第三十三章 相似（必备知识+6大易错+易错训练）（知识清单）数学人教版五四制九年级下册

该初中数学“相似”单元知识清单系统梳理了成比例线段、相似三角形判定与性质、位似等核心内容，构建了从概念定义到判定应用，再到综合易错点分析的递进式学习支架。 清单通过“知识点+易错点”双线结构呈现知识体系，将相似三角形动点多解等5类易错问题分类标注，如强调“分△ABC∽△DEF与△ABC∽△DFE两种情况讨论”，培养学生推理意识与几何直观。配套例题解析与练习题，助力学生自主复习，教师可据此精准突破教学重难点。

第三十三章 相似 【知识点01】成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 【知识点02】比例的性质 1）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 【知识点03】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 【知识点04】相似三角形的相关概念、判定和性质 1）相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3）相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 4）相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 【知识点05】利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 【知识点06】位似及位似作图 1、位似的概念及性质 （1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 （2）相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 （3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 3、图形的变换与坐标 （1）平移：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；②图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。 （2）轴对称:①图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；②图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 （3）以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。 易错点1 相似三角形动点中求时间多解问题易错问题 一、易错点总结 1.忽略相似三角形的对应关系，未分“△ABC∽△DEF”和“△ABC∽△DFE”两种情况讨论，导致漏解。 2.计算时间时未考虑动点运动范围，如超过线段端点仍继续计算，得出无效时间值。 3.误用运动速度，混淆“单向运动”与“往返运动”的速度方向，导致时间计算错误。 二、注意事项总结 1.解题第一步明确动点运动路径和速度，标注线段长度，确定运动时间的取值范围（如t≥0，且动点不超出线段）。 2.遇相似条件先列出所有可能的对应顶点组合，分别列比例式求解，最后验证解是否符合运动范围，排除无效解。 例题1．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当 秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 易错点2 相似三角形动点中求线段长多解问题易错问题 一、易错点总结 1.未分类讨论相似三角形对应顶点，仅按一种对应关系列比例式，漏求线段长。 2.计算时忽略动点位置限制，未判断所求线段长是否符合实际运动场景，得出不合理值。 3.混淆动点运动的“线段”与“直线”背景，误用无限延伸条件算线段长。 二、注意事项总结 1.先明确相似的所有可能对应情况，每种情况列比例式，避免漏解。 2.求出线段长后，结合动点运动范围（如在线段上）验证，排除超出或负数的无效结果。 例题2．（2026·江西·模拟预测）如图，等腰三角形中，，点M是边上一动点，连接，当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），的长为 ． 易错点3 由平行截线求相关线段的长或比值易错问题 一、易错点总结 1. 误用平行线分线段成比例定理，未确认截线是否“同时截两条平行线”，如截线不平行却套用定理，导致比值错。 2. 混淆“分线段成比例”与“分线段相等”，默认截线等分线段，忽略非等分情况。 3. 计算时未找准对应线段，将不对应的线段列入比例式。 二、注意事项总结 1. 先判断是否满足“两平行线被一组直线所截”，确认定理适用条件。 2. 标注线段端点，明确对应关系后列比例式，计算后结合图形验证，避免对应错误。 例题3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，D，E分别是，上的点，连接，交于点F，若，，则的值为 ． 易错点4 相似三角形与几何图形综合易错问题 一、易错点总结 1. 未结合图形特性找相似条件，如在矩形、菱形中忽略隐含的直角、等边关系，漏相似三角形。 2. 误用相似性质，将“对应高比=相似比”错用为“高=相似比×对应高”，计算线段长出错。 3. 忽略图形动态变化（如折叠、旋转）后的相似对应关系，导致比例式列错。 二、注意事项总结 1. 先分析图形固有性质（如直角、对边相等），挖掘隐含相似条件。 2. 列比例式前标注相似三角形对应顶点，结合图形动态状态验证，确保性质应用正确。 例题4．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）新定义：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点E，交于点F，若F为的中点，则是垂中平行四边形，E是垂中点．    (1)如图1，在垂中平行四边形中，E是垂中点．若，，则_____；_____； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，于点，，． ①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 易错点5 相似三角形与圆的综合易错问题 一、易错方法总结（2点） 1. 条件关联混淆：易忽略“圆中隐含条件”与相似三角形判定的结合，如未用“同弧所对圆周角相等”推导角相等，直接套用SSS、SAS判定，导致条件缺失。 2. 比例线段错配：证明相似后，易将对应顶点顺序打乱，如△ABC∽△DEF，却错写为AB/DE = BC/DF，忽略“对应边成比例”需严格匹配对应顶点。 二、注意事项总结（2点） 1. 优先挖掘圆的隐含条件：遇圆与相似结合题，先标记“直径所对圆周角为直角”“切线与半径垂直”等条件，再用这些角或边推导相似所需关系。 2. 验证相似的“双向性”：用AA判定相似后，需反向检查角的对应关系是否唯一，避免因圆的对称性导致相似三角形对应关系误判（如一个角对应多个圆周角时）。 例题5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形是圆内接四边形，连结，交于点，过点作交的延长线于点． 【认识图形】 （1）求证：． （2）求证：． 【探索关系】 （3）当点，关于对称时． ①若，，求的长． ②记，，直接写出关于的函数表达式． 一、单选题 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接，相交于点．若的面积为6，则的面积为（ ） A． B．8 C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，与交于点E，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 3．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在矩形中，是的中点，连接是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠．使点D落在上的点处，当是直角三角形时，的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论： ①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接．若，，则的长为 ． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，点是的延长线上一点，连接，若，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 10．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在菱形中，，，为边上的一点，，为边上的一动点，沿将翻折．点落在点处．当点在菱形的对角线上时，的长度为 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·海南儋州·期中）如图，在中，，，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．设点Q，P移动的时间为t秒，且． (1) ， ，   (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，与相似? 12．（2025九年级上·河北·专题练习）如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为 ： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，是的直径，与的延长线交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 14．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，矩形中，、分别在、上，将四边形沿沿折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：． (2)若P为中点，且，，求长． 15．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是的直径，与边相交于点为的中点，连接，与相交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的半径长． 16．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．在线段上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线、于点E、F，连接．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形总为矩形（点P、Q重合除外）． (1)①t秒后，为______个单位长度； ②求点P运动的速度是多少？ (2)当t为何值时，矩形为正方形？ (3)当t为何值时，矩形的面积为5． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点与点重合时，线段与线段相交于点，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 18．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在中，为直径，为圆上一动点（不与重合），于点G，为上的一动点，延长交的延长线于点，连结． (1)若．求的度数． (2)若，，求的长． (3)如图2，若，，，求的长． 19．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题发现 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：； 问题迁移 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点M、N、P、Q分别在矩形的边、、、上，且，求证：； 问题延伸 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长度． 20．（25-26九年级上·山东济南·期中）四边形和四边形都是正方形． (1)连接，如图1，试猜想与的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，如图2，连接，若， ①求证：； ②求的长． (3)如图3，四边形和四边形都是平行四边形，，，且，，连接，试探究与的数量关系． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十三章 相似 【知识点01】成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 【知识点02】比例的性质 1）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 【知识点03】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 【知识点04】相似三角形的相关概念、判定和性质 1）相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3）相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 4）相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 【知识点05】利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 【知识点06】位似及位似作图 1、位似的概念及性质 （1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 （2）相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 （3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 3、图形的变换与坐标 （1）平移：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；②图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。 （2）轴对称:①图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；②图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 （3）以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。 易错点1 相似三角形动点中求时间多解问题易错问题 一、易错点总结 1.忽略相似三角形的对应关系，未分“△ABC∽△DEF”和“△ABC∽△DFE”两种情况讨论，导致漏解。 2.计算时间时未考虑动点运动范围，如超过线段端点仍继续计算，得出无效时间值。 3.误用运动速度，混淆“单向运动”与“往返运动”的速度方向，导致时间计算错误。 二、注意事项总结 1.解题第一步明确动点运动路径和速度，标注线段长度，确定运动时间的取值范围（如t≥0，且动点不超出线段）。 2.遇相似条件先列出所有可能的对应顶点组合，分别列比例式求解，最后验证解是否符合运动范围，排除无效解。 例题1．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当 秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 易错点2 相似三角形动点中求线段长多解问题易错问题 一、易错点总结 1.未分类讨论相似三角形对应顶点，仅按一种对应关系列比例式，漏求线段长。 2.计算时忽略动点位置限制，未判断所求线段长是否符合实际运动场景，得出不合理值。 3.混淆动点运动的“线段”与“直线”背景，误用无限延伸条件算线段长。 二、注意事项总结 1.先明确相似的所有可能对应情况，每种情况列比例式，避免漏解。 2.求出线段长后，结合动点运动范围（如在线段上）验证，排除超出或负数的无效结果。 例题2．（2026·江西·模拟预测）如图，等腰三角形中，，点M是边上一动点，连接，当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），的长为 ． 【答案】4或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据题意求出等腰三角形底边上的高，然后分三种情况讨论，然后利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：根据题意求出等腰三角形底边上的高. 如图（1），过点A作于点H， ∵， ∴． 根据直角三角形的直角不确定，分情况求解. ①当时，点M与点H重合，此时均为直角三角形，； ②当时，为直角三角形，如图（2）， ， ∴， ∴，即， 解得； ③当时，为直角三角形，如图（3），同理②可得, ； 综上所述，的长为4或或． 故答案为：4或或． 易错点3 由平行截线求相关线段的长或比值易错问题 一、易错点总结 1. 误用平行线分线段成比例定理，未确认截线是否“同时截两条平行线”，如截线不平行却套用定理，导致比值错。 2. 混淆“分线段成比例”与“分线段相等”，默认截线等分线段，忽略非等分情况。 3. 计算时未找准对应线段，将不对应的线段列入比例式。 二、注意事项总结 1. 先判断是否满足“两平行线被一组直线所截”，确认定理适用条件。 2. 标注线段端点，明确对应关系后列比例式，计算后结合图形验证，避免对应错误。 例题3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，D，E分别是，上的点，连接，交于点F，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 故答案为：． 易错点4 相似三角形与几何图形综合易错问题 一、易错点总结 1. 未结合图形特性找相似条件，如在矩形、菱形中忽略隐含的直角、等边关系，漏相似三角形。 2. 误用相似性质，将“对应高比=相似比”错用为“高=相似比×对应高”，计算线段长出错。 3. 忽略图形动态变化（如折叠、旋转）后的相似对应关系，导致比例式列错。 二、注意事项总结 1. 先分析图形固有性质（如直角、对边相等），挖掘隐含相似条件。 2. 列比例式前标注相似三角形对应顶点，结合图形动态状态验证，确保性质应用正确。 例题4．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）新定义：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点E，交于点F，若F为的中点，则是垂中平行四边形，E是垂中点．    (1)如图1，在垂中平行四边形中，E是垂中点．若，，则_____；_____； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，于点，，． ①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)1， (2)．证明见解析 (3)①画图见解析；②的长为或 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得； （2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接； ②根据①中的三种情况讨论： 第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得； 第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得； 第三种情况无交点，不符合题意． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：1；； （2）解：，理由如下： 根据题意，在垂中平行四边形中，，且为的中点， ，； 又， ， ； 设，则， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①第一种情况： 作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形； 延长交于点， ， ， ， ，， ，即， 为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况： 作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接， 故为的中点； 同理可证明：， 则， 则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况： 作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接， 则为的中点， 同理可证明，从而， 故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰三角形； 过P作于H，则， ，， ，， ， ； ，， ， ，即   ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点， 同理可得：是等腰三角形， 连接， ， ， ， ， ； 同理，， ，，， ，即，   ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 易错点5 相似三角形与圆的综合易错问题 一、易错方法总结（2点） 1. 条件关联混淆：易忽略“圆中隐含条件”与相似三角形判定的结合，如未用“同弧所对圆周角相等”推导角相等，直接套用SSS、SAS判定，导致条件缺失。 2. 比例线段错配：证明相似后，易将对应顶点顺序打乱，如△ABC∽△DEF，却错写为AB/DE = BC/DF，忽略“对应边成比例”需严格匹配对应顶点。 二、注意事项总结（2点） 1. 优先挖掘圆的隐含条件：遇圆与相似结合题，先标记“直径所对圆周角为直角”“切线与半径垂直”等条件，再用这些角或边推导相似所需关系。 2. 验证相似的“双向性”：用AA判定相似后，需反向检查角的对应关系是否唯一，避免因圆的对称性导致相似三角形对应关系误判（如一个角对应多个圆周角时）。 例题5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形是圆内接四边形，连结，交于点，过点作交的延长线于点． 【认识图形】 （1）求证：． （2）求证：． 【探索关系】 （3）当点，关于对称时． ①若，，求的长． ②记，，直接写出关于的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了圆周角相等，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定； （1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的性质可得，等量代换即可得证； （2）根据圆内接四边形对角互补，邻补角的定义得出，结合（1）的结论，即可证明； （3）①根据轴对称的性质可得，，证明得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②由①可得，得出，则，设，则，证明得出，则，根据，得出 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴． （2）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴ 又． ∴． （3）①∵点，关于对称，，， ∴， 又∵． ∴ ∴ ∵ ∴ 即，解得：， ∵ ∴ ∴即 解得：； ②由①可得， ∵ ∴ ∴，则 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴即 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 一、单选题 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接，相交于点．若的面积为6，则的面积为（ ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，先根据四边形为平行四边形得到，再利用比例的性质得到，接着证明，然后根据相似三角形的性质得到的面积． 【详解】解：四边形为平行四边形， ∴， ， ， ， ， ， ， ∵的面积为6， ． 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，与交于点E，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由，得，则，由，得． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设点移动的时间为，由题意得，，，然后求出，再分当时，当时两种情况分析即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在矩形中，是的中点，连接是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠．使点D落在上的点处，当是直角三角形时，的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，牢固掌握以上知识点并准确计算是解题的关键．根据矩形的性质和根据勾股定理求得，分两种情况①当时，②当时分类计算即可 【详解】∵四边形是矩形， ， ，E是的中点， ， ∵， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， 由折叠可知，， 设，则， 当时，则， ， ， ， ， ， ， ； 当时，则， ， ， ， ， ， ； 综上所述：当是直角三角形时，的值为或； 故选：． 5．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论： ①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】证明，可得，可判断结论①；由，可判断结论②；由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可推出，可判断结论③；证明，可判断结论④；即可得解． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，故结论①错误； 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴故结论②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，故结论④正确， ∴正确结论的个数是2个． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，掌握正方形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题 6．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．根据题意可推出，证明得到，即，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：与相切于点， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 设，作，交的延长线于点，由，得，由，，，可证明，得，则，由得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设，作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，点是的延长线上一点，连接，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】过点D作，可证明，从而得，，运用勾股定理得，结合，证明，再代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∵， ∴， 则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， 设， ∵， ∴ ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，证明，是解题的关键． 9．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 10．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在菱形中，，，为边上的一点，，为边上的一动点，沿将翻折．点落在点处．当点在菱形的对角线上时，的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及分类讨论等知识，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 分两种情况：①当点在菱形对角线上时，由折叠的性质得出相等的边和角，利用等角对等边及线段的和差即可求解；②当点在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得相等边和角，证明，得出比例线段，可求出答案． 【详解】解：①如图所示，当点位于对角线上时， 由折叠的性质得，，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当点位于对角线上时， 设， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去） 综上，的长度为4或， 故答案为：4或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·海南儋州·期中）如图，在中，，，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．设点Q，P移动的时间为t秒，且． (1) ， ，   (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，与相似? 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是相关知识的灵活运用． （1）由勾股定理求出，再由动点得到，，过点Q作，证明，求出， 最后根据计算即可； （2）①当时，， ②当时，，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意得， ∴， 过点Q作，交于点H， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：①当时，， ∴， ∴， 解得； ②当时，， ∴， ∴， ∴， 当或时，与相似． 12．（2025九年级上·河北·专题练习）如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为 ： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线性质、平行线分线段成比例定理，解题的关键是通过作平行线构造比例关系，利用中线和线段比例求出的值． ①通过作，利用平行线分线段成比例定理和中线性质，结合是中点的条件，推出与的比例关系． ②依据平行线分线段成比例定理和已知的，推导出与的比例关系． 【详解】解：①过点作交于点， 则， 是的中线， ， ，即， 为的中点， ， ，即， ， ， ， 故答案为：； ， ，即， ， ， ， 故答案为：。 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，是的直径，与的延长线交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的性质与判定、垂径定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由是的直径可得，推出∽，即可证明； （2）根据垂径定理可得垂直平分，推出，，利用勾股定理得出，设，在中利用勾股定理列出方程，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ，即， 又， ∴∽，， ， ∴； （2）解：如图，连接， 是的直径，， 平分， 垂直平分， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得，即， ． 14．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，矩形中，、分别在、上，将四边形沿沿折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：． (2)若P为中点，且，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定及性质，解题的关键是利用折叠性质得到相等的角与边，结合相似三角形的判定定理证明相似，并利用相似性质计算线段长度． （1）利用矩形的直角性质与折叠的角相等性质，推导角的等量关系折叠，从而证明三角形相似； （2）先根据折叠与矩形性质设设，则，用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质计算，进而求出． 【详解】（1）证明：∵矩形中，， ∴ 由折叠知，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵P为中点，且， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ 解得． ∴，． ∵， ∴，， ∵， ∴． 15．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是的直径，与边相交于点为的中点，连接，与相交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的半径长． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形两锐角互余求出，再根据为的中点，结合圆周角定理求解即可； （2）连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角可得，设，由直角三角形两锐角互余求出，再根据为的中点，结合圆周角定理求出，即可得证； （3）连接，如图所示，由相似三角形的判定与性质，结合中点定义可得，进而可得，再由含有角的直角三角形性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 为直径， ， ， ， 为的中点， ； （2）证明：连接，如图所示： 为直径， ， 设，则， 为的中点， ； ， ， ， ， ； （3）解：连接，如图所示： 为的中点， ， ， ， ， ，即， 是中点， ， ， 在中，， 在中，，，则， ， 的半径长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、含有角的直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．在线段上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线、于点E、F，连接．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形总为矩形（点P、Q重合除外）． (1)①t秒后，为______个单位长度； ②求点P运动的速度是多少？ (2)当t为何值时，矩形为正方形？ (3)当t为何值时，矩形的面积为5． 【答案】(1)①t；②点P运动的速度是每秒2个单位长度； (2)t为2或4； (3)或或． 【分析】本题考查一次函数的综合，相似三角形的判定及性质，一元二次方程的应用.能根据题意表示相关线段的长度是解决此题的关键． （1）①当秒时，，根据四边形为矩形，点在直线上，即可求解； ②根据直线与坐标轴分别交于点，得出点的坐标，再利用，得出，可知，据此可以求得点P的运动速度． （2）当时，以及当时，矩形为正方形，分别求出即可． （3）根据题意求列出方程即可． 【详解】（1）解：①当秒时，， ∵四边形为矩形，点在直线上， ∴，即， 故答案为：； ②直线与坐标轴分别交于点， 时，，时，， ∵四边形为矩形， ∴， ， ， ∴， ， ， 动点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点做匀速运动， 点运动的速度是每秒2个单位长度； （2）如图1，当时，矩形为正方形， 则，， ， ， 解得：； 如图2，当时，矩形为正方形， ，， ， ， ，解得：； 当或4时，矩形为正方形． （3）如图1，当在点的左边时， ，， ， ， 依题意有 解得，； 如图2，当在点的右边时， ，， ， ， ， ， 当点、其中一点停止运动时，另一点也停止运动， ， 依题意有， 解得（不合题意舍去），； 综上所述，当或或时，矩形的面积为5． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点与点重合时，线段与线段相交于点，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长为； (2)； (3)的长为或． 【分析】（1）由勾股定理求得，根据直角三角形的性质可得，再由三角形中位线定理求得，由翻折的性质得，，求得，再由勾股定理求解即可； （2）根据相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：中，，，， ， 是边上的中线， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ，， 将沿翻折得到， ，， ， 是的中位线， ， ， 设，则， 在中，， ， 即当点是边的中点时，的长为； （2）解：由（1）知， ， 将沿翻折得到， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， （经检验是原方程的根） ； （3）解：①如图，当时， ，， ， ， ， 作于， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图，当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，存在点，使得为直角三角形，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 18．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在中，为直径，为圆上一动点（不与重合），于点G，为上的一动点，延长交的延长线于点，连结． (1)若．求的度数． (2)若，，求的长． (3)如图2，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形对角互补、相似三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角得，再利用同角的余角相等得到；再根据圆内接四边形对角互补得，进而得出，由此即可得出结论； （2）根据等角的补角相等得到，可证明，再利用相似的性质即可求得； （3）连结，，可得，进而可得，设，，，即有，再由垂径定理，得出，根据得到，由此求出，再根据即可求解． 【详解】（1）为直径， ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ∴． （2）四边形为圆的内接四边形， ． ，且由（1）得，． ． 又， ． ∴， ∴，， 又∴， ∴， ． （3）连结，． ∵是直径， ∴， ，， ∴， 设，则，，， ，即， ∴， ∵是直径，， ∴，， ， ， ， ， ，即， 解得：． ，即， 解得． ． 19．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题发现 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：； 问题迁移 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点M、N、P、Q分别在矩形的边、、、上，且，求证：； 问题延伸 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）过点A作，过点D作，通过证明，可得结论； （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作交的延长线于点H，由相似三角形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是正方形． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点A作，过点D作，则，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴由（2）知， ∵， ∴，又， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26九年级上·山东济南·期中）四边形和四边形都是正方形． (1)连接，如图1，试猜想与的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，如图2，连接，若， ①求证：； ②求的长． (3)如图3，四边形和四边形都是平行四边形，，，且，，连接，试探究与的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）①利用正方形和勾股定理，证明出，而，即可证明； ②由相似三角形的性质得出结论即可； （3）连接，过点A作，先求出的长，再证明，再由相似三角形的性质得出结论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ； （2）解：∵正方形， ∴，， ∴，即， ，， ， ∴； ②∵ ， ∵， 故． （3）解：如图，连接，过点A作， ， ∴为等腰直角三角形，， ∴同上可得 ∵， ， ∵平行四边形， ∴， ， ， ， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∵， 则， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴， 即． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $