专题09 三角函数的概念与诱导公式（重点+二级结论+17题型+复习提升）（复习讲义）高一数学苏教版

专题09 三角函数的概念与诱导公式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】任意角与弧度制 1、任意角的定义 （1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）角的表示： ①始边：射线的起始位置． ②终边：射线的终止位置． ③顶点：射线的端点O． ④记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． （3）角的分类： ①正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； ③零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 2、象限角与轴线角 （1）象限角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 （2）轴线角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 3、角度制与弧度制 （1）角度制与弧度制的定义 ①规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. ②弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. （2）角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 4、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 【考点02】三角函数的定义与符号 1、三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点， 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 【补充】三角函数另一种定义 设点（不与原点重合）为角终边上任意一点， 点P与原点的距离为：，则：，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 2、三角函数的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 3、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 【考点03】同角三角函数的基本关系 1、同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 注意以下三点： （1） “同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关， 如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． （2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 2、关系式的常用等价变形 （1） （2） 【考点04】诱导公式 1、诱导公式（一~六） （1）诱导公式一：，，，其中 （2）诱导公式二：角与角的终边关于原点对称 ， ， ，其中 （3）诱导公式三：角与角的终边关于轴对称 ， ， ， 其中 （4）诱导公式四：角与角的终边关于轴对称 ， ， ，其中 （5）诱导公式五：，，其中 （6）诱导公式六：，，其中 2、诱导公式拓展 注：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. 3、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”， 意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦； 当为偶数时，函数名不变， 然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 【小结】诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 【二级结论1】齐次式化切结论 若 ，则对关于 、 的一次齐次式或二次齐次式，可化为关于 的代数式： 1.一次齐次式：直接除以，化为切（）。 2.二次齐次式：（）。 应用场景：已知求三角函数分式值，无需解、。 【二级结论2】，（） 证明：分两种情况讨论： 1.当为偶数时，设（） ， 此时，故，余弦同理。 2.当为奇数时，设（） 此时，故，余弦同理。 应用场景：快速化简含整数倍的三角函数，无需分步判断象限。 【二级结论3】互补角与互余角的延伸结论 1.若，则，， 2.若，则， 3.若，则， 应用场景：解三角形或角度关系题中，快速转换角度的三角函数。 【二级结论4】三角形内角三角函数结论 在中，角满足，则 ；；（）。 证明：由，根据诱导公式 推论：（）。 应用场景：解三角形中化简内角三角函数式。 【题型1 任意角与弧度制的概念辨析】 理解与角的概念有关问题的关键 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 1．（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·期末）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列命题正确的是（    ）． A．小于的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角 C．与终边相同的最小正角是 D．若，则是第四象限角 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ） A． B． C． D． 【题型2 终边相同的角的表示】 终边相同的角的表示 (1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． 6．【多选】（25-26高一上·广东·期末）下列各角中，与终边相同的有（    ） A． B． C． D． 7．【多选】（24-25高一下·湖南长沙·期末）与405°角终边相同的角是（    ）． A． B． C． D． 8．（24-25高一下·四川成都·月考）与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·广东清远·期末）已知角，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（21-22高一上·江苏镇江·期末）下列选项中与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 12．【多选】（21-22高一上·江苏镇江·期末）已知角与角的终边相同，则角可以是（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据图形写出角的范围】 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 13．（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．B．C．D． 14．（22-23高一下·四川眉山·期中）（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          （2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 15．（22-23高一下·江西上饶·月考）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．    16．（22-23高一下·山西朔州·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型4 确定角所在的象限】 象限角的判定方法 ①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系． ②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的． 17．（2025高一上·全国·专题练习）已知角，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知角，那么的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．（24-25高一上·江苏南通·期末）若与角终边相同，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 20．（22-23高一上·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 21．（24-25高一上·广西百色·期末）顶点与坐标系原点重合，始边与x轴非负半轴重合，大小为的角的终边落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．【多选】（23-24高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 23．【多选】（21-22高一上·安徽阜阳·期末）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 24．【多选】（23-24高一下·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型5 弧长与扇形面积公式的应用】 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 25．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为 . 26．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的弧长为（    ） A． B．5 C． D． 27．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知扇形的圆心角为，面积为4，则扇形的周长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 28．（24-25高一上·上海·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为 ． 29．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·江苏镇江·期末）《九章算术》中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是说：现有一块扇形田，弧长30步，扇形所在圆的直径为16步，则这块扇形田的面积（单位：平方步）是（   ） A．100 B．110 C．120 D．130 31．（24-25高一上·江苏南京·期末）如图，弦将圆分割成两个弓形区域．已知圆的半径为，则图中面积较小的弓形区域的面积为 . 32．（2024高三·全国·专题练习）如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 33．（2025高三·全国·专题练习）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ． 34．（24-25高一上·江苏盐城·期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为 弧度． 35．（21-22高一下·辽宁大连·月考）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 36．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 37．（21-22高一上·江苏苏州·期末）立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 【题型6 利用定义求三角函数值】 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝， cos α＝. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论． 注：1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解； 2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题； 3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值 方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论） 38．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知角终边上一点坐标，则 . 39．（22-23高一下·江西抚州·期末）若角的终边经过点，则等于（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 41．（23-24高一上·上海·期末）若角的终边上有一点，，则的值是 . 42．（2024高一上·全国·专题练习）随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点，若照片长、宽比例为8：5，设，则（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知角终边上一点，若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 44．（21-22高一上·江苏南京·期末）已知角的终边经过点，且．则的值为 45．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 46．【多选】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【题型7 三角函数值的符号判断】 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 48．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知是第四象限的角，则点在第 象限． 49．（24-25高一下·陕西·月考）“”是“角为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 50．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 51．【多选】（25-26高一上·广东·期末）若为第二象限角，则下列正确的有（    ） A．， B．， C．， D．， 52．（24-25高一上·广东阳江·期末）“是第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 53．（24-25高二下·云南·期末）若，则为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 54．（20-21高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知角，则“α为第二象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 55．（24-25高一下·四川达州·期末）是角为第三象限角的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 56．（20-21高一下·上海松江·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【题型8 sina、cosa、tana知一求二】 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。 注：(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值． (4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号． 57．（2025高二上·云南·学业考试）已知为第一象限角.若，则（   ） A． B． C． D． 58．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 59．（24-25高一下·贵州黔南·期末）已知为锐角，且，则 ． 60．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【题型9 利用同角三角函数的基本关系化简、求值】 利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称． (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号． (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． 61．（2025·安徽·二模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 62．（24-25高一上·上海·期末）若，则的值是 ． 63．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 64．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 65．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知. (1)求； (2)若是第一象限角，求的值. 66．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知是第三象限角，则化简结果为（    ） A． B． C． D． 【题型10 正（余）弦齐次式的应用】 正、余弦齐次式的计算 (1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的． (2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值． (3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养． 67．（24-25高一上·云南德宏·期末）若，则 . 68．（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 69．（24-25高一上·江苏盐城·期末）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 70．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知. (1)若，且，求的值； (2)若，求的值. 71．（24-25高三上·河南·期中）（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值； （2）已知，且，求的值. 72．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知，计算： (1)； (2). 73．（22-23高一上·江苏淮安·期末）若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 74．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知，则的值为 . 75．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 76．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数，则 . 77．（21-22高一下·江苏泰州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型11 sina·cosa、sina±cosa关系】 sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ， 利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”． (2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号． 78．【多选】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 79．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 80．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知关于x的一元二次方程的两根为sinα，cosα，则m的值为（　　） A． B． C． D． 81．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 82．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 83．【多选】（22-23高一下·江苏镇江·开学考试）已知，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 84．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若，，则的值为 . 85．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知. (1)化简：； (2)若，求的值. 86．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型12 由条件等式求正、余弦】 1.观察式子：判断含有的三角函数类型（弦、切），确定转化方向（切化弦/弦的消元）； 2.消元转化：通过代入法、平方变形，将式子转化为仅含sinα或cosα的方程； 3.求解方程：解一次或二次方程，得到候选值； 4.符号判定：根据题目隐含条件或象限信息，确定正余弦正负. 87．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 88．【多选】（22-23高二上·辽宁朝阳·月考）已知，则的值可以是（    ） A． B． C． D．3 89．（24-25高一上·湖北·期末）若，且，则 . 90．【多选】（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 91．（24-25高三上·广东深圳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 92．（23-24高一下·上海·期末）若，且，则 ． 93．（23-24高二上·山西·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 94．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 【题型13 利用诱导公式求三角函数值】 用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 95．（23-24高一上·山东菏泽·期末）（   ） A． B． C． D． 96．（24-25高一下·广东汕头·期末）（   ） A． B． C． D． 97．（22-23高一下·山西大同·月考）=（ ） A． B． C． D． 98．（24-25高一下·河北承德·期末）（   ） A． B． C． D． 99．（24-25高一下·河南驻马店·期末）（   ） A． B． C．1 D． 【题型14 给值(式)求值】 1.观察式子中角的特征（如、），用诱导公式统一角（同名同角），消除差异角； 2.切化弦、弦化切灵活转化，将式子化为仅含、或的形式； 3.结合或，代入已知条件求解； 4.根据角的象限确定函数值正负，避免符号错误. 100．（20-21高一上·江苏扬州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 101．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知，，则 ． 102．（2025·浙江温州·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 103．（25-26高一上·陕西·期末）已知，，则 ． 104．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，且，则的值为 . 105．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 106．（24-25高一下·河北·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 107．（24-25高一下·贵州黔西·期末）已知，且是第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 【题型15 利用互余互补关系求值】 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 108．（24-25高一下·河北保定·期末）已知，则=（    ） A． B． C． D． 109．（20-21高一·浙江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 110．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则 . 111．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知函数，则（    ）． A． B． C． D． 【题型16 利用诱导公式化简求值】 用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 112．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 113．（25-26高一上·全国·期末）已知角终边上一点，则 ． 114．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知. (1)化简； (2)若，求. 115．（24-25高一下·河北保定·期末）已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 116．（24-25高一下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求实数及相应的值； (2)当时，化简并求值. 【题型17 诱导公式在三角形中的应用】 1. 三角形内角和，得、，结合诱导公式、、转化角。 1. 遇与，用、；遇半角与，用。 1. 注意：，正弦恒正，余弦符号由角大小定，转化后结合正余弦定理求解。 117．（24-25高一下·吉林长春·期末）在中，若，则为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 118．（22-23高一下·四川资阳·期中）在△ABC中，，，则为 三角形． 119．（22-23高三上·湖南邵阳·期中）已知与满足：，，，则（    ） A．是钝角三角形，是锐角三角形 B．是锐角三角形，是钝角三角形 C．两个三角形都是锐角三角形 D．两个三角形都是钝角三角形 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏苏州·月考）的值是（   ） A． B． C． D． 2．（浙江省金华市卓越联盟2025-2026学年高一上学期12月阶段性联考数学试题）是第几象限角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 3．（云南省“美美与共”民族中学教研联盟2025-2026学年高一上学期12月联考（二）数学试题）已知，则（    ） A． B． C． D．0 4．（25-26高三上·福建福州·期中）已知，则的值（   ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 5．（湖北省百强高中名校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题）已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 6．（25-26高一上·河南·月考）设函数的图象经过定点，则以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河南·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东中山·月考）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（25-26高一上·福建龙岩·月考）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（浙江省金华市卓越联盟2025-2026学年高一上学期12月阶段性联考数学试题）如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知角和的终边关于x轴对称，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025高二上·山西·学业考试）已知，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若是锐角，则 D．若是钝角，则 14．（25-26高一上·重庆江北·月考）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形.图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（   ） A．每一个直角三角形的面积为 B． C． D． 15．（25-26高一上·河南洛阳·月考）下列选项中，正确的有（    ） A．与的终边相同 B．若是第二象限角，则可能是第三象限角 C．若角的终边上有一点，且，则 D．若，则 三、填空题 16．（浙江省强基联盟2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题）已知，则 . 17．（25-26高二上·广东中山·月考），则 ． 18．（25-26高一上·湖南邵阳·月考） ． 19．（2025高一·江苏·专题练习）已知，，则 ． 20．（25-26高一上·福建南平·月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 . 21．（25-26高一上·上海闵行·月考）已知，则 ． 22．（25-26高一上·河南洛阳·月考）在中，若，则 . 23．（广东省和美联盟2025-2026学年高一上学期12月数学试题）已知角的终边经过点，则 ． 四、解答题 24．（25-26高一上·山东青岛·月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求； (2)求点的坐标. (3)求的值. 25．（25-26高一上·河南·月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 26．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知 (1)求的值； (2)求的值. 27．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知. (1)若角的终边过点，始边为非负半轴，求； (2)若，分别求和的值. 28．（25-26高一上·江苏盐城·期中）（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值． 29．（25-26高一上·上海普陀·月考）（1）已知，求的值； （2）已知角是第二象限角，且，若角的终边与单位圆交于第二象限内的点P，求点P坐标． 30．（25-26高一上·江苏苏州·月考）（1）已知角α的终边经过点，求α的正弦值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 31．（25-26高一上·广西·期中）已知，且为第三象限角. (1)求和的值； (2)已知，求的值. (3)若，求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 三角函数的概念与诱导公式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】任意角与弧度制 1、任意角的定义 （1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）角的表示： ①始边：射线的起始位置． ②终边：射线的终止位置． ③顶点：射线的端点O． ④记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． （3）角的分类： ①正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； ③零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 2、象限角与轴线角 （1）象限角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 （2）轴线角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 3、角度制与弧度制 （1）角度制与弧度制的定义 ①规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. ②弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. （2）角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 4、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 【考点02】三角函数的定义与符号 1、三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点， 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 【补充】三角函数另一种定义 设点（不与原点重合）为角终边上任意一点， 点P与原点的距离为：，则：，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 2、三角函数的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 3、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 【考点03】同角三角函数的基本关系 1、同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 注意以下三点： （1） “同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关， 如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． （2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 2、关系式的常用等价变形 （1） （2） 【考点04】诱导公式 1、诱导公式（一~六） （1）诱导公式一：，，，其中 （2）诱导公式二：角与角的终边关于原点对称 ， ， ，其中 （3）诱导公式三：角与角的终边关于轴对称 ， ， ， 其中 （4）诱导公式四：角与角的终边关于轴对称 ， ， ，其中 （5）诱导公式五：，，其中 （6）诱导公式六：，，其中 2、诱导公式拓展 注：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. 3、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”， 意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦； 当为偶数时，函数名不变， 然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 【小结】诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 【二级结论1】齐次式化切结论 若 ，则对关于 、 的一次齐次式或二次齐次式，可化为关于 的代数式： 1.一次齐次式：直接除以，化为切（）。 2.二次齐次式：（）。 应用场景：已知求三角函数分式值，无需解、。 【二级结论2】，（） 证明：分两种情况讨论： 1.当为偶数时，设（） ， 此时，故，余弦同理。 2.当为奇数时，设（） 此时，故，余弦同理。 应用场景：快速化简含整数倍的三角函数，无需分步判断象限。 【二级结论3】互补角与互余角的延伸结论 1.若，则，， 2.若，则， 3.若，则， 应用场景：解三角形或角度关系题中，快速转换角度的三角函数。 【二级结论4】三角形内角三角函数结论 在中，角满足，则 ；；（）。 证明：由，根据诱导公式 推论：（）。 应用场景：解三角形中化简内角三角函数式。 【题型1 任意角与弧度制的概念辨析】 高妙技法 理解与角的概念有关问题的关键 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 1．（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的概念计算可得； 【详解】经过5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为. 故选：B. 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解. 【详解】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为， 则1圈的的弧度数为， 且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角， 因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高一上·上海·期末）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】根据角的定义和象限角的概念得到答案. 【详解】①终边相同的角不一定相等，比如终边相同，①正确； ②第二象限的角可能小于第一象限的角，比如，，②错误； ③若，则是第一象限的角，③正确； ④不妨考虑，小于，但不是锐角，④错误. 故选：②④ 4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列命题正确的是（    ）． A．小于的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角 C．与终边相同的最小正角是 D．若，则是第四象限角 【答案】C 【分析】根据锐角定义判断A，取特殊角判断B，根据终边相同的角判断C，确定所在象限判断D. 【详解】，但是由锐角的定义知不是锐角，故A错误； 是第二象限的角，是第一象限的角，但，故B错误； 因为，所以与终边相同的最小正角是，故C正确； 且，所以是第三象限角，故D错误. 故选：C 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度. 【详解】因为相互啮合的两个齿轮，大轮48齿，小轮20齿， 所以当大轮转动一周时时，大轮转动了48个齿， 所以小轮此时转动周， 即小轮转动的角度为. 故选：B 【题型2 终边相同的角的表示】 高妙技法 终边相同的角的表示 (1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． 6．【多选】（25-26高一上·广东·期末）下列各角中，与终边相同的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案. 【详解】，即与终边相同，A正确； ，即与终边相同，B正确； ，即与终边不相同，C错误； ，即与终边相同，D正确． 故选：ABD 7．【多选】（24-25高一下·湖南长沙·期末）与405°角终边相同的角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据终边相同的角定义判断. 【详解】由于， 故与405°终边相同的角应为或． 故选：BC 8．（24-25高一下·四川成都·月考）与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在中与角终边相同的角，再写成集合的形式即可判断. 【详解】因， 故与角终边相同的角的集合可表示为，C项正确， 而A，B，D项中的角都与终边不同. 故选：C. 9．（24-25高一上·广东清远·期末）已知角，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据终边相同的角的性质即可求. 【详解】，故与的角终边相同，其中在第三象限，故角的终边在第三象限． 故选:C． 10．（21-22高一上·江苏镇江·期末）下列选项中与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先表达出与角终边相同的角，从四个选项中挑选符合要求的角. 【详解】与终边相同的角为，，当时，， C选项符合要求，经过检验，其他选项不符合要求. 故选：C 11．（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知有，即可判断可能值. 【详解】由题设，可得， 所以各选项中只有满足. 故选：B 12．【多选】（21-22高一上·江苏镇江·期末）已知角与角的终边相同，则角可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据终边相同的角的知识确定正确选项. 【详解】依题意， 当时，， 当时，， 所以BD选项符合，AC选项不符合. 故选：BD 【题型3 根据图形写出角的范围】 高妙技法 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 13．（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】对按奇偶分类讨论可得． 【详解】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 14．（22-23高一下·四川眉山·期中）（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          （2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 【答案】（1）答案见解析；（2）；是第一象限角． 【分析】（1）根据终边相同的角及角的概念求解即可得； （2）根据弧度制与角度概念转化书写即可. 【详解】（1）① ； ②． （2）∵，∴． 又，所以与终边相同，是第一象限角． 15．（22-23高一下·江西上饶·月考）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．    【答案】． 【分析】写出阴影部分边界处终边相同的角，再表示出阴影部分角的集合. 【详解】由图，阴影部分下侧终边相同的角为，上侧终边相同的角为且， 所以阴影部分（包括边界）的角的集合为. 故答案为： 16．（22-23高一下·山西朔州·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分奇偶讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，， 当时，,所以选项C满足题意. 故选：C. 【题型4 确定角所在的象限】 高妙技法 象限角的判定方法 ①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系． ②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的． 17．（2025高一上·全国·专题练习）已知角，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题已知角的度数，求角的终边所在象限，利用周期性转化为范围内的角研究即可. 【详解】由题，，且是第三象限角，由周期性可知，角的终边在第三象限. 故选：C. 18．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知角，那么的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限． 【详解】因为，又，所以的终边在第三象限． 故选：C． 19．（24-25高一上·江苏南通·期末）若与角终边相同，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】根据终边相同的角，表示出，得到，即可判断出结果. 【详解】因为与角终边相同，所以，则， 所以是第三象限角； 故选：C 20．（22-23高一上·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】由象限角的定义即可求解. 【详解】由题意是第二象限角， 所以不妨设， 所以， 由象限角的定义可知是第四象限角. 故选：D. 21．（24-25高一上·广西百色·期末）顶点与坐标系原点重合，始边与x轴非负半轴重合，大小为的角的终边落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由象限角的定义对进行判定. 【详解】∵，∴的角的终边落在第二象限. 故选：B. 22．【多选】（23-24高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【分析】为第二象限角，得到，得到答案. 【详解】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 故选：CD 23．【多选】（21-22高一上·安徽阜阳·期末）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 【答案】AB 【分析】由与关于x轴对称，判断A选项； 由已知得，，再根据不等式的性质可判断B选项； 由是第一象限角判断C选项； 由不等式的性质可得，，由此可判断D选项． 【详解】解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确； 因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确； 因为是第二象限角，所以是第一象限角，故 C选项错误； 因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误． 故选：AB. 24．【多选】（23-24高一下·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】利用给定条件解出的范围，再分类讨论求解即可. 【详解】由题意可得，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限，故A正确； 当时，此时的终边落在第二象限，故B正确； 当时，此时的终边落在第三象限，故C正确． 故选：ABC 【题型5 弧长与扇形面积公式的应用】 高妙技法 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 25．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为 . 【答案】 【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 26．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的弧长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】将圆心角化为弧度制，根据扇形的弧长公式即可求解. 【详解】， 所以扇形的弧长为. 故选：. 27．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知扇形的圆心角为，面积为4，则扇形的周长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】求出扇形的半径和弧长，即可求得答案. 【详解】设扇形的半径为r，则， 则扇形的弧长为，故扇形周长为， 故选：B 28．（24-25高一上·上海·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】先求得弧长，利用扇形面公式积可求解. 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径r=10cm， 则扇形的弧长， 扇形的面积为． 故答案为：. 29．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将角度转换为弧度后借助扇形面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则， 则. 故选：A. 30．（24-25高一上·江苏镇江·期末）《九章算术》中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是说：现有一块扇形田，弧长30步，扇形所在圆的直径为16步，则这块扇形田的面积（单位：平方步）是（   ） A．100 B．110 C．120 D．130 【答案】C 【分析】利用扇形面积公式直接代入计算可得结果. 【详解】易知扇形所在圆的半径为8步， 因此这块扇形田的面积为平方步. 故选：C 31．（24-25高一上·江苏南京·期末）如图，弦将圆分割成两个弓形区域．已知圆的半径为，则图中面积较小的弓形区域的面积为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用扇形和三角形的面积的公式，即可求解. 【详解】如图，取中点，易知，因为，， 所以，，故， 又劣弧所在扇形的面积为， 所以图中面积较小的弓形区域的面积为， 故答案为：. 32．（2024高三·全国·专题练习）如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果. 【详解】设，由，得，即， 所以 故选：D 33．（2025高三·全国·专题练习）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由条件，根据圆心角的弧度数与弧长和半径的关系列方程求，结合扇形面积公式求结论. 【详解】设圆心角为，则， 所以， 解得，所以，， 所以此扇环形砖雕的面积为 . 故答案为：. 34．（24-25高一上·江苏盐城·期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为 弧度． 【答案】2 【分析】设扇形的圆心角和半径，由周长和面积建立方程组，解出圆心角. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则，则. 故答案为：2. 35．（21-22高一下·辽宁大连·月考）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 所以扇形的面积为，所以， 又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 36．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【分析】（1）根据弧度与角度的关系，用弧度表示圆心角，结合弧长公式求弧长； （2）由条件确定弧长与半径的关系，再由扇形面积公式用表示，并求其最小值即可. 【详解】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 37．（21-22高一上·江苏苏州·期末）立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 【答案】 / 【分析】由题意可得，，当时，解得，再结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解. 【详解】由题意可得，，解得， 当时，解得， ， 装饰费为 故， 令，， 则， ∵，当且仅当，即，即时，等号成立， ∴的最小值为， 花坛每平方米的装饰费用最小为元. 故答案为：5；. 【点睛】关键点点睛：题意可得，，得是解决本题的关键. 【题型6 利用定义求三角函数值】 高妙技法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝， cos α＝. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论． 注：1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解； 2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题； 3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值 方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论） 38．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知角终边上一点坐标，则 . 【答案】/ 【分析】根据终边上的点及余弦函数的定义求函数值. 【详解】由题设. 故答案为： 39．（22-23高一下·江西抚州·期末）若角的终边经过点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数定义可得. 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以， 所以. 故选：A 40．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数定义直接代入计算可得结果. 【详解】由题意可知， 所以可得. 故答案为： 41．（23-24高一上·上海·期末）若角的终边上有一点，，则的值是 . 【答案】 【分析】利用三角函数的定义求解. 【详解】解：因为角的终边上有一点， 所以，， 所以， 故答案为： 42．（2024高一上·全国·专题练习）随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点，若照片长、宽比例为8：5，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合三角函数的定义，求得的值，代入即可求解. 【详解】根据题意，可得所以， 由三角函数的定义，可得，，， 所以. 故选：B. 43．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知角终边上一点，若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的三角函数定义可求解. 【详解】根据题意可得：，解得：. 故选：D. 44．（21-22高一上·江苏南京·期末）已知角的终边经过点，且．则的值为 【答案】 【分析】根据三角函数定义即可求解． 【详解】由于角的终边经过点，所以，得 所以 故答案为： 45．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案. 【详解】依题意，，其中，为坐标原点，则， 所以. 故选：D. 46．【多选】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角函数的定义列式，求得，再根据正切函数的定义即可求解. 【详解】由题意角的终边经过点，且，可知， 解得，故A正确，B错误； 所以角的终边经过点，所以，故C正确，D错误. 故选：AC. 47．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【答案】D 【分析】根据终边上的点及已知函数值得，即，再结合三角函数的定义判断各项的正误. 【详解】由题设，可得，A错； 所以，则为第三象限的角，B错； ，C错； ，D对. 故选：D 【题型7 三角函数值的符号判断】 高妙技法 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 48．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知是第四象限的角，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可. 【详解】因为是第四象限的角， 所以， 故点在第二象限. 故答案为：二 49．（24-25高一下·陕西·月考）“”是“角为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的符号法则判断. 【详解】当角为第二象限角时，，则； 反之，当时，或， 则为第二象限角或为第四象限角， 所以“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件. 故选：B 50．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立， 若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立， ∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件. 故选：C. 51．【多选】（25-26高一上·广东·期末）若为第二象限角，则下列正确的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】根据三角函数的符号规律直接判断即可. 【详解】若为第二象限角，则，，． 所以，为第二象限角，则或或． 故选：BC． 52．（24-25高一上·广东阳江·期末）“是第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合三角函数的定义检验充分必要性即可求解． 【详解】当是第四象限角时，，则一定成立，即充分性成立； 当时，与异号，此时为第三或第四象限，即必要性不成立， 所以“是第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 53．（24-25高二下·云南·期末）若，则为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据各象限三角函数符号特征判断即可 【详解】由，得角的终边在y轴左侧，即第二或第三象限，或x轴负半轴， 由，得角的终边在第一或第三象限， 所以当时，为第三象限角. 故选：C 54．（20-21高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知角，则“α为第二象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据象限角的性质即可结合充分必要条件的定义求解. 【详解】若α是第二象限角，则，故充分性成立， 若，则是第二象限角或者第三象限角或者终边在轴负半轴上，故必要性不成立，“α为第二象限角”是“”的充分不必要条件， 故选：A 55．（24-25高一下·四川达州·期末）是角为第三象限角的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由正弦正切值的正负结合必要不充分条件判断可得. 【详解】可得或，即为第三象限角或第二象限角， 所以是角为第三象限角的必要不充分条件. 故选：B. 56．（20-21高一下·上海松江·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数正负性的性质进行逐一判断即可. 【详解】因为，所以在第二象限或第四象限. A：当在第二象限时，不成立；当在第四象限时，成立，故本选项不正确； B：当在第二象限时，成立；当在第四象限时，不成立，故本选项不正确； C：当在第二象限时，即 ，所以成立； 当在第四象限时，即 ，所以成立，因此本选项正确； D：当在第二象限时，即 ，所以不恒成立； 当在第四象限时，即 ， 所以不恒成立，因此本选项不正确， 故选：C 【题型8 sina、cosa、tana知一求二】 高妙技法 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。 注：(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值． (4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号． 57．（2025高二上·云南·学业考试）已知为第一象限角.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角的平方和为1，结合为第一象限角，可求的值. 【详解】因为，，所以， 又因为为第一象限角，所以. 故选：D. 58．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角的范围求解. 【详解】因为， 所以 ， 又因为， 所以 . 故选：. 59．（24-25高一下·贵州黔南·期末）已知为锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】根据，且为锐角，推出，根据即可求解. 【详解】因为为锐角，且，所以， 故． 故答案为：. 60．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据商数关系和平方关系直接求出正弦即可． 【详解】因为，故是第一象限角，且， 故，又， ， 解得：，（舍去）， 故选：A． 【题型9 利用同角三角函数的基本关系化简、求值】 高妙技法 利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称． (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号． (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． 61．（2025·安徽·二模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据商数关系和平方关系求解即可. 【详解】，所以， 解得或（舍）， 故选：B. 62．（24-25高一上·上海·期末）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的平方关系对根号下的式子进行变形，然后根据的取值范围确定的正负，从而对根式进行化简，最后得出式子的值. 【详解】因为，所以. 那么原式就变为. 已知，在这个区间内，. 因为，所以. 则. 故答案为： 63．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为第二象限角，所以. 因为，所以. 所以. （2），则. 因为为第二象限角，所以， 所以. 64．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将化成，再结合化简即可. 【详解】原式， 因为，则，所以上式. 故选：A 65．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知. (1)求； (2)若是第一象限角，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）配凑分母，根据正余弦齐次式的求法可构造方程求得结果； （2）利用同角三角函数关系化简所求式子，并求得的值，代入即可得到结果. 【详解】（1）， ，解得：或. （2）， 是第一象限角，，， 由（1）知：，由得：， . 66．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知是第三象限角，则化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合弦函数的值域化简即可. 【详解】 ， 因为是第三象限角，所以， 所以原式化简结果为. 故选：D 【题型10 正（余）弦齐次式的应用】 高妙技法 正、余弦齐次式的计算 (1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的． (2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值． (3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养． 67．（24-25高一上·云南德宏·期末）若，则 . 【答案】/0.4 【分析】根据题意结合齐次式问题分析求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 68．（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：A 69．（24-25高一上·江苏盐城·期末）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以 . 故选：D 70．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知. (1)若，且，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）解法1由平方关系得到，从而解出即可；解法2由同角的三角函数关系解出，从而求出结果； （2）解法1由同角的三角函数关系和商数关系计算即可；解法2由已知得到，再由同角的三角函数关系化简得到； 【详解】（1）解法1：， 因为， 所以，即， 从而， 因为，， 又因为，所以，因此， 从而， 故． 解法2：由及， 解得，， 或，， 因为，所以，， 所以，因此． （2）解法1：， 所以， 假设，则由上式知，与矛盾， 所以， 从而． 则 解法2：，所以， 又，所以，即， 因此． 71．（24-25高三上·河南·期中）（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值； （2）已知，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意得到的值，将除以，分子分母同时除以，即可得到有关的式子，代入即可得到答案； （2）先根据完全平方公式得到的值，然后再利用完全平方公式得到的值，构造等式即可求得结果. 【详解】（1）由，得或， 是方程的一个实根，且是第三象限角，， . （2）， ，则， ，所以， 故， . 72．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知，计算： (1)； (2). 【答案】(1)3 (2) 【分析】将齐次式用表示，再代入值求解即可． 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，所以． 73．（22-23高一上·江苏淮安·期末）若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】正、余弦齐次式的计算求值. 【详解】由，有， ∴. 故选：B 74．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】，后利用可得答案. 【详解】因， 则，又， 则. 故答案为： 75．（22-23高一上·江苏南通·期末）已知，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】结合同角三角函数的基本关系式，先求得，然后求得，进而求得. 【详解】由于， 所以， 两边乘以并化简得， 由于，所以解得， 所以， 所以. 故选：C 76．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数，则 . 【答案】 【分析】利用齐次式化简再求函数值可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：0. 77．（21-22高一下·江苏泰州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的关系与二倍角公式化简计算即可 【详解】由，即，，故，解得 故选：C 【题型11 sina·cosa、sina±cosa关系】 高妙技法 sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ， 利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”． (2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号． 78．【多选】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数的关系，结合正、余弦值的符号逐项计算判断. 【详解】由，得，所以， 又，所以，结合， 解得，所以. 故选：AC. 79．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【详解】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故选：A. 80．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知关于x的一元二次方程的两根为sinα，cosα，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根与系数的关系可得，，由同角三角函数的性质可得m的值． 【详解】关于x的一元二次方程的两根为 ，可得m， 又由韦达定理可得 所以 解得即m． 故选：C． 81．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用与之间的关系式，再由平方关系计算可得A错误，B错误，联立方程组并由商数关系可得C错误，代入计算可得D正确. 【详解】由可得，即； 所以，即，即A错误； 又，所以，因此 所以，即B错误； 联立，可得， 所以，即C错误； 代入计算可得，即D正确. 故选：D 82．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将条件平方后求得，又由得，从而得解； （2）由与可求得与，利用商数关系求得，从而得解. 【详解】（1）将两边平方得：， ， 又， ， ， . （2）由（1）可知， 又， ， ， . 83．【多选】（22-23高一下·江苏镇江·开学考试）已知，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用，的关系，结合平方关系判断各项正误. 【详解】因为，则. 对于A，，可得，A正确； 对于B，由A可知，，则， 所以，则，B正确； 对于C，，可得则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD. 84．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】由 ， 因此， 于是， 故答案为： 85．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知. (1)化简：； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用所给范围，结合同角关系式进行化简； （2）利用关系式和范围，求出、的值，化简式子代入即可. 【详解】（1）原式 因为，所以，所以原式 （2）因为，所以，即， 所以. 所以. 因为，所以.所以. 所以. 所以. 86．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过求出的值，即可得出结论. 【详解】由题意， ， ∴， ， 解得：， ∴， ∴解得：， ∴， 故选：A. 【题型12 由条件等式求正、余弦】 高妙技法 1.观察式子：判断含有的三角函数类型（弦、切），确定转化方向（切化弦/弦的消元）； 2.消元转化：通过代入法、平方变形，将式子转化为仅含sinα或cosα的方程； 3.求解方程：解一次或二次方程，得到候选值； 4.符号判定：根据题目隐含条件或象限信息，确定正余弦正负. 87．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件结合同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】因为，且角的终边不在轴上， 联立解得，则. 故选：B. 88．【多选】（22-23高二上·辽宁朝阳·月考）已知，则的值可以是（    ） A． B． C． D．3 【答案】CD 【分析】利用平方关系结合已知求出，再根据商数关系即可得出答案. 【详解】解：由，得， 又， 所以， 解得或， 当时，，则， 当时，，则. 故选：CD. 89．（24-25高一上·湖北·期末）若，且，则 . 【答案】/ 【分析】解法1：联立与，由已知可得，即可解出的值； 解法2：由结合化简得出，再与联立可求得的值； 解法3：令，由平方关系可得出关于的值，分析出，可求出的值，与已知等式联立可求得的值. 【详解】解法1：由已知得， 与联立可得， 故， 因为，则，所以. 解法2：由可知， 因为，则，，则， 由于，则， 联立，解得，即. 解法3：由，构造对偶式，令， 两式平方相加可得 ， 因为，则，，则， 即或（舍）， 所以，解得. 故答案为：. 90．【多选】（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABC 【分析】根据题意可得.对于A：可得，即可得结果；对于B：分析可知为方程的根，即可得结果；对于C：，结合运算求解即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为，两边平方整理可得， 且，则. 对于选项A：若，则，所以，故A正确； 对于选项B：若，则，， 可知为方程的根， 又因为的根为，所以，故B正确； 对于选项C：若，则， 可得， 且，，可知，所以，故C正确； 对于选项D：例如，则，故D错误； 故选：ABC. 91．（24-25高三上·广东深圳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合解方程即可. 【详解】因为，则，且， 联立方程，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 92．（23-24高一下·上海·期末）若，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由已知条件结合平方和关系求出和即可求. 【详解】因为，所以， 又即， 故由平方和关系得即， 所以即，故， 所以. 故答案为：. 93．（23-24高二上·山西·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知结合平方关系求出，再代入即可得解. 【详解】因为，所以， 又， 所以，即， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 94．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知条件，利用同角三角函数关系以及角的象限所对应的三角函数值的符号求得的值，再根据为第三象限角，借助同角基本关系式求得的值. 【详解】因为为第三象限角，所以， 所以 ， 则， 又，所以,解得， 又，所以， 故答案为：. 【题型13 利用诱导公式求三角函数值】 高妙技法 用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 95．（23-24高一上·山东菏泽·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】由题意， 故选：D 96．（24-25高一下·广东汕头·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的奇偶性、周期性和特殊角的三角函数值直接求解即可. 【详解】， 故选：B 97．（22-23高一下·山西大同·月考）=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简计算即可. 【详解】. 故选：A 98．（24-25高一下·河北承德·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式计算. 【详解】, 故选：A. 99．（24-25高一下·河南驻马店·期末）（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】借助正切函数的诱导公式计算即可得. 【详解】. 故选：C. 【题型14 给值(式)求值】 高妙技法 1.观察式子中角的特征（如、），用诱导公式统一角（同名同角），消除差异角； 2.切化弦、弦化切灵活转化，将式子化为仅含、或的形式； 3.结合或，代入已知条件求解； 4.根据角的象限确定函数值正负，避免符号错误. 100．（20-21高一上·江苏扬州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件利用诱导公式可求，再由平方关系求结论. 【详解】因为，， 所以，又，则， 所以. 故选：D. 101．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数，可得答案. 【详解】因且，则， 则. 故答案为：. 102．（2025·浙江温州·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可. 【详解】由，可得，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 103．（25-26高一上·陕西·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式即得. 【详解】因且，则， 则. 故答案为：. 104．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，且，则的值为 . 【答案】 【分析】由诱导公式计算可得. 【详解】，所以， 因为，所以 所以， 故答案为：. 105．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式即可求得结果. 【详解】由诱导公式得 故选：D 106．（24-25高一下·河北·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 107．（24-25高一下·贵州黔西·期末）已知，且是第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，结合诱导公式逐一验算各个选项即可求解. 【详解】已知，且是第一象限角，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【题型15 利用互余互补关系求值】 高妙技法 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 108．（24-25高一下·河北保定·期末）已知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式化简可得结果. 【详解】. 故选：A. 109．（20-21高一·浙江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对所求式子进行变形，利用已知条件得出答案即可. 【详解】，． 故选：. 110．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 111．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知函数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的诱导公式对所求式子进行化简求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：B． 【题型16 利用诱导公式化简求值】 高妙技法 用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 112．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义先求，再利用诱导公式化简即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：D. 113．（25-26高一上·全国·期末）已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可. 【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得： 点到原点的距离：， 因此，，所以， 因为，， ，， 所以 分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得： 原式， 故答案为：. 114．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知. (1)化简； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式化简求值； （2）在（1）基础上得到，凑角后利用诱导公式即得答案. 【详解】（1）； （2）由可得， 则. 115．（24-25高一下·河北保定·期末）已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用诱导公式及同角公式列式计算得解. （2）利用诱导公式化简，再利用齐次式法计算得解. 【详解】（1）依题意，，由是第二象限角，得， 又，解得，所以. （2）． 116．（24-25高一下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求实数及相应的值； (2)当时，化简并求值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由三角函数的定义建立方程，求得解，分情况求得函数值，可得答案； （2）由题意求得正弦值与余弦值，利用诱导公式与同角三角函数关系式，可得答案. 【详解】（1）根据三角函数的定义得，解得或， 当时，，， 当时，. （2）由可知，此时，， 原式. 【题型17 诱导公式在三角形中的应用】 高妙技法 1. 三角形内角和，得、，结合诱导公式、、转化角。 1. 遇与，用、；遇半角与，用。 1. 注意：，正弦恒正，余弦符号由角大小定，转化后结合正余弦定理求解。 117．（24-25高一下·吉林长春·期末）在中，若，则为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】结合角的范围，由正弦函数的性质可得． 【详解】中，， 若，则或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：C． 118．（22-23高一下·四川资阳·期中）在△ABC中，，，则为 三角形． 【答案】直角 【分析】先根据诱导公式化简，再根据特殊角三角函数值得角，最后根据三角形内角关系求得结果. 【详解】在中， 由，得，即， 又，∴， 又，，即， 又，∴， ∴， ∴为直角三角形． 故答案为：直角. 119．（22-23高三上·湖南邵阳·期中）已知与满足：，，，则（    ） A．是钝角三角形，是锐角三角形 B．是锐角三角形，是钝角三角形 C．两个三角形都是锐角三角形 D．两个三角形都是钝角三角形 【答案】A 【分析】在三角形中，所有内角的正弦值均为正数，故的内角余弦值均为正数，故可得到为锐角三角形；另一方面，根据可知或,即为锐角或钝角，同理可得到，为锐角或钝角，但，，中必然有一个为钝角，即可得出结论. 【详解】在与中， ，， ，，均为锐角，因此为锐角三角形. 另一方面，，可得或，即， 可得为锐角或钝角，同理可得到，为锐角或钝角，但，，中必然有一个为钝角，否则不成立， 因此为钝角三角形. 故选：A. 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏苏州·月考）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式将转化为锐角三角函数，再根据特殊角的三角函数数值求解. 【详解】 故选： 2．（浙江省金华市卓越联盟2025-2026学年高一上学期12月阶段性联考数学试题）是第几象限角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】由终边相同，即可判断. 【详解】， 故终边相同， 又，第一象限的角， 所以是第一象限的角， 故选：A 3．（云南省“美美与共”民族中学教研联盟2025-2026学年高一上学期12月联考（二）数学试题）已知，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用同角的三角函数关系式中的商关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A 4．（25-26高三上·福建福州·期中）已知，则的值（   ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 5．（湖北省百强高中名校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题）已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】D 【分析】由已知有，，再求出的范围，即可得. 【详解】由，，则，， 为奇数时，在第四象限， 为偶数时，在第二象限， 所以在第二或第四象限. 故选：D 6．（25-26高一上·河南·月考）设函数的图象经过定点，则以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数过定点求出，再结合图象由终边相同的角的表示可求得答案. 【详解】令，解得，， 故点坐标为， 结合图象，由终边相同的角的表示可知. 故选：C. 7．（25-26高一上·河南·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数的定义可求出即可求出答案. 【详解】由三角函数的定义可得， ， ， ， 所以. 故选：C. 8．（25-26高二上·广东中山·月考）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】因为， 所以，或， 解得：，或， 所以推不出， 当，即时，， 又，所以， 所以推出， 因此”是“”的必要不充分条件， 故选：B 9．（25-26高一上·福建龙岩·月考）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用平方关系得到，再利用诱导公式，即可求解. 【详解】因为，则，又， 则，所以， 则， 故选：B. 10．（浙江省金华市卓越联盟2025-2026学年高一上学期12月阶段性联考数学试题）如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用半圆的面积公式，扇形的面积公式与三角形的面积公式求解即可. 【详解】由题意可知，所以是等边三角形， 所以，, 所以扇形的面积为，的面积为， 又半圆的面积为， 所以图中阴影部分的面积为. 故选：B. 二、多选题 11．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知角和的终边关于x轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件可得，再利用诱导公式逐项判断得解. 【详解】角和的终边关于x轴对称，得，， 对于A，，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C正确； 对于D，，，D错误. 故选：BC 12．（2025高二上·山西·学业考试）已知，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用诱导公式即可判断. 【详解】，故A不成立； ，故B成立； ，故C成立； ，故D成立. 故选：BCD. 13．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若是锐角，则 D．若是钝角，则 【答案】ACD 【分析】由同角三角函数的平方关关系可判断AB，进而求得，，可判断CD. 【详解】由等式两边平方得，所以，故A正确； ，所以，所以B错误； 因为，所以，则， 解方程，解得，，所以，故C正确： 对于D选项，，则，则， 所以解方程，解得，， 所以，故D正确， 故选：ACD. 14．（25-26高一上·重庆江北·月考）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形.图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（   ） A．每一个直角三角形的面积为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合勾股定理，求出直角三角形的直角边的长度，再逐项验证即可. 【详解】如图： 设，依题意，，解得， 因此，， 对于A，每个直角三角形的面积为：，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 15．（25-26高一上·河南洛阳·月考）下列选项中，正确的有（    ） A．与的终边相同 B．若是第二象限角，则可能是第三象限角 C．若角的终边上有一点，且，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据终边相同角的表示方法，可判定A不正确；根据象限角的表示与运算，可判定B正确；根据三角函数的定义，列出方程，可得判定C不正确；根据三角函数的基本关系式，化为齐次式，进行计算，可判定D正确. 【详解】对于A，因为，所以与的终边不相同，所以A不正确； 对于B，由是第二象限角，则，可得， 当为偶数时，为第一象限角；当为奇数时，为第三象限角，所以B正确； 对于C，若角的终边上有一点，则且， 解得，所以C不正确. 对于D，因为，所以 ，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题 16．（浙江省强基联盟2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题）已知，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 17．（25-26高二上·广东中山·月考），则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系式即可求出. 【详解】根据三角函数诱导公式，得， ， 又，，根据同角三角函数的基本关系，得，， . 故答案为：. 18．（25-26高一上·湖南邵阳·月考） ． 【答案】 【分析】利用诱导公式求解. 【详解】. 故答案为：. 19．（2025高一·江苏·专题练习）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式即得. 【详解】因且，则， 则. 故答案为：. 20．（25-26高一上·福建南平·月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 . 【答案】/ 【分析】根据任意角三角函数值的定义可得，再利用诱导公式运算求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故答案为：. 21．（25-26高一上·上海闵行·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简，结合已知正弦函数值求解． 【详解】，， ． 故答案为：． 22．（25-26高一上·河南洛阳·月考）在中，若，则 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数的平方关系可求得，解方程组可求得，进而利用同角三角函数的商数关系可求得. 【详解】因为，所以， 所以. 因为， 所以. 因为，又为的内角，所以， 所以，所以. 由，解得， 所以. 故答案为：. 23．（广东省和美联盟2025-2026学年高一上学期12月数学试题）已知角的终边经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义，利用三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】由于角的终边经过点，故， 所以. 故答案为：. 四、解答题 24．（25-26高一上·山东青岛·月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求； (2)求点的坐标. (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数的定义可求得的值； （2）由题意得出，利用三角函数的定义和诱导公式可得出点的坐标； （3）求出的值，利用诱导公式和弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】（1）因为为角终边上一点，由三角函数的定义可得. （2）由题意可知， 由三角函数的定义可得，， 由题意可知，所以， ， 易知点的坐标为，即点. （3）由（2）中的结论可知， 所以. 25．（25-26高一上·河南·月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）先根据三角函数的定义求出的值. （2）利用诱导公式化简表达式，方法一：利用的值求得结果；方法二：先根据三角函数的定义求出的值，进而利用诱导公式化简表达式求得结果. （3）将（2）中求出的的值代入表达式即可. 【详解】（1）因为为角终边上一点， 由任意角三角函数的定义得，. （2）方法一：由（1）知. 由题意知角的终边在第一象限，所以， 所以. 方法二：由任意角三角函数的定义得， . 所以. （3）由（2）知，. 所以 . 26．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式先进行化简，结合商关系解得结果； （2）先化简式子，结合同角三角函数关系式，计算得到结果. 【详解】（1）因为，所以 （2） = = 27．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知. (1)若角的终边过点，始边为非负半轴，求； (2)若，分别求和的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用诱导公式将化简，再由三角函数的定义计算可得； （2）依题意可得，再由同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】（1）因为 ， 又因为角的终边过点，所以，则； （2）因为，即，则， 所以， . 28．（25-26高一上·江苏盐城·期中）（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用三角函数的定义，先求出点到原点的距离，再得到和的值，进而计算. （2）借助同角三角函数的基本关系，将转化为含的表达式，代入的值求解. 【详解】（1）因为角的终边经过点， 所以点到坐标原点的距离， 所以， 所以． （2）由， 因为， 所以． 29．（25-26高一上·上海普陀·月考）（1）已知，求的值； （2）已知角是第二象限角，且，若角的终边与单位圆交于第二象限内的点P，求点P坐标． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用齐次式弦化切即可求解 （2）利用同角三角函数的关系解方程组可得和 , 然后利用正弦函数和余弦函数的定义即可得出点的坐标. 【详解】（1）. （2）因为是第二象限角，所以，，由，解得，所以点的坐标为. 30．（25-26高一上·江苏苏州·月考）（1）已知角α的终边经过点，求α的正弦值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）（2）1（3） 【分析】（1）根据三角函数的定义求解； （2）由正余弦函数的齐次式化切即可得解； （3）根据同角三角函数基本关系中的平方关系得解. 【详解】（1）已知角α的终边经过点， 所以，. （2）因为, 所以. （3）已知①， 所以，即，解得， 所以， 由，知②， 由①②可得，， 故的值为. 31．（25-26高一上·广西·期中）已知，且为第三象限角. (1)求和的值； (2)已知，求的值. (3)若，求的值. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）利用平方关系可得，再由同角三角函数之间的基本关系可得；（2）利用诱导公式将化简，将（1）中的值代入即可求得结果；（3）利用诱导公式计算. 【详解】（1）由可得，， 所以. 又为第三象限角，所以；. 所以，. （2）利用诱导公式可得， 将代入可得， 即. （3）因为， ， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $