第4章 几何图形初步 章节（22知识点回顾+43题型巩固） 2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（沪科版2024）

第4章 几何图形初步 章节（22知识点回顾+43题型巩固） 目录 知识梳理 1.点、线、面、体 2.常见的几何体 3.几何图形 4.线段 5.射线 6.直线 7.直线的基本事实 8.线段的长短比较 9.作一条线段等于已知线段 10.线段的和差 11.线段的中点 12.线段的基本事实和两点之间的距离 13.角的定义 14.角的表示方法 15.角的度量与单位换算 16.方向角 17.角的大小比较 18.角的和、差 19.角平分线 20.补角和余角 21.余角、补角的性质 22.作一个角等于已知角 题型巩固 一、常见的几何体 二、立体图形的分类 三、几何体中的点、棱、面 四、点、线、面、体四者之间的关系 五、平面图形旋转后所得的立体图形 六、组合几何体的构成 七、直线、射线、线段的联系与区别 八、画出直线、射线、线段 九、两点确定一条直线 十、相交线 十一、直线、线段、射线的数量问题 十二、直线相交的交点个数问题 十三、线段的应用 十四、线段的和与差 十五、作线段(尺规作图) 十六、线段中点的有关计算 十七、两点之间线段最短 十八、两点间的距离 十九、线段n等分点的有关计算 二十、线段之间的数量关系 二十一、与线段有关的动点问题 二十二、最短路径问题二十三、角的概念理解 二十四、角的表示方法 二十五、角的分类 二十六、钟面角 二十七、方向角的表示 二十八、角度的四则运算 二十九、与方向角有关的计算题 三十、角的单位与角度制 三十一、角的度数大小比较 三十二、角的比较 三十三、角平分线的有关计算 三十四、角n等分线的有关计算 三十五、求一个角的余角 三十六、求一个角的补角 三十七、与余角、补角有关的计算 三十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 三十九、尺规作一个角等于已知角 四十、尺规作角的和、差 四十一、三角板中角度计算问题 四十二、几何图形中角度计算问题 四十三、实际问题中角度计算问题 知识梳理 知识点1.点、线、面、体 1. 点、线、面、体的定义 体： 长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体 . 面：包围着体的是面 .面有平面与曲面两种. 线：几何体中面与面相交形成线 . 线有直线和曲线 . 点：线与线相交得到点 . 2. 点、线、面、体的关系 知识点2.常见的几何体1. 几何体的分类： 几何体也可以按照柱体、锥体、球体等来分 . 多面体中面与面的交线是直的，它们叫作多面体的棱 . 多面体中棱与棱的交点叫作顶点 . 圆柱、圆锥中侧面与底面的交线是曲线 . 2. 常见的几何体 分类 图例 特征 柱体 圆柱 底面是圆；侧面是曲的面 有两个面(底面)互相平行且能完全重合 棱柱 底面是多边形；侧面是平行四边形 锥体 圆锥 底面是圆；侧面是曲的面 有一个顶点 棱锥 底面是多边形；侧面是三角形 各侧面有一个公共顶点 球体 表面是曲的面 知识点3.几何图形 1. 几何图形  几何图形是由点、线、面、体组成的 .其中点是最基本的图形，几何图形分为平面图形和立体图形 . 2. 平面图形和立体图形 定义 举例 平面图形 图形上面的各点都在同一个平面内，这样的图形叫作平面图形 直线、角、三角形、圆等 立体图形 图形上面的各点不都在同一个平面内，这样的图形叫作立体图形 长方体、圆柱体、球等 知识点4.线段 1. 线段的定义 像长方形的边、长方体的棱，这些图形都是线段. 2. 线段的特征 有两个端点，有长度，无方向 . 3. 线段的表示方法(如图 4.2-1) (1) 用线段的两个端点的大写字母表示； (2) 用一个小写字母表示 . 4. 线段的延长线  (1) 延长线段 AB，是指从端点 A 到 B 的方向延长，如图 4.2-2 ①所示； (2)延长线段 BA，是指从端点 B 到 A 的方向延长，也可以说成反向延长线段 AB，如图 4.2-2 ②所示 . 知识点5.射线 1. 射线的定义 将线段向一个方向无限延长就得到了射线 . 2. 射线的特征 有一个端点，有方向，无长短，向一个方向无限延长 . 3. 表示方法  用射线的端点和射线上另外一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)， 如图 4.2-4. 注意： (1) 同一条射线可以有不同的表示方法 . 如图 4.2-5，“射线OA”和“射线 OB”表示同一条射线 . (2) 端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如图4.2-5，“射线 AB”和“射线 AO”表示两条不同的射线 . (3) 端点不同，所表示的射线一定不同 . 如图 4.2-5，“射线OA”和“射线 AB”表示不同的射线 . 知识点6.直线 1. 直线的定义 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 . 2. 直线的特征 没有端点，无长短，向两方无限延伸. 3. 表示方法(如图 4.2-7) (1)用直线上任意表示两个点的大写字母表示(直线 AB)； (2)用一个小写字母表示(直线 l) 4.直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线 AB 或直线 l 射线 OA 线段 AB 或线段 a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 直线 射线 线段 联系 向反方向无限延伸，射线和线段都是直线的一部分 知识点7.直线的基本事实 1. 直线的基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 . 简单说成： 两点确定一条直线 . 2. 直线的性质 两条直线相交只有一个交点 . 说明： 经过一点的直线有无数条 . 知识点8.线段的长短比较 1. 叠合法 把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较. 2. 度量法 利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 .例如：比较线段 AB， CD 的长短，可以把它们移到同一条直线上，使一个端点 A 和 C 重合，另一个端点 B 和 D 落在点 A 的同一侧，如图 4.3-1. 拓展： 在比较几条线段的长短时，如果各条线段的长短差别较明显，而又不需要知道相差多少时，用目测的方法也可以比较出线段的长短 . 知识点9.作一条线段等于已知线段 1. 尺规作图 只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图 . 2. 画一条线段等于已知线段 a(如图 4.3-3 ①) (1) 方法一： 利用刻度尺先量出已知线段 a 的长度，再画一条等于这个长度的线段 . (2)方法二： 如图4.3-3②，用直尺画射线AC，以A为圆心，以线段 a 的长为半径画弧， 交射线 AC 于点 B， 线段 AB就是所求作的线段 . 知识点10.线段的和差 名称 文字叙述 图示 线段的和 如图所示，点 C 在线段 AB 的延长线上，如果线段 AB=a，线段 BC=b，那么线段AC 就是 a 与 b 的和，记作 AC=a+b. 线段的差 如图所示，点 D 在线段 AB 上，如果线段AB=a，线段 DB = b，那么线段 AD 就是 a与 b 的差，记作 AD=a－b. 知识点11.线段的中点 1. 线段的中点的定义 把一条线段分成两条相等的线段的点叫作线段的中点 . 如图 4.3-7，若 M 是线段 AB 的中点，则有 AM=BM= AB 或 AB=2AM=2BM. 2. 线段的等分点(拓展) 把一条线段分成 n 条相等的线段的点叫作线段的 n 等分点 . 如图 4.3-8，若 M， N 是线段 AB 的三等分点，则 有 AM=MN=NB=  AB. 如 图 4.3-9，若 M， N，P 是线段 AB 的四等分点，则有 AM=MN=NP=PB= AB . 知识点12.线段的基本事实和两点之间的距离 1. 线段的基本事实 两点之间的所有连线中，线段最短 . 2. 两点之间的距离 两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 . 如图 4.3-11，在 A， B 两点之间的所有线中，线段 AB 是最短的，线段 AB 的长度就是点A 与点 B 之间的距离 . 知识点13.角的定义 1. 角的定义 定义 示例 组成元素 “静”态的观点 有 公 共 端 点 的两 条 射 线 所 组成的图形叫作角 这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边 “动”态的观点 角 可 以 看 作 是一 条 射 线 绕 着其 端 点 从 一 个位 置 旋 转 到 另一 个 位 置 所 形成的图形 起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边 知识点14.角的表示方法 1. 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 表示方法 示例 记法 方法解读 用三个大写字母表示 ∠ AOB 或∠ BOA 字母 O 表示顶点，要写在中间， A， B 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 ∠ O 当以某一个点为顶点的角只有一个时，可用表示这个顶点的字母来表示该角 续表 表示方法 示例 记法 方法解读 用数字表示 ∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 . 该表示法形象直观 用希腊字母 表示 ∠ α 2. 角的分类  角可按照角的度数的大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角 . 具体如下表： 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 图例 角度 范围 0°<α <90° α =90° 90°<α <180° α =180° α =360° 知识点15.角的度量与单位换算 1. 角的度量单位  度、分、秒是常用的角的度量单位 . 把一个周角 360 等分，每一等份是 1 度的角，记作 1 ° ；把 1 ° 的角 60 等分，每一等份是 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60等分，每一等份是 1 秒的角，记作 1″ . 2. 角的换算  1 周角 =360° ， 1 平角 =180° ， 1° =60′， 1′ =60″， 1′ = () ° ， 1″ = () ′， 1° =60′ =3 600″， 1″ = () ′ = () ° . 知识点16.方向角 1. 方向角 平面测量时， 通常以正北、 正南方向为基准，描述物体运动的方向， 这种表示方向的角叫作方向角，在测绘、 航海中经常用到 . 示例： 如图 4.4-4， 射线 OA 的方 向 是 北 偏 东 30 ° ， 射 线 OB 的 方向是南偏西 60 ° ， 这里的 “北偏东30° ”和 “南偏西 60° ”就是方向角 . 2. 方向角的描述  一般地方向角是以第一个方向(正南或正北)为角的始边向第二个方向转动所形成的角 . 特殊方向角： (1)东北方向表示以正北为角的始边， 向东转 45° 时的射线的方向， 又叫北偏东 45° ； (2) 东南方向为南偏东 45° ；(3) 西南方向为南偏西 45° ；(4) 西北方向为北偏西 45° . 知识点17.角的大小比较 1. 度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 2. 叠合法 把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边重合在一起，另一条边放在重合边的同一侧，再通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.5-1. 使用叠合法比较角的大小时要注意两点： (1) 重合，即顶点重合，一条边重合； (2) 同侧，即另一条边放在重合边的同一侧 . 知识点18.角的和、差 角的和与差 文字描述 数学语言 图示 角的和 ∠ AOC 是 ∠ AOB与∠ BOC 的和 ∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC 角的差 ∠ AOB 是 ∠ AOC 与∠ COB 的差 ∠ AOB= ∠ AOC－∠ COB 知识点19.角平分线 1. 角的平分线 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 数学语言： 如图 4.5-5，若 OC 平分∠ AOB，则 ∠ AOC=∠ BOC= ∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB；反之，若∠ AOC= ∠ BOC=∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB，则 OC 平分∠ AOB. 2. 角的 n 等分线(拓展) 类似角的平分线，在角的内部，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，这样的射线叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 知识点20.补角和余角 1. 补角 如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角， 简称互补 . 数学语言： 如果∠ 3+ ∠ 4=180° ，就说∠ 3是∠ 4的补角，或∠ 4 是∠ 3 的补角， ∠ 3 与∠ 4 互为补角， 如图 4.5-8. 2. 余角  如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这 两个角互为余角，简称互余 . 数学语言： 如果∠ 1+∠ 2=90° ，就说∠ 1是∠ 2的余角，或∠ 2 是∠ 1 的余角， ∠ 1 与∠ 2 互为余角， 如图 4.5-9. 3. 互余、互补是指具有一定数量关系的两个角 . 知识点21.余角、补角的性质 1. 余角的性质  (1)同角的余角相等 .同一个角. 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 1+ ∠ 3=90° ，那么∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的余角相等 .度数相等的角. 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 3+ ∠ 4=90° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 2. 补角的性质 (1) 同角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 1+ ∠ 3=180° ，那么 ∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 3+ ∠ 4=180° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 知识点22.作一个角等于已知角 方法一 先用量角器量出已知角的度数， 再画一个等于这个已知角的度数的角 . 方法二 (尺规作图) 已知： ∠ AOB(如图 4.5-13 ①). 求作： ∠ A′ O′ B′，使∠ A′ O′ B′ = ∠ AOB. 作法： (1) 在 ∠ AOB 上 以 点 O 为 圆 心，任 意 长 为 半 径画弧，分别交 OA， OB 于点 M， N(如图 4.5-13 ①)； (2) 作射线 O′ M′， 并以点 O′为圆心， OM 长为半径画弧， 交 O′ M′于点 A′； (3) 以点 A′为圆心， MN 长为半径画弧， 与第(2) 步中所画弧交于点 B′； (4) 作射线 O ′ B ′， ∠ A ′ O ′ B ′就 是 所求作的角(如图4.5-13 ②) . 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．下列几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】本题主要考查了立体图形的识别， 根据圆柱体特征的理解逐项判断即可得出答案． 【详解】解：图C是圆柱． 故选：C． 题型二、立体图形的分类 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下面四个立体图形中，和其他三个立体图形不同类型的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题主要考查了立体图形．根据棱锥，棱柱的特征，逐项判断，即可求解． 【详解】解：B是棱锥，A，C，D是棱柱． 所以和其他三个立体图形不同类型的是B． 故选：B 题型三、几何体中的点、棱、面 3．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列说法：①柱体的上、下底面一样大；②棱柱的每条棱长可以相等；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤直棱柱的侧面一定是长方形．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查认识立体图形，掌握棱柱的形体特征是正确解答的关键．根据棱柱的形体特征逐个进行判断即可． 【详解】解：①柱体的上、下底面是形状相同，大小相等的图形，因此①正确； ②棱柱的每条棱长可以相等，例如正方体（四棱柱）的12条棱都相等，因此②正确； ③棱柱的底面不仅可以为四边形，也可以为三角形，五边形、六边形……因此③不正确； ④长方体是特殊的四棱柱，所以长方体一定是柱体是正确的，因此④正确； ⑤直棱柱的侧面一定是长方形，因此⑤正确． 综上所述，正确的结论有①②④⑤，共4个， 故选：C． 题型四、点、线、面、体四者之间的关系 4．（22-23七年级上·安徽宿州·阶段练习）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ． 【答案】线动成面 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】黑板擦与黑板接触的区域可以看做是一条线，擦出的干净区域为面，所以是线动成面． 【详解】解：黑板擦与黑板接触的区域可以看做是一条线，擦出的干净区域为面， 所以是线动成面， 故答案为：线动成面． 【点睛】本题考查了点动成线，线动成面，面动成体的相关知识，解题关键在于能够根据实际情况做出判断． 题型五、平面图形旋转后所得的立体图形 5．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图是一张长方形纸片，长为，长为，将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周． (1)所得到的几何体是______，这个现象用数学知识解释为______（选填“点动成线”，成面”“面动成体”）； (2)求形成的几何体的表面积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2)形成的几何体的表面积是 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系、平面图形旋转后所得的立体图形、 圆柱的表面积 【分析】本题主要考查了求圆柱的表面积，面动成体， 对于（1），根据长方形旋转得出圆柱解答； 对于（2），根据表面积等于两个底面积加上侧面积解答即可． 【详解】（1）解：所得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体． 故答案为：圆柱，面动成体； （2）解：绕所在直线旋转一周，形成底面半径为，高为的圆柱， ． 形成的几何体的表面积是． 题型六、组合几何体的构成 6．指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 【答案】题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；题图③由五棱柱、球组成． 【知识点】组合几何体的构成 【分析】此题考查了立体图形的识别，明确常见立体图形的特征是解答此题的关键；仔细分析给出的三个立体图形，结合常见的立体图形的特征即可解答题目． 【详解】解：题图①由正方体、圆柱、圆锥组成； 题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成； 题图③由五棱柱、球组成． 题型七、直线、射线、线段的联系与区别 7．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段有关的概念辨析，根据射线，线段，直线的概念对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、点C在线段的延长线上，即线段不经过点，原说法错误，不符合题意； B、射线的端点是点，原说法错误，不符合题意； C、直线与直线相交于点P，原说法正确，符合题意； D、射线和线段没有交点，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型八、画出直线、射线、线段 8．对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，据此进行选择． 【详解】A．线段CD不能延伸，直线延伸方向，与线段无交点，直线和线段不能相交； B．射线可以无线延伸，这条射线与这条直线能相交； C．线段CD不能延伸，射线EF延伸的方向与线段无交点； D.直线和射线的延伸方向，得两者不能相交． 故选B． 【点睛】本题考查了相交线，理解直线、线段和射线的延伸性是关键． 9．如图，A，B，C，D四点不在同一直线上，根据下面的要求作图． （1）作线段AB，CD． （2）作射线DA与射线CB交于点E． （3）作直线AC和直线BD交于点F． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】画出直线、射线、线段 【详解】解：（1）如图所示，线段AB，CD即为所求； （2）如图所示，射线DA与射线CB交于点E即为所求； （3）如图所示，直线AC和直线BD交于点F即为所求． 【点睛】本题主要考查了点、线段、射线、直线的定义，熟练掌握点、线段、射线、直线的定义是解题的关键． 题型九、两点确定一条直线 10．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是 ． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质，解题的关键是正确掌握直线的性质．先让两个同学站好，实质是确定两定点，而由两点即可确定一条直线． 【详解】解：由题意可知：这种做法依据的几何知识应是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 题型十、相交线 11．a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】相交线 【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 题型十一、直线、线段、射线的数量问题 12．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图所示，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有个点时，线段总数共有条，如果上有个点时，线段总数共有条，如果线段上有个点时，线段总数共有条，． (1)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？ (2)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？（用含的式子表示） (3)当时，线段总数共有多少条？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题主要考查了线段的数量问题，用代数式表示图形的规律，代数式求值等知识点，从图形中发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题意，数出线段的条数即可求解； （2）从图形中发现并总结出一般规律，然后用代数式表示出图形的规律即可； （3）将，代入（2）中的关系式即可得出答案． 【详解】（1）解：当线段上有个点时，线段总数共有条， 答：当线段上有个点时，线段总数共有条； （2）解：当线段上有个点时，线段总数共有条， 当线段上有个点时，线段总数共有条， 当线段上有个点时，线段总数共有条， ， 当线段上有个点时，线段总数共有：条， 答：当线段上有个点时，线段总数共有条； （3）解：当时， 线段总数共有条， 答：当时，线段总数共有条． 题型十二、直线相交的交点个数问题 13．若四条不重合的直线在平面内交点的个数为a，则a的最大取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查了直线与直线的交点问题． 根据直线与直线的位置关系，列出所有情况判断即可． 【详解】解：图1：当四条直线平行时，无交点； 图2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有3个交点； 图3：当两两直线平行时，有4个交点； 图4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有5个交点； 图5：当四条直线同交于一点时，只有1个交点； 图6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点； 图7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点； 综上所述，a的最大取值为6， 故选D． 题型十三、线段的应用 14．图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【知识点】线段的应用 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键． 连接，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知，， ∴表示她最好成绩的点是点，即该同学投掷铅球最好的成绩是的长． 故选：A． 题型十四、线段的和与差 15．（2024七年级上·安徽·专题练习）已知A、B、C三点位于同一条直线上，线段，，则的长是（　　） A．13 B．3 C．13或3 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和与差，运用分类讨论思想是解题的关键． 由题意先讨论点A、B、C三点之间的位置关系，然后分两种情况讨论：点在线段上，点在线段的延长线上，再分别画出图形，进而根据线段之间的和差关系，得到正确答案． 【详解】解：分两种情况讨论： （1）当点在线段上时， 如图， ， 又，， ； （2）当点在线段的延长线上时， 如图， ， 又，， ； 综上，的长是或， 故选：C． 16．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，已知点在线段上，点，分别在线段和线段上，且，． (1)若，，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查线段的和差计算，找出图中线段之间的等量关系是解题的关键． （1）首先由，可得，，然后根据，可求出和，最后根据可得答案． （2）由（1）可知，，两式相加可得，即，代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 题型十五、作线段(尺规作图) 17．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段a、b、及内部一点P．按下列要求画出图形（保留作图痕迹，不写作法）； ①用无刻度的直尺和圆规在∠O的一条边上作线段，另一条边上作线段； ②画出直线； ③画射线与直线相交于点C； 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查了作已知线段相等的线段，画直线，射线，解题的关键在于能够熟练掌握线段，射线，直线的作图方法．①以O点为圆心，以线段a的长为半径画弧，分别与交于A、D，再以D为圆心，以线段b的长为半径画弧，交于B，则点A、B即为所求；②连接并向两端延长即可得到直线；③连接与交于点C，延长即可得到答案 【详解】解：如图所示， 题型十六、线段中点的有关计算 18．（24-25七年级上·安徽安庆·月考）如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，， （1） ； （2）连续这样操作4次，则 ． 【答案】 32 4 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算： （1）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）∵的中点是，的中点是， ∴，． ∵， ∴． 故答案为：32； （2）同理可得，，． 故答案为：4． 题型十七、两点之间线段最短 19．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）为了行人便利，某十字路口设置了俯视示意图．若想走近路，从位置到位置的两条路径“”和“”中，你会选择路径，选择的依据是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行作答即可． 【详解】解：这样选择的依据是：两点之间，线段最短； 故答案为：两点之间，线段最短． 题型十八、两点间的距离 20．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图所示，在A，B，C三个小区中分别住有某厂职工30人，15人，14人，且这三个小区在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知米，米．若该厂接送职工上下班的厂车打算在此路段只设一个停靠点，为使这三个小区所有职工步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（    ） A．点A B．点B C．之间 D．之间 【答案】A 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了比较线段的长短．由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ②以点B为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ③当在之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则，则所有人的路程的和是：， ④当在之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则，则所有人的总路程为． ∴该停靠点的位置应设在点A； 故选：A． 21．如图，已知，是线段上的两点，，． （1）图中以点，，，中任意两点为端点的线段共有 条； （2）设，求的长． 【答案】（1）6；（2）AD=21 cm． 【知识点】两点间的距离 【分析】（1）分别写出各个线段即可得出答案； （2）根据线段三等分点的定义以及线段的和差即可求得AD的长． 【详解】（1）线段有：AC，AD，AB，CD，CB，DB共6条， 故答案为：6； （2）∵CD=2DB=12 (cm)， ∴CB= CD+DB=12+6=18 (cm)， ∵AC：AB=1：3， ∴AC=AB， ∴CB=AB=18 (cm)， ∴AB=27 (cm)， ∴AC=AB==9 (cm)， AD=AC+ CD=9+12=21 (cm) ． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用三等分点的性质以及线段的和差得出CB与AB的长是解题关键． 题型十九、线段n等分点的有关计算 22．如图，已知M是线段的三等分点，E是线段的中点，且线段，求线段的长度． 【答案】 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和与差． 先根据M是线段的三等分点求出，再根据E是线段的中点求出，根据计算即可． 【详解】解：M是线段的三等分点且， ， E是线段的中点， ， （）． 题型二十、线段之间的数量关系 23．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了两点间的距离的应用，解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个解． 根据比例设，则，分为两种情况：①当含有线段的绳子最长时，，②当含有线段的绳子最长时，，求出每个方程的解，代入求出即可． 【详解】解：根据题意，设，则， ①∵将一根绳子对折后得到线段，从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为， ∴当含有线段的绳子最长时，， 解得：， 即绳子的原长是 ； ②当含有线段的绳子最长时，， 解得：， 即绳子的原长是； 故答案为或． 故选：C. 题型二十一、与线段有关的动点问题 24．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 题型二十二、最短路径问题 25．如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【答案】见解析 【知识点】最短路径问题 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点E，过点E作垂直河岸于点F，则为所建桥的位置． 【详解】解：如图所示，即为所作． 题型二十三、角的概念理解 26．下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共点的两条射线叫做角 C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 【答案】D 【知识点】角的概念理解 【分析】本题主要考查角的定义，根据具有公共点的两条射线组成的图形叫做角，即可判断出选项A、B的正误；根据一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，即可判断出选项C和D的正误． 【详解】解：角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角． 角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角． 依据上述知识，可得选项A、B、C是错误的． 故选：D． 题型二十四、角的表示方法 27．下列图形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角的表示方法 【分析】根据角的表示方法分别进行分析即可． 【详解】、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误； 、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误； 、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误； 、能用，，表示同一个角，故此选项正确； 故选：． 【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法． 题型二十五、角的分类 28．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： （1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O； （2）画出射线OC和射线OD； （3）在以上图形中，共有 　 　个锐角，共有 　 　个小于180°的角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2，5 【知识点】画出直线、射线、线段、角的分类 【分析】（1）根据直线和线段中点的定义，即可求解； （2）根据射线的定义，即可求解； （3）根据题意可得锐角有∠AOC，∠BOD，小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，直线AB，点O即为所求； （2）射线OC、OD即为所求； （3）锐角有∠AOC，∠BOD，共有2个， 小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，共5个． 【点睛】本题主要考查了直线、射线和线段中点的定义，角的分类，熟练掌握直线、射线和线段中点的定义，角的分类是解题的关键． 题型二十六、钟面角 29．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）时钟面上的时针与分针夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角，首先求出时针每分钟旋转，然后得到数字10个数字2之间的夹角为，时针10分钟旋转了，进而求解即可．解题的关键是掌握时针每分钟旋转． 【详解】解：钟表上共有12个刻度， ∴相邻两个刻度间的度数为， ∴时针每分钟旋转， 数字10与数字2之间的夹角为， ∴当时，时针10分钟旋转了 ∴分针和时针的夹角为． 故选：A． 30．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）当时钟时，时针与分针所夹的角(小于平角)的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角，根据钟面平均分成份，可得每份的度数；根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：钟面每份是，上午时时针与分针相距份， 此时时钟的时针与分针所夹的角(小于平角)的度数是． 故答案为：． 题型二十七、方向角的表示 31．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）学习情境·方位角：如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点B，乙从点A出发向南偏西方向走到点C，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方向角，先求得与正东方向的夹角的度数，即可求解． 【详解】解：与正东方向的夹角的度数是：， 则． 故选：C． 题型二十八、角度的四则运算 32．（24-25七年级上·安徽六安·期末） ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了角度的四则运算，掌握度、分、秒的换算是解题关键． 根据度、分、秒的换算及角度的四则运算求解即可． 【详解】解：． 故答案为： 题型二十九、与方向角有关的计算题 33．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在点的东北方向，点在点的南偏东方向，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查方向角，根据方向角的定义结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴； 故选B． 34．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西， ，则射线的方向是 ； 【答案】南偏东 【知识点】方向角的表示、与方向角有关的计算题 【分析】本题考查的是方向角的含义，先标注字母，求解，，从而可得答案. 【详解】解：如图，标注字母， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则射线的方向是南偏东． 故答案为：南偏东 题型三十、角的单位与角度制 35．计算： ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算 【分析】本题考查角度的运算，注意将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60是解答此题的关键． 首先将分化为秒，乘以60，与秒相减，将度化为分与分相减，最后度与度相减． 【详解】解：， 故答案为：． 题型三十一、角的度数大小比较 36．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）比较大小： ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较 【分析】本题考查的度分秒的换算以及角的大小比较，解题的关键是将角的度数换算成度分秒的形式． 将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三十二、角的比较 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【知识点】角的比较 【分析】本题考查了角的大小比较，数形结合是解题的关键．作，由图可知，即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， 故选：A． 题型三十三、角平分线的有关计算 38．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，角的和差关系求出的度数，再根据角平分线的定义，求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选B． 39．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系，倍数关系，是解题的关键． （1）根据平角的定义结合，求出的度数，再根据角平分线的定义即可得出结果； （2）先求出的度数，再根据角平分线的定义求出，再用即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型三十四、角n等分线的有关计算 40．已知为的三等分线，若，则 °． 【答案】或/100或50 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】本题可根据三等分线的定义来求解的度数．分射线靠近和射线靠近两种情况进行解答即可． 【详解】解：为的三等分线，， 当射线靠近时，， 当射线靠近时，， 故答案为：或． 题型三十五、求一个角的余角 41．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）已知，则的余角为 （结果用度表示）． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了互余的概念，角度的计算，理解互余的概念及计算是解题的关键． 将用度表示，再根据互余的概念即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为： ． 题型三十六、求一个角的补角 42．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知，则的补角等于 ． 【答案】 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题主要考查了余角和补角，熟练掌握补角定义的应用是解题关键．根据两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，列式计算． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为： 题型三十七、与余角、补角有关的计算 43．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，O是直线一点，，平分，图中与互余的角有m个，与互补的有n个．（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了互余和互补的定义，角平分线的定义，根据“相加等于90度的两个角互余，相加等于180度的两个角互补”即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与互余的角有、、共3个，即； ∴， ∴，即， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴ ∴与互补的角有、，共2个，即． 故选：D． 44．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，，求的度数．结合图形，完成填空： ① 所以 ② 因为 所以 在上面①到②的推导过程中，理由依据是： ．    【答案】90，，40，同角的余角相等 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了直角三角形的性质． 根据直角三角形两锐角互余，同角的余角相等补全过程即可． 【详解】 ① 所以 ② 因为 所以 在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等． 故答案为：90，，40，同角的余角相等 题型三十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 45．已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】根据同角的补角相等作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了同角的补角相等，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 题型三十九、尺规作一个角等于已知角 46．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）尺规作图：如图，已知平面上三点，，（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作射线，线段； (2)作，交射线于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义，作一个角等于已知角等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据射线，线段的定义画出图形； （2）根据作一个角等于已知角的方法作出图形即可． 【详解】（1）如图所示，射线，线段即为所求； （2）如图所示，点即为所求； 题型四十、尺规作角的和、差 47．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，利用无刻度的直尺和圆规作图（不要求写作法）． (1)求作：的补角； (2)求作：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】尺规作角的和、差 【分析】本题考查了利用尺规作角的和差，熟练掌握尺规作图法是解题的关键． （1）延长到，即为所求； （2）在的左侧作，即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 题型四十一、三角板中角度计算问题 48．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知一副直角三角板按如图的位置放置，其中，，经测量，则度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查与三角板有关的计算，利用，求出的度数，再用，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 题型四十二、几何图形中角度计算问题 49．从点O出发引三条射线，使，则的度数是 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】此题考查角的和差倍分，根据射线的位置不明确，所以本题难点在于要分两种情况讨论；因为两角的位置关系不明确，所以分射线在的内部和外部两种情况讨论求解，即或． 【详解】解：如图1点在内部 如图2点在外部 故答案为：或． 题型四十三、实际问题中角度计算问题 50．在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的比较、实际问题中角度计算问题 【分析】此题考查了角的和差和网格的特征等知识，求出是关键．根据网格的特征和角的和差解答即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 由图可知，， ∴ 故选：B 51．如图1所示，．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转1°．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转5°，当其与射线或射线相遇时，保持运动速度不变但运动方向发生改变，如此往返．当时，运动停止．设运动时间为秒． (1)当时，求与的度数； (2)如图2，当射线还未与射线相遇，且其为的平分线时，求的值； (3)试求出整个运动过程中，射线与射线一共相遇了几次？ 【答案】(1)， (2)或 (3)5次 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、实际问题中角度计算问题 【分析】本题考查实际问题中角度的计算，一元一次方程在几何图形中的应用，掌握角的和差是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）当时，，．此时射线在射线与之间．即可由，求解； （2）分两种情况：情况一：当时，情况二：当且未与射线相遇（即）时，分别求解即可； （3）运动终止时，时间为秒，设射线与射线某一次相遇时，且下一次相遇时，考虑两次相遇间过程：时，；时，，在该过程中，射线一直逆时针旋转，所花时间为：秒，射线先回到射线，再追到射线，所花时间为：秒，故，即，再由第一次相遇时间为5秒，则可求得第二次相遇时间为秒；第三次相遇时间为秒；第四次相遇时间约为秒；第五次相遇时间约为秒；第六次相遇时间约为，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，，． 此时射线在射线与之间． ， ． （2）解：设射线第一次与射线相遇时运动时间为， 则． ． 情况一：当时， ，， 射线为的角平分线， ， ； 情况二：当且未与射线相遇（即）时， ，， 射线为的角平分线， ， ， 综上，或． （3）解：运动终止时，时间为秒， 设射线与射线某一次相遇时，且下一次相遇时，考虑两次相遇间过程： 时，； 时，， 在该过程中，射线一直逆时针旋转，所花时间为： 秒， 射线先回到射线，再追到射线，所花时间为： 秒， 故，即， 已知第一次相遇时间为5秒，则： 第二次相遇时间：秒； 第三次相遇时间：秒； 第四次相遇时间：秒； 第五次相遇时间：秒； 第六次相遇时间：， 故全过程一共相遇了5次． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 几何图形初步 章节（22知识点回顾+43题型巩固） 目录 知识梳理 1.点、线、面、体 2.常见的几何体 3.几何图形 4.线段 5.射线 6.直线 7.直线的基本事实 8.线段的长短比较 9.作一条线段等于已知线段 10.线段的和差 11.线段的中点 12.线段的基本事实和两点之间的距离 13.角的定义 14.角的表示方法 15.角的度量与单位换算 16.方向角 17.角的大小比较 18.角的和、差 19.角平分线 20.补角和余角 21.余角、补角的性质 22.作一个角等于已知角 题型巩固 一、常见的几何体 二、立体图形的分类 三、几何体中的点、棱、面 四、点、线、面、体四者之间的关系 五、平面图形旋转后所得的立体图形 六、组合几何体的构成 七、直线、射线、线段的联系与区别 八、画出直线、射线、线段 九、两点确定一条直线 十、相交线 十一、直线、线段、射线的数量问题 十二、直线相交的交点个数问题 十三、线段的应用 十四、线段的和与差 十五、作线段(尺规作图) 十六、线段中点的有关计算 十七、两点之间线段最短 十八、两点间的距离 十九、线段n等分点的有关计算 二十、线段之间的数量关系 二十一、与线段有关的动点问题 二十二、最短路径问题二十三、角的概念理解 二十四、角的表示方法 二十五、角的分类 二十六、钟面角 二十七、方向角的表示 二十八、角度的四则运算 二十九、与方向角有关的计算题 三十、角的单位与角度制 三十一、角的度数大小比较 三十二、角的比较 三十三、角平分线的有关计算 三十四、角n等分线的有关计算 三十五、求一个角的余角 三十六、求一个角的补角 三十七、与余角、补角有关的计算 三十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 三十九、尺规作一个角等于已知角 四十、尺规作角的和、差 四十一、三角板中角度计算问题 四十二、几何图形中角度计算问题 四十三、实际问题中角度计算问题 知识梳理 知识点1.点、线、面、体 1. 点、线、面、体的定义 体： 长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体 . 面：包围着体的是面 .面有平面与曲面两种. 线：几何体中面与面相交形成线 . 线有直线和曲线 . 点：线与线相交得到点 . 2. 点、线、面、体的关系 知识点2.常见的几何体1. 几何体的分类： 几何体也可以按照柱体、锥体、球体等来分 . 多面体中面与面的交线是直的，它们叫作多面体的棱 . 多面体中棱与棱的交点叫作顶点 . 圆柱、圆锥中侧面与底面的交线是曲线 . 2. 常见的几何体 分类 图例 特征 柱体 圆柱 底面是圆；侧面是曲的面 有两个面(底面)互相平行且能完全重合 棱柱 底面是多边形；侧面是平行四边形 锥体 圆锥 底面是圆；侧面是曲的面 有一个顶点 棱锥 底面是多边形；侧面是三角形 各侧面有一个公共顶点 球体 表面是曲的面 知识点3.几何图形 1. 几何图形  几何图形是由点、线、面、体组成的 .其中点是最基本的图形，几何图形分为平面图形和立体图形 . 2. 平面图形和立体图形 定义 举例 平面图形 图形上面的各点都在同一个平面内，这样的图形叫作平面图形 直线、角、三角形、圆等 立体图形 图形上面的各点不都在同一个平面内，这样的图形叫作立体图形 长方体、圆柱体、球等 知识点4.线段 1. 线段的定义 像长方形的边、长方体的棱，这些图形都是线段. 2. 线段的特征 有两个端点，有长度，无方向 . 3. 线段的表示方法(如图 4.2-1) (1) 用线段的两个端点的大写字母表示； (2) 用一个小写字母表示 . 4. 线段的延长线  (1) 延长线段 AB，是指从端点 A 到 B 的方向延长，如图 4.2-2 ①所示； (2)延长线段 BA，是指从端点 B 到 A 的方向延长，也可以说成反向延长线段 AB，如图 4.2-2 ②所示 . 知识点5.射线 1. 射线的定义 将线段向一个方向无限延长就得到了射线 . 2. 射线的特征 有一个端点，有方向，无长短，向一个方向无限延长 . 3. 表示方法  用射线的端点和射线上另外一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)， 如图 4.2-4. 注意： (1) 同一条射线可以有不同的表示方法 . 如图 4.2-5，“射线OA”和“射线 OB”表示同一条射线 . (2) 端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如图4.2-5，“射线 AB”和“射线 AO”表示两条不同的射线 . (3) 端点不同，所表示的射线一定不同 . 如图 4.2-5，“射线OA”和“射线 AB”表示不同的射线 . 知识点6.直线 1. 直线的定义 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 . 2. 直线的特征 没有端点，无长短，向两方无限延伸. 3. 表示方法(如图 4.2-7) (1)用直线上任意表示两个点的大写字母表示(直线 AB)； (2)用一个小写字母表示(直线 l) 4.直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线 AB 或直线 l 射线 OA 线段 AB 或线段 a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 直线 射线 线段 联系 向反方向无限延伸，射线和线段都是直线的一部分 知识点7.直线的基本事实 1. 直线的基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 . 简单说成： 两点确定一条直线 . 2. 直线的性质 两条直线相交只有一个交点 . 说明： 经过一点的直线有无数条 . 知识点8.线段的长短比较 1. 叠合法 把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较. 2. 度量法 利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 .例如：比较线段 AB， CD 的长短，可以把它们移到同一条直线上，使一个端点 A 和 C 重合，另一个端点 B 和 D 落在点 A 的同一侧，如图 4.3-1. 拓展： 在比较几条线段的长短时，如果各条线段的长短差别较明显，而又不需要知道相差多少时，用目测的方法也可以比较出线段的长短 . 知识点9.作一条线段等于已知线段 1. 尺规作图 只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图 . 2. 画一条线段等于已知线段 a(如图 4.3-3 ①) (1) 方法一： 利用刻度尺先量出已知线段 a 的长度，再画一条等于这个长度的线段 . (2)方法二： 如图4.3-3②，用直尺画射线AC，以A为圆心，以线段 a 的长为半径画弧， 交射线 AC 于点 B， 线段 AB就是所求作的线段 . 知识点10.线段的和差 名称 文字叙述 图示 线段的和 如图所示，点 C 在线段 AB 的延长线上，如果线段 AB=a，线段 BC=b，那么线段AC 就是 a 与 b 的和，记作 AC=a+b. 线段的差 如图所示，点 D 在线段 AB 上，如果线段AB=a，线段 DB = b，那么线段 AD 就是 a与 b 的差，记作 AD=a－b. 知识点11.线段的中点 1. 线段的中点的定义 把一条线段分成两条相等的线段的点叫作线段的中点 . 如图 4.3-7，若 M 是线段 AB 的中点，则有 AM=BM= AB 或 AB=2AM=2BM. 2. 线段的等分点(拓展) 把一条线段分成 n 条相等的线段的点叫作线段的 n 等分点 . 如图 4.3-8，若 M， N 是线段 AB 的三等分点，则 有 AM=MN=NB=  AB. 如 图 4.3-9，若 M， N，P 是线段 AB 的四等分点，则有 AM=MN=NP=PB= AB . 知识点12.线段的基本事实和两点之间的距离 1. 线段的基本事实 两点之间的所有连线中，线段最短 . 2. 两点之间的距离 两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 . 如图 4.3-11，在 A， B 两点之间的所有线中，线段 AB 是最短的，线段 AB 的长度就是点A 与点 B 之间的距离 . 知识点13.角的定义 1. 角的定义 定义 示例 组成元素 “静”态的观点 有 公 共 端 点 的两 条 射 线 所 组成的图形叫作角 这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边 “动”态的观点 角 可 以 看 作 是一 条 射 线 绕 着其 端 点 从 一 个位 置 旋 转 到 另一 个 位 置 所 形成的图形 起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边 知识点14.角的表示方法 1. 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种 表示方法 示例 记法 方法解读 用三个大写字母表示 ∠ AOB 或∠ BOA 字母 O 表示顶点，要写在中间， A， B 表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 ∠ O 当以某一个点为顶点的角只有一个时，可用表示这个顶点的字母来表示该角 续表 表示方法 示例 记法 方法解读 用数字表示 ∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 . 该表示法形象直观 用希腊字母 表示 ∠ α 2. 角的分类  角可按照角的度数的大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角 . 具体如下表： 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 图例 角度 范围 0°<α <90° α =90° 90°<α <180° α =180° α =360° 知识点15.角的度量与单位换算 1. 角的度量单位  度、分、秒是常用的角的度量单位 . 把一个周角 360 等分，每一等份是 1 度的角，记作 1 ° ；把 1 ° 的角 60 等分，每一等份是 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60等分，每一等份是 1 秒的角，记作 1″ . 2. 角的换算  1 周角 =360° ， 1 平角 =180° ， 1° =60′， 1′ =60″， 1′ = () ° ， 1″ = () ′， 1° =60′ =3 600″， 1″ = () ′ = () ° . 知识点16.方向角 1. 方向角 平面测量时， 通常以正北、 正南方向为基准，描述物体运动的方向， 这种表示方向的角叫作方向角，在测绘、 航海中经常用到 . 示例： 如图 4.4-4， 射线 OA 的方 向 是 北 偏 东 30 ° ， 射 线 OB 的 方向是南偏西 60 ° ， 这里的 “北偏东30° ”和 “南偏西 60° ”就是方向角 . 2. 方向角的描述  一般地方向角是以第一个方向(正南或正北)为角的始边向第二个方向转动所形成的角 . 特殊方向角： (1)东北方向表示以正北为角的始边， 向东转 45° 时的射线的方向， 又叫北偏东 45° ； (2) 东南方向为南偏东 45° ；(3) 西南方向为南偏西 45° ；(4) 西北方向为北偏西 45° . 知识点17.角的大小比较 1. 度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 2. 叠合法 把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边重合在一起，另一条边放在重合边的同一侧，再通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.5-1. 使用叠合法比较角的大小时要注意两点： (1) 重合，即顶点重合，一条边重合； (2) 同侧，即另一条边放在重合边的同一侧 . 知识点18.角的和、差 角的和与差 文字描述 数学语言 图示 角的和 ∠ AOC 是 ∠ AOB与∠ BOC 的和 ∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC 角的差 ∠ AOB 是 ∠ AOC 与∠ COB 的差 ∠ AOB= ∠ AOC－∠ COB 知识点19.角平分线 1. 角的平分线 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 数学语言： 如图 4.5-5，若 OC 平分∠ AOB，则 ∠ AOC=∠ BOC= ∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB；反之，若∠ AOC= ∠ BOC=∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB，则 OC 平分∠ AOB. 2. 角的 n 等分线(拓展) 类似角的平分线，在角的内部，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，这样的射线叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 知识点20.补角和余角 1. 补角 如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角， 简称互补 . 数学语言： 如果∠ 3+ ∠ 4=180° ，就说∠ 3是∠ 4的补角，或∠ 4 是∠ 3 的补角， ∠ 3 与∠ 4 互为补角， 如图 4.5-8. 2. 余角  如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这 两个角互为余角，简称互余 . 数学语言： 如果∠ 1+∠ 2=90° ，就说∠ 1是∠ 2的余角，或∠ 2 是∠ 1 的余角， ∠ 1 与∠ 2 互为余角， 如图 4.5-9. 3. 互余、互补是指具有一定数量关系的两个角 . 知识点21.余角、补角的性质 1. 余角的性质  (1)同角的余角相等 .同一个角. 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 1+ ∠ 3=90° ，那么∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的余角相等 .度数相等的角. 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 3+ ∠ 4=90° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 2. 补角的性质 (1) 同角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 1+ ∠ 3=180° ，那么 ∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 3+ ∠ 4=180° ，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4. 知识点22.作一个角等于已知角 方法一 先用量角器量出已知角的度数， 再画一个等于这个已知角的度数的角 . 方法二 (尺规作图) 已知： ∠ AOB(如图 4.5-13 ①). 求作： ∠ A′ O′ B′，使∠ A′ O′ B′ = ∠ AOB. 作法： (1) 在 ∠ AOB 上 以 点 O 为 圆 心，任 意 长 为 半 径画弧，分别交 OA， OB 于点 M， N(如图 4.5-13 ①)； (2) 作射线 O′ M′， 并以点 O′为圆心， OM 长为半径画弧， 交 O′ M′于点 A′； (3) 以点 A′为圆心， MN 长为半径画弧， 与第(2) 步中所画弧交于点 B′； (4) 作射线 O ′ B ′， ∠ A ′ O ′ B ′就 是 所求作的角(如图4.5-13 ②) . 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．下列几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 题型二、立体图形的分类 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下面四个立体图形中，和其他三个立体图形不同类型的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型三、几何体中的点、棱、面 3．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列说法：①柱体的上、下底面一样大；②棱柱的每条棱长可以相等；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤直棱柱的侧面一定是长方形．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型四、点、线、面、体四者之间的关系 4．（22-23七年级上·安徽宿州·阶段练习）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ． 题型五、平面图形旋转后所得的立体图形 5．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图是一张长方形纸片，长为，长为，将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周． (1)所得到的几何体是______，这个现象用数学知识解释为______（选填“点动成线”，成面”“面动成体”）； (2)求形成的几何体的表面积（结果保留）． 题型六、组合几何体的构成 6．指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 题型七、直线、射线、线段的联系与区别 7．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 题型八、画出直线、射线、线段 8．对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，A，B，C，D四点不在同一直线上，根据下面的要求作图． （1）作线段AB，CD． （2）作射线DA与射线CB交于点E． （3）作直线AC和直线BD交于点F． 题型九、两点确定一条直线 10．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是 ． 题型十、相交线 11．a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 题型十一、直线、线段、射线的数量问题 12．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图所示，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有个点时，线段总数共有条，如果上有个点时，线段总数共有条，如果线段上有个点时，线段总数共有条，． (1)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？ (2)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？（用含的式子表示） (3)当时，线段总数共有多少条？ 题型十二、直线相交的交点个数问题 13．若四条不重合的直线在平面内交点的个数为a，则a的最大取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型十三、线段的应用 14．图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 题型十四、线段的和与差 15．（2024七年级上·安徽·专题练习）已知A、B、C三点位于同一条直线上，线段，，则的长是（　　） A．13 B．3 C．13或3 D．以上都不对 16．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，已知点在线段上，点，分别在线段和线段上，且，． (1)若，，求线段的长； (2)若，求线段的长． 题型十五、作线段(尺规作图) 17．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段a、b、及内部一点P．按下列要求画出图形（保留作图痕迹，不写作法）； ①用无刻度的直尺和圆规在∠O的一条边上作线段，另一条边上作线段； ②画出直线； ③画射线与直线相交于点C； 题型十六、线段中点的有关计算 18．（24-25七年级上·安徽安庆·月考）如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，， （1） ； （2）连续这样操作4次，则 ． 题型十七、两点之间线段最短 19．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）为了行人便利，某十字路口设置了俯视示意图．若想走近路，从位置到位置的两条路径“”和“”中，你会选择路径，选择的依据是 ． 题型十八、两点间的距离 20．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图所示，在A，B，C三个小区中分别住有某厂职工30人，15人，14人，且这三个小区在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知米，米．若该厂接送职工上下班的厂车打算在此路段只设一个停靠点，为使这三个小区所有职工步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（    ） A．点A B．点B C．之间 D．之间 21．如图，已知，是线段上的两点，，． （1）图中以点，，，中任意两点为端点的线段共有 条； （2）设，求的长． 题型十九、线段n等分点的有关计算 22．如图，已知M是线段的三等分点，E是线段的中点，且线段，求线段的长度． 题型二十、线段之间的数量关系 23．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（    ） A． B． C．或 D．或 题型二十一、与线段有关的动点问题 24．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 题型二十二、最短路径问题 25．如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 题型二十三、角的概念理解 26．下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共点的两条射线叫做角 C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 题型二十四、角的表示方法 27．下列图形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 题型二十五、角的分类 28．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： （1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O； （2）画出射线OC和射线OD； （3）在以上图形中，共有 　 　个锐角，共有 　 　个小于180°的角． 题型二十六、钟面角 29．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）时钟面上的时针与分针夹角是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）当时钟时，时针与分针所夹的角(小于平角)的度数是 ． 题型二十七、方向角的表示 31．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）学习情境·方位角：如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点B，乙从点A出发向南偏西方向走到点C，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型二十八、角度的四则运算 32．（24-25七年级上·安徽六安·期末） ． 题型二十九、与方向角有关的计算题 33．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在点的东北方向，点在点的南偏东方向，则的度数是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西， ，则射线的方向是 ； 题型三十、角的单位与角度制 35．计算： ． 题型三十一、角的度数大小比较 36．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）比较大小： ．（填“>”、“<”或“=”） 题型三十二、角的比较 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法估测 题型三十三、角平分线的有关计算 38．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 39．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型三十四、角n等分线的有关计算 40．已知为的三等分线，若，则 °． 题型三十五、求一个角的余角 41．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）已知，则的余角为 （结果用度表示）． 题型三十六、求一个角的补角 42．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知，则的补角等于 ． 题型三十七、与余角、补角有关的计算 43．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，O是直线一点，，平分，图中与互余的角有m个，与互补的有n个．（   ） A．， B．， C．， D．， 44．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，，求的度数．结合图形，完成填空： ① 所以 ② 因为 所以 在上面①到②的推导过程中，理由依据是： ．    题型三十八、同(等)角的余(补)角相等的应用 45．已知，，则（　　） A． B． C． D． 题型三十九、尺规作一个角等于已知角 46．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）尺规作图：如图，已知平面上三点，，（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作射线，线段； (2)作，交射线于点． 题型四十、尺规作角的和、差 47．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，利用无刻度的直尺和圆规作图（不要求写作法）． (1)求作：的补角； (2)求作：． 题型四十一、三角板中角度计算问题 48．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知一副直角三角板按如图的位置放置，其中，，经测量，则度数为（　　） A． B． C． D． 题型四十二、几何图形中角度计算问题 49．从点O出发引三条射线，使，则的度数是 ． 题型四十三、实际问题中角度计算问题 50．在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 51．如图1所示，．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转1°．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转5°，当其与射线或射线相遇时，保持运动速度不变但运动方向发生改变，如此往返．当时，运动停止．设运动时间为秒． (1)当时，求与的度数； (2)如图2，当射线还未与射线相遇，且其为的平分线时，求的值； (3)试求出整个运动过程中，射线与射线一共相遇了几次？ 学科网（北京）股份有限公司 $