精品解析：福建省漳州艺术实验学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷

漳州艺术实验学校2023-2023学年（下）第一次月考 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3 2. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 在空间四边形中，，且，则（ ） A B. C. D. 6. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ） A B. C. D. 7. 若函数为增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 偶函数 B. 单调递增 C. 曲线在点处切线斜率为 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是______． 13. 曲线在处的切线方程为_______． 14. 若是定义在上函数，且的图形关于直线对称，当时，，且，则不等式的解集为________. 四、解答题 15. 已知，，计算： （1），，，； （2）. 16. 已知函数f（x）＝x3+ax+b的图象是曲线C，直线y＝kx+1与曲线C相切于点（1，3）. （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的递增区间. 17. 已知空间三点，，. （1）求以，为邻边的平行四边形的面积； （2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标. 18 已知函数. （1）当时，求的最大值. （2）讨论函数的单调性. 19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴､轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． （1）若，，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．若，且，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州艺术实验学校2023-2023学年（下）第一次月考 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义结合求导公式求解即可. 【详解】易知，. 故选：D 2. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示来列方程得到答案. 【详解】因为，所以，解得. 故选：D. 3. 函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导后，代入，求出答案. 【详解】由进行求导得：， 当时，可得：，解得：. 故选：A 4. 已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底； D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 故选：C 5. 在空间四边形中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由可表示出. 【详解】 . 故选：C. 6. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象可得的单调性，即可结合选项求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减， 结合选项可知，只有C中函数符合要求， 故选：C 7. 若函数为增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，恒成立,分离参数得到恒成立，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意可知：恒成立， 即恒成立， 因为 ，故，当且仅当 时取等号， 故， 故选：C 8. 已知，则a，b，c大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即. 故选：D 二、多选题 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断AC选项，利用复合函数的求导法则可判断BD选项. 【详解】，，， ，故AD错误，BC正确. 故选：BC. 10. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量的模、数乘及数量积运算分别求解可得. 【详解】选项A，由题意，得，故A错误； 选项B，， 所以， 所以，故B正确； 选项C，，故C正确； 选项D，由， 因为，所以，D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 单调递增 C. 曲线在点处切线的斜率为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断A，根据导函数即可判断函数单调性，根据导数的几何意义，即可求切线斜率，根据函数单调性和奇偶性，即可比较的大小. 【详解】解：函数定义域为R，又，所以函数为奇函数，故A错误； ，当时，， 当时，，，所以， 所以， 当时，，，所以， 所以， 综上恒成立，故单调递增，故B正确； 由B得，曲线在点处切线的斜率为，故C错误； 因为在R上单调递增，且， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合已知求向量在向量上投影向量的坐标. 【详解】由投影向量定义知：向量在向量上投影向量. 故答案为： 13. 曲线在处切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】由题可得， 当时，，所以所求切线方程为． 故答案为：. 14. 若是定义在上函数，且的图形关于直线对称，当时，，且，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，判断函数在上单调递减，再由题意可得为偶函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】的图形关于直线对称，将图形向右平移个单位， 的图形关于直线对称， 为偶函数， 设，所以为奇函数， 当时，， 所以， 即函数在上单调递减，且在上单调递减， 由，所以， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知，，计算： （1），，，； （2）. 【答案】（1），，，； （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量模长公式，及空间向量的坐标运算法则进行计算； （2）利用空间向量的坐标夹角公式进行求解. 【小问1详解】 ，，，，所以 【小问2详解】 16. 已知函数f（x）＝x3+ax+b的图象是曲线C，直线y＝kx+1与曲线C相切于点（1，3）. （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的递增区间. 【答案】（1）f（x）＝x3﹣x+3 （2）递增区间（﹣∞，），（，+∞） 【解析】 【分析】（1）利用切点在切线上，可求出,再利用导数的几何意义可求出,然后由即可求出,从而得到函数的解析式； （2）由即可求出. 【小问1详解】 ∵切点为（1，3），∴k+1＝3，得k＝2， ∵f'（x）＝3x2+a，∴f'（1）＝3+a＝2，得a＝﹣1， 则f（x）＝x3﹣x+,由f（1）＝3得b＝3.∴f（x）＝x3﹣x+3. 【小问2详解】 因为，可得f′（x）＝3x2﹣1，令3x2﹣1＞0，解得x或x. 所以函数f（x）的递增区间（﹣∞，），（，+∞）. 17 已知空间三点，，. （1）求以，为邻边的平行四边形的面积； （2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算及夹角公式，结合向量的模公式及平行四边形的面积公式即可求解； （2）利用向量垂直的条件及向量的模公式即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以，为邻边的平行四边形的面积为 . 【小问2详解】 设，因为向量分别与，垂直， 所以,即， 所以消去得：， 不妨令，则， 因为， 所以，得， ∴，解得或， 所以或. 18. 已知函数. （1）当时，求的最大值. （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）0 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数最值即可. （2）含参讨论函数单调性即可. 小问1详解】 当时，， 由，所以， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 故； 【小问2详解】 定义域为，， 当时，，在上递增； 当时，令，解得， 令，解得. 于是在上单调递增；在上单调递减. 19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴､轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． （1）若，，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．若，且，求 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据“空间斜坐标系”定义，进行向量运算即可得答案； （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，进而得，，再根据垂直关系的向量表示得，再求向量的模即可. 【小问1详解】 解：由，，知，， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，， 由题， 因为，所以， 由知 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $