浙江省温州市第十二中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

浙江省温州市十二中2025-2026学年上学期八年级数学期中卷 1．（2025八上·温州期中）为了保护环境，国家大力支持新能源.以下是四个新能源汽车的 logo(图标)，其中是轴对称图形的是(　　) A． B． C． D． 2．（2025八上·温州期中）若三角形中有两边长分别为3和8，则这个三角形的另一边长可能为(　　) A．3 B．5 C．8 D．13 3．（2025八上·温州期中）在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025八上·温州期中）如图， 在△ABC中， ∠B=65°， ∠ACD=100°， 则∠A的度数是(　　) A．25° B．35° C．45° D．55° 5．（2025八上·温州期中）能说明命题“对于任何实数a，都有 ”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 6．（2025八上·温州期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　) A．三边的长度分别为1，2， B．∠A=∠B+∠C C．AB： BC： AC=5： 12： 13 D．AB=AC， ∠A=45° 7．（2025八上·温州期中）如图， 在△ABC中， AB、AC的中垂线分别交BC于点D和点 E， 已知BD=5， CE=4， 若AE⊥BC， 则BC的长为(　　) A．14 B．13 C．12 D．11 8．（2025八上·温州期中）如图， 在△ABC中， 点D， E， F分别为BC， AD， BE上的中点， 已知△ABC的面积为16， 则阴影部分的面积为(　　) A． B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2 9．（2025八上·温州期中）如图， 一张长方形纸条ABCD， 将纸条分别沿EF和EG折叠， 使顶点A， B， C， D分别落在A'， B'， C'，D'处，点B'，C'，E在同一条直线上，B'E交AD于点H，若求FG的长度，只要知道下列选项中哪条线段的长(　　) A．EG B．EC' C．EH D．EF 10．（2025八上·温州期中）如图1是一款儿童攀爬架， 图2是其侧面示意图， 连结BD， 测量得∠ABD=∠C=45°， AB⊥AD， 且点A到地面BC的距离是点D到地面BC距离的2倍，BC=1.6米.则CD的长为(　　) A． B． C． D． 11．（2025八上·温州期中）命题“如果a=2， 那么|a|=2.”的逆命题为　 　. 12．（2025八上·温州期中）在△ABC中， ∠C=90°， ∠A=35°， 则∠B=　 　度. 13．（2025八上·温州期中）如图，已知∠ACB=∠DBC，请添加一个条件　 　，使得△ABC≌△DCB． 14．（2025八上·温州期中）如图， △ABC≌△DEF， A与D， B与E分别是对应点， 根据图中给定的数量条件， 则∠F=　 　度. 15．（2025八上·温州期中）如图， 在△ABC的边BC上取点E， 使 AE=BE， 过点C作CD⊥AE于点 D， 若CD平分∠BCA， AD=1，AC=3， 则BC=　 　. 16．（2025八上·温州期中）如图， 将两幅直角三角板直角顶点重合， 使得∠ABC=105°， 则∠1=　 　度. 17．（2025八上·温州期中）如图， 在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90°， 分别以四边形ABCD的四条边为直径， 向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为S1，S2，S3和S4，若 则S4的值是　 　. 18．（2025八上·温州期中）如图， 在△ABC中， AB=AC=5， BC=8.结合尺规作图痕迹提供的信息， 则线段CP的长是　 　. 19．（2025八上·温州期中）如图，已知点B，C，D在同一条直线上， 求证： BC=CE. 20．（2025八上·温州期中）如图1， 在△ABC中， AB=AC， ∠A=90°， 点D为BC的中点， 点E是AC上一点， 连结DE. 小明：以点D为圆心，DE长为半径作弧，交AB于点 F，连结DF，则 小华：小明，你的作法有问题.应当以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AB于点 F，连结DF(如图2)，则DE⊥DF. 小明：哦…我明白了！ （1）指出小明作法中存在的问题. （2）给出小华作法中DE⊥DF的证明. 21．（2025八上·温州期中）如图， △ABC外角∠EAC的角平分线上取一点P使得PB=PC， 作PD⊥AC于点D， PE⊥AB于点E. （1） 求证： BE=CD. （2） 若∠EPB=35°， ∠ACB=15°， 求∠PBC的度数. 22．（2025八上·温州期中） 【问题背景】如图1， △ABC是等腰直角三角形， ∠BAC=90°， BC=8， 点D为BC中点.点E是线段 BD上一个动点，在线段EC上取一点 F使得∠EAF=45°. 【提出问题】当点E在线段BD上移动时，EF的长度是否发生变化? 【初步思考】小明通过尝试画出E在不同位置时的图形，发现EF的长度发生了变化.于是他采用以下思路进行说理： 思路：求出E在两个不同位置时，EF的长度. ①先求出点E在特殊位置时EF的长度： 如图2，当点E与点B重合时，易求得 ②再求出点E不与两端点B，D重合时 EF的长度： 如图3，小明在AC右侧作∠CAG=∠BAE，且AG=AE.连结FG，CG.可证得：△ABE≌△ACG(SAS).请你根据以下问题帮小明继续完成探究： （1） 求证： EF=FG. （2） 当BE=2时， 求EF的长度. （3） 【延伸思考】如图4，当点E运动到线段DC上时，点F落在线段DC的延长线上.如果题干中其余条件不变.请解决以下问题： 当 时， EF=　 　.(直接写出答案) 23．（2025八上·温州期中）如图1， 在△ABC中， ∠B=90°， ∠A=30°， AB=， 点D为边AB上一点， 在BC的延长线上取一点E， 使得∠DEB=30°， 线段DE交边AC于点F. （1） 求证：CE=CF. （2）若点F为DE的中点，求AD的长度. （3）如图2，连结AE，当BD的长为何值时，AE+AF的值最小，请说明理由，并求此时△FCE的面积. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：A、该图是轴对称图形，故此选项符合题意； B、该图不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、该图不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、该图不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选： A. 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.根据轴对称图形的定义，逐项判定即可. 2．【答案】C 【知识点】三角形三边关系 【解析】【解答】解：设这个三角形的第三边长为c，根据三角形三边关系可得，88-3<c<8+3， ∴c可能为8， 故选： C. 【分析】设这个三角形的第三边长为c，根据三角形的三边关系求出c的范围，再结合选项判断即可得出答案. 3．【答案】D 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；尺规作图-垂线 【解析】【解答】根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线， 纵观各图形，B. C. D都不符合高线的定义，A符合高线的定义. 故答案为：D 【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可． 4．【答案】B 【知识点】三角形外角的概念及性质 【解析】【解答】解： 是 的外角， 故选： B. 【分析】根据三角形外角的性质，即可得到 进而得出结论. 5．【答案】B 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：∵ 时， ， ∴A选项不符合题意； ∵ 时， ，不等式不成立， ∴B选项符合题意； ∵ 时， ， ∴C选项不符合题意； ∵ 时， ， ∴D选项不符合题意； 故答案为：B. 【分析】把数值逐一代入给定的不等式中，让不等式不能成立的数就是需要的反例. 6．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解： ∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵∠A=∠B+∠C， ∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠A=180°， 解得∠A =90°， ∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵AB：BC：AC=5：12：13， ∴设AB=5k， BC =12k， AC=13k， ∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵AB=AC， ∠A=45°， °， ∴△ABC是锐角三角形，不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选： D. 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理和、等腰三角形的性质，逐项分析判断是否满足直角三角形的条件即可. 7．【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：∵ AB、AC的中垂线分别交BC于点D和点 E， ∴DA=DB=5，EA=EC=4， 又∵AE⊥BC， ∴∠AED=90°， ∴， ∴BC=BD+DE+CE=5+3+4=12， 故答案为：C. 【分析】根据垂直平分线的性质得到DA=DB=5，EA=EC=4，然后根据勾股定理求出DE长，再根据线段的和差解答即可. 8．【答案】B 【知识点】利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点， ∴， 又∵点E是AD的中点， ∴，， ∵点F是BE的中点， ∴， ∴， 故答案为：B. 【分析】根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可. 9．【答案】C 【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：∵折叠， ∴∠CEG=∠HEG，∠BEF =∠HEF， 由题意， AD∥BC， ∴∠HGE =∠CEG，∠HFE =∠BEF， ∴∠HGE =∠HEG，∠HFE =∠HEF， ∴FH=EH，HG=EH， ∴FG=FH+HG=2EH， ∴只需要知道EH的长即可得到FG的长度； 故选： C. 【分析】根据折叠得到∠CEG=∠HEG，∠BEF =∠HEF， 平行线的性质， 得到∠HGE =∠CEG，∠HFE =∠BEF，等量代换结合等角对等边，得到FH = EH，HG=EH， 线段的和差关系得到FG=2EH，即可得出结果. 10．【答案】A 【知识点】全等三角形的实际应用；勾股定理；三角形全等的判定-AAS 【解析】【解答】解： 如图， 设AF⊥BC于点F， DG⊥BC于点G， 过点D作DE⊥AF于点E，则AF=2DG， ∠AFG=∠DEF=∠DGF=90°， ∴四边形DEFG是矩形， ∴EF = DG， FG=DE， ∴AF =2EF， ∴AE= EF， ∵∠C=45°， ∴∠CDG = 90°-∠C = 45°， ∴CG=DG， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD=90°， ∵∠ABD=45°， ∴∠ADB=90°-∠ABD =45°， ∴AB=AD， ∵∠BAF+∠DAE=∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠BAF=∠ADE， ∵∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF≌△DAE(AAS)， ∴DE = AF =2DG， BF = AE = DG， ∴BC =BF+FG+CG =4DG， ∵BC=1.6， ∴4DG=1.6， 即CD的长为 故选： A. 【分析】设AF⊥BC于点F， DG⊥BC于点G， 过点D作DE⊥AF于点E， 可得四边形DEFG是矩形， 得EF =DG， FG=DE， 可得AE=EF， 证明CG =DG， AB=AD， 证明△ABF≌△DAE(AAS)， 得DE=AF=2DG，BF =AE=DG， 得BC=BF+FG+CG=4DG， 得DG= 根据勾股定理求出CD长即可. 11．【答案】如果那么a=2 【知识点】逆命题 【解析】【解答】解：“如果a=2，那么 ’的逆命题为“如果| ，那么a=2". 故答案为：如果 那么a=2. 【分析】把原命题的题设和结论互换位置即可得到逆命题. 12．【答案】55 【知识点】三角形内角和定理 【解析】【解答】解：在 中， 则 ， 故答案为：55. 【分析】根据三角形内角和定理计算即可. 13．【答案】∠A=∠D（其它合理答案亦可） 【知识点】三角形全等的判定 【解析】【解答】解：可以添加∠A=∠D，利用AAS判定△ABC≌△DCB． 故答案为：∠A=∠D． 【分析】 一组边和一组角对应相等， 根据全等三角形的判定定理结合图形，选择合适的条件即可. 14．【答案】64 【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：∵ △ABC≌△DEF， ∴∠D=∠A=70°， ∴∠F=180°-∠D-∠E=180°-70°-46°=64°， 故答案为：64. 【分析】先根据全等三角形的性质得到∠D的度数，然后根据三角形的内角和定理解答即可. 15．【答案】5 【知识点】三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：∵ CD⊥AE， ∴∠ADC=∠EDC=90°， 又∵ CD平分∠BCA， ∴∠ACD=∠ECD， ∵CD=CD， ∴△ACD≌△ECD， ∴AC=CE=3，AD=DE=1， ∴BE=AE=AD+DE=2， ∴BC=BE+CE=2+3=5， 故答案为：5. 【分析】利用ASA得到△ACD≌△ECD，即可得到AC=CE=3，AD=DE=1，进而求出BE=2，然后根据线段的和差解答即可. 16．【答案】45 【知识点】三角形外角的概念及性质 【解析】【解答】解：如图， 由题意得， 故答案为：45. 【分析】由题意得 利用角的和差求出 ，再利用三角形外角的性质即可求解. 17．【答案】6π 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：连接AC， 根据勾股定理得到， ∴， 即， ∴， 解得 S4=6π， 故答案为：6π. 【分析】连接AC，根据勾股定理得到，然后代入计算解答即可. 18．【答案】4 【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：由作图可知BE是线段AD的垂直平分线，BP平分∠EBC， ∴∠BKC=90° 如图， 作AI⊥BC交BC于I， 作PO⊥BC交BC于O， 设BE交AD于K， ∵AB=AC=5， BC=8 ∴BI=IC=4， 解得： ∵AB=5， ∵BP平分∠EBC， ∴PO=PK， ，即 PK， 解得： 故答案为：4. 【分析】根据作图可知BE是线段AD的垂直平分线，BP平分∠EBC， 作AI⊥BC交BC于I， 作PO⊥BC交BC于O，设BE交AD于K，根据等腰三角形三线合一得到BI=IC=4， 根据勾股定理求出AI=3， 根据等面积法求出 根据勾股定理求出AK 可得 根据角平分线的性质得到PO=PK，据等面积法求出 即可求出CP的长. 19．【答案】证明：∵AB∥CE， ∴∠B=∠ECD， 又∵∠ACB=∠E，AC=DE， ∴△ABC≌△DCE， ∴BC=CE 【知识点】三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等得到∠B=∠DCE，然后根据AAS证明△ABC≌△DCE，根据对应边相等得到结论即可. 20．【答案】（1）解： 如图， ∵以点D为圆心，DE长为半径作弧，与边AB可能会有2个交点. ∴小明作法中存在问题 （2）证明： 如图， 连接AD， 由作图得， AF=CE， ∵AB= AC， ∠A = 90°， 点D为BC的中点， ∴∠C =45°， AD⊥BC， AD平分∠BAC， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∠DAF =∠C， ∴AD=CD， 在△ADF和△CDE中， ∴△ADF≌△CDE(SAS)， ∴∠ADF =∠CDE， ∴∠ADF+∠ADE =∠CDE+∠ADE，即∠EDF =∠ADC = 90°， ∴DE⊥DF 【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】(1)由作图可得，以点D为圆心，DE长为半径作弧，与边AB可能会有2个交点. ，据此即可解答； (2) 连接AD， 通过证明△ADF≌△CDE， 得到∠ADF =∠CDE， 则有∠EDF =∠ADC=90°，根据垂直的定义即可证明. 21．【答案】（1）证明：∵ △ABC外角∠EAC的角平分线上取一点P ， PD⊥AC ， PE⊥AB ， ∴PE=PD，∠PEB=∠PDC=90°， 又∵PB=PC， ∴Rt△PEB≌Rt△PDC， ∴BE=CD （2）解：∵Rt△PEB≌Rt△PDC， ∴∠BPE=∠CPD=35°， ∴∠PCD=90°-∠CPD=90°-35°=55°， ∴∠PCB=∠PCD+∠ACB=55°+15°=70°， 又∵PB=PC， ∴∠PBC=∠PCB=70° 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到PE=PD，然后根据HL得到Rt△PEB≌Rt△PDC，根据对应边相等证明即可； （2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BPE=∠CPD=35°，然后根据直角三角形的两锐角互余求出∠PCD的度数，进而得到∠PCB的度数，再根据等边对等角解答即可. 22．【答案】（1）证明： 如图3.1， △ABC是等腰直角三角形， ∠BAC=90°， 在AC右侧作∠CAG=∠BAE， 且AG=AE， 连接FG， CG， ∴∠BAE+∠EAF+∠CAF=90°， ∵∠EAF =45°， ∴∠BAE+∠CAF=45°， ∴∠CAG+∠CAF =45°， ∴∠GAF=∠EAF =45°， 在△AEF和△AGF中， ∴△AEF≌△AGF(SAS)， ∴EF = FG （2）解：如图3， 是等腰直角三角形， 设EF=FG=x，则CF=8-2-x=6-x， 在直角三角形CFG中，由勾股定理得： 解得： （3） 【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】（3）解：如图4，在AC右侧作 且AH=AE， 连接FH， CH， 是等腰直角三角形， AF， ∴∠BAE-∠CAF =45°， ∴∠CAH-∠CAF =45°， 即∠HAF =45°， ∴∠EAF=∠HAF = 45°， 在△EAF和△HAF中， ∴△EAF ≌△HAF(SAS)， ∴EF =HF， 设EF=HF=a， 在Rt△HCF中，由勾股定理得： 解得： 故答案为： 【分析】(1)在AC右侧作∠CAG=∠BAE， 且AG= AE，连接FG， CG， 通过角度和差可得∠GAF=∠EAF =45°， 证明△AEF ≌△AGF(SAS)， 根据性质可得结论； (2)由△ABC是等腰直角三角形， ∠BAC =90°，则∠ABE=∠ACB=45°， 通过全等三角形性质及角度和差可得∠FCG=90°， 设EF = FG=x， 则CF=8-2-x=6-x， 由勾股定理得 求出x的值解得； (3)如图4， 在AC右侧作∠CAH =∠BAE， 且AH= AE， 连接FH， CH， 同(2)理得∠BCH=90°， 所以∠FCH=90°， 由∠CAE=90°-∠BAE， ∠CAE=45°-∠CAF， 可得到∠EAF =∠HAF =45°， 证明△EAF≌△HAF(SAS)，设EF=HF=a， 则 由勾股定理得C 求出a的值即可. 23．【答案】（1）证明： ∵∠A =∠DEB=30°，∠B =90°， ∴∠BDE=90°-∠DEB=90°-30°=60°， ∴∠CFE=∠AFD=∠BDE-∠A =30°， ∴∠CFE =∠DEB ∴CF=CE （2）解：由(1)知∠DAF =∠DFA=30°， ∴AD=DF 设AD=DF =x， ∵点F为DE的中点， ∴DE=2x， 又∵∠BED=30°，∠B=90°， ∵AD+BD=AB， 解得 即 （3）解：当 时，AE+AF的值最小，理由如下： 则AC=6， 过点A作 交射线BE于点.E'， 当点E，.E'重合，即D，A重合时，等号成立， CE=AE-CE+6， +6， ∴当D，A重合时， 取得最小值，如图： 此时CE=CA=6， 的面积 【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质 【解析】【分析】(1) 可得∠BDE=90°-∠DEB=60°， 根据三角形的外角得到∠CFE=∠AFD=∠BDE-∠A=30°， 则∠CFE =∠DEB， 即可证明； (2) 可设AD=DF=x， 则DE=2x， 由∠BED=30°，∠B=90°， 得到 故可得 解方程即可； (3)先根据30°角直角三角形的性质以及勾股定理求出AC=6， 过点A作 交射线BE于点E'，由三角形三边关系得到 当点E，E'重合， 即D，A重合时， 等号成立， 则AE'-EE'-CE≤AE-CE， 那么. E-CE， 而AE+AF=AE+AC-CF =AE+AC-CE=AE-CE+6， 故AE+AF= AE-CE+6≥6+AE'-CE'+6，则当D，A重合时，AE+AF取得最小值，再由三角形面积公式求解即可. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省温州市十二中2025-2026学年上学期八年级数学期中卷 1．（2025八上·温州期中）为了保护环境，国家大力支持新能源.以下是四个新能源汽车的 logo(图标)，其中是轴对称图形的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：A、该图是轴对称图形，故此选项符合题意； B、该图不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、该图不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、该图不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选： A. 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.根据轴对称图形的定义，逐项判定即可. 2．（2025八上·温州期中）若三角形中有两边长分别为3和8，则这个三角形的另一边长可能为(　　) A．3 B．5 C．8 D．13 【答案】C 【知识点】三角形三边关系 【解析】【解答】解：设这个三角形的第三边长为c，根据三角形三边关系可得，88-3<c<8+3， ∴c可能为8， 故选： C. 【分析】设这个三角形的第三边长为c，根据三角形的三边关系求出c的范围，再结合选项判断即可得出答案. 3．（2025八上·温州期中）在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；尺规作图-垂线 【解析】【解答】根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线， 纵观各图形，B. C. D都不符合高线的定义，A符合高线的定义. 故答案为：D 【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可． 4．（2025八上·温州期中）如图， 在△ABC中， ∠B=65°， ∠ACD=100°， 则∠A的度数是(　　) A．25° B．35° C．45° D．55° 【答案】B 【知识点】三角形外角的概念及性质 【解析】【解答】解： 是 的外角， 故选： B. 【分析】根据三角形外角的性质，即可得到 进而得出结论. 5．（2025八上·温州期中）能说明命题“对于任何实数a，都有 ”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：∵ 时， ， ∴A选项不符合题意； ∵ 时， ，不等式不成立， ∴B选项符合题意； ∵ 时， ， ∴C选项不符合题意； ∵ 时， ， ∴D选项不符合题意； 故答案为：B. 【分析】把数值逐一代入给定的不等式中，让不等式不能成立的数就是需要的反例. 6．（2025八上·温州期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　) A．三边的长度分别为1，2， B．∠A=∠B+∠C C．AB： BC： AC=5： 12： 13 D．AB=AC， ∠A=45° 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解： ∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵∠A=∠B+∠C， ∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠A=180°， 解得∠A =90°， ∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵AB：BC：AC=5：12：13， ∴设AB=5k， BC =12k， AC=13k， ∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵AB=AC， ∠A=45°， °， ∴△ABC是锐角三角形，不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选： D. 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理和、等腰三角形的性质，逐项分析判断是否满足直角三角形的条件即可. 7．（2025八上·温州期中）如图， 在△ABC中， AB、AC的中垂线分别交BC于点D和点 E， 已知BD=5， CE=4， 若AE⊥BC， 则BC的长为(　　) A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：∵ AB、AC的中垂线分别交BC于点D和点 E， ∴DA=DB=5，EA=EC=4， 又∵AE⊥BC， ∴∠AED=90°， ∴， ∴BC=BD+DE+CE=5+3+4=12， 故答案为：C. 【分析】根据垂直平分线的性质得到DA=DB=5，EA=EC=4，然后根据勾股定理求出DE长，再根据线段的和差解答即可. 8．（2025八上·温州期中）如图， 在△ABC中， 点D， E， F分别为BC， AD， BE上的中点， 已知△ABC的面积为16， 则阴影部分的面积为(　　) A． B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2 【答案】B 【知识点】利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点， ∴， 又∵点E是AD的中点， ∴，， ∵点F是BE的中点， ∴， ∴， 故答案为：B. 【分析】根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可. 9．（2025八上·温州期中）如图， 一张长方形纸条ABCD， 将纸条分别沿EF和EG折叠， 使顶点A， B， C， D分别落在A'， B'， C'，D'处，点B'，C'，E在同一条直线上，B'E交AD于点H，若求FG的长度，只要知道下列选项中哪条线段的长(　　) A．EG B．EC' C．EH D．EF 【答案】C 【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：∵折叠， ∴∠CEG=∠HEG，∠BEF =∠HEF， 由题意， AD∥BC， ∴∠HGE =∠CEG，∠HFE =∠BEF， ∴∠HGE =∠HEG，∠HFE =∠HEF， ∴FH=EH，HG=EH， ∴FG=FH+HG=2EH， ∴只需要知道EH的长即可得到FG的长度； 故选： C. 【分析】根据折叠得到∠CEG=∠HEG，∠BEF =∠HEF， 平行线的性质， 得到∠HGE =∠CEG，∠HFE =∠BEF，等量代换结合等角对等边，得到FH = EH，HG=EH， 线段的和差关系得到FG=2EH，即可得出结果. 10．（2025八上·温州期中）如图1是一款儿童攀爬架， 图2是其侧面示意图， 连结BD， 测量得∠ABD=∠C=45°， AB⊥AD， 且点A到地面BC的距离是点D到地面BC距离的2倍，BC=1.6米.则CD的长为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的实际应用；勾股定理；三角形全等的判定-AAS 【解析】【解答】解： 如图， 设AF⊥BC于点F， DG⊥BC于点G， 过点D作DE⊥AF于点E，则AF=2DG， ∠AFG=∠DEF=∠DGF=90°， ∴四边形DEFG是矩形， ∴EF = DG， FG=DE， ∴AF =2EF， ∴AE= EF， ∵∠C=45°， ∴∠CDG = 90°-∠C = 45°， ∴CG=DG， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD=90°， ∵∠ABD=45°， ∴∠ADB=90°-∠ABD =45°， ∴AB=AD， ∵∠BAF+∠DAE=∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠BAF=∠ADE， ∵∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF≌△DAE(AAS)， ∴DE = AF =2DG， BF = AE = DG， ∴BC =BF+FG+CG =4DG， ∵BC=1.6， ∴4DG=1.6， 即CD的长为 故选： A. 【分析】设AF⊥BC于点F， DG⊥BC于点G， 过点D作DE⊥AF于点E， 可得四边形DEFG是矩形， 得EF =DG， FG=DE， 可得AE=EF， 证明CG =DG， AB=AD， 证明△ABF≌△DAE(AAS)， 得DE=AF=2DG，BF =AE=DG， 得BC=BF+FG+CG=4DG， 得DG= 根据勾股定理求出CD长即可. 11．（2025八上·温州期中）命题“如果a=2， 那么|a|=2.”的逆命题为　 　. 【答案】如果那么a=2 【知识点】逆命题 【解析】【解答】解：“如果a=2，那么 ’的逆命题为“如果| ，那么a=2". 故答案为：如果 那么a=2. 【分析】把原命题的题设和结论互换位置即可得到逆命题. 12．（2025八上·温州期中）在△ABC中， ∠C=90°， ∠A=35°， 则∠B=　 　度. 【答案】55 【知识点】三角形内角和定理 【解析】【解答】解：在 中， 则 ， 故答案为：55. 【分析】根据三角形内角和定理计算即可. 13．（2025八上·温州期中）如图，已知∠ACB=∠DBC，请添加一个条件　 　，使得△ABC≌△DCB． 【答案】∠A=∠D（其它合理答案亦可） 【知识点】三角形全等的判定 【解析】【解答】解：可以添加∠A=∠D，利用AAS判定△ABC≌△DCB． 故答案为：∠A=∠D． 【分析】 一组边和一组角对应相等， 根据全等三角形的判定定理结合图形，选择合适的条件即可. 14．（2025八上·温州期中）如图， △ABC≌△DEF， A与D， B与E分别是对应点， 根据图中给定的数量条件， 则∠F=　 　度. 【答案】64 【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：∵ △ABC≌△DEF， ∴∠D=∠A=70°， ∴∠F=180°-∠D-∠E=180°-70°-46°=64°， 故答案为：64. 【分析】先根据全等三角形的性质得到∠D的度数，然后根据三角形的内角和定理解答即可. 15．（2025八上·温州期中）如图， 在△ABC的边BC上取点E， 使 AE=BE， 过点C作CD⊥AE于点 D， 若CD平分∠BCA， AD=1，AC=3， 则BC=　 　. 【答案】5 【知识点】三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：∵ CD⊥AE， ∴∠ADC=∠EDC=90°， 又∵ CD平分∠BCA， ∴∠ACD=∠ECD， ∵CD=CD， ∴△ACD≌△ECD， ∴AC=CE=3，AD=DE=1， ∴BE=AE=AD+DE=2， ∴BC=BE+CE=2+3=5， 故答案为：5. 【分析】利用ASA得到△ACD≌△ECD，即可得到AC=CE=3，AD=DE=1，进而求出BE=2，然后根据线段的和差解答即可. 16．（2025八上·温州期中）如图， 将两幅直角三角板直角顶点重合， 使得∠ABC=105°， 则∠1=　 　度. 【答案】45 【知识点】三角形外角的概念及性质 【解析】【解答】解：如图， 由题意得， 故答案为：45. 【分析】由题意得 利用角的和差求出 ，再利用三角形外角的性质即可求解. 17．（2025八上·温州期中）如图， 在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90°， 分别以四边形ABCD的四条边为直径， 向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为S1，S2，S3和S4，若 则S4的值是　 　. 【答案】6π 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：连接AC， 根据勾股定理得到， ∴， 即， ∴， 解得 S4=6π， 故答案为：6π. 【分析】连接AC，根据勾股定理得到，然后代入计算解答即可. 18．（2025八上·温州期中）如图， 在△ABC中， AB=AC=5， BC=8.结合尺规作图痕迹提供的信息， 则线段CP的长是　 　. 【答案】4 【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：由作图可知BE是线段AD的垂直平分线，BP平分∠EBC， ∴∠BKC=90° 如图， 作AI⊥BC交BC于I， 作PO⊥BC交BC于O， 设BE交AD于K， ∵AB=AC=5， BC=8 ∴BI=IC=4， 解得： ∵AB=5， ∵BP平分∠EBC， ∴PO=PK， ，即 PK， 解得： 故答案为：4. 【分析】根据作图可知BE是线段AD的垂直平分线，BP平分∠EBC， 作AI⊥BC交BC于I， 作PO⊥BC交BC于O，设BE交AD于K，根据等腰三角形三线合一得到BI=IC=4， 根据勾股定理求出AI=3， 根据等面积法求出 根据勾股定理求出AK 可得 根据角平分线的性质得到PO=PK，据等面积法求出 即可求出CP的长. 19．（2025八上·温州期中）如图，已知点B，C，D在同一条直线上， 求证： BC=CE. 【答案】证明：∵AB∥CE， ∴∠B=∠ECD， 又∵∠ACB=∠E，AC=DE， ∴△ABC≌△DCE， ∴BC=CE 【知识点】三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等得到∠B=∠DCE，然后根据AAS证明△ABC≌△DCE，根据对应边相等得到结论即可. 20．（2025八上·温州期中）如图1， 在△ABC中， AB=AC， ∠A=90°， 点D为BC的中点， 点E是AC上一点， 连结DE. 小明：以点D为圆心，DE长为半径作弧，交AB于点 F，连结DF，则 小华：小明，你的作法有问题.应当以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AB于点 F，连结DF(如图2)，则DE⊥DF. 小明：哦…我明白了！ （1）指出小明作法中存在的问题. （2）给出小华作法中DE⊥DF的证明. 【答案】（1）解： 如图， ∵以点D为圆心，DE长为半径作弧，与边AB可能会有2个交点. ∴小明作法中存在问题 （2）证明： 如图， 连接AD， 由作图得， AF=CE， ∵AB= AC， ∠A = 90°， 点D为BC的中点， ∴∠C =45°， AD⊥BC， AD平分∠BAC， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∠DAF =∠C， ∴AD=CD， 在△ADF和△CDE中， ∴△ADF≌△CDE(SAS)， ∴∠ADF =∠CDE， ∴∠ADF+∠ADE =∠CDE+∠ADE，即∠EDF =∠ADC = 90°， ∴DE⊥DF 【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】(1)由作图可得，以点D为圆心，DE长为半径作弧，与边AB可能会有2个交点. ，据此即可解答； (2) 连接AD， 通过证明△ADF≌△CDE， 得到∠ADF =∠CDE， 则有∠EDF =∠ADC=90°，根据垂直的定义即可证明. 21．（2025八上·温州期中）如图， △ABC外角∠EAC的角平分线上取一点P使得PB=PC， 作PD⊥AC于点D， PE⊥AB于点E. （1） 求证： BE=CD. （2） 若∠EPB=35°， ∠ACB=15°， 求∠PBC的度数. 【答案】（1）证明：∵ △ABC外角∠EAC的角平分线上取一点P ， PD⊥AC ， PE⊥AB ， ∴PE=PD，∠PEB=∠PDC=90°， 又∵PB=PC， ∴Rt△PEB≌Rt△PDC， ∴BE=CD （2）解：∵Rt△PEB≌Rt△PDC， ∴∠BPE=∠CPD=35°， ∴∠PCD=90°-∠CPD=90°-35°=55°， ∴∠PCB=∠PCD+∠ACB=55°+15°=70°， 又∵PB=PC， ∴∠PBC=∠PCB=70° 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到PE=PD，然后根据HL得到Rt△PEB≌Rt△PDC，根据对应边相等证明即可； （2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BPE=∠CPD=35°，然后根据直角三角形的两锐角互余求出∠PCD的度数，进而得到∠PCB的度数，再根据等边对等角解答即可. 22．（2025八上·温州期中） 【问题背景】如图1， △ABC是等腰直角三角形， ∠BAC=90°， BC=8， 点D为BC中点.点E是线段 BD上一个动点，在线段EC上取一点 F使得∠EAF=45°. 【提出问题】当点E在线段BD上移动时，EF的长度是否发生变化? 【初步思考】小明通过尝试画出E在不同位置时的图形，发现EF的长度发生了变化.于是他采用以下思路进行说理： 思路：求出E在两个不同位置时，EF的长度. ①先求出点E在特殊位置时EF的长度： 如图2，当点E与点B重合时，易求得 ②再求出点E不与两端点B，D重合时 EF的长度： 如图3，小明在AC右侧作∠CAG=∠BAE，且AG=AE.连结FG，CG.可证得：△ABE≌△ACG(SAS).请你根据以下问题帮小明继续完成探究： （1） 求证： EF=FG. （2） 当BE=2时， 求EF的长度. （3） 【延伸思考】如图4，当点E运动到线段DC上时，点F落在线段DC的延长线上.如果题干中其余条件不变.请解决以下问题： 当 时， EF=　 　.(直接写出答案) 【答案】（1）证明： 如图3.1， △ABC是等腰直角三角形， ∠BAC=90°， 在AC右侧作∠CAG=∠BAE， 且AG=AE， 连接FG， CG， ∴∠BAE+∠EAF+∠CAF=90°， ∵∠EAF =45°， ∴∠BAE+∠CAF=45°， ∴∠CAG+∠CAF =45°， ∴∠GAF=∠EAF =45°， 在△AEF和△AGF中， ∴△AEF≌△AGF(SAS)， ∴EF = FG （2）解：如图3， 是等腰直角三角形， 设EF=FG=x，则CF=8-2-x=6-x， 在直角三角形CFG中，由勾股定理得： 解得： （3） 【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】（3）解：如图4，在AC右侧作 且AH=AE， 连接FH， CH， 是等腰直角三角形， AF， ∴∠BAE-∠CAF =45°， ∴∠CAH-∠CAF =45°， 即∠HAF =45°， ∴∠EAF=∠HAF = 45°， 在△EAF和△HAF中， ∴△EAF ≌△HAF(SAS)， ∴EF =HF， 设EF=HF=a， 在Rt△HCF中，由勾股定理得： 解得： 故答案为： 【分析】(1)在AC右侧作∠CAG=∠BAE， 且AG= AE，连接FG， CG， 通过角度和差可得∠GAF=∠EAF =45°， 证明△AEF ≌△AGF(SAS)， 根据性质可得结论； (2)由△ABC是等腰直角三角形， ∠BAC =90°，则∠ABE=∠ACB=45°， 通过全等三角形性质及角度和差可得∠FCG=90°， 设EF = FG=x， 则CF=8-2-x=6-x， 由勾股定理得 求出x的值解得； (3)如图4， 在AC右侧作∠CAH =∠BAE， 且AH= AE， 连接FH， CH， 同(2)理得∠BCH=90°， 所以∠FCH=90°， 由∠CAE=90°-∠BAE， ∠CAE=45°-∠CAF， 可得到∠EAF =∠HAF =45°， 证明△EAF≌△HAF(SAS)，设EF=HF=a， 则 由勾股定理得C 求出a的值即可. 23．（2025八上·温州期中）如图1， 在△ABC中， ∠B=90°， ∠A=30°， AB=， 点D为边AB上一点， 在BC的延长线上取一点E， 使得∠DEB=30°， 线段DE交边AC于点F. （1） 求证：CE=CF. （2）若点F为DE的中点，求AD的长度. （3）如图2，连结AE，当BD的长为何值时，AE+AF的值最小，请说明理由，并求此时△FCE的面积. 【答案】（1）证明： ∵∠A =∠DEB=30°，∠B =90°， ∴∠BDE=90°-∠DEB=90°-30°=60°， ∴∠CFE=∠AFD=∠BDE-∠A =30°， ∴∠CFE =∠DEB ∴CF=CE （2）解：由(1)知∠DAF =∠DFA=30°， ∴AD=DF 设AD=DF =x， ∵点F为DE的中点， ∴DE=2x， 又∵∠BED=30°，∠B=90°， ∵AD+BD=AB， 解得 即 （3）解：当 时，AE+AF的值最小，理由如下： 则AC=6， 过点A作 交射线BE于点.E'， 当点E，.E'重合，即D，A重合时，等号成立， CE=AE-CE+6， +6， ∴当D，A重合时， 取得最小值，如图： 此时CE=CA=6， 的面积 【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质 【解析】【分析】(1) 可得∠BDE=90°-∠DEB=60°， 根据三角形的外角得到∠CFE=∠AFD=∠BDE-∠A=30°， 则∠CFE =∠DEB， 即可证明； (2) 可设AD=DF=x， 则DE=2x， 由∠BED=30°，∠B=90°， 得到 故可得 解方程即可； (3)先根据30°角直角三角形的性质以及勾股定理求出AC=6， 过点A作 交射线BE于点E'，由三角形三边关系得到 当点E，E'重合， 即D，A重合时， 等号成立， 则AE'-EE'-CE≤AE-CE， 那么. E-CE， 而AE+AF=AE+AC-CF =AE+AC-CE=AE-CE+6， 故AE+AF= AE-CE+6≥6+AE'-CE'+6，则当D，A重合时，AE+AF取得最小值，再由三角形面积公式求解即可. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $