精品解析：湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试题

高三数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的交运算求集合即可. 【详解】由. 故选：A 2. 在中，，则最大的内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角. 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 3. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的通项公式列方程求基本量. 【详解】设公差为，则，解得. 故选：B 4. 在平面直角坐标系中，是不同于原点的两个点，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知结合向量加减、数乘的几何意义，用表示出即可. 【详解】如图，由题意知，因为，所以. 故选：D 5. 若为偶函数，则（ ） A. B. C. 0或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为偶函数，得到方程，求出或，分两种情况，结合诱导公式得到答案. 【详解】若为偶函数，又，则或，解得或， 若，则， 若，则，所以. 故选：A 6. 在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据长方体的性质，以及面面相交的概念，判断截面为五边形时的情况，进而判断结果. 【详解】如图所示， 要使点所在的截面为五边形，则截面与棱相交， 因为是的中点，所以， 因为，， 所以，所以， 在长方体中，，所以， 所以， 同理可得，即， 因为，所以，即，所以， 即实数的取值范围是. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用同角关系化简可得，由条件，结合两角和正弦公式可得，再根据两角差的正弦公式求出结果即可. 【详解】由题意得，即，即， 得，又因为， 所以， 因此. 故选：B. 8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），线段的中点分别为，若，则的斜率为（ ） A. B. -1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线，，，联立抛物线与直线的方程，分别求得，从而得到.由，解得的值，求得的斜率. 【详解】易知，设直线，，， 由，得. 则. 从而， 所以. 由，得，即. 而，代入可得（正根舍去），由，解得， 从而的斜率为. 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】应用赋值法求或系数和判断A、C，由二项式定理求对应项系数判断B，对等式两侧求导，再应用赋值法求系数和判断D. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，由的系数为，故B正确； 对于C，令，则①， 令，则②， ①+②可得，，故C错误； 对于D，对原方程两边求导，有， 令，得，故D正确. 故选：BD 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 两个函数的图象在处的切线互相平行 B. 存在实数，使得 C. 函数在上单调递增 D. 的图象可由的图象绕某个点旋转得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过求导得切线斜率判断A；分析与的单调性求最值，比较最值判断B；构造新函数并分析导函数符号验证C；利用中心对称的代数特征推导对称点，结合旋转性质验证D. 【详解】对于A，求的导数得，故； 求的导数得，故. 两函数的图象在处切线斜率相等，且、， 切线不重合，故切线互相平行，A正确. 对于B，：当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故在处取最小值. ：当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取最大值.因， 故的值始终大于的值，不存在实数使，B错误. 对于C，设， . 当时，，故分子， 即，故在上单调递增，C正确. 对于D，若函数与关于点中心对称， 则对任意，有. ，对应得，；，， 故与的图象关于点对称. 而关于点对称的图形绕其对称中心旋转后会与另一图形重合， 因此的图象可由的图象绕点旋转得到，D正确. 故选：ACD 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，且到的渐近线的距离为2.过点且不与轴重合的直线与的左､右两支分别交于点和点的中点为，坐标原点为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离为，判断A；由三角形三边关系判断B；由双曲线的定义判断C；由双曲线的定义结合勾股定理，求得的面积判断D. 【详解】对于A，由双曲线的焦点到渐近线的距离为，可知，故A正确； 对于B，如图（1），取的中点，连接，可知， 由三角形的三边关系，得，因此，故B正确； 对于C，如图（2），可知是的中位线，因此， 又， 因此，故C正确； 对于D，易知的半焦距，如图（3），设， 因为点在左支上，所以；因为点在右支上，所以. 所以. 因此，连接，可知. 在中，有，解得. 因此，从而的面积为，故D错误. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，且，则__________.. 【答案】2 【解析】 【分析】由已知得，结合复数模的性质求复数的模. 【详解】由，得， 所以，又，故. 故答案为：2 13. 已知正数满足，则__________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式化简计算即得. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为：16 14. 已知集合，甲､乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望__________. 【答案】 【解析】 【分析】设甲､乙两人抽取的子集分别为，法一：确定的所有可能取值，分析对应概率，即可得分布列，进而求期望；法二：对于中的每个元素，定义，从而得到，结合求期望. 【详解】方法一：的所有可能取值为，设甲､乙两人抽取的子集分别为， 因为的子集一共有个，故所有的抽取结果有种， 要得到，先从5个元素中选个公共元素，有种方式， 对于剩余的个元素，每个元素有3种状态： （1）仅在中；（2）仅在中；（3）既不在中，也不在中，故共有种方式， 所以，的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以. 方法二：设甲､乙两人抽取的子集分别为. 对于中的每个元素，定义，则，所以， 对每个有一半子集中含有，另一半子集不含，即， 所以，所以，故. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用的关系求的通项公式； （2）由题设写出的通项公式，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求. 【小问1详解】 当时，，得， 当时，，得，整理得， 所以从开始成公比为3的等比数列，则. 综上，； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 当时，， 则， 两式相减，得， 所以也满足该式， 故. 16. 某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： （1）已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； （2）由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，根据组合知识求解概率； （2）两边取对数，再根据公式求出，，从而，故. 【小问1详解】 由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元， 故所求概率为. 【小问2详解】 ， 由题知，， ， ， ，故. 17. 如图，在正四棱锥中，点在棱上，点在棱上，且. （1）证明：平面； （2）若分别为所在棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接，与交于点，连接，如图所示， 根据正四棱锥的性质可知平面. 所以，又，又平面，所以平面， 又平面，所以. 又，又平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的性质，以及线面垂直的判定定理，证明结果即可. （2）根据求面面夹角的余弦值向量方法，建立空间直角坐标系，求出平面法向量，进而求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接.由（1）知平面，所以. 因为是的中点，是的中点，所以，所以. 又是的中点，所以，从而是正三角形. 如图，以直线分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则. 因为平面， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，因为， 所以， 令，解得，所以平面的一个法向量为. 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）若，求的最大值； （2）证明存在唯一的极大值点，且； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）0； （2）证明：，设， 因为，所以在上单调递减，又，时，， 因此，使得，即，即， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此存在唯一的极大值点， ， 当且仅当时等号成立，得证. （3）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导得，令且，判断导数的区间符号确定单调性，进而求最大值； （2）设，根据零点存在性定理确定零点所在区间，进而判断的符号，求的单调性，再求其极大值点，最后证明； （3）问题化为，讨论、、，再应用导数研究不等式恒成立求参数范围. 【小问1详解】 当时，，则. 易知在上单调递减，且， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此的极大值即最大值，为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，即，因为，所以， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式转化为恒成立，设， 所以， 令，解得，则在上的单调性如下， 在上，单调递增，在上，单调递减， 所以在内有唯一极大值点，即，从而， 当时，不等式转化为恒成立， 令，解得，则在上的单调性如下， 在上，单调递减，在上，单调递增， 所以在内有唯一极小值点，则，从而， 综上，的取值范围是. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点和右顶点分别为，. （1）求的方程. （2）已知过点的直线与交于两点，过点且与垂直的直线与交于两点，在轴的上方，分别为的中点，直线与交于点. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）证明：由（1）知，，由题意知，直线与坐标轴不垂直， 设，直线， 将代入，整理得， ， ， ，同理可得， ， ∴直线，即， ∴直线过定点. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据已知求出椭圆参数值，即可得方程； （2）（i）设，直线，联立椭圆，应用韦达定理及已知求出的坐标，进而写出直线并确定其定点；（ii）连接，设为线段的中点，直线分别与相交于点，连接，进而得到，应用弦长公式、三角形面积公式列方程，再由基本不等式求最小值. 【小问1详解】 设的半焦距为，由题意知， 由椭圆的几何性质知，， ，则， ， ，故的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）如图，连接，设为线段的中点，直线分别与相交于点，连接. 分别为的中点， ，则， ，故. 由（i）知，， 同理可得，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则最大的内角为（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 在平面直角坐标系中，是不同于原点的两个点，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 若为偶函数，则（ ） A. B. C. 0或 D. 6. 在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），线段的中点分别为，若，则的斜率为（ ） A. B. -1 C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 两个函数的图象在处的切线互相平行 B. 存在实数，使得 C. 函数在上单调递增 D. 的图象可由的图象绕某个点旋转得到 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，且到的渐近线的距离为2.过点且不与轴重合的直线与的左､右两支分别交于点和点的中点为，坐标原点为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，且，则__________.. 13. 已知正数满足，则__________. 14. 已知集合，甲､乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： （1）已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； （2）由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 17. 如图，在正四棱锥中，点在棱上，点在棱上，且. （1）证明：平面； （2）若分别为所在棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）若，求的最大值； （2）证明存在唯一的极大值点，且； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点和右顶点分别为，. （1）求的方程. （2）已知过点的直线与交于两点，过点且与垂直的直线与交于两点，在轴的上方，分别为的中点，直线与交于点. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $