复习案05 抛物线-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

复习案05 抛物线 【知识回顾】 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性 质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 常用结论： 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径. 【重点题型剖析】 题型一 抛物线的定义 一、单选题 1．（2022·贵州毕节·高三阶段练习（文））已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2022·广东·高二阶段练习）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2022·河南·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为F，N为C上一点，且N在第一象限，直线与C的准线交于点M，过点M且与x轴平行的直线与C交于点P，若，则直线的斜率为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（2019·吉林·四平市第一高级中学高二阶段练习（理））已知点是抛物线的焦点，点分别是抛物线上位于第一､四象限的点，若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 5．（2021·山西·太原市外国语学校高二期中）已知抛物线与直线相切，为上任意一点，到的准线的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 6．（2022·重庆·高二阶段练习）抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．9 二、多选题 7．（2022·河北·邯郸市永年区第二中学高二阶段练习）已知抛物线：的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切 C．设，则 D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 8．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 9．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则△PMF的面积为2 C．|的最大值为 D．△PMF的周长的最小值为 10．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．若，则直线AB的斜率为 C．若抛物线上存在一点到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为 D．若点F到抛物线准线的距离为2，则的最小值为 三、填空题 11．（2022·上海浦东新·一模）已知抛物线的焦点为，在C上有一点满足，则点到轴的距离为______. 12．（2022·四川·石室中学模拟预测（理））已知抛物线上有两动点，，线段的中点到轴距离的是2，则线段长度的最大值为______. 四、解答题 13．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）已知抛物线上一点到焦点的距离为4. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于不同的两点,,为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 14．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））已知动圆的圆心在轴的右侧，圆与轴相切且与圆C：外切. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)过圆心C作直线与轨迹和圆C交于四个点，自上而下依次为 ，若成等差数列，求直线的方程； 题型二 抛物线的标准方