是的角平分线，，∴， ∵，∴（），∴， ∴，∴， ∵，∴， 过点作于点，设，则，， ∵，即，∴， ，∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小，如图， ∵，，∴，∴， ∴，即，∴ ∴的面积存在最小值为．（10分） 26．（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：． （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【详解】（1）证明：∵四边形、为正方形， ∴，，， ∴， ∴，∴；（3分） （2）解：如图，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点， ， ∵四边形和四边形都是矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，∴， ∴，∴，∴，∴；（6分） （3）∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 又∵是直角三角形，，∴或 当时，如图，过点作的垂线交于点，则， ， ∴，设，则，∴， 设，∴， ∴，，∴， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，即，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 设，则， ∵，∴，∴，∴， ∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ∴，∴， ∴，∴，∴； 当时，四边形和四边形都是矩形，此时， 过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点， ∵四边形和四边形都是矩形，，，设， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴； ∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ∴，∴，解得， ∴，即点Q与点O重叠，此时； 综上所述，当与重叠部分的面积是的面积的时，的长为或．（12分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $