专题05 二次函数综合题（期中复习讲义）（必备知识+6大题型+分层检测）九年级数学上学期沪教版五四制

专题05 二次函数综合题（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数中线段问题 能在平面直角坐标系中，结合二次函数的图象，利用线段的长度公式、线段的中点、线段的和差关系等解决与二次函数图像上点的坐标相关的线段长度计算。 常考点，线段长度、线段相等、线段和差关系等。可能需要通过证明三角形全等、相似，或利用二次函数的对称性来推导线段之间的数量关系。 二次函数中角度问题 能在平面直角坐标系中，结合二次函数的图象，利用角的平分线、余角、补角的性质、锐角三角比值、构造特殊三角形及二倍角，解决与二次函数图像上点的坐标相关的角度大小计算问题。 高频考点，角度的计算、证明两个角相等、互余或互补等。角度问题常与线段问题、三角形问题等综合考查。 二次函数中面积问题 掌握利用二次函数解析式求与图形面积相关的问题的方法，包括利用割补法将不规则图形转化为规则图形，再结合二次函数的性质求图形面积的最大值或最小值 高频考点，通常要求考生根据二次函数的解析式，求与图形（如三角形、四边形）面积相关的问题，或求面积的最大值、最小值。 二次函数中特殊三角形问题 能在平面直角坐标系中，结合二次函数的图象，判断是否存在以某几点为顶点的特殊三角形，并求出满足条件的点的坐标。 高频考点，主要考查考生对特殊三角形性质与判定的运用，以及与二次函数的结合能力。 二次函数中特殊四边形问题 能在平面直角坐标系中，结合二次函数的图象，判断是否存在以某几点为特殊四边形，并求出满足条件的点的坐标。 常考点，主要考查考生对特殊四边形性质与判定的运用，以及与二次函数的结合能力。 二次函数中相似三角形问题 能在二次函数的图象背景下，识别相似三角形的模型，利用相似三角形的判定定理证明三角形相似，再运用相似三角形的性质解决线段比例、线段长度计算、面积比计算等问题。 高频考点，考查对相似三角形模型的识别和运用能力，以及与二次函数的综合计算能力。 知识点01 二次函数中线段问题 1.线段相等问题解题思路 借助几何性质： 利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标，计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。 利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。 利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。 2.线段和差倍问题解题思路 截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。 3.线段倍数问题解题思路 加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段相等（加倍法）；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。 利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF，相似比为k，若AB与DE是对应边，则AB=kDE。 知识点02 二次函数中角度问题 1.角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。 借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。 依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。 2.二倍角问题 倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。 加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。 二倍角的构造方法 如图，已知∠ɑ，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造2ɑ，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 3.特殊角问题 运用三角比值：已知特殊角（如 30°、45°、60°、90° 等），可直接利用其三角函数值来建立边与边之间的关系，进而解决问题。 构造特殊三角形：遇 45° 构造等腰直角三角形，遇 30°、60° 构造等边三角形，遇 90° 构造直角三角形，利用特殊三角形的性质来求解。 知识点03 二次函数中面积问题 二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法： 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 知识点04 二次函数中特殊三角形问题 1.等腰三角形 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况： （1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB． 但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 2.直角三角形 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。 知识点05 二次函数中特殊四边形问题 1.平行四边形 1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类; 2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变 y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定) 3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解 常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形 分类讨论: 当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标; 当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解. 4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可 2.矩形、菱形、正方形 1.矩形：先满足平行四边形条件，再附加邻边垂直或对角线相等。 2.菱形：先满足平行四边形条件，再附加邻边相等（两点间距离相等）或对角线垂直。 3.正方形：同时满足矩形和菱形的条件（邻边相等且垂直），或对角线相等、垂直且互相平分。 3.梯形 问题形式：找一点构成梯形（一组对边平行）。 解题方法：利用平行边斜率相等，设动点坐标后，分情况讨论哪组对边平行（如AB∥CD或AC∥BD），列斜率等式求解，注意排除平行四边形的情况（两组对边都平行）。 等腰梯形附加两腰相等，直角梯形附加有一个角是直角。 知识点06 二次函数中相似三角形问题 寻找相等角：这是解题的重要突破口。有些相等角比较明显，如公共角、对顶角、直角等；有些则需要通过计算三角函数值、利用平行线性质或三角形内角和定理等来推导，还可通过构造全等三角形、等腰三角形等得到相等角。 确定相似三角形的对应关系：若已知一个确定的三角形，要使另一个含动点的三角形与之相似，需分情况讨论对应关系。因为两个三角形相似时，对应角相等，对应边成比例，而未明确对应关系时，通常有多种可能。 根据相似三角形的性质列方程求解： 边处理：若已找到一组相等角，可根据 “两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似” 这一判定定理，分两种情形，以相等角的两邻边对应成比例来列方程。 角处理：根据 “有两组角对应相等的三角形相似”，在已确定一组相等角的基础上，分两种情形讨论另外两组角的对应相等关系，即若∠A = ∠D，则讨论∠B = ∠E 或∠B = ∠F 的情况。通过导角，将问题转化为角的存在性问题，再利用角的关系求出动点坐标。 解决二次函数中相似三角形存在性问题，要充分结合二次函数与三角形的相关知识，通过寻找相等角、确定对应关系、列方程求解等步骤，逐步得出答案，同时注意分类讨论，避免漏解。 题型一 二次函数中线段问题 【典例1】（2024-2025学年九年级上上海浦东民办远翔实验学校期中）如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点．抛物线的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线于点A，． (1)求点A的横坐标． (2)求线段的长度． 【分析】此题考查二次函数的性质，准确判断点A与点E关于对称轴对称是解此题的关键． （1）根据对称轴公式直接求抛物线的对称轴，点A、E关于对称轴对称和点E横坐标，求出点A横坐标； （2）求出C、D的坐标即可求出的长． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 轴， 又A、E两点关于对称轴对称，E点横坐标为1， ， 解得：， ∴点A的横坐标为． （2）解： 点E是抛物线与抛物线的交点， ， ， ， 令， 则， ； ∴的长度均为7． 【典例2】（2023-2024学年九年级上上海市奉贤区 期中）如图，点第一象限内在抛物线上，以点为顶点的抛物线与轴交于点，与射线交于点，连接交抛物线于点，设点的横坐标为．    (1)用、表示、； (2)求证：； (3)求的比值． 【详解】（1）解：根据题意可得点坐标为， 所以， 所以、. （2）由点，可得直线的解析式为， 解方程组 得和 所以点的坐标为， 由两点之间距离公式可得、， 所以； （3）由可得点的坐标为， 又点的坐标为， 所以轴，， 解方程， 得，所以； 所以． 【变式1】（2024-2025学年九年级上上海市第三女子初级中学期中）已知抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ①求两点坐标． ②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标． 【答案】(1) (2)①两点坐标分别为，；②或． 【难度】0.65 【分析】此题考查了二次函数综合题，二次函数的平移、待定系数法求函数解析式，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）①求出，当时，，有两个相等的实数根，点P为抛物线的顶点，得到，，则，解得（不合题意，舍去）或，求出，即可得到答案； ②由①可知，，分，，共三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵经过点，与y轴交于点．， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①由题意可知，平移后的抛物线为， 当时，， ∴， ∵新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ∴当时，，有两个相等的实数根，点P为抛物线的顶点， ∴，， ∴，， ∴ 解得，（不合题意，舍去）或， ∴， ∵， ∴， ∴两点坐标分别为，． ②由①可知，， 当， 则直线为， 则，解得（不合题意，舍去），， ∴， ∴此时点R的坐标为． 当时， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去）或， 即此时点R的坐标为， 当时， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去）， 综上可知，点R的坐标为或． 【变式2】（2024-2025学年九年级上上海市新北郊初级中学期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算、三角形相似等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，从而确定函数的解析式，再求、点坐标即可； （2）求出，由题意得出直线的解析式，则可得出答案； （3）证明，可以得到， 即，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，解得， ∴抛物线解析式为 ， 令则 ， 解得：或 ， ∵点在点的左边， ； （2）解：∵点为线段的三等分点， ， ∴直线的解析式为， 令， ， ， ， ； （3）解：作点轴于点， 设直线BC的解析式为，把点、的坐标代入得， ，解得， ∴直线的表达式为：， 设平移后的抛物线表达式为：， 则点， 点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设直线交轴于点， 则点，联立和的表达式得：， 解得：， 即点的横坐标为， ∵， 则， ∴即 解得： 则平移后抛物线的表达式为：． 题型二 二次函数中角度问题 【典例1】（2022-2023学年九年级上上海市青浦区实验中学期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)联结，求的度数； (3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴，则 将，代入 得：， 解得， ∴这条抛物线的表达式为； （2）过点作轴于点，过点作轴于点， ∵ ∴， ∴，则 ∵    ∵ ∴，即， ∴， ∴. ∴. （3）解：∵, ∴ ∵ ∴， ∴， ∵ ∴轴或 如图所示，    当轴时，， 当时，，则是等边三角形， ∴， ∴， 综上所述，或． 【典例2】（2023-2024学年九年级上上海市普陀区期中）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线过点A、B、C，点A的坐标是，点C的坐标是，联结，抛物线的顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的面积； (3)如果点P是抛物线上的一点，当时，求点P的横坐标． 【详解】（1）把点，点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）， ∴, 过点D作于点E，    ∴ ∴ 又，点 ∴， ∴ （3）设， 当P点在上方时，过点P作轴交于E，    ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴P点横坐标为； 当P点在下方时，过点P作轴交于K，    ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴P点横坐标为； 综上所述：P点的横坐标为或． 【变式1】（2024-2025学年九年级上上海市徐汇区南洋模范中学期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点的坐标； (2)已知点与点都是抛物线上的点． ①求的值； ②如果，求点的坐标． 【详解】（1）解：将、代入得， ，解得， 该抛物线的表达式为． 当时，， 点的坐标为； （2）①连接，过点作，垂足为点． 在上， ，， ，， ，，， ， ． ， ； ②由题意可知，点在第二象限．过点作轴，垂足为点． ， ， ． ， 设，则，． ， 将代入，得， 解得或0（舍去）， 点的坐标为，． 【变式2】（2024-2025学年九年级上上海市徐汇区民办南模中学期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； (3)点在直线上，若，求点的坐标． 【详解】（1）解：把点和点代入得： ， 解得， ∴ 对称轴为直线， （2）设直线的解析式为,代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴C点坐标为， 设平移后的顶点坐标为， 则解析式为， 把代入得：或（舍）， ∴， （3）∵, ∴， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， 当点E在点D的上方时，过E作于点F， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 当点E在点D的下方时，过E作于点F， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 题型三 二次函数中面积问题 【典例1】（2023-2024学年九年级上上海市黄浦区立达中学期中）如图，已知抛物线与x轴交于原点O与点A，顶点为点B． (1)求抛物线的表达式以及点A的坐标； (2)已知点，若的面积为6，求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标原点O，代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴正半轴交于点A， ∴， 解得（舍去），， ∴点； （2）设与交于点H， ∵抛物线解析式为， ∴顶点， ∵， ∴， ∵，   即，   解得， ∴点． 【变式1】（2022-2023学年九年级上上海市曹杨第二中学附属学校期中）如图，已知抛物线经过点与点，且交轴于点． (1)求该拋物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位，得到新抛物线，若新抛物线的顶点为，连接，直线将分割成面积相等的两个三角形，求的值． 【详解】（1）解：将点与点，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的表达式为：， ， 顶点坐标为：； （2）解：交轴于点， ， 根据题意得出：平移后解析式为：， 直线将分割成面积相等的两个三角形， 设与交于点，为中点， ，， 的中点坐标为：， 设的解析式为：， ， 解得：， 的解析式为：， 当直线过点， 解得：． 【变式2】（2024-2025学年九年级上上海市上海市奉贤区11月期中）如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过三点． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)连接，当时， ①求此抛物线表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线经过三点，且点在轴的负半轴上，   ∴．     由抛物线表达式可知：对称轴为直线． ∵，点在轴的正半轴上， ∴点关于直线对称． ∴． （2）①设相交于点D． ∵， ∴， ∴ ∵点C在x轴上，， ∴，轴，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴，即， ∴．   把代入，可得． ∴抛物线表达式为． ②存在．如图，过点作，垂足为点． ∵， ∴． ∴． ∵，∴． ∵，， 设直线的解析式为：， 则， 解得： ∴可求得直线的解析式为． 设直线与直线的交点为点，则． 设， （Ⅰ）当点在点上方时，． ∵， ∴， 即，得．   ∴． （Ⅱ）当点在点下方时，． 同理可得． ∴． 综上所述，，． 题型四 二次函数中特殊三角形问题 【典例1】（2024-2025学年九年级上上海市徐汇中学期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求点C的坐标（用含a的代数式表示）； (2)连接、，若的面积为6，求此抛物线的表达式； (3)在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当为直角三角形时，求点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与x轴的一个交点 ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为 设抛物线解析式为， 即， 当时，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （3）解：设点Q的坐标为．过点G作轴，垂足为点H，如图， ∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称， ∴，，，， ∴，， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴Q的坐标为； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴Q的坐标为； 不存在， 综上所述，点Q的坐标为或． 【变式1】（2022-2023学年九年级上上海市嘉定区德富路中学（交大集团）期中）如图，抛物线与x轴交于、，，在x轴负半轴，与y轴交于点，顶点为D． (1)用关于a的式子表示b； (2)联结、，交y轴于点E，若，求B坐标； (3)平移抛物线使新抛物线的顶点在直线上，B的对应点在y轴上，C的对应点为，交直线于H，若为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式． 【来源】考试卷 【详解】（1）解：将，，代入， 可得，即， ∴； （2）过顶点作轴，交轴于， ∴点与点关于对称，则， ∴， 又∵， ∴，即：， ∵轴， ∴，则为其相似比， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， 即点的坐标为； （3）设直线的解析式为， 代入，，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵平移后的对应点在轴上， ∴抛物线是沿射线方向平移， 联结，，由平移可知， ∴， 又∵， ∴当为直角三角形时，， 即， ∴，即， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即点的坐标为， ∵点在上， ∴原抛物线向右平移9个单位长度， 将，，代入， 得：，解得， ∴原抛物线的解析式为， ∴， 则点平移后的对应点的横坐标为5， 此时纵坐标为，即， ∴平移后新抛物线的解析式为． 【变式2】（2024-2025学年九年级上上海市华东政法大学附属中学期中）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：根据题意：， 解得， 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为：直线； （2）解： 抛物线与轴相交于点， 点坐标是， 作轴，垂足为．作，交的延长线于点．   ， ，， ． ， ． ． ； （3）解：存在，理由如下： 为直角边， 只可能有两种情况：或． 设点坐标为 ①当，作，垂足为，作，垂足为．   ，． ，， ， ； ，可求得，（舍． ； ②当，作轴，垂足为． ，．   ，， ， ； ，可求得（舍，． ； 综上所述，点的坐标是或． 题型五 二次函数中特殊四边形问题 【典例1】（2024-2025学年九年级上上海市青浦区五浦汇实验学校 期中）定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 【来源】考试试卷 【详解】（1）解：∵的图像上存在不同的两点与， ∴函数的对称轴为直线， 由题意知，， ∴， 解得，； （2）解：由题意知，， ∵的图像经过原点， ∴，即， ∴， ∴， 当时，， ∴的图像经过一定点，； （3）解：由（1）（2）可知，，， ∴， ∴， 令， 解得，或， ∴， ∵的图像与轴的交点为点B， ∴， 由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形； 当为对角线时，则的中点为对称中心， ∴， 当时，，此时不存在； 当为边时，，， ∴， 当时，，此时对称中心坐标为，即； 当时，，此时对称中心坐标为，即； 综上所述，存在，对称中心坐标为或． 【变式】（2022-2023学年九年级上上海市毓秀学校期中）如图，对称轴为直线的抛物线经过点和． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点在第四象限抛物线的图像上，当平行四边形的面积为24时，求点的坐标； (3)在直线是否存在一点，使得与相似，如存在求出点坐标，如果不存在请说明理由． 题型六 二次函数中相似三角形问题 【典例1】（2023--2024学年九年级上上海复旦五浦汇实验学校期中）已知二次函数在时取到最小值为，且该函数图像顶点、图像与轴交点及原点构成的三角形面积为 (1)求此二次函数的解析式； (2)将抛物线沿轴平移，平移后顶点为，若与相似，求平移后的抛物线解析式． 【来源】数学试题 【详解】（1）解：由题意得点坐标为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，抛物线与轴交点在正半轴上， ∴点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴此二次函数的解析式为：； （2）解：∵与相似， ∴， ∴， ∴， ∴点横坐标为或， 即点坐标为或， ∴平移后的抛物线解析式为：或． 【典例2】（2024-2025学年九年级上上海田家炳中学期中）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过和，与轴的另一个交点为．    (1)求该抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移（）个单位后得到的新抛物线与轴交于点，新抛物线的顶点为； ①求新抛物线的表达式及顶点的坐标； ②点是新抛物线对称轴上的一点，当与相似时，求点的坐标． 【详解】（1）∵抛物线经过和， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点M坐标为． （2）①∵将抛物线右平移2个单位，再向下平移（）个单位，得到新的抛物线， ∴新抛物线的表达式为， ∵新抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴ ∴新抛物线的表达式为，顶点坐标为． ②    把代入函数，得， 解得，， ∴抛物线与轴的另一个交点C的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∵新抛物线的对称轴为，点N是该对称轴上的一点， ∴设点N的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， 若与相似，则有以下情况： ①，即， 解得：， ∴点N的坐标为； ②，即， 该方程组无解； ③，即， 该方程组无解； ④，即， 该方程组无解； ⑤，即， 解得：， ∴点N的坐标为； ⑥，即， 该方程组无解． 综上所述，点N的坐标为或． 【变式1】（2024-2025学年九年级上上海市民办上宝中学期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵ ∴顶点； （2）解：由（1）知，， 又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D， ∴点， ∵、，，， ∴、、、 ，， 又∵与相似， ∴点O与点C对应， 当时， 则，即， 解得：， 即点； 当时， 则，即， 解得：， 则点； 综上，点的坐标为：或． 【变式2】（2023-2024学年九年级上上海市第三女子初级中学期中）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点、和点，与轴交于点．      (1)求该抛物线的表达式及点的坐标； (2)将抛物线平移，点平移到点． ①定义：如果有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物线上，那么称这个点为“平衡点”． 如果平移所得新抛物线经过原点，且点是“平衡点”，求的长； ②如果平移所得新抛物线的顶点在轴正半轴上，与轴交于点，且与相似，求点的坐标． 【详解】（1）解：依题意，抛物线（）经过点、 ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为， ∵点在抛物线上 ∴ ∴； （2）解：①依题意，，顶点坐标为， ∵平移不改变开口方向，平移后的抛物线经过原点， ∴设平移后的解析式为 ∵点是“平衡点” ∴ 解得： ∴平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为， ∴抛物线的平移方式是向上平移个单位，向右平移个单位； 即点 ∴ ②∵与轴交于点 当时， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵、 ∴ ∵， ∴的解析式为：，， ∴ ∴ ∵与相似 ∴有或    设点，且，则平移后的抛物线解析式为， 当时， 即 当时， ∴， 解得：； ∴，解得：（负值舍去） 当时， ∴ 解得：； ∴，解得：（负值舍去） 综上所述，点的坐标为或． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2024-2025学年九年级上上海市交大附中附属嘉定德富中学期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．连接交对称轴于点E，点D为抛物线的顶点． (1)连接，若 ①求抛物线解析式； ②线段上一点F，，连接，求． (2)平移抛物线，使新抛物线顶点在射线上，新抛物线与y轴交于点．若平分，且，求新抛物线解析． 【详解】（1）解：①令，则， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴点， 把点代入中，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为：； ②令，则， 解得：，， ∵点，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴，对称轴为直线， 如上图，作垂直于直线于点， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图： ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴为中点， ∵， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴新抛物线解析式为：， 令，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴新抛物线解析式为：． 2．（2024-2025学年九年级上上海市西南模范中学期中）如图，抛物线经过点，点．      (1)求这条抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上的点，联结， ①如果，求点的坐标； ②如果，求直线的表达式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为∶， 对称轴为： （2）①如图所示，作于C，    ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交轴于点，    ∵ ∴ 设， ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得： ∴直线的表达式为． 3．（2024-2025学年九年级上上海市普陀区期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像对称轴上的一点， 又∵二次函数图像的对称轴为直线， ∴，点D坐标为， 设直线的表达式为， ∵直线经过，，得， 解得， ∴直线的表达式为， 设抛物线的对称轴与直线交于点E， ∴点E坐标为， ∴， ∴； （3）解：过点P作轴，垂足为H， 设点， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去），， 即点P的横坐标是． 4．（2024-2025学年九年级上上海市曹杨第二中学附属学校期中）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 【详解】（1）解：根据题意，得． 解得， 故，． ∴； （2）解：令，则， ∴， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 5．（2024-2025学年九年级上海浦东民办远翔实验学校期中上）如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴． 令， 则， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 设， ∴， ∴或， ∴或 （3）解：存在，点的坐标是． 理由：过点作轴于点，    ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设点， ∴，， ∴， 整理得， 解得或（不符合题意）， ∴ ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2024-2025学年九年级上上海市民办立达中学11月期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离； （3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值． 【详解】试题分析：把抛物线的方程配成顶点式，即可求得顶点坐标. 把点代入求出抛物线方程，根据平移规律，即可求解. 分两种情况进行讨论. 试题解析：（1）∵， ∴顶点D（m，1-m）． （2）∵抛物线过点（1，-2）， ∴． 即， ∴或（舍去）， ∴抛物线的顶点是（2，-1）． ∵抛物线的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位． （3）∵顶点D在第二象限，∴． 情况1，点A在轴的正半轴上，如图（1）．作于点G， ∵A（0，），D（m，-m+1）， ∴H（），G（）， ∴．∴． 整理得：．∴或（舍）． 情况2，点A在轴的负半轴上，如图（2）．作于点G， ∵A（0，），D（m，-m+1），∴H（），G（）， ∴．∴． 整理得：．∴或（舍）， 或 2．（2024-2025学年九年级上上海市青浦区期中）如图，抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）. （1）求这条抛物线的表达式； （2）P是抛物线对称轴上的点，连结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标； （3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值. 【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4） ∴，解得, ∴抛物线解析式为, （2）, ∴对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G, ∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO， ∴, ∴， ∴, ， ∴P（1，）, （3）设新抛物线的表达式为 则,，DE=2 过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF ∴， ∴FH=1. 点D在y轴的正半轴上，则， ∴, ∴， ∴m=3, 点D在y轴的负半轴上，则， ∴, ∴， ∴m=5, ∴综上所述m的值为3或5. 3．（2024-2025学年九年级上上海市民办上宝中学期中）已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 【详解】（1）解：在中，令，； 令，； ，， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， ， ， ∵点P关于直线的对称点Q在y轴上， ， 轴， ∴P的纵坐标为， 由； 解得，(舍去)， ∴P点坐标为； （3）解：①设顶点为，平移后抛物线解析式为， 则， ， 设， 则， ∴， ∴的长度为定值； ②如图，作，并令，连接，， 由题知，，， 则只需求的最小值即可， ∵ 即求的最小值，即的长， ， ， 作于K， 则， ，， ∴， ， ， ， 的周长的最小值为． 4．（2024-2025学年九年级上上海民办华曜宝山实验学校期中）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）抛物线过点和点 抛物线解析式为： （2）当时， 直线BC解析式为： 过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F 设 即 （3） 为等腰直角三角形 抛物线的对称轴为 点E的横坐标为3 又点E在直线BC上 点E的纵坐标为5 设 ①当MN=EM，,时 解得或（舍去） 此时点M的坐标为 ②当ME=EN，时 解得：或（舍去） 此时点M的坐标为 ③当MN=EN，时 连接CM，易知当N为C关于对称轴l的对称点时，， 此时四边形CMNE为正方形 解得：（舍去） 此时点M的坐标为 在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或． 5．（2023-2024学年九年级上上海市曹杨第二中学附属学校期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线分别交于轴、轴上的两点，抛物线的顶点为点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求证：； (3)连接交轴于点，点是轴上一动点，若与点组成的三角形相似，求点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， 令，则，解得， ∴点B的坐标为， 把，代入得 ，解得：， ∴； （2）解：， ∴点D的坐标为， 过点D作垂直于点F，连接， 则点F的坐标为， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴；    （3）设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴， 令，则， ∴点E的坐标为， ∴， ，， ， ∵， ∴当时，， 即，解得， ∴， ∴点P的坐标为， 当时，， 即，解得， ∴， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数综合题（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数中线段问题 能在平面直角坐标系中，结合二次函数的图象，利用线段的长度公式、线段的中点、线段的和差关系等解决与二次函数图像上点的坐标相关的线段长度计算。 常考点，线段长度、线段相等、线段和差关系等。可能需要通过证明三角形全等、相似，或利用二次函数的对称性来推导线段之间的数量关系。 二次函数中角度问题 能在平面直角坐标系中，结合二次函数的图象，利用角的平分线、余角、补角的性质、锐角三角比值、构造特殊三角形及二倍角，解决与二次函数图像上点的坐标相关的角度大小计算问题。 高频考点，角度的计算、证明两个角相等、互余或互补等。角度问题常与线段问题、三角形问题等综合考查。 二次函数中面积问题 掌握利用二次函数解析式求与图形面积相关的问题的方法，包括利用割补法将不规则图形转化为规则图形，再结合二次函数的性质求图形面积的最大值或最小值 高频考点，通常要求考生根据二次函数的解析式，求与图形（如三角形、四边形）面积相关的问题，或求面积的最大值、最小值。 二次函数中特殊三角形问题 能在平面直角坐标系中，结合二次函数的图象，判断是否存在以某几点为顶点的特殊三角形，并求出满足条件的点的坐标。 高频考点，主要考查考生对特殊三角形性质与判定的运用，以及与二次函数的结合能力。 二次函数中特殊四边形问题 能在平面直角坐标系中，结合二次函数的图象，判断是否存在以某几点为特殊四边形，并求出满足条件的点的坐标。 常考点，主要考查考生对特殊四边形性质与判定的运用，以及与二次函数的结合能力。 二次函数中相似三角形问题 能在二次函数的图象背景下，识别相似三角形的模型，利用相似三角形的判定定理证明三角形相似，再运用相似三角形的性质解决线段比例、线段长度计算、面积比计算等问题。 高频考点，考查对相似三角形模型的识别和运用能力，以及与二次函数的综合计算能力。 知识点01 二次函数中线段问题 1.线段相等问题解题思路 借助几何性质： 利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标，计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。 利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。 利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。 2.线段和差倍问题解题思路 截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。 3.线段倍数问题解题思路 加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段相等（加倍法）；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。 利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF，相似比为k，若AB与DE是对应边，则AB=kDE。 知识点02 二次函数中角度问题 1.角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。 借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。 依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。 2.二倍角问题 倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。 加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。 二倍角的构造方法 如图，已知∠ɑ，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造2ɑ，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 3.特殊角问题 运用三角比值：已知特殊角（如 30°、45°、60°、90° 等），可直接利用其三角函数值来建立边与边之间的关系，进而解决问题。 构造特殊三角形：遇 45° 构造等腰直角三角形，遇 30°、60° 构造等边三角形，遇 90° 构造直角三角形，利用特殊三角形的性质来求解。 知识点03 二次函数中面积问题 二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法： 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 知识点04 二次函数中特殊三角形问题 1.等腰三角形 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况： （1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB． 但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 2.直角三角形 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。 知识点05 二次函数中特殊四边形问题 1.平行四边形 1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类; 2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变 y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定) 3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解 常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形 分类讨论: 当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标; 当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解. 4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可 2.矩形、菱形、正方形 1.矩形：先满足平行四边形条件，再附加邻边垂直或对角线相等。 2.菱形：先满足平行四边形条件，再附加邻边相等（两点间距离相等）或对角线垂直。 3.正方形：同时满足矩形和菱形的条件（邻边相等且垂直），或对角线相等、垂直且互相平分。 3.梯形 问题形式：找一点构成梯形（一组对边平行）。 解题方法：利用平行边斜率相等，设动点坐标后，分情况讨论哪组对边平行（如AB∥CD或AC∥BD），列斜率等式求解，注意排除平行四边形的情况（两组对边都平行）。 等腰梯形附加两腰相等，直角梯形附加有一个角是直角。 知识点06 二次函数中相似三角形问题 寻找相等角：这是解题的重要突破口。有些相等角比较明显，如公共角、对顶角、直角等；有些则需要通过计算三角函数值、利用平行线性质或三角形内角和定理等来推导，还可通过构造全等三角形、等腰三角形等得到相等角。 确定相似三角形的对应关系：若已知一个确定的三角形，要使另一个含动点的三角形与之相似，需分情况讨论对应关系。因为两个三角形相似时，对应角相等，对应边成比例，而未明确对应关系时，通常有多种可能。 根据相似三角形的性质列方程求解： 边处理：若已找到一组相等角，可根据 “两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似” 这一判定定理，分两种情形，以相等角的两邻边对应成比例来列方程。 角处理：根据 “有两组角对应相等的三角形相似”，在已确定一组相等角的基础上，分两种情形讨论另外两组角的对应相等关系，即若∠A = ∠D，则讨论∠B = ∠E 或∠B = ∠F 的情况。通过导角，将问题转化为角的存在性问题，再利用角的关系求出动点坐标。 解决二次函数中相似三角形存在性问题，要充分结合二次函数与三角形的相关知识，通过寻找相等角、确定对应关系、列方程求解等步骤，逐步得出答案，同时注意分类讨论，避免漏解。 题型一 二次函数中线段问题 【典例1】（2024-2025学年九年级上上海浦东民办远翔实验学校期中）如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点．抛物线的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线于点A，． (1)求点A的横坐标． (2)求线段的长度． 【典例2】（2023-2024学年九年级上上海市奉贤区 期中）如图，点第一象限内在抛物线上，以点为顶点的抛物线与轴交于点，与射线交于点，连接交抛物线于点，设点的横坐标为．    (1)用、表示、； (2)求证：； (3)求的比值． 【变式1】（2024-2025学年九年级上上海市第三女子初级中学期中）已知抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ①求两点坐标． ②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标． 【变式2】（2024-2025学年九年级上上海市新北郊初级中学期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 题型二 二次函数中角度问题 【典例1】（2022-2023学年九年级上上海市青浦区实验中学期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)联结，求的度数； (3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标． 【典例2】（2023-2024学年九年级上上海市普陀区期中）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线过点A、B、C，点A的坐标是，点C的坐标是，联结，抛物线的顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的面积； (3)如果点P是抛物线上的一点，当时，求点P的横坐标． 【变式1】（2024-2025学年九年级上上海市徐汇区南洋模范中学期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点的坐标； (2)已知点与点都是抛物线上的点． ①求的值； ②如果，求点的坐标． 【变式2】（2024-2025学年九年级上上海市徐汇区民办南模中学期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； (3)点在直线上，若，求点的坐标． 题型三 二次函数中面积问题 【典例1】（2023-2024学年九年级上上海市黄浦区立达中学期中）如图，已知抛物线与x轴交于原点O与点A，顶点为点B． (1)求抛物线的表达式以及点A的坐标； (2)已知点，若的面积为6，求点P的坐标． 【变式1】（2022-2023学年九年级上上海市曹杨第二中学附属学校期中）如图，已知抛物线经过点与点，且交轴于点． (1)求该拋物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位，得到新抛物线，若新抛物线的顶点为，连接，直线将分割成面积相等的两个三角形，求的值． 【变式2】（2024-2025学年九年级上上海市上海市奉贤区11月期中）如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过三点． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)连接，当时， ①求此抛物线表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 题型四 二次函数中特殊三角形问题 【典例1】（2024-2025学年九年级上上海市徐汇中学期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求点C的坐标（用含a的代数式表示）； (2)连接、，若的面积为6，求此抛物线的表达式； (3)在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当为直角三角形时，求点Q的坐标． 【变式1】（2022-2023学年九年级上上海市嘉定区德富路中学（交大集团）期中）如图，抛物线与x轴交于、，，在x轴负半轴，与y轴交于点，顶点为D． (1)用关于a的式子表示b； (2)联结、，交y轴于点E，若，求B坐标； (3)平移抛物线使新抛物线的顶点在直线上，B的对应点在y轴上，C的对应点为，交直线于H，若为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式． 【变式2】（2024-2025学年九年级上上海市华东政法大学附属中学期中）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 题型五 二次函数中特殊四边形问题 【典例1】（2024-2025学年九年级上上海市青浦区五浦汇实验学校 期中）定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 【变式】（2022-2023学年九年级上上海市毓秀学校期中）如图，对称轴为直线的抛物线经过点和． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点在第四象限抛物线的图像上，当平行四边形的面积为24时，求点的坐标； (3)在直线是否存在一点，使得与相似，如存在求出点坐标，如果不存在请说明理由． 题型六 二次函数中相似三角形问题 【典例1】（2023--2024学年九年级上上海复旦五浦汇实验学校期中）已知二次函数在时取到最小值为，且该函数图像顶点、图像与轴交点及原点构成的三角形面积为 (1)求此二次函数的解析式； (2)将抛物线沿轴平移，平移后顶点为，若与相似，求平移后的抛物线解析式． 【典例2】（2024-2025学年九年级上上海田家炳中学期中）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过和，与轴的另一个交点为．    (1)求该抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移（）个单位后得到的新抛物线与轴交于点，新抛物线的顶点为； ①求新抛物线的表达式及顶点的坐标； ②点是新抛物线对称轴上的一点，当与相似时，求点的坐标． 【变式1】（2024-2025学年九年级上上海市民办上宝中学期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 【变式2】（2023-2024学年九年级上上海市第三女子初级中学期中）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点、和点，与轴交于点．      (1)求该抛物线的表达式及点的坐标； (2)将抛物线平移，点平移到点． ①定义：如果有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物线上，那么称这个点为“平衡点”． 如果平移所得新抛物线经过原点，且点是“平衡点”，求的长； ②如果平移所得新抛物线的顶点在轴正半轴上，与轴交于点，且与相似，求点的坐标． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2024-2025学年九年级上上海市交大附中附属嘉定德富中学期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．连接交对称轴于点E，点D为抛物线的顶点． (1)连接，若 ①求抛物线解析式； ②线段上一点F，，连接，求． (2)平移抛物线，使新抛物线顶点在射线上，新抛物线与y轴交于点．若平分，且，求新抛物线解析． 2．（2024-2025学年九年级上上海市西南模范中学期中）如图，抛物线经过点，点．      (1)求这条抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上的点，联结， ①如果，求点的坐标； ②如果，求直线的表达式． 3．（2024-2025学年九年级上上海市普陀区期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 4．（2024-2025学年九年级上上海市曹杨第二中学附属学校期中）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 5．（2024-2025学年九年级上海浦东民办远翔实验学校期中上）如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2024-2025学年九年级上上海市民办立达中学11月期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离； （3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值． 2．（2024-2025学年九年级上上海市青浦区期中）如图，抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）. （1）求这条抛物线的表达式； （2）P是抛物线对称轴上的点，连结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标； （3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值. 3．（2024-2025学年九年级上上海市民办上宝中学期中）已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 4．（2024-2025学年九年级上上海民办华曜宝山实验学校期中）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023-2024学年九年级上上海市曹杨第二中学附属学校期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线分别交于轴、轴上的两点，抛物线的顶点为点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求证：； (3)连接交轴于点，点是轴上一动点，若与点组成的三角形相似，求点的坐标． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $