数学-【天壹联考】2025-2026学年高二上学期12月联考试卷

机密★启用前 2025年下学期高二12月联考 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.集合{x∈Q|x(x-1)(2x+1)(x十√3)=0}= A.{0,1} B←201 C.1-5 D{201,-5 2.已知复数之=1+ai(a>0),且之·=2，则a= A.1 B.2 C.3 D.4 3.若P(1,2),Q(a,0),R(3,4)三点在同一条直线上，则a= A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.一个箱子中放有4张尺寸相同且印有精美图案的小卡片，其中2张是广州全 运会吉祥物“喜洋洋”、“乐融融”图案的小卡片.现从中随机抽取2张小卡片， 则能抽到“喜洋洋”或“乐融融”图案卡片的概率为 喜 克拼物 1 1 C.3 D 5.如果P(xy)是函数f(x)=sin2x(x∈R)图象上的一点，那么Q(十y)就是函数g(x)图象 上的点，则g(x)的一个单调递减区间是 A[-牙] ] c[o,2] D 【高二数学试题第1页（共4页）】 6.已知y=f(x)-1(x∈R)为奇函数，则f(1g5)+f(1g2-1)= A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=60°，c=1,则a2十b2的最大值为 A.2 B.2 c D.3 ⑧.已知双曲线C:名-31(a>0,b>0)的左看焦点分别为F1,F2,过F2作直线L:bx二ay=0 的垂线，与C的右支交于点A,若△AFF2的面积为3Qb,则C的离心率为 A.5 B.√6 C.2√2 D.23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.若抛物线C的焦点恰好为圆(x一2)2+(y一3)2=4与坐标轴的交点，则C的标准方程可以是 A.x2=4y B.y2=4x C.x2=4√3y D.y2=12x 10.记各项均不为0的数列{am}的前n项和为Sm,且Sm+1=Sm十ban(b为常数，且b≠0)，a= a1am(m∈N*),则 A.{an}为等比数列 B.若b=1时，则m=2k(k∈N*) C.若b=-1,则m=2k-1(k∈N*) D.若b≠士1，则m=5 11.已知f(x)是定义在R上不恒为0的函数，且满足： ①f(2)=8;②Hx,y∈R,f(x-2y)f(2y)=f(x);③当x>0时，f(x)>1.则 A.f(1)=2 B.Hx∈R,f(x)>0 C.f(-z)-f(a) D.f(x)的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a与b的夹角为120°，a=(一1，√3)，b|=1,若a在b上的投影向量为λb,则入的值 为 13.某企业为了调查工人的年龄结构，统计了200名工人的年龄，数据如下表： 年龄区间 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 工人人数 64 76 40 20 则估计该企业工人年龄的第80百分位数为 【高二数学试题第2页（共4页）】 14.如图，在直三棱柱ABC一DEF中，AB=AC=AD=1,∠BAC=90°，则四棱锥D一BCFE外 接球的表面积为 .设G,H,P,Q,R,M,N分别为棱AC,AB, G A B AD,CF,BE,DF,DE的中点.若从点集{G,H,B,C,P,Q,R,D,M,N, H O. E,F}中取2个点与点A作为三角形的三个顶点构成以A为顶角顶点的P R F 等腰三角形，则能构成等腰三角形的个数为 M- 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知圆C经过A(一1，一1)，B(-2,0)两点，且圆心C在直线x十y十1=0上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线1过点(0，一2)，且与圆C交于P,Q两点，O为坐标原点，设直线OP,OQ的斜率分 别为1，k2,证明k1十k2为定值： 16.（15分)如图，在平行六面体ABCD一A1B1C1D1中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°， AB=AD=1,AC1=√/6. (1)求AA1的长： D (2)证明：AC1⊥平面A1BD; A (3)求点B1到平面A1BD的距离. 【高二数学试题第3页（共4页）】 17.(15分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,AA1=3,DF=2FD1,B1E= 2 EB. (1)证明：点A在平面C1EF内； D C (2)设A1H=入A1B1,若D1H∥平面C1EF,求λ的值； (3)在侧面ADD1A1内，设L为过点D1且平行于AF的直线，M是L F 上一点，当直线ME与平面C1EF所成角的正弦值最大时，试探究 点M的位置. E D 1817分)E知椭圆C云+若=1a>6>0)的左有焦点分别为，R,点M1,号)在C上， |MF|+MF2|=2√2. (1)求C的方程； (2)设不与坐标轴垂直的直线1与C交于A,B两点，线段AB的中点为P,O为坐标原点. ()设直线L与OP的斜率分别为k1,k2,证明：k1k:=一2 1 若直线OP的方向向量为n=(-2,1),AB=名 3,求点P的坐标 0+子 an,n为奇数， 19.(17分)已知数列{am}满足a1=1,am+1 21 (1+2)a,n为偶数. (1)求a2,a3,a4,a5; (2)设k∈N,证明：a2-1,a2,a2+1成等比数列，a2,a2+1,a2+2成等差数列； (3)设anbm=(n十1)2，求数列{bn}的前n项和S. 【高二数学试题第4页（共4页）】2025年下学期高二12月联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】B 【解标】由(x-1D(2x十1D十5=0，得2=0,1，-5，而只有3010，故逃B 2.【答案】A 【解析】由之=1+ai,得乏=1-ai,所以x·乏=(1十ai)(1-ai)=1+a2=2,结合a>0,解得a=1,故选A. 3.【答案】B 【解析】当a=1时，直线PQ的方程为x=1,显然R不在PQ上，当a≠1时，由号-0，解得a=一1，故 3-11-a 选B. 4.【答案】D 【解析】设M=“抽到喜洋洋或乐融融图案卡片”，记“喜洋洋”，“乐融融”图案卡片分别为A,B,另外2张图案 卡片分别为c,d,则样本空间为2={(A,B),(A,c),(A,d),(B,c),(B,d),(c,d)},M={(A,B),(A,c), (Ad,B,c).B,a),所以PaM)号故选D, 5.【答案】D 【解析】根据题意，将f(x)=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度，就得g(x)=sin2(,-) 一cos2x的图象，故选D. 6.【答案】D 【解析】由y=f(x)-1为奇函数，得f(-x)-1=-[f(x)一1]，即f(-x)+f(x)=2.又lg5+lg2一1= 1g10-1=0,所以1g2-1=-lg5,从而f(1g5)+f(lg2-1)=f(1g5)+f(-1g5)=2,故选D. 7.【答案】B 【解标1由余弦定理，得1=a+-a6,由基本不等式，得ab<少（当且仅当a=6时取等号，所以1≥。 +b2-a2+b2 2”,即a2+b≤2，故当a=b=1时，a2+b2的最大值为2，故选B. 【高二数学试题参考答案第1页（共8页）】 8.【答案】A 【解析】设0为原点，F,(c,0),过F,与1垂直的直线与1交于点P,则PF,=b·C一a·0=,从而OP √a2+b =a,cos∠OFA=b设AF,=t,由双曲线的定义，得AF1=1十2a.在△AF,F,中，由余弦定理，得(1十 2aP=+(2c-2X2c×名解得1=5则△ARR,的面积为Sa,=2SA,=1 OPIXIAF,1= ax_ 2 =√1+2=5，故选A. 9.【答案】BCD 【解析】在（一2）2十(y-3)2=4中，令y=0,解得x=1或x=3;令x=0,解得y=√3.所以圆与坐标轴的 交点坐标为(1,0)，(3,0)，(0，√5)，于是C的标准方程可以是y2=4x,y2=12x,x2=4√5y,故选BCD. 10.【答案】ACD 【解析】由S+1一S。=ban,得a+1=ba,又an≠0，所以&+=b,所以{an}是公比为b的等比数列，故A正 确；因为a1am=a号=a1as,所以am=a5.若q=1时，{an}的各项都相等，则m=k(k∈N*),故B错误；若q =一1，{an}的相邻两项互为相反数，由am=a;,得m=2k一1(k∈N),故C正确；若q≠士1，{am}的各项均 不相等，则m=5,故D正确. 11.【答案】BC 【解折】Yx∈R,f(x)=f(-)f()-[f()]≥0若f(）=0,则Yx∈R,f(x)=0,这与“f(x)是 定义在R上不恒为0的函数”矛盾，所以Hx∈R,f(x)>0,故B正确；由f(2)=f(2一1)f(1)=f(1)f(1) 及f(2)=8,得[f(1)]=8,所以f(1)=2√2，故A错误；由f(1)=f(1-0)f(0)=f(1)f(0)及f(1)= 22,解得f0)=1.Vx∈R,f(0)=fx)f(-x),即f(x)f(-x)=1,又fx)>0,所以f(-x)=f 故C正确；Vx1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,从而f(x2-x1)>1.又f(x1)>0,所以f(x2)=f(x2 x1)f(x1)>f(x),即f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上为增函数，故D错误. 12.【答案】-1 【解析】kb=(acos120)b=2×(号)b=-b,则入=-1. 13.【答案】45 【解析】0.80×200=160，而64+76=140<160,140+40=180>160，所以工人年龄的第80百分位数应在区 【高二数学试题参考答案第2页（共8页）】 间[40,50)内：区间20,30)和[30,40)中的人数的频率为200=0 =0.7,区间[20,30)，[30,40)和[40,50)中的人 数的频率为18 200 =0.9,所以工人年龄的第80百分位数为40十10×0.800： 0.9-0.7 =45. 14.【答案】3π(2分)13(3分) 【解析】由题意，得BC=EF=√2，CE=BF=√5.设CE∩BF=O,则OE=OF=OB G A =OC= 取EF的中点L,连接DL,OL,则DL= 3 ,0= 2,从而OD三 ()+()-一，所以0为四按锥D-CFE外接球的球心，球的表面积S= 4元× =3π.正三棱锥A一PGH,3个侧面恰好为3个等腰三角形；正三棱锥 A一BCD,3个侧面恰好为3个等腰三角形；四棱锥A一MNRQ,4个侧面恰好为4个等腰三角形，对角面 AMR,AVQ均为等腰三角形，此时有6个等腰三角形；△AEF也为等腰三角形.综上，以A为顶角顶点的等 腰三角形的个数为3+3+6+1=13. 15.【解析】(1)法一：由圆心C在直线x+y+1=0上， 可设圆C的方程为(x一a)2十(y十a十1)2=r2,… 2分 (-1-a)2+(-1+a+1)2=r2, 由题意，得 解得 4分 -2-a)2+(0+a+1)2=r2, 故圆C的标准方程为(x十1)2十y2=1.… 6分 法二：直线AB的斜率为=12一1，线段AB的中点坐标为(2，一)： -1-0 所以线段AB的中垂线方程为y十号2十，即y=1十1. 2分 1y=x十1 由 解得 即C(-1,0),… 4分 (x+y+1=0, y=0, 圆C的半径r=AC=1, 故圆C的标准方程为(x十1)2十y2=1.…6分 (2)若l与x轴垂直，则1与圆C相切于原点O,不合题意；…7分 可设直线l的方程为y=kx一2，P(x1,y),Q(x2,y2). 【高二数学试题参考答案第3页（共8页）】 1y=kx-2, 由 得(1十k2)x2十(2一4k)x十4=0，…9分 (x+1)2+y2=1, 公=(2-4)-161十k2)>0,解得及<-等…10分 3 4k-2 4 1+x?=k2+i2122k2+1 ……………………… …11分 所以1十：=兰+兰一2+62：-2=262+)=2张 2X42 人k2+1 1 2 1 2x2 Z122 4 1 k2+1 故k1十k2为定值.… …………13分 16.【解析】(1)解：设A方=a,AD=b,AA=c,AA1=k,则a=b=1,c=k,…1分 所以a·b=a·b1cos60=号bc=b1·1ccos60=号e·a=c·aes60 之，…2分 因为AC=AC+AA=AB店+AD+AA=a十b十c, …3分 所以AC112=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a =1+12十k2十1十k十k=k2十2k十3，…………6分 由AC1=√6，得k2+2k+3=6,结合k>0,解得k=1, 故AA们=1.…7分 证明：因为AC·AB=a+b+c:(ac)=a2-c2+a·b-b·c=1P-1P+号-号0，” 所以AC1⊥A1B,………10分 同理AC1⊥BD, 又A1B∩BD=B,所以AC1⊥平面A1BD.… ... 11分 1 (3)解：因为AC·BB=(a十b十c)·c=a·c+b·c十e2= 212 +1=2, …13分 所以B到平面A,BD的距离d=AC·B方_25 63 …15分 AC, 17.【解析】(1)连接AF,AE,以D为原点，分别以DA,DC,DD1所在方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系D一xy之，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),B1(1,2,3),C(0,2,0),C1(0,2,3), A1（1,0,3),D1(0,0,3),E(1,2,1),F(0,0,2).… …2分 【高二数学试题参考答案第4页（共8页）】 (1)因为FC=(0,2,1),AE=(0,2,1),所以FC=AE 4分 即FC1=AE,FC1∥AE, 所以四边形AEC,F为平行四边形，即A,E,C1,F四点共面， 故点A在平面CEF内.…6分 注：若由AE=AF=FC1=EC1,得四边形AEC1F为菱形，得出A,E,C1,F四点共面，不给分. (2)D1月=D1A1+A1i=D1A+AA1B=1,0,0)十X(0,2,0)=(1,2λ，0).…7分 设平面C1EF的法向量为n=(a,b,c,),A户=(-1,0,2)， n·AE=0. 2b+c=0, 由 n·AF=0, -a+2c=0. 取a=4,则n=(4,一1,2).… 9分 由D1H∥平面C,EF,得n·D1i=4一2入=0，解得入=2.…10分 (3)DM=g FA,EM=ED+D M=ED+FA=(-1,-2,2)+ 以(1,0，-2)=（以-1，-2,2-2以），…11分 D 设直线ME与平面C,EF所成角为0，则 11 B1 sin0=cos<n,Ei=n·Ei 2 K F n·EM1√21√4-1)2+4+(2-2)月 M 2 √2I√5(4-1)+4 D C 所以当a=1时，(sin0)- 27” 14分 A B 此时D1M=FA,即AM=2MA时，直线DM与平面C,EF所成角的正弦值最大.…15分 18【解析】(1)由MF1十|MF2=2√2，得2a=2√2，解得a=√2；…2分 由M1,号在C上得宁+办-1，解得6=1 …3分 所以C的方程为，十y21,… 4分 (2)6)法一（点差法）：设A(xy)B(:,则号+明=1，号+=1， 两式相减，得一十）+(y1一z)(1十y)=0. 2 【高二数学试题参考答案第5页（共8页）】 由1不与坐标轴垂直，得x1≠x2,y1≠y2, 所以y1一y2.y1+y2=-1 2? 6分 x1一x2x1十x2 设P(xo,yo),由线段AB的中点为P,得x1十x2=2x0y1十y2=2yo, 于是，，=出.=-业.2=一业.少十y=-1 心1-22021222x01-1+2-2…8分 法二（韦达定理法）：由直线1不与坐标轴垂直，得1的斜率存在且不为0. y=kx+n, 设1的方程为y=k1x十n(k1≠0)，由 得(2k?+1)x2+4k1n.x+2n2-2=0, x2+2y2=2, 因为P在C的内部，所以△>0： -4k1n 设A(1y1),B(x2y2),则x1十x2=2k+1' …6分 -2k1n 一2k1n1 n 设P(x0),则x。=26号十0=k12+m=1‘2k+1+n=2+ k1k=1.2=k1. 2k号+1 1 -2k1n 2 .…8分 2k号+1 1 (i)由直线0P的方向向量为n=（一2,1)，得k2=一之，…9分 1 再由k1k2=一2，解得=1，…… …10分 设P(一2n,n)(n>0),则1的方程为y-n=x十2n,即y=x十3n, 代人x2十2y2=2,整理得3.x2十12n2x+18n2-2=0, 4=(12n)2-12(18m2-2)=241-3n2)>0,解得n2 其次，x1十x2=一4n,x1x2= 18n2-2 3 ………12分 所以1AB=I++g)-4-,2(-4n)-4x18马-4， 1-3n2 ……14分 3 3 由AB= 1-3m_2W3 3 解得刀=士分适合①.… 3 …15分 【高二数学试题参考答案第6页（共8页）】 1 y=- 22, [x=-1, 当n= 2时，由 解得 1 即P(-1,) 3 y=x十2 y=2 y 22, x=1, 当n=一 时，由 解得 1即P(1-2) 3 y=x-2 y=- 综上P的坐标为(-1，)或(1，-)： …17分 19.【解折11)当n=1时，ag=(（1十名）加1=2X1=2,… 分 当n=2时a-(1+2)0=2X2=4, 2分 …3分 2=4时，Q与三(1十）a=号义6=9. 4分 ②》当a=张-1∈N时a=+26-号百a ka2k-1;① 5分 当=26N时a=(+)生园 ……6分 所以-2=6，所以010成等比数列，7分 a2x-1 a2k 由①②，得a2+1= .()… k26= 由累乘法得a=a…2·2·2…二1·()·()·()…（名）=， al a3 as Q25-3 而a1=1适合a2-1=k2,所以a2-1=k2(k∈N*), 所以a=ka张-1 0十·2三kk+D,a达+1=(k+1D,8+2=(k+1D(k+2 所以a25+1一Q26=Q2+2一Q25+1=k十1，所以a25,a26+1,Q25+2成等差数列.…10分 (3)由a,b.=(m十1)2，得b.=m+1) 1 11 当kEN时k十1”2十子g十46十…分 Q25 【高二数学试题参考答案第7页（共8页）】 (2k-1+1)2(2k)2 =4.… …12分 a2k-1 k2 542++华++2)2+2+1D al a?a3 Q2k-1 02k (++)++++2" =+[+(行一2)门+[+（经）]++[4+（一）+[+(G+门 =级十经1点8张+16 1 …15分 S2k-1=S24- 2+1-跳1-(4+日)=-3-安 a26 16分 4n+1-2 十n为奇数， 综上，Sn= …17分 4n+1- n十2n为偶数. 【高二数学试题参考答案第8页（共8页）】2025年下学期高二12月联考 数学 答题卡 姓名 班 级 贴条形码区 考 号 考生禁填缺考考生，由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂右面的缺考标记。 1,答题前，考生务必清楚地将自已的姓名、准考证号填写在规定的位置，核准条 正确填涂 形码上的准考证号、姓名与本人相符并完全正确及考试科目也相符后，将条 填 注 形码粘贴在规定的位置。 错误填涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔作答 样 X 事 字体工整、笔迹清楚。 0 例 攻 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范周书写的答 四 案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写） 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 高二数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) D C A B C 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 9 C A FR、 E D A B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 高二数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效