数学-【天壹联考】2025-2026学年高三上学期12月联考试卷

高三年级12月检测训练 数学试题答题卡 学校 准考证号 姓名 班级 考场号 座位号 填涂 正确填涂： ■ 贴条形码区域 样例 错误填涂： 的 XO 口四 1.答题前，考生务必清楚地将自已的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在规定的位置， 注 核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完全正确及考试科目也相符后，将条形码粘 意 贴在规定的位置。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，字体工整、 事 笔迹清楚。 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效；在 项 草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 选择题(1~8为单选题，9~11为多选题) 1A]BC 5 LA R C D 9知B]J四 2 [A 1B C 6A和BD四 10D]四 3ID四 7 0 C 11 LA B C 4 A B C 8 A B C 填空题 12. 13. 14. 解答题 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 (15题续) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) C B C′1 y 的 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) R F E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 (18题续) 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 (19题续) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效高三年级12月检测训练 数学试题 (试卷满分：150分考试用时：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知集合A=xx2-2x-3≥01，B=女lnx≥号}，则AUB= A.[3,+∞) B.(-∞，-1]U[√e,+∞) C.(-∞，-1]U[3,+∞) D.[-1,We] 2.已知复数之满足2之+1=(3一之)i,则之·之= A.4 B.2√2 C.2 D.2 3.已知a>0,60wv西=君+分则22g2的最小值为 1 1 A.3 B.2 C.√2 D.1 4.已知点G为△ABC的重心，若BG=入BC+μAG,则入一μ= A.0 B.1 c D.3 5.已知数列{am}的前n项和为Sm,且满足a1=一5，am= +2(n-1),若对任意n∈N, λ≤S恒成立，则实数入的取值范围是 A.(-∞，-6] B.(-∞，-5] C.(-∞，-3] D.(-∞，-2] 6.图1是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农 业上得到广泛应用.在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒 车的轴心O距水面的高度为√3m.设筒车上的某个盛水桶P(看作点)到水面的距离为d (单位：m)(若在水面下则d为负数)，若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t (单位：s之间的关系为d=Asin(ct十p)+KA>0,o>0,-子<9<引，则p 数学试题第1页共4页 水面 图1 图2 A一音 C.o D. 7.已知双曲线Cx2- m? =1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作圆O:x2+y2=1 的切线，交双曲线C的右支于点M,若∠P,M,=,则实数m= A.2+3 B.1+√3 C.2 D.1+ 3 8已奥数)-2s6=e+-.若)价有4个写 点，则实数的取值范围是 A.(-∞，1) B.(4e,+∞) C.(1,4e) D.(1,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知一组数据x1,x2,x3,…,xm的平均数为x(元≠0)，将这组数据分别加上它们的平均 数，得到一组新数据x1十元，x2十x,x3十x,·,xm十x,则新数据与原数据相比 A.极差相同 B.平均数不同 C.方差不同 D.中位数相同 10.已知函数f(x)=sin,g(x)=x-1-lnx,h(x)=f(x)·g(x),则下列说法正确 的是 A日)+s)=0 B.不等式g(x)>0的解集为(0,1) cA品 D.1为函数h(x)的极大值点 11.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，高为h,该正四棱锥的顶点P在正方体 ABCD-A1B1C1D1的内部（包括表面），则下列结论正确的是 A.h的取值范围是(0,1] B若正四校雏P-ARCD的侧棱长为，则么 2 C.当点P为正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心时，正四棱锥 P-ABCD外接球的表面积为 D.当点P为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球球心时，正方体ABCD-A1B1C1D1的 内切球与正四棱雏P-ABCD的公共部分的体积为需 数学试题第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.e知+) (n∈N)的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3：1，则n的值为 13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为1的直线l与抛物线C交于M,N 两点，则FM|一FN 的值为 MN 14.已知a,B∈R,(sina一|sinB|)·(cosB-|cosa|)=0,则sina十cos3-2的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且满足cos分-6十C 22c (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足AB=3AD,求，tanA tan∠ACD的值. 16.(本小题满分15分) (1)1个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动1个单位长度（相对于原点O,质点向 右移动了i(i∈N)个单位长度后位置记为i,向左移动了i(i∈N)个单位长度后位置 记为一i).已知质点每次向右移动的概率为卫(0<p<1).记X为质点从原点O出 发，移动2次后的位置，求满足随机变量X的期望大于0的卫的取值范围； (2)1个质点从平面直角坐标系中某点A出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右 移动1个单位长度，求该质点经过4次移动后回到点A的概率. 17.（本小题满分15分) 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC,∠A1AB=∠A1AC,O是 BC的中点. (1)求证：平面BCC1B1⊥平面A1AO; (2)若A1O⊥底面ABC,且直线AA1与底面ABC所成角为 60°，D是棱BB1的中点，求平面AC1D与平面ABC夹角 A 的余弦值. 数学试题第3页共4页 18.(本小题满分17分) 1y2 已知椭圆C:十31(a>b>0)的左、石焦点分别为F,(一-2,0)，F2(2,0),且椭圆0 过点(2，√3)，椭圆的下顶点为E. (1)求椭圆C的方程； (2)过右焦点F2的直线1与椭圆C交于A,B两点（点A在点B的上方），与y轴交于 点P(点P在点E的下方)，Q为点P关于原点的对称点，QB交x轴于点R,设 △PBQ,△BF2Q,△AF2Q的面积分别为S1,S2,S3. ①若直线1的斜率为2，求十s的值， S2+S3 ②是否存在直线1，使Q,R,F2,A四点共圆？若存在，试判断直线1的条数；若不存 在，请说明理由 0 19.(本小题满分17分) 约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，德国著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学 奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数y=[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实 数x的最大整数，如[1.2]=1，[-1.3]=-2.已知函数f(x)=2cos2 (1)当x=4和x=5时，求[f(x)]的值； (2)设g（x)=√x十45-√x+5,x1=5,xm+1=g(xm),n∈N*. ①求∑[f(x)]的表达式；(g(5)>3.9,g(3.9)<4.1,g(4.1)>3.9) ②求[∑x]的表达式. 第4页共4页高三年级12月检测训练 数学试题参考答案及多维细目表 题号 1 2 3 6 十2n(n-1),.当n≥2时，n(Sn-Sm-1)=Sn+十 5 2n(n-1). 答案 C D B A A 题号 7 9 10 11 (n-1DS。-nS。-1=2n(m-1).S。-S n n-1 答案 B AB ACD ACD =2(n≥2)，∴. S:)是首项为-5，公差为2的等 n 1.【答案】B 差数列. 【解析】A={xx≤-1，或x≥3}，B={xx≥ S=-5+2(m-1）=2m-7,S.=n(2m e冫，∴AUB={xx≤-1，或x≥. 2.【答案】C 7)=2n2-7n,.Sm的最小值为S2=-6,.A≤ -6. 【解析】方法一：(2+i)x=3i-1,.x= 3i-1 2+i 方法二：当n≥2时，nam=Sm十2n(n一1)①，(n 3i-102-D+91=2,“·7 -1)am-1=Sm-1+2(n-1)(n-2)②. 5 5 ①-②得(n-1)am-(n-1)am-1=4(n-1),n 1x|2=2. ≥2，∴.am-am-1=4, 方法二：，(2+i)之=-1十3i,.5引x=10, ∴.数列{am}是首项为一5，公差为4的等差数列. ∴.am=-5+4(n-1)=4n-9,令am>0得n≥ x|=√2，之·=z2=2. 3,.Sm的最小值为S2=-6,.入≤-6. 3.【答案D 6.【答案】A 【解析1：历-+行≥2 1 a6ab≥2， 【解析】由题得筒车半径为2m,转动一圈需要40 s,且轴心O距水面高度为3m, 1 1 六1og.2十1og,2--log-ab-≥log2=1心最小值为 ÷A=2+5),5-2》=20= 2 1,此时a=b=√2 4.【答案】B (2+3)+(3-2) 2 =3(m) 【解析】如图，延长AG交BC于点D,则BG= 又以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，∴.d(0) 筋+D心=成-}d,:底=A成+… =0,∴.sinp= AG,且BC,AG不共线，λ= 2h 2 7.【答案】D 【解析】如图，设点M在第一象限，过点F2作 =1. FG⊥MF,于点G,设N为圆O的切点，连接 ON,..FN=NG=m,F2G=2ON=2. G 5.【答案】A 【解析】方法一：由an _S十2(n-1)得na.=S, 2 数学试题参考答案第1页共7页 在△e:中，Mc-Mr, 3,由双 ∴.当y=g(x)在区间(0，十∞)上恰有2个零点 时，需满足g(xn)<0,0<xo<k .g(x0)=e0(2.xa-1)+k(-x0+1)= 曲线定义得|MF|-|MF2=2,.2m+ 23 3 e0(2.xo-1)+e(2x0+1)(-x。+1)= 43=2.m=1+92 3 0e"(-2z+3)<0,xo≥2月 8.【答案】B 易知h(x)=e(2x十1)在区间(0，+∞)上单调 【解析】g(x)=f(x)十f(-x),.g(一x)= 递增， f(-x)十f(x)=g(x).又g(x)定义域为{x|x k=e0(2xo+1)>4e2. ≠0}关于原点对称，g(x)为偶函数.要使y 综上所述，k∈(4e,十∞). g(x)恰有4个零点，则需使y=g(x)在区间(0， 9.【答案】AB 十∞)上恰有2个零点. 【解析】极差为最大值与最小值的差，极差相 当x>0时，g(x)=e(2x-1)+k(-x+1)= 同，选项A正确； e(2x-1)-k(x-1). 原数据的平均数工=十2十…+工，新数据 方法一：令e(2x-1)=k(x一1)，显然x=1不 n 是方程的根=经》，记么) 的平均数y=1十十x2十+…十，十x n g(2x1D,间题转化为h(x)=友在区间(0， L1十x十十十元=2x,平均数不同.选 x-1 n 十∞)上有2个解. 项B正确； 又h'(x)=e(2x2-3) 原数据的方差=上[z,-0)2+(,-)+…+ (x-1)2’ ∴x∈(0,1)时，h'(x)<0,h(x)单调递减； (z.-)],新数据的方差s号=1[(1十x-20)+ n r∈，）时，(x)<0.《x)单调递该： (x2十x-2x)2十…十(xm十x-2x)2]=s,∴.方 差相同，∴.选项C错误； x∈（官+）时a()>0,()单调速增， 中位数显然不同，选项D错误. 且h(0)=1.当x从1的左侧无限趋近于1时， 10.【答案】ACD h(x)趋近于一o∞；当x从1的右侧无限趋近于1 【解析】：g(x)十g 1 =x- -Inx+1 时，h(x)趋近于十∞；当x趋近于+∞时，h(.x) 1 趋近于+又(】 x-ln上=0，∴.选项A正确； =4e,k∈(4e,十o∞). 方法二：g'(x)=e(2x十1)-k,易知g'(x)在 :g'x)=1+11-+1-2>0,gx) x 区间(0，十∞)上单调递增，∴.要使y=g(x)在 在区间(0，+∞)上单调递增.又g(1)=0, 区间(0，十∞)上恰有2个零点，则需满足g'(x) ∴·g（x)>0解集为(1，十∞)，∴.选项B错误； 在区间(0，十∞)上有零点，记为xo,且g'(0) 1-k<0,.k>1,且g′(x)=e(2.x0+1)- sm>sm7>0.且(9>g得）>0 k=0. ∴.sin 当x∈(0，xo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当 16 x∈(x。,十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增. ,g(0)=k-1>0,g(k)=e(2k-1)+k(-k十 1)>k(2k-1)+k(-k+1)=k2>k-1, 数学试题参考答案 第2页共7页 )=-s·g)a9）) 6·n! 61(m-61n-5)!=(n-6)1n=6. 选项C正确； h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=πcosπ.x· 【容案号 x2+1-x 【解析】设M(x1y1),N(.x2,y2),由抛物线定 合时a)0x∈时)0 义得1PM=+台FN=:+号 又h'(1)=0,∴.1为h(x)极大值点，∴.选项D .FMI- FNI +)(+ MN 正确 /1+kz|x1-x2 11.【答案】ACD x1一x2 ② 【解析】记正方形ABCD和正方形A1B,C,D √/1+k21x1-x2 2 的中心分别为O和O1,则点P在线段OO1(不 14.【答案】-3 含端点O)上，易知0<h≤1，∴.选项A正确； 【解析】令x=sina,y=cosB,则(x一√1一y)· 在Rt△POC中，h=PO=√PC2-OC= (y-√-x2)=0,.x=√1-y,或y √12心选项B错误： 321 W1-x2,.x2+y2=1(x≥0)，或x2+y2=1 (y≥0). 如图，记四棱锥P-ABCD的外接球球心为G, .点(sina,cosB)在圆x2十y2=1位于第一 则点G则在OP上，连接CG.在Rt△OGC中， 二、四象限（包括坐标轴）的部分上. 0G=1-R,0C-号.GC-R,则R=1Ry+ ,点(sina,cosβ)到直线x十y-2=0距离为 Isin a+cos B-2 (R-=R= 99 =d, 164π， √2 又sina+cosB-2≤0，.sina+cosβ-2= ∴选项C正确； -√2d. 下求d的最大值.如图，d的最大值为点（一1， G O)到直线x十y-2=0的距离，.dmx= D C 1-1+0-23 2 √2 B '.(sina+cos B-2)m=-x=-3. 该正方体恰好放入与四棱锥P-ABCD体积相 2 同的6个四棱锥，∴.公共部分的体积为正方体 内切球体积的 心公共部分的体积为×4 6X3 ×侣}-需法项D正瑜 12八x x+y-2=0 12.【答案】6 【解析】，T6=Cx” .第6项系数为 15.解：(1)在△ABC中，cos4=6+c. 2 2(1+ C%·2,又T,=Cx” ,第7项系数为 cos A)=- +小mA-…2分 C8·2. 方法一：在△ABC中，由正弦定理得cosA nI 由题可知C·2=3C·2,51(m-5) sin B,'sin B-cos Asin C. sin C' 数学试题参考答案第3页共7页 .'A+B+C=x,..sin B=sin(A+C). =256,每个样本点出现的可能性相等，且为有 .'sin Acos C+cos Asin C=cos Asin C, 限个，…9分 .sin Acos C=0..sinA≠0，..cosC=0, 记质点经过4次移动后回到点A为事件B,要 4次回到起点A,则向左向右移动次数相等，向 ……6分 上向下移动次数相等，.事件B包含的样本点 方法二0sA=- A A 2bc 个数为m=A+ A·AA暖·A=36,(或m a2+b2=c2,C= 2 …6分 =A十2C=36)…13分 (2)方法一：如图，过点D作DH垂直于AC于 由古典概型计算公式得P(B)= 器品质 点H,由题可得提0 点移动四次后回到点A的概率为·15分 设AH=x,HC=2x,tanA= HD -,tan∠ACD 17.(1)证明：如图，连接A1B,A1C C HD tan A 2x tan∠ACD =2. …13分 A C 0 CD B 方法二：在△ACD中，由正弦定理得 sin A ,AB=AC,∠A1AB=∠A1AC,A1A=A1A, AD sinZACD①， 8分 ∴.△A1AB≌△A1AC,∴.A1B=A1C. ,O为BC中点，BC⊥AO.又AC=AB, CD 在△BCD中，由正弦定理得 .BC⊥AO.…4分 (一A 又AO∩A1O=O,AOC平面A1AO,A1OC平 BD CD BD 面A1AO,.BC⊥平面A1AO.…5分 ②， ∠ACD cos A cos∠ACD :BCC平面BCCB:,.平面A1AO⊥平面 sin 2 BCC1B1.… …6分 …10分 (2)解：AO⊥平面ABC,.∠A1AO为A1A @÷0,得anAD-2.…13分 与平面ABC所成的角，即∠A1AO=60°.由题 可知OA,OB,OA1两两垂直，以O为坐标原 16.解：(1)由题可知X的可能取值为一2,0,2， 点，OA,OB,OA1分别为x轴、y轴、之轴正方 .P(X=-2)=(1-p)2,P(X=0)=2p(1-p), 向，建立如图所示的空间直角坐标系. P(X=2)=p2.…3分 X的分布列如下 X -2 0 2 P (1-p)2 2p(1-p) .E(X)=-2·(1-p)2+2p2=4p-2>0, 号<p<1.(不列分布列不扣分)…7分 (2)移动四次，样本空间的样本点总数为n=4 数学试题参考答案第4页共7页 设AC=AB=4,∴.A1(0,0,2W6),A(22,0, 8 y2+4+y1 4一9 7W10 0),B(0,22,0),C(0,-2W2,0).AC= √(y1+y2)2-4y1y2 64,64 20 A1C,.C1(-2√2，-22,26)，B1(-2√2， W81T9 ……9分 2√2,2√6)，…10分 ②假设存在直线l,设直线l方程为x=y十 D(-√2,22，N6),Ad=(-32,22, 2,A(x1y1),B(x2y2). √6)，AC1=(-42,-22,26). x2y2 设平面AC,D的一个法向量为n=(x,y,之)， 联立8十41消去，得m+2)y2+4my AD·n=0, x=my+2, 4=0,△>0恒成立， AC·n=0, -4m -4 :厂32x+22y+6:=0:令y=, .y1+y2= m2+2'y1y2= m2+2(y1 -42x-22y+2√6x=0, 32(m2+1) y2)2=（y1+y2)2-4y1y2= n=(33,W3,7).…13分 (1m2+2)2 A1O⊥平面ABC,.取平面ABC的法向量 如图，延长QA交x轴于点S,若Q,R,F2,A 四点共圆，则∠AF,S=∠AQR.…11分 m=(0,0,1),记平面AC,D与平面ABC的夹 角为a,则cosa=cos(m,n)=m·n m·n 7 7√79 /(33)2+(3)+72 79 ∴.平面AC,D与平面ABC夹角的余弦值为 7√79 …15分 79 P 18.解：(1)椭圆C的左、右焦点分别为F,(一2， 0),F2(2,0),且过(2,3)， a∠AF,S=ZAQR=J m .√(2-2)+3+√(2+2)2+3=42， 又∠AQR=∠1-∠2，∴.tan∠AQR=tan(∠1 ∴.2a=42,.a=2√2.∴.b2=a2-c2=4, tan∠1-tan∠2=koA-kos.(此 搭图C的方程为写+子 ∠2)=1十tan∠1·tan∠21+ka·ka 。…4分 步骤不推理不扣分) 2 (2)①直线1方程为.x=2y十2，设A(xy), y2- n 由kon=my十2，kae mv,+2得tan∠AQR B(x2,y2). 4(y1-yz) [x2 =1, 4 (m2+1)y1y2+2m- 0,+)+4+4’ 2 m2 联立 消去x,得9y2+8y-16=0, 1 t- 2y+2, 4(y1-y2) 2 m+y)+4+ 4 (m2+1)y1y2+ 2m- y1+y2=- 9yy=-16 m 91 …6分 1 16√2m2+2 图将公-十-计产 m 8 ,2m√2m2+2=2+ 16+ -8m y1-y2 数学试题参考答案第5页共7页 m2 -m2.…15分 .cosx1∈(0,1)，cos∈(-1,0)，n≥2，n∈ 「2cosx 由点P在点E下方得-2<-20<m<1. =0 1,n≥2，n ∈N" 记f(m)=2m2m2牛2+m之二2.0<m ∑f(x,)刀=1-，n∈N.或∑Lfx)门 i=1 =1 <1, 0,n=1 ∴.f'(m)=2√2m2+2+ 4m2 2 …10分 1-,n≥2，且n∈N“ √/2m2+2 ②设9(x)=x十g(x),x>0,9'(x)=1十 0,f(1)>0, 1 >0恒成立，∴.当x>0 ∴.存在直线1，条数为1条. …17分 2√x+452Wx+5 时，9(x)单调递增.…11分 19.解：(1)当x=4时， ]-[ o(4)=8,由①知x2a<4,x2+1>4,l∈N”, 2分 且x1>4,9(x1)=x1十x2>8, ∴.9(x24+1)>p(4)=8,9(x)<p(4)=8,t∈ 当x=5时， 2c0s5 =0.…4分 N*,…12分 (2)①由条件g(x)= 40 可知，当 当n=1时，[x1]=5; Wx+45+√x+5 当n=2t(t∈N*)时，由p(.x)=x十g(x)得 x>0时，g(x)连续且单调递减…5分 p(xm）=xm十g(xn)=x#十tn+1, x1=5,x2=g(.x1)=g(5).,g(4)=4, ∴x1十x2十x3十…十xm=(x1十x2)十(x3十 .g(5)g(4)=4.又g(5)>3.9,.3.9<g(5) x4)+…十(x241十x2)=p(x1)十9(x3)+… <4,即3.9<x2<4. +9(x2-1)>8t=41, xa=g(x2),3.9<x2<4,∴.g(3.9)>g(x2) x1十x2十x3+…十xm=x1+(x2十x3)+(x >g(4).又g(4)=4g(3.9)<4.1,.4<xa< +x5)+…+(x21-2+x2-1)十x2=x1十9(x2) 4.1. +9(x4）+…十9(x21-2)+x2<5+8(t-1)+ x4=g(x3),4<x3<4.1,.g(4)>g(xa)> 4=8t+1=4n+1, g(4.1).又g(4)=4,g(4.1)>3.9,∴.3.9<x4 ∠4. [∑x]=4n…14分 同理，可得4<x6<4.1,∴.依此规律，归纳可得 同理，当n=2t+1(t∈N*)时， x2,∈(3.9,4)，x2+1∈(4,4.1)，t∈N*. x1十x2十x3十…十xm=(x1十x2)十(xa十x4) 下面用数学归纳法证明此归纳结论： +…十(x21十x2)十x2+1=9(x1)十9(x3)十 当t=1时，x2∈(3.9,4)，x3∈(4,4.1)， …+9(x2-1）+x241>8t+4=4n, 假设当t=k(k∈N*)时，x2∈(3.9,4)，x2+1∈ x1十x2十x3十…+xm=x1+（x2十x3)+（x4 (4,4.1). 十x5)+…+（.x21-2十x24-)+(x21十x2+1)= 则当t=k十1时，x2k+)=x2+2=x2k+1+1= x1+9(x2)+9(x4)+…+9(x2,)<5+8t= g(x2+1)∈(g(4.1),g(4)C(3.9,4). 4n+1, x2+1+1=x2+3=g（x2k+2)∈（g（(4),g(3.9) [∑x]=4.…16分 C(4,4.1). 综上可知，x2,∈(3.9,4)，x2+1∈(4,4.1)，对Ht 综上所述，[∑]= 5,n=1, 1 ∈N*成立.（不用数学归纳法证明不扣分）… 4n,n≥2，n∈N*. ………9分 …17分 数学试题参考答案第6页共7页 多维细目表 学科素养 预估难度 题型 题号 分值 必备知识 数学逻辑数学直观数学数据 易 中 难 抽象推理建模想象运算分析 选择题 5 集合的运算 选择题 2 5 复数的运算及模的性质 L 选择题 5 基本不等式、对数运算 选择题 平面向量基本定理 选择题 5 数列通项公式及最大项 L 选择题 6 三角函数的图象与性质 选择题 双曲线的定义及综合 / 选择题 函数的零点 选择题 9 6 统计基础 L 选择题 10 6 函数的基本性质 选择题 11 6 立体几何中的组合体问题 填空题 12 二项式定理 填空题 13 抛物线的定义及弦长 L 填空题 14 直线与圆中的最值问题 L 解答题 15 13 三角变换与解三角形 解答题 16 15 二项分布与古典概型计算 解答题 17 15 点线面位置关系与空间角 L √ 解答题 18 17 椭圆综合 解答题 19 17 导数与数列综合 数学试题参考答案第7页共7页