第4章 一元一次方程 章节（11知识点回顾+28题型巩固） 2025-2026学年苏科版七年级数学上册同步讲义与测试

第4章 一元一次方程 章节（11知识点回顾+28题型巩固） 目录 知识梳理 1.等式 2.等式的性质 3.方程 4.方程的解与解方程 5.一元一次方程 6.解一元一次方程——移项 7.解一元一次方程——去括号 8.解一元一次方程——去分母 9.解一元一次方程的一般步骤 10.列一元一次方程解决问题 11.建立一元一次方程模型解决问题的常见题型 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、等式的性质 三、列方程 四、判断是否是方程的解 五、已知方程的解，求参数 六、判断是否是一元一次方程 七、判断是否是一元一次方程解 八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 九、解一元一次方程（二）——去括号 十、解一元一次方程（三）——去分母 十一、已知一元一次方程的解，求参数 十二、一元一次方程解的关系 十三、绝对值方程 十四、配套问题 十五、工程问题 十六、销售盈亏 十七、比赛积分 十八、方案选择 十九、数字问题 二十、几何问题 二十一、动点问题 二十二、和差倍分问题 二十三、电费和水费问题 二十四、行程问题 二十五、比例分配 二十六、日历问题 二十七、古代问题 二十八、其他问题 知识梳理 知识点1.等式 概念 像2x＝3y，S＝xy，12a＋3b＝58这样，表示相等关系的式子叫作等式. 知识点2.等式的性质 1. 等式的基本性质 (1)等式的基本性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得结果仍是等式. 用字母可以表示为：如果a＝b，那么a±m＝b±m. (2)等式的基本性质2：等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式. 用字母可以表示为：如果a＝b，那么am＝bm；如果a＝b，且m ≠ 0，那么＝. 2. 等式的其他性质 (1)对称性：若a＝b，则b＝a. (2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c. 知识点3.方程 1. 未知数 在2x＋1＝x＋5 ，a＋b＝12，2a＋b＝20，0.618x2＝1.6这些等式中，都是用字母表示要求的未知的量，这样的字母叫作未知数. 2. 方程 像上面的等式这样，含有未知数的等式叫作方程. 方程的两要素 一是等式，即用等号连接的式子； 二是含有未知数，但是未知数的个数不限. 3. 列方程 (1)列方程的一般步骤 ①找——理解题意，找出题目中的等量关系； ②设——根据题意设出未知数，一般求什么设什么； ③列——用含有未知数的式子把等量关系表示出来. (2)确定实际问题中相等关系的方法 ①根据周长、面积、体积公式列方程； ②根据题目中的不变量确定等量关系； ③根据关键词确定等量关系. 3. 如和差关系通常用“一共有……”“比……多(少)……”表示，倍数关系通常用“是…… 的几倍”表示. 知识点4.方程的解与解方程 1. 方程的解 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解. 2. 解方程 求方程的解的过程叫作解方程. 3. 方程的解与解方程的区别与联系 方程的解 解方程 区别 是一个(或几个)具体的数 是一个过程 联系 方程的解可通过解方程求得 知识点5.一元一次方程 1. 概念 像2x＋1＝x＋5 ，x＋x＝19这样等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1 的方程，叫作一元一次方程. 2. 一元一次方程的特点 (1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0. 我们把ax＋b＝0(a ≠ 0)叫作一元一次方程的标准形式. 知识点6.解一元一次方程——移项 1. 移项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫作移项. 2. 移项的依据 移项的依据是等式的性质1，在方程的两边都加上(或减去)同一个适当的数或整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在方程的另一边. 3. 移项解一元一次方程的步骤 (1)移项：把含有未知数的项移到等号一边，常数项移到等号另一边； (2)合并同类项：把方程变形为ax＝b(a，b为常数，且a ≠ 0)的形式； (3)系数化为1：得到方程的解为x＝. 知识点7.解一元一次方程——去括号 1. 在解一元一次方程时，如果方程中有括号，为了将方程转化为x＝c(c为常数)的形式，一般需要先根据去括号法则去括号. 2. 去括号解一元一次方程的步骤 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号. 3. 解一元一次方程的一般步骤 去括号→移项→合并同类项→系数化为1 知识点8.解一元一次方程——去分母 1. 解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母. 2. 去分母解一元一次方程的步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 知识点9.解一元一次方程的一般步骤 1. 解一元一次方程的一般步骤 一般地，解一元一次方程的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为1 . 通过这些步骤可以将一元一次方程转化为x＝c(c为常数)的形式. 2. 解一元一次方程的具体做法、变形依据、注意事项如 下表 变形名称 具体做法 变形依据 注意事项 去分母 在方程两边同乘各分母的最小公倍数. 当分母是小数时，要利用分数的基本性质先把分母化为整数 等式的性质2 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个多项式，去分母后加上括号 续表： 变形名称 具体做法 变形依据 注意事项 去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律(去 括号法则) 不要漏乘括号里面的项， 不要弄错符号 移项 把含有未知数的项和常数项分别移至等号的两侧 移项法则(等式的性质1) 移项要变号，不移的项不用变号 合并同类项 把方程化为ax＝b(a ≠ 0)的形式 合并同类项法则 (1)系数相加(2)字母及指数不变 系数化为1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解为 x＝ (a ≠ 0) 等式的性质2 (1)除数不为0(2)不要把分子、分母颠倒 知识点10.列一元一次方程解决问题 一般步骤 (1)审题；(2)找等量关系；(3)设未知数；(4)列方程；(5)解所列方程；(6)检验未知数的值是否符合题意； (7)根据问题的需要写出答案 审题方法 “一读，二划，三复述，四表示.”“一读”就是读题，初步感知题意；“二划”就是在题目上面划符号，找出重点词句， 理出脉络，使题目简单明了；“三复述”就是复述题意，使题目变得详细，题意清晰；“四表示”就是画图表示题意， 使题目变得一目了然 设未知数的方法 (1)直接设法：题目问什么，就设什么，它一般适用于要求的未知量只有一个的情况； (2)间接设法：当直接设元列方程较复杂或较困难时，可选取一个与所求的未知量密切相关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量； (3)辅助设法：当题目中的数量关系较复杂或已知条件较少时，为了分析更方便，列方程更容易，在设出所求的未知数的同时，还增设辅助未知数，解方程时不必求出，可在解题时自动消去，即设而不求 知识点11.建立一元一次方程模型解决问题的常见题型 1. 常见题型 年龄问题、销售问题、行程问题、工程问题、比例问题、图形变化规律问题、分配问题、 计费问题、 盈亏问题、古算术问题等. 2. 找等量关系的基本方法 (1)根据各代数式之间的内在联系找等量关系； (2)根据不变量，例如图形的面积不变, 物体的体积不变，人数不变等，通过从不同角度的计算来找等量关系； (3)借助于一些辅助手段找等量关系： ①表格法；②线形示意图. 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．下面是方程的选项是（   ） A． B． C． D． 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 题型二、等式的性质 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形的长和宽的差是 （用含a，b的式子表示） 5．（25-26七年级上·江苏泰州）解方程． (1)； (2)； (3)． 题型三、列方程 6．（22-23七年级上·江苏南通·期中）根据“的倍与的和比的少”可列方程（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 8．根据条件“某数的3倍比它的一半大5”列出方程． 题型四、判断是否是方程的解 9．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列各数，是方程的解的是（   ） A．0 B．1 C． D． 10．是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 题型五、已知方程的解，求参数 11．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知关于x的方程，有正整数解，则整数k的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 12．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是 ． 题型六、判断是否是一元一次方程 13．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列各式中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 题型七、判断是否是一元一次方程解 15．下列方程中，解是的方程的是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 题型八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 17．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列方程的变形中，不正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 18．（25-26七年级上·江苏常州·期中）我们定义，如果两个方程的解相同，那么称这两个方程为“友好方程”． (1)判断下列方程：①；②；③是“友好方程”的是 ．（填写序号） (2)若关于x的方程与是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的方程与是“友好方程”，其中a，b是整数，试求a，b的值． 题型九、解一元一次方程（二）——去括号 19．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下面解一元一次方程的步骤中，没有依据“等式的性质”变形的是（    ） A．第①步和第②步 B．第①步和第③步 C．第②步和第③步 D．第③步和第④步 20．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）均为有理数，我们规定了一种新的运算：，那么时，试求x的值． 题型十、解一元一次方程（三）——去分母 21．（22-23七年级上·江苏南通·期末）解方程时，去分母正确的是（  ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级上·江苏·期末）关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解 ． 23．（24-25七年级上·江苏常州·期末）解方程： (1)； (2)． 题型十一、已知一元一次方程的解，求参数 24．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如下表所示，则关于的方程的解为 ． 0 1 1 2 3 25．（24-25七年级上·江苏·期末）定义：若关于x的方程的解为，则称该方程为“生生方程”．已知关于x的方程是“生生方程”，求该方程的解． 题型十二、一元一次方程解的关系 26．（24-25七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 27．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 题型十三、绝对值方程 28．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）数轴上表示的点与表示x的点距离为3，则x表示的数为（     ） A．2 B．或 C． D．2或 29．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 题型十四、配套问题(一元一次方程的应用) 30．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）现有工人42人，平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮配成一套，要使每天生产的大小齿轮刚好配套，应该怎样分配工人？设安排x人生产了大齿轮，由题意可设方程为 ． 31．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：每张硬纸板剪6个侧面；B方法：每张硬纸板剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法． (1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问多少张硬纸板用A方法裁剪？能做多少个盒子？ 题型十五、工程问题(一元一次方程的应用) 32．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需（   ）天． A．3 B．4 C．5 D．6 33．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）一件工作，甲独做要4小时完成，乙独做要6小时完成，则甲乙两人合作这件工作要 小时完成． 34．（24-25七年级·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 题型十六、销售盈亏(一元一次方程的应用) 35．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）某商店某天出售A、B两件不同商品，售价都是120元，已知出售A盈利，出售B亏了，那么商店这天的盈亏情况如何（   ） A．不盈不亏 B．盈利40元 C．盈利10元 D．亏10元 36．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）商场经销的两种商品，A种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元． (1)A种商品每件进价为_______元，每件B种商品利润率为_______． (2)商场同时购进两种商品共50件，售完之后恰好总利润为1300元，求购进A种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对两种商品进行如下的优惠促销的活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠 若小明两次购买商品分别付款360元和540元，若两次合并成一次性付款可以比两次购物分别付款节省多少元？ 题型十七、比赛积分(一元一次方程的应用) 37．在某年全国足球超级联赛的前场比赛中，某队保持连续不败，共积分，按比赛规则，胜一场得分，平一场得分，那么该队共胜了多少场？分析：设该队共胜了场，根据题意，用含的式子填空； （1）该队平了 场； （2）按比赛规则，该队胜场共得 分； （3）按比赛规则，该队平场共得 分． 38．一足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛了9场，得分17分．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场？又平了几场？ 题型十八、方案选择(一元一次方程的应用) 39．把一些图书分给某组学生阅读，如果每人分4本，则剩余1本；如果每人分5本，则还缺4本，这个小组的学生有 人． 40．（24-25七年级上·江苏南京·期末）（用一元一次方程解决问题）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如下表所示的购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元）     优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 （包含100） 无优惠 （包含200） 无优惠 （包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为220元的商品，去______家超市更划算； (2)小李带了234元去购物，为了买到原价最多的商品，应选择哪家超市并说明理由． 题型十九、数字问题(一元一次方程的应用) 41．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，将正整数1至1000按一定规律排列，整体平移表中带阴影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2024 42．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）试验与探究我们知道写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以为例进行讨论：设，由，可知，，解方程得，于是得．请仿照上述例题完成下列各题： (1)请你把无限循环小数写成分数，即=______． (2)你能化无限循环小数为分数吗？请仿照上述例子求之． 题型二十、几何问题(一元一次方程的应用) 43．（24-25七年级上·江苏南通·期末）满足的所有整数a的积为 ． 44．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）对于数轴上的三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”．例如数轴上点所表示的数分别为，此时点是点的“三倍点”． (1)若点表示数，点表示数，点是点的“三倍点”，且点在之间，则点表示的数为_______． (2)点表示数，点表示数，为数轴上一点． ①若点在点的左侧，且点是点的“三倍点”，求此时点表示的数； ②若点在点的右侧，点中，有一个点恰好是其它两个点的“三倍点”，直接写出此时点表示的数_______． 题型二十一、动点问题（一元一次方程的应用） 45．（2023七年级上·江苏·专题练习）在数轴上，点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移2个单位长度，得到点C．若C是中点，则a的值为(   ) A． B． C． D．1 46．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点，点，点，点处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点表示，点表示4，点表示8，点表示12，点表示14，我们称点和点在数轴上相距18个长度单位．动点从点出发，以4单位/秒的速度沿着“坡面数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变，当点运动至点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒，问： (1)动点从点运动至点需要________秒，此时点所对应的数是________； (2)，两点在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，两点在数轴上相距的长度是，两点在数轴上相距长度的2倍． 题型二十二、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 47．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）若干户外旅行者住民宿，如果每间客房住6人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就恰好空出1间客房．设该民宿有客房x间，则列方程为 48．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）某校男生人数的等于女生人数的，男生人数的比女生人数的少4人，这个学校共有学生多少人？ 题型二十三、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 49．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过20吨，按每吨a元收费；若超过20吨，则超过部分按每吨元收费，如果某户居民十月份缴纳水费元，则该居民这个月实际用水 吨． 50．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市自来水具体收费价格见下表： 每月用水量 单价（单位：元/） 不超过的部分 2 超过，但不超过的部分 4 超过的部分 8 (1)该市一户居民月用水10立方米时，其当月交费______元． (2)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月交费52元? (3)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月的平均水费为每立方米元? 题型二十四、行程问题(一元一次方程的应用) 51．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用，若轮船在静水中速度为，水流速度是，则港和港相距 ． 52．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）甲、乙两车分别从相距的、两地出发，沿足够长的公路行驶，甲车速度为，乙车速度为．两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），多长时间后两车相距？ 题型二十五、比例分配(一元一次方程的应用) 53．某学校组织秋游，原计划用45座的客车若干辆，则5人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出一辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有 名． 54．下面是某校七年级数学课外活动小组的两位同学对话，根据对话内容求这个课外活动小组现在的人数． 甲：我们女生人数占现在全组人数的一半 乙：还有6位男生将加入我们小组，他们全部加入后男生人数将占全组人数的． 题型二十六、日历问题(一元一次方程的应用) 55．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）小淇在某月的日历上圈出相邻的三个日期a，b，c，并求出它们的和是45，则三个日期在日历中的排布不可能的是（    ） A． B． C． D． 56．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）把正整数1，2，3，4，…，2025按如图方式排列成一个表． (1)如图，用一个正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是______、______、______； (2)当（1）中被框住的4个数之和等于216，x的值为多少？ (3)在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于156？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由． 题型二十七、古代问题(一元一次方程的应用) 57．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则满足题意的方程是 ． 58．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，壶中原来有酒多少什？ 题型二十八、其他问题(一元一次方程的应用) 59．（24-25七年级上·江苏南京·期末）用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 60．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段练习）【新知探索】观察下列运算：，；，；，． 【类比归纳】类比我们学习的有理数的运算法则的过程，归纳出“”运算法则：两数进行“”运算时，同号得_______，异号得_______，并把绝对值_______；0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“※”运算，得这个数的_______． 【新知内化】计算：=_______． 【思维拓展】计算：． 【自主建构】当整数、满足时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 一元一次方程 章节（11知识点回顾+28题型巩固） 目录 知识梳理 1.等式 2.等式的性质 3.方程 4.方程的解与解方程 5.一元一次方程 6.解一元一次方程——移项 7.解一元一次方程——去括号 8.解一元一次方程——去分母 9.解一元一次方程的一般步骤 10.列一元一次方程解决问题 11.建立一元一次方程模型解决问题的常见题型 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、等式的性质 三、列方程 四、判断是否是方程的解 五、已知方程的解，求参数 六、判断是否是一元一次方程 七、判断是否是一元一次方程解 八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 九、解一元一次方程（二）——去括号 十、解一元一次方程（三）——去分母 十一、已知一元一次方程的解，求参数 十二、一元一次方程解的关系 十三、绝对值方程 十四、配套问题 十五、工程问题 十六、销售盈亏 十七、比赛积分 十八、方案选择 十九、数字问题 二十、几何问题 二十一、动点问题 二十二、和差倍分问题 二十三、电费和水费问题 二十四、行程问题 二十五、比例分配 二十六、日历问题 二十七、古代问题 二十八、其他问题 知识梳理 知识点1.等式 概念 像2x＝3y，S＝xy，12a＋3b＝58这样，表示相等关系的式子叫作等式. 知识点2.等式的性质 1. 等式的基本性质 (1)等式的基本性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得结果仍是等式. 用字母可以表示为：如果a＝b，那么a±m＝b±m. (2)等式的基本性质2：等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式. 用字母可以表示为：如果a＝b，那么am＝bm；如果a＝b，且m ≠ 0，那么＝. 2. 等式的其他性质 (1)对称性：若a＝b，则b＝a. (2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c. 知识点3.方程 1. 未知数 在2x＋1＝x＋5 ，a＋b＝12，2a＋b＝20，0.618x2＝1.6这些等式中，都是用字母表示要求的未知的量，这样的字母叫作未知数. 2. 方程 像上面的等式这样，含有未知数的等式叫作方程. 方程的两要素 一是等式，即用等号连接的式子； 二是含有未知数，但是未知数的个数不限. 3. 列方程 (1)列方程的一般步骤 ①找——理解题意，找出题目中的等量关系； ②设——根据题意设出未知数，一般求什么设什么； ③列——用含有未知数的式子把等量关系表示出来. (2)确定实际问题中相等关系的方法 ①根据周长、面积、体积公式列方程； ②根据题目中的不变量确定等量关系； ③根据关键词确定等量关系. 3. 如和差关系通常用“一共有……”“比……多(少)……”表示，倍数关系通常用“是…… 的几倍”表示. 知识点4.方程的解与解方程 1. 方程的解 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解. 2. 解方程 求方程的解的过程叫作解方程. 3. 方程的解与解方程的区别与联系 方程的解 解方程 区别 是一个(或几个)具体的数 是一个过程 联系 方程的解可通过解方程求得 知识点5.一元一次方程 1. 概念 像2x＋1＝x＋5 ，x＋x＝19这样等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1 的方程，叫作一元一次方程. 2. 一元一次方程的特点 (1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0. 我们把ax＋b＝0(a ≠ 0)叫作一元一次方程的标准形式. 知识点6.解一元一次方程——移项 1. 移项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫作移项. 2. 移项的依据 移项的依据是等式的性质1，在方程的两边都加上(或减去)同一个适当的数或整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在方程的另一边. 3. 移项解一元一次方程的步骤 (1)移项：把含有未知数的项移到等号一边，常数项移到等号另一边； (2)合并同类项：把方程变形为ax＝b(a，b为常数，且a ≠ 0)的形式； (3)系数化为1：得到方程的解为x＝. 知识点7.解一元一次方程——去括号 1. 在解一元一次方程时，如果方程中有括号，为了将方程转化为x＝c(c为常数)的形式，一般需要先根据去括号法则去括号. 2. 去括号解一元一次方程的步骤 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号. 3. 解一元一次方程的一般步骤 去括号→移项→合并同类项→系数化为1 知识点8.解一元一次方程——去分母 1. 解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母. 2. 去分母解一元一次方程的步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 知识点9.解一元一次方程的一般步骤 1. 解一元一次方程的一般步骤 一般地，解一元一次方程的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为1 . 通过这些步骤可以将一元一次方程转化为x＝c(c为常数)的形式. 2. 解一元一次方程的具体做法、变形依据、注意事项如 下表 变形名称 具体做法 变形依据 注意事项 去分母 在方程两边同乘各分母的最小公倍数. 当分母是小数时，要利用分数的基本性质先把分母化为整数 等式的性质2 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个多项式，去分母后加上括号 续表： 变形名称 具体做法 变形依据 注意事项 去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律(去 括号法则) 不要漏乘括号里面的项， 不要弄错符号 移项 把含有未知数的项和常数项分别移至等号的两侧 移项法则(等式的性质1) 移项要变号，不移的项不用变号 合并同类项 把方程化为ax＝b(a ≠ 0)的形式 合并同类项法则 (1)系数相加(2)字母及指数不变 系数化为1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解为 x＝ (a ≠ 0) 等式的性质2 (1)除数不为0(2)不要把分子、分母颠倒 知识点10.列一元一次方程解决问题 一般步骤 (1)审题；(2)找等量关系；(3)设未知数；(4)列方程；(5)解所列方程；(6)检验未知数的值是否符合题意； (7)根据问题的需要写出答案 审题方法 “一读，二划，三复述，四表示.”“一读”就是读题，初步感知题意；“二划”就是在题目上面划符号，找出重点词句， 理出脉络，使题目简单明了；“三复述”就是复述题意，使题目变得详细，题意清晰；“四表示”就是画图表示题意， 使题目变得一目了然 设未知数的方法 (1)直接设法：题目问什么，就设什么，它一般适用于要求的未知量只有一个的情况； (2)间接设法：当直接设元列方程较复杂或较困难时，可选取一个与所求的未知量密切相关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量； (3)辅助设法：当题目中的数量关系较复杂或已知条件较少时，为了分析更方便，列方程更容易，在设出所求的未知数的同时，还增设辅助未知数，解方程时不必求出，可在解题时自动消去，即设而不求 知识点11.建立一元一次方程模型解决问题的常见题型 1. 常见题型 年龄问题、销售问题、行程问题、工程问题、比例问题、图形变化规律问题、分配问题、 计费问题、 盈亏问题、古算术问题等. 2. 找等量关系的基本方法 (1)根据各代数式之间的内在联系找等量关系； (2)根据不变量，例如图形的面积不变, 物体的体积不变，人数不变等，通过从不同角度的计算来找等量关系； (3)借助于一些辅助手段找等量关系： ①表格法；②线形示意图. 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．下面是方程的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的识别，根据含未知数的等式是方程逐项判断即可． 【详解】解：A．不是等式，故不是方程，不符合题意； B．是含未知数的等式，是方程，符合题意； C．不是等式，故不是方程，不符合题意； D．不含未知数，故不是方程，不符合题意； 故选：B． 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的定义：含有未知数的等式叫方程．根据方程的定义逐个判定即可． 【详解】解：①符合方程定义，故①是方程； ②没有未知数，故②不是方程； ③不是等式，故③不是方程； ④符合方程定义，故④是方程； ⑤符合方程定义，故⑤是方程； ∴是方程的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 题型二、等式的性质 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加、减、乘或除以同一个数（或整式），等式仍然成立（除法时除数不能为零）.据此逐项判断即可. 【详解】解：A选项：当 时，，，等式不成立，故A错误，不符合题意； B选项：若 成立，又 ，则 ，需 才成立，故B错误，不符合题意； C选项：当 时，，，等式不成立，故C错误，不符合题意； D选项：∵ ， ∴ （等式两边同时乘以）， ∴ （等式两边同时加上2），D正确，符合题意. 故选：D. 4．如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形的长和宽的差是 （用含a，b的式子表示） 【答案】 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，正确理解图形中的数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形列得，整理即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得： ， ∴， 即小长方形的长和宽的差是． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·江苏泰州）解方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握算理是解决问题的关键． （1）利用除数、被除数、商之间的关系解方程即可； （2）利用等式的性质解方程即可； （3）先化简方程右边的比值，再利用被除数、除数、商之间的关系解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ； （3）， ， ， ． 题型三、列方程 6．（22-23七年级上·江苏南通·期中）根据“的倍与的和比的少”可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列方程 【分析】根据题意列出方程即可求解． 【详解】根据题意列方程：， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据题意列方程，正确理解题意是解题关键． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了方程，等量关系比较明显，利用长方形的面积得出方程是解题关键．设出长方形的长，然后表示出长方形的宽，利用长方形的面积计算方法列出方程求解即可． 【详解】解：设花坛的长为， 根 据 题 意 得 ：， 故答案为：． 8．根据条件“某数的3倍比它的一半大5”列出方程． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了列方程，根据题意，找出等量关系“某数的3倍减去它的一半等于5”，即可列出方程，找出等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：“某数的3倍比它的一半大5”，列出方程为． 题型四、判断是否是方程的解 9．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列各数，是方程的解的是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查方程的解，把各个选项中的数代入计算逐一判断即可． 【详解】解：A、把代入得左边，不符合题意； B、把代入得左边，不符合题意； C、把代入得左边，符合题意； D、把代入得左边，不符合题意； 故选：C． 10．是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题主要考查方程的解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． （1）将代入方程，看是否符合方程解得定义即可解答； （2）分别将代入方程左边和右边，看是否符合方程解得定义即可解答． 【详解】（1）将代入方程，得方程左边20， 方程右边． 因为左边右边，所以是方程的解． （2）将代入方程，得 方程左边， 方程右边． 因为左边右边，所以不是方程的解． 题型五、已知方程的解，求参数 11．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知关于x的方程，有正整数解，则整数k的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的整数解，正确求解方程是解题关键．解方程得到，根据x为正整数确定k的可能整数值． 【详解】解：解得：， 为正整数， 必须为正整数，即为4的正因数， 4的正因数有1、2、4， 对应、2、4， 解得、1、3， 整数k的可能值有3个. 故选C． 12．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】此题考查已知一元一次方程的解，求参数，熟练掌握方程的解得定义是解题的关键．将已知解 代入方程，得到关于▲的方程，解出▲的值． 【详解】解：将 代入原方程 ， 得， 整理得， ∴． 故答案为：． 题型六、判断是否是一元一次方程 13．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列各式中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】此题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的次数是1）判断各选项． 【详解】∵ A选项含有一个未知数y，且次数为1，是一元一次方程； B选项没有未知数，不是方程； C选项未知数次数为2，不是一元一次方程； D选项含有两个未知数，不是一元一次方程． 故选A． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程，根据一元一次方程定义得且，即可得到的值．解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， ∴． 故答案为：． 题型七、判断是否是一元一次方程解 15．下列方程中，解是的方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把代入各个方程进行进行检验，看能否使方程的左右两边相等．本题的关键是正确理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：把分别代入A，B，C，D四个选项． A中，左边，右边，左边右边，错误； B中，左边，右边，左边=右边，正确； C中，左边，右边，左边右边，错误； D中，左边，右边，左边右边，错误． 答案：B． 16．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【答案】(1)，方程是 (2)是 【知识点】判断是否是一元一次方程、判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 题型八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 17．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列方程的变形中，不正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元一次方程的变形，熟练掌握等式的性质和移项法则是解题的关键． 根据等式的性质和移项法则，对每个选项的方程变形进行判断． 【详解】解：∵ ，移项得， ∴ 选项A中不正确，故A选项符合题意． ∵ ，两边同乘得， ∴ 选项B正确，不符合题意． ∵ ，两边同除以得 ∴ 选项C正确，不符合题意． ∵ ，移项得 ∴ 选项D正确，不符合题意． 故选：A． 18．（25-26七年级上·江苏常州·期中）我们定义，如果两个方程的解相同，那么称这两个方程为“友好方程”． (1)判断下列方程：①；②；③是“友好方程”的是 ．（填写序号） (2)若关于x的方程与是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的方程与是“友好方程”，其中a，b是整数，试求a，b的值． 【答案】(1)①② (2) (3)或或或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）分别解方程求出三个方程的解即可得到答案； （2）先解方程得到，再把代入方程中求出m的值即可； （3）先解方程得到，再把代入方程中得到，再根据a、b都是整数求解即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， 解方程得， ∴方程和的解相同， ∴是“友好方程”的是①②； （2）解：解方程得， ∵关于x的方程与是“友好方程”， ∴是方程的解， ∴， 解得； （3）解：解方程得， ∵关于x的方程与是“友好方程”， ∴是方程的解， ∴， ∴， ∵a、b都是整数， ∴或或或． 题型九、解一元一次方程（二）——去括号 19．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下面解一元一次方程的步骤中，没有依据“等式的性质”变形的是（    ） A．第①步和第②步 B．第①步和第③步 C．第②步和第③步 D．第③步和第④步 【答案】B 【知识点】等式的性质、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了一元一次方程的解法及其依据，去括号，合并同类项是没有依据等式的性质的求解即可． 【详解】根据题意，得第②步，第④步分别依据了等式的性质1和性质2，第①步和第③步去括号，合并同类项是没有依据等式的性质， 故选B． 20．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）均为有理数，我们规定了一种新的运算：，那么时，试求x的值． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，根据新定义，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故． 题型十、解一元一次方程（三）——去分母 21．（22-23七年级上·江苏南通·期末）解方程时，去分母正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的去分母，将方程两边同乘各分母的最小公倍数，即可去分母，据此即可解答． 【详解】解：， 方程两边同乘6，去分母，得， 即． 故选：C 22．（23-24七年级上·江苏·期末）关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解 ． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，理解方程的解的定义是解题的关键． 将代入方程求得m的值，再将m的值代入解关于y的方程即可． 【详解】解：将代入方程可得：，解得：， 将代入可得，解得：． 故答案为：． 23．（24-25七年级上·江苏常州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟知去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解一元一次方程的一般步骤是解答此题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，把的系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，把的系数化为1即可． 【详解】（1）解：去括号， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 题型十一、已知一元一次方程的解，求参数 24．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如下表所示，则关于的方程的解为 ． 0 1 1 2 3 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．由表格可知当时，，可求出，则所求方程为，求出解即可． 【详解】解：当时，， ， ， 方程为， 解得：． 25．（24-25七年级上·江苏·期末）定义：若关于x的方程的解为，则称该方程为“生生方程”．已知关于x的方程是“生生方程”，求该方程的解． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．根据新定义可知，再代入原方程，求出解即可． 【详解】解：因为关于x的一元一次方程是“生生方程”， 所以， 则， 解得， 所以． 题型十二、一元一次方程解的关系 26．（24-25七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】2025 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解，比较两个方程的特点即可得出解．把看作一个整体，结合已知方程即可得出，即可求出y的值． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程中的， ∴， 故答案为：2025． 27．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】已知方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，理解“和一方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“和一方程”的定义，列出关于m的方程，即可求解； （2）根据“和一方程”的定义，可得另一个解为，再根据两个“和一方程”的解的差为7，即可求解； （3）根据“和一方程”的定义，可得一元一次方程的解为，把方程变形为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵方程与是“和一方程”， ∴， 解得：； （2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为， ∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴或， 解得：或； （3）解：，解得：， ∵一元一次方程和是“和一方程”， ∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为， ∴方程的解为， ∴． 题型十三、绝对值方程 28．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）数轴上表示的点与表示x的点距离为3，则x表示的数为（     ） A．2 B．或 C． D．2或 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程 【分析】由数轴上表示的点与表示x的点距离为3，可得，再利用绝对值的含义可得答案． 【详解】解：∵数轴上表示的点与表示x的点距离为3， ∴，即， ∴或， 解得：或． 故选D． 【点睛】本题考查的是绝对值方程的应用，数轴上两点之间的距离，熟练的利用两点之间的距离建立方程是解本题的关键． 29．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】绝对值方程、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了化简绝对值，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值得，，结合，进一步即可作答． （2）根据，得出，再结合，得，，则的值为或，即可作答． 【详解】（1）解：，， ，， 又， ，或，， 或． （2）解：， ， ，， ，， ∴，或，， 或． 题型十四、配套问题(一元一次方程的应用) 30．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）现有工人42人，平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮配成一套，要使每天生产的大小齿轮刚好配套，应该怎样分配工人？设安排x人生产了大齿轮，由题意可设方程为 ． 【答案】 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据1个大齿轮与2个小齿轮配成一套，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决． 【详解】设安排x人生产了大齿轮， 则可列方程为． 故答案为：． 31．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：每张硬纸板剪6个侧面；B方法：每张硬纸板剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法． (1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问多少张硬纸板用A方法裁剪？能做多少个盒子？ 【答案】(1)侧面个数为个，底面的个数为个； (2)裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，7张硬纸板用A方法裁剪，能做30个盒子． 【知识点】列代数式、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由x张用A方法，就有张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数； （2）根据侧面个数和底面个数比为，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵裁剪时x张用A方法， ∴裁剪时张用B方法， ∴用B方法裁剪侧面的个数为：（个）， 用B方法裁剪底面的个数为：（个）， ∴裁剪出的侧面的个数为：个， 底面的个数为：个， （2）解：由题意得：， 解得：， ∴盒子的个数为：（个）． 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，7张硬纸板用A方法裁剪，能做30个盒子． 题型十五、工程问题(一元一次方程的应用) 32．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需（   ）天． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】由题意一项工程甲单独做要10天完成，乙单独做需要6天完成，可以得出甲每天做整个工程的，乙每天做整个工程的，根据文字表述得到题目中的相等关系是：甲完成的部分两人共同完成的部分． 【详解】解：设完成这项工程共需x天，则甲做了x天，乙做了天，根据关系式甲完成的部分两人共同完成的部分列出方程式为： ， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程式的运用，解题的关键是找到等量关系． 33．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）一件工作，甲独做要4小时完成，乙独做要6小时完成，则甲乙两人合作这件工作要 小时完成． 【答案】/2.4 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，工程问题中工作量，工作效率，工作时间之间的关系，求出甲乙的工作效率是解决本题的关键． 设出该工作的工作量为1，合作这件工作需要t小时，分别计算出甲乙的工作效率，再根据“工作时间工作效率工作量”求解即可． 【详解】解：设该工作的工作量为1， ∵甲独做要4小时完成， ∴甲的工作效率为， ∵乙独做要6小时完成， ∴乙的工作效率为， ∴ 甲乙合作需：， 解得， 则甲乙两人合作这件工作要小时完成． 故答案为： ． 34．（24-25七年级·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 【答案】在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时， 由题意得，， 解得：， 则， 答：机器人在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时． 题型十六、销售盈亏(一元一次方程的应用) 35．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）某商店某天出售A、B两件不同商品，售价都是120元，已知出售A盈利，出售B亏了，那么商店这天的盈亏情况如何（   ） A．不盈不亏 B．盈利40元 C．盈利10元 D．亏10元 【答案】D 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意，列方程求出两件衣服的进价，进而求出总盈亏．设A商品的进价为元，，依题意得：，设B商品的进价为元，依题意得：，求出、的值，进一步即可得答案． 【详解】解：设A商品的进价为元， 依题意得：， 解这个方程得：， 设B商品的进价为元， 依题意得：， 解这个方程得：， ∴亏损10元 故选：D． 36．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）商场经销的两种商品，A种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元． (1)A种商品每件进价为_______元，每件B种商品利润率为_______． (2)商场同时购进两种商品共50件，售完之后恰好总利润为1300元，求购进A种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对两种商品进行如下的优惠促销的活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠 若小明两次购买商品分别付款360元和540元，若两次合并成一次性付款可以比两次购物分别付款节省多少元？ 【答案】(1)， (2)购进种商品20件 (3)节省元或元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设种商品每件售价为元，根据的利润率为，列出方程求出的值，根据利润率利润成本计算可求每件种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总利润为1300元，列出方程求解即可； （3）先分别计算小明两次购买商品的实际金额，再分两种情况讨论，列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设种商品每件进价为元， 则， 解得：． 故种商品每件进价为40元； 每件种商品利润率为． 故答案为：，； （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得：， 解得， 答：购进种商品20件． （3）解：小明两次购买商品分别付款360元和540元， ∴小明第一次购买商品的实际金额为360元， 设小明第二次购买商品的实际金额为元， 当时，， 解得：， 当时，则， 解得：， 当小明两次购买商品实际金额为360元和600元， 两次合并成一次性付款为：（元）， ∴节省（元）； 当小明两次购买商品实际金额为360元和680元， 两次合并成一次性付款为：（元）， ∴节省（元）． 答：两次合并成一次性付款可以比两次购物分别付款节省元或元． 题型十七、比赛积分(一元一次方程的应用) 37．在某年全国足球超级联赛的前场比赛中，某队保持连续不败，共积分，按比赛规则，胜一场得分，平一场得分，那么该队共胜了多少场？分析：设该队共胜了场，根据题意，用含的式子填空； （1）该队平了 场； （2）按比赛规则，该队胜场共得 分； （3）按比赛规则，该队平场共得 分． 【答案】 ． 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】可设该队胜场为，根据“11场比赛保持连续不败”，那么该队平场的场数为，由题意可得出：，解方程求解． 【详解】解：设该队共胜了场，根据题意，可得：（1）； （2）； （3）； 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查列一元一次方程解足球比赛得分问题，列一元一次方程解足球赛问题的关键是抓住胜的场数与平的场数的关系，根据积分总数列出方程． 38．一足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛了9场，得分17分．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场？又平了几场？ 【答案】这个队胜了5场，又平了2场 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，得到总分的等量关系是解决本题的关键． 设这个队胜了x场，则平了场，根据三种比赛结果的得分之和为17分建立方程求出其解即可． 【详解】解：设这个队胜了x场，则平了场， 由题意，得 解得：． 故这个队胜了5场，又平了2场． 题型十八、方案选择(一元一次方程的应用) 39．把一些图书分给某组学生阅读，如果每人分4本，则剩余1本；如果每人分5本，则还缺4本，这个小组的学生有 人． 【答案】5 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】设这个班有x名学生，根据“如果每人分4本，则剩余1本；如果每人分5本，则还缺4本”建立方程求解即可． 【详解】解：设这个小组的学生有x本 4x+1=5x-4 x=5 故答案为：5． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 40．（24-25七年级上·江苏南京·期末）（用一元一次方程解决问题）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如下表所示的购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元）     优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 （包含100） 无优惠 （包含200） 无优惠 （包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为220元的商品，去______家超市更划算； (2)小李带了234元去购物，为了买到原价最多的商品，应选择哪家超市并说明理由． 【答案】(1)甲 (2)应选择甲超市，理由见解析 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）计算在甲、乙超市购物分别所付的费用，再比较大小即可得出结论； （2）先求出234元在甲超市能购买的商品原价，再通过列一元一次方程求出在乙超市能购买的商品原价，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：在甲超市购物所付的费用为：（元）， 在乙超市购物所付的费用为：（元）， ， 去甲超市更划算． 故答案为：甲． （2）解：应选择甲超市，理由如下： 在甲超市能购买的商品原价为：（元）， 设在乙超市能购买的商品原价为元， 由题意得，， 解得：， ， 为了买到原价最多的商品，应选择甲超市． 题型十九、数字问题(一元一次方程的应用) 41．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，将正整数1至1000按一定规律排列，整体平移表中带阴影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2024 【答案】A 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设第一个数为，则第二个数为，第三个数为，三个数的和为，分别让三个数的和，等于选项中的各数，求出的值为正整数，即可． 【详解】解：设第一个数为，则第二个数为，第三个数为， ∴三个数的和为， 当时，，，位于第排第列，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 故选：A． 42．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）试验与探究我们知道写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以为例进行讨论：设，由，可知，，解方程得，于是得．请仿照上述例题完成下列各题： (1)请你把无限循环小数写成分数，即=______． (2)你能化无限循环小数为分数吗？请仿照上述例子求之． 【答案】(1) (2) 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查循环小数化分数的方法，一元一次方程，掌握循环小数化分数的方法，一元一次方程是解题关键． （1）设，将循环小数转化为，利用等式性质，两边都扩大10倍，得出方程，解方程即可； （2）设，利用等式性质两边都扩大100倍，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：解：（1）设，由， 即， 解方程得， 于是得：， 故答案为：； （2）解：设，由， 即， 解方程得， 于是得． 题型二十、几何问题(一元一次方程的应用) 43．（24-25七年级上·江苏南通·期末）满足的所有整数a的积为 ． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了绝对值的意义，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分，，三种情况讨论，然后分别解一元一次方程求解即可． 【详解】∵表示a到距离和a到2的距离之和 ∴当时， 解得； 当时， 方程无解； 当时， 解得； ∴ ∴所有整数a的积为． 故答案为：． 44．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）对于数轴上的三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”．例如数轴上点所表示的数分别为，此时点是点的“三倍点”． (1)若点表示数，点表示数，点是点的“三倍点”，且点在之间，则点表示的数为_______． (2)点表示数，点表示数，为数轴上一点． ①若点在点的左侧，且点是点的“三倍点”，求此时点表示的数； ②若点在点的右侧，点中，有一个点恰好是其它两个点的“三倍点”，直接写出此时点表示的数_______． 【答案】(1)或 (2)①或或；②或或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（）根据“三倍点”的定义解答即可； （）①根据“三倍点”的定义分点在点之间和点在点左侧两种情况解答即可；②分三种情况：点是点的“三倍点”；点是点的“三倍点”；点是点的“三倍点”，分别列出方程解答即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点是点的“三倍点”， ∴或， 设点表示的数为， 则或， 解得或， ∴点表示的数为或； （2）解：①设点表示的数为， 当点在点之间时， ∵点是点的“三倍点”， ∴或， 即或， 解得或， ∴此时点表示的数为或； 当点在点左侧时， ∵点是点的“三倍点”， ∴， 即， 解得， ∴此时点表示的数为； 综上，点表示的数为或或； ②设点表示的数为， 当点是点的“三倍点”时， 则， 解得； 当点是点的“三倍点”时， 则或， 解得或； 当点是点的“三倍点”时， 则， 解得； 综上，此时点表示的数为或或或， 故答案为：或或或． 题型二十一、动点问题（一元一次方程的应用） 45．（2023七年级上·江苏·专题练习）在数轴上，点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移2个单位长度，得到点C．若C是中点，则a的值为(   ) A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意得：点A向右平移2个单位长度得到C为，再由点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，且C是的中点，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点A向右平移2个单位长度得到C为， ∵点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，且C是的中点， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，求出点C表示的数是解决本题的关键． 46．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点，点，点，点处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点表示，点表示4，点表示8，点表示12，点表示14，我们称点和点在数轴上相距18个长度单位．动点从点出发，以4单位/秒的速度沿着“坡面数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变，当点运动至点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒，问： (1)动点从点运动至点需要________秒，此时点所对应的数是________； (2)，两点在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，两点在数轴上相距的长度是，两点在数轴上相距长度的2倍． 【答案】(1)；8 (2)点所对应的数 (3)或秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握时间等于路程除以速度，正确的列出方程． （1）根据时间等于路程除以速度，分成三部分进行求解即可； （2）先求出点到达点时，的位置，再求出两者还需要经过多长时间相遇，以及这段时间点的路程，即可得出结论； （3）分点分别在段时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：点上坡时速度为单位/秒，下坡时速度为单位/秒， 点上坡时速度为单位/秒，下坡时速度为单位/秒， ，，，，， ∴点从点运动至点需要（秒）； 点从点运动到点需要（秒），从点运动到点需要：（秒） ∴当点从点运动至点时，点运动到点； ∴点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由（）可知，，两点在处相遇时，点在段， 点由到点用时为秒， 点从到用时为秒，从又运动了： ， 当点到达点时，点距离点单位长度， 再经过秒，相遇， 点经过的路程为：单位长度， 点为， 故点对应数为． （3）解：当点在段时，点在段时， ，， ∴，此方程无解；不符合题意； 当点在段时，点在 段， 若 ，则 ，， ，解得：秒； 当点在段时，点在段，，， ，解得：秒（不符合题意） 当点在段，点在段，，． ∴，解得：秒； 当点在段，点在段，，． ∴，解得：秒，不符合题意； 综上所述，或秒． 题型二十二、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 47．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）若干户外旅行者住民宿，如果每间客房住6人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就恰好空出1间客房．设该民宿有客房x间，则列方程为 【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】设该民宿有客房间，则户外旅行者有人，由题意：如果每间客房住8人，那么就恰好空出1间客房．列出一元一次方程即可． 【详解】解：设该民宿有客房间，则户外旅行者有人， 根据题意，得， 故答案为：． 48．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）某校男生人数的等于女生人数的，男生人数的比女生人数的少4人，这个学校共有学生多少人？ 【答案】310人 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设这个学校男生的人数为人，则女生的人数为人，根据题意建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：设这个学校男生的人数为人，则女生的人数为人， 由题意得：， 解得， 则这个学校学生的总人数为（人）， 答：这个学校共有学生310人． 题型二十三、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 49．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过20吨，按每吨a元收费；若超过20吨，则超过部分按每吨元收费，如果某户居民十月份缴纳水费元，则该居民这个月实际用水 吨． 【答案】40 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该居民这个月实际用水吨，根据某户居民十月份缴纳水费元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：每月每户用水不超过20吨，按每吨元收费， 缴纳水费元， 某户居民十月份缴纳水费元，， 该居民这个月实际用水超过20吨， 设该居民这个月实际用水吨，则， 根据题意得：， 解得：， 即该居民这个月实际用水40吨， 故答案为：40 50．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市自来水具体收费价格见下表： 每月用水量 单价（单位：元/） 不超过的部分 2 超过，但不超过的部分 4 超过的部分 8 (1)该市一户居民月用水10立方米时，其当月交费______元． (2)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月交费52元? (3)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月的平均水费为每立方米元? 【答案】(1) (2)居民月用水立方米 (3)居民月用水立方米 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握列一元一次方程解应用题的方法和步骤，确定等量关系是列一元一次方程的关键． （1）根据第一阶梯用水收费标准解题即可； （2）先确定该收费属于第二阶梯，再根据收费相等列出方程，求出解即可； （3）先根据平均收费确定收费属于第三阶梯，再根据收费相等列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：元， 故答案为：； （2）解：∵元元，元， ∴该户居民月用水超过立方米但不超过立方米． 设该户居民月用水立方米， ， 解得， 所以该市一户居民月用水立方米． （3）解：∵． ∴该户居民月用水超过立方米． 设该户居民月用水y立方米， ， 解得． 所以该市一户居民月用水立方米． 题型二十四、行程问题(一元一次方程的应用) 51．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用，若轮船在静水中速度为，水流速度是，则港和港相距 ． 【答案】75 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设港和港相距，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设港和港相距，根据题意得： ， 解得：， 答：港和港相距． 故答案为：75 52．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）甲、乙两车分别从相距的、两地出发，沿足够长的公路行驶，甲车速度为，乙车速度为．两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），多长时间后两车相距？ 【答案】10小时或26小时后两车相距 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握行程问题中的一些等量关系，能够设未知数并列出方程．分情况讨论，相遇之前相距和相遇之后相距，设时间为x小时，列方程求解． 【详解】解：依题意，两车相距分两种情况， ①相遇之前相距，乙车路程一开始相距的距离甲车路程， 列式：， 解得， ②相遇之后相距，甲车路程（乙车路程一开始相距的距离）， 列式：，解得， 答：10小时或26小时后两车相距． 题型二十五、比例分配(一元一次方程的应用) 53．某学校组织秋游，原计划用45座的客车若干辆，则5人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出一辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有 名． 【答案】500 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】设原计划用车x辆，根据参加秋游的学生人数可列出方程，解方程即可求解． 【详解】设原计划用车x辆，依题意有 45x+5＝50（x﹣1）， 解得x＝11， 50（x﹣1）＝50×（11﹣1）＝500． 故参加秋游的学生一共有500名． 故答案为：500． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答． 54．下面是某校七年级数学课外活动小组的两位同学对话，根据对话内容求这个课外活动小组现在的人数． 甲：我们女生人数占现在全组人数的一半 乙：还有6位男生将加入我们小组，他们全部加入后男生人数将占全组人数的． 【答案】12人 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】设现在全组人数为x人，则现在男生有人，然后根据再增加6名男生，那么男生人数将占全组人数的列方程，再解方程即可． 【详解】设现在全组人数为x人，则现在男生有人， 根据题意得：， 解得：人． 答：这个课外活动小组现在的人数为12人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知数为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 题型二十六、日历问题(一元一次方程的应用) 55．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）小淇在某月的日历上圈出相邻的三个日期a，b，c，并求出它们的和是45，则三个日期在日历中的排布不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解． 【详解】解：A、设最小的数是x，则，．故本选项不符合题意； B、设最小的数是x，则，不合题意，故本选项符合题意； C、设最小的数是x，则，，故本选项不符合题意； D、设最小的数是x，则，，本选项不符合题意． 故选：B． 56．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）把正整数1，2，3，4，…，2025按如图方式排列成一个表． (1)如图，用一个正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是______、______、______； (2)当（1）中被框住的4个数之和等于216，x的值为多少？ (3)在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于156？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由． 【答案】(1) ，， (2) (3)不能，理由见解析 【知识点】列代数式、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． （1）观察可知，方框内的数下面一行的数比上面一行的数大7，由此列出对应的式子即可； （2）根据（1）所列式子建立方程求解即可； （3）仿照（2）进行求解即可． 【详解】（1）解：用一个正方形框在表中任意框住个数，记左上角的一个数为，另三个数用含的代数式表示，则另三个数用含的式子表示为：，，， 故答案为，，； （2）解：根据题意，得．， 解得． ∵， ∴是第8行第1个数， ∴符合题意； （3）解：不能．理由： 假设能框住这样的个数，它们的和等于156，则 ， 解得， 因为35是第5行最后一个数， 所以不符合题意， 因而不能． 题型二十七、古代问题(一元一次方程的应用) 57．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则满足题意的方程是 ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故答案为：． 58．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，壶中原来有酒多少什？ 【答案】壶中原来有酒升 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设壶中原来有酒升，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设壶中原来有酒x升，由题意可得 ， 解得， ∴壶中原来有酒升． 题型二十八、其他问题(一元一次方程的应用) 59．（24-25七年级上·江苏南京·期末）用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 设木长x尺，则绳子长尺，根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出方程． 【详解】解：设木长x尺，则绳子长尺， 根据题意得：， 故选：B． 60．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段练习）【新知探索】观察下列运算：，；，；，． 【类比归纳】类比我们学习的有理数的运算法则的过程，归纳出“”运算法则：两数进行“”运算时，同号得_______，异号得_______，并把绝对值_______；0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“※”运算，得这个数的_______． 【新知内化】计算：=_______． 【思维拓展】计算：． 【自主建构】当整数、满足时，求的值． 【答案】【类比归纳】正；负；相加；相反数；【新知内化】；【思维拓展】5050；【自主建构】或 【知识点】有理数加法运算、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查定义新运算、解一元一次方程： （1）【类比归纳】观察题干找出规律即可填空； （2）【新知内化】根据【类比归纳】中规律进行计算即可； （3）【思维拓展】根据【类比归纳】中规律去掉“”，用倒序相加的方法可求的结果； （4）【自主建构】根据结果为负可知和的运算结果异号，由此可分四种情况讨论即可：①m、n同正号；②m、n同负号；③，；④，． 【详解】解：（1）【类比归纳】根据【新知探索】给出的计算规则可知：两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“※”运算，得这个数的相反数， 故答案为：正；负；相加；相反数； （2）【新知内化】， 故答案为：； （3）【思维拓展】， 设， 则， ①②，得 ∴； （4）【自主建构】∵， ∴和的运算结果异号， ①当同正号时， ， 则， ∵、为整数，， ∴或， ∴或， ∴或3； ②当同负号时， ∴或， ∴或， ∴或3； ③当时，， ，， ∴； ④当时，， ，， ∴； 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $