第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（复习讲义，3考点8题型2重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦反比例函数专题，覆盖概念、图象性质、k的几何意义及与一次函数综合等中考核心考点，按命题点分题型构建知识网络，通过考点解析、真题精析、分层训练三环节帮助学生突破增减性判断、面积计算等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于题型化突破策略与核心素养培养，如总结k的几何意义“一点两垂线”等模型培养抽象能力，通过山东近三年真题训练提升推理意识。设“基础-能力-新趋势”三级练习，配合重难突破专题，助力学生高效掌握综合题解法，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第三章 函数 第12讲 反比例函数的图象、性质及应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 反比例函数的图象与性质 题型01 判断反比例函数的增减性 题型02 已知反比例函数的增减性求参数 题型03 比较反比例函数值或自变量的大小 命题点二 反比例系数k的几何意义 题型01 已知比例系数求特殊图形的面积 题型02 根据图形面积求比例系数（解析式） 命题点三 反比例函数的应用 题型01 实际问题与反比例函数 题型02 一次函数与反比例函数的交点问题 题型03 一次函数与反比例函数的实际问题 05·重难突破·思维进阶难 22 突破一 反比例函数与一次函数的综合 突破二 反比例函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 25 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数相关概念 山东卷 T14 山东德州T14 / 山东临沂T16 理解与掌握反比例函数相关概念. 反比例函数的图象与性质 山东滨州 T5 山东德州T6 山东德州 T9 山东济宁T7 山东淄博T6 山东济南T7 山东泰安T8 山东滨州T19 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况.能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 反比例系数k的几何意义 山东淄博T10 山东潍坊T14 山东威海T15 / / 理解与掌握反比例系数k的几何意义. 一次函数与反比例函数 山东淄博T20 山东东营T22 山东淄博T21 山东济南T23 山东潍坊T17 山东泰安T21 山东烟台T21 山东卷T20 山东淄博T14\20 山东济南T21 山东潍坊T5 山东日照T15 山东卷T20 综合性强，涉及相关知识点多，考查综合能力。 命题预测 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题。 考点一 反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 1．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ． 2．（2023·山东临沂·中考真题）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当时，x越小，函数值越小； ②当时，x越大，函数值越小； ③当时，x越小，函数值越大； ④当时，x越大，函数值越大． 其中正确的是 （只填写序号）． 3．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 考点二 反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B． C． D． 3．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点三 反比例系数k的几何意义 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 3．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 考点四 一次函数与反比例函数综合 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 3．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 命题点一 反比例函数的图象与性质 ►题型01 判断反比例函数的增减性 / 判断反比例函数的增减性 1. 确定常数 k 的值： - 如果 k > 0 ，则函数在每个象限内是递减的。 - 如果 k < 0 ，则函数在每个象限内是递增的。 2. 分析函数在不同区间的行为： - 反比例函数在 x = 0 处没有定义，因此函数图像被分为两个部分：x > 0 和 x < 0 。 - 对于 k > 0 ： - 当 x > 0 时，随着 x 的增加，y 减少，即函数在第一象限内是递减的。 - 当 x < 0时，随着x 的增加（从负无穷到接近零）， y 也减少，即函数在第三象限内也是递减的。 - 对于 k < 0 ： - 当 x > 0 时，随着 x的增加， y 增加，即函数在第四象限内是递增的。 - 当 x < 0 时，随着 x 的增加（从负无穷到接近零）， y 也增加，即函数在第二象限内也是递增的。 【典例】（2025·山东济南·二模）已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·山东潍坊·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像相交于两点，与轴交于点，下列结论正确的是（    ） A． B．点的坐标是 C．随的增大而增大 D．当时，的最大值是7 2．（2025·山东·模拟预测）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ ►题型02 已知反比例函数的增减性求参数 / 1. 设反比例函数解析式为y=（k≠0）。 2. 若函数在每个象限内y随x的增大而减小，则k>0；若y随x的增大而增大，则k<0。 3. 结合含参数的k的表达式列不等式，求解参数范围即可。 【典例】（2025·山东青岛·一模）若点和点都在反比例函数的图象上，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【变式】1．（2024·山东济南·模拟预测）点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·二模）已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． ►题型03 比较反比例函数值或自变量的大小 / 1. 先判断反比例函数y=（k≠0）中k的正负，确定其图象所在象限与增减性。 2. 若自变量在同一象限，直接利用增减性比较大小；若在不同象限，先根据象限确定函数值正负，再比较大小。 【典例】（2025·山东济南·模拟预测）若点，，在反比例函数（m是常数）的图像上，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·山东聊城·三模）反比例函数的图象上有两点．下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（2025·山东青岛·二模）若点，，在反比例函数（m为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 命题点二 反比例系数k的几何意义 ►题型01 已知比例系数求特殊图形的面积 / 1. 对于反比例函数y=（k≠0），图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，所得矩形面积为|k|，所得直角三角形面积为|k|。 2. 复杂图形可通过割补法转化为上述矩形或三角形，再结合|k|计算面积。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【变式】1．（2025·山东淄博·一模）如图，曲线是双曲线绕原点逆时针旋转得到的图形，是曲线上任意一点，点在直线上，且，则的面积为 ． 2．（2025·山东淄博·一模）如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 ►题型02 根据图形面积求比例系数（解析式） / 1. 先确定反比例函数图象上的点向坐标轴作垂线得到的矩形或直角三角形，利用面积公式列出含|k|的等式。 2. 结合函数图象所在的象限判断k的正负，进而求出k的具体值。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，B，过点A作轴于点C，连接，若的面积为12，则k的值为 ． 【变式】1．（2025·山东滨州·二模）如图，矩形的面积为8，对角线、相交于点，反比例函数经过点，则 . 2．（2025·山东威海·一模）如图，矩形的顶点，在轴的负半轴上，，，反比例函数的图象经过的中点，交于点，，则的值为 ． 命题点三 反比例函数的应用 ►题型01 实际问题与反比例函数 / 1. 审题找出两个成反比例关系的量，设其解析式为y=（k≠0）。 2. 从题目中提取一组对应值代入解析式，求出比例系数k。 3. 根据所求解析式，结合问题中的条件解决实际问题（如求值、求范围等）。 【典例】（2025·山东日照·模拟预测）如图，电路中有三个定值电阻，且的阻值（单位：Ω）满足方程，（已知并联电路电阻之间的关系为：）．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是 V． 【变式】1．（2025·山东临沂·二模）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·一模）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天水温为 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 ►题型02 一次函数与反比例函数的交点问题 / 1. 联立一次函数与反比例函数的解析式，得到方程ax+b=。 2. 去分母转化为一元二次方程ax2+bx - k = 0，通过判别式∆= b2+4ak判断交点个数。 3. 解方程求出x的值，再代入任一函数解析式求出对应的y值，即可得到交点坐标。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，反比例函数与正比例函数交于A、B两点，过A、B两点分别向x轴作垂线，垂足分别是C点和D点，连接，则四边形的面积为 ． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围． 【变式】2．（2025·山东聊城·三模）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积大于的面积，求点C的横坐标a的取值范围． ►题型03 一次函数与反比例函数的实际问题 / 1. 分别根据实际问题中的数量关系，设出一次函数和反比例函数的解析式。 2. 利用题目给出的对应数据，代入解析式求出两个函数的系数，确定函数表达式。 3. 联立两个函数解析式求解交点，或根据实际问题的限制条件（如自变量取值范围）分析、解决问题。 【典例】（2025·山东济南·一模）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【变式】（2024·山东济宁·一模）在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即，分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ． 【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少? 突破一 反比例函数与一次函数的综合 【典例】已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标． 【变式】1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与双曲线()的交点为，在的左边)，且，恰好是线段的三等分点. (1)求，的值： (2)在x轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，对于线段和点，若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“笛卡尔伴生点”.已知正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“笛卡尔伴生点”，请求出的取值范围， 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于，两点（点在第一象限），，． (1)求点的坐标及的值； (2)如图2，点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，，若，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上，两点之间一点，点关于轴的对称点为，连接，，若，求点的坐标． 突破二 反比例函数与几何综合 【典例】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若． ①求线段的长；②求的面积． 1．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 2．如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． 1．（2025·山东济南·三模）已知点，在反比例函数的图象上，若当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·三模）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，已知，则的长度为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 3．（2025·山东东营·三模）如图所示，在中，， 边经过原点O，轴，双曲线过A，B两点．若，则k的值为 ．       4．（2025·山东日照·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与原点O重合，边在x轴上， 在y轴上，点B在反比例函数的图象上，D是边上的一点，连接．将折叠，得到，折痕为，点O的对应点为，与交于点E；将折叠，得到，折痕为，点A的对应点恰好落在上．若点，则k的值为 ． 5．（2025·山东临沂·二模）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了一个运行周期内部分温度y（单位：℃）及对应时间x（单位：min）的数据如表所示： x 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 y －2 －10 －14 －18 －12 －9 －8 －6 －4 －3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求y与x的函数表达式； (3)冰箱的一个运行周期时长为 分钟； (4)当冰箱温度刚好达到－18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度． 6．（2025·山东济南·一模）直线与双曲线交于点，交y轴于点． (1)求k，m的值； (2)如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 7．（2025·山东日照·模拟预测）如图，点B在函数的图象上，过点分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点A，C． (1)若点B的坐标为，求点A坐标和直线解析式； (2)当点B为函数图象上的动点，问四边形的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积； (3)当平分与x轴正半轴的夹角，求证此时是的角平分线． 8．（2025·山东聊城·三模）大约两千四百多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”（意即：光线照射物体通过小孔形成倒立的影像，物体投影的大小取决于小孔的位置）“爱研究”兴趣小组对此进行了实验探究．探究证明： (1)猜想：兴趣小组同学们在实验室架设仪器做小孔成像的实验，如图（）所示．发现蜡烛的火焰透过小孔在成像板上形成一个倒立的像，经过测量，蜡烛的火焰是厘米，小孔与成像板之间的距离是厘米．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，前后水平移动蜡烛，发现成像板上倒立的影像大小也随之改变，同学们马上把实验数据记录如下： 实验 第一次 第二次 第三次 第四次 （） （） 请根据上面实验数据猜想火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）有怎样的比例关系，写出相应的表达式．估计如果蜡烛距离小孔厘米，那么火焰的像高是多少？ (2)证明：为验证您的猜想，请利用图（）用严谨的几何证明方法来证明像高（）、像距（）、物高（）、物距（）之间的关系；并验证当，时，问题（）中所得像高与物距的关系式是否正确． (3)阳光灿烂的正午，校园树荫下的圆形光斑是太阳光经过树叶间的细小缝隙而形成的像，形成原理和小孔成像的原理是一样的．兴趣小组测得树高为米，地面上形成大小不一的光斑，其中最大的光斑直径是厘米．查阅资料知道，太阳的直径是米，光的速度为米／秒． 请根据所得的数据和前面的发现，利用针孔成像的原理，直接写出光斑直径（单位：米）与日地距离（太阳到地球的距离）（单位：米）函数关系式． 9．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知反比例函数的关系式为． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … … (1)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象； (2)根据图象回答：当时，y的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，x的取值范围是 ． 10．（2025·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线：交反比例函数的图象于点P，交x轴于点Q，交y轴于点M，已知，点P到y轴的距离为2． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)如图1，点N在反比例函数第三象限的图象上，若，直接写出N的横坐标t的取值范围； (3)如图2，将直线：沿y轴向下平移，平移后的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，交y轴于点B，且，求直线到直线的平移距离． 1．（2025·山东青岛·一模）点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为 ． 2．（2025·山东滨州·一模）如图，直线（，为常数）与双曲线（为常数）相交于两点． (1)求的值． (2)在双曲线上任取两点和．若，试确定和的大小关系，并写出判断过程． (3)请直接写出关于的不等式的解集． 3．（2025·山东聊城·二模）如图，正方形在第一象限，已知点、，反比例函数的图象与正方形的边有交点． (1)求k的取值范围； (2)当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，求反比例函数与边的交点的坐标． (3)设反比例函数的图象与正方形的边交于、两点，若线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为，则的值为______．(直接写出结果) 4．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标． (3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 5．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点． (1)求点的坐标并直接写出、的值； (2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标； (3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 1．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 4．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 6．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 7．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 8．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 9．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第12讲 反比例函数的图象、性质及应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 22 命题点一 反比例函数的图象与性质 题型01 判断反比例函数的增减性 题型02 已知反比例函数的增减性求参数 题型03 比较反比例函数值或自变量的大小 命题点二 反比例系数k的几何意义 题型01 已知比例系数求特殊图形的面积 题型02 根据图形面积求比例系数（解析式） 命题点三 反比例函数的应用 题型01 实际问题与反比例函数 题型02 一次函数与反比例函数的交点问题 题型03 一次函数与反比例函数的实际问题 05·重难突破·思维进阶难 48 突破一 反比例函数与一次函数的综合 突破二 反比例函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 67 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数相关概念 山东卷 T14 山东德州T14 / 山东临沂T16 理解与掌握反比例函数相关概念. 反比例函数的图象与性质 山东滨州 T5 山东德州T6 山东德州 T9 山东济宁T7 山东淄博T6 山东济南T7 山东泰安T8 山东滨州T19 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况.能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 反比例系数k的几何意义 山东淄博T10 山东潍坊T14 山东威海T15 / / 理解与掌握反比例系数k的几何意义. 一次函数与反比例函数 山东淄博T20 山东东营T22 山东淄博T21 山东济南T23 山东潍坊T17 山东泰安T21 山东烟台T21 山东卷T20 山东淄博T14\20 山东济南T21 山东潍坊T5 山东日照T15 山东卷T20 综合性强，涉及相关知识点多，考查综合能力。 命题预测 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题。 考点一 反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 1．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解. 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∵点，在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故N的坐标为或. 2．（2023·山东临沂·中考真题）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当时，x越小，函数值越小； ②当时，x越大，函数值越小； ③当时，x越小，函数值越大； ④当时，x越大，函数值越大． 其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可． 【详解】解：列表， x 1 2 y 3 3 5 描点、连线，图象如下，        根据图象知： ①当时，x越小，函数值越大，错误； ②当时，x越大，函数值越小，正确； ③当时，x越小，函数值越大，正确； ④当时，x越大，函数值越大，正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，利用图象解决问题，属于中考常考题型． 3．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 考点二 反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 3．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 考点三 反比例系数k的几何意义 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 3．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点四 一次函数与反比例函数综合 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)或 (3)点C坐标为或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2 ∴将代入， 则， ∴反比例函数解析式为：， ∴将代入， 则， ∴， 将，代入， 则， 解得： ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵， ∴观察图象，当时，的取值范围是或； （3）解：设与轴交于点， 当时， ∴ ∴， 设， ∴ ∵的面积为18， ∴ ∴， ∴，即 解得：或 ∴点C坐标为或． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 3．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 命题点一 反比例函数的图象与性质 ►题型01 判断反比例函数的增减性 / 判断反比例函数的增减性 1. 确定常数 k 的值： - 如果 k > 0 ，则函数在每个象限内是递减的。 - 如果 k < 0 ，则函数在每个象限内是递增的。 2. 分析函数在不同区间的行为： - 反比例函数在 x = 0 处没有定义，因此函数图像被分为两个部分：x > 0 和 x < 0 。 - 对于 k > 0 ： - 当 x > 0 时，随着 x 的增加，y 减少，即函数在第一象限内是递减的。 - 当 x < 0时，随着x 的增加（从负无穷到接近零）， y 也减少，即函数在第三象限内也是递减的。 - 对于 k < 0 ： - 当 x > 0 时，随着 x的增加， y 增加，即函数在第四象限内是递增的。 - 当 x < 0 时，随着 x 的增加（从负无穷到接近零）， y 也增加，即函数在第二象限内也是递增的。 【典例】（2025·山东济南·二模）已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质．反比例函数，当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵点、、都在反比例函数的图象上， ∴点在第四象限内，点，在第二象限内， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式】1．（2025·山东潍坊·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像相交于两点，与轴交于点，下列结论正确的是（    ） A． B．点的坐标是 C．随的增大而增大 D．当时，的最大值是7 【答案】ABD 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是求出各自的函数解析式，然后依次对选项进行判断，注意反比例函数需要再各象限内，判断随的增减情况． 【详解】解：，则，得， ，解得：，故A正确； ，则，解得：，则， 当时，，则点的坐标是，故B正确， ，故在各象限内，随的增大而增大，选项C错误； 当时，一次函数随的增大而减小，随的增大而增大，故当时，的最大值，为，故D正确； 故选：ABD． 2．（2025·山东·模拟预测）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ 【答案】(1)见解析 (2)①增大；② (3)上；2个；或 【分析】本题考查函数图象及性质，图象的平移； （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据函数图象平移规则“上加下减”解决问题即可． 【详解】（1）解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示， （2）解：观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而增大； 故答案为：增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 故答案为：； （3）解：函数的图象可由函数的图象向上平移个单位长度得到， ∵当时，， ∴当时，x的取值范围是或． 故答案为：上；2个；或． ►题型02 已知反比例函数的增减性求参数 / 1. 设反比例函数解析式为y=（k≠0）。 2. 若函数在每个象限内y随x的增大而减小，则k>0；若y随x的增大而增大，则k<0。 3. 结合含参数的k的表达式列不等式，求解参数范围即可。 【典例】（2025·山东青岛·一模）若点和点都在反比例函数的图象上，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，正确利用反比例函数的性质解答是解题的关键． 由点和点都在反比例函数的图象上，且，可得，解得，根据的范围写出符合条件的即可． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，且， ∴在每个象限内，随着的增大而减小， ∴反比例函数图象在第一、三象限， ∴，解得：， ∴的值可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式】1．（2024·山东济南·模拟预测）点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合点的坐标，即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 在反比例函数的图像在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小． ， 点都在第一象限． ． 解得：． 故选：C 2．（2025·天津·二模）已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由于反比例函数可知图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解， 熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数可知，图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵点、均在函数的图象上，且， ∴点、不在同一象限，则点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴． 故选：B． ►题型03 比较反比例函数值或自变量的大小 / 1. 先判断反比例函数y=（k≠0）中k的正负，确定其图象所在象限与增减性。 2. 若自变量在同一象限，直接利用增减性比较大小；若在不同象限，先根据象限确定函数值正负，再比较大小。 【典例】（2025·山东济南·模拟预测）若点，，在反比例函数（m是常数）的图像上，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．由题意可知反比例函数的图像在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，再结合图象上点的坐标即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，在反比例函数的图象上，且， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式】1．（2025·山东聊城·三模）反比例函数的图象上有两点．下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过一，三象限，在每一个象限，随的增大而减小， ∵反比例函数的图象上有两点，， ∴当时，则，则：；故选项A正确； 当时，则，则：；故选项B，C错误； 当时，则，则：；故选项D错误； 故选A． 2．（2025·山东青岛·二模）若点，，在反比例函数（m为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．关键是根据反比例函数的增减性解题． 先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数图象在二、四象限， ， ∴点，在第四象限， ∵函数图象在第四象限内随的增大而增大， ， ， ∴在第二象限， ， ∴、、的大小关系是， 故选：B． 命题点二 反比例系数k的几何意义 ►题型01 已知比例系数求特殊图形的面积 / 1. 对于反比例函数y=（k≠0），图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，所得矩形面积为|k|，所得直角三角形面积为|k|。 2. 复杂图形可通过割补法转化为上述矩形或三角形，再结合|k|计算面积。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东淄博·一模）如图，曲线是双曲线绕原点逆时针旋转得到的图形，是曲线上任意一点，点在直线上，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转，反比例函数比例系数的几何意义，由旋转可得把双曲线绕原点顺时针旋转得到双曲线，和重合，由反比例函数比例系数的几何意义可得，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在直线上， ∴把双曲线绕原点顺时针旋转得到双曲线，和重合， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（2025·山东淄博·一模）如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练利用反比例函数的几何意义计算三角形面积是解题的关键．根据反比例函数的几何意义得出的面积为，再根据即可得出答案． 【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为， 的面积为， ， 的面积为， 故选：C． ►题型02 根据图形面积求比例系数（解析式） / 1. 先确定反比例函数图象上的点向坐标轴作垂线得到的矩形或直角三角形，利用面积公式列出含|k|的等式。 2. 结合函数图象所在的象限判断k的正负，进而求出k的具体值。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，B，过点A作轴于点C，连接，若的面积为12，则k的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，先联立两函数解析式得到，，则点A和点B关于原点对称，得到，进而可得，再由反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：联立，解得或， ∴，， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 故答案为：12． 【变式】1．（2025·山东滨州·二模）如图，矩形的面积为8，对角线、相交于点，反比例函数经过点，则 . 【答案】 【分析】设，则，则；，解答即可. 本题考查了矩形的性质，反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：设，则， ∵反比例函数经过点， ∴； ∵矩形的面积为8，对角线、相交于点， ∴， ∴， 故答案为：2 2．（2025·山东威海·一模）如图，矩形的顶点，在轴的负半轴上，，，反比例函数的图象经过的中点，交于点，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由矩形的性质得，，设，则，所以，，再根据、两点在反比例函数上得到，解出的值，求出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设，则， ，反比例函数的图象经过的中点， ，， ，， 、两点在反比例函数上， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 命题点三 反比例函数的应用 ►题型01 实际问题与反比例函数 / 1. 审题找出两个成反比例关系的量，设其解析式为y=（k≠0）。 2. 从题目中提取一组对应值代入解析式，求出比例系数k。 3. 根据所求解析式，结合问题中的条件解决实际问题（如求值、求范围等）。 【典例】（2025·山东日照·模拟预测）如图，电路中有三个定值电阻，且的阻值（单位：Ω）满足方程，（已知并联电路电阻之间的关系为：）．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是 V． 【答案】9 【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元二次方程的根与系数的关系，先根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，再根据已知关系式求出，再求出电路中总电阻，然后根据得出结论． 【详解】解：∵的阻值满足方程， ∴，， ∴， ∴， ∴电路中总电阻为， ∵， ∴， ∴电源的电压是， 故答案为：9． 【变式】1．（2025·山东临沂·二模）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式． 根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， ∵最高车速为， ∴在最高车速下的行驶时间， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为， ∴通过段限速区间的行驶时间应该在之间． ， ∴选项符合题意． 故选：B． 2．（2025·山东济南·一模）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天水温为 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意；利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意；令，则，求出每20分钟，饮水机重新加热，则时间为时，可以得到饮水机是第二次加热，把，代入到反比例函数中，求出y，即可得到此时水温，故C不符合题意；先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间，故D符合题意． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； 在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：10:30时的水温为，故C选项说法正确，不合题意； 当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． ►题型02 一次函数与反比例函数的交点问题 / 1. 联立一次函数与反比例函数的解析式，得到方程ax+b=。 2. 去分母转化为一元二次方程ax2+bx - k = 0，通过判别式∆= b2+4ak判断交点个数。 3. 解方程求出x的值，再代入任一函数解析式求出对应的y值，即可得到交点坐标。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，反比例函数与正比例函数交于A、B两点，过A、B两点分别向x轴作垂线，垂足分别是C点和D点，连接，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．设的坐标是，则的坐标是，根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：设的坐标是，则的坐标是， 则，． 则四边形的面积． 故答案是：8． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式．掌握利用数形结合求不等式解集的方法是解题的关键． （1）先把点坐标代入求出得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据交点坐标结合图象即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， 反比例函数解析式为， 把代入得， ， 把，代入得， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：如图， 由图可得，当时，x的取值范围为或． 【变式】2．（2025·山东聊城·三模）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积大于的面积，求点C的横坐标a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点坐标代入求出，得到直线解析式，再把点坐标代入直线解析式求出，把点坐标代入反比例函数解析式求出值即可； （2）根据题意，列出不等式，解答即可． 【详解】（1）解：把点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 把点坐标代入直线解析式得， 解得， 把点坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， ∴反比例函数． （2）解：设C（a,），， 的面积大于的面积， ，即， 点在反比例函数图象上，且在第一象限， ， ． ∴． ►题型03 一次函数与反比例函数的实际问题 / 1. 分别根据实际问题中的数量关系，设出一次函数和反比例函数的解析式。 2. 利用题目给出的对应数据，代入解析式求出两个函数的系数，确定函数表达式。 3. 联立两个函数解析式求解交点，或根据实际问题的限制条件（如自变量取值范围）分析、解决问题。 【典例】（2025·山东济南·一模）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【答案】（1）；4；2；（2）不能，图见解析，理由见解析；（3）图形见解析，8 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象得交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）平移直线通过，将点代入，解得． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得： ， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2），不能围出矩形地块；理由如下： 若，木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标， 的图象，如图中直线所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示： 将点代入得：， 解得． 即的值为8． 【变式】（2024·山东济宁·一模）在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即，分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ． 【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少? 【答案】（1）；（2）；；（3）需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是米 【分析】（1）过点D作于点H，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可； （2）先根据一次函数解析式求出，然后再求出反比例函数解析式，再求出点，根据两点点距离公式求出的值即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出的值即可； （3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、，先求出直线的解析式，然后求出点、的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，过点D作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）把代入中，得：， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴双曲线的解析式为， 联立，得：， 即， 解得：，， ∴， ∴； 如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为， 则， 整理得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为， 由， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：；． （3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、， 则， ∵直线平分第二、四象限角， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 代入，得， 解得：， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米． 突破一 反比例函数与一次函数的综合 【典例】已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）首先确定点坐标，然后根据待定系数法求反比例解析式即可； （2）设点的坐标为，则点，根据题意，是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上，易得，解得的值，进而确定点，的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，，设，易得，求解即可确定点坐标，进而可利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与反比例函数解析式，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，可有， ∴点， 将点的坐标代入反比例函数表达式， 可得 ， 即反比例函数表达式为； （2）设点的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上， 则有 ， 解得（舍去）或， ∴，， 则； （3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，如下图， 对于一次函数， 令，可有，即的坐标为， 令，可有，解得，即的坐标为， 由题意可知，一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设， ∵ ，， ∴，，，， ∴可有，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与反比例函数解析式， 可得，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【变式】1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与双曲线()的交点为，在的左边)，且，恰好是线段的三等分点. (1)求，的值： (2)在x轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，对于线段和点，若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“笛卡尔伴生点”.已知正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“笛卡尔伴生点”，请求出的取值范围， 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】（1）作于，可求得，从而得出，代入数据，即可求解； （2）过点作于，作点关于轴对称点，连接，交轴于，此时最小，可求得，设直线的解析式为：求得其解析式为，进一步得出结果； （3）先表示出，，求得点和点在直线上时的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， 作于， ， ， ，恰好是线段的三等分点， 当时，， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作于，作点关于轴对称点，连接，交轴于，此时最小， 同理（1）可得， 在反比例函数上， ， ， 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ， 由得， （3）从到可以看作向右平移4个单位，向下平移4个单位， 依题意，当正方形上的点通过平移个单位，，能到达，即满足定义， 如图3，将，向上或向下平移个单位，得到， 正方形边长为，且以点为中心， ，， 当点在上时， ， ， 当点在上时， ， ， 当点在上时， ， ， 当点在上时， ， ， 或． 【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于，两点（点在第一象限），，． (1)求点的坐标及的值； (2)如图2，点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，，若，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上，两点之间一点，点关于轴的对称点为，连接，，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）因为直线分别与轴，轴交于，两点，得出，结合，则，再求出，故，因为，所以，再代入反比例函数进行计算，即可作答． （2）结合平行线分线段成比例，得，再设点，因为，，即，j结合点在反比例函数上，得，故，得，运用待定系数法求出的解析，即可作答． （3）先运用等面积法求出，结合在中，故，因为，设点的坐标为，且，得，再运用证明，得出，同理得，，因为，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于，两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A在轴的负半轴， ∴， 把代入， 得， ∵， ∴， 故， ∴ ∵， ∴，， 即，， ∴， ∴ ∵点在反比例函数图象， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， 由（1）得反比例函数解析式为， ∵点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点， ∴设点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵点在反比例函数上， ∴ ∴， ∴ 设的解析式为． 把代入， ∴ 解得， ∴的解析式为． （3）解：由（2）得的解析式为． 把代入，得， 依题意， ∴ 整理得， 解得， ∵ ∴把代入， 得， ∴， 则，， 过点作，过点作直线轴，过点作直线轴，过点 作轴，且分别交直线于点，过点 作轴，且交直线于点， 如图所示： ∵ ∴ ； 则 则， 在中， ∴ ∵， ∴， 连接，， ∵点为反比例函数图象上，两点之间一点， ∴设点的坐标为，且， ∵点关于轴的对称点为， ∴， 即轴，且， 过点作且使，过点M作，再过分别作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， 即， ∵， ∴是共线的， 设的解析式分别为， 把分别代入， 得， ∴， 把，分别代入， 得， ∴， ∵是共线的， ∴， 即， 整理得 ∴， ∵ ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 突破二 反比例函数与几何综合 【典例】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若． ①求线段的长；②求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)①的长为；② 的面积为． 【分析】（1）首先，根据交点代入反比例函数的表达式，求出，进而得出反比例函数的表达式，然后，将点代入反比例函数的表达式求出，再将点、坐标分别代入一次函数的表达式中即可求得一次函数表达式； （2）①利用已知条件巧妙构造辅助线，进而得出，，根据，可求得，进而求得，，最后，在中，由勾股定理即可求得的长； ②由，可求出的长，进而求出的长，最后，运用“整体减部分”思想可得出，根据三角形的面积公式代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得 ，解得． ∴点． 把点，分别代入，得 ，解得． ∴一次函数的表达式为； （2）①如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ∴． ∴． ∴． ∵，点， ∴，，． ∴，解得． ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，． ∴点． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴的长为； ②∵点，， ∴，． 由①知， ∴，即，解得． ∴． ∴ ． ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；充分理解“逢点必代”思想在函数中的重要性，能利用“整体减部分”思想求解特殊三角形的面积． 1．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得，， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 2．如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据，设，则，由勾股定理得，进而得，由此得，，则点，代入可求出的值； （2）由为中点，得，将代入可得，则，由，可证，根据对应角相等及等角的余角相等可得，进而得证； （3）设的中点为，连接并延长与的延长线交于点，由得，由得，，则，进而可得，则，，进而可证． 【详解】（1）， 设，则， 正方形中，，， 中，由勾股定理得：， ， ，，， ， 代入得； （2）证明：为中点， ， 由已知得，代入得， ，， ， ， 正方形中，， ， ， 中，， ， ，即； （3），理由如下： 设的中点为，连接并延长与的延长线交于点，如图所示： ， ，正方形中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 1．（2025·山东济南·三模）已知点，在反比例函数的图象上，若当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质构建不等式解决问题．根据反比例函数的性质，结合点的位置关系，分析函数所在象限及其增减性，进而确定参数的取值范围． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， 又∵当时，有， ∴函数图象在二、四象限， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2025·山东济南·三模）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，已知，则的长度为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,相似三角形的性质与判定，作轴，轴，可证明，利用面积比等于相似比的平方,进而代入数据，即可求解． 【详解】解：作轴，垂足为G，轴，垂足为H， ∵点A在函数图象上，点B在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ 故选：D． 3．（2025·山东东营·三模）如图所示，在中，， 边经过原点O，轴，双曲线过A，B两点．若，则k的值为 ．       【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．如图，作于，由，可得，由的几何意义可得 ，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴， 由的几何意义可得 ，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 4．（2025·山东日照·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与原点O重合，边在x轴上， 在y轴上，点B在反比例函数的图象上，D是边上的一点，连接．将折叠，得到，折痕为，点O的对应点为，与交于点E；将折叠，得到，折痕为，点A的对应点恰好落在上．若点，则k的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和几何综合，轴对称的性质，勾股定理等知识，数形结合是关键．根据轴对称的性质得到，，证明是直角三角形，得到，设，求出，得到，则，得到，则，即可求出k的值． 【详解】解：由轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴k． 答案为：． 5．（2025·山东临沂·二模）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了一个运行周期内部分温度y（单位：℃）及对应时间x（单位：min）的数据如表所示： x 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 y －2 －10 －14 －18 －12 －9 －8 －6 －4 －3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求y与x的函数表达式； (3)冰箱的一个运行周期时长为 分钟； (4)当冰箱温度刚好达到－18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)36 (4)冰箱内的温度是－4.5℃ 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足得函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （3）令，求出x的值即可； （4）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：当时， 设y与a的函数解析式为． 把，代入上式得解得 ∴当时，y与x的函数解析式为． 当时，设y与x的函数解析式为． 把点的坐标代入得，解得， 当时，y与x的函数解析式为． ∴ （3）解：当时，， 解得：， ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟， 故答案为：36； （4）解：当冰箱温度刚好达到－18℃时，已运行了4min，继续运行120min，总共为124min．， 124min冰箱运行3个周期零16min，当时，． ∴冰箱内的温度是－4.5℃． 6．（2025·山东济南·一模）直线与双曲线交于点，交y轴于点． (1)求k，m的值； (2)如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）把坐标代入一次函数解析式求出的值，确定出一次函数解析式，再求出点坐标，将坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可确定出反比例解析式； （2）①设的坐标为，表示出的坐标，两点纵坐标之差即为的长，由已知的长求出的值，确定出的坐标，三角形面积以为底，横坐标为高，求出即可； ②连接，由平移可得：，根据两直线平行时的值相同确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点的坐标，根据平移的性质，由平移到的路径确定出平移到的路径，进而确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∵在的图象上， ∴， ∴， ∵在的图象上， ， 解得：． （2）解：①由（1）得反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设，则有， ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， ； ②连接，由平移可得：，即， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 即通过往右平移个单位，往上平移个单位得到，又由①中知， ∴点往右平移个单位，往上平移个单位得到． 7．（2025·山东日照·模拟预测）如图，点B在函数的图象上，过点分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点A，C． (1)若点B的坐标为，求点A坐标和直线解析式； (2)当点B为函数图象上的动点，问四边形的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积； (3)当平分与x轴正半轴的夹角，求证此时是的角平分线． 【答案】(1)； (2)不变；理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据点B的坐标为，轴，得出点A的纵坐标为3，代入反比例函数解析式，求出点A的横坐标即得出答案；先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）延长交轴于点D，延长交x轴于点E，证明四边形为矩形，得出，，根据求出结果即可； （3）过点C作于点H，根据角平分线的性质和判定进行证明即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，轴， ∴点A的纵坐标为3， 把代入得：， ∴， ∵轴， ∴点C的横坐标为2， 把代入得：， ∴， 设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为． （2）解：四边形的面积不变，理由如下： 延长交轴于点D，延长交x轴于点E，如图所示： ∵轴，轴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵点A、C在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∴四边形的面积不变； （3）证明：过点C作于点H， ∵点， ∴，即， ∴点C的坐标为，则点B的坐标为， 则， ∴， ∵平分与x轴正半轴的夹角，轴， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 8．（2025·山东聊城·三模）大约两千四百多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”（意即：光线照射物体通过小孔形成倒立的影像，物体投影的大小取决于小孔的位置）“爱研究”兴趣小组对此进行了实验探究．探究证明： (1)猜想：兴趣小组同学们在实验室架设仪器做小孔成像的实验，如图（）所示．发现蜡烛的火焰透过小孔在成像板上形成一个倒立的像，经过测量，蜡烛的火焰是厘米，小孔与成像板之间的距离是厘米．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，前后水平移动蜡烛，发现成像板上倒立的影像大小也随之改变，同学们马上把实验数据记录如下： 实验 第一次 第二次 第三次 第四次 （） （） 请根据上面实验数据猜想火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）有怎样的比例关系，写出相应的表达式．估计如果蜡烛距离小孔厘米，那么火焰的像高是多少？ (2)证明：为验证您的猜想，请利用图（）用严谨的几何证明方法来证明像高（）、像距（）、物高（）、物距（）之间的关系；并验证当，时，问题（）中所得像高与物距的关系式是否正确． (3)阳光灿烂的正午，校园树荫下的圆形光斑是太阳光经过树叶间的细小缝隙而形成的像，形成原理和小孔成像的原理是一样的．兴趣小组测得树高为米，地面上形成大小不一的光斑，其中最大的光斑直径是厘米．查阅资料知道，太阳的直径是米，光的速度为米／秒． 请根据所得的数据和前面的发现，利用针孔成像的原理，直接写出光斑直径（单位：米）与日地距离（太阳到地球的距离）（单位：米）函数关系式． 【答案】(1)，火焰的像高是 (2)见解析 (3)D= 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用、相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的性质以及相似三角形的判定和性质，准确分析实际问题中的数量关系是解题的关键． （1）观察实验数据，发现与的乘积为定值，从而确定反比例函数关系，再代入求出对应的值． （2）通过作辅助线，利用相似三角形的判定（两角分别相等）证明，根据相似三角形对应边成比例得到，结合已知、，验证（）中函数关系的正确性． （3）依据相似三角形性质得出（为小孔到地面的高），将代入，再结合太阳实际直径太千米，推导出与的函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意可知，前次实验的与的乘积都是，因此猜想与之间是反比例函数关系：， 第次试验，当时， 所以，火焰的像高是 （2）证明：由题意可知，是垂直于地面的线段， ∴， ∴ ∴， 把，代入上式得 ∴ ∴（）中猜想是正确的． （3）解：根据（）可得， ∴ ∵米，米， ∴ 9．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知反比例函数的关系式为． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … … (1)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象； (2)根据图象回答：当时，y的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质； （1）将横坐标代入解析式中计算得出纵坐标填入表格，再将这些点在坐标系中描出，用光滑的曲线连起来，注意反比例函数的图象为双曲线，分左右两支； （2）在x轴上找到的区域，再通过图象找到对应的y值的部分，即可求解； （3）找到这一条直线，在这一直线下方的部分都是的部分，然后在x轴上找到对应的部分即可. 【详解】（1）解：表格完成如下： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … 画出函数图象如图所示： （2）解：如图所示： 由图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：. （3）解：如图所示： （3）由图象可得：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 10．（2025·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线：交反比例函数的图象于点P，交x轴于点Q，交y轴于点M，已知，点P到y轴的距离为2． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)如图1，点N在反比例函数第三象限的图象上，若，直接写出N的横坐标t的取值范围； (3)如图2，将直线：沿y轴向下平移，平移后的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，交y轴于点B，且，求直线到直线的平移距离． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形判定与性质等，解题的关键是掌握一次函数，反比例函数的相关性质． （1）由，得，代入中得，故直线的函数解析式为，由点到轴的距离为2，可得，代入得反比例函数的解析式为； （2）求出，设,，可得，故； （3）过作轴于，过作轴于，证明，得，而，知，可得，用待定系数法得直线解析式为，从而，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 把代入中得：， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点到轴的距离为2， ， ， 把代入得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：， ， 设，其中， ， ， 解得； （3）解：过作轴于，过作轴于，如图： ∵直线直线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，令得， ， 设直线解析式为， 把代入得：， ， ∴直线解析式为， 令得， ， 由知， ∴直线向下平移6个单位可得直线，即平移距离为6． 1．（2025·山东青岛·一模）点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 根据反比例函数k值的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 2．（2025·山东滨州·一模）如图，直线（，为常数）与双曲线（为常数）相交于两点． (1)求的值． (2)在双曲线上任取两点和．若，试确定和的大小关系，并写出判断过程． (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)当或时，；当时，，判断过程见详解 (3)或 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的结合，以及数形结合， （1）利用待定系数法求得，即可求得点中a的值； （2）根据反比例函数k，可知反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，分情况讨论即可； （3）结合一次函数和反比例函数的交点，以及图象位置关系即可求得满足条件的x． 【详解】（1）解：将代入，得， 双曲线的解析式为． 将代入，得． 则，； （2）解：对于，故反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 当或时，； 当时，根据图象可得． 综上所述，当或时，；当时，． （3）解：∵交于两点，且， ∴或． 3．（2025·山东聊城·二模）如图，正方形在第一象限，已知点、，反比例函数的图象与正方形的边有交点． (1)求k的取值范围； (2)当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，求反比例函数与边的交点的坐标． (3)设反比例函数的图象与正方形的边交于、两点，若线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为，则的值为______．(直接写出结果) 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可； （2）根据点坐标先求出反比例函数解析式，再根据解析式求出反比例函数于线段的交点坐标即可； （3）由（1）可得；分两种情况讨论，①由（2）可得，②当分别在上时，设，则，进而求得，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：点、， ∴轴，， ∵四边形是正方形， ∴轴，轴，， ，， 当反比例函数经过点时．， 当反比例函数经过点时．， 的取值范围为：； （2）是的中点， ， ， 故反比例函数解析式为， 当时，， 反比例函数与边的交点的坐标为． （3）解：①当分别在上时， 由（1）可得 由（2）可得是的中点时，反比例函数与边的交点的坐标为． 此时， ∴此时线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为， ∴满足； ②当分别在上时，设，则， ∴， ∵线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为， ∴， ∴， 解得：或（舍去） 综上所述，或． 4．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标． (3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）将点代入一次函数，求出，求出，即可解答． （2）联立和，则，求出，再求出，设，根据轴，得出，结合，列方程求出，得出点F纵坐标，再代入即可求解． （3）根据题意得出，，设，则，根据以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，得出．分为当点M在轴上方时，当点M在轴下方时，列方程解答即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 则， ∴， 将代入，则，解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：联立和，则， 解得；或， 将代入得， ∴， 在中，令，则，令，则， ∴， 设， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 将代入，得，解得， ∴． （3）解：∵轴， ， ∴轴， ∵，，， ∴，， 设， 则， ∵以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形， ∴． 当点M在轴上方时，如图， 则， 解得：（舍去）或； 当点M在轴下方时，如图， 则， 解得：或（舍去）； 或， 解得：（舍去）或； 综上，当或或时，以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】该题考查了一次函数和反比例函数综合，涉及一次函数的图象和性质，反比例函数图象和性质，解析式求解，解一元二次方程，解分式方程，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，运用分类讨论思想和数形结合思想解答． 5．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点． (1)求点的坐标并直接写出、的值； (2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标； (3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点或； (3)存在，或或． 【分析】（1）过点作轴于点，作轴于点，结合正方形的性质用“角角边”证明、，再由全等三角形的性质即可求出点、的坐标，求出坐标后分别代入反比例函数即可得出、的值； （2）延长交轴于点，由点、的坐标求出直线的解析式及线段的长，可得点坐标，过点作交轴于点，作交延长线为，结合题中所给的求出，再结合解直角三角形的应用、勾股定理求出，可得点坐标，从而求出直线解析式，由点是直线与反比例函数的交点，联立反比例函数解析式和直线解析式即可求出点横坐标，继而得解； （3）先求出点坐标、的长，设点、，分三种情况讨论：当为对角线时；当为对角线时，当为对角线时． 【详解】（1）解：过点作轴于点，作轴于点， ， 正方形中，，， 平面直角坐标系中， ，， ， 在和中， ， ， 又，， 则，， 则点， 同理可得，， ，， 则点， 将点、的坐标分别代入两个函数表达式得：，； （2）解：延长交轴于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，， 令，则，则点， 过点作交轴于点，作交延长线为， 则， ， 由直线的表达式知，， ，， ， 直线的表达式为：，由（1）知反比例函数的表达式为：， 点是直线与反比例函数的交点， ， 解得：或， 即点或； （3）解：存在，理由： 当时，，即点， 设点、， 由点、的坐标得， 当为对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：（无解）或， 解得：， 即点或， 综上，或或． 1．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 3．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 4．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 5．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数． （1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 6．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为： (2) 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键. 7．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 【答案】(1) (2)，见详解 (3) 【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，得； （2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象； （3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵曲线过点． ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∵直线也经过点P， ∴把代入，得， 解得， ∴； 令，则， ∴l与y轴交点的坐标为； 直线l的函数图象，如图所示； （3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是， ∵曲线， 则， ∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上， 即该格点在曲线G上的概率． 8．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 9．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为， (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 10．（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①（√）；②（√）；③（×） (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的“对偶点”， “对偶函数”的定义结合反比例函数，一次函数，二次函数的性质进行分析得出结果； （2）由题意可得，，得出从而求出，，得出两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，画出图形得出结果； （3）由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可． 【详解】（1）解：，且，， ，， ，， ①函数（k是非零常数）的图象上，， 满足，，故①正确； ②由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 函数的图像如下图： 函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确； 函数的图象如下图， 由题意可得，，则 ∴“对偶点”在反比例函数图象上， ∴函数的图象上存在一对“对偶点”， 至少存在两对“对偶点”说法错误，故③错误； 故答案为：①（√）；②（√）；③（×） （2）由题意可得，，点与点且是一对 “对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有，两式相减可得，同理可得． 两个一次函数为，，由于，都是常数，且， 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示 求得其面积之和； （3）由题意可得，且时，有， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数，反比例函数，二次函数的图形与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $