专题03 不等式（重点+二级结论+16题型+复习提升）（复习讲义）高一数学苏教版

专题03 不等式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】不等式关系与不等式 1、不等式的概念 用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫作不等式． 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 【考点02】等式与不等式的性质 1、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【考点03】基本不等式 1、基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2、最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 【考点04】一元二次函数、方程和不等式 1、一元二次不等式的相关概念 （1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． （2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） （3）一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形． 2、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写出解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间． 【考点05】其他不等式的解法 1、分式不等式的解法：解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式． 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母． 2、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； （5）写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 3、含绝对值不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式： ①的解集是，如图1． ②的解集是，如图2． ③． ④或． 【二级结论1】基本不等式链 1.基本不等式链：若，则，当且仅当时等号成立，其中分别称为的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数． 这个不等式链揭示了两正数的倒数和、积、和、平方和之间的不等关系，当某一部分为定值时，其余三部分都能取到最值，且都在两数相等时取到．可结合如图的几何意义进行理解． 图形解密 ． ，当且仅当时取等号． 此不等式链常以的形式出现，使用不等式链能使复杂问题简单化． 2.基本不等式链的拓展 三元基本不等式链（近几年高考中有考查哦）：若，则，当且仅当时等号成立． 元基本不等式链（仅供了解）：若为正数，则，当且仅当时等号成立． 【二级结论2】柯西不等式 我们只研究二维代数形式：设均为实数，则，当且仅当时，等号成立． 证明： ，当且仅当时，等号成立，所以． 特别地，当时，即，变形得到以及重要不等式（当且仅当时，等号成立），因此柯西不等式在求最值或证明不等式方面有广泛应用． 拓展1：，当且仅当时，等号成立．如，当且仅当时，等号成立． 拓展2：反向柯西不等式：设均为实数，则，当且仅当时等号成立． 【二级结论3】权方和不等式 设，则，当且仅当时取等号． 证明：两边同乘，得①． 方法一不等式①的左边 右边．当且仅当，即时取等号． 方法二 不等式①可化为． 【二级结论4】一元二次不等式的恒成立问题 根据三个“二次”之间的关系可知：一元二次不等式恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定范围上在x轴上方，一元二次不等式恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定范围上在x轴下方． 1.在上恒成立 如图1所示，一元二次不等式在上恒成立的条件为 一元二次不等式在上恒成立的条件为 如图2所示，一元二次不等式在上恒成立的条件为 一元二次不等式在上恒成立的条件为 注：（1）同理可得：恒成立小于的最小值；恒成立大于的最大值． （2）若二次项含参数，且题目未指明不等式是一元二次不等式，则需分类讨论，如在上恒成立的条件为或 2.在给定范围上恒成立 不等式（或）在给定范围上恒成立，只需函数在该范围上的最小值大于0（或最大值小于0）即可．因此问题转化为利用最值求参数范围，有两种方法： 方法一：求函数在给定范围上的最值，一般涉及二次函数图象的对称轴和给定范围的位置的分类讨论． 方法二：分离参数，一般将不等式化为一端是参数，另一端是关于变量的表达式，依据不等号和的最值求的取值范围．如恒成立大于的最大值，恒成立小于的最小值． 注：特别地，对于，①当时，在时恒成立②当时，在时恒成立 【题型1 不等式的性质及判断】 高妙技法 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 2．【多选】（24-25高一上·江苏苏州·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式的性质判断AB；举反例判断CD. 【详解】根据，则，A正确； 由，又，则，B正确； 当时，，C错误； 当时，，D错误. 故选：AB 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）设，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过举反例可判断A，B，根据不等式的性质或作差法可判断C，D. 【详解】当，时，显然不成立，故A错误； 当时，显然不成立，故B错误； 因为，所以成立，故C正确； 因为，由已知可知，但不能确定的符号，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用特殊值法可判断AD错误，利用作差法计算可得B正确，再由不等式性质可得C错误. 【详解】对于A，当时，可知不成立，故A错误； 对于B，因为，可得； 所以，故B正确； 对于C，由，可得，则，即，故C错误； 对于D，，当时，，故D错误． 故选：B 5．【多选】（24-25高一上·江苏泰州·期末）下列选项正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于A，通过举特例可判断选项正误；对于B，由不等式性质可判断选项正误；对于CD，由做差法结合题意可判断选项正误. 【详解】对于A，取，有，， 则，故A错误； 对于B，由不等式性质可知，若，，则，故B正确； 对于C，，因，则，故，故C正确； 对于D，，因，则， 但无法确定a的符号，故不能比较大小，D错误. 故选：BC. 6．【多选】（24-25高一上·江苏淮安·期末）下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由不等式的性质逐一判断所给命题的真假． 【详解】A中，因为，可得，所以，所以A正确； B中，若，也可以，所以不正确，所以B不正确； C中，， 因为，，而，所以，即，所以C正确； D中，若，当时，则，则错误，所以D不正确． 故选：AC． 【题型2 求代数式的取值范围】 高妙技法 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 7．【多选】（25-26高一上·湖南·期中）已知，，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 8．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据的取值范围求出夫人范围，再结合的取值范围，利用不等式的性质求出的取值范围. 【详解】已知，不等式两边同时乘以得， 再根据，得到. 故答案为： 9．（21-22高一上·河北邯郸·月考）已知且，求4a-2b的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，结合不等式的性质进行求解即可. 【详解】设， 因为， 所以，所以， 故选：B 10．（25-26高一上·河南·期中）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，将目标式表示为，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】依题意，，由，得， 由，得，两式相加得：， 所以的取值范围为. 故答案为： 11．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设，从而求出，从而可得，即可得解. 【详解】由题意设， 则，解得，所以， 因为，， 所以，即， 即的范围是． 故选：C 12．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】用待定系数法求出的表示形式，再根据和的取值范围求出的范围即可. 【详解】设，即，解得. 所以. 因为，. 所以，. 所以. 故答案为：. 13．（24-25高二下·河北邢台·月考）已知实数，满足，，则范围是 【答案】. 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 【题型3 作差法或作商法比较大小】 高妙技法 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 14．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 15．（25-26高一上·河北保定·月考）已知，则M与N的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用作差法比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：C 16．（25-26高一上·湖南·月考）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作差法即可比较大小. 【详解】由题意有， 因为， 所以，， 所以，即． 故选：B 17．【多选】（21-22高一上·江苏镇江·期末）对于实数，，，正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，. 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 【题型4 直接法求最值】 高妙技法 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 18．（2024高二上·广东·学业考试）若,则有（    ） A．最小值6 B．最小值8 C．最大值8 D．最大值3 【答案】A 【分析】由均值不等式计算即可得解. 【详解】由题意，，由均值不等式， 当且仅当，即时等号成立， 故有最小值6. 故选：A 19．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式可得答案. 【详解】因为， 所以， 当且仅当 即时取等号. 故的最小值为8. 故选：D 20．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 故选：C 21．（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当，即，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 【题型5 常规凑配法求最值】 高妙技法 配凑法求解最值应注意的问题 1．配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； 2．代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； 3．拆项、添项应注意检验是否满足利用基本不等式的条件． 22．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】，利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最大值为. 故答案为：. 23．（21-22高二下·山西太原·月考）当时，则函数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得最值. 【详解】由，则，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 即最大值为， 故答案为：. 24．（24-25高一上·全国·周测）已知函数，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】首先将函数构造成能够利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】由题意，，故，根据基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立． 此时函数的最小值为7. 故选：D. 25．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 26．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 【题型6 常数代换法求最值】 高妙技法 通过常数代换法并利用基本不等式求解最值的基本步骤 1．根据已知条件或其变形确定定值(常数)； 2．把确定的定值(常数)变形为1； 3．把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； 4．利用基本不等式求解最值． 27．（24-25高一上·四川泸州·期末）若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式求最值的条件，结合“1”的妙用，即可求解. 【详解】因为正数a，b满足：，即， 所以， 当，且，得时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 28．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 故选：A 29．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 30．（24-25高二下·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】变形，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数x、y满足，故， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故答案为：1 31．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 32．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】12 【分析】利用基本不等式中“1”的应用计算即可求得结果. 【详解】根据题意可知： ； 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值是12. 故答案为：12 【题型7 消元法求最值】 高妙技法 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 33．（2023高三·全国·专题练习）已知，若，则的最小值为 【答案】8 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为，且，所以， 则，当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为8． 故答案为: 34．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 35．（2024高三下·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可. 【详解】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 36．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 【题型8 构造不等式法求最值】 高妙技法 已知条件中含,,的混合结构（也可能含系数）时，常可通过换元法用基本不等式求最值,一般“求谁设谁”，再建立不等式求解. 37．（24-25高一上·河北保定·月考）已知，，．求的最大值（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式和题目条件得到，求出的最大值. 【详解】因为，，由基本不等式得， 故，解得， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：B 38．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知，，且满足，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】先由条件配方，再由基本不等式即可得到. 【详解】因，，，得. 再由，得，所以. 所以的最大值为2. 故答案为：2. 39．（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：由题意得，利用基本不等式得，进而解二次不等式即可求解； 解法2：令得代入得，由即可求解. 【详解】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 40．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式得到，解不等式，求出答案. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 令，则，解得或． 因为，所以（取等号）． 故的取值范围是． 故选：A 【题型9 基本不等式恒成立问题】 高妙技法 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或范围. 41．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 42．（22-23高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，故只需，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出的最小值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点睛：关键是对已知条件等式变形，利用基本不等式的乘“1”法，求出的最小值，从而即可顺利得解. 43．（22-23高一上·重庆·月考）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当， 即时，等号成立． 因不等式恒成立，只需， 因此，故实数的最大值为25． 故选：D 44．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A 45．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 46．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 【题型10 基本不等式的实际应用】 高妙技法 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 47．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 48．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【答案】(1)玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入 (2)该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和 【分析】（1）设玩具的单价为元，根据题意可得，运算求解即可； （2）根据题意整理可得，原题意即为存在，有解，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 49．（25-26高一上·陕西延安·期中）某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 【答案】(1) (2)216000元. 【分析】（1）利用矩形面积公式即可求出总造价函数解析式； （2）利用基本不等式求解最小值即可得解. 【详解】（1）根据题意可得库房左侧面和右侧面的墙面面积之和为， 库房前面和后面的墙面面积之和为， 所以. （2）由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立. 故该库房的最低总造价为216000元. 【题型11 解不含参一元二次不等式】 高妙技法 解一元二次不等式的4个步骤 1．变——把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． 2．判——计算对应方程的判别式． 3．求——求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． 4．写——利用“大于取两边，小于取中间”的方法，写出不等式的解集． 50．（23-24高三上·上海·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】由，得：， 解得：. 故答案为： 51．（25-26高一上·湖南·期末）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先将不等式变形为，再求出变形后的一元二次不等式的解，即可得解. 【详解】原不等式可化为， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选： 52．（20-21高二上·西藏昌都·期末）已知条件，条件，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据已知得、，再由充分、必要性定义确定条件间的关系. 【详解】由，得，即， 由，得，即. 推不出，但能推出， 是的必要不充分条件. 故选：B 53．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据得到的取值范围，再进行判断. 【详解】， 若，则，解得， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 【题型12 解含参一元二次不等式】 高妙技法 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 54．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出方程零点，根据参数范围，判断零点的范围，进而求出不等式的解集. 【详解】当时，， 不等式可化为， 因为，且， 所以，， 所以的解集为， 所以原不等式的解集为，即 故选：C. 55．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行分类讨论即可求解 【详解】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A 56．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由一元二次不等式的求法即可求解； （2）通过，，，，分类讨论即可； （3）通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，可得， 即， 解得或， 即解集为； （2）由不等式 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的值为. 57．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分析可知，恒成立，由可得出关于的不等式，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对、的大小关系进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）对，恒成立，即恒成立， 所以， 整理得，解得，所以实数的取值范围是. （2），即，即， 即，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解原不等式得或； 当，即时，解原不等式得或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 58．（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数，． (1)若，求的解集； (2)解关于x的不等式：． 【答案】(1)R； (2)答案见解析 【分析】（1）时，，由根的判别式得到解集为R； （2）因式分解得到，分，，，和五种情况，得到不等式的解集. 【详解】（1）时，， 令，即，由于， 所以的解集为R； （2），即， 整理得，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不等式化为，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或； 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为或. 【题型13 解分式/高次/绝对值不等式】 高妙技法 分式不等式的解题策略 1．简单分式不等式的解题策略是化成整式不等式，具体步骤如下： 2． 在分式不等式化成整式不等式时不能忽略分母不为0的条件． 高次不等式解题策略 解高次不等式，常用的方法是“穿针引线法”．首先分解因式，判断各个因式的正负，然后根据各个因式分析求解． 绝对值不等式的解法 ①解绝对值不等式，关键在于去绝对值符号，常用方法有零点分段法、平方法、定义法等. ②已知，则等价于;等价于或.若,则上述等价性也成立，这在解决一些含参问题时比较有用. 和型不等式，常利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想. ④绝对值三角不等式：. 59．（25-26高一上·贵州遵义·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由分式不等式小于0得出分子、分母异号，进而把分式不等式转化为整式不等式，解不等式求解集． 【详解】，分式的分子、分母异号，即，解得， 不等式的解集为，故C正确． 故选：C． 60．（25-26高一上·广东湛江·月考）不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求得. 【详解】依题意，不等式等价于，即， 解得，或，所以原不等式的解集为或. 故选： 61．（25-26高一上·河北邢台·月考）已知集合，，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】先利用分式不等式的解法以及指数函数的单调性化简集合，再求交集，根据二级结论求出子集个数. 【详解】，即，等价于且，得， 故； ，得，故， 故，其子集个数为. 故选：C 62．（2025·江西宜春·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件对不等式进行求解，再根据集合交集的性质即可判断选项. 【详解】由解得，结合得， 由解得或，所以 所以. 故选：A 63．（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可求解. 【详解】， ，则． 故选：B． 64．（25-26高一上·广东深圳·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对因式分解，最后分类讨论即可求解. 【详解】由， 所以， 所以或， 解得：或， 解得：或或. 故选：A. 65．（25-26高一上·天津滨海新·月考）不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按的正负分类讨论，利用一元二次不等式的解法再结合集合的运算法则可得答案. 【详解】按的正负分类可得： 或， 得：或或， 解得：或或. 故选：A 66．（安徽省A10联盟2025-2026学年高一上学期12月学情检测数学试题（人教A版））已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数型复合函数定义域、绝对值不等式的求法可分别求得集合，由交集定义可得结果. 【详解】， ， ，即. 故选：B. 67．（25-26高一上·广东·月考）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解绝对值不等式求得集合，再利用交集运算求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，又， 所以. 故选：C. 【题型14 三个“二次”的关系应用】 高妙技法 1．一元二次方程的根就是相应的一元二次函数的零点，也是相应的一元二次不等式解集的端点值． 2．如果给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应的二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用根与系数的关系求待定系数． 68．（25-26高一上·贵州黔东南·月考）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解集是得，利用韦达定理得，进而解分式不等式即可求解. 【详解】由不等式的解集是，所以， 且是方程的两个根， 所以，所以， 所以，所以，又， 所以，解得， 所以不等式的解集为， 故选：B. 69．（25-26高一上·江苏·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 70．（25-26高一上·江苏·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用韦达定理可得出、与的等量的关系，可判断C选项；利用一次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意得关于的不等式的解集为， 则，故A错误； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为， 即，解得或， 因此不等式的解集为或，故B错误； 对于C选项，由题意得，故C错误； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此不等式的解集为，故D正确. 故选：D. 71．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，且是方程的两根，由韦达定理得，代入 中，因式分解即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且是方程的两根， 由韦达定理得，即. 所以不等式可化为即， ，则， 所以不等式的解集为. 故选：A 72．【多选】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知二次函数，若关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．的增区间为 【答案】BC 【分析】利用三个二次间的关系，结合韦达定理，得到的关系，再分析求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是或 所以和是方程的两个根，且 ，选项A错误; 所以 ，所以 ，选项B正确; 不等式 可化为，解得，选项C正确； 因为二次函数中开口朝下，对称轴为，的增区间为，选项D错误. 故选：BC 73．【多选】（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．mn的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】选项A，的解集为，利用根与系数的关系，通过计算得到；选项B，由利用基本不等式得到；选项C，由解得，代入，整理后利用1的妙用求解；选项D，将，变形为，利用1的妙用求解即可. 【详解】选项A，的解集为， ，，， 故选项A错误； 选项B，，，当且仅当时取等号， 即，解得，，故选项B正确； 选项C，，， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为4，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 解方程组，解得， 的最小值为，故选项D正确. 故选：BCD. 74．（25-26高一上·江苏·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数的取值范围. 【详解】不等式可化为， 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得； 当时，原不等式等价于， 其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 75．（25-26高一上·全国·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意得，根据的范围，分类讨论，求出不等式的解集，再结合已知列出不等式求解得答案. 【详解】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D 【题型15 一元二次不等式恒成立问题】 高妙技法 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 76．【多选】（25-26高一上·江苏南京·月考）使得命题“，”为真命题的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题可得命题为真命题时得到不等式组，可得，即可求解. 【详解】由题可得命题“，”为真命题时， 则得，解得， 所以其充分不必要条件可以是、、，故A、C、D正确. 故选:ACD. 77．【多选】（25-26高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出命题“，”为真命题的充要条件是，判断各选项是否是的真子集，进而判断是不是充分不必要条件. 【详解】当时，，恒成立； 当时，“，”等价于，解得. 命题“，”为真命题的充要条件是. 因为，，是的真子集， 所以，，均是命题“，”为真命题的充分不必要条件. 故选：ABD. 78．（25-26高一上·江苏·期中）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 79．【多选】（25-26高一上·江苏扬州·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的可能取值为（   ）． A．7 B．5 C．3 D． 【答案】BCD 【分析】先进行参数分离，再用基本不等式求最小值，进而可得. 【详解】由，且，所以， 则问题转化为对于恒成立. 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为， 结合选项可知A错误，BCD正确. 故选：BCD． 80．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，且，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 81．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设：关于的不等式对一切恒成立，：指数函数（且）在上单调递减，那么是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要性、充分性的定义，结合一元二次不等式的解集性质、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】对于来说， 若，则有，显然成立， 若，要想关于的不等式对一切恒成立， 只需， 综上所述，的取值范围为； 因为指数函数（且）在上单调递减， 所以有，则的取值范围为， 显然， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 【题型16 一元二次不等式的实际应用】 高妙技法 一元二次不等式实际应用解题策略：先建模，设变量，根据题意列不等式；再求解，求对应方程根，结合二次函数图象定解集；最后检验，根据实际意义取舍解，确保符合情境。 82．（25-26高一上·江苏·期中）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．5元 【答案】C 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】设每株多肉植物的售价为元，则每天销量为株， 每天的销售额为， ，即，解得， 每株这种多肉植物的最低售价为元，故C正确． 故选：C． 83．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【分析】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 84．（24-25高一上·河南驻马店·月考）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 85．（24-25高一上·江苏苏州·期中）常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（   ） A．48元 B．49元 C．51元 D．50元 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式求解即可. 【详解】根据题意可得，整理得， 解得，又，所以，该店铺的“叫花鸡”每只定价应为. 故选：D. 86．（23-24高一上·陕西·月考）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【答案】C 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 元. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元， 所以， 即，解得.因为且，所以， 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选：C. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由题可得不等式解集. 【详解】或，则得或. 则解集为或. 故选：B 2．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】先将变为，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以． 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7． 故选：A 3．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，列不等式解得结果. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是. 故选：B. 4．（25-26高一上·天津滨海新·月考）下列说法正确的是（    ） ①不等式的解集为． ②若，则函数的最小值为2 ③不等式的解集是． ④当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．③④ 【答案】D 【分析】对于①：解一元二次不等式即可；对于②：由基本不等式等号取不到即可判断；对于③：解绝对值不等式即可；对于④：分与讨论即可求解. 【详解】对于①：由可解得或，故①错误； 对于②：由基本不等式可知，当且仅当时，即时，等号成立，显然不可能，故②错误； 对于③：解，即解，可解得，故③正确； 对于④：若，即恒成立，满足题意；若，则须满足，解得.综上所述，，故④正确. 故选：D. 5．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】，根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】，且， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：. 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】整理题干中的等式，根据基本不等式中隐藏“1”的解题方法，可得答案. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：B. 7．（24-25高一上·江苏盐城·期末）若实数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 所以， 解得，当且仅当时，即时等号成立， 此时取最小值为. 故选：C. 8．（25-26高三上·河南·月考）已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将用表示出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，而， 则 ， 当且仅当，时取等号， 由，解得， 所以当时，的最小值为. 故选：C 9．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可. 【详解】，，且a，b为正数， 当且仅当，即时， 若不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， ， ， 故选：D 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（    ） A． B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理得，再利用重要不等式即可求的最大值，进而得周长的最大值. 【详解】设直角三角形两直角边长为，斜边长为，则. 因为，即， 所以，即，当且仅当时等号成立， 又，则， 所以该直角三角形的周长，即这个直角三角形周长的最大值等于. 故选：C. 二、多选题 11．（24-25高一上·江苏镇江·期末）下列不等式成立的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当，则，故A错误， 对于B，若，则，故B正确， 对于C，若，则，故，故C错误， 对于D，，由于，故，因此，故，D正确， 故选：BD 12．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知x，y都为正数，且2x＋y＝4，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为2 B．4x2＋y2的最小值为8 C．＋的最小值为8 D．＋的最大值为 【答案】AB 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为x>0，y>0，2x＋y＝4，所以，即xy≤2， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故A正确； 4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝16－4xy≥8，当且仅当2x＝y＝2时取等号，故B正确； ＝ ， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故C错误； ，即， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故D错误． 故选：AB 13．（24-25高二下·江苏·期末）下列命题正确的是（   ） A．若实数满足，则 B．若，则的取值范围是 C．若正实数满足，则的最大值为 D．若正实数满足，则 【答案】BC 【分析】应用作差法计算判断A，应用不等式的性质计算判断B，应用基本不等式计算判断C，特殊值法计算求解判断D. 【详解】实数满足，则， 因为，所以，所以，所以，A选项错误； 因为，则，则的取值范围是，B选项正确； 正实数满足，则，所以，当且仅当时取最大值为，C选项正确； 正实数满足，取，，D选项错误. 故选：BC. 14．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最小值为2 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式判断A，根据“1”的变形，结合基本不等式判断B，根据A的判断，变形判断CD. 【详解】A. ，，，得，当时，等号成立，故A正确； B.，当，即时等号成立，故B正确； C.，第一个等号成立的条件是，由A可知，第二个等号成立的条件是，两个等号不能同时成立，所以，故C错误； D.由，即，， 由A可知，等号成立的条件为，故D正确. 故选：ABD 15．（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据图象得出参数，进而计算判断A，B，C选项，再代入化简计算一元二次不等式判断D. 【详解】函数的零点为和1，则， 又因为图象开口向下，所以， 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项错误； 对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确； 故选：AD 三、填空题 16．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 17．（24-25高一上·河南许昌·期末）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用参变分离法将不等式化成，只需求函数在上的最小值即得参数m的取值范围. 【详解】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立， 因，，则得， 故得，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 18．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 19．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【详解】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 故答案为：8 20．（23-24高二下·江苏南京·期末）“，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值 ． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】讨论当时，即时，是否满足条件；当时，由不等式的解集为，可得，解出即可得到实数a的取值范围，然后从a的取值范围取一个满足条件的即可. 【详解】若，则， 当时，不等式可化为， 解得，此时不等式的解集为，不合题意， 当时，不等式可化为， 此时不等式的解集为，符合题意， 当时，由不等式的解集为， 可得，即， 即，解得或， 综上可知，实数a的取值范围是， 所以一个满足条件的实数a的值可以为：5. 故答案为：5. 四、解答题 21．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集，利用韦达定理即可解； （2）讨论和时，恒成立的条件，然后求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 则，解得． （2）当时，， 若，不等式转化为对一切实数恒成立，显然满足题意； 若，不等式转化为对一切实数恒成立，易知不满足题意； 当时，由题意可知， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 22．（24-25高一上·江苏南通·期末）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可； （2）由题可知，列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）当时，或； ∵， ∴或； （2）∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得， 需有或， ∴或． 23．（22-23高一上·江苏南京·期末）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. (1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； (2)设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值． 【答案】(1) (2)设备占地面积为时，y的值最小，最小值为7万元 【分析】（1）表达出，从而得到不等式，求出，得到答案； （2）利用基本不等式求出最小值，并得到等号成立的条件，即x的值. 【详解】（1）由题意得， 令即， 整理得：， 即， 解得， 所以设备占地面积x的取值范围为； （2），由基本不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以设备占地面积为时，y的值最小，最小值为7万元. 24．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知，，. (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)的最小值为，的最小值为 (2) 【分析】（1）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （2）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； 又以，则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. （2）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 25．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长． (1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式； (2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短? 【答案】(1) (2)km/h 【分析】（1）根据题意为定值，设比例常数为，则，代入数值，得到，令，则，最后写出分段函数解析式即可； （2）设通过隧道的时间为，则，分当和两种情况，结合幂函数的性质及基本不等式计算可得． 【详解】（1）根据题意为定值，设比例常数为，则， 所以，所以，          所以，令，则， 所以. （2）设通过隧道的时间为，则． ①当时，． ②当时， ． 当且仅当，即时等号成立． 又， 所以当时用时最短． 答：当速度为时该车队通过该隧道用时最短． 26．（23-24高一上·四川达州·月考）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】(1)，从第 3 年开始该设备开始全年盈利； (2)方案①比较合理，理由见解析 【分析】（1）确定，解不等式得到答案. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【详解】（1）， 解不等式，得，，故， 故从第 3 年该设备开始全年盈利； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 27．（24-25高一上·江苏·期末）已知命题；命题. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若与有且只有一个为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）参变量分离等价变形后，转化为恒成立问题，再转化为求最值问题，即可得解； （2）分“p真q假”和“p假q真”两类进行讨论，根据题意，分别列出不等式组，即可得解. 【详解】（1）命题为真， 则恒成立，等价于， 令，由基本不等式可得，， 当且仅当时，等号成立，即，所以 故实数a的取值范围为. （2）命题q为真命题：， 故，解得或 由于与有且只有一个为假命题， ①p真q假：，故； ②p假q真：，故； 故实数a的取值范围为. 28．（24-25高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 29．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数，当时，；当，. (1)求，的值； (2)解关于的不等式：且. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三个二次之间的关系，其中二次不等式解集的端点就是对应二次方程的根，由韦达定理即可求出和的值； （2）解含参二次不等式，可以根据二次函数的图象解不等式. 【详解】（1）由题意可知：的两根为， 故，即得 ， 所以； （2）由（1）可知：， 即， 解方程，即， 解得：， 当 时，即， 所以解集为. 30．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知函数，． (1)函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)当时，对任意，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的性质，得到不等式，即可求解； （2）根据题意，转化为在恒成立，求得的最大值，即可求解； （3）由，得到方程，根据题意，化简得到，令令，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 因为函数在上单调递增，则，解得， 所以实数a的取值范围. （2）解：当时，可得，， 因为任意，关于x的不等式恒成立， 即在恒成立，即在恒成立， 当时，的最大值为，所以， 所以实数a的取值范围. （3）解：由，可得， 可得， 因为点，均为函数与图象的公共点，且， 可得，， 两式相减得， 因为，所以， 可得， 令，则， 整理得，解得， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】不等式关系与不等式 1、不等式的概念 用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫作不等式． 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 【考点02】等式与不等式的性质 1、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【考点03】基本不等式 1、基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2、最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 【考点04】一元二次函数、方程和不等式 1、一元二次不等式的相关概念 （1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． （2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） （3）一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形． 2、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写出解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间． 【考点05】其他不等式的解法 1、分式不等式的解法：解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式． 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母． 2、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； （5）写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 3、含绝对值不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式： ①的解集是，如图1． ②的解集是，如图2． ③． ④或． 【二级结论1】基本不等式链 1.基本不等式链：若，则，当且仅当时等号成立，其中分别称为的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数． 这个不等式链揭示了两正数的倒数和、积、和、平方和之间的不等关系，当某一部分为定值时，其余三部分都能取到最值，且都在两数相等时取到．可结合如图的几何意义进行理解． 图形解密 ． ，当且仅当时取等号． 此不等式链常以的形式出现，使用不等式链能使复杂问题简单化． 2.基本不等式链的拓展 三元基本不等式链（近几年高考中有考查哦）：若，则，当且仅当时等号成立． 元基本不等式链（仅供了解）：若为正数，则，当且仅当时等号成立． 【二级结论2】柯西不等式 我们只研究二维代数形式：设均为实数，则，当且仅当时，等号成立． 证明： ，当且仅当时，等号成立，所以． 特别地，当时，即，变形得到以及重要不等式（当且仅当时，等号成立），因此柯西不等式在求最值或证明不等式方面有广泛应用． 拓展1：，当且仅当时，等号成立．如，当且仅当时，等号成立． 拓展2：反向柯西不等式：设均为实数，则，当且仅当时等号成立． 【二级结论3】权方和不等式 设，则，当且仅当时取等号． 证明：两边同乘，得①． 方法一不等式①的左边 右边．当且仅当，即时取等号． 方法二 不等式①可化为． 【二级结论4】一元二次不等式的恒成立问题 根据三个“二次”之间的关系可知：一元二次不等式恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定范围上在x轴上方，一元二次不等式恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定范围上在x轴下方． 1.在上恒成立 如图1所示，一元二次不等式在上恒成立的条件为 一元二次不等式在上恒成立的条件为 如图2所示，一元二次不等式在上恒成立的条件为 一元二次不等式在上恒成立的条件为 注：（1）同理可得：恒成立小于的最小值；恒成立大于的最大值． （2）若二次项含参数，且题目未指明不等式是一元二次不等式，则需分类讨论，如在上恒成立的条件为或 2.在给定范围上恒成立 不等式（或）在给定范围上恒成立，只需函数在该范围上的最小值大于0（或最大值小于0）即可．因此问题转化为利用最值求参数范围，有两种方法： 方法一：求函数在给定范围上的最值，一般涉及二次函数图象的对称轴和给定范围的位置的分类讨论． 方法二：分离参数，一般将不等式化为一端是参数，另一端是关于变量的表达式，依据不等号和的最值求的取值范围．如恒成立大于的最大值，恒成立小于的最小值． 注：特别地，对于，①当时，在时恒成立②当时，在时恒成立 【题型1 不等式的性质及判断】 高妙技法 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 2．【多选】（24-25高一上·江苏苏州·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）设，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．【多选】（24-25高一上·江苏泰州·期末）下列选项正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 6．【多选】（24-25高一上·江苏淮安·期末）下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型2 求代数式的取值范围】 高妙技法 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 7．【多选】（25-26高一上·湖南·期中）已知，，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 8．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知，，则的取值范围是 . 9．（21-22高一上·河北邯郸·月考）已知且，求4a-2b的取值范围（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河南·期中）已知，，则的取值范围为 . 11．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知，，则的取值范围为 . 13．（24-25高二下·河北邢台·月考）已知实数，满足，，则范围是 【题型3 作差法或作商法比较大小】 高妙技法 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 14．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·河北保定·月考）已知，则M与N的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·湖南·月考）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 17．【多选】（21-22高一上·江苏镇江·期末）对于实数，，，正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【题型4 直接法求最值】 高妙技法 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 18．（2024高二上·广东·学业考试）若,则有（    ） A．最小值6 B．最小值8 C．最大值8 D．最大值3 19．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 20．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 21．（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，，且，则的最小值为 . 【题型5 常规凑配法求最值】 高妙技法 配凑法求解最值应注意的问题 1．配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； 2．代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； 3．拆项、添项应注意检验是否满足利用基本不等式的条件． 22．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，则的最大值为 . 23．（21-22高二下·山西太原·月考）当时，则函数的最大值为 ． 24．（24-25高一上·全国·周测）已知函数，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 25．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【题型6 常数代换法求最值】 高妙技法 通过常数代换法并利用基本不等式求解最值的基本步骤 1．根据已知条件或其变形确定定值(常数)； 2．把确定的定值(常数)变形为1； 3．把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； 4．利用基本不等式求解最值． 27．（24-25高一上·四川泸州·期末）若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 28．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 29．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 30．（24-25高二下·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 . 31．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 32．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，且，则的最小值是 . 【题型7 消元法求最值】 高妙技法 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 33．（2023高三·全国·专题练习）已知，若，则的最小值为 34．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 35．（2024高三下·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 . 36．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 【题型8 构造不等式法求最值】 高妙技法 已知条件中含,,的混合结构（也可能含系数）时，常可通过换元法用基本不等式求最值,一般“求谁设谁”，再建立不等式求解. 37．（24-25高一上·河北保定·月考）已知，，．求的最大值（    ） A． B． C．5 D．2 38．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知，，且满足，则的最大值为 . 39．（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型9 基本不等式恒成立问题】 高妙技法 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或范围. 41．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 42．（22-23高一上·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（22-23高一上·重庆·月考）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 44．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 46．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【题型10 基本不等式的实际应用】 高妙技法 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 47．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 48．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 49．（25-26高一上·陕西延安·期中）某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 【题型11 解不含参一元二次不等式】 高妙技法 解一元二次不等式的4个步骤 1．变——把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． 2．判——计算对应方程的判别式． 3．求——求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． 4．写——利用“大于取两边，小于取中间”的方法，写出不等式的解集． 50．（23-24高三上·上海·期末）不等式的解集为 . 51．（25-26高一上·湖南·期末）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 52．（20-21高二上·西藏昌都·期末）已知条件，条件，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 53．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型12 解含参一元二次不等式】 高妙技法 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 54．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 55．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 56．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的值． 57．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：． 58．（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数，． (1)若，求的解集； (2)解关于x的不等式：． 【题型13 解分式/高次/绝对值不等式】 高妙技法 分式不等式的解题策略 1．简单分式不等式的解题策略是化成整式不等式，具体步骤如下： 2． 在分式不等式化成整式不等式时不能忽略分母不为0的条件． 高次不等式解题策略 解高次不等式，常用的方法是“穿针引线法”．首先分解因式，判断各个因式的正负，然后根据各个因式分析求解． 绝对值不等式的解法 ①解绝对值不等式，关键在于去绝对值符号，常用方法有零点分段法、平方法、定义法等. ②已知，则等价于;等价于或.若,则上述等价性也成立，这在解决一些含参问题时比较有用. 和型不等式，常利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想. ④绝对值三角不等式：. 59．（25-26高一上·贵州遵义·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 60．（25-26高一上·广东湛江·月考）不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 61．（25-26高一上·河北邢台·月考）已知集合，，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 62．（2025·江西宜春·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 63．（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 64．（25-26高一上·广东深圳·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 65．（25-26高一上·天津滨海新·月考）不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 66．（安徽省A10联盟2025-2026学年高一上学期12月学情检测数学试题（人教A版））已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 67．（25-26高一上·广东·月考）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型14 三个“二次”的关系应用】 高妙技法 1．一元二次方程的根就是相应的一元二次函数的零点，也是相应的一元二次不等式解集的端点值． 2．如果给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应的二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用根与系数的关系求待定系数． 68．（25-26高一上·贵州黔东南·月考）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 69．（25-26高一上·江苏·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 70．（25-26高一上·江苏·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 71．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 72．【多选】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知二次函数，若关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．的增区间为 73．【多选】（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．mn的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 74．（25-26高一上·江苏·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 75．（25-26高一上·全国·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【题型15 一元二次不等式恒成立问题】 高妙技法 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 76．【多选】（25-26高一上·江苏南京·月考）使得命题“，”为真命题的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 77．【多选】（25-26高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 78．（25-26高一上·江苏·期中）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 79．【多选】（25-26高一上·江苏扬州·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的可能取值为（   ）． A．7 B．5 C．3 D． 80．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 81．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设：关于的不等式对一切恒成立，：指数函数（且）在上单调递减，那么是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型16 一元二次不等式的实际应用】 高妙技法 一元二次不等式实际应用解题策略：先建模，设变量，根据题意列不等式；再求解，求对应方程根，结合二次函数图象定解集；最后检验，根据实际意义取舍解，确保符合情境。 82．（25-26高一上·江苏·期中）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．5元 83．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 84．（24-25高一上·河南驻马店·月考）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 85．（24-25高一上·江苏苏州·期中）常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（   ） A．48元 B．49元 C．51元 D．50元 86．（23-24高一上·陕西·月考）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 2．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 3．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·天津滨海新·月考）下列说法正确的是（    ） ①不等式的解集为． ②若，则函数的最小值为2 ③不等式的解集是． ④当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．③④ 5．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．（24-25高一上·江苏盐城·期末）若实数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 8．（25-26高三上·河南·月考）已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 9．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（    ） A． B．12 C． D． 二、多选题 11．（24-25高一上·江苏镇江·期末）下列不等式成立的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知x，y都为正数，且2x＋y＝4，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为2 B．4x2＋y2的最小值为8 C．＋的最小值为8 D．＋的最大值为 13．（24-25高二下·江苏·期末）下列命题正确的是（   ） A．若实数满足，则 B．若，则的取值范围是 C．若正实数满足，则的最大值为 D．若正实数满足，则 14．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最小值为2 15．（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 三、填空题 16．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，，则的最小值为 . 17．（24-25高一上·河南许昌·期末）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 18．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 19．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 20．（23-24高二下·江苏南京·期末）“，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值 ． 四、解答题 21．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 22．（24-25高一上·江苏南通·期末）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 23．（22-23高一上·江苏南京·期末）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. (1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； (2)设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值． 24．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知，，. (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值. 25．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长． (1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式； (2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短? 26．（23-24高一上·四川达州·月考）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 27．（24-25高一上·江苏·期末）已知命题；命题. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若与有且只有一个为假命题，求实数的取值范围. 28．（24-25高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 29．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数，当时，；当，. (1)求，的值； (2)解关于的不等式：且. 30．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知函数，． (1)函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)当时，对任意，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $