第三十三章 相似（必备知识+12大题型+分层训练）（复习讲义）数学人教版五四制九年级下册

该初中数学相似单元复习讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，涵盖成比例线段、比例性质、相似三角形判定与性质、位似等核心内容，清晰呈现相似与全等的联系、位似与相似的从属关系，突出重难点分布和内在逻辑脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的成比例线段判断到综合的新定义问题，结合“利用相似测路灯高度”等实际应用题型，培养数学眼光、推理思维和应用意识。基础巩固与能力提升练习兼顾不同学生，助力教师实施精准分层教学。

第三十三章 相似（复习讲义） 1. 了解成比例线段、比例性质、平行线分线段成比例、相似三角形、位似等概念的意义，体会图形相似相关知识之间的整体联系。 2. 能用比例的基本性质、和比性质等进行比例运算；能利用平行线分线段成比例定理及其推论解决线段比例问题；能运用相似三角形的判定和性质解决相关问题；能利用位似变换作图（放大或缩小图形）。 3. 理解并利用相似三角形的性质测量河的宽度、计算不能直接测量的物体高度或深度等实际问题。 【知识点01】成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以） 3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 【知识点02】比例的性质 1）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 【知识点03】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 【知识点04】相似三角形的相关概念、判定和性质 1）相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3）相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 4）相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 5）相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 【知识点05】利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 【知识点06】位似及位似作图 1、位似的概念及性质 （1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 （2）相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 （3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 3、图形的变换与坐标 （1）平移：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；②图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。 （2）轴对称:①图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；②图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 （3）以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。 题型一 判断是否是成比例线段 【例1】（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组的四条线段成比例的是（    ） A．1，2，3，4 B．1，2，， C．1，4，5，6 D．2，3，， 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1-2】（25-26九年级上·广西百色·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列四组线段中，不能构成成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型二 比例的性质 【例2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知，则 ． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东佛山·期中），则的值为 ． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：（a，b，c都不为0）． (1)求代数式的值； (2)当时，求的值． 题型三 由平行判断成比例的线段 【例3】（25-26九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·上海宝山·月考）如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 由平行截线求相关线段的长或比值 【例4】如图中点分别在边上，，若，则的长是 ． 【变式4-1】如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则 ． 【变式4-2】如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【变式4-3】如图，点D、E在的边上，且，过点A作，分别交的平分线于点F、G．若平分线段，则 ． 题型五 黄金分割 【例5】（25-26九年级上·湖南常德·期中）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，则黄金矩形的宽是 ． 【变式5-1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则 ． 【变式5-2】（25-26九年级上·福建龙岩·月考）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【变式5-3】（2025·青海海东·一模）【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 题型六 补充条件使两个三角形相似 【例6】如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    【变式6-1】如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 【变式6-2】如图，中，分别是边上一点，连接，请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是 （写出一个即可）． 【变式6-3】如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 题型七 利用相似三角形的性质求解 【例7】已知，，则与的相似比是 ；与的相似比是 ． 【变式7-1】若，且，则与的周长之比为 ． 【变式7-2】如图，在中，，是的三等分点，. （1）若，则 ； （2） . 【变式7-3】如图，等腰三角形中，，该三角形的两条高与交于点，连接，点为射线上一个动点，连接，若，当与相似时，的长为 ． 题型八 求位似图形的坐标 【例8】如图，与关于点A位似，点C的坐标为，若与的面积比为，则点A的坐标为 ． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是 ．    【变式8-2】如图，将以坐标原点O为位似中心放大，得到，已知、、，则点C的坐标为 ． 【变式8-3】如图，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若点A的坐标为，则点F的坐标为 ． 题型九 在平面直角坐标系中作位似图形 【例9】（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向右平移1个单位，再向上平移1个单位后的，并写出的坐标； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的，并写出的坐标； (3)判断：与的面积比为________，的面积是________． 【变式9-1】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为______． 【变式9-2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标______； (2)以原点O为位似中心，在x轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标______； (3)用无刻度的直尺在网格中画出的角平分线，D点在上，保留作图痕迹． 【变式9-3】（25-26九年级上·广西来宾·期中）如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出和的位似中心点的位置，并写出点的坐标； (2)若以点为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，使它与都在位似中心的同侧，且与的位似比为； (3)若与在位似中心的异侧，且位似比为，直接写出此时点的坐标． 题型十 利用相似三角形测物体的高度问题 【例10】（25-26九年级上·广西贵港·期中）［综合与实践］ 同学们综合利用数学和物理知识可以解决生活中很多实际问题．例如：已知树，和灯柱，如图1所示，在灯柱上有一盏路灯（与重合），树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定物体在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)如图1，若树的高度为4米，其离路灯的距离为6米，两棵树的影长，均为3米，两棵树之间的距离为6米，求树的高度； (2)如图2，建筑物高为50米，建筑物上有一个LED广告牌，合计总高度为60米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在处观测，发现能看见广告牌的底端处，观测者沿着直线向前走了10米到处观测，发现刚好看到广告牌的顶端处．则广告牌的高度为多少米？ (3)以上两个案例是用数学中哪些知识来解决问题的？从以上两个案例中，谈谈你的收获．（写出一条即可） 【变式10-1】（25-26九年级上·山西晋城·期中）郭峪古城位于晋城市阳城县东北，建于明崇祯八年，是一座避难自保的防御性城堡，被称为“蜂窝城”，城堡内的一座“豫楼”，被称为“蜂窝柄”．某综合实践小组的同学围绕“景物高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物高度的测量与计算 驱动问题 如何测量“豫楼”的高度 活动过程 方案说明 如图，某一时刻“豫楼”的影长为，小玲站在点D处，她影子的顶端也恰好落在点E处．小玲沿射线行走到点F处，放置一面平面镜（大小忽略不计）后，继续行走到点H处，此时恰好能从平面镜内看到“豫楼”的顶端A 数据测量 ，，，，A，B，C，D，E，F，G，H均在同一竖直平面内，且，，， 计算 … 交流展示 … 请根据以上数据，计算“豫楼”的高度． 【变式10-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量． 方案一：小树投影法 如图1，同学们在路灯旁竖立小树，小树在路灯的照射下形成投影，测得树高为3米，树影为4米，树与路灯的水平距离为5米． 方案二：标杆共线法 如图2，为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆，路灯悬臂与地面平行．同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点共线，此时路灯、标杆顶端和地面上另一点也共线（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时同学们测得点距离点的距离为1.5米，路灯的正下方点距离路灯主杆底端的距离为3米． 请根据以上数据，完成下列计算： (1)利用方案一求路灯的高度； (2)利用方案二求路灯主杆的高度． 【变式10-3】（25-26九年级上·山西临汾·期中）《黑神话：悟空》上线之后，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量并制作了下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平直线于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） 计算结果 请你根据上述信息，帮助嘉嘉实践小组求出飞虹塔的大致高度． 题型十一 相似三角形的判定和性质的综合问题 【例11】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的直径，点D在上，过点D作的切线，连接，，，，且． (1)求证：； (2)若点E在的延长线上，且，的半径为2，求的长． 【变式11-1】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图①，一张等腰三角形纸片，底边，高．在这张纸片中剪出一个正方形，使其一边在边上，点、分别在边，上，且与交于点． (1)求证：； (2)求正方形的边长； (3)若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，如图②所示，阴影部分为正方体展开图，直接写出该正方体的棱长． 【变式11-2】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，，如果点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为，连接，设运动时间为（），解答下列问题： (1)用含的代数式表示 ， ； (2)设的面积为，当为何值时，取得最大值，的最大值是多少？ (3)如图，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形是菱形时，求的值． 【变式11-3】（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值： (3)如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 题型十二 相似三角形的判定和性质的新定义型综合问题 【例12】（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“白银线”． (1)如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“白银线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； (2)如图2，在四边形中，，，对角线平分． ①此时对角线是四边形的“白银线”吗?请说明理由； ②若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点E，使，过点E作交于点F，得到，连接、，在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，求的长． 【变式12-1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1，四边形为“垂中平行四边形”，平分，求证：． (2)如图2，矩形为“垂中平行四边形”，于点，交边于点，若8，求的长． (3)如图3，若四边形为“垂中平行四边形”，且，直接写出和的数量关系． (4)如图4，在中，于点，若，，以为边构造“垂中平行四边形”，使点落在“垂中平行四边形”的边上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所连对角线的垂线经过的中点时，求的长． 【变式12-2】（2025·河南周口·一模）感知定义：如果三角形的两个内角α与β满足 ，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用 (1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ，请直接写出它的两个锐角的度数； (2)如图1，在钝角三角形中， 的面积为15，求证： 是“类直角三角形”． (3)如图2，在中， ，在边上是否存在点 D，使得 是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 【变式12-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线． 【应用】 (1)如图1，中，，，，是上一点，，求证：是的完美分割线； (2)如图2，菱形中，，点是边的中点，点是边上一点，连接交线段于，若是的完美分割线，且，求的长； (3)如图3，矩形中，点是的中点，为射线上的动点，连接并延长交射线于，是射线上一点，，若是的完美分割线，请直接写出的值． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）下列线段能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（20-21九年级上·山西晋城·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，AD是角平分线，BE是中线，，且，垂足为F，G为DC的中点，连接DE，EG．下列结论错误的是（   ） 如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F， A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·湖南株洲·模拟预测）已知，那么 ． 7．（2022·四川成都·三模）如图，在中，是边上的一点，若则的长为 ． 8．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，利用标杆测量楼高，已知，标杆，，，则楼高 ． 9．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，点是的四等分点，点是的三等分点（），则 ． 10．（24-25九年级上·河南漯河·期末）矩形中， ，．点在矩形的对角线上，点在边上，满足 ，若 是等腰三角形，则的长为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知． (1)如果，求a的值； (2)求代数式的值． 12．（25-26九年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． (1)画出． (2)点E的坐标为______． (3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 13．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 14．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接、，延长交于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，若， ，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）在平面直角坐标系中，点，以原点O为中心，将缩小为原来的，缩小后图形与在点O同侧，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·三模）如图，在中，对角线与相交于点，是延长线上的一点，连接交于点已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在正方形中，点是的中点，点是上一点，， 点在上， 若， 延长交于点H，若， 则的长为（    ） A．4 B． C．8 D． 5．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，过点D作交的延长线于点C，连接交于点O．下列结论中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 6．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）若，则 ；若m是5和4的比例中项，则 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在四边形中，平分，，则的长为 ． 8．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，、两点被池塘隔开，在外取一点，连结、，在上取点，使，作交于点，量得，则的长为 ． 9．（23-24九年级下·全国·期末）如图，在中，，，正方形 的顶点 D，G 分别在边上， 在边 上、则点 C 到 的距离为 ； 的长是 ． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，，，且． (1)求的值； (2)若线段，，满足，求的值． 12．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 13．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的外接圆，是的直径，D为外一点，平分，且． (1)求证：； (2)求证：与相切． 14．（24-25九年级下·全国·期末）如图1，在中，点为中点，点在上，、交于点，． (1)写出与相等的角：　　　　　． (2)若，求的值． (3)如图2，若，，，求（用含的式子表示）． 15．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 16．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，的直径垂直于弦于点E，点P是延长线上异于点D的一个动点，连接交于点，连接交于点，连接，． (1)求证：； (2)若， ①若，求CQ的长； ②若，求与x之间的函数关系式． 17．（2025·江苏连云港·二模）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形？ 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张纸（）对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，求证：四边形是类矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十三章 相似（复习讲义） 1. 了解成比例线段、比例性质、平行线分线段成比例、相似三角形、位似等概念的意义，体会图形相似相关知识之间的整体联系。 2. 能用比例的基本性质、和比性质等进行比例运算；能利用平行线分线段成比例定理及其推论解决线段比例问题；能运用相似三角形的判定和性质解决相关问题；能利用位似变换作图（放大或缩小图形）。 3. 理解并利用相似三角形的性质测量河的宽度、计算不能直接测量的物体高度或深度等实际问题。 【知识点01】成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以） 3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 【知识点02】比例的性质 1）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 【知识点03】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 【知识点04】相似三角形的相关概念、判定和性质 1）相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3）相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 4）相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 5）相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 【知识点05】利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 【知识点06】位似及位似作图 1、位似的概念及性质 （1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 （2）相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 （3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 3、图形的变换与坐标 （1）平移：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；②图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。 （2）轴对称:①图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；②图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 （3）以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。 题型一 判断是否是成比例线段 【例1】（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组的四条线段成比例的是（    ） A．1，2，3，4 B．1，2，， C．1，4，5，6 D．2，3，， 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段的性质． 根据比例线段的性质，若四条线段成比例，则最小与最大的乘积等于另外两条线段的乘积．依次验证各选项即可． 【详解】解：A选项：∵，∴不成比例； B选项：∵，相等，∴成比例； C选项：∵，∴不成比例； D选项：∵，∴不成比例； 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，根据成比例线段的定义：四条线段a、b、c、d，如果满足，那么就称这四条线段成比例线段，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，四条线段不是成比例线段，故A不符合题意； B、，四条线段不是成比例线段，故B不符合题意； C、，四条线段是成比例线段，故C符合题意； D、，四条线段不是成比例线段，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·广西百色·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 根据比例线段的定义，分别计算各选项中第一项与第四项的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误． 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列四组线段中，不能构成成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】选项A：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 选项B：∵，不成比例，故本选项符合题意； 选项C：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 选项D：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 因此，不能构成成比例线段的是B． 故选B． 题型二 比例的性质 【例2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ． 【答案】/0.2 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例关系，设，（），然后代入所求表达式进行计算． 【详解】解：由，设，（）， 则 故答案为． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，由比例关系设参数表示未知数，代入表达式化简求值即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东佛山·期中），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例关系，可得，，，代入所求分式后化简． 【详解】解：因为 ， 所以，，， 代入分式，得：， 注意到分子， 所以． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：（a，b，c都不为0）． (1)求代数式的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质． （1）设，则代入可求； （2）把代入中得到关于k的方程，然后求出k，从而得到a、b、c的值． 【详解】（1）设，则， ； （2）由（1）可知， 解得：， ． 题型三 由平行判断成比例的线段 【例3】（25-26九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：， ，即，故A选项错误；B选项正确； ，故选项D错误； ，故选项C错误； 故选B． 【变式3-1】（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，该选项错误，不符合题意； B．∵，∴，该选项错误，不符合题意； C．∵，∴，该选项正确，符合题意； D．∵，∴，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 【变式3-3】（25-26九年级上·上海宝山·月考）如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③错误； ，故④错误， 正确的个数2个， 故选：B． 题型四 由平行截线求相关线段的长或比值 【例4】如图中点分别在边上，，若，则的长是 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由中，点分别在边上，，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由，即可求得答案，注意掌握各比例线段的对应关系是解此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理可得，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵直线被平行线所截， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到等式，计算即可． 【详解】解：过点作，交于， 则，， ， ， ． 故答案为：． 【变式4-3】如图，点D、E在的边上，且，过点A作，分别交的平分线于点F、G．若平分线段，则 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、角平分线的有关计算 【分析】设交于点H，结合BD=2AD可得BH=DH=AD；由平行线分线段成比例定理可得，即有，再证明，进一步可得，易知AF=23BC，可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设交于点H， ∵平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键． 题型五 黄金分割 【例5】（25-26九年级上·湖南常德·期中）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，则黄金矩形的宽是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 故答案为： 【变式5-1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键． 根据黄金分割可得，即，由此求出即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（）， ∴，即， ∴，， ∴． 故答案为：1． 【变式5-2】（25-26九年级上·福建龙岩·月考）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 【变式5-3】（2025·青海海东·一模）【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了黄金分割，黄金矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握黄金分割的定义． （1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得即可得； （2）四边形是菱形，由折叠的性质可知，，，证明四边形为平行四边形，由，即可证明； （3）根据黄金矩形的定义证明即可得． 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形相等， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）证明：∵，，， ∴， 则， 故四边形为黄金矩形， ∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形． 题型六 补充条件使两个三角形相似 【例6】如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    【答案】或或（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 【变式6-1】如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 【变式6-2】如图，中，分别是边上一点，连接，请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件． 【详解】解：， ∴当时，． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-3】如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 【答案】①③ 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断． 【详解】解：①，而， ∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由， 得， 又∵， ∴，故③正确， ④由， 得到， 不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误， 故答案为：①③． 题型七 利用相似三角形的性质求解 【例7】已知，，则与的相似比是 ；与的相似比是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查求相似比，掌握相似三角形对应边的比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形对应边的比等于相似比解答即可． 【详解】解：，， 与的相似比，与的相似比， 故答案为：；． 【变式7-1】若，且，则与的周长之比为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据且，可得的周长与的周长的比为，求解即可． 【详解】解：∵且， ∴的周长与的周长的比为， 故答案为：． 【变式7-2】如图，在中，，是的三等分点，. （1）若，则 ； （2） . 【答案】 6 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键． （1）由于，那么，根据及相似三角形的性质可得结果． （2）由相似三角形的性质可得结果． 【详解】解：（1）， ， ， ，是的三等分点， ， ， ， 故答案为：6； （2）， ，是的三等分点， ， ， ； 故答案为：． 【变式7-3】如图，等腰三角形中，，该三角形的两条高与交于点，连接，点为射线上一个动点，连接，若，当与相似时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质；分两种情况讨论，①时，；②时，，分别根据相似三角形的性质，构造方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵，该三角形的两条高与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，设， 在中，， 解得：，即， 又， 如图所示， ①当时，； ∴， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，或， 故答案为：或． 题型八 求位似图形的坐标 【例8】如图，与关于点A位似，点C的坐标为，若与的面积比为，则点A的坐标为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查位似变换、相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，可得，则．根据位似的性质可得，进而可得．由题意可得，，即可得，，从而可得答案． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴，． ∵与关于点A位似，与的面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是 ．    【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了利用位似求对应点的坐标．利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以或，求出结果即可． 【详解】解：点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， 则点A的对应点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 【变式8-2】如图，将以坐标原点O为位似中心放大，得到，已知、、，则点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】此题考查了求位似图形的对应坐标．注意根据题意求得其位似比是关键． 由将以坐标原点O为位似中心扩大到，、，即可求得其位似比，继而求得答案． 【详解】解：∵、， ∴， ∵将以坐标原点O为位似中心扩大到， ∴位似比为：， ∵， ∴点C的坐标为：， 故答案为：． 【变式8-3】如图，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若点A的坐标为，则点F的坐标为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、正方形的性质．掌握位似变换的基本性质是解题的关键． 根据位似变换的性质得到，且，根据，得到，得到，得到，根据相似三角形的性质求出即可得到答案． 【详解】∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵相似比为， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 题型九 在平面直角坐标系中作位似图形 【例9】（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向右平移1个单位，再向上平移1个单位后的，并写出的坐标； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的，并写出的坐标； (3)判断：与的面积比为________，的面积是________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)；10 【分析】本题考查了作图-位似变换，作图-平移变换，位似的性质，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． （1）根据平移规律，画图即可； （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可； （3）根据平移的性质和位似的性质，结合已知得与的位似比为，再根据面积比等于位似比平方解答；利用割补法求三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 的坐标为； （2）解：如图，即为所求， 的坐标为； （3）解：∵由平移得到，与的位似比为， ∴与的位似比为， ∴与的面积比为， 的面积：， 故答案为：；10． 【变式9-1】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析； (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查位似图形及位似变换； （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； （2）解：如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； （3）解：∵的内部一点M的坐标为， 由（2）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 【变式9-2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标______； (2)以原点O为位似中心，在x轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标______； (3)用无刻度的直尺在网格中画出的角平分线，D点在上，保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作图，进一步可得的坐标. （2）根据位似图形的性质即可作图，进一步可得的坐标. （3）根据矩形与等腰三角形的性质画图即可. 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，． （2）解：如图所示，即为所求，． （3）解：如图所示，即为所求． 理由：由矩形的性质可得：， ∵， ∴平分． 【变式9-3】（25-26九年级上·广西来宾·期中）如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出和的位似中心点的位置，并写出点的坐标； (2)若以点为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，使它与都在位似中心的同侧，且与的位似比为； (3)若与在位似中心的异侧，且位似比为，直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了作图—位似变换，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者是解决本题的关键． （1）连接、、，它们的交点即为Q点，写出Q点的坐标即可； （2）根据位似中心为原点O可得，则把、、点的横纵坐标都除以2得到点、、坐标，然后描点即可； （3）根据作图即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：如图： ∴点Q即为所求位似中心， ∴点Q的坐标为． （2）解：如图：即为所求， （3）解：如图：即为所求， ∴此时点的坐标为． 题型十 利用相似三角形测物体的高度问题 【例10】（25-26九年级上·广西贵港·期中）［综合与实践］ 同学们综合利用数学和物理知识可以解决生活中很多实际问题．例如：已知树，和灯柱，如图1所示，在灯柱上有一盏路灯（与重合），树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定物体在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)如图1，若树的高度为4米，其离路灯的距离为6米，两棵树的影长，均为3米，两棵树之间的距离为6米，求树的高度； (2)如图2，建筑物高为50米，建筑物上有一个LED广告牌，合计总高度为60米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在处观测，发现能看见广告牌的底端处，观测者沿着直线向前走了10米到处观测，发现刚好看到广告牌的顶端处．则广告牌的高度为多少米？ (3)以上两个案例是用数学中哪些知识来解决问题的？从以上两个案例中，谈谈你的收获．（写出一条即可） 【答案】(1)树的高度为米 (2)广告牌的高度为米 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列出比例式求出，再根据求出即可； （2）根据求出，再根据求出，进而求出； （3）开放型题目，言之有理即可． 【详解】（1）解：由题意画出图形，如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 答：树的高度为米； （2）如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：米， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴（米）， 答：广告牌的高度为米． 【变式10-1】（25-26九年级上·山西晋城·期中）郭峪古城位于晋城市阳城县东北，建于明崇祯八年，是一座避难自保的防御性城堡，被称为“蜂窝城”，城堡内的一座“豫楼”，被称为“蜂窝柄”．某综合实践小组的同学围绕“景物高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物高度的测量与计算 驱动问题 如何测量“豫楼”的高度 活动过程 方案说明 如图，某一时刻“豫楼”的影长为，小玲站在点D处，她影子的顶端也恰好落在点E处．小玲沿射线行走到点F处，放置一面平面镜（大小忽略不计）后，继续行走到点H处，此时恰好能从平面镜内看到“豫楼”的顶端A 数据测量 ，，，，A，B，C，D，E，F，G，H均在同一竖直平面内，且，，， 计算 … 交流展示 … 请根据以上数据，计算“豫楼”的高度． 【答案】“豫楼”的高度为 【分析】本题考查了“相似三角形的性质与判定”，熟练掌握相似三角形的性质与判定，并计算对应线段的长是解题关键． 将分别放在两个三角形中，根据所给条件得到相似关系，通过相似三角形的对应线段成比例，计算得到答案即可． 【详解】解：，， ． 又， ．                     ．                     ，， ． ．                      ， ． ． 又， ．                     ．                     ，， ． ，， ．                         解得．                         答：“豫楼”的高度为． 【变式10-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量． 方案一：小树投影法 如图1，同学们在路灯旁竖立小树，小树在路灯的照射下形成投影，测得树高为3米，树影为4米，树与路灯的水平距离为5米． 方案二：标杆共线法 如图2，为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆，路灯悬臂与地面平行．同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点共线，此时路灯、标杆顶端和地面上另一点也共线（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时同学们测得点距离点的距离为1.5米，路灯的正下方点距离路灯主杆底端的距离为3米． 请根据以上数据，完成下列计算： (1)利用方案一求路灯的高度； (2)利用方案二求路灯主杆的高度． 【答案】(1)（米） (2)（米） 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”​ 在实际问题中的应用，相似三角形对应边成比例，平行线的性质，解题的关键在于利用相似三角形，相似三角形对应边成比例，列出比例式，求对应边； （1）识别出相似三角形，对应边成比例，列出比例式，计算求得即可； （2）识别出相似三角形，利用高也对应成比例，再根据几组平行，得到等于的边上的高，从而得到，求出，再加上，即可得． 【详解】（1）∵，，， ∴， ，即 ． 答：路灯的高度为米． （2）过点作于． ∵由题意得，， ∴（米），（米）， ∴等于的边上的高， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）． 答：路灯主杆的高度为米． 【变式10-3】（25-26九年级上·山西临汾·期中）《黑神话：悟空》上线之后，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量并制作了下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平直线于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） 计算结果 请你根据上述信息，帮助嘉嘉实践小组求出飞虹塔的大致高度． 【答案】飞虹塔的大致高度为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题可得，，，，设，则，，证明，所以，即，则有，再证明，所以，即，然后求出的值并检验即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题可得：，，，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：飞虹塔的大致高度为． 题型十一 相似三角形的判定和性质的综合问题 【例11】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的直径，点D在上，过点D作的切线，连接，，，，且． (1)求证：； (2)若点E在的延长线上，且，的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．利用切线的性质得到，然后利用平行线的性质证明．接着利用等腰三角形的性质证明，由此即可； （2）过点D作，垂足为H．利用角平分线的性质可以证，接着利用全等三角形的性质得到．设，则，．最后利用勾股定理建立方程模型即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，过点D作，垂足为H． 由（1）可知，平分，且， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 设，则，． 在中，， 在中，． ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【变式11-1】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图①，一张等腰三角形纸片，底边，高．在这张纸片中剪出一个正方形，使其一边在边上，点、分别在边，上，且与交于点． (1)求证：； (2)求正方形的边长； (3)若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，如图②所示，阴影部分为正方体展开图，直接写出该正方体的棱长． 【答案】(1)见解析 (2)正方形的边长为 (3)该正方体的棱长为 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据即可证明； （2）如图设与交于点，首先证明四边形是矩形，设正方形边长为，再利用，得，列出方程即可解决问题； （3）根据矩形和相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即，， 设正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； （3）解：如图， 由题意可得，四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设该正方体的棱长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该正方体的棱长为． 【变式11-2】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，，如果点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为，连接，设运动时间为（），解答下列问题： (1)用含的代数式表示 ， ； (2)设的面积为，当为何值时，取得最大值，的最大值是多少？ (3)如图，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形是菱形时，求的值． 【答案】(1)，； (2)秒，最大值为平方厘米； (3)秒． 【分析】（）由勾股定理求出，再根据题意即可列出代数式； （）过点作于，可证得，得到，由三角形面积可得，根据二次函数性质即可求解； （）连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积， ∴当时，取最大值，最大值是； （3）解：如图，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴当四边形是菱形时，的值为． 【变式11-3】（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值： (3)如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质证出，得出则可得出结论； （2）证明，设，那么，，得出，求出，则可得出答案； （3）由题意画出图形，证明平行四边形为菱形，设，，求出得出，证明.设，那么.求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵过点作、的平行线交于点，交、于点、， ， ， ， ， ， 在平行四边形中，， ， 又， ， ，即， 又∵， ； （2） ∵如图，在平行四边形中， ∴平行四边形为长方形， ， ， 又，且， ， ∴此时有， 设，那么， ∴， ∵， ， ； （3）如图： ， ∴平行四边形为菱形， 设，， ， ， ∴， ， ， ， ， (负根已舍)， ， ， ， ， ， ∴设，则∠， ， ， ∴． 题型十二 相似三角形的判定和性质的新定义型综合问题 【例12】（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“白银线”． (1)如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“白银线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； (2)如图2，在四边形中，，，对角线平分． ①此时对角线是四边形的“白银线”吗?请说明理由； ②若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点E，使，过点E作交于点F，得到，连接、，在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①是四边形的“白银线”，理由见解析；②160 (3)或 【分析】1）在格点中先运用勾股定理求出、、，再分情况求出或，然后根据或的长作图； （2）①先判断出，再证明即可得出结论；②根据，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出的值； （3）先由得出，，再分两种情况，①延长交于点H，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出；②设交于点G，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出． 【详解】（1）解：满足条件的点D，如图1即为所求（画出1个即可）； 由题意得：，，，， ∵四边形是以为“白银线”的四边形； ①当时，或， ∴或， ∴或， ∴或； 故点、即为所求（画出1个即可） ②当时，或， ∴或， ∴或， 解得：或， 故点、即为所求（画出1个即可）； （2）解：①是四边形的“白银线”；理由如下： ∵，对角线平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴对角线是四边形的“白银线”； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，由（2）可知为等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴，， 分以下两种情况： 第一种情况，如图3，延长交于点H， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 第二种情况，如图4，设交于点G， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 综上所述，的长为或． 【变式12-1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1，四边形为“垂中平行四边形”，平分，求证：． (2)如图2，矩形为“垂中平行四边形”，于点，交边于点，若8，求的长． (3)如图3，若四边形为“垂中平行四边形”，且，直接写出和的数量关系． (4)如图4，在中，于点，若，，以为边构造“垂中平行四边形”，使点落在“垂中平行四边形”的边上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所连对角线的垂线经过的中点时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4； (3)； (4)或． 【分析】（1）根据题意得，则，结合角平分线的性质得，有，即即可证明； （2）根据矩形和垂中平行四边形的性质得，则有，有，即可求得； （3）根据垂中平行四边形的定义得，则，有，设，则，求得，，和，则，即可求得； （4）分以下两种情况：当时，此时点与点重合，延长交于点，则为的中点．求得，在中，由勾股定理得，则；当时，则为的中点，得，有，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解： 四边形为“垂中平行四边形”， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：矩形为“垂中平行四边形”， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下， 四边形为“垂中平行四边形”， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：根据题意，分以下两种情况：当时，此时点与点重合， 如图1，延长交于点，则为的中点． ， ， 在中，由勾股定理，得， ． 当时，如图2， 则为的中点． ， ， ． 在中，由勾股定理，得． 综上所述，的长为或． 【变式12-2】（2025·河南周口·一模）感知定义：如果三角形的两个内角α与β满足 ，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用 (1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ，请直接写出它的两个锐角的度数； (2)如图1，在钝角三角形中， 的面积为15，求证： 是“类直角三角形”． (3)如图2，在中， ，在边上是否存在点 D，使得 是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)存在；或 【分析】（1）根据“类直角三角形”的定义和三角形内角和定理，列出方程组，解方程组即可； （2）过点A作于点D，根据三角形面积求出，再根据勾股定理求出，证明，得出，求出，即可证明结论； （3）分两种情况：当时，当时，根据三角形相似的判定和性质，勾股定理，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ， ∴， 解得：， ∴它的两个锐角的度数为，． （2）证明：过点A作于点D，如图所示： ∵的面积为15， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得： ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“类直角三角形”； （3）解：当时， ∵， ∴， 过点D作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上分析可知：或． 【变式12-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线． 【应用】 (1)如图1，中，，，，是上一点，，求证：是的完美分割线； (2)如图2，菱形中，，点是边的中点，点是边上一点，连接交线段于，若是的完美分割线，且，求的长； (3)如图3，矩形中，点是的中点，为射线上的动点，连接并延长交射线于，是射线上一点，，若是的完美分割线，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值为1或或． 【分析】（1）证，得，即可得解； （2）易得是的完美分割线，，进而可得，再证，进而设参建立方程求解即可； （3）由题意分三种情况讨论，画出图形，进而求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴是的完美分割线； （2）解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的完美分割线，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∴； ∴，即； （3）解：①或时，如图， 则四边形是正方形； ∴； ②时，如图： 此时可设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 由，可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ③时，如图， 此时， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为1或或． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）下列线段能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查线段成比例的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．依次对每组的四条线段长度按从小到大顺序排列好，然后分别计算前两项的比值和后两项的比值，如果两个比值相等，则说明四条线段成比例，否则不成比例． 【详解】解：A、，故四条线段不成比例，不符合题意； B、，故四条线段成比例，符合题意； C、，故四条线段不成比例，不符合题意； D、，故四条线段不成比例，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， 由，不能证明，符合题意； 故选：． 3．（20-21九年级上·山西晋城·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 4．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似及相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由与是以点为位似中心的位似图形，可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积比为； 故选B． 5．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，AD是角平分线，BE是中线，，且，垂足为F，G为DC的中点，连接DE，EG．下列结论错误的是（   ） 如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F， A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先运用是角平分线，证明，得，证明，故，结合是中线，G为的中点，得是中位线，故，代入数值整理得，在和中，为公共角，但和，和均不相等，相应边不成比例，故和，即可作答． 【详解】解：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵是中线， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴是中位线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角， 但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似， 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 二、填空题 6．（2025·湖南株洲·模拟预测）已知，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的求值，比例的性质，将已知转化为，再代入，然后约分即可．掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2022·四川成都·三模）如图，在中，是边上的一点，若则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形性质，熟记相似三角形中对应线段成比例是解决问题的关键．由得到相似比，将已知线段长度代入求值即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，解得， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，利用标杆测量楼高，已知，标杆，，，则楼高 ． 【答案】 【分析】根据题意过点A作，垂足为M，交于点N，得出，进而求出的长，进而得出答案． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作，垂足为M，交于点N， 则四边形都是矩形， 故， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，点是的四等分点，点是的三等分点（），则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形相似的判定及性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 求出，，过作交于，根据平行线得出相似，根据相似得出比例式，求出，，推出，即可得出答案． 【详解】解:∵点是的四等分点（），点是的三等分点（）， ∴，， 过作交于Z， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ， 故答案为． 10．（24-25九年级上·河南漯河·期末）矩形中， ，．点在矩形的对角线上，点在边上，满足 ，若 是等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形相似的性质． 根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质计算． 【详解】∵四边形 为矩形，， ∴，， ∴， 当时，， ∵， ∴，即， 解得， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∴， 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知． (1)如果，求a的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． （1）设，然后代入求出k，进而可求出a； （2）设，然后代入化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴设， ∴． 12．（25-26九年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． (1)画出． (2)点E的坐标为______． (3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是位似变换的性质， （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，再由在第一象限确定D、E、F的坐标，描出D、E、F，再顺次连接D、E、F即可； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案； （3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴点E的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出边长． 根据矩形的性质可知，根据两直线平行，内错角相等，可知，根据矩形的四个角都是直角，可知，根据两个角对应相等的三角形相似可证结论成立； 根据，可得：，利用勾股定理可以求出，所以可得，根据比例的性质即可求出的长度． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，是的中点， ， 在中，， ， ， ． 14．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接、，延长交于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用垂径定理得出，利用线段垂直平分线定理得出，利用等腰三角形三线合一性质得出，利用等边对等角得出，等量代换得出，可证，再利用相似三角形的性质即可得证； （2）由，，，得，，由，得，求得，，所以，则，根据相似三角形的性质得，则，由，得，求得． 【详解】（1）证明：连接， ∵直径垂直于弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长是． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，若， ，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据得到，根据平行线分线段成比例得到，根据即可求出的长． 【详解】解：∵ ， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 2．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）在平面直角坐标系中，点，以原点O为中心，将缩小为原来的，缩小后图形与在点O同侧，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．本题中缩放前后图形在位似中心的同侧，因此对应点的坐标的比等于k，由此可解． 【详解】解：以原点O为中心，将缩小为原来的，缩小后图形与在点O同侧， 点的对应点的坐标为，即， 故选A． 3．（2025·广东深圳·三模）如图，在中，对角线与相交于点，是延长线上的一点，连接交于点已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．取的中点，连接，证明，然后由相似三角形的对应边成比例，即可得出答案． 【详解】解：取的中点，连接， 四边形是平行四边形，对角线与相交于点，，， ，，， ，， 点在的延长线上，， ， ， ， ． 故选：C． 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在正方形中，点是的中点，点是上一点，， 点在上， 若， 延长交于点H，若， 则的长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，由相似三角形的判定和性质，勾股定理得到，设，则，，如图所示，过点作于点，则是矩形，在中，，代入计算得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∵点是延长线上一点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，则是矩形， ∴，，则， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， ∴， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，勾股定理等值的综合运用，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是关键． 5．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，过点D作交的延长线于点C，连接交于点O．下列结论中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，可求出，由旋转的性质可得，，，可证明四边形是矩形，得到；可证明，得到，，故①正确；可证明，得到，故②错误；证明，，则可证明，故③正确；由全等三角形的性质可得，设，则，由勾股定理得，则，可得；证明，得到，据此可判断④；由全等三角形的性质可得，则，故⑤正确； 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即，故④正确； ∵， ∴， ∴ ，故⑤正确； 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）若，则 ；若m是5和4的比例中项，则 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，比例中项，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据，通过设法表示，再代入求值即可；根据比例中项的定义得到，再利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， 设， ∴， 故答案为： ∵m是5和4的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在四边形中，平分，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明，然后根据相似三角形的性质得到，再将代入计算，即得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，、两点被池塘隔开，在外取一点，连结、，在上取点，使，作交于点，量得，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例的性质．先由，得出，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 9．（23-24九年级下·全国·期末）如图，在中，，，正方形 的顶点 D，G 分别在边上， 在边 上、则点 C 到 的距离为 ； 的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的性质及应用．解题关键是利用数形结合思想，将几何图形的性质与代数方程结合，逐步推导．利用勾股定理求出直角三角形的另一条直角边长度，通过三角形面积的不同表达方式求出点C到的距离；再通过构造辅助线，利用正方形的性质和相似三角形的对应边成比例关系，建立方程求解正方形的边长． 【详解】解：在中，，由勾股定理， ， ， ， ， 解得， 过点C作于点M，交于点N， 四边形是正方形， ， ，且， ， ， 设，则，， ， 解得， 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则 ． 【答案】2或12或 【分析】此题考查了相似三角形的性质．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键． 分两种情况：与若，再根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：若， ∴，即， 解得或12； ②若， ∴，即， 解得． ∴或12或． 故答案为：2或12或． 三、解答题 11．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，，，且． (1)求的值； (2)若线段，，满足，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查比例性质，熟练掌握比例性质是解答的关键． （1）由已知得到，进而代值求解即可； （2）由已知设，，，然后列方程解得，进而求得a、b、c，最后代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴ ． 12．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，熟练掌握作旋转图形，旋转的性质，作位似图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图求解即可； （2）根据位似的性质作图即可； （3）根据位似图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，即为所求作： （3）解：∵与的位似比为， ∴与的周长比是，面积比是． 故答案为：；． 13．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的外接圆，是的直径，D为外一点，平分，且． (1)求证：； (2)求证：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角平分线的定义得出，再根据即可得出； （2）连接，由相似三角形的性质可得出，然后利用等腰三角形的性质和等量代换得出，从而有，根据平行线的性质即可得出，则结论可证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴与相切． 14．（24-25九年级下·全国·期末）如图1，在中，点为中点，点在上，、交于点，． (1)写出与相等的角：　　　　　． (2)若，求的值． (3)如图2，若，，，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）通过三角形内角和为，等量代换即可得； （2）过点作交于，证，可得，根据相似三角形的判定得，根据相似三角形的性质得出结果， （3），点为中点，得，在直角三角形中，由勾股定理可得结果． 【详解】（1）解：． ． ， 即， 故答案为； （2）过点作交于，如图， ．， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ，即， 设，， 则，， 解得， ， ； （3），点为中点， ， ， 由（2）知， 得， ． 15．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由四边形为矩形，，可得，，结合，即可求解， （2）由已知可得，进而得到，由，可得，通过等量代换，即可求解， （3）作等腰梯形，利用相似三角形的判定和性质得出，，设，用含的代数式，表示出，，，列出等量关系，即可求解， 本题考查了，矩形的性质、平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练应用相似三角形的线段比，进行求解． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：仍然成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， （3）解：在线段上取一点，使得， 则四边形为等腰梯形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为中点，， ， 设，则， ， ，，， ， ，， 过点作，交于点， ∴， ， ， 延长交延长线于带你E，如图所示： ， ， 为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ， ， （舍去），， ． 16．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，的直径垂直于弦于点E，点P是延长线上异于点D的一个动点，连接交于点，连接交于点，连接，． (1)求证：； (2)若， ①若，求CQ的长； ②若，求与x之间的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①；②． 【分析】本题考查了圆的有关性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键根据相似表示出相关线段的长． （1）连接，利用圆周角定理，垂直的意义，通过等量代换得出； （2）①通过证明，可得，即可求解； ②分别求出，，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图，连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ②∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与是等高的三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为． 17．（2025·江苏连云港·二模）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形？ 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张纸（）对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，求证：四边形是类矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握折叠的性质，矩形的性质和判定，新定义类矩形的理解和运用，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质和新定义的运用是解本题的关键． （1）先证明，再证明四边形是矩形，即可得结论； （2）如图2，由折叠得：，先证明四边形是矩形，如图3，设，，则，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示，的长，即可解答； （3）设与交于点，分两种情况：或，①如图4，当时，，根据，，列比例式即可得结论；②如图5，当时，，同理可得结论． 【详解】（1）证明：设，则， 由折叠得，， ，四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， 四边形是类矩形； （2）证明：如图2，由折叠得：， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， 如图3，设，，则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， 四边形是类矩形； （3）设与交于点， 垂直平分， ， 四边形纸片沿折叠，使得点的对应点落在上， ， 同理得：，， 四边形是类矩形， 或， ①如图4，当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图5，当时，， 由①同理得：，， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， ； 综上，的长为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $