专题05 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性（重点+二级结论+12题型+复习提升）（复习讲义）高一数学苏教版

专题05 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】函数的单调性 1、函数的单调性 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的最大（小）值 （1）函数的最大值：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作 ymax＝f(x0). （2）函数的最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). 3、单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 4、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④判断：根据定义做出结论． 【考点02】函数的奇偶性 1、函数奇偶性的定义 （1）奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． （2）偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称． 偶函数的性质：，可避免讨论． 2、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： ①如果或，则函数为偶函数； ②如果或，则函数为奇函数． （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （3）性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集 （4）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系。首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 3、函数奇偶性的应用 函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用。 （1）由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数。 （2）由函数的奇偶性求函数值：由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。 （3）由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 第一步：在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； 第二步：把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得 第三步：利用函数的奇偶性把改写成，从而求出. 【考点03】函数的周期性 1、周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）． 【考点04】函数的对称性 1、函数对称性的常用结论 （1）若，则函数图象关于对称； （2）若，则函数图象关于对称； （3）若，则函数图象关于对称； （4）若，则函数图象关于对称． 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系 （1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称， 当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数满足，则其函数图象关于点对称， 当，时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数． 3、函数对称性与周期性的关系 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是． 4、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 （1）①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. （2）①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. （3）①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为． （4）①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为． 其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个． 【二级结论1】函数单调性的相关结论 1.单调性的运算性质 若函数在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质． Ⅰ．仅与有关的函数单调性 函数 条件 与的单调性异同 （为常数） 相同 相同 相反 恒为正或恒为负 相反 恒为正或恒为负 相同 相同 Ⅱ．的单调性 在的公共单调区间上，有如下结论： 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 Ⅲ．的单调性 当在区间上都单调递增（减）时，若两者都恒大于零，则在区间上单调递增（减）；若两者都恒小于零，则在区间上单调递减（增）． 2.复合函数的单调性 讨论复合函数的单调性要将其转化为基本函数的单调性，注意既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把所求的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，并分别判断它们的单调性，进而用复合法则判断复合函数的单调性．复合法则如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 左侧表格可简记为“同增异减”． 即若内层函数和外层函数单调性相同，则复合函数单调递增；若内层函数和外层函数单调性相异， 则复合函数单调递减． 注意（1）切勿与的单调性弄混；（2）判断复合函数的单调性时，首先求出复合函数的定义域． 【二级结论2】依奇偶性分解函数解析式相关结论 对于如下问题：“已知定义域关于原点对称的函数，且，求的值．”如果函数是奇函数或偶函数，那么能轻松求出．但现实往往函数是非奇非偶函数，怎么办？我们首先了解一个原理． 原理 任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个偶函数和一个奇函数的和． 为什么 了解以上原理后，我们解决上述问题可采用以下步骤 第一步 观察函数的解析式，看哪部分构成偶函数，哪部分构成奇函数，即构造出，其中函数是偶函数，函数是奇函数 第二步 根据函数的奇偶性得到与的关系式，进而求出第二步的值 注意 ①如果偶函数无参数或相对简单，那么我们以奇函数为桥梁构建等式，根据解决问题； ②如果奇函数无参数或相对简单，那么我们以偶函数为桥梁构建等式，根据解决问题． 注：值得注意的是，实际操作中的第一步直接通过观察函数的解析式可得，而非直接构造函数，上面的拆分只是为了说明函数的奇偶性分解是可行的． 对于（为偶函数，为奇函数），当时，的图象关于点中心对称，即可以理解为将奇函数的图象向上或向下平移了个单位长度，则；当时，则有． 另外，求解此类问题还应熟悉如下结论． ①若奇函数在上单调递增（减），且有最大值，最小值，则在上单调递增（减），且有最小值，最大值． ②若偶函数在上单调递增（减），且有最大值，最小值，则在上单调递减（增），且有最大值，最小值． 【二级结论3】函数的周期相关结论 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数是周期函数，为这个函数的周期．如图，周期函数的图象每隔4个单位长度重复出现，即． 定理1 已知，且为定值，且，则的周期为． 证明：由，得，则，所以的周期为． 推论 若函数满足，则的周期为． 证明：函数满足，则，则的周期为． 定理2 已知，且为定值，且，则的周期为． 证明：由，得，则，所以的周期为． 上述涉及的刚好是周期的一半，所以这里的被称为“半周期”． 记法：与的和或积为定值，则周期为． 推论 若函数满足且，则的周期为． 证明：函数满足，则，则的周期为． 记法：若函数每隔互为相反数或正（负）倒数，则每隔就有相同． 注：①由为定值，且可得是周期为（，且）的周期函数，但函数是周期为的周期函数并不一定有． ②半周期的一种隐藏形式为，写出与的关系之后即可转化成半周期问题．证明如下：，所以，故周期为． 注： 1.函数的双对称之周期问题 定理1 若函数的图象关于直线都对称，则为周期函数且是它的一个周期． 证明：函数满足及，则，故，从而，即可以得到函数的周期为． 记法：“对称轴”+“对称轴”周期，周期为对称轴之间距离的2倍． 推论1 若偶函数的图象关于直线对称，则为周期函数，且是它的一个周期． 定理2 若函数的图象关于两点都对称，则函数是以为周期的周期函数． 证明：因为函数满足及， 所以，所以，从而，即可以得到函数的周期为． 记法：“对称中心”+“对称中心”周期，周期为两对称中心之间距离的2倍． 推论2 若奇函数的图象关于对称，则函数为周期函数，且是它的一个周期． 定理3 若函数的图象关于点和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数． 证明：因为函数满足及， 所以，所以，则， 所以，即可以得到函数的周期为． 记法：“对称中心”+“对称轴”周期，周期为对称轴与对称中心之间距离的4倍． 推论3 若奇函数的图象关于直线对称，则为周期函数，且是它的一个周期． 推论4 若偶函数的图象关于点对称，则为周期函数，且是它的一个周期． 注：若函数满足，则函数是以为周期的周期函数． 证明：由函数，得，则，则，所以，所以，则是以为周期的周期函数． 对称与周期的区别 对称 周期 ①的系数互为相反数； ②▲+●是定值：． ①的系数相同； ②▲-●是定值：． 2.类周期函数 若函数满足或，即函数横坐标每增加或减少个单位长度，函数值变为原来的倍．此函数称为周期为的类周期函数，如图所示． 【二级结论4】函数的对称性和对称中心相关结论 定理1 若函数的图象关于直线对称，则，如图1． 记法：轴对称 推论1 关系式也可以写成或．若写成，则函数的图象关于直线对称． 证明：以为例．设点为函数图象上的任意一点．由可知，，即点也在函数的图象上，而点与点，）关于直线对称，即得证． 定理2 若函数的图象关图点对称，则，如图2． 记法：中心对称 推论2 关系式也可以写成或． 证明：以为例．设点为函数图象上的任意一点，即，由可知，，所以，所以点也在函数的图象上，而点与点关于点对称，即得证． 定理3 函数与的图象关于轴对称，函数与的图象关于原点对称． 证明：不妨设．因为函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到的，又因为函数与的图象关于轴对称，故函数与的图象关于轴对称．同理可证函数与的图象关于原点对称． 推论3 ①定义在上的函数的图象关于点对称，若时，单调递增，则时，也单调递增，即． ②定义在上的函数的图象关于直线对称，若时，单调递增，则时，单调递减，即；． 【二级结论5】利用最值解决单、双变量不等式（相等）问题 （1）单变量的恒成立问题 ①恒成立，则； ②恒成立，则； ③恒成立，则恒成立，； ④恒成立，则恒成立，． （2）单变量的存在性问题 ①，使得能成立，则； ②，使得能成立，则； ③，使得能成立，则有解，； ④，使得能成立，则有解，． （3）双变量的恒成立与存在性问题 ①，使得，则； ②，使得，则； ③，则； ④，使得，则． （4）相等问题 ①，使得，则两个函数的值域的交集不为空集； ②，使得，则的值域的值域． 双变量问题记忆方法：固定其中一个变量，转化为单变量问题求解 以左侧①举例，将看作一个固定值，，使得，则；再将看作变量，看作固定值，则，使得，则，即． 【题型1 函数单调性的判断与证明】 高妙技法 确定函数单调性的三种方法 (1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直观地判断函数单调性． 1．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 2．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数满足函数为奇函数，且. (1)求,的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增． 4．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 5．（24-25高一上·辽宁·月考）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 【题型2 求函数的单调性/单调区间】 高妙技法 求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，图象从左向右上升，则函数单调递增；图象从左向右下降，则函数单调递减．对于能作出图象的函数，都可应用图象法判断其单调性．图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断．　 提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开． 6．（20-21高一上·新疆喀什·期末）函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 9．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据函数的单调性求参数】 高妙技法 利用函数的单调性求参数的方法 （1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解； （2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 10．（25-26高一上·江苏·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B．（1，4） C． D． 13．（24-25高一上·江西抚州·期末）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 14．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·广西玉林·期中）函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·安徽阜阳·月考）已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4 利用函数的单调性求最值】 高妙技法 求函数最值的三种基本方法 （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 18．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 19．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 20．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 21．（22-23高一上·山西大同·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．3 【题型5 函数奇偶性的判断与证明】 高妙技法 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． (3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 24．（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图像大致是（   ） A．B． C．D． 25．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   26．（25-26高一上·新疆喀什·期末）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 28．【多选】（23-24高一上·湖北·月考）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．在上单调递增 29．（25-26高一上·上海·期中）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 30．（24-25高二下·北京丰台·期末）设函数，则（   ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【题型6 利用函数的奇偶性求值求参】 高妙技法 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 31．（23-24高二下·湖南邵阳·期中） 且，则等于 ． 32．（24-25高一上·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则 . 33．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 34．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知定义域为的奇函数，则的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D．2 35．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 36．（25-26高一上·湖北十堰·期中）若函数在上为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 37．（2025·山东·三模）已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高三上·湖南·期中）“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 39．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知函数是奇函数，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 41．（24-25高二下·广东揭阳·期末）若命题为奇函数，为偶函数，则是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知函数是偶函数，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型7 利用函数的奇偶性求解析式】 高妙技法 用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 44．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 48．（23-24高一上·浙江·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高二下·云南昭通·期末）函数、分别是定义在上的奇函数、偶函数，且，若关于的方程在区间内有解，则实数的最小值为（   ） A． B．4 C．8 D． 【题型8 奇函数＋常数模型的应用】 高妙技法 已知奇函数+M，，则 （1） （2） 50．（24-25高二下·广西北海·期末）已知函数．若的最小值为，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 51．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 52．（25-26高三上·广东湛江·月考）已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 53．（24-25高二下·山东青岛·期末）函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 54．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 【题型9 利用单调性与奇偶性解不等式】 高妙技法 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 55． （25-26高一上·全国·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是 56．【多选】（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（   ） A． B． C．在R上单调递增 D．的解集为 57．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A．B． C． D． 58．（25-26高一上·湖南长沙·月考）定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 59．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数定义域为，对任意两个不相等的实数，都有成立.则不等式的解集为 . 60．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 61．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 62．（25-26高一上·山西·月考）已知定义在区间上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 63．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 64．（25-26高三上·上海·月考）设函数，则使得成立的实数的取值范围 ． 65．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型10 利用单调性与奇偶性比较大小】 高妙技法 比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上 (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 66．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 67．（24-25高一下·海南·开学考试）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 68．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知函数，设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 69．（24-25高一下·云南德宏·开学考试）定义在上的偶函数满足：且，都有，设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型11 函数周期性的应用】 高妙技法 (1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. (3)常见周期性结论 周期函数f(x)满足的条件 周期 a f(x＋a)＝f(x－a) 2a f(x＋a)＝－f(x－a) 4a f(x＋a)＝－f(x) 2a 2a 2a 关于直线x＝a与x＝b对称或 2|b－a| 偶函数，关于直线x＝a对称或 2a 关于点(a,0)与点(b,0)对称或 2|b－a| 奇函数，关于对称或 关于直线x＝a与点(b,0)对称或 4|b－a| 奇函数，关于直线x＝a对称或 4a 偶函数，关于对称或 4a 4a f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数) 2a f(x)·f(x＋a)＝k(k为常数) 2a f(x+1)=f(x)-f(x-1) 6 70．（24-25高二下·江西九江·期末）已知奇函数满足，当时，，则 ． 71．（24-25高二下·辽宁·期末）设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则 ． 72．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数满足，且，则（   ） A．1 B．0 C． D． 73．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则（   ） A． B．1 C．0 D． 74．【多选】（25-26高一上·江苏·期末）已知定义域为的函数满足：，则（    ） A．是周期为2的函数 B．是偶函数 C． D． 75．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，且，则 ． 76．【多选】（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知定义在上的奇函数满足，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C．的最小正周期为6 D．在上至少有9个零点 77．（25-26高一上·江苏·期末）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【题型12 函数对称性的应用】 高妙技法 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 78．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 ． 79．（25-26高一上·河南·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（ ） A． B． C． D． 80．（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ） A． B． C． D． 81．（25-26高一上·陕西·期中）已知函数满足，若函数与的图象的交点为，则 ．(用表示) 【题型13 抽象函数性质的综合应用】 高妙技法 紧扣奇偶性、单调性、周期性等核心性质，赋值法探特殊值（如f(0)、f(1)），借性质转化抽象关系式。结合定义域，利用单调性去f符号，将抽象问题具象化，数形结合辅助分析，避开无依据的函数形态假设。 82．（25-26高一上·四川成都·期中）函数对，，且为奇函数，则下列说法不正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C． D．若时，则 83．【多选】（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上单调递增 D． 84．【多选】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为偶函数 C．是周期为4的函数 D． 85．【多选】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 86．【多选】（24-25高一上·广东茂名·期末）已知是定义在上且不恒为0的图象连续的函数，若，，则（   ） A． B．为偶函数 C．4是的一个周期 D． 87．【多选】（24-25高一上·福建福州·期末）已知定义在上的函数满足：对，，，且，，定义：，则以下结论正确的有（   ） A． B． C． D． 88．【多选】（24-25高一上·湖北·期末）对都有，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【题型14 恒成立与能成立问题】 高妙技法 恒成立问题转化为最值：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min。能成立问题转化为存在性最值：a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max。优先求f(x)值域，再列不等式解参数。 89．（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 90．（25-26高一上·陕西西安·月考）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若有且只有一个真命题，则实数的取值范围是 ． 91．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 92．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数，若任意，存在，使得，则实数的取值范围为 ． 93．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，若，总存在使得成立，则实数的取值范围为 . 94．（24-25高一上·广西·期中）已知函数.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 95．（24-25高一上·河南南阳·月考）定义在上的函数，，对，，使得，则实数的取值范围为 . 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·重庆渝中·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏苏州·期末）设为函数的定义域，若对于且，都有，我们称为“不减函数”．对于映射：，符合条件的不减函数有（    ） A．16个 B．18个 C．20个 D．22个 7．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江西抚州·期末）设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高三上·江苏·期末）定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 12．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．在上单调递增 C．的值域为 D．不等式的解集为 13．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知函数的定义域为，的图象关于点对称，且，则下列结论正确的是（    ） A．2是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 14．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（    ） A． B．是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 15．（24-25高一下·山西吕梁·开学考试）已知函数的定义域均为，是偶函数，且，若，则（ ） A． B．的图象关于点中心对称 C． D． 16．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知定义域为R的函数在上单调递减，，且图象关于对称，则（    ） A． B．的周期 C．在上单调递增 D．满足 17．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ） A．的周期为2 B． C．的所有零点之和为14 D． 18．（24-25高一上·江苏·期末）已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上单调递增 19．（24-25高一上·江苏·期末）若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若正实数满足，则的最小值为6 20．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知定义在R上的函数满足对任意的实数，均有，且当时，恒有，则（    ） A． B．当时，函数为减函数 C．当时，的图象关于点对称 D．当时，为偶函数 三、填空题 21．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，且对任意，成立，则实数的取值范围为 . 22．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 23．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数满足，且，则 ； ． 24．（23-24高二上·江苏南京·期末）设函数 ，则满足的的取值范围为 . 25．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 . 26．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 27．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 28．（24-25高一上·山东威海·期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 29．（25-26高一上·云南楚雄·月考）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则 ． 30．（25-26高一上·辽宁·月考）已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为 . 31．（23-24高二下·江苏扬州·期末）定义域为的函数满足，且时，，则 ， . 四、解答题 32．（24-25高一上·四川宜宾·期末）定义在R上的奇函数（a，b为常数）满足． (1)求的解析式； (2)若，都有成立，求实数的取值范围． 33．（25-26高一上·全国·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 34．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． (1)求的值，并证明为奇函数； (2)，使成立，求取值范围； (3)解不等式． 35．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知函数． (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是严格增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 36．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 37．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】函数的单调性 1、函数的单调性 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的最大（小）值 （1）函数的最大值：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作 ymax＝f(x0). （2）函数的最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). 3、单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 4、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④判断：根据定义做出结论． 【考点02】函数的奇偶性 1、函数奇偶性的定义 （1）奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． （2）偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称． 偶函数的性质：，可避免讨论． 2、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： ①如果或，则函数为偶函数； ②如果或，则函数为奇函数． （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （3）性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集 （4）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系。首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 3、函数奇偶性的应用 函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用。 （1）由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数。 （2）由函数的奇偶性求函数值：由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。 （3）由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 第一步：在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； 第二步：把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得 第三步：利用函数的奇偶性把改写成，从而求出. 【考点03】函数的周期性 1、周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）． 【考点04】函数的对称性 1、函数对称性的常用结论 （1）若，则函数图象关于对称； （2）若，则函数图象关于对称； （3）若，则函数图象关于对称； （4）若，则函数图象关于对称． 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系 （1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称， 当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数满足，则其函数图象关于点对称， 当，时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数． 3、函数对称性与周期性的关系 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是． 4、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 （1）①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. （2）①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. （3）①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为． （4）①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为． 其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个． 【二级结论1】函数单调性的相关结论 1.单调性的运算性质 若函数在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质． Ⅰ．仅与有关的函数单调性 函数 条件 与的单调性异同 （为常数） 相同 相同 相反 恒为正或恒为负 相反 恒为正或恒为负 相同 相同 Ⅱ．的单调性 在的公共单调区间上，有如下结论： 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 Ⅲ．的单调性 当在区间上都单调递增（减）时，若两者都恒大于零，则在区间上单调递增（减）；若两者都恒小于零，则在区间上单调递减（增）． 2.复合函数的单调性 讨论复合函数的单调性要将其转化为基本函数的单调性，注意既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把所求的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，并分别判断它们的单调性，进而用复合法则判断复合函数的单调性．复合法则如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 左侧表格可简记为“同增异减”． 即若内层函数和外层函数单调性相同，则复合函数单调递增；若内层函数和外层函数单调性相异， 则复合函数单调递减． 注意（1）切勿与的单调性弄混；（2）判断复合函数的单调性时，首先求出复合函数的定义域． 【二级结论2】依奇偶性分解函数解析式相关结论 对于如下问题：“已知定义域关于原点对称的函数，且，求的值．”如果函数是奇函数或偶函数，那么能轻松求出．但现实往往函数是非奇非偶函数，怎么办？我们首先了解一个原理． 原理 任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个偶函数和一个奇函数的和． 为什么 了解以上原理后，我们解决上述问题可采用以下步骤 第一步 观察函数的解析式，看哪部分构成偶函数，哪部分构成奇函数，即构造出，其中函数是偶函数，函数是奇函数 第二步 根据函数的奇偶性得到与的关系式，进而求出第二步的值 注意 ①如果偶函数无参数或相对简单，那么我们以奇函数为桥梁构建等式，根据解决问题； ②如果奇函数无参数或相对简单，那么我们以偶函数为桥梁构建等式，根据解决问题． 注：值得注意的是，实际操作中的第一步直接通过观察函数的解析式可得，而非直接构造函数，上面的拆分只是为了说明函数的奇偶性分解是可行的． 对于（为偶函数，为奇函数），当时，的图象关于点中心对称，即可以理解为将奇函数的图象向上或向下平移了个单位长度，则；当时，则有． 另外，求解此类问题还应熟悉如下结论． ①若奇函数在上单调递增（减），且有最大值，最小值，则在上单调递增（减），且有最小值，最大值． ②若偶函数在上单调递增（减），且有最大值，最小值，则在上单调递减（增），且有最大值，最小值． 【二级结论3】函数的周期相关结论 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数是周期函数，为这个函数的周期．如图，周期函数的图象每隔4个单位长度重复出现，即． 定理1 已知，且为定值，且，则的周期为． 证明：由，得，则，所以的周期为． 推论 若函数满足，则的周期为． 证明：函数满足，则，则的周期为． 定理2 已知，且为定值，且，则的周期为． 证明：由，得，则，所以的周期为． 上述涉及的刚好是周期的一半，所以这里的被称为“半周期”． 记法：与的和或积为定值，则周期为． 推论 若函数满足且，则的周期为． 证明：函数满足，则，则的周期为． 记法：若函数每隔互为相反数或正（负）倒数，则每隔就有相同． 注：①由为定值，且可得是周期为（，且）的周期函数，但函数是周期为的周期函数并不一定有． ②半周期的一种隐藏形式为，写出与的关系之后即可转化成半周期问题．证明如下：，所以，故周期为． 注： 1.函数的双对称之周期问题 定理1 若函数的图象关于直线都对称，则为周期函数且是它的一个周期． 证明：函数满足及，则，故，从而，即可以得到函数的周期为． 记法：“对称轴”+“对称轴”周期，周期为对称轴之间距离的2倍． 推论1 若偶函数的图象关于直线对称，则为周期函数，且是它的一个周期． 定理2 若函数的图象关于两点都对称，则函数是以为周期的周期函数． 证明：因为函数满足及， 所以，所以，从而，即可以得到函数的周期为． 记法：“对称中心”+“对称中心”周期，周期为两对称中心之间距离的2倍． 推论2 若奇函数的图象关于对称，则函数为周期函数，且是它的一个周期． 定理3 若函数的图象关于点和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数． 证明：因为函数满足及， 所以，所以，则， 所以，即可以得到函数的周期为． 记法：“对称中心”+“对称轴”周期，周期为对称轴与对称中心之间距离的4倍． 推论3 若奇函数的图象关于直线对称，则为周期函数，且是它的一个周期． 推论4 若偶函数的图象关于点对称，则为周期函数，且是它的一个周期． 注：若函数满足，则函数是以为周期的周期函数． 证明：由函数，得，则，则，所以，所以，则是以为周期的周期函数． 对称与周期的区别 对称 周期 ①的系数互为相反数； ②▲+●是定值：． ①的系数相同； ②▲-●是定值：． 2.类周期函数 若函数满足或，即函数横坐标每增加或减少个单位长度，函数值变为原来的倍．此函数称为周期为的类周期函数，如图所示． 【二级结论4】函数的对称性和对称中心相关结论 定理1 若函数的图象关于直线对称，则，如图1． 记法：轴对称 推论1 关系式也可以写成或．若写成，则函数的图象关于直线对称． 证明：以为例．设点为函数图象上的任意一点．由可知，，即点也在函数的图象上，而点与点，）关于直线对称，即得证． 定理2 若函数的图象关图点对称，则，如图2． 记法：中心对称 推论2 关系式也可以写成或． 证明：以为例．设点为函数图象上的任意一点，即，由可知，，所以，所以点也在函数的图象上，而点与点关于点对称，即得证． 定理3 函数与的图象关于轴对称，函数与的图象关于原点对称． 证明：不妨设．因为函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到的，又因为函数与的图象关于轴对称，故函数与的图象关于轴对称．同理可证函数与的图象关于原点对称． 推论3 ①定义在上的函数的图象关于点对称，若时，单调递增，则时，也单调递增，即． ②定义在上的函数的图象关于直线对称，若时，单调递增，则时，单调递减，即；． 【二级结论5】利用最值解决单、双变量不等式（相等）问题 （1）单变量的恒成立问题 ①恒成立，则； ②恒成立，则； ③恒成立，则恒成立，； ④恒成立，则恒成立，． （2）单变量的存在性问题 ①，使得能成立，则； ②，使得能成立，则； ③，使得能成立，则有解，； ④，使得能成立，则有解，． （3）双变量的恒成立与存在性问题 ①，使得，则； ②，使得，则； ③，则； ④，使得，则． （4）相等问题 ①，使得，则两个函数的值域的交集不为空集； ②，使得，则的值域的值域． 双变量问题记忆方法：固定其中一个变量，转化为单变量问题求解 以左侧①举例，将看作一个固定值，，使得，则；再将看作变量，看作固定值，则，使得，则，即． 【题型1 函数单调性的判断与证明】 高妙技法 确定函数单调性的三种方法 (1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直观地判断函数单调性． 1．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 【答案】(1)函数为非奇非偶函数.理由见解析 (2)函数在上单调递增.理由见解析 【分析】（1）根据函数奇偶性定义判断证明即可； （2）根据函数单调性定义判断，证明. 【详解】（1）函数为非奇非偶函数.理由如下： 因为的定义域为， 又，但且， 所以函数为非奇非偶函数. （2）函数在上单调递增，证明如下： 设，且， 则 ， 因为，所以，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上单调递增. 2．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数满足函数为奇函数，且. (1)求,的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，结合可求得，； （2）根据函数单调性的定义,任取，且，计算推得,即得函数在区间上单调递增. 【详解】（1）由题意可知，得，所以， 又得：，得， 此时函数满足,是奇函数， 故，. （2）由，得， ，，且，有 ， 由于，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. 4．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 5．（24-25高一上·辽宁·月考）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)在上单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】（1）令，结合得，利用奇函数定义即可证明； （2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可； （3）先判断在R上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为恒成立，即对恒成立，列不等式组求解即可. 【详解】（1）函数为R上的奇函数.证明如下： 易知函数的定义域为，令，则， 又，所以，所以函数为奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增. （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上的单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立，令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是. 【题型2 求函数的单调性/单调区间】 高妙技法 求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，图象从左向右上升，则函数单调递增；图象从左向右下降，则函数单调递减．对于能作出图象的函数，都可应用图象法判断其单调性．图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断．　 提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开． 6．（20-21高一上·新疆喀什·期末）函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性. 【详解】解：函数对称轴为，开口向上， 所以函数，的单调减区间为. 故选：D 7．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 8．（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 9．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 【题型3 根据函数的单调性求参数】 高妙技法 利用函数的单调性求参数的方法 （1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解； （2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 10．（25-26高一上·江苏·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性求法，分析计算即可. 【详解】令，则， 当时，在R上单调递减， 当时，在R上单调递增， 由一次函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减， 因为在区间上单调递增，根据复合函数的单调性可知，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 11．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 12．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B．（1，4） C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数单调性及复合函数单调性性质分类讨论计算求解. 【详解】当时，指数函数在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，不符合题意； 当时，指数函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，结合题意可知，则， 所以的取值范围为． 故选：A. 13．（24-25高一上·江西抚州·期末）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】利用函数在上是单调函数可知为常数，利用换元可得到关于的方程，可解出的值，从而求解. 【详解】对任意，都有，且函数在上是单调函数， 为常数， 设，则， ， 与在上单调递增， 有唯一解，解得， ，. 故选：D. 14．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 15．（25-26高一上·广西玉林·期中）函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件得到是增函数，分析出要使函数在上单调递增，须满足，解不等式组即可得解. 【详解】由函数对且，都有， 可知函数在定义域上是增函数. 已知函数的对称轴为， 在上单调递增，且； 要使反比例函数在时单调递增，须满足. 所以，要使函数在上单调递增， 须满足，即， 解得，所以实数的取值范围是． 故选：D 16．（23-24高一上·安徽阜阳·月考）已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对任意，都有，得在上单调递减，进而得，解出即可求解. 【详解】由对任意，都有，所以在上单调递减， 所以， 所以， 故选：A. 17．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据条件判断函数在上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可． 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 【题型4 利用函数的单调性求最值】 高妙技法 求函数最值的三种基本方法 （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 18．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值. 故选：B. 19．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求函数单调性，即可得最值. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 20．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据得，利用奇函数定义求出时，，再由单调性求解最大值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则当时，， 若时，则，， 所以， 由和在R上单调递减，知在上单调递减， 故当时，所以. 故选：B 21．（22-23高一上·山西大同·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而可求出函数在上的最值，再列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零. 【详解】由已知当时，需， 令，则函数在上为减函数， 所以， 又函数在定义域上为增函数， 所以函数是减函数， 故在区间上的最大值是， 最小值是， 由题设得，则， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 22．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【详解】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 23．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值又有最小值的条件，列式求解即可. 【详解】由题意，当时，， 根据图像，可得当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 当时，由，解得， 当时，， 根据图像，当时，单调递减，值域为， 当时，由，解得， 因为在区间上既有最大值，又有最小值， 所以，所以，所以， 即的最大值为. 故选：C 【题型5 函数奇偶性的判断与证明】 高妙技法 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． (3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 24．（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图像大致是（   ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性分析图象对称性排除CD项，再根据在区间内的函数值符号可得答案. 【详解】由，解得， 因此定义域为，关于原点对称， 由， 因此是奇函数，图象关于原点对称，故可排除选项CD； 当时，，因此， 即函数在上的图象位于轴上方，故可排除B项； 故选：A. 25．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，又， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、D； 当时，，，所以，故排除C. 故选：A 26．（25-26高一上·新疆喀什·期末）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】选项A：因为在定义域内为增函数，故A错误； 选项B：因为在定义域内不单调，故B错误； 选项C：因为的定义域为，且，故为奇函数， 又，所以是减函数，故C正确； 选项D：因为，可知在定义域内不是奇函数，故D错误； 故选：C 27．（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B 28．【多选】（23-24高一上·湖北·月考）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】根据奇偶函数的定义依次判断AB即可；根据奇偶函数的性质，结合复合函数的单调性判断CD即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 所以， 所以和均为偶函数，A正确，B错误； 又因为在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，故C正确，D错误. 故选：AC 29．（25-26高一上·上海·期中）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【分析】对于①：根据题意结合奇偶性的定义分析判断即可；对于②：根据奇偶性的性质分析判断即可. 【详解】对于①：设、是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数， 且，可得， 可得，， 因为，可知为奇函数， ，可知为偶函数，故①为真命题； 对于②：设，，， 可知、、均是定义域上的奇函数， 且，，， 所以、、均是定义域上的奇函数，故②是真命题； 故选：A. 30．（24-25高二下·北京丰台·期末）设函数，则（   ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，再根据不同区间去绝对值，化简函数，判断函数的单调性. 【详解】由，解得且， 则函数的定义域为，关于原点对称， 而， 所以函数是奇函数，故A，C错误； 当时，， 则函数在上单调递增，故B错误； 当时，， 则函数在上单调递减，故D正确. 故选：D. 【题型6 利用函数的奇偶性求值求参】 高妙技法 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 31．（23-24高二下·湖南邵阳·期中） 且，则等于 ． 【答案】－16 【分析】构造函数，可得为奇函数，由得，从而可得结果. 【详解】令， 则， 由得， 由得，所以，则 所以， 故答案为：－16． 32．（24-25高一上·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则 . 【答案】 【分析】根据分段函数和函数的奇偶性求函数值. 【详解】因为，. 所以. 故答案为： 33．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式结合奇函数的性质计算求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为时，，所以， 则. 故答案为：. 34．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知定义域为的奇函数，则的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由奇函数定义域关于原点对称求出，再由奇函数性质求出，即可得解. 【详解】因为定义域为的奇函数， 所以，解得， 又由奇函数可知，解得， 所以， 所以， 故选：A 35．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解. 【详解】函数是奇函数，且，都在定义域内， 所以且， 所以且， 所以，所以. 故选：A. 36．（25-26高一上·湖北十堰·期中）若函数在上为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据奇函数的定义域关于原点对称得出，再根据奇函数定义计算得出，计算即可求解. 【详解】函数在上为奇函数，所以定义域关于原点对称， 则，所以， 函数为奇函数， 所以， 所以时，， 所以. 故选：A. 37．（2025·山东·三模）已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义可求出的值. 【详解】由可得，故函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以对任意的恒成立， 故，解得. 故选：A. 38．（25-26高三上·湖南·期中）“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】应用偶函数定义结合对数运算计算，再应用充要条件定义判断. 【详解】因为为偶函数，所以， 即，即，即，所以， “”是“函数为偶函数”的必要条件； 当“”时， ， 即函数为偶函数，“”是“函数为偶函数”的充分条件； 综上，“”是“函数为偶函数”的充要条件， 故选：A. 39．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知函数是奇函数，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，结合代入法逐一判断即可. 【详解】因为是奇函数，定义域为R， 所以 所以所以 满足题意， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A 40．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据函数定义域为，利用可求，再检验即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以，解得， 时，， ， 所以函数是奇函数，则. 故选：C. 41．（24-25高二下·广东揭阳·期末）若命题为奇函数，为偶函数，则是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】命题为奇函数，奇函数满足， 即，整理得，解得 故成立的充要条件是. 命题为偶函数，偶函数满足 即，整理得，解得或 故成立的充要条件是或 则是成立的充分不必要条件. 故选：A. 42．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知函数是偶函数，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由偶函数的定义列出等式并化简即可求出. 【详解】的定义域为关于原点对称, 是偶函数 ， 即 化简得 解得， 故选：B 43．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，确定函数的定义域，再由已知条件判断函数在定义域内的单调性，最后利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式. 【详解】是定义在上的偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称，可得，解得，的定义域为. 又对有，在上单调递增，为偶函数，在上单调递减. 由，不等式可化为，根据偶函数的性质，不等式可化为，由以上推出的条件可得，解得. 故选：A. 【题型7 利用函数的奇偶性求解析式】 高妙技法 用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 44．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 45．（24-25高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，. 故选：A. 46．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到，得到时的解析式. 【详解】当时，，， 因为为奇函数，所以， 故，所以. 故选：B 47．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】时函数解析式已知，利用函数为奇函数有，求时的解析式. 【详解】为奇函数，当时，， 则当时，，. 故选：D 48．（23-24高一上·浙江·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，求得的解析式，进而求得的值. 【详解】由，用代替，可得， 因为是奇函数，是偶函数，所以， 联立，解得，， 所以，，则． 故选：D． 49．（24-25高二下·云南昭通·期末）函数、分别是定义在上的奇函数、偶函数，且，若关于的方程在区间内有解，则实数的最小值为（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】由函数奇偶性，构造方程可解得，，原方程有解可转化为在内有解，利用换元把方程化为求的最小值即可. 【详解】，是定义在上的奇、偶函数，，， 又，即， 得：，， 代入得，，， 令，，， 当且仅当，即时等号成立 故选：A.. 【题型8 奇函数＋常数模型的应用】 高妙技法 已知奇函数+M，，则 （1） （2） 50．（24-25高二下·广西北海·期末）已知函数．若的最小值为，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】构造一个函数，通过证明函数为奇函数，说明函数的最大值，进而求出原函数的最大值. 【详解】令函数，所以最小值为， 已知，所以在上为奇函数， 则在上的最大值为，所以的最大值为； 故选：B. 51．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可. 【详解】设，， 则，所以函数为奇函数， 则，即. 故选：D. 52．（25-26高三上·广东湛江·月考）已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意可得，可求的值. 【详解】由，得，函数的定义域为， 令，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以， 则的图象关于点对称，所以. 故选：C. 53．（24-25高二下·山东青岛·期末）函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于点成中心对称图形，即可求得. 【详解】由函数， 因为函数是定义在上的奇函数，所以有， 则， 所以可得函数关于点成中心对称图形， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以最大值点与最小值点关于点成中心对称图形， 即， 故答案为：. 54．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】4 【分析】构造函数，根据奇偶性定义可知为奇函数，从而代入运算即可. 【详解】是定义在上的奇函数，则有， ， 设，函数定义域为， ，为奇函数， 则有，即，所以. 故答案为：4. 【题型9 利用单调性与奇偶性解不等式】 高妙技法 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 55． （25-26高一上·全国·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是 【答案】 【分析】构造函数判断奇偶性及单调性，利用其单调性解不等式即可. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数为R上的奇函数，即， 则，所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，则， 当时，即当时， 由可得， 则，解得； 当时，即当时， 由可得， 则，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 56．【多选】（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（   ） A． B． C．在R上单调递增 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】令计算可得，即A正确，利用奇函数定义可证明B正确，由函数性质以及单调性定义证明可得在R上单调递减，可得C错误，根据函数单调性整理表达式并解不等式可得D正确. 【详解】对于A，令可得可得，因此A正确； 对于B，令可得，因此B正确； 对于C，取任意，且，则可得， 又因为当时，，所以 所以， 因此，所以， 可知在R上单调递减，因此C错误； 对于D，由可得， 也即，因此， 结合C中单调性可知，即，解得； 因此不等式的解集为,可得D正确. 故选：ABD 57．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的奇偶性及单调性，结合特殊值，分别讨论和两种情况，分析即可得答案. 【详解】若，则等价于. 因为是偶函数，所以. 所以在上单调递减，则由可得. 若，则等价于. 由题意，在上单调递增，则由可得. 综上，的解集为. 故选：B 58．（25-26高一上·湖南长沙·月考）定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，判断函数的单调性，根据函数单调性解不等式，可得所求不等式的解集. 【详解】不妨设，因为，所以， 所以. 设，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：B 59．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数定义域为，对任意两个不相等的实数，都有成立.则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据定义判断函数单调性，再根据单调性解不等式. 【详解】由已知对任意两个不相等的实数，都有成立， 不妨设，则， 即函数在上单调递增， 又，则， 即， 则，即， 解得， 故答案为：. 60．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可 【详解】， 不等式可变形为，即， 函数是定义在上的偶函数，， 所以为偶函数，若函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 故答案为：． 61．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，利用是偶函数可得，将不等式转化为，利用当时，单调递减，将转化为，解出此不等式；的定义域为，得到，解出此不等式组，从而得解. 【详解】定义在上的偶函数，，， 当时，单调递减，当时，单调递减， 定义在上的偶函数， ，，， 当时，单调递减， ，，即， 解得或， 的定义域为， ，， ， 或和要同时成立， ， 关于的不等式的解集为. 故选：C. 62．（25-26高一上·山西·月考）已知定义在区间上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用奇函数的性质得到、，结合奇函数在对称区间单调性一致，确定在上单调递减；再将不等式转化为，结合函数定义域与单调性列出关于的不等式组，求解得到的范围. 【详解】因为为定义在上的奇函数， 所以，且的图象关于原点对称， 因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递减， 则在上单调递减，因为，所以， 所以，所以，所以，所以． 故选：C 63．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得到，结合偶函数的对称性及区间单调性得，即可求参数范围. 【详解】由题意，知，所以， 又函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以，即或，所以或. 故选：B 64．（25-26高三上·上海·月考）设函数，则使得成立的实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用定义证明函数为偶函数，结合在上单调递增，解不等式，即可得出实数的取值范围． 【详解】显然函数的定义域为， ，则函数为偶函数， 当时，，在上单调递增， 因为， 则，可得， 即，整理可得， 解得，即，可得． 故答案为：． 65．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】由题知函数的定义域为，，所以为偶函数， 当时，和均为增函数，所以在上单调递增， 故由可得，解得. 故选：B. 【题型10 利用单调性与奇偶性比较大小】 高妙技法 比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上 (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 66．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对任意的都有可得，再结合偶函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意的都有， 所以，即，，即， 所以， 又因为是定义在上的偶函数，， 所以， 故选：A 67．（24-25高一下·海南·开学考试）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再比较大小. 【详解】函数是偶函数，并且时，是增函数， 所以，显然， 所以，即. 故选：C 68．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知函数，设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，比较、、的大小关系，即可得出、、的大小关系. 【详解】由于函数、均为上的减函数， 故在区间上单调递减， 又， 故，所以. 故选：B. 69．（24-25高一下·云南德宏·开学考试）定义在上的偶函数满足：且，都有，设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再利用偶函数和对数和指数的运算性质比较即可； 【详解】因为定义在上的偶函数，且，都有， 所以在上单调递增，， ， 又因为，所以， 即. 故选：A. 【题型11 函数周期性的应用】 高妙技法 (1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. (3)常见周期性结论 周期函数f(x)满足的条件 周期 a f(x＋a)＝f(x－a) 2a f(x＋a)＝－f(x－a) 4a f(x＋a)＝－f(x) 2a 2a 2a 关于直线x＝a与x＝b对称或 2|b－a| 偶函数，关于直线x＝a对称或 2a 关于点(a,0)与点(b,0)对称或 2|b－a| 奇函数，关于对称或 关于直线x＝a与点(b,0)对称或 4|b－a| 奇函数，关于直线x＝a对称或 4a 偶函数，关于对称或 4a 4a f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数) 2a f(x)·f(x＋a)＝k(k为常数) 2a f(x+1)=f(x)-f(x-1) 6 70．（24-25高二下·江西九江·期末）已知奇函数满足，当时，，则 ． 【答案】1 【分析】由题意可求出函数的周期，进而求出参数a的值，结合函数奇偶性以及周期性，即可求得答案. 【详解】因为函数满足，故， 即是以4为周期的函数； 由奇函数的自变量x可取0，则， 结合当时，，得， 故，则，故当时，， 则 ， 故答案为：1 71．（24-25高二下·辽宁·期末）设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】利用函数的周期性与奇偶性，可得，结合已知即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的周期为2的偶函数， 所以， 又当时，，所以， 所以. 故答案为：. 72．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数满足，且，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】由题可得一个周期为4，则，然后由已知条件可得答案. 【详解】， 则一个周期为4，从而，则. 故选：A 73．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，，，，结合函数的周期性，即可求得答案. 【详解】由题意知函数的定义域为，且，， 令，则，即，故为偶函数； 又由为奇函数，可得，令，则，得， 又由可得的图象关于点成中心对称，则； 又由可得，又结合为偶函数， 则，故，即4为的周期， 故，则， 故 故选：B. 74．【多选】（25-26高一上·江苏·期末）已知定义域为的函数满足：，则（    ） A．是周期为2的函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】由可得，进而判断A；根据题设赋值结合周期性即可判断CD；取特例即可判断B. 【详解】对于A，由可得， 即函数是周期为2的函数，故A正确； 对于C，对于，取，得， 而，所以，故C正确； 对于D，对于，取，得， 则，故D正确； 对于B，取，则， 且， 即函数满足题意，但不是偶函数，故B错误. 故选：ACD 75．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，且，则 ． 【答案】 【分析】利用奇偶性得，即是周期为4的函数，根据奇偶性、周期性求，最后应用周期性求函数值的和即可. 【详解】由题设，则， 且，则，即， 所以，故是周期为4的函数， 由题意，则，，， 所以， 故. 故答案为： 76．【多选】（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知定义在上的奇函数满足，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C．的最小正周期为6 D．在上至少有9个零点 【答案】ABD 【分析】根据对称中心定义可判断A正确，赋值法代入计算可知B正确，结合奇偶性并根据周期函数定义可得C错误，结合已有分析求出所有零点可知D正确. 【详解】对于A，由得的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由，令可得，得，故B正确； 对于C，因为是奇函数，由，可知3是的一个周期，则其最小正周期不大于3，所以的最小正周期不可能是6，故C错误； 对于D，，， ，， 在上至少有9个零点，故D正确． 故选：ABD. 77．（25-26高一上·江苏·期末）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D 【题型12 函数对称性的应用】 高妙技法 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 78．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】法一：设是的图象上一点，则关于点的对称点为也在函数图象上，列出方程组，消去后，整理后即可求得的值，检验后即得答案； 法二：由题意可得函数的定义域关于对称，即的解集关于对称，求得，证明的图象关于点对称，再由的图象关于点对称推出，即得答案. 【详解】法一： 设是的图象上一点，P关于点的对称点为， 由题知点Q也在的图象上，则， 两式相加得，即成立， 因为具有任意性，故可得，且， 即，可得， 解得或. 若，则，此时的图象不关于点对称，不合要求； 若，则，此时，， 可得的图象关于点对称，故. 法二： 由的图象关于点对称，得函数的定义域关于对称， 即的解集关于对称，故得，此时 ， 设，则， 可得函数的图象关于点对称，要使的图象关于点对称， 则，故. 故答案为：. 79．（25-26高一上·河南·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性有，结合有及已知区间的函数解析式求时表达式即可. 【详解】若，则，故， 由函数的图象关于点成中心对称图形， 则. 故选：A 80．（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，根据函数的对称性、单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减， 所以在区间上单调递增， 所以. 故选：B. 81．（25-26高一上·陕西·期中）已知函数满足，若函数与的图象的交点为，则 ．(用表示) 【答案】 【分析】由已知得到两函数关于点对称，从而得到两函数图象的交点关于对称，由此即可求解. 【详解】， 用替换，得， 所以函数图象的对称中心为， 因为函数， 所以图象的对称中心也为， 所以曲线与图象的交点关于点对称， 则， 所以． 故答案为：. 【题型13 抽象函数性质的综合应用】 高妙技法 紧扣奇偶性、单调性、周期性等核心性质，赋值法探特殊值（如f(0)、f(1)），借性质转化抽象关系式。结合定义域，利用单调性去f符号，将抽象问题具象化，数形结合辅助分析，避开无依据的函数形态假设。 82．（25-26高一上·四川成都·期中）函数对，，且为奇函数，则下列说法不正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C． D．若时，则 【答案】C 【分析】对A：奇偶性得，然后根据已知条件通过赋值进行求解；对B：通过奇偶性及函数周期即可判断；对C：通过函数周期可得，再利用计算即可得；对D：利用赋值计算即可得. 【详解】对A：由为奇函数，则，则， 又，则，即有， 则，则有，故，故A正确； 对B：由，则周期为，又， 则，故的图象关于中心对称，故B正确； 对C：，又， 则，故，故C错误； 对D：由，则，即，故D正确. 故选：C. 83．【多选】（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】BCD 【分析】根据对称性直接可得函数的对称轴，再根据定义法可判断函数的单调性，利用赋值法可判断函数的奇偶性，进而根据函数的性质分别判断各选项. 【详解】由，可知曲线关于直线对称，所以为偶函数， 由已知当时，， 令，可得，则， 令，可得，即函数为奇函数，即函数关于中心对称， A选项错误，B选项正确； 设，则，即， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 又的图象是一条连续不断的曲线，且， 所以在上单调递增，C选项正确； 由，，得， 则，所以， 所以是以为一个周期的周期函数， 所以，， 易知在上单调递减，且， 所以，D选项正确； 故选：BCD. 84．【多选】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为偶函数 C．是周期为4的函数 D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义、函数对称性逐项分析判断. 【详解】函数的定义域为，由函数为奇函数，得， 由的图象关于直线对称，得， 对于A，由，得的图象关于点中心对称，A正确； 对于C，由，得，又， 则，，是周期为4的函数，C正确； 对于B，由选项C知，，则，又， 因此，为偶函数，B正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 85．【多选】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 【答案】AB 【分析】令，推导出，结合函数的对称性可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断BC选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，因为函数的图象关于点对称， 即函数的的图象关于点对称，则， 所以，令，可得， 可得，所以的图象关于点对称，则A正确． 对于B选项，由已知得， 设，则， 所以，所以是偶函数，则B正确； 对于C选项，若函数是奇函数，则，可得， 即函数的图象关于点对称， 但函数的图象关于点对称，题中条件无法推出函数的图象关于点对称，则C错误； 对于D选项，若函数的周期为，则， 事实上，在等式中，令，则，则，矛盾，故D错误. 故选：AB. 【点睛】结论点睛：本题考查函数的对称性的判断，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 86．【多选】（24-25高一上·广东茂名·期末）已知是定义在上且不恒为0的图象连续的函数，若，，则（   ） A． B．为偶函数 C．4是的一个周期 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，B，C利用赋值法即可判断；对于D，令和，再结合函数的对称性即可判断. 【详解】对于A，令，得， 因为不恒为0，所以，故A错误； 对于B，令，得， 得，则为偶函数，故B正确； 对于C，令，得， 则， 则，周期为4，故C正确； 对于D，令，得，，即， 令，得，即关于中心对称， 所以，即，所以，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：对于抽象函数的求值或函数性质的求解策略： （1）对于抽象函数的基本性质的求解，通常借助合理赋值，结合函数的单调性、奇偶性的定义，进行推理，得出函数的基本性质，有时借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； （2）解答抽象函数的周期性问题时，通常先利用周期性中自变量所在区间，结合函数的奇偶性和对称性进行推理，得到，求得函数的周期； （3）解答抽函数的求值问题时，通常利用合理赋值，再结合函数的对称性和周期性，进行求解. 87．【多选】（24-25高一上·福建福州·期末）已知定义在上的函数满足：对，，，且，，定义：，则以下结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合选项，利用赋值法，判断选项. 【详解】令，则，因为，所以， 令，则，所以，故A正确； 令，则，则，即，故B正确； 令，则，即，即，故C错误； 由可知，，即， 所以函数的周期为4，，， 所以， ，，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法处理抽象函数问题. 88．【多选】（24-25高一上·湖北·期末）对都有，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法可判断A；利用赋值法与奇偶函数的定义可判断B；利用赋值法与为偶函数可判断C；利用周期为2，，，计算即可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 令，，则， 又，所以， 令，则， 即，所以，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为， 令，得， 所以，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，又，则， 则，则， 两式相减得， 又为偶函数，即， 所以，故C正确； 对于D，由C知，则周期为2，，又， 所以，故D错误. 故选：BC. 【题型14 恒成立与能成立问题】 高妙技法 恒成立问题转化为最值：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min。能成立问题转化为存在性最值：a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max。优先求f(x)值域，再列不等式解参数。 89．（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据存在性和任意性的定义，结合二次函数和指数函数的最值性质进行求解即可. 【详解】当时，，则， 因为对任意的，存在，使得成立， 因此函数在上的最大值大于函数在上的最大值， 又， 所以在上的最大值为， 于是，即，所以实数的取值范围是. 故答案为： 90．（25-26高一上·陕西西安·月考）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若有且只有一个真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据恒成立和存在性问题转化问题，再利用函数的单调性求最值，结合真假命题的定义即可求解. 【详解】对任意，不等式恒成立， 即任意，， 当时，单调递增，， 所以，即，即， 解得， 存在，使得不等式成立， 即存在，使得不等式成立， 即，， 函数，对称轴， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以， 当为真命题时，为假命题，则，所以， 当为假命题时，为真命题，则，所以. 综上所述：实数的取值范围是或. 故答案为：. 91．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 92．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数，若任意，存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性求出、在给定区间上的值域，依题意，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为在上单调递增，所以， 又在上单调递增，所以， 因为任意，存在，使得， 所以，即，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 93．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，若，总存在使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为，求出在上的最小值为，可知对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】若对，总存在，使得成立，则， 当时，令，则， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以，当时，， 故当时，，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 令，，则 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以，故. 故答案为：. 94．（24-25高一上·广西·期中）已知函数.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意，需满足，继而结合函数单调性求出两函数的最小值，讨论的范围，并解不等式即可求得答案. 【详解】由题意知，对于任意的，存在，使得， 即需满足， 函数在上单调递减，所以， 当时，在区间上单调递增，则， 所以，解得，所以， 当时，在区间上单调递减，则， 所以，解得，所以， 当时，符合题意， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 95．（24-25高一上·河南南阳·月考）定义在上的函数，，对，，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集，先求出在上的值域，分类讨论求出的值域，根据子集关系即可求出的范围. 【详解】因为， 当时，所以； 当时，则在上单调递增，所以； 综上可得； 因为对，，使得， 所以函数在上的值域是函数在上的值域的子集， 又，， 当时，，则有，解得， 当时，，不符合题意； 当时，，则有，解得． 综上所述，可得的取值范围为． 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次函数性质分析可知若函数在上单调递减，等价于，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解. 【详解】因为函数的图象开口向上，对称轴为， 若函数在上单调递减，等价于， 显然是的真子集， 所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，函数是一次函数，结合一次函数单调性可判断选项B；当时，对函数解析式变形，结合反比例函数的单调性即可求解. 【详解】当时，， ∵函数在区间上是严格增函数，.故选项B错误； 当时，， ∵函数在区间上是严格增函数， 结合反比例函数的性质可知：，即. 故选项A，D错误，选项C正确. 故选：C. 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案. 【详解】不妨设，， 故， 令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以， ， 所以，解得. 故选：C 4．（22-23高一上·重庆渝中·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双对称函数来证明函数的周期性，再利用单调性可以比较大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，即是奇函数，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以，即. 故选：D. 5．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在上单调递增，可知各段分别在对应自变量范围上单调递增，且在时满足，在分析函数的单调性时需分类讨论. 【详解】因为函数在上单调递增， 当，即时，需满足，解得， 所以； 当，即时，需满足， 即，解得，又，所以, 综上，实数的取值范围为. 故选：B 6．（23-24高二下·江苏苏州·期末）设为函数的定义域，若对于且，都有，我们称为“不减函数”．对于映射：，符合条件的不减函数有（    ） A．16个 B．18个 C．20个 D．22个 【答案】C 【分析】根据“不减函数”的定义，分情况讨论，列出所有情况即可． 【详解】分情况讨论，值域取1个元素， 取2个元素，取3个元素. 值域1个元素，可以；；；；共4个. 值域取2个元素， ；；；； ；；；； ；；；；共12个． 值域取3个元素， ；；；；共4个. 总共有20个. 故选：C. 7．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用反例说明①④，根据单调性的定义判断②③. 【详解】对于①，令， 满足在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 但是函数在上不单调，故①错误； 对于②：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 即任意的都有，都有， 所以， 设任意的且，若，则， 若，则， 若，，则， 所以函数在上是严格增函数，故②正确； 对于③：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 则在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 结合②可知，函数在上是严格增函数，故③正确； 对于④：令，满足在区间上是严格增函数，且是奇函数， 但是函数在上不单调，故④错误. 故选：B 8．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可. 【详解】由题意，是函数的对称轴，在上是增函数， 所以在上是减函数， 又，所以， 所以当时，，满足， 当时，，，也满足， 所以不等式的解集为. 故选：D. 9．（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，结合赋值法得到、、直到得到，结合函数在上为非减函数，即可得. 【详解】令，由，可得， 又，故， 由，故， 令，则，即， 令，有，令，有， 令，有，令，有， 令，有，令，有， 令，有，令，有， 令，有， 令，有， 由，且， 又函数在上为非减函数， 故. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题关键在于结合非减函数的性质，通过赋值法逐步得到，从而得到. 10．（24-25高一上·江西抚州·期末）设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【详解】当时，，； 因，即x每增大，对应的纵坐标都变原来的倍. 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，. 当时，由，可得，解得或， 如下图所示： 由图可知，当时，恒成立，故实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题.对于递推倍减函数的恒成立问题，解题关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范围. 二、多选题 11．（24-25高三上·江苏·期末）定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】由函数关系取可求判断A，取可得的关系，结合奇函数定义判断B，利用单调性定义证明函数在上单调递减，判断C，结合函数性质解不等式判断D. 【详解】因为， 取可得， 所以，A错误； 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由， 用替换可得，， 所以，即， 所以函数为奇函数，B正确； 任取，， 则， 又当时，，且， 所以，故， 所以函数在上单调递减，C正确； 因为， 所以不等式可化为， 所以，又函数在上单调递减， 所以， 所以，所以不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 12．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．在上单调递增 C．的值域为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的判定方法即可判断A，根据函数单调性的判断方法即可判断B，根据基本不等式即可判断C，直接解不等式即可判断D. 【详解】对于选项A，定义域为，， 所以为奇函数，图象关于原点对称，所以选项A正确； 对于选项B，设， 则 因为，所以，， 即，即， 所以在上单调递增，所以选项B正确； 对于选项C，当时，， 当时，， 即的值域为，所以选项C错误； 对于选项D， ，即，解得，则其解集为， 所以选项D正确. 故选：ABD. 13．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知函数的定义域为，的图象关于点对称，且，则下列结论正确的是（    ） A．2是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件，分析函数的奇偶性，对称性和周期性，结合奇函数的性质，逐项判断即可. 【详解】根据函数图象的平移，将的图象先左平移1个单位，可得的图象， 其图象关于点对称，所以函数为奇函数，即. 又，所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 因为， 所以，所以恒成立，2才能是函数的周期， 否则，2不是函数的周期，故A错误； 因为为上的奇函数，所以，且，又函数周期为4， 所以，， 所以，故C正确； 又， 所以，故D正确. 故选：BCD 14．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（    ） A． B．是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【分析】对于A，令，即可得结果；对于D，令，可得结合对称性定义判断；对于B，C举反例说明即可. 【详解】因为. 对于A，令，可得，即，故A正确； 对于BC，例如，则，符合题意， 但是减函数，且的图象不关于直线对称，故BC错误； 对于D，令，可得，即，可得， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：AD. 15．（24-25高一下·山西吕梁·开学考试）已知函数的定义域均为，是偶函数，且，若，则（ ） A． B．的图象关于点中心对称 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用是偶函数，可得，进而利用赋值法求得判断A；由已知可得，可判断B；进而计算可得，计算可判断CD. 【详解】因为是偶函数，则， 由，可得． 对于A，当时，，又，所以， 又由可得，所以，故A正确； 对于B，由，得， 代入化简得，所以， 又，所以，即， 所以的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，，所以是以6为一个周期的周期函数， 所以，故C正确； 对于D，由以上分析可知， 又，，则， 故， 则 ，D不正确． 故选：ABC． 16．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知定义域为R的函数在上单调递减，，且图象关于对称，则（    ） A． B．的周期 C．在上单调递增 D．满足 【答案】AC 【分析】根据条件，研究函数的性质，逐项判断即可. 【详解】在中，令，可得， 又，所以函数的图象关于直线成轴对称，所以. 由函数的图象关于点对称，所以. 所以. 用代替，可得， 再用代替，可得， 所以，所以函数是以为周期的周期函数， 因为，所以不是函数的周期.故B错误； 因为，且，所以，故A正确； 设，则， 因为在上单调递减，所以， 又，，所以，所以函数在上单调递增.故C正确； 又，，. 在中，令得：， 因为函数周期为，所以，由A选项可得，. 在中，令，可得. 又，但根据题意，函数在上单调递减，而非在上单调递减， 所以的符号无法确定，故与的大小无法确定.故D错误. 故选：AC 17．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ） A．的周期为2 B． C．的所有零点之和为14 D． 【答案】BC 【分析】选项A，由是定义在上的奇函数和为偶函数得到，从而得到的周期为；选项B，由是定义在上的奇函数得到，由当时，得到，由是定义在上的奇函数和为偶函数可以求出，，的值，从而得到，由的周期为得到和 ，从而得解；选项C，由得到，在同一平面直角坐标系中画出与的图像，通过观察图像可以得到点和，和，和都关于点对称，从而可以得到，，，则求的所有零点之和就是求，计算得解；选项D，当时，，由均为奇函数得到当时，，的周期为得到在上恒成立，从而得解. 【详解】选项A，是定义在上的奇函数，， 为偶函数，， ，， ，， ，， 的周期为，故选项A错误； 选项B，是定义在上的奇函数，， 当时，， ， 为偶函数，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， ， ，故选项B正确； 选项C，，， 则与在同一平面直角坐标系的图像如图所示： 从图像可知，与的交点为， 与关于对称， 点和，和，和都关于点对称， ，，， ， 的所有零点之和就是， 的所有零点之和为，故选项C正确； 选项D，当时，， 均为奇函数， 当时，， 的周期为， 在上恒成立，故选项D错误. 故选：BC. 18．（24-25高一上·江苏·期末）已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，赋值求出，再结合、单调性逐项判断即可. 【详解】对任意实数x，y均有， 令，则，解得或， 当时，取，则与已知矛盾； 当时，取，则与已知矛盾， 因此，A错误； 对于B，，取，，则， 函数为奇函数，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号， 当时，与已知矛盾；当时，与已知矛盾， 因此，C正确； 对于D，，，由当时，，得， 因此，而， 则，即，函数在上单调递增，D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 19．（24-25高一上·江苏·期末）若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若正实数满足，则的最小值为6 【答案】AC 【分析】根据奇函数求出即可判断A选项，根据即可求出，根据单调性及其性质即可求解B选项，根据导数即可求解C选项，令，，找出和的关系，结合导数即可求解D选项. 【详解】奇函数满足， 则，比较分子得， 解得，故A正确； 代入，得 ，解得， 故，设， 则， 因为，所以，，， 所以，所以在单调递增， 所以在时单调递增， 因为，所以， 故，故B错误； 当时，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当时， ，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以最大值为，故C正确； 因为， 所以，其中， 令，所以， 所以， 所以，所以或， 当时，此时且， 因为，在单调递增， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 当时，令，则，， 所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于令，，找出和的关系. 20．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知定义在R上的函数满足对任意的实数，均有，且当时，恒有，则（    ） A． B．当时，函数为减函数 C．当时，的图象关于点对称 D．当时，为偶函数 【答案】AC 【分析】令，可判断A；令，可得，可判断B；令，可得，可判断C；举反例，可判断D. 【详解】解：令，得， 所以，故A正确； 当时，， 当时，恒有， 令， 即对任意，时， ， 即函数为增函数，故B错误． 令，则， 又， 所以， 即 的图象关于点对称，故C正确； 当时，若取， 则， ， 即， 且当时， 单调递增，恒有， 显然， 不为偶函数，故D错误． 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题的关键是对D选项的判断，举出反例是关键. 三、填空题 21．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，且对任意，成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出的图象，再根据与函数图象平移分析即可. 【详解】由题意可得，所以， 当时，，当时，，结合 为定义在上的奇函数可作出的图象，. 又的函数图象为向左平移6个单位得到的，， 则的图象在的上方， 则，解得.      综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 22．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由已知可得在上单调递增，结合奇函数的性质可求得不等式的解集. 【详解】因为对任意的，当时，都有成立， 所以在上单调递增，当，又， 所以由，可得， 又函数是定义在上的奇函数，当时， 由，可得，又由奇函数的性质可得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 23．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数满足，且，则 ； ． 【答案】 【分析】根据题意可得，即可求；分析可知函数的一个周期为6，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，则，可得， 则，所以函数的一个周期为6， 又因为，则， 且，即， 则， 可得， 所以. 故答案为：；. 24．（23-24高二上·江苏南京·期末）设函数 ，则满足的的取值范围为 . 【答案】 【分析】判断的单调性和奇偶性，结合函数定义域，进而求解不等式即可. 【详解】，则 的定义域为 ； 又，故为偶函数； 当时，， 又在上都是单调增函数， 故在上单调递增，在上单调递减； 因为，所以，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 25．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 . 【答案】4048 【分析】先计算得到，再构造函数，定义法判断奇偶性，利用对称性有，即可求解. 【详解】令得，所以， 令得，所以， 令，则，， 因为，又定义域关于原点对称，所以是奇函数， 所以，即，所以. 故答案为：4048 26．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】通过赋值结合题干所给信息证明函数的奇偶性与单调性，最后再利用奇偶性与单调性解不等式. 【详解】令，得， 令，得，所以为定义在上的奇函数， 因为，令，得， 任取，则 ， 因为当时，，所以当时，，即， 所以在上单调递增， 所以不等式 . 故答案为： 27．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 【答案】 【分析】由条件证明函数为周期函数，周期为，再结合周期性性质求. 【详解】因为是奇函数，则， 又，所以， 即．所以， 所以函数的周期为． 又，所以． 当时，，则． 故答案为：. 28．（24-25高一上·山东威海·期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用函数是奇函数求出时，函数的解析式，并求出函数的单调性；利用单调递增及奇函数化简可得，分类讨论解不等式即可得解． 【详解】由为奇函数，得， 当时，，故， 故当时，，所以； 又当时，的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，根据奇函数的性质可知函数在上单调递增， 故， 所以或， 解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数奇偶性的应用及分段函数不等式，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，结合奇偶性利用单调性求解. 29．（25-26高一上·云南楚雄·月考）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则 ． 【答案】12 【分析】由得到的图像的对称轴，由的图像得到此函数的对称轴，由函数与的图像有6个交点，得到3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，从而得到所求． 【详解】由知的图像关于直线对称， 又的图像也关于直线对称， 所以函数与的图像有6个交点， 分3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，所以． 故答案为：12. 30．（25-26高一上·辽宁·月考）已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得函数的图象关于对称，再利用复合函数单调性求出函数在上的单调性，再借助性质解不等式. 【详解】因为，所以的图象关于对称， 当时，，且单调递增，又在上单调递减. 由复合函数单调性知在上单调递减， 又因为的图象关于点对称，所以在上单调递减. 又，则， 所以由，可得， 即，所以，即， 解得，所以该不等式的解集为. 故答案为: 31．（23-24高二下·江苏扬州·期末）定义域为的函数满足，且时，，则 ， . 【答案】 【分析】令，求出，令，求出，令，求出，令，可求出函数的周期，令，可得，再根据函数的周期性即可求出. 【详解】由， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，则， 即，即， 所以， 所以函数是以为周期的周期函数， 令，则，即， 又时，，所以， 令，则， 所以，即， 所以， 则， 由，得， 由，得， 所以 . 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是采用赋值法结合已知条件得到函数的周期性. 四、解答题 32．（24-25高一上·四川宜宾·期末）定义在R上的奇函数（a，b为常数）满足． (1)求的解析式； (2)若，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，求出，进而代入求出，得到解析式，验证后满足要求； （2）先求出在上的最大值，从而得到，求出答案. 【详解】（1）是R上的奇函数， ， ∴， 又， ∴， ， 此时，满足是定义在R上的奇函数； （2），， ∴当时，， 由对勾函数性质可得，在上单调递减， 故， ∴， 又是奇函数， ， ，， 或. 33．（25-26高一上·全国·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，结合计算可得； （2）通过令，求得，设，则，变形可得，进而判断函数的奇偶性； （3）利用，将式子变形整理，结合函数的奇偶性求得. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 34．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． (1)求的值，并证明为奇函数； (2)，使成立，求取值范围； (3)解不等式． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用赋值法求出，再利用奇函数定义推理得证. （2）求出在上的最大值，再由能成立问题建立不等式求解. （3）变换给定不等式，构造新函数，利用单调性、奇函数的性质求解不等式. 【详解】（1），都有成立， 取，得，解得； 对，取，则， 因此，所以为奇函数. （2）函数为上的增函数，则当时，， 由，使成立，得，解得， 所以取值范围是. （3） ，， 不等式， 令，则函数是奇函数，且为上的增函数， 原不等式为，即， 于是，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 35．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知函数． (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是严格增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求函数的定义域，根据奇函数的定义证明结论； （2）根据严格增函数的定义证明结论； （3）利用函数性质化简不等式，由条件可得不等式对于任意实数恒成立，结合二次函数性质列不等式求结论. 【详解】（1）由函数，可得其定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为定义域上的奇函数． （2）当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，，， 所以， 即，所以函数在上是严格增函数． （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是严格增函数， 所以函数在上也是严格增函数，所以函数在上是严格增函数. 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围． 36．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）借助 ，代入计算即可得； （2）借助单调性定义证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由，则，解得，故， 此时，满足题意，故； （2）设， 则 ， 由，故，故，， 故，故在上是增函数； （3），由在上是增函数， 故，解得， 即不等式的解集为. 37．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性. （2）利用，结合，可求的值. （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【详解】（1）令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）为偶函数. （2）因为， 所以 . （3）任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解函数不等式时，判断并证明函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式化为代数不等式是解决问题的关键. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $