第01讲 一次方程与方程组（3命题点+14题型+2突破）（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦“一次方程与方程组”专题，覆盖一元一次方程、二元一次方程组及实际应用等中考核心考点，通过知识导航构建网络体系，考点解析分层次通关，命题洞悉结合安徽近3年考情预测题型，配套分层练习实现基础巩固到能力提升，体现复习教学的系统性和针对性。 亮点在于重难突破设计，如二元一次方程组特殊解法、规律探究问题培养学生数学思维，实际应用题融入古代问题等7类题型强化模型意识。分层练习含基础、能力、新趋势三级，配合真题限时训练，助力学生高效提升运算与应用能力，教师可据此精准把控复习节奏，实现短时间内复习效果最大化。

第二章 数与式 第01讲 一次方程与方程组 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 一元一次方程 题型01等式的基本性质 题型02解一元一次方程 题型03 求一元一次方程中的参数 命题点二 二元一次方程组 题型01 二元一次方程的解 题型02 已知二元一次方程组的解求参数 题型03 代入消元法解二元一次方程组 题型04 加减消元法解二元一次方程组 命题点三 一次方程（组）的实际应用 题型01 方案问题 题型02 工程问题 题型03 数字问题 题型04 分配问题 题型05 销售、利润问题 题型06 和差倍分问题 题型07 古代问题 05·重难突破·思维进阶难 6 突破一 二元一次方程组的特殊解法 突破二 一次方程有关的规律探究问题 06·优题精选·练能提分 6 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程 安徽卷 T6 安徽卷 T6 / 理解等式的基本性质，能解一元一次方程。 二元一次方程（组） / 安徽卷 T17 安徽卷 T16 掌握消元法，能解二元一次方程组 能解简单的三元一次方程组[选学]。 一次方程（组）的实际应用 / 安徽卷 T17 安徽卷 T16 利用一次方程求解实际问题。 命题预测 一次方程与方程组这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，一元一次方程的考查主要以应用题形式考查，比较简单；在选择和填空题中考查较少，有时也会以规律探究的形式进行考查；二元一次方程（组）与一元一次方程类似考查方式以列方程解应用题为主要考查方式；总体的考查难度较小. 对于一次方程的复习，需要学生熟练掌握等式的基本性质以及一次方程（组）的解法，列方程解应用题的步骤。 考点一 一元一次方程 1.方程的概念：含有未知数的等式。 2.方程的解：能够使方程两边相等的未知数的值称为方程的解。 3.解方程：求未知数的值的过程称为解方程。 4.等式的基本性质： 基本性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数或式子，所得结果仍相等。 基本性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果仍相等。 5.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数为1的整式方程。 6.解一元一次方程的步骤： （1）去分母：方程两边同时乘以分母的最小公倍数。（注意不要漏乘整数项） （2）去括号：利用乘法分配律，进行去括号。（去括号时，要带上每一项前面的符号，注意符号问题） （3）移项：利用等式的基本性质1，将方程中含有未知数的项移到等号的左边，把不含未知数的项移到等号的右侧。（注意移项时要变号） （4）合并同类项：移项后分别对含有未知数的项与不含未知数的项进行合并同类项； （5）系数化为1：利用等式的两边同时除以未知数的系数。 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2．（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2025·安徽芜湖·三模）如图是由一些火柴棒搭成的图案： (1)摆第①个图案用____根火柴棒，摆第②个图案用____根火柴棒，摆第③个图案用____根火柴棒； (2)按照这种方式摆下去，摆第n个图案用_____根火柴棒； (3)计算一下摆根火柴棒时，是第几个图案？ 4．（2025·安徽淮北·二模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的（如图②）． 当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为__________．（墙体长度单位均为） 【规律应用】 （3）已知需要砌一段长为的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 5．（2025·安徽池州·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子； (1)按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个； (2)按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由． 考点二 二元一次方程（组） 1.二元一次方程的定义：方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.构成二元一次方程的条件： (1)方程中含有两个未知数，即未知数的系数不能为0. (2)含未知数的项的次数是1,而不是未知数的次数是1. (3)二元一次方程是整式方程，即等式的两边必须都是整式(分母中不含有未知数). 3.二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. （1）方程组的各方程中，相同的字母表示同一个量. （2）二元一次方程组不一定由两个二元一次方程构成； （3）二元一次方程组中的各个方程必须是整式。 4.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 5.二元一次方程的解的个数：一般情况下，一个二元一次方程有无数个解. 6.二元一次方程的解的检验 检验一组数是不是某个二元一次方程的解时，可将这组数代入到方程中，若这组数满足该方程(即使方程左右两边相等)，就说这组数是该二元一次方程的解.否则，不是该二元一次方程的解. 7.一元方程的解也叫做方程的根，但是二元方程和方程组的解只能叫解，不能叫根. 8.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 9.二元一次方程组的解的检验 检验一组数是不是某个二元一次方程组的解时，可将这组数代入方程组中的每个方程，只有当这组数满足其中所有的方程时，才能说这组数是此方程组的解. 10.代入消元法解二元一次方程组 （1）消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们就可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多转化为少、逐一解决的思想，叫做消元思想. （2）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法. （3）代入消元法解二元一次方程组的步骤： ①变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数得到方程，变成y=ax+b或x=ay+b的形式； ②代入：将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变为一元一次方程； ③求解：解这个一元一次方程，求出x或y的值； ④回代：将已求出的x或y的值代入方程组中的任意一个方程或y=ax+b或x=ay+b,求出另一个未知数。 ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 11.加减消元法解二元一次方程组 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相等或相反时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法. （1）用加减法解二元一次方程组的步骤 ①变形：将方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式；选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单； ②加减：根据其系数特点将变形后的两个方程相加或相减，得到一元一次方程；尽量避免出现未知数的系数为负数的情况； ③求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值 ④回代：把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值； ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 （2）解二元一次方程组的方法选择： ①当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； ②当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； ③当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； ④当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 1．（2025·安徽芜湖·二模）已知实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·福建南平·三模）二元一次方程组的解为 ． 4．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 5．（2025·广东广州·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 考点二 一次方程（组）的实际应用 1.列方程（组）解应用题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.常见的应用题类型 （1）和差倍分问题：基本量、基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量. （2）行程问题 ①相向问题：寻找相等关系的方法：甲走的路程+乙走的路程=两地距离. ②追及问题：寻找相等关系的方法有两种情况：第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走 的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程十两者相距距离=追者走的路程. ③航行问题 基本量、基本数量关系：路程=速度×时间，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度一水流速度. （3）调配问题：寻找相等关系的方法：抓住劳动力调配后，从甲处人数与乙处人数间的关系去考虑. （4）工程问题、基本数量关系：把总工作量看作单1：工作总量=工作时间×工作效率；相等关系：各部分工作量之和等于1. （5）利润问题：基本量、基本数量关系：利润=售价一成本(进利润价),利润率成本(进价) （6）数字问题 ①寻找等量关系的方法：抓住数字间和新数、原数之间的关系，常需设间接未知数. ②基本量、基本数量关系：设一个两位数的十位上的数字分别为位上的数字和个a和b,则这个两位数可以表示为10a+b. （7）增长率问题：增长量=原有量×增长率原有量=现有量一增长量现有量=原有量×(1+增长率) （8）储蓄问题 ①利息=本金×利率×时间. ②本息和=本金十利息=本金十本金×利率×时间. （9）营销问题： ①利润=售价一进价. ②售价=进价×(1+利润率)100% ③打m折应为：售价×m% 1．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 2．（2023·安徽·中考真题）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元，已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价． 3．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 4．（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 5．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 命题点一 一元一次方程 ►题型01 等式的基本性质 1.利用等式的基本性质2进行变形时，要注意两边同时乘以或除以的数或式子不能为0； 2.利用等式的基本性质进行变形时注意不要漏乘整数项 【典例】（2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽滁州·三模）已知实数x，y，z满足且，则下列结论判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽安庆·一模）设，，为互不相等的实数，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． ►题型02 解一元一次方程 1.在去分母时，不要漏乘整数项； 2.在去分母时，分子是多项式的在去分母后，分子要加括号； 3.在移项时要注意改变符号； 4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 【典例】（2025·安徽淮南·二模）解方程：． 【变式1】（2025·四川乐山·二模）一元一次方程的解是（   ）． A． B．3 C． D．2 【变式2】（2025·浙江杭州·三模）解方程：，则方程的解是 ． ►题型03 求一元一次方程中的参数 已知方程的解求参数时，先把方程的解用参数表示出来，在根据方程解满足的条件列出方程或不等式，即可求出参数的值或参数的取值范围。 【典例】 （2025·安徽宣城·一模）已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是 ． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）若关于的方程的一个根是2，则的值为 ． 【变式2】（2025·贵州贵阳·三模）是关于的一元一次方程的解，则 ． 命题点二 二元一次方程（组） ►题型01 二元一次方程的解 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解； 2.检验一组数是不是某个二元一次方程的解时，可将这组数代入到方程中，若这组数满足该方程(即使方程左右两边相等)，就说这组数是该二元一次方程的解.否则，不是该二元一次方程的解。 【典例】（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）某文具店购买笔记本和钢笔预算元．笔记本5元/本，钢笔元/支，至少买4支钢笔，个笔记本，则购买方式有 种． 【变式2】（2025·广东珠海·三模）已知方程的一个解为，则 ． ►题型02 已知二元一次方程组的解求参数 将二元一次方程组的解代入含参数的方程组中得到一个新的关于参数的二元一次方程组，求解这个方程组，可以求出参数的值。 【典例】（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ． 【变式1】（2025·湖南岳阳·一模）已知是方程组的解，则的值为（  ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【变式2】（2025·江苏盐城·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． ►题型03 代入消元法解二元一次方程组 ①变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数得到方程，变成y=ax+b或x=ay+b的形式； ②代入：将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变为一元一次方程； ③求解：解这个一元一次方程，求出x或y的值； ④回代：将已求出的x或y的值代入方程组中的任意一个方程或y=ax+b或x=ay+b,求出另一个未知数。 ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 【典例】（2025·辽宁·一模）解方程组：． 【变式1】（2025·浙江衢州·二模）由方程组可以得出与的关系是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山西·一模）解方程组． ►题型04 加减消元法解二元一次方程组 ①变形：将方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式；选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单； ②加减：根据其系数特点将变形后的两个方程相加或相减，得到一元一次方程；尽量避免出现未知数的系数为负数的情况； ③求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值 ④回代：把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值； ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 【典例】（2025·四川乐山·二模）解方程组： 【变式1】（2025·河南驻马店·三模）已知与互为相反数，并且，则 ． 【变式2】（2025·浙江杭州·二模）解方程组：． 命题点三 一次方程（组）的实际应用 ►题型01 方案问题 【典例】（2025·安徽淮北·三模）某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，其成本和售价如下表， 型号 成本/（元/件） 售价/（元/件） A 40 70 B 30 50 该手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．分别求这批陶器摆件中A，B两种型号的数量． 【变式1】（2025·安徽宣城·一模）为拓展学生视野，提升学生综合实践能力，某中学组织全校师生开展研学活动，租用甲，乙两种客车15辆，除一辆甲种客车有3个空座位，其余客车全部满座，且总租金为7600元．甲，乙客车的载客量和租金如下表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 400 600 该校一共多少师生参加此次研学活动？ 【变式2】（2025·广东佛山·三模）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台服务器成本（万元） 型号 3 型号 5 公司共有技术人员人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为万元．问和服务器的部署数量各是多少台？ ►题型02 工程问题 基本数量关系：把总工作量看作单1：工作总量=工作时间×工作效率；相等关系：各部分工作量之和等于1 【典例】（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【变式1】（2025·北京通州·一模）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【变式2】（2025·海南·模拟预测）海南某芒果种植基地为推进智慧农业，采用A、B两款无人机协同喷洒生态农药．已知A型无人机每小时可喷洒12公顷，但电池续航为5小时；B型无人机每小时喷洒10公顷，续航可达6小时．某日，A、B两型无人机共同完成一片芒果园的喷洒任务，总作业面积360公顷，且所有无人机累计飞行35小时．问：A、B两款无人机各出动多少架？ ►题型03 数字问题 基本量、基本数量关系：设一个两位数的十位上的数字分别为位上的数字和个a和b,则这个两位数可以表示为10a+b 【典例】（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【变式2】（2025·安徽芜湖·二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． ►题型04 分配问题 【典例】（2025·安徽合肥·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为用于摆放书籍，某校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个．已知每个甲型书架比每个乙型书架低100元，购买2个甲型书架和3个乙型书架共需1300元．求甲、乙两种型号书架的单价． 【变式1】（2025·安徽合肥·一模）某校八年级学生到郊外参加研学活动，已知用 3 辆小客车和 1 辆大客车每次可运送学生 160 人，用 2 辆小客车和 3 辆大客车每次可运送学生 235 人，则每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 【变式2】（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ ►题型05 销售、利润问题 基本量、基本数量关系：利润=售价一成本(进利润价),利润率成本(进价) 【典例】（2025·安徽淮南·二模）为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 【变式1】（2025·安徽淮南·一模）某科技公司主要从事软件工具开发业务，前年在项目运营上收支相抵后，结余200万元．去年公司优化了开发流程，收入比前年增加，支出比前年减少，去年比前年多结余130万元．设该科技公司前年收入为x万元，支出为y万元． (1)请用含x，y的代数式填表： 项目 前年 去年 收入/元 x ______ 支出/元 y ______ (2)列方程组求出x和y的值． 【变式2】（2025·安徽滁州·一模）某村部分青年返乡创业生产销售A，B两种茶叶，去年年初制订的计划是完成总销售利润200万元．经过努力，其中生产销售A种茶叶的利润比原计划增加5%，生产销售B种茶叶的利润比原计划增加15%，实际生产销售的总利润为225万元，他们去年生产销售A，B两种茶叶实际完成的销售利润各多少万元？ ►题型06 和差倍分问题 基本量、基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量 【典例】（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【变式1】（2025·安徽滁州·二模）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元．求A，B两种型号的新能源汽车的单价． 【变式2】（2025·四川泸州·一模）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元． (1)求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？ (2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来． ►题型07 古代问题 【典例】（2025·安徽淮北·三模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 【变式1】（2025·安徽淮北·二模）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，求人数、物价各是多少？ 【变式2】（2025·安徽合肥·二模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，试求黄金、白银每枚各重多少两？ 突破一 二元一次方程组的特殊解法 【典例】（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【变式1】（2025·湖南长沙·三模）已知，满足方程组，则的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知关于的方程组，则代数式 ． 突破二 一次方程有关的规律探究问题 【典例】（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【变式1】（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 1．（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2025·安徽黄山·三模）某同学在某月的日历上圈出了三个数，并求出了它们的和为32，则这三个数在日历中的排位位置可能的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽淮北·三模）某汽车生产企业上半年生产电动和燃油两种类型的汽车若干辆．已知电动汽车的数量比两种汽车总数的一半多11万辆，燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆．设电动汽车为x万辆，燃油汽车为y万辆．根据题意可列出的方程组是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽合肥·二模）某校演讲报告厅的主席台共有7级台阶，上台可以1步登1级，也可以1步登2级，小明同学要登台阶上台演讲，准备5步走完，则： （1）小明同学登上主席台 步登1级， 步登2级； （2）小明同学登上主席台，其中第三步走2级的概率为 ． 一 二 三 四 五 一 二，一 三，一 四，一 五，一 二 一，二 三，二 四，二 五，二 三 一，三 二，三 四，三 五，三 四 一，四 二，四 三，三 五，四 五 一，五 二，五 三，四 四，五 7．（2025·安徽阜阳·一模）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺．问长木多少尺？ 8．（2025·安徽蚌埠·三模）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件．A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 9．（2025·安徽合肥·三模）如图，某礼物盒的上表面为矩形，其中，．小丽打算在该礼物盒上表面贴一个正方形小卡片，要求卡片下边缘到盒子下边缘的距离比卡片上边缘到盒子上边缘的距离长，且卡片右边缘到盒子右边缘的距离等于卡片上边缘到盒子上边缘的距离，同时卡片的面积为礼物盒上表面面积的，则卡片左边缘到盒子左边缘的距离为多少？ 1．（2025·安徽蚌埠·三模）已知三个实数a，b，c满足，，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽滁州·一模）若，，则的值满足（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·一模）【观察思考】 如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花黑色圆点和黄梅花白色圆点，组成“中国结”系列图案． 【发现规律】 根据上述图案的摆放规律填空： （1）第个图案中黄梅花的盆数为______； （2）第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，，第个图案中红梅花的盆数可表示为______； 【解决问题】 （3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍多盆，求的值． 4．（2025·安徽合肥·三模）综合与实践 【实践与操作】 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放，探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则奋进组共用去棋子的数量为25枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚； （2）再探究一般情况，若摆放n层，奋进组共用去棋子的数量为_________枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚（用含有n的式子表示）； 【拓展探究】 若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚． 5．（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 1．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 2．（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 3．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． y 2 x a b 4．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 5．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 6．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 7．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第01讲 一次方程与方程组 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 一元一次方程 题型01等式的基本性质 题型02解一元一次方程 题型03 求一元一次方程中的参数 命题点二 二元一次方程组 题型01 二元一次方程的解 题型02 已知二元一次方程组的解求参数 题型03 代入消元法解二元一次方程组 题型04 加减消元法解二元一次方程组 命题点三 一次方程（组）的实际应用 题型01 方案问题 题型02 工程问题 题型03 数字问题 题型04 分配问题 题型05 销售、利润问题 题型06 和差倍分问题 题型07 古代问题 05·重难突破·思维进阶难 6 突破一 二元一次方程组的特殊解法 突破二 一次方程有关的规律探究问题 06·优题精选·练能提分 6 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程 安徽卷 T6 安徽卷 T6 / 理解等式的基本性质，能解一元一次方程。 二元一次方程（组） / 安徽卷 T17 安徽卷 T16 掌握消元法，能解二元一次方程组 能解简单的三元一次方程组[选学]。 一次方程（组）的实际应用 / 安徽卷 T17 安徽卷 T16 利用一次方程求解实际问题。 命题预测 一次方程与方程组这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，一元一次方程的考查主要以应用题形式考查，比较简单；在选择和填空题中考查较少，有时也会以规律探究的形式进行考查；二元一次方程（组）与一元一次方程类似考查方式以列方程解应用题为主要考查方式；总体的考查难度较小. 对于一次方程的复习，需要学生熟练掌握等式的基本性质以及一次方程（组）的解法，列方程解应用题的步骤。 考点一 一元一次方程 1.方程的概念：含有未知数的等式。 2.方程的解：能够使方程两边相等的未知数的值称为方程的解。 3.解方程：求未知数的值的过程称为解方程。 4.等式的基本性质： 基本性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数或式子，所得结果仍相等。 基本性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果仍相等。 5.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数为1的整式方程。 6.解一元一次方程的步骤： （1）去分母：方程两边同时乘以分母的最小公倍数。（注意不要漏乘整数项） （2）去括号：利用乘法分配律，进行去括号。（去括号时，要带上每一项前面的符号，注意符号问题） （3）移项：利用等式的基本性质1，将方程中含有未知数的项移到等号的左边，把不含未知数的项移到等号的右侧。（注意移项时要变号） （4）合并同类项：移项后分别对含有未知数的项与不含未知数的项进行合并同类项； （5）系数化为1：利用等式的两边同时除以未知数的系数。 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查等式得性质，一元一次方程的运用，解一元二次方程，按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题． 【详解】解：①∵，则等式两边除以，可得，故①正确； ②若，则,解得， ， ，故②错误； ③若，则, ， ，故③正确； ④中只有两个数相等， 当时，有， 解得，， 当时，不合题意， 当时，， ， 当时，得,则， 此时不符合题意， 当时，，此时，不符合题意； 故只能是，故④正确 其中正确的是①③④． 故选：C． 2．（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式的变形计算，等式性质，根据分式的运算，完全平方公式的变形计算，等式性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵，∴， ∴，∴，原选项正确； 、若，由于，， ∵， ∴， ∴， ∴，原选项正确； 、若，∵， ∴，即，原选项正确； 、若，则， ∴， 将代入等式， 左边，右边， 左边右边，原选项错误， 故选：． 3．（2025·安徽芜湖·三模）如图是由一些火柴棒搭成的图案： (1)摆第①个图案用____根火柴棒，摆第②个图案用____根火柴棒，摆第③个图案用____根火柴棒； (2)按照这种方式摆下去，摆第n个图案用_____根火柴棒； (3)计算一下摆根火柴棒时，是第几个图案？ 【答案】(1)5；9；13 (2) (3) 【分析】本题主要考查了规律型图形变化类和一元一次方程求解，准确计算是解题的关键． （1）分别算出前面几个图形中的根数即可； （2）由前面几个图形的过程即可得出规律； （3）根据（2）得出的结果计算即可； 【详解】（1）解：由题可得：第①个图案所用的火柴数：， 第②个图案所用的火柴数：， 第③个图案所用的火柴数：， 故答案为：5；9；13； （2）解：由（1）的方法可得：，，， 第个图案中所用的火柴数为：， 故答案为：； （3）解：根据（2）计算得到的规律可知：得，； 4．（2025·安徽淮北·二模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的（如图②）． 当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为__________．（墙体长度单位均为） 【规律应用】 （3）已知需要砌一段长为的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 【答案】（1）； （2）； （3）需要方砖423块． 【分析】本题主要考查了图形类他规律探索，一元一次方程的应用： （1）观察可知，当竖放n块方砖，就横放块方砖； （2）观察可知，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； （3）根据（2）所求得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）当竖放一块方砖，就横放块方砖； 当竖放2块方砖，就横放块方砖； 当竖放3块方砖，就横放块方砖； 当竖放4块方砖，就横放块方砖； ……， 以此类推，当竖放n块方砖，就横放块方砖； 故答案为：； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为2时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为3时，墙体的长度为； ……； 以此类推，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； 故答案为：． （3）当时， 解得， ∴竖放的方砖总数为105块，横放的方砖总数为（块）， ∴方砖的总数为（块）， 答：需要方砖423块． 5．（2025·安徽池州·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子； (1)按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个； (2)按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)不存在，理由见解析． 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求得到方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论． 【详解】（1）解：第1种化合物的分子模型中，氢原子的个数为： ， 第2种化合物的分子模型中，氢原子的个数为： ， 第3种化合物的分子模型中，氢原子的个数为： ， 第4种化合物的分子模型中，氢原子的个数为： ， ， ∴第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个， 当时， （个）， ∴第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个， 故答案为：，； （2）解：不存在，理由如下： 令， 解得：， ∵为正整数， ∴不存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子． 考点二 二元一次方程（组） 1.二元一次方程的定义：方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.构成二元一次方程的条件： (1)方程中含有两个未知数，即未知数的系数不能为0. (2)含未知数的项的次数是1,而不是未知数的次数是1. (3)二元一次方程是整式方程，即等式的两边必须都是整式(分母中不含有未知数). 3.二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. （1）方程组的各方程中，相同的字母表示同一个量. （2）二元一次方程组不一定由两个二元一次方程构成； （3）二元一次方程组中的各个方程必须是整式。 4.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 5.二元一次方程的解的个数：一般情况下，一个二元一次方程有无数个解. 6.二元一次方程的解的检验 检验一组数是不是某个二元一次方程的解时，可将这组数代入到方程中，若这组数满足该方程(即使方程左右两边相等)，就说这组数是该二元一次方程的解.否则，不是该二元一次方程的解. 7.一元方程的解也叫做方程的根，但是二元方程和方程组的解只能叫解，不能叫根. 8.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 9.二元一次方程组的解的检验 检验一组数是不是某个二元一次方程组的解时，可将这组数代入方程组中的每个方程，只有当这组数满足其中所有的方程时，才能说这组数是此方程组的解. 10.代入消元法解二元一次方程组 （1）消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们就可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多转化为少、逐一解决的思想，叫做消元思想. （2）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法. （3）代入消元法解二元一次方程组的步骤： ①变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数得到方程，变成y=ax+b或x=ay+b的形式； ②代入：将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变为一元一次方程； ③求解：解这个一元一次方程，求出x或y的值； ④回代：将已求出的x或y的值代入方程组中的任意一个方程或y=ax+b或x=ay+b,求出另一个未知数。 ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 11.加减消元法解二元一次方程组 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相等或相反时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法. （1）用加减法解二元一次方程组的步骤 ①变形：将方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式；选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单； ②加减：根据其系数特点将变形后的两个方程相加或相减，得到一元一次方程；尽量避免出现未知数的系数为负数的情况； ③求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值 ④回代：把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值； ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 （2）解二元一次方程组的方法选择： ①当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； ②当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； ③当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； ④当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 1．（2025·安徽芜湖·二模）已知实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式和解不等式，由得到，，然后分别代入和计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ， 综上所述，，， 故选：D． 2．（2025·安徽·模拟预测）若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，根据已知条件结合不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A：由，两式相加，得，即，正确，不符合题意； B：由，两式相加，得，正确，不符合题意； C：由得，代入，可得，即，不能得到，原选项错误，符合题意． D：由得，代入，可得，即，正确，不符合题意； 故选C 3．（2025·福建南平·三模）二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：， ，得， ，得，即， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为 故答案为：． 4．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键． 两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 可得： ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 5．（2025·广东广州·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，二元一次方程组，解题的关键是掌握：是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．先把方程组的两个方程相加得到，则，从而得到，再根据根的判别式的意义得到，则可求出的值，然后计算的值． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴， 即的值为． 故答案为：． 考点二 一次方程（组）的实际应用 1.列方程（组）解应用题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.常见的应用题类型 （1）和差倍分问题：基本量、基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量. （2）行程问题 ①相向问题：寻找相等关系的方法：甲走的路程+乙走的路程=两地距离. ②追及问题：寻找相等关系的方法有两种情况：第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走 的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程十两者相距距离=追者走的路程. ③航行问题 基本量、基本数量关系：路程=速度×时间，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度一水流速度. （3）调配问题：寻找相等关系的方法：抓住劳动力调配后，从甲处人数与乙处人数间的关系去考虑. （4）工程问题、基本数量关系：把总工作量看作单1：工作总量=工作时间×工作效率；相等关系：各部分工作量之和等于1. （5）利润问题：基本量、基本数量关系：利润=售价一成本(进利润价),利润率成本(进价) （6）数字问题 ①寻找等量关系的方法：抓住数字间和新数、原数之间的关系，常需设间接未知数. ②基本量、基本数量关系：设一个两位数的十位上的数字分别为位上的数字和个a和b,则这个两位数可以表示为10a+b. （7）增长率问题：增长量=原有量×增长率原有量=现有量一增长量现有量=原有量×(1+增长率) （8）储蓄问题 ①利息=本金×利率×时间. ②本息和=本金十利息=本金十本金×利率×时间. （9）营销问题： ①利润=售价一进价. ②售价=进价×(1+利润率)100% ③打m折应为：售价×m% 1．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 【答案】农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷， 由题意可得，， 解得， 答：农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷． 2．（2023·安徽·中考真题）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元，已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价． 【答案】调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元 【分析】设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元 3．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯饮料元，每杯饮料元，根据“小丽买了，饮料各1杯，用了元；小明买了3杯饮料和5杯饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯饮料元，每杯饮料8元． 4．（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 【答案】(1)每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；该销售经理的估计正确； (2)解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量等关系，并据此列出方程组，进行求解 （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意可列出方程组， 解得： ∴每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元； 该销售经理的估计正确； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 5．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元”建立方程组求解即可． 【详解】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 由题意得：， 解得：， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 命题点一 一元一次方程 ►题型01 等式的基本性质 1.利用等式的基本性质2进行变形时，要注意两边同时乘以或除以的数或式子不能为0； 2.利用等式的基本性质进行变形时注意不要漏乘整数项 【典例】（2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行解答即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 即， 故选：． 【变式1】（2025·安徽滁州·三模）已知实数x，y，z满足且，则下列结论判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的变形、不等式的性质以及完全平方公式的运用．解题关键在于利用已知等式进行合理变形，将用、表示后，代入不等式得出变量间的大小关系；同时，对于判断与的大小关系，通过对进行配方变形，利用完全平方的非负性来判断．本题给出了关于、、的两个等式和以及的条件．首先通过将用和表示出来，再代入中，得到与的大小关系．然后根据进一步推导与的大小关系，最后通过对进行变形，判断其正负，从而确定各个选项的正误． 【详解】解： ． 又 ，即①． ，故A错误． ，即． ②，故B错误． 由①②，得． ， 必为正数． ，故C正确． ， ，故D错误． 故选C． 【变式2】（2025·安徽安庆·一模）设，，为互不相等的实数，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得，进一步可得，而根据现有条件无法得到A、B、D中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故C选项结论正确，符合题意； 根据现有条件无法证明A、B、D三个选项中的结论， 故选：C． ►题型02 解一元一次方程 1.在去分母时，不要漏乘整数项； 2.在去分母时，分子是多项式的在去分母后，分子要加括号； 3.在移项时要注意改变符号； 4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 【典例】（2025·安徽淮南·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是关键． 【详解】解， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，． 【变式1】（2025·四川乐山·二模）一元一次方程的解是（   ）． A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，通过移项求解一元一次方程即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 故选：B 【变式2】（2025·浙江杭州·三模）解方程：，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程．先去括号，再移项，最后系数化为1即可求解． 【详解】解：∵， ∴去括号，得， 移项，得， 系数化为1，得， 故答案为：1． ►题型03 求一元一次方程中的参数 已知方程的解求参数时，先把方程的解用参数表示出来，在根据方程解满足的条件列出方程或不等式，即可求出参数的值或参数的取值范围。 【典例】 （2025·安徽宣城·一模）已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 先求出方程的解，然后结合解是负数，解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵方程的解是负数， ∴， ∴． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）若关于的方程的一个根是2，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的定义．把一元二次方程的根代入并解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： 的方程的一个根是2， ， 解得， 即的值为． 故答案为：． 【变式2】（2025·贵州贵阳·三模）是关于的一元一次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．将代入中，即可求解． 【详解】解：将代入中，得， ， 故答案为：． 命题点二 二元一次方程（组） ►题型01 二元一次方程的解 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解； 2.检验一组数是不是某个二元一次方程的解时，可将这组数代入到方程中，若这组数满足该方程(即使方程左右两边相等)，就说这组数是该二元一次方程的解.否则，不是该二元一次方程的解。 【典例】（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 直接将代入求解即可． 【详解】解：将代入得： ， 解得：． 故选：B． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）某文具店购买笔记本和钢笔预算元．笔记本5元/本，钢笔元/支，至少买4支钢笔，个笔记本，则购买方式有 种． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，解题关键是列出二元一次方程． 先设可再买笔记本本，钢笔支，再列出二元一次方程，然后求出它的非负整数解即可． 【详解】解：∵至少买4支钢笔，个笔记本， ∴设可再买笔记本本，钢笔支， 则， 解得：， 当时，； 当时，； 当时，； ∴购买方式有3种， 故答案为：3． 【变式2】（2025·广东珠海·三模）已知方程的一个解为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程可得，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵的一个解为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型02 已知二元一次方程组的解求参数 将二元一次方程组的解代入含参数的方程组中得到一个新的关于参数的二元一次方程组，求解这个方程组，可以求出参数的值。 【典例】（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 则的值是． 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南岳阳·一模）已知是方程组的解，则的值为（  ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，解题的关键是掌握方程组解的定义． 将代入方程组即可求的值． 【详解】解：将代入中的②式得： 解得 故选：A． 【变式2】（2025·江苏盐城·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用． 【详解】解：将代入原方程组得， 得：， ∴的值为6． 故答案为：6． ►题型03 代入消元法解二元一次方程组 ①变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数得到方程，变成y=ax+b或x=ay+b的形式； ②代入：将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变为一元一次方程； ③求解：解这个一元一次方程，求出x或y的值； ④回代：将已求出的x或y的值代入方程组中的任意一个方程或y=ax+b或x=ay+b,求出另一个未知数。 ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 【典例】（2025·辽宁·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据代入消元法解答即可． 【详解】解：， 由得， 将代入得：， 解得， 将代入，解得， 这个方程的解为． 【变式1】（2025·浙江衢州·二模）由方程组可以得出与的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过消去参数，将两个方程联立，解出与的关系式即可． 【详解】解：由得， 将代入方程中，得： 整理，得， 故选：C． 【变式2】（2025·山西·一模）解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 运用代入消元法解答即可． 【详解】解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴原方程组的解为． ►题型04 加减消元法解二元一次方程组 ①变形：将方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式；选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单； ②加减：根据其系数特点将变形后的两个方程相加或相减，得到一元一次方程；尽量避免出现未知数的系数为负数的情况； ③求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值 ④回代：把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值； ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 【典例】（2025·四川乐山·二模）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：， 得， 解得， 将代入②，得， ． 【变式1】（2025·河南驻马店·三模）已知与互为相反数，并且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据与互为相反数，得到，跟组成方程组，解方程组求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 联立，解得：， ∴； 故答案为：． 【变式2】（2025·浙江杭州·二模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 故方程组的解为：． 命题点三 一次方程（组）的实际应用 ►题型01 方案问题 【典例】（2025·安徽淮北·三模）某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，其成本和售价如下表， 型号 成本/（元/件） 售价/（元/件） A 40 70 B 30 50 该手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．分别求这批陶器摆件中A，B两种型号的数量． 【答案】50件，30件 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设这批陶器摆件中A型号的数量为x，B型号的数量为y．某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．据此列出方程组，接方程组即可得到答案． 【详解】解：设这批陶器摆件中A型号的数量为x，B型号的数量为y． 由题意可得， 解得． 答：这批陶器摆件中A型号的数量为50件，B型号的数量为30件 【变式1】（2025·安徽宣城·一模）为拓展学生视野，提升学生综合实践能力，某中学组织全校师生开展研学活动，租用甲，乙两种客车15辆，除一辆甲种客车有3个空座位，其余客车全部满座，且总租金为7600元．甲，乙客车的载客量和租金如下表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 400 600 该校一共多少师生参加此次研学活动？ 【答案】该校一共792名师生参加此次研学活动 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用及有理数混合运算的应用，理解题意找到等量关系是解题的关键．设租用甲种客车辆，乙种客车辆，根据题意可得，解答可得到甲种客车和乙种客车的数量，再计算师生人数即可． 【详解】解：设租用甲种客车辆，乙种客车辆， 由题意，得：， 解得， （名）， ∴该校一共792名师生参加此次研学活动． 【变式2】（2025·广东佛山·三模）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台服务器成本（万元） 型号 3 型号 5 公司共有技术人员人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为万元．问和服务器的部署数量各是多少台？ 【答案】服务器的安装数量是8台，服务器的安装数量是6台． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台，根据公司共有技术人员人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为万元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台， 由题意得：， 解得：． 答：服务器的安装数量是8台，服务器的安装数量是6台． ►题型02 工程问题 基本数量关系：把总工作量看作单1：工作总量=工作时间×工作效率；相等关系：各部分工作量之和等于1 【典例】（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 【变式1】（2025·北京通州·一模）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 【变式2】（2025·海南·模拟预测）海南某芒果种植基地为推进智慧农业，采用A、B两款无人机协同喷洒生态农药．已知A型无人机每小时可喷洒12公顷，但电池续航为5小时；B型无人机每小时喷洒10公顷，续航可达6小时．某日，A、B两型无人机共同完成一片芒果园的喷洒任务，总作业面积360公顷，且所有无人机累计飞行35小时．问：A、B两款无人机各出动多少架？ 【答案】型无人机出动架，型无人机出动架 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设型无人机出动架，型无人机出动架，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设型无人机出动架，型无人机出动架， 由题意可得：， 解得：， ∴型无人机出动架，型无人机出动架． ►题型03 数字问题 基本量、基本数量关系：设一个两位数的十位上的数字分别为位上的数字和个a和b,则这个两位数可以表示为10a+b 【典例】（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为，第三行中间数字为，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可． 【详解】解：如图，根据题意，可得 第二行的数字之和为：， 可知第三行左边的数字为：， 第一行中间的数字为：， 第三行中间数字为， 第三行右边数字为：， 再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为： 解得， 故答案为：6 【变式2】（2025·安徽芜湖·二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【答案】 【分析】题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出百位数，设个位数字为，十位数字为，由题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：依题意，百位数为，设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴这个三位数为． ►题型04 分配问题 【典例】（2025·安徽合肥·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为用于摆放书籍，某校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个．已知每个甲型书架比每个乙型书架低100元，购买2个甲型书架和3个乙型书架共需1300元．求甲、乙两种型号书架的单价． 【答案】甲型书架的单价为200元，乙型书架的单价为300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组并求解． 设甲型书架单价为x元，乙型书架单价为元；根据“每个甲型书架比每个乙型书架低元”可得根据“购买2个甲型书架和3个乙型书架共需元”可得联立两个方程组成方程组，解方程组即可得到两种型号书架的单价． 【详解】解：设甲型书架的单价为x元，乙型书架的单价为y元． 根据题意，可列方程组： 由第一个方程可得：． 将代入第二个方程：，解得 把代入得． 答：甲型书架的单价为元，乙型书架的单价为元． 【变式1】（2025·安徽合肥·一模）某校八年级学生到郊外参加研学活动，已知用 3 辆小客车和 1 辆大客车每次可运送学生 160 人，用 2 辆小客车和 3 辆大客车每次可运送学生 235 人，则每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 【答案】小客车35人，大客车55人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据“用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生160人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生235人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生， 依题意，得     解得： 答：每辆小客车能坐35名学生，每辆大客车能坐55名学生． 【变式2】（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】(1)3辆；116人 (2)36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆 【分析】该题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是理解题意． （1）设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人，根据“若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据调配的车辆既保证每人有座，又保证每车不空座，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人， 根据题意得：， 解得：． 答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人； （2）解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴． 答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆． ►题型05 销售、利润问题 基本量、基本数量关系：利润=售价一成本(进利润价),利润率成本(进价) 【典例】（2025·安徽淮南·二模）为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 【答案】需准备的预算金额为1950元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元，根据“购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元”列二元一次方程组，解方程组求出笔记本和马克杯的单价，再计算预算金额即可． 【详解】解：设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元．根据题意，得 ， 解得， 所以，准备的预算金额（元）． 答：需准备的预算金额为1950元． 【变式1】（2025·安徽淮南·一模）某科技公司主要从事软件工具开发业务，前年在项目运营上收支相抵后，结余200万元．去年公司优化了开发流程，收入比前年增加，支出比前年减少，去年比前年多结余130万元．设该科技公司前年收入为x万元，支出为y万元． (1)请用含x，y的代数式填表： 项目 前年 去年 收入/元 x ______ 支出/元 y ______ (2)列方程组求出x和y的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程组的应用． （1）根据题意列出代数式． （2）根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】（1）解：设该科技公司前年收入为x元，支出为y元， ∵去年收入比前年增加，支出比前年减少 ∴去年收入为：，去年支出为：． （2）解：由题意得 解得． 【变式2】（2025·安徽滁州·一模）某村部分青年返乡创业生产销售A，B两种茶叶，去年年初制订的计划是完成总销售利润200万元．经过努力，其中生产销售A种茶叶的利润比原计划增加5%，生产销售B种茶叶的利润比原计划增加15%，实际生产销售的总利润为225万元，他们去年生产销售A，B两种茶叶实际完成的销售利润各多少万元？ 【答案】他们去年生产销售，两种茶叶实际完成的销售利润分别为万元，万元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，熟练根据题意正确列出等式是解题的关键． 设去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，分别利用“去年年初制订的计划是完成总销售利润万元”和“生产销售种茶叶的利润比原计划增加，生产销售种茶叶的利润比原计划增加，实际生产销售的总利润为万元”进行列式即可． 【详解】解：设去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元， 根据题意得：， 解得：， ∴（万元），（万元）， 答：他们去年生产销售，两种茶叶实际完成的销售利润分别为万元，万元． ►题型06 和差倍分问题 基本量、基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量 【典例】（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【答案】每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨，根据1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨． 【变式1】（2025·安徽滁州·二模）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元．求A，B两种型号的新能源汽车的单价． 【答案】A型号的新能源汽车的单价是20万元，B型号的新能源汽车的单价是36万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A型号的新能源汽车的单价是m万元，B型号的新能源汽车的单价是n万元，根据“购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设A型号的新能源汽车的单价是m万元，B型号的新能源汽车的单价是n万元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型号的新能源汽车的单价是20万元，B型号的新能源汽车的单价是36万元． 【变式2】（2025·四川泸州·一模）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元． (1)求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？ (2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来． 【答案】(1)A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元 (2)答：共有以下3种购买方案：方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵；方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵；方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵． 【分析】本题考查了二元一次方程整数解和二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设未知数，列出方程或方程组； （1）设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，列出方程，再求正整数解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得； 答：A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元． （2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵， 根据题意，得，即， ∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数， ∴或或， 答：共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵． ►题型07 古代问题 【典例】（2025·安徽淮北·三模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 【答案】该店有客房8间，房客63人 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意是解题关键，设该店有客房x间，房客y人，根据每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．列出方程组求解即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人， 根据题意得 ， 解得 ， 答：该店有客房8间，房客63人． 【变式1】（2025·安徽淮北·二模）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，求人数、物价各是多少？ 【答案】合伙人数为7人，物价为53钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：①人数−物品价值，②物品价值人数，据此可列方程组即可解答． 【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱， 根据题意得 解得 答：合伙人数为7人，物价为53钱． 【变式2】（2025·安徽合肥·二模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，试求黄金、白银每枚各重多少两？ 【答案】每枚黄金重两，每枚白银重两。 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量等于11枚白银的重量；②（10枚白银的重量枚黄金的重量）（1枚白银的重量枚黄金的重量）等于13两，根据等量关系列出方程组求解即可． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 由题意得， 解得， 答：每枚黄金重两，每枚白银重两。 突破一 二元一次方程组的特殊解法 【典例】（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值． 通过将方程组的两个方程相加，可以直接求出． 【详解】解： 将①和②相加，得： 化简得：． 故答案为：5． 【变式1】（2025·湖南长沙·三模）已知，满足方程组，则的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，解题关键是利用整体思想求解，不需要计算出的值． 将两式相加先求出的值，再求． 【详解】解：， 由得， ， 故选：B． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知关于的方程组，则代数式 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，结合所求、明确方程组中两个方程中未知数的系数的特征是解题关键； 方程组中的两个方程相加并整理可得，进而可得答案. 【详解】解：方程组中的两个方程相加，可得：， 即， ∴； 故答案：9. 突破二 一次方程有关的规律探究问题 【典例】（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【答案】(1)65； (2)该图形中共有325个黑色小正方形 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，一元一次方程，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有个黑色小正方形． （1）根据题干找到规律即可解答； （2）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：图1中共有个黑色小正方形， 图2中共有个黑色小正方形， 图3中共有个黑色小正方形， 图4中共有个黑色小正方形， 图5中共有个黑色小正方形， 故图n（n为正整数）中共有个黑色小正方形． 故答案为：65；． （2）解：由题意，得图n中共有个小正方形， 则， 解得， ． 答：该图形中共有325个黑色小正方形． 【变式1】（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 【答案】(1)错误，错误 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）根据解分式方程的步骤进行判断即可； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误， 故答案为：错误，错误； （2）解： 经检验，当时，， ∴是分式方程的解． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 1．（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，代入， 得， ∴，故A错误，不符合题意； B．若，则， ∴，故B正确，符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由得不出，故D错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质，实数的性质，根据已知等式，代入各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由，得， 故A选项错误， ， ， ∴，故B选项错误， ，故C选项错误 ， ， ，故D选项正确， 故选：D． 3．（2025·安徽黄山·三模）某同学在某月的日历上圈出了三个数，并求出了它们的和为32，则这三个数在日历中的排位位置可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据、、的位置，用含的代数式表示出、，结合题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：A、由图形可得：，，则， 解得，故A不符合题意； B、由图形可得：，，则， 解得：，故B符合题意； C、由图形可得：，，则， 解得：，故C不符合题意； D、由图形可得：，，则， 解得：，故D不符合题意； 故选：B． 4．（2025·安徽淮北·三模）某汽车生产企业上半年生产电动和燃油两种类型的汽车若干辆．已知电动汽车的数量比两种汽车总数的一半多11万辆，燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆．设电动汽车为x万辆，燃油汽车为y万辆．根据题意可列出的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实际问题与二元一次方程组．分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可． 【详解】解：设电动汽车万辆，燃油汽车万辆， ∵电动汽车的数量比两种汽车总数的一半多11万辆， ∴， ∵燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆， ∴， 联立可得：， 故选：C． 5．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解二元一次方程组，由题意得，，，，则，，联立，，解得，，然后构造一元二次方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴，， 联立解得：，， ∴，， ∴以两实数根分别为，的方程是， 故选：． 6．（2025·安徽合肥·二模）某校演讲报告厅的主席台共有7级台阶，上台可以1步登1级，也可以1步登2级，小明同学要登台阶上台演讲，准备5步走完，则： （1）小明同学登上主席台 步登1级， 步登2级； （2）小明同学登上主席台，其中第三步走2级的概率为 ． 【答案】 3 2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，利用列表法或树状图法求概率： （1）设登上主席台x步登1级，y步登2级，根据“共有7级台阶，准备5步走完”，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，列出表格，可得1步登2级的共有20中情况，其中第三步走2级的有8种，再根据概率公式计算，即可解答． 【详解】解：（1）设登上主席台x步登1级，y步登2级，根据题意得： ， 解得：， 答：有1步登2级有2步，1步登1级有3步； 故答案为：3；2 （2）根据题意，列表如下： 一 二 三 四 五 一 二，一 三，一 四，一 五，一 二 一，二 三，二 四，二 五，二 三 一，三 二，三 四，三 五，三 四 一，四 二，四 三，三 五，四 五 一，五 二，五 三，四 四，五 1步登2级的共有20中情况，其中第三步走2级的有8种， 所以第三步走2级的概率为． 故答案为： 7．（2025·安徽阜阳·一模）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺．问长木多少尺？ 【答案】长木为6.5尺 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据绳子的长度不变，得出关于x的一元一次方程，即为答案． 【详解】解：设长木为x尺，则绳长为尺 依题意得 解这个方程，得 答：长木为6.5尺. 8．（2025·安徽蚌埠·三模）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件．A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 【答案】(1)该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件 (2)该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件，列出一元一次方程，即可解答． （2）分别求出A、B两种文具的利润，再相加，即可解答． 【详解】（1）解：设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据题意得：， 解得：， （件）； 答：该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件． （2）（元）； 答：该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润． 9．（2025·安徽合肥·三模）如图，某礼物盒的上表面为矩形，其中，．小丽打算在该礼物盒上表面贴一个正方形小卡片，要求卡片下边缘到盒子下边缘的距离比卡片上边缘到盒子上边缘的距离长，且卡片右边缘到盒子右边缘的距离等于卡片上边缘到盒子上边缘的距离，同时卡片的面积为礼物盒上表面面积的，则卡片左边缘到盒子左边缘的距离为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解图示，找出数量关系正确列式是关键． 设卡片上边缘到盒子上边缘的距离为，则卡片下边缘到盒子下边缘的距离为，结合题意得到小卡片的边长为，由此得到卡片左边缘到盒子左边缘的距离为，即可求解． 【详解】解：设卡片上边缘到盒子上边缘的距离为，则卡片下边缘到盒子下边缘的距离为， ∵卡片的面积为礼物盒上表面面积的， ∴，且小卡片为正方形， ∴小卡片的边长为， ∴， 解得， ∴卡片上边缘到盒子上边缘的距离为， ∵卡片右边缘到盒子右边缘的距离和卡片上边缘到盒子上边缘的距离相等， ∴卡片左边缘到盒子左边缘的距离为， 答：卡片左边缘到盒子左边缘的距离为． 1．（2025·安徽蚌埠·三模）已知三个实数a，b，c满足，，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查解三元一次方程，互为相反数的应用，根据已知方程判定代数式的值，正确计算是解此题的关键． 由，，下可以得出：，，即a与互为相反数，得出．， 则可判断选项D正确． 【详解】解∶把已知两个式子相减，得， ∴，即a与互为相反数， ∴， ∴， 又 ∴， 故选 D． 2．（2025·安徽滁州·一模）若，，则的值满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式等，根据题意，将，联立，解得与的关系，然后代入，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2025·安徽合肥·一模）【观察思考】 如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花黑色圆点和黄梅花白色圆点，组成“中国结”系列图案． 【发现规律】 根据上述图案的摆放规律填空： （1）第个图案中黄梅花的盆数为______； （2）第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，，第个图案中红梅花的盆数可表示为______； 【解决问题】 （3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍多盆，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现红梅花和黄梅花盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中黄梅花的盆数，发现规律即可解决问题． （2）根据题中所给规律即可解决问题． （3）结合（1）（2）中发现的规律建立关于的等式即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； ， 所以第个图案中黄梅花的盆数为盆． 当时， （盆）， 即第个图案中黄梅花的盆数为盆． 故答案为：． （2）由题知， 因为第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， ， 所以第个图案中红梅花的盆数可表示为盆． 故答案为：． （3）由（1）（2）知， 因为第个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍多盆， 所以， 解得或． 因为为正整数， 所以． 4．（2025·安徽合肥·三模）综合与实践 【实践与操作】 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放，探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则奋进组共用去棋子的数量为25枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚； （2）再探究一般情况，若摆放n层，奋进组共用去棋子的数量为_________枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚（用含有n的式子表示）； 【拓展探究】 若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚． 【答案】观察与思考：（1）15；（2），；拓展探究：一盒棋子的数量为144枚． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，数字类规律探索，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）摆放5层，探究组共用去棋子的数量为枚； （2）令奋进组共用去棋子的数量为：，则，两式子相加即可得到奋进组共用去棋子的数量；探究组共用去棋子的数量为：； （拓展探究）设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层，由题意，得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）探究组共用去棋子的数量为（枚）， 故答案为：15； （2）令奋进组共用去棋子的数量为：， 则， 两式子相加得：， ∴； 探究组共用去棋子的数量为：， 故答案为：，； （拓展探究）设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层， 由题意，得， 解得，（舍去）， 一盒棋子的数量为（枚）， 答：一盒棋子的数量为144枚． 5．（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【答案】任务一：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：m的取值范围是，且m为整数 任务三：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元 【分析】本题主要考查了二次函数的利润问题，结合一元一次不等式求解是解题的关键． 任务一：设A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y；根据题意列二元一次方程组即可解答； 任务二：根据租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人，列不等式求解，结合租车公司最多提供6辆A型客车，即可解答； 任务三：根据租车费用公式计算总费用，利用二次函数的图像与性质解答即可． 【详解】解：任务一：设：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y． 根据题意得 解得 答：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人， 则即 解得 因为租车公司最多提供6辆A型客车， 所以m的取值范围是，且m为整数； 任务三：根据题意得 即 函数图像开口向下，关于对称， 因为 所以当时取最小值 答：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元． 1．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒斗，根据题意列方程解应用题即可． 【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗， ， 解得：， 故答案为：B． 2．（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设原本持金为斤，逐关计算税金并求和，根据已知列方程，然后解方程求得即可． 【详解】解：由题意，第1关收税：，剩余， 第2关收税：，剩余， 第3关收税：，剩余， 第4关收税：，剩余， 第5关收税：， 则五关税金之和为， 根据题意，总税金为1斤，得， 解得 故原本持金为斤， 故选：A． 3．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 4．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 【答案】58 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明，然后分四种情况解答即可． 【详解】解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； ∵已知这五个和只有四个不同的值， ∴不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴，即， ∵ ∴， ∴，即； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即． 故答案为：58． 5．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 6．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 7．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $