第6章 平面图形的初步认识 章节（30知识点回顾+60题型巩固）同步讲义与测试2025-2026学年苏科版数学七年级上册

该初中数学讲义通过分类梳理与结构化呈现构建平面图形知识体系，运用表格对比直线、射线、线段的区别与联系，结合图示解析角、平行线、多边形等30个知识点，清晰呈现概念内涵、性质定理及内在逻辑，突出尺规作图、动点问题等重难点。 讲义亮点在于60类题型覆盖从基础辨析到综合应用，如线段中点计算、平行线性质探究、多边形截角问题等，通过“两点之间线段最短”解决最短路径问题，培养几何直观与推理意识。基础题巩固概念，动点、作图等提升题发展空间观念，配套知识框架图辅助自主复习，教师可精准定位学生薄弱环节实施分层教学。

第6章 平面图形的初步认识 章节（30知识点回顾+60题型巩固） 目录 知识梳理 1.直线 2.射线 3.线段 4.线段的长短比较 5.用尺规作线段 6.线段的中点 7.角的概念 8.角的表示方法 9.角的度量、换算与运算 10.补角、余角 11.补角、余角的性质 12.角的比较 13.用直尺和圆规作一个角等于已知角 14.角平分线 15.方向角(拓展点) 16.对顶角 17.垂直 18.垂线的画法及基本事实 19.垂线段及点到直线的距离 20.平行线的定义 21.平行线的画法 22.平行线基本事实 23.同位角、内错角、同旁内角 24.平行线的判定 25.平行线的性质定理1 26.平行线的性质定理2 27.平行线的判定及性质的区别 28.多边形的概念及其要素等 29.多边形的对角线 30.正多边形的概念 题型巩固 一、直线、线段、射线的数量问题 二、直线、射线、线段的联系与区别 三、画出直线、射线、线段 四、点与线的位置关系 五、两点确定一条直线 六、线段的和与差 七、线段中点的有关计算 八、线段n等分点的有关计算 九、线段之间的数量关系十、与线段有关的动点问题 十一、两点之间线段最短 十二、两点间的距离 十三、最短路径问题 十四、作线段(尺规作图) 十五、角的概念理解 十六、角的表示方法 十七、画特殊角 十八、钟面角 十九、方向角的表示 二十、与方向角有关的计算题二十一、角的单位与角度制 二十二、角的度数大小比较 二十三、角的比较二十四、三角板中角度计算问题 二十五、几何图形中角度计算问题 二十六、角度的四则运算 二十七、尺规作一个角等于已知角 二十八、角平分线的有关计算 二十九、角n等分线的有关计算 三十、求一个角的余角三十一、求一个角的补角 三十二、与余角、补角有关的计算 三十三、同(等)角的余(补)角相等的应用 三十四、相交线 三十五、垂线的定义理解 三十六、画垂线 三十七、垂线段最短 三十八、点到直线的距离 三十九、对顶角相等 四十、利用邻补角互补求角度 四十一、平面内两直线的位置关系 四十二、用直尺、三角板画平行线 四十三、平行公理的应用 四十四、同位角相等两直线平行 四十五、内错角相等两直线平行 四十六、同旁内角互补两直线平行 四十七、两直线平行同位角相等 四十八、两直线平行内错角相等 四十九、两直线平行同旁内角互补 五十、根据平行线的性质探究角的关系 五十一、根据平行线的性质求角的度数 五十二、平行线的性质在生活中的应用 五十三、根据平行线判定与性质求角度 五十四、根据平行线判定与性质证明 五十五、利用平行线间距离解决问题 五十六、同位角、内错角、同旁内角 五十七、正多边形概念辨析 五十八、多边形截角后的边数问题 五十九、多边形对角线的条数问题 六十、对角线分成的三角形个数问题 知识梳理 知识点1.直线 1. 认识直线 基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线 表示方法 (1) 用直线上任意表示两个点的大写字母表示，如直线AB； (2) 用一个小写字母表示，如直线l 特征 (1)无端点；(2)向两边无限延伸；(3)不可度量 基本事实 两点确定一条直线 2. 相交直线 (1)两条直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 如图6 .2 -1①，可以说成直线a 与直线b 相交于点O. (2)两两相交：若平面内的任意一条直线都与其余直线相交，则称为两两相交，如图6.2-1②所示. 如图 6.2-1③所示的情形也称为两两相交，由此可知两两相交的直线的交点最少有1个. 知识点2.射线 1.认识射线 定义 直线上一点和它一旁的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点 表示 (1)用射线的端点和射线上另外一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)，如: 射线OA； (2)用一个小写字母表示，如: 射线l 特征 有一个端点，不可度量，可以向一个方向无限延伸 2. 射线的识别 端点情况 描述 图示 端点相同 端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如射线OA，射线OB 表示同一条射线 端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如射线AO 与射线AB 不是同一条射线 端点不同 端点不同的射线一定不是同一条射线，如射线OA，射线AB 不是同一条射线 知识点3.线段 1. 认识线段 定义 直线上两点及两点间的部分叫作线段，这两个点叫作线段的端点 表示方法 (1) 用线段的两个端点的大写字母表示，如线段AB (2)用一个小写字母表示，如线段a 特征 (1)两个端点；(2)无方向；(3)有长短 2. 直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线AB 或直线BA 或直线l 射线OA 或射线l 线段AB 或线段BA 或线段a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分；线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为直线；射线向反方向无限延伸就成为直线 3. 与线段有关的作图语言举例 (1)连接AB：画以A，B 为端点的线段； (2)延长线段AB：是指从端点A 到B 的方向延长； (3)反向延长线段AB：是指从端点A 到B 相反的方向延长，即延长线段BA. 知识点4.线段的长短比较 线段的长短比较 1 度量法：利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较. 2 叠合法：把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较. 例如，如图6.1-10，将长方形纸片折叠，使点D落在射线AB上，此时，如果点D落在线段AB上(不与点B重合)，那么线段AD的长度小于线段AB的长度，记作“AD<AB”； 如果点D落在线段端点B上(点D与点B重合)，则记作“ AD＝AB”.如果点D落在线段AB的延长线上，则记作“ AD > AB ”. 对于两条线段，其长度分别为a，b，下列三种关系中有且只有一种成立：a < b ，a＝b ，a > b . 知识点5.用尺规作线段 1. 尺规作图 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 2. 画一条线段等于已知线段a (1)方法一：利用刻度尺先量出已知线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段. (2)方法二：如图6.1-13，用直尺画射线AC，再用圆规在射线AC上截取AB＝a(这就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图). 知识点6.线段的中点 1. 概念 如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫作这条线段的中点. 几何语言：如图6.1-20，如果C是线段AB的中点，那AC＝BC＝AB或AB＝2AC＝2BC. 2. 拓展提高：等分线段 (1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫作线段的三等分点. 如图6.1-21，M，N是线段AB的三等分点，则有AM＝MN＝NB＝AB. (2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫作线段的四等分点. 如图6.1-22，M，N，P是线段AB的四等分点，则有AM＝MN＝NP＝PB＝AB. 类似地，我们还可以得到线段的五等分点，线段的六等分点等. 知识点7.角的概念 1. 角的概念 概念 示例 组成元素 “静”态的观点 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小与所画边的长短无关 “动”态的观点 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 起始位置的边叫作角的始边，终止位置的边叫作角的终边 2. 平角与周角 在射线OA绕点O旋转一周的过程中，当终止位置OB(终边)与起始位置OA(始边)成一条直线时，所成的角叫作平角，如图6.2-1；当终止位置OB(终边)与起始位置OA(始边)重合时，所成的角叫作周角，如图6.2-2. 知识点8.角的表示方法 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 图例 记法 说明 用三个大写字母表示左图的角记作∠ AOC 字母 O 表示顶点，要写在中间，A，C 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角(小于平角的角) 用一个大写字母表示左图的角记作∠O 当一个角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母来表示这个角 用数字1，2，3，…表示，或用小写希腊字母α，β，…表示 ∠ AOB 可记作∠ 1，∠ BOC 可记作∠ 2， ∠ DOC 可记作∠α 要在靠近角的顶点处加上弧线，该表示法形象直观，只方便表示单独的角，不方便表示含有角的角 如∠AOC，∠BOD，∠AOD. 注意： 角的符号应书写标准，“∠”不可与“<”混淆. 知识点9.角的度量、换算与运算 1. 角的度量单位 角的度量一般采用角度制，常用的度量单位是度、分、秒. 把一个周角360等分，每一份叫作1度的角，记作1 °； 把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1 ′； 把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1 ″. 1°＝60′，1′＝60″. 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制，除角度制外，角的度量制还有弧度制等. 2. 等角的概念 如果两个角的度数相等，那么就称这两个角相等，简称等角. 两个等角可以重合，可以重合的角也都相等. 3. 常见的角的分类 锐角：大于0°且小于90°的角. 钝角：大于90°且小于180°的角. 1直角＝ 90°，1平角＝180°，1周角＝360°. 4. 角的度量工具 量角器、经纬仪、测角器等. 我们常用量角器测量角的大小： 5. 角的和差 设有两个角∠1和∠2(∠1>∠2)，如图6.2-4 ① . 把∠2移到∠1上，使它们的顶点重合，一条边重合. (1)两角的和：当∠2在∠1的外部时，如图6.2-4 ②它们的另两边(非重合的边)所组成的角就是它们的和，记作：∠BAC＝∠1＋∠2 . (2)两角的差：当∠2在∠1的内部时，如图6.2-4 ③它们的另两边(非重合的边)所组成的角就是它们的差，记作：∠GEH＝∠1－∠2. 知识点10.补角、余角 名称 概念 示例 几何语言 补角 如果两个角的度数之和等于180 °(平角)，那么这两个角互为补角，简称互补. 其中一个角是另一个角的补角 如果∠1＋∠2＝180 °，那么∠1和∠2互补，或∠1是∠2的补角，或∠2是∠1的补角 续表： 名称 概念 示例 几何语言 余角 如果两个角的度数之和等于90°(直角)，那么这两个角互为余角，简称互余. 其中一个角是另一个角的余角 如果∠3＋∠4＝90 °， 那么∠3和∠4互余， 或∠3是∠4的余角，或∠4是∠3的余角 知识点11.补角、余角的性质 文字描述 几何语言 补角的 性质 同角的补角相等 因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，所以∠2＝∠3 等角的补角相等 因为∠1＋∠2＝180°，∠3＋ ∠4＝180°，且∠1＝∠3，所以∠2＝∠4 续表： 文字描述 几何语言 余角的性质 同角的余角相等 因为∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，所以∠ 2＝∠ 3 等角的余角相等 因为∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，所以∠2＝∠4 知识点12.角的比较 1. 角的比较方法 度量法和叠合法. (1)度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. (2)叠合法 把要比较的两个角叠合在一起，使它们的顶点和一条边分别重合，通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图6.2-9. 特别提醒：使用叠合法比较角的大小时要注意两点： (1)重合，即顶点重合，一条边重合； (2)同侧，即另一条边放在重合边的同一侧. 2. 角的大小关系 对于任意的∠α和∠β，下列三种关系中有且只有一种成立：∠α< ∠β, ∠α＝∠β，∠α> ∠β. 知识点13.用直尺和圆规作一个角等于已知角 尺规作图：如图6.2-12，已知∠AOB，作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB . 步骤 作图 ① 以点O为圆心，任意长为半径作弧， 分别交OA，OB于点C，D. ② 作射线O′A′. 以点O′ 为圆心，OC长为半径作弧PQ，交O′A′ 于点C′. 续表： 步骤 作图 ③ 以点C′为圆心，CD长为半径作弧，交弧PQ于点D′. ④ 过点O′，D′作射线O′B′.∠A′O′B′ 即为所求. 知识点14.角平分线 1. 概念 如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么，这条射线叫作这个角的平分线. 2.几何语言：如图6.2-15，如果OC是∠AOB的平分线，那么∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC.反之，如果∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，那么OC是∠AOB的平分线. 3. 拓展 角的n等分线 类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 知识点15.方向角(拓展点) 1. 方向角 一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向所成的角(一般指锐角). 如图6.2-18 ①， 图中的点O是观测点，射线OA的方向是北偏东30°；射线OB的方向是北偏西65°；射线OC的方向是南偏西25°. 2. 特殊方向角 (1)如图6.2-18 ②，东北方向表示以正北方向为起始方向，向东旋转45° 时的射线的方向，又叫北偏东45°； (2)东南方向为南偏东45°； (3)西南方向为南偏西45°； (4)西北方向为北偏西45°. 知识点16.对顶角 1. 概念 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角. 在图6 .3-1 中，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4也是对顶角. 特别提醒：对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个. 2. 性质 两直线相交，对顶角相等. 特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角； (3)符号语言：因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1＝∠2. 知识点17.垂直 1. 概念 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 通常在图上垂足交角处标上“ ∟”，表明该角为直角. 表示方法：如图6 .3-3，两条直线互相垂直，记作“a⊥b”或“CD⊥AB”，垂足是O. 符号“⊥”读作“垂直”. 直线AB是CD的垂线，直线CD也是AB的垂线. 2. 几何语言 如图6.3-3. 因为∠AOC＝90°(已知)，所以AB⊥CD(垂直的概念).反过来：因为AB⊥CD(已知)，所以∠AOC＝90°(垂直的概念). 特别提醒：直角线垂直. 知识点18.垂线的画法及基本事实 1. 垂线的画法 经过一点(已知点在直线上或直线外)画已知直线的垂线. (1)利用三角板画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤 内容 示例 一落 让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P作直线l的垂线： 二移 沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2)利用量角器画垂线； (3)利用方格纸画垂线，在方格纸中作图应根据方格纸的特征来操作. 2. 垂线的基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识点19.垂线段及点到直线的距离 1. 垂线段 (1)概念：过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫作这点到已知直线的垂线段. 如图6.3-8，过直线l外一点P作l的垂线，垂足为O，线段PO叫作点P到直线l的垂线段. (2)性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. (3)垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： ①区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线 ；垂直是两条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直的线段；②联系：垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线与已知直线垂直. 2. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离. (1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度. (2)点到直线的距离与两点间的距离的区别： 两点间的距离 点到直线的距离 定义 连接两点的线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短 垂线段最短 知识点20.平行线的定义 1. 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线. 特别提醒：平行线的三要素： (1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线. 2. 表示方法 用“∥”表示平行，如图6.4-1，AB，CD两条直线互相平行，记作“AB∥CD(a∥b)”或“CD∥AB (b∥a)”，读作“AB平行于CD(a平行于b)”或“ CD平行于AB(b平行于a)”. 知识点21.平行线的画法 1. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一放：把三角板的一边放在已知直线上； 二靠：紧靠三角板的另一边放一直尺； 三推：把三角板沿着直尺推动使其经过已知点； 四画：沿三角板的一边画直线. 此直线即为已知直线的平行线. 2. 示意图(如图6.4-3) 知识点22.平行线基本事实 1. 平行线基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 如图6.4-7，经过直线l外一点A画直线l的平行线，能且只能画出一条. 特别提醒：平行线基本事实的前提是经过直线外一点，若点在直线上，则不可能有平行线. 知识点23.同位角、内错角、同旁内角 1. 概念 如图6.4-9，两条直线a，b被第三条直线c所截，形成八个角. 具有∠1和∠2这种位置关系 的一对角叫作同位角. 在图6.4-9中，∠3和∠4，∠5和∠6，∠7和∠8分别是同位角. 如图6.4-9，具有∠4和∠5这种位置关系的一对角叫作内错角，具有∠2和∠5这种位置关系的一对角叫作同旁内角. 在图6.4-9中，∠2和∠7是内错角，∠4和∠7是同旁内角. 2. 特别提醒 (1)同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，具体特征如下表： 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，在两条被截直线同一方向 形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 内错角 在截线两侧，在两条被截直线之间 形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同旁内角 在截线同侧，在两条被截直线之间 形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) (2)两条直线被第三条直线所截，得到八个角(简称“三线八角”)，在“三线八角” 中有4 对同位角，2 对内错角，2 对同旁内角. 知识点24.平行线的判定 1. 平行线的判定方法 判定条件 示例 符号语言 联系 方 法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行 如果∠1＝∠2， 那么a∥b 方 法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行 如果∠1＝∠2， 那么a∥b 方 法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 如果∠1＋∠2＝180°，那么a∥b 联系 从平行线基本事实2(方法1) 出发，通过说理得到平行线的判定定理(方法2，3) 2. 判定两条直线平行时的注意事项 (1)构成同位角(或内错角或同旁内角)的两条直线不一定平行，只有形成的一对同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补)，这两条直线才平行. (2)除了可以利用两直线平行的三个判定方法来判定平行线，还可以利用平行线的定义、平行线的传递性(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行) 来判定. 知识点25.平行线的性质定理1 1. 两直线平行，同位角相等 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 2. 几何语言：如图6.4-13， 如果a∥b(已知)，那么∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等). 知识点26.平行线的性质定理2 1. 两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 几何语言：如图6.4-15，如果a∥b(已知)，那么∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等）. 2. 两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 几何语言：如图6.4-16， 如果a∥b(已知)，那么∠1＋∠2＝180 °(两直线平行，同旁内角互补). 知识点27.平行线的判定及性质的区别 名称 条件 结论 区别 判定 同位角相等 两直线平行 角的数量关系 ↓ 直线的位置关系 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 性质 两直线平行 同位角相等 直线的位置关系 ↓ 角的数量关系 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 知识点28.多边形的概念及其要素等 1. 多边形的概念 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形，这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点. 2. 多边形的分类及表示方法 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等. 图6.5 -1中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF，三角形ABC可以记作“△ABC”. 3. 多边形的内角、外角 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角. 知识储备 类比三角形、四边形可知，n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角． 多边形的外角与相邻的内角互为补角. 如图6.5 -2，∠A，∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD＋∠DCE＝180° 知识点29.多边形的对角线 1. 概念 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，图6.5 -6 中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线. 2. n边形的分割 从多边形一个顶点出发，沿对角线，将其分割成三 角形. 由图6.5 -7可知，从n(n ≥ 3)边形的一个顶点可以作出(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形. 知识点30.正多边形的概念 1. 概念 和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形. 2. 注意：判断一个多边形是不是正多边形, 各边都相等, 各角都相等，两个条件必须同时具备. 如图6 .5 -8，这两个多边形都不是正多边形，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等. 题型巩固 题型一、直线、线段、射线的数量问题 1．（25-26七年级上·江苏南通·月考）往返，两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（  ） A．12种 B．5种 C．6种 D．7种 题型二、直线、射线、线段的联系与区别 2．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）如图，对于直线，线段，射线，其中能相交的是（   ） A． B． C． D． 题型三、画出直线、射线、线段 3．下列几何图形与相应语言描述相符的有（    ） ①如图1，直线相交于点；②如图2，直线与线段没有公共点；③如图3，延长线段；④如图4，直线经过点．       图1                        图2                               图3                            图4 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四、点与线的位置关系 4．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（    ）    A．点P在直线外 B．点C在直线外 C．直线不经过点M D．直线经过点B 题型五、两点确定一条直线 5．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（    ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．点动成线 题型六、线段的和与差 6．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，点C、D为线段AB上两点，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 题型七、线段中点的有关计算 7．（25-26七年级上·江苏淮安·月考） 如图，C是线段的中点． (1)若点D 在线段上，，求线段的长度； (2)若将（1）中的“点D 在线段 上”改为“点D 在线段的延长线上”，其它条件不变，则此时线段 的长度为 ． 题型八、线段n等分点的有关计算 8．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，已知，则线段的长度为（    ） A．3 B．6 C．4 D．8 题型九、线段之间的数量关系 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，小明家客厅的电视背景墙是长方形，长方形的电视机（阴影部分）的长与宽的比为．若用166个面积相等的小正方形装饰板恰好无缝隙地填满电视机与电视背景墙之间的空白，则电视背景墙的两边之比的值为 ． 题型十、与线段有关的动点问题 10．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 题型十一、两点之间线段最短 11．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，用剪刀沿虚线将一片平整的圆形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的基本事实是 ． 题型十二、两点间的距离 12．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）如图①，点A，B，C在直线l上，，，M，N分别是，的中点，请补充完整图形，并求出的长． 题型十三、最短路径问题 13．（22-23七年级上·江苏·月考）如图，一只蚂蚁从“A”处爬到“B”处（只能向上、向右爬行），爬行路线共有（　　） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 题型十四、作线段(尺规作图) 14．（25-26七年级上·江苏常州·月考）如图，平面上有三个点A，B，C． (1)根据下列语句画图；作出射线，直线； (2)在直线上取点D，使（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)在（1）（2）的条件下，回答下列问题： 若，则______． 题型十五、角的概念理解 15．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．直线是一个平角 B．周角是一条射线 C．角的两边是射线 D．角的两边是直线 题型十六、角的表示方法 16．（23-24七年级上·江苏无锡·月考）如图，能用三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B．   C．   D．   题型十七、画特殊角 17．（23-24七年级上·江苏常州·期末）观察下列图形，利用格点画图（每个方格边长为一个单位）：    (1)画线段； (2)在线段上方画，在射线 AE 上取三个单位长的； (3)取的中点O，连接并延长到点D，使； (4)连接； (5)请你写出在你所画图中相等的线段（除外） 题型十八、钟面角 18．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）钟面上4 点整时，时针与分针的夹角为（　） A． B． C． D． 题型十九、方向角的表示 19．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）指南针是野外生存的必备工具之一，若指南针上的定向箭头指向南偏东（如图），现把定向箭头绕着点O按顺时针方向旋转，此时定向箭头的指向是（    ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏东 题型二十、与方向角有关的计算题 20．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，A地是海上观测站，某一时刻，从A地发现它的北偏西方向上有一艘船B，若同时，在A地的南偏西方向上有一艘船C，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型二十一、角的单位与角度制 21．（25-26七年级上·江苏常州·月考）把化成度分的形式为 ；把 化成度的形式为 ． 题型二十二、角的度数大小比较 22．（23-24七年级上·江苏南京·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 题型二十三、角的比较 23．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 题型二十四、三角板中角度计算问题 24．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，将一副三角板重叠放在一起，，直角顶点重合于点O．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 题型二十五、几何图形中角度计算问题 25．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）若，，则 ． 题型二十六、角度的四则运算 26．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 题型二十七、尺规作一个角等于已知角 27．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，已知和．用直尺和圆规作角，使其大小为 ，（要求：不写画法，但要保留作图痕迹，在框内作图） 题型二十八、角平分线的有关计算 28．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知，，平分，且，则 ．（用含的式子表示） 题型二十九、角n等分线的有关计算 29．类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线， (1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数； (2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线． 题型三十、求一个角的余角 30．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）已知与互为余角，若，则等于 ． 题型三十一、求一个角的补角 31．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型三十二、与余角、补角有关的计算 32．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）一个锐角的余角加上，就等于（   ） A．这个锐角的两倍 B．这个锐角的余角 C．这个锐角的补角 D．这个锐角加上 题型三十三、同(等)角的余(补)角相等的应用 33．（25-26七年级上·江苏常州·月考）若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 题型三十四、相交线 34．（23-24七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 题型三十五、垂线的定义理解 35．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，，直线过点B，且平分，则的度数为 ． 题型三十六、画垂线 36．如图，A、B、C是网格图中的三点． （1）画线段AB、射线AC、直线BC； （2）过点C画AB的垂线段CE； （3）ABC的面积为　 　． 题型三十七、垂线段最短 37．（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 题型三十八、点到直线的距离 38．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型三十九、对顶角相等 39．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，，则 ． 题型四十、利用邻补角互补求角度 40．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 题型四十一、平面内两直线的位置关系 41．如图，在长方体中，与线段平行的线段有 ． 题型四十二、用直尺、三角板画平行线 42．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，均在格点上． (1)过点C画的平行线； (2)过点A画的垂线，垂足为G； (3)过点A画的垂线，交于点H； (4)线段______的长度是点H到直线的距离． 题型四十三、平行公理的应用 43．（2023七年级上·江苏·专题练习）如果，那么 ． 题型四十四、同位角相等两直线平行 44．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 题型四十五、内错角相等两直线平行 45．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 题型四十六、同旁内角互补两直线平行 46．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，点A、B、C、D在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位1． (1)仅用无刻度的直尺完成下列画图． ①过点B画直线平行线交直线于点E； ②过点A画直线的垂线，垂足为点F； ③在直线上求作一点P，使点P到B、D两点的距离之和最小． (2)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：____________． 题型四十七、两直线平行同位角相等 47．（24-25七年级上·江苏南京·月考）对于下列四个说法： ①连接两点的线段叫做两点之间的距离； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两个相等的角是对顶角； ④同位角相等．其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型四十八、两直线平行内错角相等 48．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则 ． 题型四十九、两直线平行同旁内角互补 49．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）（1）如图1，点、、都在正方形网格的格点上，按下列要求仅用直尺画图，保留必要的辅助线，并标出相应的字母： ①过点画直线； ②在上画点，使的长度最小． （2）如图2，已知，点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 题型五十、根据平行线的性质探究角的关系 50．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，，请在下列选项中①平分，②平分，③，选择两个作为条件，另一个作为探索的结果，并说明理由． 我选的是_______为条件，选_______为探索结果（填序号） 题型五十一、根据平行线的性质求角的度数 51．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型五十二、平行线的性质在生活中的应用 52．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是 ． 题型五十三、根据平行线判定与性质求角度 53．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)探索与的数量关系，并说明理由． 题型五十四、根据平行线判定与性质证明 54．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，于点D，于点G，．试说明平分． 下面是部分推理过程，请你将其补充完整： 因为， 所以 （ ） 所以（ ） 所以（ ） （ ） 又因为（已知） 所以 所以平分（ ） 题型五十五、利用平行线间距离解决问题 55．（24-25七年级上·江苏镇江·月考）如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    题型五十六、同位角、内错角、同旁内角 56．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知直线，直线分别交于点G，平分平分． (1)图中的与是同位角吗？ (2)与有怎样的数量关系？为什么？ (3)与有怎样的位置关系？为什么？ 题型五十七、正多边形概念辨析 57．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 题型五十八、多边形截角后的边数问题 58．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型五十九、多边形对角线的条数问题 59．（24-25七年级上·江苏南京·期末）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型六十、对角线分成的三角形个数问题 60．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成8个三角形，则n的值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 平面图形的初步认识 章节（30知识点回顾+60题型巩固） 目录 知识梳理 1.直线 2.射线 3.线段 4.线段的长短比较 5.用尺规作线段 6.线段的中点 7.角的概念 8.角的表示方法 9.角的度量、换算与运算 10.补角、余角 11.补角、余角的性质 12.角的比较 13.用直尺和圆规作一个角等于已知角 14.角平分线 15.方向角(拓展点) 16.对顶角 17.垂直 18.垂线的画法及基本事实 19.垂线段及点到直线的距离 20.平行线的定义 21.平行线的画法 22.平行线基本事实 23.同位角、内错角、同旁内角 24.平行线的判定 25.平行线的性质定理1 26.平行线的性质定理2 27.平行线的判定及性质的区别 28.多边形的概念及其要素等 29.多边形的对角线 30.正多边形的概念 题型巩固 一、直线、线段、射线的数量问题 二、直线、射线、线段的联系与区别 三、画出直线、射线、线段 四、点与线的位置关系 五、两点确定一条直线 六、线段的和与差 七、线段中点的有关计算 八、线段n等分点的有关计算 九、线段之间的数量关系十、与线段有关的动点问题 十一、两点之间线段最短 十二、两点间的距离 十三、最短路径问题 十四、作线段(尺规作图) 十五、角的概念理解 十六、角的表示方法 十七、画特殊角 十八、钟面角 十九、方向角的表示 二十、与方向角有关的计算题二十一、角的单位与角度制 二十二、角的度数大小比较 二十三、角的比较二十四、三角板中角度计算问题 二十五、几何图形中角度计算问题 二十六、角度的四则运算 二十七、尺规作一个角等于已知角 二十八、角平分线的有关计算 二十九、角n等分线的有关计算 三十、求一个角的余角三十一、求一个角的补角 三十二、与余角、补角有关的计算 三十三、同(等)角的余(补)角相等的应用 三十四、相交线 三十五、垂线的定义理解 三十六、画垂线 三十七、垂线段最短 三十八、点到直线的距离 三十九、对顶角相等 四十、利用邻补角互补求角度 四十一、平面内两直线的位置关系 四十二、用直尺、三角板画平行线 四十三、平行公理的应用 四十四、同位角相等两直线平行 四十五、内错角相等两直线平行 四十六、同旁内角互补两直线平行 四十七、两直线平行同位角相等 四十八、两直线平行内错角相等 四十九、两直线平行同旁内角互补 五十、根据平行线的性质探究角的关系 五十一、根据平行线的性质求角的度数 五十二、平行线的性质在生活中的应用 五十三、根据平行线判定与性质求角度 五十四、根据平行线判定与性质证明 五十五、利用平行线间距离解决问题 五十六、同位角、内错角、同旁内角 五十七、正多边形概念辨析 五十八、多边形截角后的边数问题 五十九、多边形对角线的条数问题 六十、对角线分成的三角形个数问题 知识梳理 知识点1.直线 1. 认识直线 基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线 表示方法 (1) 用直线上任意表示两个点的大写字母表示，如直线AB； (2) 用一个小写字母表示，如直线l 特征 (1)无端点；(2)向两边无限延伸；(3)不可度量 基本事实 两点确定一条直线 2. 相交直线 (1)两条直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 如图6 .2 -1①，可以说成直线a 与直线b 相交于点O. (2)两两相交：若平面内的任意一条直线都与其余直线相交，则称为两两相交，如图6.2-1②所示. 如图 6.2-1③所示的情形也称为两两相交，由此可知两两相交的直线的交点最少有1个. 知识点2.射线 1.认识射线 定义 直线上一点和它一旁的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点 表示 (1)用射线的端点和射线上另外一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)，如: 射线OA； (2)用一个小写字母表示，如: 射线l 特征 有一个端点，不可度量，可以向一个方向无限延伸 2. 射线的识别 端点情况 描述 图示 端点相同 端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如射线OA，射线OB 表示同一条射线 端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如射线AO 与射线AB 不是同一条射线 端点不同 端点不同的射线一定不是同一条射线，如射线OA，射线AB 不是同一条射线 知识点3.线段 1. 认识线段 定义 直线上两点及两点间的部分叫作线段，这两个点叫作线段的端点 表示方法 (1) 用线段的两个端点的大写字母表示，如线段AB (2)用一个小写字母表示，如线段a 特征 (1)两个端点；(2)无方向；(3)有长短 2. 直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线AB 或直线BA 或直线l 射线OA 或射线l 线段AB 或线段BA 或线段a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分；线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为直线；射线向反方向无限延伸就成为直线 3. 与线段有关的作图语言举例 (1)连接AB：画以A，B 为端点的线段； (2)延长线段AB：是指从端点A 到B 的方向延长； (3)反向延长线段AB：是指从端点A 到B 相反的方向延长，即延长线段BA. 知识点4.线段的长短比较 线段的长短比较 1 度量法：利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较. 2 叠合法：把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较. 例如，如图6.1-10，将长方形纸片折叠，使点D落在射线AB上，此时，如果点D落在线段AB上(不与点B重合)，那么线段AD的长度小于线段AB的长度，记作“AD<AB”； 如果点D落在线段端点B上(点D与点B重合)，则记作“ AD＝AB”.如果点D落在线段AB的延长线上，则记作“ AD > AB ”. 对于两条线段，其长度分别为a，b，下列三种关系中有且只有一种成立：a < b ，a＝b ，a > b . 知识点5.用尺规作线段 1. 尺规作图 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 2. 画一条线段等于已知线段a (1)方法一：利用刻度尺先量出已知线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段. (2)方法二：如图6.1-13，用直尺画射线AC，再用圆规在射线AC上截取AB＝a(这就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图). 知识点6.线段的中点 1. 概念 如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫作这条线段的中点. 几何语言：如图6.1-20，如果C是线段AB的中点，那AC＝BC＝AB或AB＝2AC＝2BC. 2. 拓展提高：等分线段 (1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫作线段的三等分点. 如图6.1-21，M，N是线段AB的三等分点，则有AM＝MN＝NB＝AB. (2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫作线段的四等分点. 如图6.1-22，M，N，P是线段AB的四等分点，则有AM＝MN＝NP＝PB＝AB. 类似地，我们还可以得到线段的五等分点，线段的六等分点等. 知识点7.角的概念 1. 角的概念 概念 示例 组成元素 “静”态的观点 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小与所画边的长短无关 “动”态的观点 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 起始位置的边叫作角的始边，终止位置的边叫作角的终边 2. 平角与周角 在射线OA绕点O旋转一周的过程中，当终止位置OB(终边)与起始位置OA(始边)成一条直线时，所成的角叫作平角，如图6.2-1；当终止位置OB(终边)与起始位置OA(始边)重合时，所成的角叫作周角，如图6.2-2. 知识点8.角的表示方法 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 图例 记法 说明 用三个大写字母表示左图的角记作∠ AOC 字母 O 表示顶点，要写在中间，A，C 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角(小于平角的角) 用一个大写字母表示左图的角记作∠O 当一个角的顶点处只有一个角时，可用这个顶点字母来表示这个角 用数字1，2，3，…表示，或用小写希腊字母α，β，…表示 ∠ AOB 可记作∠ 1，∠ BOC 可记作∠ 2， ∠ DOC 可记作∠α 要在靠近角的顶点处加上弧线，该表示法形象直观，只方便表示单独的角，不方便表示含有角的角 如∠AOC，∠BOD，∠AOD. 注意： 角的符号应书写标准，“∠”不可与“<”混淆. 知识点9.角的度量、换算与运算 1. 角的度量单位 角的度量一般采用角度制，常用的度量单位是度、分、秒. 把一个周角360等分，每一份叫作1度的角，记作1 °； 把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1 ′； 把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1 ″. 1°＝60′，1′＝60″. 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制，除角度制外，角的度量制还有弧度制等. 2. 等角的概念 如果两个角的度数相等，那么就称这两个角相等，简称等角. 两个等角可以重合，可以重合的角也都相等. 3. 常见的角的分类 锐角：大于0°且小于90°的角. 钝角：大于90°且小于180°的角. 1直角＝ 90°，1平角＝180°，1周角＝360°. 4. 角的度量工具 量角器、经纬仪、测角器等. 我们常用量角器测量角的大小： 5. 角的和差 设有两个角∠1和∠2(∠1>∠2)，如图6.2-4 ① . 把∠2移到∠1上，使它们的顶点重合，一条边重合. (1)两角的和：当∠2在∠1的外部时，如图6.2-4 ②它们的另两边(非重合的边)所组成的角就是它们的和，记作：∠BAC＝∠1＋∠2 . (2)两角的差：当∠2在∠1的内部时，如图6.2-4 ③它们的另两边(非重合的边)所组成的角就是它们的差，记作：∠GEH＝∠1－∠2. 知识点10.补角、余角 名称 概念 示例 几何语言 补角 如果两个角的度数之和等于180 °(平角)，那么这两个角互为补角，简称互补. 其中一个角是另一个角的补角 如果∠1＋∠2＝180 °，那么∠1和∠2互补，或∠1是∠2的补角，或∠2是∠1的补角 续表： 名称 概念 示例 几何语言 余角 如果两个角的度数之和等于90°(直角)，那么这两个角互为余角，简称互余. 其中一个角是另一个角的余角 如果∠3＋∠4＝90 °， 那么∠3和∠4互余， 或∠3是∠4的余角，或∠4是∠3的余角 知识点11.补角、余角的性质 文字描述 几何语言 补角的 性质 同角的补角相等 因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，所以∠2＝∠3 等角的补角相等 因为∠1＋∠2＝180°，∠3＋ ∠4＝180°，且∠1＝∠3，所以∠2＝∠4 续表： 文字描述 几何语言 余角的性质 同角的余角相等 因为∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，所以∠ 2＝∠ 3 等角的余角相等 因为∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，所以∠2＝∠4 知识点12.角的比较 1. 角的比较方法 度量法和叠合法. (1)度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. (2)叠合法 把要比较的两个角叠合在一起，使它们的顶点和一条边分别重合，通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图6.2-9. 特别提醒：使用叠合法比较角的大小时要注意两点： (1)重合，即顶点重合，一条边重合； (2)同侧，即另一条边放在重合边的同一侧. 2. 角的大小关系 对于任意的∠α和∠β，下列三种关系中有且只有一种成立：∠α< ∠β, ∠α＝∠β，∠α> ∠β. 知识点13.用直尺和圆规作一个角等于已知角 尺规作图：如图6.2-12，已知∠AOB，作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB . 步骤 作图 ① 以点O为圆心，任意长为半径作弧， 分别交OA，OB于点C，D. ② 作射线O′A′. 以点O′ 为圆心，OC长为半径作弧PQ，交O′A′ 于点C′. 续表： 步骤 作图 ③ 以点C′为圆心，CD长为半径作弧，交弧PQ于点D′. ④ 过点O′，D′作射线O′B′.∠A′O′B′ 即为所求. 知识点14.角平分线 1. 概念 如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么，这条射线叫作这个角的平分线. 2.几何语言：如图6.2-15，如果OC是∠AOB的平分线，那么∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC.反之，如果∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，那么OC是∠AOB的平分线. 3. 拓展 角的n等分线 类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 知识点15.方向角(拓展点) 1. 方向角 一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向所成的角(一般指锐角). 如图6.2-18 ①， 图中的点O是观测点，射线OA的方向是北偏东30°；射线OB的方向是北偏西65°；射线OC的方向是南偏西25°. 2. 特殊方向角 (1)如图6.2-18 ②，东北方向表示以正北方向为起始方向，向东旋转45° 时的射线的方向，又叫北偏东45°； (2)东南方向为南偏东45°； (3)西南方向为南偏西45°； (4)西北方向为北偏西45°. 知识点16.对顶角 1. 概念 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角. 在图6 .3-1 中，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4也是对顶角. 特别提醒：对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个. 2. 性质 两直线相交，对顶角相等. 特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角； (3)符号语言：因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1＝∠2. 知识点17.垂直 1. 概念 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 通常在图上垂足交角处标上“ ∟”，表明该角为直角. 表示方法：如图6 .3-3，两条直线互相垂直，记作“a⊥b”或“CD⊥AB”，垂足是O. 符号“⊥”读作“垂直”. 直线AB是CD的垂线，直线CD也是AB的垂线. 2. 几何语言 如图6.3-3. 因为∠AOC＝90°(已知)，所以AB⊥CD(垂直的概念).反过来：因为AB⊥CD(已知)，所以∠AOC＝90°(垂直的概念). 特别提醒：直角线垂直. 知识点18.垂线的画法及基本事实 1. 垂线的画法 经过一点(已知点在直线上或直线外)画已知直线的垂线. (1)利用三角板画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤 内容 示例 一落 让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P作直线l的垂线： 二移 沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2)利用量角器画垂线； (3)利用方格纸画垂线，在方格纸中作图应根据方格纸的特征来操作. 2. 垂线的基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识点19.垂线段及点到直线的距离 1. 垂线段 (1)概念：过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫作这点到已知直线的垂线段. 如图6.3-8，过直线l外一点P作l的垂线，垂足为O，线段PO叫作点P到直线l的垂线段. (2)性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. (3)垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： ①区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线 ；垂直是两条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直的线段；②联系：垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线与已知直线垂直. 2. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离. (1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度. (2)点到直线的距离与两点间的距离的区别： 两点间的距离 点到直线的距离 定义 连接两点的线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短 垂线段最短 知识点20.平行线的定义 1. 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线. 特别提醒：平行线的三要素： (1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线. 2. 表示方法 用“∥”表示平行，如图6.4-1，AB，CD两条直线互相平行，记作“AB∥CD(a∥b)”或“CD∥AB (b∥a)”，读作“AB平行于CD(a平行于b)”或“ CD平行于AB(b平行于a)”. 知识点21.平行线的画法 1. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一放：把三角板的一边放在已知直线上； 二靠：紧靠三角板的另一边放一直尺； 三推：把三角板沿着直尺推动使其经过已知点； 四画：沿三角板的一边画直线. 此直线即为已知直线的平行线. 2. 示意图(如图6.4-3) 知识点22.平行线基本事实 1. 平行线基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 如图6.4-7，经过直线l外一点A画直线l的平行线，能且只能画出一条. 特别提醒：平行线基本事实的前提是经过直线外一点，若点在直线上，则不可能有平行线. 知识点23.同位角、内错角、同旁内角 1. 概念 如图6.4-9，两条直线a，b被第三条直线c所截，形成八个角. 具有∠1和∠2这种位置关系 的一对角叫作同位角. 在图6.4-9中，∠3和∠4，∠5和∠6，∠7和∠8分别是同位角. 如图6.4-9，具有∠4和∠5这种位置关系的一对角叫作内错角，具有∠2和∠5这种位置关系的一对角叫作同旁内角. 在图6.4-9中，∠2和∠7是内错角，∠4和∠7是同旁内角. 2. 特别提醒 (1)同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，具体特征如下表： 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，在两条被截直线同一方向 形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 内错角 在截线两侧，在两条被截直线之间 形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同旁内角 在截线同侧，在两条被截直线之间 形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) (2)两条直线被第三条直线所截，得到八个角(简称“三线八角”)，在“三线八角” 中有4 对同位角，2 对内错角，2 对同旁内角. 知识点24.平行线的判定 1. 平行线的判定方法 判定条件 示例 符号语言 联系 方 法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行 如果∠1＝∠2， 那么a∥b 方 法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行 如果∠1＝∠2， 那么a∥b 方 法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 如果∠1＋∠2＝180°，那么a∥b 联系 从平行线基本事实2(方法1) 出发，通过说理得到平行线的判定定理(方法2，3) 2. 判定两条直线平行时的注意事项 (1)构成同位角(或内错角或同旁内角)的两条直线不一定平行，只有形成的一对同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补)，这两条直线才平行. (2)除了可以利用两直线平行的三个判定方法来判定平行线，还可以利用平行线的定义、平行线的传递性(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行) 来判定. 知识点25.平行线的性质定理1 1. 两直线平行，同位角相等 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 2. 几何语言：如图6.4-13， 如果a∥b(已知)，那么∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等). 知识点26.平行线的性质定理2 1. 两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 几何语言：如图6.4-15，如果a∥b(已知)，那么∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等）. 2. 两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 几何语言：如图6.4-16， 如果a∥b(已知)，那么∠1＋∠2＝180 °(两直线平行，同旁内角互补). 知识点27.平行线的判定及性质的区别 名称 条件 结论 区别 判定 同位角相等 两直线平行 角的数量关系 ↓ 直线的位置关系 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 性质 两直线平行 同位角相等 直线的位置关系 ↓ 角的数量关系 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 知识点28.多边形的概念及其要素等 1. 多边形的概念 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形，这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点. 2. 多边形的分类及表示方法 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等. 图6.5 -1中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF，三角形ABC可以记作“△ABC”. 3. 多边形的内角、外角 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角. 知识储备 类比三角形、四边形可知，n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角． 多边形的外角与相邻的内角互为补角. 如图6.5 -2，∠A，∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD＋∠DCE＝180° 知识点29.多边形的对角线 1. 概念 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，图6.5 -6 中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线. 2. n边形的分割 从多边形一个顶点出发，沿对角线，将其分割成三 角形. 由图6.5 -7可知，从n(n ≥ 3)边形的一个顶点可以作出(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形. 知识点30.正多边形的概念 1. 概念 和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形. 2. 注意：判断一个多边形是不是正多边形, 各边都相等, 各角都相等，两个条件必须同时具备. 如图6 .5 -8，这两个多边形都不是正多边形，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等. 题型巩固 题型一、直线、线段、射线的数量问题 1．（25-26七年级上·江苏南通·月考）往返，两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（  ） A．12种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】此题考查线段的数量问题，将车站与车站之间的距离转化成线段，不同的距离表示为不同的线段，用列举法直接求线段数量即可． 【详解】解：设，两地的中间两个站分别为C、D， ∵客运站根据两站之间的距离确定票价，距离不相等票价就不同， 又∵有、、、、、，共6条不同的线段， ∴不同的票价共有6种． 故选：C． 题型二、直线、射线、线段的联系与区别 2．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）如图，对于直线，线段，射线，其中能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题主要考查直线、线段、射线的定义和性质；根据直线、线段、射线的定义和性质，直线向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，线段有两个端点不能延伸．逐一判断它们能否相交． 【详解】解：分析选项A， 直线向两方无限延伸，线段有两个端点不能延伸，从图中可以看出直线与线段没有交点，不能相交． 分析选项B， 直线向两方无限延伸，射线向F方向无限延伸，从图中可以看出直线与射线有交点，能相交． 分析选项C， 线段有两个端点不能延伸，射线向F方向无限延伸，从图中可以看出线段与射线没有交点，不能相交． 分析选项D， 直线向两方无限延伸，射线向F方向无限延伸，从图中可以看出直线与射线没有交点，不能相交． 故选：B． 题型三、画出直线、射线、线段 3．下列几何图形与相应语言描述相符的有（    ） ①如图1，直线相交于点；②如图2，直线与线段没有公共点；③如图3，延长线段；④如图4，直线经过点．       图1                        图2                               图3                            图4 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查线段、射线和直线的语言描述．利用线段、直线和射线的语言描述逐一判断即可解题． 【详解】解：①直线a、b相交于点A，描述正确； ②射线与线段有公共点，描述错误； ③延长线段，描述正确； ④直线不经过点A，描述错误； 故选：B． 题型四、点与线的位置关系 4．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（    ）    A．点P在直线外 B．点C在直线外 C．直线不经过点M D．直线经过点B 【答案】B 【知识点】点与线的位置关系 【分析】本题考查的是点与直线的位置关系，理解点在直线上，点在直线外，再逐一分析即可得到答案． 【详解】解：点P在直线外，描述正确，故A不符合题意； 点C在直线上，故B符合题意； 线不经过点M，描述正确，故C不符合题意； 直线经过点B，描述正确，故D不符合题意； 故选B 题型五、两点确定一条直线 5．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（    ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．点动成线 【答案】B 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点，由此可解． 【详解】解：工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上． 这样做应用的数学知识是：两点确定一条直线． 故选：B． 题型六、线段的和与差 6．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，点C、D为线段AB上两点，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和与差，根据得，根据即可得，掌握线段的和与差是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 题型七、线段中点的有关计算 7．（25-26七年级上·江苏淮安·月考） 如图，C是线段的中点． (1)若点D 在线段上，，求线段的长度； (2)若将（1）中的“点D 在线段 上”改为“点D 在线段的延长线上”，其它条件不变，则此时线段 的长度为 ． 【答案】(1) (2)7 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得答案． （2）根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：由线段的和差，得， 由是的中点，得， 由线段的和差，得； （2）解：如图1 由线段的和差，得， 由是的中点，得， 由线段的和差，得， 故答案为：7． 题型八、线段n等分点的有关计算 8．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，已知，则线段的长度为（    ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点的定义，线段的三等分点，数形结合是解题的关键． 根据点C是的中点求出，再根据点D是线段的三等分点即可得出． 【详解】解：点C是线段的中点，， ， 点D线段的三等分点， ， ， 故选：C． 题型九、线段之间的数量关系 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，小明家客厅的电视背景墙是长方形，长方形的电视机（阴影部分）的长与宽的比为．若用166个面积相等的小正方形装饰板恰好无缝隙地填满电视机与电视背景墙之间的空白，则电视背景墙的两边之比的值为 ． 【答案】 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段和差位分，比的应用，能根据题意分别表示出和及找出和之间的关系是解题的关键． 根据题意，设电视机的长为，宽为，小正方形的边长为，再用和表示出和，最后根据小正方形的个数为166个找出与之间的关系即可解决问题． 【详解】解：设电视机的长为，宽为，小正方形的边长为， 所以，． 因为小正方形的个数有166个， 所以，， 所以， 所以， 则． 故答案为：． 题型十、与线段有关的动点问题 10．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3)的值为或1 (4)不变， 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、绝对值非负性 【分析】本题考查了两点间的距离，能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． （1）非负性求出的值即可； （2）根据题意，得到，进而求解即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （4）先求出的值，进而求出的值，再分两种情况求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴ ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变， ∴，值不变． 题型十一、两点之间线段最短 11．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，用剪刀沿虚线将一片平整的圆形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的基本事实是 ． 【答案】两点之间线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】解：用剪刀沿虚线将一片平整的圆形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的基本事实是两点之间线段最短 故答案为：两点之间线段最短． 题型十二、两点间的距离 12．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）如图①，点A，B，C在直线l上，，，M，N分别是，的中点，请补充完整图形，并求出的长． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题主要考查两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握中点定义是解决问题的关键． 分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，根据两点间的距离先求解的长，再根据线段中点的定义可求解的长． 【详解】解：点在线段上时， ∵，， ∴， ∵、分别是线段、的中点， ∴，， ∴； 点在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵、分别是线段、的中点， ， ∴， ∴； 综上所述：的长为． 题型十三、最短路径问题 13．（22-23七年级上·江苏·月考）如图，一只蚂蚁从“A”处爬到“B”处（只能向上、向右爬行），爬行路线共有（　　） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】A 【知识点】线段的应用、最短路径问题 【分析】只能向上或向右走，就是最短的路线，可以用列举的方法进行求解． 【详解】解：如图， 根据规则可得： 一共有3种不同的走法． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段问题，利用求最短路线的方法：清晰的分类是解题的关键． 题型十四、作线段(尺规作图) 14．（25-26七年级上·江苏常州·月考）如图，平面上有三个点A，B，C． (1)根据下列语句画图；作出射线，直线； (2)在直线上取点D，使（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)在（1）（2）的条件下，回答下列问题： 若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查了画直线和射线，线段的尺规作图，线段的和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据直线和射线的画法作图即可； （2）分两种情况：点D在的延长线上和点D在的延长线上，根据线段的尺规作图方法分别作图即可； （3）根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵， ∴，， ∴，， ∴的长为或． 题型十五、角的概念理解 15．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．直线是一个平角 B．周角是一条射线 C．角的两边是射线 D．角的两边是直线 【答案】C 【知识点】角的概念理解 【分析】此题主要考查了角的概念．直接利用角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．进而分析得出即可． 【详解】解：角是有公共端点的两条射线组成的图形，直线上没有顶点，则直线是一个平角、周角是一条射线以及角的两边是直线的说法都是错误的，故选项ABD不符合题意； 角的两边是射线，故选项C符合题意． 故选：C． 题型十六、角的表示方法 16．（23-24七年级上·江苏无锡·月考）如图，能用三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表示方法，角的表示方法有三种：（1）用三个字母及符号“∠”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一个数字表示一个角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总之表示要明确，不能使人产生误解． 【详解】解：A、顶点B处的角不止一个，不能用表示该处的角，不符合题意； B、顶点B处的角不止一个，不能用表示该处的角，不符合题意； C、顶点B处的角不止一个，不能用表示该处的角，不符合题意； D、三种方法表示的是同一个角，符合题意； 故选D 题型十七、画特殊角 17．（23-24七年级上·江苏常州·期末）观察下列图形，利用格点画图（每个方格边长为一个单位）：    (1)画线段； (2)在线段上方画，在射线 AE 上取三个单位长的； (3)取的中点O，连接并延长到点D，使； (4)连接； (5)请你写出在你所画图中相等的线段（除外） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 (5) 【知识点】画特殊角、画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查的是直线、射线、线段: （1）根据题意画出图形即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据题意画出图形即可； （4）根据题意画出图形即可； （5）观察图形作出判断即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所画，    （2）解：如图，，即为所画； （3）解：如图，即为所画； （4）解：如图，即为所画； （5）解：如图， 题型十八、钟面角 18．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）钟面上4 点整时，时针与分针的夹角为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟面角，关键是结合实际生活和角的含义进行解答． 钟面被12小时等分，每个小时对应角，4点整时，时针指向4，分针指向12，故夹角为． 【详解】解：∵钟面圆周角为，每小时对应角度为， ∴4点整时，时针从12点位置转过． 故选：A． 题型十九、方向角的表示 19．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）指南针是野外生存的必备工具之一，若指南针上的定向箭头指向南偏东（如图），现把定向箭头绕着点O按顺时针方向旋转，此时定向箭头的指向是（    ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏东 【答案】A 【知识点】方向角的表示 【分析】根据题意画出图形，根据方位角的表示方法，即可求解． 【详解】解：依题意，如图，指南针上的定向箭头指向南偏东 把定向箭头绕着点O按顺时针方向旋转， 则此时定向箭头的指向是北偏西， 故选：A． 【点睛】本题考查了方位角，注意旋转方向，旋转的度数，掌握方位角的表示方法是解题的关键． 题型二十、与方向角有关的计算题 20．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，A地是海上观测站，某一时刻，从A地发现它的北偏西方向上有一艘船B，若同时，在A地的南偏西方向上有一艘船C，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方位角计算的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据方位角计算的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：∵在A地的南偏西方向上有一艘船C， ∴如图：， 由图可得：， 故选：C． 题型二十一、角的单位与角度制 21．（25-26七年级上·江苏常州·月考）把化成度分的形式为 ；把 化成度的形式为 ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题主要考查了度和分之间的换算，根据进行求解即可． 【详解】解：，， 故答案为：；． 题型二十二、角的度数大小比较 22．（23-24七年级上·江苏南京·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较 【分析】本题主要考查了角度制换算以及角的大小比较，正确进行角度制换算是解题关键．将化为，然后再比较即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：． 题型二十三、角的比较 23．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】角的比较 【分析】本题主要考查了角的大小比较，取点E，连接，由网格可知，根据可得． 【详解】解：如图，取点E，连接， 由网格可知， ， ， 故答案为：． 题型二十四、三角板中角度计算问题 24．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，将一副三角板重叠放在一起，，直角顶点重合于点O．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查三角板中角度的计算问题． 由，，可得，结合，即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 题型二十五、几何图形中角度计算问题 25．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）若，，则 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查角的和差计算，熟练掌握分类思想是解题的关键． 根据射线的位置分情况讨论，利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：由，， 如图，当射线在内部时， ； 如图，当射线在外部时， ， 故答案为：或． 题型二十六、角度的四则运算 26．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了角的四则混合运算． （1）直接计算加法即可； （2）先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二十七、尺规作一个角等于已知角 27．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，已知和．用直尺和圆规作角，使其大小为 ，（要求：不写画法，但要保留作图痕迹，在框内作图） 【答案】见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，先作出，再作出即可． 【详解】解：如图，． 题型二十八、角平分线的有关计算 28．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知，，平分，且，则 ．（用含的式子表示） 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；由角平分线的定义可得的度数，再根据角的和差关系求． 【详解】解：因为平分，， 所以， ①如图， 又因为， 所以； ②如图， 所以； 故答案为或． 题型二十九、角n等分线的有关计算 29．类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线， (1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数； (2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线． 【答案】(1) (2)或 【知识点】角n等分线的有关计算、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角的三等分线的意义进行计算求解； （2）根据角平分线的定义和角的三等分线的意义，分两种情况进行计算求解． 【详解】（1）解：，OC是的一条三等分线，且， ； （2）解：，OC是的一条三等分线，且， ，． ∵OE是的角平分线，OF是∠AOB的角平分线， ∴，， ， ． 设旋转后的角为，旋转的时间为t秒， 如图2-1，当OB是的一条三等分线，且时， ， ， ， 解得(秒)； 如图2-2，当OB是的一条三等分线，且时， ， ， ， 解得(秒)， 当秒或秒时，射线OB恰好是的一条三等分线． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，理解角平分线、角三等分线的意义是正确解答的前提． 题型三十、求一个角的余角 30．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）已知与互为余角，若，则等于 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角． 根据余角的定义，与互为余角，则，因此． 【详解】解：∵与互为余角，， ∴ 故答案为． 题型三十一、求一个角的补角 31．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题考查余角和补角，根据两个角的度数和为90度，两个角互为余角，两个角的度数和为180度时，两个角互为补角，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则，即互余；故①说法正确； 两个角的度数和为180度时，两个角互为补角；故②说法错误； 若，，则；故③说法正确； 若的余角为，则，故它的补角为；故④说法正确； 故选D． 题型三十二、与余角、补角有关的计算 32．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）一个锐角的余角加上，就等于（   ） A．这个锐角的两倍 B．这个锐角的余角 C．这个锐角的补角 D．这个锐角加上 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了角的和差，余、补角的定义． 设锐角为，计算其余角加的结果，与补角对比即可． 【详解】解：设锐角为， 则余角为， ∴余角加为， ∵锐角为的补角为， ∴等于补角． 故选：C． 题型三十三、同(等)角的余(补)角相等的应用 33．（25-26七年级上·江苏常州·月考）若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 【答案】C 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题主要考查了同角的补角相等，根据同角的补角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 题型三十四、相交线 34．（23-24七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【知识点】相交线、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7．    题型三十五、垂线的定义理解 35．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，，直线过点B，且平分，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线有关的计算，先结合，得，根据平分，得，即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， 故答案为： 题型三十六、画垂线 36．如图，A、B、C是网格图中的三点． （1）画线段AB、射线AC、直线BC； （2）过点C画AB的垂线段CE； （3）ABC的面积为　 　． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4.5 【知识点】画垂线 【分析】（1）直接利用射线、直线、线段的定义分析得出答案； （2）直接利用网格作出垂线段即可； （3）利用△ABC所在矩形减去周围三角形面积得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：线段AB、射线AC、直线BC，即为所求； （2）如图所示：CE即为所求； （3）△ABC的面积为：2×5﹣×1×2﹣×1×4﹣×1×5＝4.5． 故答案为：4.5． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握三角形面积求法是解题关键． 题型三十七、垂线段最短 37．（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：∵该女生获得满分但未加分， ∴ ∵， ∴可能为， 故选项D符合题意． 故选：D． 题型三十八、点到直线的距离 38．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故选：D． 题型三十九、对顶角相等 39．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，，则 ． 【答案】35 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角相等，角的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键． 根据对顶角相等得到，再由角度和差计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：35． 题型四十、利用邻补角互补求角度 40．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见详解； 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查角平分线、对顶角，角的和差运算，掌握角平分线的定义，理解对顶角相等是正确解答的关键． （1）根据对顶角的性质求出，再根据角平分线的定义即可求出； （2）根据角的和差运算，和邻补角求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵与互为对顶角, ∴ ∵平分 ∴， 故答案为：． （2）解：平分， 理由：由（1）得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 则平分． 题型四十一、平面内两直线的位置关系 41．如图，在长方体中，与线段平行的线段有 ． 【答案】 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．据此解答即可． 【详解】解：与线段平行的线段有：． 故答案为：． 题型四十二、用直尺、三角板画平行线 42．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，均在格点上． (1)过点C画的平行线； (2)过点A画的垂线，垂足为G； (3)过点A画的垂线，交于点H； (4)线段______的长度是点H到直线的距离． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4) 【知识点】点到直线的距离、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据平行线的判定画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）根据垂线的定义画出图形； （4）根据点到直线的距离判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）如图，直线即为所求； （4）线段的长度是点H到直线的距离． 题型四十三、平行公理的应用 43．（2023七年级上·江苏·专题练习）如果，那么 ． 【答案】/ 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行于同一直线的两直线平行是解题的关键． 【详解】解：如果，那么（平行于同一直线的两直线平行）， 故答案为：． 题型四十四、同位角相等两直线平行 44．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据图形可得和是和被所截的同位角，再根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故选：A． 题型四十五、内错角相等两直线平行 45．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，故A选项符合题意； ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵， 无法证明或，故C选项不符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选：A 题型四十六、同旁内角互补两直线平行 46．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，点A、B、C、D在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位1． (1)仅用无刻度的直尺完成下列画图． ①过点B画直线平行线交直线于点E； ②过点A画直线的垂线，垂足为点F； ③在直线上求作一点P，使点P到B、D两点的距离之和最小． (2)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：____________． 【答案】(1)（1）①见解析；②见解析；③见解析； (2)＜，垂线段最短 【知识点】同旁内角互补两直线平行、垂线的定义理解、垂线段最短、两点之间线段最短 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定，两点之间线段最短，垂线段最短，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）①取格点G，延长交于点E，则即为所求； ②取格点H，延长交于点F，则即为所求； ③连接，交于点P，点P即为所求； （2）根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）如图，①即为直线平行线， ②即为直线的垂线， ③点P即为所求 （2）∵， ∴（垂线段最短）． 故答案为：＜，垂线段最短． 题型四十七、两直线平行同位角相等 47．（24-25七年级上·江苏南京·月考）对于下列四个说法： ①连接两点的线段叫做两点之间的距离； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两个相等的角是对顶角； ④同位角相等．其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等、对顶角相等、垂线的定义理解、两点间的距离 【分析】本题考查了同位角，对顶角，两点之间的距离，垂线，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据两点之间的距离的定义判断①；根据垂线的性质判断②；根据对顶角的定义判断③，根据同位角的定义判断④． 【详解】解：①连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误；； ③两个相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ④两直线平行，同位角相等，原说法错误；； 其中，正确的有0个， 故选：A． 题型四十八、两直线平行内错角相等 48．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则 ． 【答案】/138度 【知识点】两直线平行内错角相等、与方向角有关的计算题 【分析】题目主要考查方位角的计算，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．先根据题意得出，，再根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型四十九、两直线平行同旁内角互补 49．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）（1）如图1，点、、都在正方形网格的格点上，按下列要求仅用直尺画图，保留必要的辅助线，并标出相应的字母： ①过点画直线； ②在上画点，使的长度最小． （2）如图2，已知，点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①见详解，②见详解；（2）见详解 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的作图，平行线的性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①运用网格的性质，过点作，即可作答． ②运用网格的性质，且结合垂线段最短，则，即可作答． （2）过点P作，且交于点，运用两直线平行，同旁内角互补，即可作答． 【详解】解：（1）①过点画直线，如图所示： ； ②在上画点，使的长度最小，如图所示： ； （2）点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使，如图所示： 题型五十、根据平行线的性质探究角的关系 50．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，，请在下列选项中①平分，②平分，③，选择两个作为条件，另一个作为探索的结果，并说明理由． 我选的是_______为条件，选_______为探索结果（填序号） 【答案】①②，③；理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查平行线的性质及判定，角平分线的定义．熟悉平行线的性质及判定，角平分线的性质是关键． 选①②为条件③为结果；根据平行线的性质得到，根据角平分线的性质得到，，即可证出结论． 【详解】解：选①②为条件③为结果 理由：因为，所以， 因为平分，平分 所以，， 所以． 选①③为条件②为结果 理由：因为，所以， 因为平分，所以， 所以 因为，所以，所以， 所以平分． 选②③为条件，①为结果， 因为，所以， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 题型五十一、根据平行线的性质求角的度数 51．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】由平行线的性质推出，，由三角形内角和定理求出的度数，即可得到的度数. 本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出，． 【详解】解: ， ， ， ， ， ． 故选：． 题型五十二、平行线的性质在生活中的应用 52．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是 ． 【答案】 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查平行线的性质．由两直线平行，内错角相等，即可得到． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 题型五十三、根据平行线判定与性质求角度 53．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、同旁内角互补两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． （1）根据“同旁内角互补，两直线平行”求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：平行，理由如下： ，， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 题型五十四、根据平行线判定与性质证明 54．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，于点D，于点G，．试说明平分． 下面是部分推理过程，请你将其补充完整： 因为， 所以 （ ） 所以（ ） 所以（ ） （ ） 又因为（已知） 所以 所以平分（ ） 【答案】；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义 【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【分析】本题考查垂直的定义，平行线的判定及性质，角平分线的定义，运用相关知识，补充推理过程即可。 【详解】解：因为， 所以（垂直的定义） 所以（同位角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） 又因为（已知） 所以 所以平分（角平分线的定义） 故答案为：；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义 题型五十五、利用平行线间距离解决问题 55．（24-25七年级上·江苏镇江·月考）如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    【答案】/ 【知识点】利用平行线间距离解决问题、列代数式 【分析】作于M，交于N，根据长方形的性质，三角形面积的公式，分割法求面积解答即可． 本题考查了三角形的面积公式，分割法表示面积，熟练掌握三角形面积表示是解题的关键． 【详解】解：作于M，交于N， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∵的面积为a．若的面积为b， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， 故答案为．    题型五十六、同位角、内错角、同旁内角 56．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知直线，直线分别交于点G，平分平分． (1)图中的与是同位角吗？ (2)与有怎样的数量关系？为什么？ (3)与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1)与不是同位角 (2)，见解析 (3)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、同位角、内错角、同旁内角、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，同位角、内错角、同旁内角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据同位角的特征，即可求解； （2）先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得：，然后利用等量代换可得，即可解答； （3）先利用角平分线的定义可得：，再利用等量代换可得：，然后利用同位角相等，两直线平行可得：，即可解答． 【详解】（1）解：与不是同位角； （2）解：， 理由：∵， ∴， ∵平分平分， ∴ ∴； （3）解： 理由：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 题型五十七、正多边形概念辨析 57．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【知识点】正多边形概念辨析、多边形的周长 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 【详解】解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 题型五十八、多边形截角后的边数问题 58．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 题型五十九、多边形对角线的条数问题 59．（24-25七年级上·江苏南京·期末）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A ． 题型六十、对角线分成的三角形个数问题 60．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成8个三角形，则n的值是 ． 【答案】10 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题主要考查的是多边形对角线的性质，根据从一个n边形的某个顶点出发，可分为的三角形作答． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为：10 学科网（北京）股份有限公司 $