专题01 直线方程的综合应用（12大考点）（寒假复习讲义）高二数学苏教版

专题01 直线方程的综合应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 知识点2：直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 知识点3 ：直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点4 ：三种距离 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4、双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 知识点5 ：对称问题 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 2、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 5、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 考点一：倾斜角与斜率的计算 【例1】（2025·高二·天津南开·月考）经过点，的直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式1-1】（2025·高二·福建漳州·月考）已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·江苏常州·期中）若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 【变式1-3】（2025·高二·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 考点二：三点共线问题 【例2】若三点，，共线，则 ． 【变式2-1】（2025·高二·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则 ． 【变式2-2】（2025·高二·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 . 【变式2-3】若三点共线，则a＝ ． 考点三：过定点的直线与线段相交问题 【例3】（2025·高二·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高二·福建厦门·月考）已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高二·贵州·期末）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【变式3-3】（2025·高二·陕西西安·期中）已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四：直线的方程 【例4】（2025·高二·湖北襄阳·月考）（1）若一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 【变式4-1】求适合下列条件的直线方程． (1)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【变式4-2】（2025·高二·贵州贵阳·期中）求下列直线的方程. (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程. 【变式4-3】（2025·高二·新疆喀什·期中）三角形的三个顶点是. (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程. 考点五：直线与坐标轴围成的三角形问题 【例5】（2025·高二·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【变式5-1】（2025·高二·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【变式5-2】（2025·高二·甘肃庆阳·月考）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【变式5-3】（2025·高二·天津静海·月考）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 考点六：两直线的夹角问题 【例6】（2025·高二·上海·期中）若两直线的方程分别为，，则与的夹角为 ． 【变式6-1】（2025·高二·广东深圳·月考）与直线相交于且与直线l夹角为的直线方程为 ． 【变式6-2】（2025·高二·上海松江·期中）若直线与直线的夹角为，实数m的值为 ． 【变式6-3】（2025·高二·上海·月考）若直线与直线的夹角是，则实数的值是 . 考点七：直线过定点问题 【例7】（2025·高二·四川南充·月考）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为 . 【变式7-1】（2025·高二·天津武清·月考）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为 ． 【变式7-2】（2025·高二·广东韶关·期中）已知直线， （1）若直线在轴的截距等于1，则实数的值为 ； （2）若直线不经过第三象限，则的取值范围是 . 【变式7-3】（2025·高二·广东揭阳·期中）已知直线经过一定点，则该定点的坐标是 ； 考点八：两直线的交点与距离问题 【例8】（2025·高二·江苏苏州·月考）已知直线，，过点作斜率为的直线分别交，于两点，，且为中点，则（   ） A． B． C． D．1 【变式8-1】（2025·高二·安徽·期末）两平行直线与之间的距离是，则（　　） A．-2 B．-12 C．12 D．14 【变式8-2】（2025·高二·新疆喀什·月考）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【变式8-3】（2025·高二·天津静海·期中）点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 考点九：线段和差的最值问题 【例9】（2025·高二·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·高二·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【变式9-2】（2025·高二·北京东城·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【变式9-3】（2025·高二·山西太原·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最小值5 D．有最大值 考点十：对称问题 【例10】已知直线，点．求： (1)直线关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【变式10-1】（2025·高二·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【变式10-2】（2025·高二·辽宁·月考）已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B． (1)求a的值； (2)若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； (3)若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 【变式10-3】已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 考点十一：直线的平行与垂直问题 【例11】（2025·高二·江苏苏州·月考）若直线与直线平行，则 . 【变式11-1】（2025·高二·宁夏·月考）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 【变式11-2】（2025·高二·浙江·月考）已知直线，．若，则实数 ． 【变式11-3】（2025·高二·四川成都·月考）已知直线与互相垂直，则实数的值为 . 考点十二：直线的综合应用问题 【例12】（2025·高二·北京·期中）设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点 (1)若点是平面上的点，试证明； (2)平面上是否存在点，同时满足①；②若存在，请求出点C的轨迹方程；若不存在，请说明理由. 【变式12-1】（2025·高二·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； (3)过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 【变式12-2】（2025·高二·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【变式12-3】（2025·高二·广东·期中）曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. (1)在平面直角坐标系中，已知点，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知是函数上的动点，为函数上的动点，求的最小值. (3)在空间直角坐标系中，已知点为坐标原点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 1．（2025·高二·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 2．（2025·高二·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·安徽阜阳·期中）已知p:直线与直线平行，q:，则q是p的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·高二·福建厦门·期中）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 5．（2025·高二·贵州·期末）、分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 6．（2025·高二·河北·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 8．（多选题）（2025·高二·云南昆明·期中）已知直线，则（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线与之间的距离为 9．（2025·高二·重庆·期中）直线：恒过定点 ． 10．（2025·高二·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为 . 11．（2025·高二·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 12．（2025·高二·四川绵阳·期中）已知直线，，求下列直线l的一般方程: (1)若直线经过和的交点，且经过点 ； (2)若直线经过和的交点，且与直线垂直. 13．（2025·高二·山东济南·期中）求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 14．（2025·高二·江苏·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 15．（2025·高二·陕西商洛·期中）已知，，. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程，并求出与直线之间的距离. 16．（2025·高二·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 17．（2025·高二·云南文山·月考）已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 18．（2025·高二·河南·月考）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. (1)分别求顶点，的坐标； (2)求的面积； (3)若为直线：上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线方程的综合应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 知识点2：直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 知识点3 ：直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点4 ：三种距离 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4、双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 知识点5 ：对称问题 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 2、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 5、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 考点一：倾斜角与斜率的计算 【例1】（2025·高二·天津南开·月考）经过点，的直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【解析】因为点，的直线斜率为. 所以该直线的倾斜角的正切值为，所以该直线的倾斜角为150°. 故选：D. 【变式1-1】（2025·高二·福建漳州·月考）已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点，，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，由得 即直线的倾斜角为. 故选：B 【变式1-2】（2025·高二·江苏常州·期中）若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 【答案】A 【解析】由题意知， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 【变式1-3】（2025·高二·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：D 考点二：三点共线问题 【例2】若三点，，共线，则 ． 【答案】 【解析】法一：因为，，三点共线，则， 所以，得，即； 法二：因为，，三点共线，则点在直线上， 其中直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线方程，得到，即. 故答案为： 【变式2-1】（2025·高二·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则 ． 【答案】 【解析】因为三点共线， 所以， 又因为， 所以， 整理得：， 即， 又因为， 解得. 故答案为： 【变式2-2】（2025·高二·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 . 【答案】 【解析】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：， 因三点共线，故，即，解得：. 故答案为：. 【变式2-3】若三点共线，则a＝ ． 【答案】4 【解析】三点共线，则，即＝，即，∴. 故答案为：4. 考点三：过定点的直线与线段相交问题 【例3】（2025·高二·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 【变式3-1】（2025·高二·福建厦门·月考）已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 【变式3-2】（2025·高二·贵州·期末）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【解析】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， 即，或，，或， 即直线的斜率的取值范围是或． 故选：A 【变式3-3】（2025·高二·陕西西安·期中）已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线经过定点，又点，， 所以，， 又因为直线的斜率为，所以结合图形可得的取值范围为. 故选：A. 考点四：直线的方程 【例4】（2025·高二·湖北襄阳·月考）（1）若一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 【解析】【小问1】 设入射光线为，反射光线为， 光线从点射出，与轴相交于点， 入射光线的方程为，整理得， 入射光线的斜率，反射光线的斜率， 又反射光线要经过点， 反射光线的方程为，即. 【小问2】 当直线的截距为时，设直线的方程为. 因为直线经过点，所以，所以直线方程为，即， 当直线的截距不为时，设直线的方程为， 则解得或． 若，则直线的方程为，即 若则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为：或或． 【变式4-1】求适合下列条件的直线方程． (1)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【解析】（1）设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为． 因为， 所以． 又直线经过点， 因此所求直线方程为， 即． （2）由题意，可知所求直线的斜率为． 又过点, 由点斜式得． 所求直线的方程为或． 【变式4-2】（2025·高二·贵州贵阳·期中）求下列直线的方程. (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程. 【解析】（1）设过点且与直线平行的直线方程为， 将代入，解得， 所以过点且与直线平行的直线方程为. （2）线段的中点为，斜率为， 则线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 即. 【变式4-3】（2025·高二·新疆喀什·期中）三角形的三个顶点是. (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程. 【解析】（1）由题意知，， 所以所在直线方程为，即. （2）由（1）知， 所以边上的高所在的直线斜率为， 则其方程为，即. （3）由题意知，的中点为，的中点为， 所以， 所以直线的方程为，即. 考点五：直线与坐标轴围成的三角形问题 【例5】（2025·高二·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【解析】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 【变式5-1】（2025·高二·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【解析】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积， 由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 【变式5-2】（2025·高二·甘肃庆阳·月考）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【解析】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点， 所以，② 由①②解得或， 所以直线的方程为：或， 即或. （2）由（1）可知，当直线的方程为时， ； 当直线的方程为时， ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 【变式5-3】（2025·高二·天津静海·月考）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【解析】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. （2）, ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 考点六：两直线的夹角问题 【例6】（2025·高二·上海·期中）若两直线的方程分别为，，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】直线平行于轴，直线的斜率，倾斜角为， 所以直线与的夹角为. 故答案为：. 【变式6-1】（2025·高二·广东深圳·月考）与直线相交于且与直线l夹角为的直线方程为 ． 【答案】或 【解析】由题意：直线l整理可得， 所以直线的斜率，为直线l的倾斜角，且， 所以， 因为所求直线与直线l夹角为， 所以所求直线的倾斜角为或， 因为所求直线过点， 所以所求直线的方程为或，即或. 故答案为：或 【变式6-2】（2025·高二·上海松江·期中）若直线与直线的夹角为，实数m的值为 ． 【答案】0 【解析】∵直线的斜率为﹣1，它的倾斜角为，直线与直线的夹角为， ∴直线的倾斜角为或0； 若直线的倾斜角为，则； 直线的倾斜角为0，则m不存在； 综上可得，； 故答案为：0． 【变式6-3】（2025·高二·上海·月考）若直线与直线的夹角是，则实数的值是 . 【答案】/ 【解析】由，得，直线斜率为，所以直线的倾斜角为， 又因为直线与直线的夹角是， 所以直线的倾斜角为或，又直线的倾斜角不可能为， 所以直线的倾斜角为，所以直线斜率为，所以，解得. 故答案为：. 考点七：直线过定点问题 【例7】（2025·高二·四川南充·月考）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为 . 【答案】. 【解析】由直线，可得， 则， 所以直线总是经过定点， 故答案为：. 【变式7-1】（2025·高二·天津武清·月考）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为 ． 【答案】. 【解析】， 则，即定点坐标为. 故答案为：. 【变式7-2】（2025·高二·广东韶关·期中）已知直线， （1）若直线在轴的截距等于1，则实数的值为 ； （2）若直线不经过第三象限，则的取值范围是 . 【答案】 0 【解析】（1）令，得， 因为直线在轴的截距等于1， 所以，解得. （2）直线的方程可化为， 所以，所以， 所以直线过定点， 所以. 由直线可得：， 若不经过第三象限，则， 故的取值范围是. 故答案为:0；. 【变式7-3】（2025·高二·广东揭阳·期中）已知直线经过一定点，则该定点的坐标是 ； 【答案】 【解析】原直线方程可化为， ∴直线过定点. 故答案为： 考点八：两直线的交点与距离问题 【例8】（2025·高二·江苏苏州·月考）已知直线，，过点作斜率为的直线分别交，于两点，，且为中点，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】过点，斜率为的直线方程为，即. 联立该直线与直线的方程为： ，解得； ，解得. 因为是线段的中点，所以有. 解得. 故选：C. 【变式8-1】（2025·高二·安徽·期末）两平行直线与之间的距离是，则（　　） A．-2 B．-12 C．12 D．14 【答案】C 【解析】因为直线与平行， 所以，即，得：， 将变形为：， 则直线与之间的距离是， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以. 故选C. 【变式8-2】（2025·高二·新疆喀什·月考）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【解析】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 【变式8-3】（2025·高二·天津静海·期中）点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线，即， 令，解得，所以直线恒过点， 不妨记点，点， 又，， 当直线与垂直时点到直线的最大距离，最大距离为， 此时，解得，符合题意； 故选：B 考点九：线段和差的最值问题 【例9】（2025·高二·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【变式9-1】（2025·高二·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示： 当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 【变式9-2】（2025·高二·北京东城·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】表示点到点和到点距离的和. 设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得：, 如图： 由对称的性质可得:,所以的最小值就是. 所以. 故选：C 【变式9-3】（2025·高二·山西太原·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最小值5 D．有最大值 【答案】D 【解析】易知，， 不妨设, 可将看作是，则， 当且仅当三点共线，且在线段上时取得等号，所以A，B错误； 可将看作是，则， 且存在点A使得，即C错误，D正确. 故选：D 考点十：对称问题 【例10】已知直线，点．求： (1)直线关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【解析】（1）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 则在直线上，， 即． （2）在直线上取一点， 则关于直线的对称点必在上． 设对称点为， 则解得． 设与的交点为，则由得， 则经过点， 直线的方程为，即． 【变式10-1】（2025·高二·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【解析】（1）直线的斜率为， 设，又，依题意可得， 解得，所以. （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点， 则，解得，故. 设直线与直线的交点为，则由，解得，即. 所以直线经过点， 则，所以直线的方程为，即. 【变式10-2】（2025·高二·辽宁·月考）已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B． (1)求a的值； (2)若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； (3)若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 【解析】（1）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角与的终边相同， 因为直线的斜率为，所以， ， 所以，所以． （2）由已知可得， 当直线经过点时，，即， 当直线经过点时，，即， 所以当点在直线的两侧时，． （3）直线关于直线对称，则的交点在上， 由已知可知，直线的斜率存在，设为，则的方程为， 因为在上，关于的对称点在上，设， 由得，即， 由的中点在上，得，即， 代入得，解得． 【变式10-3】已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【解析】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 考点十一：直线的平行与垂直问题 【例11】（2025·高二·江苏苏州·月考）若直线与直线平行，则 . 【答案】 【解析】因为直线与直线平行， 所以其系数满足，解得， 故答案为：. 【变式11-1】（2025·高二·宁夏·月考）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】2 【解析】当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线不垂直，不满足题意； 当时， 直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为两直线垂直，所以，解得， 综上可得：实数的值为. 故答案为：2 【变式11-2】（2025·高二·浙江·月考）已知直线，．若，则实数 ． 【答案】3 【解析】因为，所以，即， 解得或3， 当时，，即， ，此时重合，不符合题意，舍去； 当时，， ，符合题意. 故答案为：3 【变式11-3】（2025·高二·四川成都·月考）已知直线与互相垂直，则实数的值为 . 【答案】或/或 【解析】因为直线与互相垂直， 所以，解得或. 故答案为：或. 考点十二：直线的综合应用问题 【例12】（2025·高二·北京·期中）设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点 (1)若点是平面上的点，试证明； (2)平面上是否存在点，同时满足①；②若存在，请求出点C的轨迹方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为， 所以， 则 ， 所以. （2）当时，则，由条件②得， 即，解得， 由条件①得， 即，解得，此时点， 当时，则，由条件②得， 即，解得， 由条件①得， 即，解得，此时点， 当且时，不妨设， 当时，当条件①成立时， 即同时成立， 即同时成立，所以且， 再由条件②得，即， 此时点在函数上， 当时，由条件①成立得且，从而由条件②得， 此时点在函数上， 可知，当，时， 点在函数上， 当，时，点也在函数上， 综上所述，点的轨迹方程为或. 【变式12-1】（2025·高二·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； (3)过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 【解析】（1）易知在平行四边形中，，故， 已知点，由直线的点斜式方程可得直线：， 整理得，即直线BC的方程为. （2）设点关于轴的对称点为，由光的反射原理可知，从点射出的入射光线的延长线必经过，故入射光线所在的直线方程即直线. ，由直线的点斜式方程得直线：， 整理为，即入射光线所在直线的方程为. （3）设直线与轴的交点，与轴的交点， 故可设直线的截距式方程：，因为直线过点，故有. ， 三点共线，且与方向相反， . 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 【变式12-2】（2025·高二·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【解析】（1） 由可得， 令且，解得，， 故直线恒过定点         设，则， 故则， 解得，故 （2）由于，， 故的中点坐标，则， 故直线方程为，即 （3）法一：设与轴的交点为， ①当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当与重合时，， 当在轴上时，，所以.   ②当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当在轴上时，， 当与重合时，，所以，             综上可得.        法二：由于，， 得，所以，即 则线段的方程为且③③     设，其中不为0， 得代入③化简整理得， 即，且， 令，且， 解得 ，则， 即. 【变式12-3】（2025·高二·广东·期中）曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. (1)在平面直角坐标系中，已知点，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知是函数上的动点，为函数上的动点，求的最小值. (3)在空间直角坐标系中，已知点为坐标原点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 【解析】（1），所以. （2）设，，， . 当且仅当时有最小值， 为单调递减函数， 所以， 当，即时，取得最小值， 所以的最小值为. （3）设，因为，所以若，则.         当，，时，.         设，，，则，. 所以，         所以，，，四点共面， 所以当，，时，在边长为的等边三角形内部（含边界）.         对等边三角形内部任意一点，， 因为与不共线，所以设， 则. 所以，所以. 所以满足方程的点构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）.         由对称性可知，动点围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 1．（2025·高二·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 2．（2025·高二·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则. 故选：C 3．（2025·高二·安徽阜阳·期中）已知p:直线与直线平行，q:，则q是p的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】直线与直线平行， 则解得或， 所以p等价于或，而q:， 故q是p的充分不必要条件. 故选：A. 4．（2025·高二·福建厦门·期中）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为. 故选：A. 5．（2025·高二·贵州·期末）、分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【解析】直线和直线满足， 两条直线互相平行， 又、分别为与上任一点， 的最小值就是平行线（即）与之间的距离， . 故选：C 6．（2025·高二·河北·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】①当时，此时，倾斜角为， ②当时，则， 而，所以， 则， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C 7．（2025·高二·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解析】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 8．（多选题）（2025·高二·云南昆明·期中）已知直线，则（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线与之间的距离为 【答案】CD 【解析】对于A：变形为， 令得，因此直线过定点，故A错误； 对于B：当时，，， 因为，所以两直线不垂直，故B错误； 对于C：当时，， 因为，所以两直线平行，故C正确； 对于D：当时，则满足，得， 此时，， 则两直线间的距离为，故D正确. 故选：CD. 9．（2025·高二·重庆·期中）直线：恒过定点 ． 【答案】 【解析】由，得. 由，. 所以直线：恒过定点. 故答案为： 10．（2025·高二·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为 . 【答案】 【解析】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 11．（2025·高二·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 【解析】（1）联立直线方程得解得：，∴交点 ∵直线的倾斜角为，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （2）∵直线与直线平行，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （3）∵直线与直线垂直，∴，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. 12．（2025·高二·四川绵阳·期中）已知直线，，求下列直线l的一般方程: (1)若直线经过和的交点，且经过点 ； (2)若直线经过和的交点，且与直线垂直. 【解析】（1）首先求直线和的交点，联立方程：， 解得，所以两直线交点坐标为，已知直线过点和点， 则直线的斜率，则直线的方程为， 即直线l的一般方程. （2）直线的方程为，化为斜截式得， 即斜率为：，与垂直的直线斜率满足， 所以直线的斜率为，直线经过交点，由点斜式得： ,化为一般式为. 13．（2025·高二·山东济南·期中）求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 【解析】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为．因为，所以直线的斜率为． 因为直线过点，所以直线的方程为， 即． （2）点和到直线距离相等，分两种情况： ①直线，因为直线斜率， 故直线方程为，即． ②直线过中点．中点为，又直线经过点， 所以直线方程为． 综上，直线的方程为或． 14．（2025·高二·江苏·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【解析】（1）因为边所在直线过点，，所以 因为为菱形，所以，所以， 又，所以，整理得． （2）因为，，所以． 因为为菱形，所以，所以 因为，，所以中点坐标为， 所以 联立方程组， 解得，所以． 15．（2025·高二·陕西商洛·期中）已知，，. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程，并求出与直线之间的距离. 【解析】（1）由题意有：，∵，∴， 所以直线的方程为，即， （2）由（1）知，，∴， 所以直线的方程为即， 的方程为，即， 所以与直线之间的距离. 16．（2025·高二·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【解析】（1）因为点、，则， 所以，边上的高所在直线的斜率为， 又，所以边上的高所在直线的方程为，即， 即边上的高所在直线的一般式方程为. （2） 如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为， 又，所以的平分线所在直线的方程为，即， 即的平分线所在直线的斜截式方程为. 17．（2025·高二·云南文山·月考）已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 【解析】（1）直线方程为即为， 由可得则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 18．（2025·高二·河南·月考）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. (1)分别求顶点，的坐标； (2)求的面积； (3)若为直线：上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 【解析】（1）设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. 设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. （2）因为，，所以. 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为 故的面积为. （3）设点关于直线的对称点为， 则解得即. 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值，所以的最大值为. 由，，可得直线的方程为，即 由解得即当取得最大值时，点的坐标为. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $