精品解析：吉林市长春市名校调研2025--2026学年上学期九年级期末数学试卷

九年级期末检测 数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列函数，属于二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义（形如 ，其中为常数，且）进行判断． 【详解】二次函数必须是整式函数且最高次项为二次， 对于A：，含有分式项 ，不是整式函数，不是二次函数，故A不符合题意； 对于B：，其中a是参数，未指定，若则变为一次函数， 即不一定是二次函数，故B不符合题意； 对于C：，符合形式，且，是二次函数，故C符合题意； 对于D：，是一次函数，不是二次函数，故D不符合题意； 故选：C． 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 某运动员跳高成绩为12米 B. 投掷一枚硬币，正面向上 C. 任意画一个正方形，它轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义（一定条件下一定不会发生的事件），分析各选项即可． 【详解】解：不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件； A．跳高12米超出人类能力和物理极限，一定不会发生，是不可能事件； B．投掷硬币正面向上可能发生，是随机事件； C．正方形一定是轴对称图形，是必然事件； D．射击命中靶心可能发生，是随机事件； 故选：A 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 5. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ， ∵ ∴， 故选：D． 6. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）m． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：这名滑雪运动员的高度下降了米； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键． 7. 已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，根据抛物线解析式，得到抛物线开口向上，对称轴为．再比较各点横坐标到对称轴的距离，结合二次函数性质可知点到对称轴的距离越大其对应的值越大，即可解题． 【详解】解：抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为． 又 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 由于开口向上，距离对称轴越远的点值越大．因此，． 故选C． 8. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（ ） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 1米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，解得（负值舍去） 即， ． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的计算，解题关键是熟记特殊角三角函数值．先求出特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 将抛物线向右平移5个单位长度后，得到的抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握平移规律是解题的关键．根据平移规律：左加右减，进行解题即可． 【详解】解：将抛物线向右平移5个单位长度，得到的新抛物线表达式为 ． 故答案为：． 11. 一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在，则袋子中的黄球有_______个 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率， 首先根据频率得出摸到红球概率为，再设黄球为x，并根据概率公式得出方程，求出解即可． 【详解】解：∵经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为． 设黄球为x个，根据题意，得， 解得． 经检验，是该方程的解， 所以袋子中的黄球有4个． 故答案为：4． 12. 对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据新运算的定义，将，代入公式计算． 【详解】解：由定义，， 所以． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由得，利用余角的性质可得，则有，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④．其中正确的序号是______． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键． 根据二次函数的性质可得，，，可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；由处函数值和可判断结论④． 【详解】解：二次函数开口向下，则， 二次函数对称轴为，则，，， 时，则， 且，故①错误； 由对称性可得二次函数与轴的另一交点为， 由函数图象可得时， ，故②正确； 由函数图象可得时， ， 代入得：，故③错误； 时， ， 代入得：， ， ∴，故④正确； 综上所述②④正确， 故答案为：②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再开平方求解即可得解． 详解】解：， ， ， ， ， ，． 16. 如图，，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由已知条件得到：，．则由“两边及夹角法”证得结论． 【详解】证明： ， ． 又， ，即， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值； （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先将点代入函数解析式求出 b 的值； （2）根据题意得出二次函数表达式，再根据开口方向和对称轴确定当的最值即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得； 【小问2详解】 由（1）得：函数解析式为． 该二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，； 当时，． 故y的取值范围是． 18. 咸阳市博物馆是国家二级博物馆，属国家级旅游景区．如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． （1）甲停放在位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； （2）在图②中以线段为边画，使； （3）在图③中以线段为边画，使面积为3个平方单位． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，解直角三角形的应用，相似三角形的应用． （1）构造的等腰直角三角形即可； （2）在（1）的基础上，与格线交于点，即为所作；得到，推出，即； （3）在（1）的基础上，取格点M、N，连接交于点，则即为所作；因为，由得，所以． 【小问1详解】 解：如图所示， ； 【小问2详解】 解：如图所示， ； 【小问3详解】 解：如图所示， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，直线l与x轴交于点D．点P在该抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当的面积是3时，求点P的坐标． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与几何的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法可求函数解析式，化成顶点式即可得解； （2）由题意易得，，根据三角形的面积，即可得解． 【小问1详解】 解：抛物线经过、两点， ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意可得，， ， ， 解得：， 或． 21. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求该机器人的最高点距地面的高度．（参考数据，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 过点，分别作，，垂足为H，，过点作，垂足为，分别解，，求出，的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】解：过点，分别作，，垂足为H，，过点作，垂足为， 则四边形为矩形，，， 在中，， ． ，，． ． ． ∴点到的高度为． ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 22. 【问题背景】 在四边形中，E是线段上一点，连结，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且． （1）如图①，若四边形为正方形，点F在线段上，则与之间的关系是______； 【类比探究】 （2）如图②，若四边形为矩形，点F在的延长线上，且，．探究线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在（2）的条件下，过点E作交于点M，延长交边于点G，当＝时，直接写出的长． 【答案】（1）， （2）且 （3）2 【解析】 【分析】（1）过点作于点，作于，根据证即可推出结论； （2）过点作于点，作于，证，根据角的关系证垂直，利用线段比例关系求线段与之间的关系即可； （3）当＝时，勾股定理可求，进而求出，证明，利用对应线段成比例得，则可求，利用勾股定理求出，进而可求，则的长可求． 【详解】解：（1）如图，过点作于点，作于， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 故答案为：＝，； （2）答：且，理由如下： 如图，过点作于点，作于， 四边形是矩形， ，， 四边形为矩形， ，， ，， ， ，， ， ， ， ∴， ， 即 ，， ∴ ， ， ； （3）解：当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 23. 如图，已知菱形的边长为13，，于点E，P是边上的一点（点P不与点A和D重合），作射线，在射线上取点M，使，以，为邻边作． （1）______； （2）当点P为的中点时，求点到直线的距离； （3）当点B落在内部时，求的取值范围； （4）当A、B两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在的直线上时，直接写出此时的长． 【答案】（1）12 （2）12 （3） （4）1或 【解析】 【分析】（1）根据，结合勾股定理即可求解； （2）作于点H，设于点G，由为中点，，，得，进而可求，即点到直线的距离是12； （3）点落在上时，此时三点重合；点落在上时，根据勾股定理及平行线分线段成比例得，即可结合图形求出的取值范围； （4）分两种情况：①当点、在直线上时，②当点在直线上时，根据题意画出图形，正确作出辅助线，运用相关知识分别求解即可． 【小问1详解】 解∶∵，于点E， ∴， ， 中，， 即， ， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：作于点H， ∵以，为邻边作， ∴， ∵于点E， ∴设于点G， ∵为中点，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到直线的距离是12； 【小问3详解】 解：点落在上时，如图所示： 此时三点重合； 点落在上时，如图所示： ， 中，，， ， ∴， ， ， 中，， ， ， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：①当点、在直线上时，如图所示， ， ， ∴， ∴， ， ， ； ②当点在直线上时，如图所示， 作，交于， ， ， ， ， ； 综上所述，当、两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在直线上，此时的长为1或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例的性质等，熟知相关性质，准确作出辅助线并能结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1）求这条抛物线的解析式． （2）当时，求的最大值和最小值． （3）点为这条抛物线上的一个动点，点的横坐标为（），以点为中心作正方形，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围． ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）的最大值和最小值分别是、 （3）①；②的值为或或． 【解析】 【分析】（）通过对称轴为直线，列出方程解出的值； （）画出函数图象，通过二次函数的性质求出最大最小值； （）①通过正方形中点的坐标，求出正方形左端点的横坐标，结合正方形内部的点的增减性得到正方形在对称轴的左边，从而求出的取值范围； ②求出正方形左右两边的函数解析式，在求出交点坐标，通过交点的纵坐标之差为列出方程，求出的值． 【小问1详解】 解：∵对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，得，则或， ∴抛物线与轴的交点为，， 令，则， ∴抛物线与轴的交点为， 抛物线如图所示， 当时，， ∵， ∴当时，的最小值为， ∴当时，的最大值为，的最小值为； 【小问3详解】 解：①由题意得，正方形边长为， ∵轴， ∴轴， ∵的横坐标为，且点是正方形的中心，抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小， ∴正方形在直线的左侧，即， 解得：， ∴， ②当时，， 如图，当正方形与抛物线两个交点落在边、上时， 此时则 解得； 如图，当正方形与抛物线两个交点落边、上时， 此时， ∴ 解得， ∴； 如图，当正方形与抛物线两个交点落在边、上时， ， 解得， ∴， 综上所述，m的值为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，二次函数的性质，利用增减性解决最大最小值问题，结合几何图形求出参数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末检测 数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列函数，属于二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 某运动员跳高成绩12米 B. 投掷一枚硬币，正面向上 C. 任意画一个正方形，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 3. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 6. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）m． A. B. C. D. 7. 已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（ ） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 1米 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 将抛物线向右平移5个单位长度后，得到的抛物线的表达式是______． 11. 一个不透明袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在，则袋子中的黄球有_______个 12. 对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则______ ． 13. 如图，在中，，，，，则的长是______． 14. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④．其中正确的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 16. 如图，，且，求证：． 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值； （2）当时，求y的取值范围． 18. 咸阳市博物馆是国家二级博物馆，属国家级旅游景区．如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． （1）甲停放在位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； （2）在图②中以线段为边画，使； （3）在图③中以线段为边画，使面积为3个平方单位． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，直线l与x轴交于点D．点P在该抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当的面积是3时，求点P的坐标． 21. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求该机器人的最高点距地面的高度．（参考数据，，） 22. 【问题背景】 在四边形中，E是线段上一点，连结，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且． （1）如图①，若四边形为正方形，点F在线段上，则与之间的关系是______； 【类比探究】 （2）如图②，若四边形为矩形，点F在的延长线上，且，．探究线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在（2）的条件下，过点E作交于点M，延长交边于点G，当＝时，直接写出的长． 23. 如图，已知菱形边长为13，，于点E，P是边上的一点（点P不与点A和D重合），作射线，在射线上取点M，使，以，为邻边作． （1）______； （2）当点P为中点时，求点到直线的距离； （3）当点B落在内部时，求的取值范围； （4）当A、B两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在的直线上时，直接写出此时的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1）求这条抛物线的解析式． （2）当时，求的最大值和最小值． （3）点为这条抛物线上的一个动点，点的横坐标为（），以点为中心作正方形，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围． ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $