精品解析：广东深圳市深圳高级中学高中园2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

深圳市高级中学高中园2025-2026学年第二学期期末考试 高二数学试题 命题人：张星江 审题人：陈春根 一、单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】， ，. 故选：C. 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由得或，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由得，即或， 则“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 3. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，是奇函数， . 4. 记为等差数列的前n项和.若，则（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式，等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】 ， 故选：C 5. 把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算. 【详解】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种. 故选：D 【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于基础题. 6. 若随机变量X的分布列为（ ） X 2 3 10 P 0.2 0.2 0.6 则（ ） A. 5 B. 7 C. 13.6 D. 14.6 【答案】C 【解析】 【分析】利用数学期望的计算公式可求，进而利用差公式可求得. 【详解】由题意得， 所以. 故选：C. 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由古典概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由条件概率求出即可. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则，， 由全概率公式可得 ， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：条件概率公式为，全概率公式为. 8. 双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 D. 若点P在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，B，直接代入验证即可；对于C，利用奇偶性的定义即可判断；对于D，利用导数的几何意义结合基本不等式及正切函数的性质即可判断. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，， ， 所以，B错误； 对于C，令，则，且定义域为关于原点对称，所以双曲正弦函数是奇函数； 令，则，且定义域为关于原点对称，所以双曲余弦函数是偶函数，C正确； 对于D，令，则， 设，所以， 又因为，所以，D正确. 故选：B 二、多选题 9. 在的展开式中,下列说法正确的是( ) A. 常数项是 B. 第四项和第六项的系数相等 C. 各项的二项式系数之和为 D. 各项的系数之和为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式定理,的通项公式为,对于A,令进行判断;对于B,令和计算判断即可;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为可进行判断;对于D,令即可进行判断. 【详解】根据二项式定理,的通项公式为, 对于A,常数项为,故A正确; 对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误; 对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确; 对于D,令,各项的系数之和为,故D错误. 故选:AC. 10. 针对时下的“微短剧热”，某文化公司对观众性别和喜欢微短剧是否有关联进行了一次调查，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中，由列联表中的数据计算得，参照附表，则下列结论正确的是（ ） 附表： 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A. 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联” B. 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联” C. 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联” D. 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联” 【答案】AD 【解析】 【分析】利用的观测值，结合独立性检验的思想判断得解. 【详解】依题意，， 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联”，A正确，B错误； 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”，C错误，D正确. 故选：AD 11. 已知为常数，函数有且只有一个极值点，则（ ） A. B. C. 为极大值点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求函数导数，分析导数零点的唯一性确定的取值范围，进而确定极值点的范围、类型及函数数值符号. 【详解】由题意，， 由题意函数有且只有一个极值点， 可得有且仅有一个变号零点，故曲线与直线有且只有一个穿越型交点， 令，则， 易知当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值，且时, 又因为直线恒过原点，如下图所示： 由图可得，，所以正确， 当时，，可知在上单调递减； 当时，即在上单调递增； 故为极小值点，所以错误； 显然，代入，得，正确． 故选： 三、填空题 12. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出二次函数的单调递增区间，再利用集合的包含关系求解. 【详解】函数的单调递增区间是，而在上单调递增， 则，即有，所以的取值范围是. 故答案为： 13. 若，则的展开式中含项的系数为__________. 【答案】-220 【解析】 【详解】因为，所以， 的展开式中含项的系数为. 14. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正常数，污染物的初始含量为______；如果在前消除了10%的污染物，那么污染物减少70%需要花费______小时（精确到）.（参考数据：） 【答案】 ①. ②. 57 【解析】 【分析】①利用特殊值代入法，当时间 时，指数项 ，因此直接得到初始含量为 即可； ②先通过已知条件（前消除10%）建立方程（将指数形式转化为线性形式），解得衰减系数 ，再利用对数运算（换底公式）将自然对数转化为常用对数，结合已知条件计算出时间即可. 【详解】①当 时，，因此初始含量为； ②因为前消除10%，即剩余90%，因此： ，化简得 ， 两边取自然对数：，即 ， 又因为污染物减少70%，即剩余30%，此时 ，代入公式： ，化简得 ， 取自然对数：， 将 代入，得：， 利用换底公式 ，化简为： ， 代入 ： （小时） 故填：； 57. 四、解答题 15. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并证明． （2）求函数的值域． 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性定义判断； （2）确定函数的单调性，由指数函数性质及不等式性质得值域． 【小问1详解】 为奇函数， 证明：∵中， ∴定义域关于原点对称， ∵． ∴， ∴为奇函数． 【小问2详解】 ∵， ，，，， ∴． 16. 已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且． （1）求数列和数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式及等比数列的通项公式即可求解； （2）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时也符合上式， 所以， ，所以. 【小问2详解】 ， 所以， ， 两式相减得， ， 所以. 17. 近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点．某车企通过市场调研，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入（亿元） 经济收益（亿元） （1）的平均数记为，证明： （2）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强．） （3）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入亿元时的经济收益． 参考数据：，． 附：相关系数，线性回归方程的斜率. 【答案】（1）证明见解析 （2），具有较强的线性相关程度． （3）关于的线性回归方程为，预测研发投入亿元时的经济收益为亿元． 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式展开，再根据平均数定义，即，对展开后的式子进行化简，最终推导出目标等式； （2）先计算的均值，再分别求出、与交叉项，代入相关系数公式计算，最后根据与的大小关系判断线性相关程度； （3）利用已求出的交叉项与计算回归系数，再根据求出截距，得到回归方程，最后将代入方程，计算并得到预测的经济收益值． 【小问1详解】 已知，即， ， 所以； 【小问2详解】 ，， ，， ， 又因为， 所以 所以研发投入与经济收益之间具有较强的线性相关性． 【小问3详解】 ，则， 所以关于的线性回归方程为， 将代入线性回归方程，得， 所以预测研发投入亿元时的经济收益为亿元． 18. 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． （1）求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； （2）规定第一次从小明开始， （ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率； （ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； （3）若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）的分布列为： 0 1 2 3 ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型确定基本事件总数与事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”的事件总数，从而得概率； （2）（ⅰ）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为，前4次投掷中小明恰好投掷2次有三种情况：小明，小明，小芳，小芳；小明，小芳，小明，小芳；小明，小芳，小芳，小明，分别计算概率相加即可；（ⅱ）小芳投掷的次数的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率即可得分布列与数学期望； （3）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：1．第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，2．第次由小明投掷，第次由小芳投掷，从而可得相邻两次的概率关系，结合数列的递推关系式即可得结论． 【小问1详解】 设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”，则基本事件总数为36， 事件包含的基本事件有，，，，，，，，，共9个基本事件， 则． 【小问2详解】 由（1）知小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率也为． （ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率为： ； （ⅱ）设游戏的前4次投掷中，小芳投掷的次数为，则可取0，1，2，3， ， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ． 【小问3详解】 若第一次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： 第一种情况：第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为（）； 第二种情况：第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为（）； 由于这两种情况彼此互斥，所以（）， 所以（），且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）令函数，当时，，求的取值范围； （3）设，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）可知当时，在恒成立， 所以（当且仅当时，等号成立）， 当时，， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）对求导，将代入导数得到斜率，代入原函数得到切点坐标，根据直线的点斜式方程即可得到切线方程；（2）写出的表达式，对的取值分类讨论，通过构造新的函数判断的单调性，分析的取值，从而找到符合题意的的取值；（3）通过构造法和（2）中的不等式关系建立联系，利用放缩法即可证明. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则， 所以，， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 ，， 则， 当时，在恒成立，则在上单调递增， 所以，不满足条件； 当时，令，，， 当，即时，， 时，，所以在上单调递减， 所以，满足条件； 当，即时，令，解得， 时，，则，所以在上单调递增， 时，，则，所以在上单调递减， 所以当时，有，不满足条件； 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市高级中学高中园2025-2026学年第二学期期末考试 高二数学试题 命题人：张星江 审题人：陈春根 一、单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 记为等差数列的前n项和.若，则（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 5. 把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 6. 若随机变量X的分布列为（ ） X 2 3 10 P 0.2 0.2 0.6 则（ ） A. 5 B. 7 C. 13.6 D. 14.6 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 D. 若点P在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则 二、多选题 9. 在的展开式中,下列说法正确的是( ) A. 常数项是 B. 第四项和第六项的系数相等 C. 各项的二项式系数之和为 D. 各项的系数之和为 10. 针对时下的“微短剧热”，某文化公司对观众性别和喜欢微短剧是否有关联进行了一次调查，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中，由列联表中的数据计算得，参照附表，则下列结论正确的是（ ） 附表： 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A. 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联” B. 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联” C. 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联” D. 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联” 11. 已知为常数，函数有且只有一个极值点，则（ ） A. B. C. 为极大值点 D. 三、填空题 12. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是________. 13. 若，则的展开式中含项的系数为__________. 14. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正常数，污染物的初始含量为______；如果在前消除了10%的污染物，那么污染物减少70%需要花费______小时（精确到）.（参考数据：） 四、解答题 15. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并证明． （2）求函数的值域． 16. 已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且． （1）求数列和数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 17. 近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点．某车企通过市场调研，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入（亿元） 经济收益（亿元） （1）的平均数记为，证明： （2）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强．） （3）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入亿元时的经济收益． 参考数据：，． 附：相关系数，线性回归方程的斜率. 18. 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． （1）求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； （2）规定第一次从小明开始， （ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率； （ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； （3）若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）令函数，当时，，求的取值范围； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $