阶段检测验收卷 数与式（综合训练）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第一章 数与式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在实数，，，，，，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，由有理数及无理数的定义分类，即可求解；理解有理数及无理数的定义是解题的关键． 【详解】解： ，，是无理数， ，，是有理数； 故选：C． 2．下列各数是的相反数的是（ ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键；根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数，然后问题可求解． 【详解】解：∵相反数的定义：数a的相反数为， ∴的相反数为2025， 故选：A． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．的倒数是 B．两个数比较，绝对值大的反而小 C．不一定是负数 D．符号相反的两个数互为相反数 【答案】C 【分析】本题考查了倒数、相反数、有理数及其大小比较，根据有理数、倒数、绝对值、相反数的定义解答即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、的倒数是，该选项说法错误，不合题意； 、两个负数比较，绝对值大的反而小，该选项说法错误，不合题意； 、不一定是负数，该选项说法正确，符合题意； 、只有符号不同的两个数互为相反数，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 4．近年来，中国铁路快速发展，截至2024年底，全国铁路营业里程已突破16万千米，其中高铁营业里程约4.8万千米．中国国家铁路集团有限公司发布的最新数据显示，在为期40天的2024年铁路春运中，全国铁路累计发送旅客5.1亿人次．将数据5.1亿用科学记数法表示为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法要求形式为，其中，n为整数，5.1亿即． 【详解】1亿=， 亿=． 亿用科学记数法表示为． 故选B． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 6．估计的值应在（　　） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数比较大小，掌握无理数估算大小，比较大小的方法是解题的关键． 根据无理数估算大小的方法即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 7．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 故选：D． 8．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．将第二项中的转化为，然后提取公因式，再对提取公因式即可． 【详解】解： ， 故选：D． 9．在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 利用绝对值和平方的非负性，得到和的值，再根据特殊角的三角函数值得到和的度数，最后利用三角形的内角和定理求即可． 【详解】解：∵，且绝对值和平方均非负， ∴且， ∴，， ∵、都是锐角， ∴，， ∴， 故选：C． 10．如图所示，实数a，b在数轴上的对应点分别为点A，B，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴比较数的大小、有理数的加减运算等知识点．熟练掌握数轴上左边点表示的数总大于右边点表示的数是解题的关键． 先根据数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， A． ，故A选项错误，不符合题意； B．由，，则，故B选项错误，不符合题意； C． ，则，所以，故C选项正确，符合题意； D．由，故D选项错误，不符合题意． 故选C． 2、 填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故答案为：且． 12．已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定的取值范围，从而求出和y的值，再计算的值，最后求其平方根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 故， ∴， ∴， ∴4的平方根为， 故答案为：． 13．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．如果，那么代数式的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式． 将代数式前三项变形为，利用计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：0． 15．比较大小： （选填“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的运算，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键． 利用作差法可得，然后通过，，再次利用作差法比较和的大小，从而得到，即可得出答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，把一张大正方形按下图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是 ． 【答案】24 【分析】题目主要考查二次根式的应用，理解题意，根据正方形的面积确定大正方形的边长即可求解． 【详解】解：∵两个面积分别为8和18的小正方形， ∴大正方形的边长为：， ∴大正方形的面积为：， ∴剩余的面积为：， ∴阴影部分的面积是24， 故答案为：24． 3、 解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，． 正数集合{ 　 　…}； 负分数集合{ 　 　…}； 非负整数集合{ 　 　…}； 无理数集合{ 　 　…}． 【答案】见解析 【分析】根据正数、负分数、非负整数、无理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：， 正数集合，，，，，…； 负分数集合，； 非负整数集合，； 无理数集合． 【点睛】此题考查实数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意含的是无理数． 18．（本题8分）计算： （1）      （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据负整数指数幂法则，二次根式的基本性质，零指数幂法则以及特殊角的三角函数值逐个计算即可； （2）根据零指数幂法则，负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义逐个计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂法则，二次根式的基本性质，零指数幂法则以及特殊角的三角函数值等知识是解决本题的关键． 19．（本题10分）下面是某同学计算的解题过程： 解：     第一步     第二步     第三步 ．    第四步 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 【答案】从第一步开始出现错误．正确的解题过程见解析 【分析】本题考查分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先判断解题过程中每一步的正确性，找出错误步骤，第一步计算时应该先变形为：，再通分，第一步开始出现错误。然后再按照分式运算规则进行正确计算即可． 【详解】解：从第一步开始出现错误．正确的解题过程如下： 原式 ． 20．（本题10分）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点关于点的对称点为．点表示的数为． (1)求的值； (2)化简：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是实数和数轴，实数的混合运算，数形结合是解题的关键； （1）根据是的中点，列出式子求解即可； （2）把的值代入，根据绝对值、整数指数幂分别求出每一部分的值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）， 21．（本题10分）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，绝对值的非负性．利用完全平方公式和平方差公式进行化简可得化简结果，根据绝对值的非负性和平方的非负性求解的值，然后代入求解即可． 【详解】解： ∵，即， ∴，， 解得，， 将，，代入原式． 22．（本题12分）现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，（如图①），将纸板的四个角各剪裁去一个大小相同的小正方形（如图②），围成一个无盖的方形收纳盒（如图③）． (1)若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少? (2)工厂将这些硬纸板全部做成无盖的收纳盒出售．已知每块矩形纸板的成本为10元，若无盖收纳盒的售价为23元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，无盖收纳盒价格每降低1元，平均每天可多售出2个． ①若每个无盖收纳盒的售价降价n元，请完成下方表格： 售价（元/个） 成本（元/个） 单个利润（元/个） 销量（个） 降价前 23 10 13 18 降价后 ②要使每天获利最大，则每个无盖收纳盒应降价多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①，10，，；②每个无盖收纳盒应降价2元，每天获利最大为242元 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，列代数式，利用二次函数求最值，正确读懂题意，列出方程是解题的关键． （1）设纸盒的高为，根据底面积列出方程求解即可； （2）①根据题意，列出代数式即可； ②设每天获利w元，根据题意，列出二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设纸盒的高为，根据题意得， 解得：，（舍）， 答：纸盒的高度为； （2）解：①若每个无盖收纳盒的售价降价n元，请完成下方表格： 售价（元/个） 成本（元/个） 单个利润（元/个） 销量（个） 降价前 23 10 13 18 降价后 10 ②设每天获利w元， 根据题意得：． 整理得， ， 时， 最大为（元）， 答：每个无盖收纳盒应降价2元，每天获利最大为242元． 23．（本题14分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 ①已知代数式，则A的最小值为______； ②将代数式化为的形式，并求出它的最大值． (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是5a米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； 【答案】(1)①；②， (2)，理由见解析 【分析】此题考查了完全平方公式分解因式，非负数的性质，理解题意是解题的关键． （1）①仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最小值； ②仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最大值； （2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：①， 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为，即的最小值为， A的最小值为； 故答案为：； ②， 因为，所以， 所以，当时，， 因此有最大值，最大值为24； （2）甲菜地的面积， 乙菜地的面积， ， 因为，所以， 即， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第一章 数与式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在实数，，，，，，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各数是-2025的相反数的是（ ） A．2025 B．-2025 C． D． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．的倒数是 B．两个数比较，绝对值大的反而小 C．不一定是负数 D．符号相反的两个数互为相反数 4．近年来，中国铁路快速发展，截至2024年底，全国铁路营业里程已突破16万千米，其中高铁营业里程约4.8万千米．中国国家铁路集团有限公司发布的最新数据显示，在为期40天的2024年铁路春运中，全国铁路累计发送旅客5.1亿人次．将数据5.1亿用科学记数法表示为 （    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．估计的值应在（　　） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 7．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 9．在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，实数a，b在数轴上的对应点分别为点A，B，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．在函数中，自变量的取值范围是 ． 12．已知，则的平方根为 ． 13．化简 ． 14．如果，那么代数式的值是 ． 15．比较大小： （选填“”，“”，“”） 16．如图，把一张大正方形按下图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是 ． 3、 解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，． 正数集合{ 　 　…}； 负分数集合{ 　 　…}； 非负整数集合{ 　 　…}； 无理数集合{ 　 　…}． 18．（本题8分）计算： （1）      （2） 19．（本题10分）下面是某同学计算的解题过程： 解：     第一步     第二步     第三步 ．    第四步 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 20．（本题10分）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点关于点的对称点为．点表示的数为． (1)求的值； (2)化简：； 21．（本题10分）先化简，再求值：，其中x，y满足． 22．（本题12分）现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，（如图①），将纸板的四个角各剪裁去一个大小相同的小正方形（如图②），围成一个无盖的方形收纳盒（如图③）． (1)若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少? (2)工厂将这些硬纸板全部做成无盖的收纳盒出售．已知每块矩形纸板的成本为10元，若无盖收纳盒的售价为23元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，无盖收纳盒价格每降低1元，平均每天可多售出2个． ①若每个无盖收纳盒的售价降价n元，请完成下方表格： 售价（元/个） 成本（元/个） 单个利润（元/个） 销量（个） 降价前 23 10 13 18 降价后 ②要使每天获利最大，则每个无盖收纳盒应降价多少元？最大利润是多少？ 23．（本题14分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 ①已知代数式，则A的最小值为______； ②将代数式化为的形式，并求出它的最大值． (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是5a米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $