第11讲 一次函数的应用（复习讲义，1考点5题型2重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦一次函数的应用，紧扣课标“能用一次函数解决实际问题”要求，构建“考情剖析-知识网络-分题型突破-重难攻坚-分层训练”体系，通过考点梳理、方法指导（如分配方案问题四步解题法）、真题训练（山东各地市中考题）帮助学生突破行程、利润等应用难点。 亮点在于“题型化建模”与“分层进阶”策略，如最大利润问题通过“分析变量-建立利润函数-确定定义域-求最值”四步培养数学思维，投球问题结合二次函数图象提升几何直观。基础到新趋势三级练习适配不同学生，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生建模与解题能力。

第三章 函数 第11讲 一次函数的应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 一次函数的应用 题型01 分配方案问题 题型02 最大利润问题 题型03 行程问题 题型04 梯度计价问题 题型05 其他问题 05·重难突破·思维进阶难 32 突破一 投球问题 突破二 动点问题 06·优题精选·练能提分 42 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的应用 山东东营T22 山东济南T14、T22 山东青岛T21、T24 山东卷T18 山东烟台T20 山东德州T22 山东日照T20 山东青岛T21、T24 山东济南T14、T22 山东东营T23 山东潍坊T19 山东青岛T23 山东济南T23 山东潍坊T18 山东日照T20 山东聊城T10 山东烟台T21 能用一次函数解决实际问题 命题预测 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键。 考点一 一次函数应用 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 1．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 (2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 2．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 【答案】(1) (2)注水5小时可供发电万千瓦时． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． （1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可； （2）根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式． （2）解：根据题意，得， 解得． 答：注水5小时可供发电万千瓦时． 3．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 4．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 6．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 命题点一 一次函数的应用 ►题型01 分配方案问题 / 第一步：分析题意，明确变量与目标 1. 确定决策变量：识别需要被分配的量是什么。 2. 明确优化目标：清楚最终要最大化什么或最小化什么。这个目标就是我们要构建的目标函数。常见的目标有：总成本最小、总收益最大、总效率最高等。 3. 找出约束条件：列出所有限制分配方案的条件。 第二步：建立目标函数模型 根据题目信息，用数学表达式写出目标函数。 第三步：确定可行域并求解 第四步：解读结果，给出结论 将求得的最优解代回原始情境，解释其实际意义，并清晰地陈述最佳的分配方案以及所能达到的最优目标值。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 【答案】(1)每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元 (2)当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，列出方程组、不等式是解题的关键． （1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，再根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型放大镜a个，再根据题意列出不等式求得a的最小值，然后再根据题意列出购买费用w与a的函数关系，最后根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元， 可得，解得：， 答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元． （2）解：设购买A型放大镜a个，则购买B型放大镜个， 根据题意可得：，解得：（a为整数），即a的最小值为， 所以购买费用为：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，最少费用2712元． ∴当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 【变式】1．（2025·山东济宁·模拟预测）贝壳粘贴画作为一种工艺品，它巧妙的将人与海结合起来，无不显示着人们欣赏美的情趣和想象力．小颖是一位贝壳粘贴画的爱好者，她和朋友第一次用600元购买了若干种贝壳粘贴画，第二次又用600元购买了若干种贝壳粘贴画．已知种贝壳粘贴画的单价比种贝壳粘贴画高出一半，且第二次购买的种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的种贝壳粘贴画少2幅． (1)求两种贝壳粘贴画的单价各是多少元？ (2)某艺术品收藏协会计划团购两种贝壳粘贴画共20幅，且种粘贴画的数量不低于种粘贴画的数量，和供应商商定后达成一致，种贝壳粘贴画每幅降价10元，种贝壳粘贴画在原价的基础上优惠，那么应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元． 【答案】(1)种贝壳粘贴画的单价为元，种贝壳粘贴画的单价为元 (2)购买10幅种贝壳粘贴画，10幅种贝壳粘贴画，花费最小，为元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数是解题的关键： （1）设种贝壳粘贴画的单价为元，根据种贝壳粘贴画的单价比种贝壳粘贴画高出一半，且第二次购买的种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的种贝壳粘贴画少2幅，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买幅种贝壳粘贴画，购买费用为元，根据种粘贴画的数量不低于种粘贴画的数量，列出不等式求出的范围，根据总费用为两种粘贴画的费用之和，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设种贝壳粘贴画的单价为元，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，并符合题意； ∴； 答：种贝壳粘贴画的单价为元，种贝壳粘贴画的单价为元； （2）设购买幅种贝壳粘贴画，则购买幅种贝壳粘贴画，由题意，得：，解得：， 设购买费用为元，由题意，得： ， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最小为， 答：购买10幅种贝壳粘贴画，10幅种贝壳粘贴画，花费最小，为元． 2．（2025·山东济南·二模）为增强学生的科技兴趣与实践能力，某中学计划采购一批科技产品，包括无人机和遥控车．已知某品牌无人机的单价比遥控车的单价高出40元，用2400元购买无人机的数量是用2000元购买遥控车数量的． (1)求无人机和遥控车的单价； (2)学校在采购时遇到商家“科技节”促销：无人机享受七五折优惠．若计划购买无人机和遥控车共150个，且无人机的数量不少于遥控车数量的，请问应如何购买，才能使总费用最低？ 【答案】(1)无人机的单价为120元，则遥控车的单价为80元 (2)购买无人机60个，遥控车90个，能使总费用最低 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出方程或函数关系式是解答的关键． （1）设无人机的单价为x元，则遥控车的单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）购买无人机的a个，则购买遥控车个，先根据题意列不等式求得，设总费用为W元，根据题意列出总费用和a的一次函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设无人机的单价为x元，则遥控车的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ∴， 答：无人机的单价为120元，则遥控车的单价为80元； （2）解：购买无人机的a个，则购买遥控车个， 根据题意，， 解得， 设总费用为W元， 则， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，W有最小值，此时， 答：购买无人机60个，遥控车90个，能使总费用最低． ►题型02 最大利润问题 / 第一步：分析题意，明确变量关系** 1. 找出关键变量：识别题目中的常量和变量。 2. 理解变量间的关系：最关键的一步是弄清销售单价如何随着销售量的变化而变化。 第二步：建立利润函数模型 利润的核心公式是：总利润 = 总收入 - 总成本 第三步：确定定义域并求解最值 1. 确定自变量 x 的取值范围。 2. 求二次函数的最大值。 3. 检查顶点是否在定义域内。 第四步：解读结果，回答问题 将求得的最优解（如最佳销售量、最大利润额）清晰地表述出来，回答题目所问的问题。 【典例】（2025·山东德州·模拟预测）兴旺超市经营甲、乙两种商品的进价和售价如表： 商品种类 成本价（元个） 售价（元个） 甲种商品 m 乙种商品 n 在超市购买2000个甲种商品和1000个乙种商品共需5600元；购买1500个甲种商品和1500个乙种商品共需6000元． (1)求m，n的值； (2)五一期间，超市购进甲、乙两种商品共65万个，其中，甲种商品数量不低于乙种商品数量，且不超过55万个．实际销售时，由于市场因素影响，甲种商品量超过45万个的部分每个需要打八五折才能全部售完，乙种商品能按售价卖完设当天售完这两种商品获得的总利润为y万元，甲种商品量为x万个（x为整数）． ①求y（万元）关于x（万个）的函数关系式，并写出x的取值范围； ②求当天售完这两种商品获得的最大总利润； (3)为支持农村教育事业，在（2）的条件下，获得最大利润时，超市对本地100所乡镇中学进行物资捐赠：向每所中学捐出甲种商品a个，乙种商品个，若要保证捐赠后盈利率不低于，求a的最大值． 【答案】(1)m的值为，n的值为 (2)①；②万元 (3)4860 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据题意，列关于m和n的二元一次方程组并求解即可； （2）①根据题意，列关于x的一元一次不等式组并求其解集，再按照x的取值范围，分别写出对应的y与x的函数关系式即可； ②根据一次函数的增减性求出y的最大值即可； （3）根据盈利率列关于a的一元一次不等式并求其解集，从而求得的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：m的值为，n的值为． （2）解：①根据题意，得， 解得， 为整数， 且x为整数， 当时， ， 当时， ， y（万元）关于x（万个）的函数关系式及x的取值范围为； 当时， ， 随的增大而减小， 当时，y的值最大，最大值为； 当时， ， 随的增大而减小， 当时，y值最大，最大值为， ， 当天售完这两种商品获得的最大总利润是万元． （3）解：在（2）的条件下，获得最大利润时，销售甲商品33万个、乙商品32万个， 根据题意，得， 解得， 的最大值是4860． 【变式】1．（2025·山东济南·模拟预测）为培养学生的阅读能力，李老师准备购买《钢铁是怎样炼成的》和《围城》两种书，已知《钢铁是怎样炼成的》的单价是《围城》单价的倍．已知花费500元购买《围城》的数量比花费600元购买《钢铁是怎样炼成的》的数量多5本． (1)求李老师准备购买的两种书的单价分别是多少元； (2)若李老师计划购买两种书共100本，且《钢铁是怎样炼成的》的数量不少于《围城》的一半，则怎样购买可以使购买费用最低，最低费用为多少？ 【答案】(1)《钢铁是怎样炼成的》的单价是30元，《围城》的单价是20元 (2)购买《钢铁是怎样炼成的》34本，《围城》66本，可以使购买费用最低，最低费用为2340元． 【分析】本题考查分式方程，一次函数的性质，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）设《围城》的单价为x元，根据《钢铁是怎样炼成的》的单价是《围城》单价的倍．已知花费500元购买《围城》的数量比花费600元购买《钢铁是怎样炼成的》的数量多5本，列出分式方程，求解即可； （2）设《围城》的数量为m本，费用为y元，列出一次函数，由，得到y随x的增大而减小，由，得，且m为正整数，则当时，y取得最小值，即可解答． 【详解】（1）解：设《围城》的单价为x元，依题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：《钢铁是怎样炼成的》的单价是30元，《围城》的单价是20元． （2）解：设《围城》的数量为m本，费用为y元，依题意，得 ， 即， ∵， ∴的y随的增大而减小， 由，得，且m为正整数， ∴当时，y取得最小值， 即（本），（元）． 答：购买《钢铁是怎样炼成的》34本，《围城》66本，可以使购买费用最低，最低费用为2340元． 2．（2025·山东威海·三模）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．根据题意得： 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 此时； 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． ∵， 解得：， 设共花费w元，则 ， ∵ ∴w随m的减小而减小 ∴当时，w最小，最小值为11200， 此时， 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． ►题型03 行程问题 / 第一步：分析题意，明确研究对象和运动状态 1. 确定有几个物体在运动。 2. 判断每个物体的运动状态。 3. 找出已知量和未知量：明确题目给出了哪些信息（如速度、出发时间、出发点、总路程等）以及要求解的是什么（如相遇时间、追及地点、距离等）。 第二步：在坐标系中明确变量 1. 定义自变量和因变量： 自变量 (x轴)：通常是时间 (t)。设从某一共同时刻（如都出发的时刻）开始计时。 因变量 (y轴)：通常是位置 (s) 或路程 (d)。表示物体相对于起点的距离。 2. 写出每个物体的函数表达式： 对于每一个做匀速运动的物体，其位置 `s` 与时间 `t` 的关系是一个一次函数： 1） 相向而行（相遇问题）： - 核心关系：两者走过的路程之和等于总路程。 2） 同向而行（追及问题）： - 核心关系：快者比慢者多走的路程等于初始时两者之间的距离差。 3） 背向而行（远离问题）： - 核心关系：两者之间的距离等于两者走过的路程之和。 4） 环形跑道问题： - 相遇：两者路程之和等于一圈的长度。 - 追及：两者路程之差等于一圈的长度。 第四步：解读结果，验证答案 将求得的时间或其他值代回原函数，检查得到的位置或路程是否符合实际情况和题意。 【典例】（2025·山东·三模）小颖家，小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧，早上两人同时从家里出发去学校，走了分钟后，小颖以倍的速度跑向学校，小亮以倍的速度跑向学校，两人同时到达学校，两人各自离家的距离和他们所用时间的图象如图所示，请问下列结论正确的是 ． ①小颖家到学校距离比小亮家到学校的距离远； ②； ③加速后，，； ④两人从家出发分钟时，相距米． 【答案】②③ 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． ①观察图象判断即可； ②根据速度路程时间求出加速前小亮的速度，从而求出其加速后的速度，再根据路程速度时间求出的值即可； ③设加速前，小颖的速度为米/分钟，则加速后的速度为米/分钟，根据小颖加速前后的路程之和为列关于的方程并求解，从而求出其加速后的速度即可； ④计算两人前12分钟的路程差即可． 【详解】解：小颖家到学校距离与小亮家到学校的距离相等， ①不正确，不符合题意； 加速前小亮的速度为（米/分钟），则加速后小亮的速度为（米/分钟）， （米， ， ②正确，符合题意； 设加速前，小颖的速度为米/分钟，则加速后的速度为米/分钟， 则， 解得， （米/分钟）， 加速后小颖的速度是250米/分钟， 由①可知，加速后小亮的速度为200米/分钟， ③正确，符合题意； 两人从家出发12分钟时，相距（米， ④不正确，不符合题意． 故答案为：②③． 【变式】1．（2025·山东青岛·二模）周末早晨，李老师从家中出发步行前往张文家家访，同时，张文从家出发骑车到相距的药店给奶奶买药，在药店停留8分钟后以相同的速度按原路返回，结果与李老师同时到家．张文家、李老师家、药店都在东西方向笔直大路上，且药店在张文家与李老师家之间．在此过程中设李老师出发分钟后师生二人离张文家的距离分别为，．与之间的函数关系如图所示，请你解答下列问题： (1)李老师步行速度为_______/分钟；张文骑自行车速度为_______/分钟； (2)求张文去药店和返回家中时与t之间的函数关系式； (3)张文出发多长时间后在途中与李老师相遇？ (4)张文与李老师之间的距离小于时的时间t的取值范围是______． 【答案】(1)50；100 (2)张文去药店时，返回家中时 (3)分钟 (4)或 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式、一元一次不等式的应用，读懂图象获取必要的信息是解题的关键． （1）根据图象的信息，利用速度路程时间，即可求解； （2）由（1）得张文骑自行车速度为/分钟，计算可得去药店用时12分钟，求出去药店时与t之间的函数关系式；计算可得返回家的开始时间为20分钟，设张文返回家中时，代入和，利用待定系数法求出的值，即可解答； （3）由（1）得李老师步行速度为/分钟，求出李老师步行的函数关系式为，当时，令，求出此时的值即可； （4）分①；②；③三种情况讨论，分别令，求出对应的t的取值范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：李老师步行速度为/分钟， 张文骑自行车速度为/分钟． 故答案为：50；100． （2）解：由（1）得，张文骑自行车速度为/分钟， 去药店用时（分钟）， 张文去药店时； 返回家的开始时间为（分钟）， 设张文返回家中时， 代入和，得， 解得：， 张文返回家中时； 综上所述，张文去药店时，返回家中时． （3）解：由（1）得，李老师步行速度为/分钟， 李老师步行的函数关系式为， 当时，令，则， 解得：， 答：张文出发分钟后在途中与李老师相遇． （4）解：①当时，此时，， 令， 则， 解得：； ②当，此时，， 令， 则， 解得：（舍去）； ③当时，此时，， 令， 则， 解得：， ； 综上所述，时间t的取值范围是或． 2．（2025·山东临沂·二模）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了时两人相距．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．②④ C．③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，读懂函数图象是解题关键．观察图象可解答①；由图象可得运动过程，进而判断②；根据甲在比乙多行驶了，可判断③；最后分：两人相遇后，甲未到达C村，和甲已经到达C村时两种情况，求出时间即可判断④． 【详解】由图象可知A村、B村相距， 故①错误； 当时，甲、乙相距为，故在此时相遇，说明甲的速度大于乙的速度， 当时，甲到达C村，故②正确； ，解得， 故甲的速度比乙的速度快，故③正确； 当时，函数图象经过点，． 设一次函数的解析式为， ∴, 解得 ． 当时，得，解得． 由． 同理当时，设函数解析式为． 将点，代入得 , 解得 ． 当时，得，解得， 由， 故相遇后，乙又骑行了或时两人相距， 故④错误． 故选A． ►题型04 梯度计价问题 / 第一步：分析题意，划分区间 1. 找出所有分界点：仔细阅读题目，确定将消费量 `x` 分成几个区间。 2. 明确各区间的单价：记下每个区间对应的单价。 3. 列出所有区间及其范围。 第二步：建立每一段的函数表达式 对每一个区间，分别建立一个一次函数 `y = kx + b`。 第三步：整合成分段函数 将第二步中得到的所有分段函数整合起来，写成一个完整的分段函数形式： 第四步：根据具体问题求解 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 【答案】C 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 【变式】1．（2025·广西·模拟预测）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键． 根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得到解，在从给出的四个图像中判断出正确的图像即可． 【详解】解：当时，； 当时，， 故与的函数关系式为， 观察各选项，选项中的图象符合， 故选：． 2．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【答案】(1)； (2)； (3)能，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分段函数的应用，解决本题的关键是根据图象找到因变量与自变量之间的关系． 用待定系数法求出一次函数的关系式为，把代入函数关系式中求值即可； 根据投放纸张超过后，奖励积分为分，从到增加了，可知； 因为获得的积分与投放的塑料与纸张的质量有关，所以应分当时，当时，当时，三种情况求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 当时，， 当时，， ， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 答：投放塑料的奖励积分分； （2）解：由图可知投放纸张奖励积分分， 投放纸张超过后，奖励积分为分， ， ； （3）解：当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， ， 不符合题意； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 不能兑换扫地机器人； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 能兑换智能扫地机器人． ►题型05 其他问题 / 建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【答案】(1)； (2)6月出售这种矿泉水每瓶获利最大 (3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题； （1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，根据二次函数的性质，即可求解； （3）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解． 【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱 ∴，， 根据信息③可得与售价的乘积相等，设， 代入得，， ∴，， （2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下， 依题意，， ∴ ∴当时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利最大； （3）解：依题意， 当该矿泉水需求量与供给量相等时， 解得：（舍去） 当时，， ，解得：， 总利润为（元） 答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）某产品成本元/千克，据市场调查，若按元/千克销售时，每天可销售千克，且销售单价每降低元，每天就可多销售千克；由于不耐磕碰，所以运输过程中会折损总重量的． (1)当售价为元/千克时，需要拉多少千克该产品才能刚好够卖？ (2)写出销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式 (3)当销售单价（元/千克）定为多少时，每天的利润（元）最大？最大利润多少元？ 【答案】(1)千克 (2) (3)当销售单价为元/千克时，每天的利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设需要拉千克该产品才能刚好够卖，则折损后的重量为，根据“售价为元/千克时，每天可销售千克”列出一元一次方程，求解即可； （2）设销售单价为元/千克，则降低了，根据“销售单价每降低元，每天就可多销售千克”可得出与的函数关系式； （3）根据“利润为收入减去成本”，收入为元，成本为运输量的成本（运输量为千克，成本价为元/千克，据此得，然后利用二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：设需要拉千克该产品才能刚好够卖，则折损后的重量为， 依题意，得：， 解得：， 答：当售价为元/千克时，需要拉千克该产品才能刚好够卖 （2）设销售单价为元/千克），则降低了元， 依题意，得：， ∴销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为； （3）依题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：（元）， ∴当销售单价为元/千克时，每天的利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，列函数关系式，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 2．（2024·青海西宁·中考真题）西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的函数图象，其中折线表示用快速充电器充电时与的函数关系；线段表示用普通充电器充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： (1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从10充到70需 ． (2)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． (3)该品牌汽车电池电量从10充到100，快速充电器比普通充电器少用 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查根据函数图象得到信息，待定系数法求一次函数解析式等． （1）通过函数图象可知段横坐标即为本题答案； （2）设一次函数解析式为，再将两点坐标代入即可； （3）由（2）问解析式求出点坐标，再分别计算快速充电器和普通充电器使用时间，再利用减法即可求出本题答案． 【详解】（1）解：根据图象可得用快速充电器充电时，汽车电池电量从10 kW·h充到70 kW·h需， 故答案为：； （2）解：设一次函数解析式为， ∵， ∴将代入中得， ，解得：， ∴关于的函数解析式：， 将点纵坐标代入中得：， ∴自变量的取值范围：， ∴； （3）解：根据图象可得普通充电器从10充到100用时， 快速充电器从10充到100用时， ∴快速充电器比普通充电器少用：， 故答案为：． 突破一 投球问题 【典例】为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观如图，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中，图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为：，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，并说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上当水面离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 【答案】(1) (2)水柱不能喷射到护栏上，理由见解析 (3)河水离地平面距离为米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点，理解题中的数量关系是解题的关键． （1）根据当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米，所以二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，因为二次函数经过原点，所以把原点的坐标代入，可得：，解方程求出的值即可； （2）因为绿道路面宽米，当时，可得水柱的高度为米，而护栏的高度为米，所以水柱不能喷射到护栏上； （3）根据坡比和的长度求出的长度，从而可得点的坐标为，点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，解方程求出抛物线与直线的交点即可； 【详解】（1）解：由题意得，二次函数的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 二次函数经过原点， ， 解得， 该二次函数的解析式为； （2）解：水柱不能喷射到护栏上，理由如下： 当时，， ， 水柱不能喷射到护栏上； （3）解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中）， ， ， 则点与原点的水平距离为， 点的坐标为， 又点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，坐标代入解析式得：， 解得， 直线的表达式为， 联立方程组，即， 解得不合题意，舍去，， 当时，， 即河水离地平面距离为米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处． 【变式】1．如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 【答案】(1)函数表达式为 (2) (3)小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可； （3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为， 由表格得：， 解得：， ∴函数表达式为； （2）解：由题意得，设， ∴小树顶端点的坐标为， 将其代入得，， 解得：， ∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：设铅直高度为，由题意得， ∴； ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 2．东东同学运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，球网与轴的水平距离、击球点在轴上．若选择吊球，羽毛球（看作一点）的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系式 ；若选择扣球，羽毛球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足一次函数关系式． (1)求点的坐标和的值． (2)若球网的高度为，请通过计算说明上面两种击球方式是否都能使球过网． (3)击球的刹那，发现对手正在网前，为防止网前截杀，选手决定选择吊球，并加大力度击球， 当球在网前的高度超过时，球就可以越过对方落到点处，若吊球路线的形状保持不变，请通过计算说明这次吊球是否会被拦截． 【答案】(1) (2)两种击球方式都能使球过网 (3)这次吊球不会被拦截 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）把代入，求出点坐标，再将点坐标代入抛物线的解析式，求出值即可； （2）求出时的两个函数值，进行判断即可； （3）求出新的函数解析式，求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】（1）解：将代入得， ∴点的坐标为， 将代入，得； （2）将代入，得， 将代入，得， ∴两种击球方式都能使球过网； （3）由题意，设加大力度后的球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系式为， ∵，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∴当时，， ∴这次吊球不会被拦截． 突破二 动点问题 【典例】如图，正方形的边长为4，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．到达点C停止运动，连接，设运动时间为t（秒）， 的面积为S，则S与t的函数图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的几何动点，一次函数，函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．读懂题意，则进行分类讨论，即当时，点E在线段上，当时，点E在线段上，分别根据面积公式列式化简，结合函数图象即可作答． 【详解】解：∵在正方形中，，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动． ∴（秒），（秒）， ∴当时，点E在线段上，点F在线段上，如图： 则， ∴， 此时，S与t的函数图象为一次函数的图象， 当时，点E在线段上，点F在线段上，如图， 则， ∴，， ∴ ． ∴， 此时，S与t的函数图象是开口向下的二次函数，且时，点三点重合， 综上，． 故选：C． 【变式】1．如图，正方形和正方形在同一直线上，，正方形以每秒1cm的速度沿直线向右运动，点D与点F重合时停止运动，设正方形运动时间为t（单位：秒），正方形的面积为，正方形与正方形重叠部分的面积为，，下列图象是S与t之间的函数关系的图象，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是动点问题的函数的图象．解题的关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．分4段求出函数解析式即可判断． 【详解】解：A与E重合时：（秒）， D与E重合时：（秒）， A与F重合时：（秒）， D与F重合时：（秒）． ∵， ∴（）． 当时，（），函数图象是平行于x轴的一条线段； 当时，（），函数图象是y随x增大而减小的一条线段； 当时，（），函数图象是平行于x轴的一条线段； 当时，（），函数图象是y随x增大而增大的一条线段． 故选C． 2．已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 【答案】(1)即的值为 (2)， (3)当为3时，点在的平分线上 【分析】本题考查矩形上的动点问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，解一元二次方程； （1）通过等量代换得出，证明，利用相似三角形对应边成比例得，代入数值即可求解； （2），用含的代数式表示出相关线段的长度，进而根据一次函数的性质结合自变量的取值范围，即可求解； （3）连接，根据角平分线的定义可得，进而可得，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ． ， ． 四边形是矩形， ． ， ， ， 依题意，，，， ， 即， 解得（舍去），， 即的值为． （2）依题意，，，， ． ， 当时，有最大值，此时． （3）如图，连接． 平分， ， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ， ， ． 即当为3时，点在的平分线上． 1．（2025·山东济南·二模）已知A、B两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，表示两人离A地的距离s（）与时间t（h）的关系，结合图象信息，当甲到达终点时乙距离终点还有 ．         【答案】45 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握函数图象信息，待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质． 根据题意和的图象求得乙对应的函数解析式，求出当时间时的路程s的值，即得乙距终点的路程． 【详解】解：设乙对应的函数解析式为， 把，代入， 得， 解得， 即乙对应的函数解析式为， 当时， ， ∴（）， 即当甲到达终点时乙距离终点还有． 故答案为：45． 2．（2025·山东济南·一模）某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往公里远的集合点．学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．先求出乙队所用的时间，进而得到乙队比甲队晚出发，分别求出甲乙两队的函数解析式，即可求解． 【详解】解：由图象可得，乙队所用的时间为：， 故乙队比甲队晚出发， 设甲队在时前进的路程（单位：）与甲队出发时间的函数解析式为， 将点，代入得： ， 解得：， ， 设乙队的解析式为，将，代入得： ， 解得：， ， ， 当时，， 即当甲出发时间时，甲乙两队相距， 故答案为：． 3．（2025·山东·二模）“大明湖畔的夏雨荷”，是给不少人留下了深刻印象的影视形象．2024年12月，济南市大明湖畔迎来了一个高达12米的“夏雨荷”造型花灯，很多游客纷纷前来打卡拍照，与夏雨荷花灯类似的两款簪花发卡尤其受到拍照游客喜爱，很多游客纷纷购买佩戴后与夏雨荷花灯合影留念．已知购买1个款簪花发卡的售价50元，1个款簪花发卡的售价40元．某旅行团计划购买这两种簪花发卡共100个，要求款簪花发卡的数量不少于款簪花发卡数量的3倍．则该旅行团最低消费金额为 元． 【答案】4750 【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设购买款簪花发卡个，则款簪花发卡，根据题意得到不等式，求出的取值范围，再设旅行团消费金额为元，根据题意得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】解：设购买款簪花发卡个，则款簪花发卡， 由题意得：， 解得：， 设旅行团消费金额为元， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最小，为， 故答案为：4750． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ 【答案】(1)甲辆，乙辆 (2)当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升 【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数的性质，一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆，根据表格找到两个等量关系，列出方程组求解即可； （2）根据题意求出m的取值范围为，设总油耗升，然后写出关于的函数关系式，利用一次函数的性质求出的最小值即可． 【详解】（1）解：设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆， 根据题意， ， 解得， 则甲种车辆辆，乙种车辆辆； （2）设总油耗升， 已知派往A地的甲车m辆，则派往A地的乙车辆， 根据题意需满足∶ 解得 又∵乙车总数辆，而需辆车派往A地， ， ∴m的取值范围为， 油耗计算∶ A地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， B地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， ∴， ， 随增大而减小， ∴当最大为5时，最小， 升， ∴当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升． 5．（2025·山东济南·一模）【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 【答案】问题一：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元 问题二：，费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用． 问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，利用数量总价单价，结合用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B种书架的单价），再将其代入中，即可求出A种书架的单价； 问题二：由购买总数量及购买A种书架的数量，可得出购买个B种书架，结合购买A种书架数量不少于B种书架数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，利用总价单价数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元； 问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架， ∴购买个B种书架， ∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的， ， 解得：， ∵购买总费用为w元，A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元， ， 即， ， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，此时， 答：费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架． 6．（2025·山东济南·三模）生活中的数学 春日的济南，护城河畔垂柳依依，千佛山下百花争艳．越来越多的市民选购自行车用以骑行出游，穿梭于绿意盎然的街道与湖畔，尽享春日美景． 信息1 某自行车店抓住商机，计划购进，两种型号的自行车，其中每辆型自行车比每辆型自行车多600元，用5000元购进的型自行车与用8000元购进的型自行车数量相同． 信息2 型自行车每辆售价为1500元，型自行车每辆售价为2000元． 信息3 该自行车店计划购进A、B两种型号的自行车共50辆，且B型自行车的数量不低于A型自行车数量的一半． 任务1 （1）求A，B两种型号自行车的进货单价； 任务2 （2）根据进货要求，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 【答案】任务1：种型号自行车的进货单价是元，种型号自行车的进货单价是元；任务2：购进型自行车辆，型自行车辆能获得最大利润，此时最大利润是元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，设A种型号自行车的进货单价是x元，则B种型号自行车的进货单价是元，则，进而计算可以判断得解； （2）依据题意，设购进A种型号自行车m辆，则设购进B种型号自行车辆，则，可得，又设该商店利润为w元，则，结合，从而根据一次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：（1）设种型号自行车的进货单价是元，则种型号自行车的进货单价是元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， 答：种型号自行车的进货单价是元，种型号自行车的进货单价是元； （2）设购进种型号自行车辆，则设购进种型号自行车辆， 根据题意得：， 解得， 设该商店利润为元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 且为正整数 当时，有最大值， ， 此时（辆）， 答：该商店购进型自行车辆，型自行车辆能获得最大利润，此时最大利润是元． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”．2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元．受污损的进货清单如表所示： 品名 大樱桃 小樱桃 进价／（元／千克） 总价／元 1134 630 (1)请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元． (2)若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？ (3)利润关系仍然满足（2）中的利润关系，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的另购大、小樱桃赠送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ 【答案】(1)每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元 (2)张大爷再购进50千克大樱桃、10千克小樱桃，才能获得最大利润 (3)第二批购进大樱桃至少30千克，能使剩余利润不少于450元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出分式方程、函数解析式以及不等式是解题的关键。 （1）设每千克小樱桃的进价为元，则每千克大樱桃的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设张大爷再购进千克大樱桃，则购进千克小樱桃，先根据题意列不等式求得a的取值范围，设总利润为元，根据题意，得．然后根据一次函数的性质求解即可； （3）直接根据题意列不等式求解即可。 【详解】（1）解：设每千克小樱桃的进价为元，则每千克大樱桃的进价为元． 根据题意，得，解得． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义，． 答：每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元． （2）解：设张大爷再购进千克大樱桃，则购进千克小樱桃． 根据题意，得，解得:． 每千克大樱桃的利润为（元），每千克小樱桃的利润为（元）． 设总利润为元，根据题意，得． , 随的增大而增大， 当时，有最大值，此时． 答：张大爷再购进50千克大樱桃、10千克小樱桃，才能获得最大利润． （3）解：根据题意，得，解得． 答：第二批购进大樱桃至少30千克，能使剩余利润不少于450元． 8．（2025·山东德州·一模）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新修源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临看不同的价格．数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪．双枪两前新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电机的数量多个，求单枪．双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，请你求出费用最低的进货方案． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为元/个，双枪新能源充电桩的价格为元/个 (2)费用最低的进货方案是单枪新能源允电社个，双枪新能源允电社个 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）利用数量总价单价，结合本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即单枪新能源充电桩的单价），再将其代入中，即可求出双枪新能源充电桩的单价； （2）设此次加购个单枪新能源充电桩，则加购个双枪新能源充电桩，根据此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩的总费用为元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为元/个，双枪新能源充电桩的价格为元/个； （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为 （元/个） 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为 （元/个） 设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为 如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的倍 解得 随的增大而减小 答：费用最低的进货方案是单枪新能源允电社个，双枪新能源允电社个． 1．（2025·山东济南·二模）甲、乙两车匀速行驶在一条笔直的公路上，某时刻，它们前方路口处红灯即将亮起，乙车经过路口后，红灯恰好亮起，甲车赶到路口时，距离本轮红灯结束还有 ，红灯结束后，甲车继续按原速度行驶，已知红灯总时长为 ，甲乙两车与甲车出发点的距离与行驶时间的图象如图所示，则甲车通过前方路口后，再行驶 s 可与乙车相遇． 【答案】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，读懂题意，从图象中获取到有用信息是解题的关键． 根据函数图象，得出甲车从出发点到红灯处距离为，从出发点到等完红灯用时40秒，即可求得甲车的速度为，由图可知：乙车从出发点到红灯处距离为，行驶时间为，即可求得乙车的速度为，再求出甲车等完红灯后，甲乙两车相距的距离为，用距离差除以速度差等于追及的时间可求解． 【详解】解：由图可知：甲车从出发到红灯处距离为，从出发到等完红灯用时40秒，而等红灯用时20秒， 则甲车从出发点到红灯处用时(秒)， ∴甲车的速度为， 由图可知：乙车从出发到红灯处距离为，时间为， ∴乙车的速度为， 甲车等完红灯后，此时甲乙两车相距的距离为， ∴甲车通过前方路口后，乙车相遇要再行驶的时间为：， 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·一模）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A型 B型 价格（万元/台） m 月处理污水量（吨/台） 200 180 (1)求m的值； (2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？哪种购买方案月处理污水量最多？ 【答案】(1) (2)共有6种购买方案，买A型污水处理设备5台，则B型5台，月处理污水量最多 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键． （1）由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出分式方程即可求解． （2）设买A型污水处理设备x台，则B型台，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解；然后根据题意得一次函数，再观点一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，得：， 解得， 经检验是原方程的解， ∴； （2）解：设买A型污水处理设备x台，则B型台，月处理污水吨数为w吨 根据题意得：， 解得， ∵x是非负整数， ∴共有6种购买方案． ， ∵， ∴w随x的增大而增大， 当时，w有最大值为1900吨， 答：共有6种购买方案，买A型污水处理设备5台，B型5台，月处理污水量最多． 3．（2025·山东济南·二模）《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍． (1)求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个种哪吒玩偶售价定为32元，每个种哪吒玩偶售价定为45元，那么，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元 (2)购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个，根据题意得，解得，再设总获利为元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元； （2）解：设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个， 根据题意得：， 解得， 设总获利为元， 则， ， 随的增大而减小， 当时，最大为元， 此时， 答：购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元． 4．（2025·山东潍坊·一模）某企业信息部对，两种产品进行市场调研，数据信息分析如下： 信息1：如果单独投资种产品，所获利润（万元）与投资金额（，单位：万元）之间存在如图所示的关系； 信息2：如果单独投资种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间存在如下表所示的关系： （万元） 0 1 2 3 5 …… （万元） 0 1.8 3.2 4.2 5 …… (1)求出与的函数关系式； (2)从所学过的一次函数（）、二次函数（）或反比例函数（）中选择一种适当函数模型，模拟种产品所获利润的变化趋势．请说明选择该模型的理由，并求出与的函数表达式； (3)如果该企业同时对、两种产品共投资16万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案所获得的最大利润． 【答案】(1) (2)由表中数据可知，随的增大而增大，所以不能选反比例函数，且随的变化未呈现均匀的特性，所以不能选一次函数，应选择二次函数模型； (3)投资、产品分别为12万元、4万元，利润最大为9.8万元 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）由待定系数法求出与的函数关系式即可； （2）由表中数据可知，随的增大而增大，所以不能选反比例函数，且随的变化未呈现均匀的特性，所以不能选一次函数，应选择二次函数模型，运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （3）求出最大利润为W万元的函数关系式，运用二次函数最值解答即可得到答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为 由图1可知，点及点在图象上， 所以， 解得. 所以； （2）解：由表中数据可知，随的增大而增大，所以不能选反比例函数，且随的变化未呈现均匀的特性，所以不能选一次函数，应选择二次函数模型. 设， 将点及代入得， ， 解得， 所以， 将点及代入后适合； （3）解：设总利润万元，投资产品万元，则投资产品万元， 由题可知，. 即，配方得，. 所以当（满足）时，利润最大为9.8万元， 此时投资、产品分别为12万元、4万元. 5．（2025·山东滨州·二模）2025年3月9日，十四届全国人大三次会议举行记者会，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，将持续推进体重管理年行动．很多人都制定了燃脂运动计划，但是如果心率过高，会对身体健康不利，导致恶心、头晕、胸闷，糖尿病患者则会使血糖急剧降低，而且减脂效果也不好，心率低对身体没有危害，但是锻炼效果不好． 项目主题：确定不同运动效果的心率范围． 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数，某校项目组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄x/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率y（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： (1)根据表中的信息，可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求y关于x的函数表达式． (2)已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 18周岁的小王想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在什么范围？ 40周岁的小张想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在什么范围？ 【答案】(1)一次，＋220 (2)小王的运动心率应该控制在次分至次分；小张的运动心率应该控制在126次分至144次分 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据“年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分”即可判定函数类型，然后根据待定系数法即可求得函数解析式； （2）分别把和代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：根据表中的信息可知，年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分， ∴可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的一次函数关系． 设关于的函数关系式为、为常数，且． 将和分别代入， 得， 解得， 关于的函数关系式为． （2）解：当时，， （次分），       （次分）， 小王的运动心率应该控制在次分至次分； 当时，， （次分），   （次分）， 小张的运动心率应该控制在126次分至144次分． 1．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 【答案】0.8 【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量． 【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得． 当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得． 故答案为： ． 2．（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)50元；80元 (2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键： （1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可； （2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，列方程组 解方程组得； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵， ∴当时，． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 3．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 4．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． (2)当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式和二元一次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设大号中国结编了个，小号中国结编了个，编织这种中国结恰用绳25米，据此列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设大号编织个，则小号编织个，根据用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结列不等式，解得的取值范围，设总利润为元，得到关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个， 由题意列方程得：， ∴， ∵，均是正整数， ∴当时，， 当时，， 答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． （2）解：设大号编织个，则小号编织个， 则， 解得， ∵为正整数， ∴， 设总利润为元，则 ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 5．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 (2)至少需要134张正方形硬纸片 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 6．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 7．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】(1)300，2 (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 8．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 10．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第11讲 一次函数的应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 一次函数的应用 题型01 分配方案问题 题型02 最大利润问题 题型03 行程问题 题型04 梯度计价问题 题型05 其他问题 05·重难突破·思维进阶难 14 突破一 投球问题 突破二 动点问题 06·优题精选·练能提分 17 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的应用 山东东营T22 山东济南T14、T22 山东青岛T21、T24 山东卷T18 山东烟台T20 山东德州T22 山东日照T20 山东青岛T21、T24 山东济南T14、T22 山东东营T23 山东潍坊T19 山东青岛T23 山东济南T23 山东潍坊T18 山东日照T20 山东聊城T10 山东烟台T21 能用一次函数解决实际问题 命题预测 一次函数的应用在中考中多考察一次函数图象的理解和信息提取，通常以行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键。 考点一 一次函数应用 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 1．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 2．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 3．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 4．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 5．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 6．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 命题点一 一次函数的应用 ►题型01 分配方案问题 / 第一步：分析题意，明确变量与目标 1. 确定决策变量：识别需要被分配的量是什么。 2. 明确优化目标：清楚最终要最大化什么或最小化什么。这个目标就是我们要构建的目标函数。常见的目标有：总成本最小、总收益最大、总效率最高等。 3. 找出约束条件：列出所有限制分配方案的条件。 第二步：建立目标函数模型 根据题目信息，用数学表达式写出目标函数。 第三步：确定可行域并求解 第四步：解读结果，给出结论 将求得的最优解代回原始情境，解释其实际意义，并清晰地陈述最佳的分配方案以及所能达到的最优目标值。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 【变式】1．（2025·山东济宁·模拟预测）贝壳粘贴画作为一种工艺品，它巧妙的将人与海结合起来，无不显示着人们欣赏美的情趣和想象力．小颖是一位贝壳粘贴画的爱好者，她和朋友第一次用600元购买了若干种贝壳粘贴画，第二次又用600元购买了若干种贝壳粘贴画．已知种贝壳粘贴画的单价比种贝壳粘贴画高出一半，且第二次购买的种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的种贝壳粘贴画少2幅． (1)求两种贝壳粘贴画的单价各是多少元？ (2)某艺术品收藏协会计划团购两种贝壳粘贴画共20幅，且种粘贴画的数量不低于种粘贴画的数量，和供应商商定后达成一致，种贝壳粘贴画每幅降价10元，种贝壳粘贴画在原价的基础上优惠，那么应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元． 2．（2025·山东济南·二模）为增强学生的科技兴趣与实践能力，某中学计划采购一批科技产品，包括无人机和遥控车．已知某品牌无人机的单价比遥控车的单价高出40元，用2400元购买无人机的数量是用2000元购买遥控车数量的． (1)求无人机和遥控车的单价； (2)学校在采购时遇到商家“科技节”促销：无人机享受七五折优惠．若计划购买无人机和遥控车共150个，且无人机的数量不少于遥控车数量的，请问应如何购买，才能使总费用最低？ ►题型02 最大利润问题 / 第一步：分析题意，明确变量关系** 1. 找出关键变量：识别题目中的常量和变量。 2. 理解变量间的关系：最关键的一步是弄清销售单价如何随着销售量的变化而变化。 第二步：建立利润函数模型 利润的核心公式是：总利润 = 总收入 - 总成本 第三步：确定定义域并求解最值 1. 确定自变量 x 的取值范围。 2. 求二次函数的最大值。 3. 检查顶点是否在定义域内。 第四步：解读结果，回答问题 将求得的最优解（如最佳销售量、最大利润额）清晰地表述出来，回答题目所问的问题。 【典例】（2025·山东德州·模拟预测）兴旺超市经营甲、乙两种商品的进价和售价如表： 商品种类 成本价（元个） 售价（元个） 甲种商品 m 乙种商品 n 在超市购买2000个甲种商品和1000个乙种商品共需5600元；购买1500个甲种商品和1500个乙种商品共需6000元． (1)求m，n的值； (2)五一期间，超市购进甲、乙两种商品共65万个，其中，甲种商品数量不低于乙种商品数量，且不超过55万个．实际销售时，由于市场因素影响，甲种商品量超过45万个的部分每个需要打八五折才能全部售完，乙种商品能按售价卖完设当天售完这两种商品获得的总利润为y万元，甲种商品量为x万个（x为整数）． ①求y（万元）关于x（万个）的函数关系式，并写出x的取值范围； ②求当天售完这两种商品获得的最大总利润； (3)为支持农村教育事业，在（2）的条件下，获得最大利润时，超市对本地100所乡镇中学进行物资捐赠：向每所中学捐出甲种商品a个，乙种商品个，若要保证捐赠后盈利率不低于，求a的最大值． 【变式】1．（2025·山东济南·模拟预测）为培养学生的阅读能力，李老师准备购买《钢铁是怎样炼成的》和《围城》两种书，已知《钢铁是怎样炼成的》的单价是《围城》单价的倍．已知花费500元购买《围城》的数量比花费600元购买《钢铁是怎样炼成的》的数量多5本． (1)求李老师准备购买的两种书的单价分别是多少元； (2)若李老师计划购买两种书共100本，且《钢铁是怎样炼成的》的数量不少于《围城》的一半，则怎样购买可以使购买费用最低，最低费用为多少？ 2．（2025·山东威海·三模）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ ►题型03 行程问题 / 第一步：分析题意，明确研究对象和运动状态 1. 确定有几个物体在运动。 2. 判断每个物体的运动状态。 3. 找出已知量和未知量：明确题目给出了哪些信息（如速度、出发时间、出发点、总路程等）以及要求解的是什么（如相遇时间、追及地点、距离等）。 第二步：在坐标系中明确变量 1. 定义自变量和因变量： 自变量 (x轴)：通常是时间 (t)。设从某一共同时刻（如都出发的时刻）开始计时。 因变量 (y轴)：通常是位置 (s) 或路程 (d)。表示物体相对于起点的距离。 2. 写出每个物体的函数表达式： 对于每一个做匀速运动的物体，其位置 `s` 与时间 `t` 的关系是一个一次函数： 1） 相向而行（相遇问题）： - 核心关系：两者走过的路程之和等于总路程。 2） 同向而行（追及问题）： - 核心关系：快者比慢者多走的路程等于初始时两者之间的距离差。 3） 背向而行（远离问题）： - 核心关系：两者之间的距离等于两者走过的路程之和。 4） 环形跑道问题： - 相遇：两者路程之和等于一圈的长度。 - 追及：两者路程之差等于一圈的长度。 第四步：解读结果，验证答案 将求得的时间或其他值代回原函数，检查得到的位置或路程是否符合实际情况和题意。 【典例】（2025·山东·三模）小颖家，小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧，早上两人同时从家里出发去学校，走了分钟后，小颖以倍的速度跑向学校，小亮以倍的速度跑向学校，两人同时到达学校，两人各自离家的距离和他们所用时间的图象如图所示，请问下列结论正确的是 ． ①小颖家到学校距离比小亮家到学校的距离远； ②； ③加速后，，； ④两人从家出发分钟时，相距米． 【变式】1．（2025·山东青岛·二模）周末早晨，李老师从家中出发步行前往张文家家访，同时，张文从家出发骑车到相距的药店给奶奶买药，在药店停留8分钟后以相同的速度按原路返回，结果与李老师同时到家．张文家、李老师家、药店都在东西方向笔直大路上，且药店在张文家与李老师家之间．在此过程中设李老师出发分钟后师生二人离张文家的距离分别为，．与之间的函数关系如图所示，请你解答下列问题： (1)李老师步行速度为_______/分钟；张文骑自行车速度为_______/分钟； (2)求张文去药店和返回家中时与t之间的函数关系式； (3)张文出发多长时间后在途中与李老师相遇？ (4)张文与李老师之间的距离小于时的时间t的取值范围是______． 2．（2025·山东临沂·二模）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了时两人相距．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．②④ C．③④ D．①③④ ►题型04 梯度计价问题 / 第一步：分析题意，划分区间 1. 找出所有分界点：仔细阅读题目，确定将消费量 `x` 分成几个区间。 2. 明确各区间的单价：记下每个区间对应的单价。 3. 列出所有区间及其范围。 第二步：建立每一段的函数表达式 对每一个区间，分别建立一个一次函数 `y = kx + b`。 第三步：整合成分段函数 将第二步中得到的所有分段函数整合起来，写成一个完整的分段函数形式： 第四步：根据具体问题求解 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 【变式】1．（2025·广西·模拟预测）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． ►题型05 其他问题 / 建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）某产品成本元/千克，据市场调查，若按元/千克销售时，每天可销售千克，且销售单价每降低元，每天就可多销售千克；由于不耐磕碰，所以运输过程中会折损总重量的． (1)当售价为元/千克时，需要拉多少千克该产品才能刚好够卖？ (2)写出销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式 (3)当销售单价（元/千克）定为多少时，每天的利润（元）最大？最大利润多少元？ 2．（2024·青海西宁·中考真题）西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的函数图象，其中折线表示用快速充电器充电时与的函数关系；线段表示用普通充电器充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： (1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从10充到70需 ． (2)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． (3)该品牌汽车电池电量从10充到100，快速充电器比普通充电器少用 ． 突破一 投球问题 【典例】为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观如图，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中，图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为：，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，并说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上当水面离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 【变式】1．如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 2．东东同学运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，球网与轴的水平距离、击球点在轴上．若选择吊球，羽毛球（看作一点）的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系式 ；若选择扣球，羽毛球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足一次函数关系式． (1)求点的坐标和的值． (2)若球网的高度为，请通过计算说明上面两种击球方式是否都能使球过网． (3)击球的刹那，发现对手正在网前，为防止网前截杀，选手决定选择吊球，并加大力度击球， 当球在网前的高度超过时，球就可以越过对方落到点处，若吊球路线的形状保持不变，请通过计算说明这次吊球是否会被拦截． 突破二 动点问题 【典例】如图，正方形的边长为4，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．到达点C停止运动，连接，设运动时间为t（秒）， 的面积为S，则S与t的函数图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式】1．如图，正方形和正方形在同一直线上，，正方形以每秒1cm的速度沿直线向右运动，点D与点F重合时停止运动，设正方形运动时间为t（单位：秒），正方形的面积为，正方形与正方形重叠部分的面积为，，下列图象是S与t之间的函数关系的图象，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 1．（2025·山东济南·二模）已知A、B两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，表示两人离A地的距离s（）与时间t（h）的关系，结合图象信息，当甲到达终点时乙距离终点还有 ．         2．（2025·山东济南·一模）某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往公里远的集合点．学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距 ． 3．（2025·山东·二模）“大明湖畔的夏雨荷”，是给不少人留下了深刻印象的影视形象．2024年12月，济南市大明湖畔迎来了一个高达12米的“夏雨荷”造型花灯，很多游客纷纷前来打卡拍照，与夏雨荷花灯类似的两款簪花发卡尤其受到拍照游客喜爱，很多游客纷纷购买佩戴后与夏雨荷花灯合影留念．已知购买1个款簪花发卡的售价50元，1个款簪花发卡的售价40元．某旅行团计划购买这两种簪花发卡共100个，要求款簪花发卡的数量不少于款簪花发卡数量的3倍．则该旅行团最低消费金额为 元． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ 5．（2025·山东济南·一模）【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 6．（2025·山东济南·三模）生活中的数学 春日的济南，护城河畔垂柳依依，千佛山下百花争艳．越来越多的市民选购自行车用以骑行出游，穿梭于绿意盎然的街道与湖畔，尽享春日美景． 信息1 某自行车店抓住商机，计划购进，两种型号的自行车，其中每辆型自行车比每辆型自行车多600元，用5000元购进的型自行车与用8000元购进的型自行车数量相同． 信息2 型自行车每辆售价为1500元，型自行车每辆售价为2000元． 信息3 该自行车店计划购进A、B两种型号的自行车共50辆，且B型自行车的数量不低于A型自行车数量的一半． 任务1 （1）求A，B两种型号自行车的进货单价； 任务2 （2）根据进货要求，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 7．（2025·山东青岛·模拟预测）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”．2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元．受污损的进货清单如表所示： 品名 大樱桃 小樱桃 进价／（元／千克） 总价／元 1134 630 (1)请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元． (2)若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？ (3)利润关系仍然满足（2）中的利润关系，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的另购大、小樱桃赠送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ 8．（2025·山东德州·一模）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新修源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临看不同的价格．数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪．双枪两前新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电机的数量多个，求单枪．双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，请你求出费用最低的进货方案． 1．（2025·山东济南·二模）甲、乙两车匀速行驶在一条笔直的公路上，某时刻，它们前方路口处红灯即将亮起，乙车经过路口后，红灯恰好亮起，甲车赶到路口时，距离本轮红灯结束还有 ，红灯结束后，甲车继续按原速度行驶，已知红灯总时长为 ，甲乙两车与甲车出发点的距离与行驶时间的图象如图所示，则甲车通过前方路口后，再行驶 s 可与乙车相遇． 2．（2025·山东青岛·一模）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A型 B型 价格（万元/台） m 月处理污水量（吨/台） 200 180 (1)求m的值； (2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？哪种购买方案月处理污水量最多？ 3．（2025·山东济南·二模）《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍． (1)求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个种哪吒玩偶售价定为32元，每个种哪吒玩偶售价定为45元，那么，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？ 4．（2025·山东潍坊·一模）某企业信息部对，两种产品进行市场调研，数据信息分析如下： 信息1：如果单独投资种产品，所获利润（万元）与投资金额（，单位：万元）之间存在如图所示的关系； 信息2：如果单独投资种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间存在如下表所示的关系： （万元） 0 1 2 3 5 …… （万元） 0 1.8 3.2 4.2 5 …… (1)求出与的函数关系式； (2)从所学过的一次函数（）、二次函数（）或反比例函数（）中选择一种适当函数模型，模拟种产品所获利润的变化趋势．请说明选择该模型的理由，并求出与的函数表达式； (3)如果该企业同时对、两种产品共投资16万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案所获得的最大利润． 5．（2025·山东滨州·二模）2025年3月9日，十四届全国人大三次会议举行记者会，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，将持续推进体重管理年行动．很多人都制定了燃脂运动计划，但是如果心率过高，会对身体健康不利，导致恶心、头晕、胸闷，糖尿病患者则会使血糖急剧降低，而且减脂效果也不好，心率低对身体没有危害，但是锻炼效果不好． 项目主题：确定不同运动效果的心率范围． 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数，某校项目组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄x/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率y（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： (1)根据表中的信息，可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求y关于x的函数表达式． (2)已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 18周岁的小王想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在什么范围？ 40周岁的小张想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在什么范围？ 1．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 2．（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 3．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 4．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 5．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 6．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 7．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 8．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 10．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $