天津市静海区第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

静海一中2025-2026第一学期高三数学（12月） 学生学业能力调研试卷 命题人 ：张秀娟 审题人 ：陈中友 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（132分）和第Ⅱ卷提高题（18分）两部分，含3分卷面分，满分共150分。 知 识 与 技 能 学习能力（学法） 内容 集合与逻辑 函数性质 立体几何 三角函数 圆锥曲线 数列 导数 复数与平面向量 数形结合 化归与转化 分数 10 15 25 19 27 25 16 10 ( 40 )7 ( 30 ) 第Ⅰ卷 基础题（共132分） 一、选择题: （每小题5分，共45分） 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设a则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象大致为（　　） A．  B． C．  D．   4. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若且则 B．若则 C．若则 D．若则 6．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在区间上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到． 其中错误结论的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8． 已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（  ） A． B． C． D． 9．木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形是边长为4的正方形，且，均为等边三角形，，，则该木楔的体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：（每小题5分，共30分） 10．设，则的共轭复数为 ． 11．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为 . 12．已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是 ． 13．已知点为圆上一点，则的最大值为 ，求取值范围为 . 14．中，，，，，则 （用，表示），若，，则 . 15．若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 . 三、解答题：(本大题共5小题，共75分) 16．（14分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角B； (2)若，求的值； (3)若，求b的值. 17．（15分）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，N是的中点，M是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点B到平面的距离． 18．（14分）已知焦距为的椭圆过点，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的斜率； (3)求面积的最大值. 19．（14分）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求； (3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和． 第Ⅱ卷 提高题（共15分） 20．（15分）已知函数（e是自然对数的底数）． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时， ①求证：函数存在唯一的极值点； ②在①的条件下，若且，求证： 21.卷面分（3分） 静海一中2025-2026第一学期高三数学（12月） 学生学业能力调研试卷答题纸 学校： 姓名： 班级： 考场： 座号 一、选择题：涂卡（不用做） 二、填空题（每题5分，共30分） 10._________ 11._________ 12._________ 13.____；____ 14.____；___ 15._________ 三、解答题（本大题共5题，共75分） 16．（14分） 17．（15分） 18． （14分） 19． （14分） 20．（15分） 21.卷面分（3分） 答案： 一、选择题: （每小题5分，共45分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B B C B C C C D 2、 填空题：（每小题5分，共30分） 10._________ 11.__4_______ 12._________ 13. __；___ 14.____；__ 15._________ 三、解答题（本大题共5题，共75分） 16.【详解】（1），由正弦定理得，， ， 即， ，， 又，. （2）由已知得， ， ， . （3）由正弦定理，得， 由（1）知，结合，， ，由余弦定理得，，. 17.【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、，故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，. 由题意、、、、、， 则有，，. 设平面的法向量分别为， 则有，取，则、，即， 设平面的法向量分别为， 则有，取，则、，即， 设平面与平面所成角的大小为，则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 故点B到平面的距离为. 18.【详解】（1）由题意得，则， 所以椭圆的方程为，又椭圆过点， 所以，整理得到，解得或（舍），所以椭圆的方程为. （2）由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为. 由，消得，， 设，，则，， ， ， ，， 因为，所以， 即，所以， 即，整理得到，解得. 所以直线的斜率为. （3）由（2）得，所以的中点的纵坐标为， 所以的面积， 当且仅当时，的面积最大值为.    19.【详解】（1）由已知，得，解得， ； （2）记， 所以， ， 作差得： ， ； （3）由（1）得， 则， 所以 . 20.【详解】（1）解：当时，函数，可得 所以，且，所以切线方程为：. （2）解：（i）当时，函数，可得， 令，，则在上单调递减， 由，得，，则， 又由，， 由零点存在性定理可知，存在唯一使，即， 当时，，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递减， 则在处取得极大值，即存在唯一的极值点， （ii）由（i）可知，，即，① 由，且，得， 由，得，，② ②式除以①式，得， 先证， 令，，所以在上单调递减， 所以， 所以时，，则，则，， 要证明，等价于证明， 等价于证明 由，且，有， 法一：设， 可得， 所以在上单调递减，所以 所以，当时，有， 所以， 又由， 得，故成立．证毕 法二：设， 则， ， 得在上单调递减，则， 所以，当时，得， 则，故成立，得证． ( 高三数学（ 1 2月）学生学业能力调研试卷 ) ( 第 3 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $