精品解析：山东省枣庄市滕州市2025-2026学年上学期12月月考（竞学竞练）七年级数学试卷

七年级竞学竞练数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 2. 上午时，钟表的分针与时针夹角的度数是（ ） A. 105度 B. 85度 C. 95度 D. 115度 【答案】C 【解析】 【分析】钟表的一周，分成12个大格，求出每个大格的度数是，根据时针与分诊的格数解答即可． 【详解】解：． 故选C． 【点睛】此题考查了钟面角的有关知识，得出钟表上从1到12一共有12格，每个大格是解决问题的关键． 3. 在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点，折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得出，，根据，得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵折叠的性质， ∴，， ∴， ∴ ∴， 故选B． 4. 如图，点C、D分别是线段AB上两点（，），用圆规在线段CD上截取，，若点E与点F恰好重合，，则（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，再由即可得到答案． 【详解】解：CE=AC，DF=BD，点E与点F恰好重合， ∴CE=AC，DE=BD， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，解题的关键在于能够根据题意得到，． 5. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质解答即可． 【详解】解：A、若，则，不符合题意． B、若，则，不符合题意． C、若时， 才成立，符合题意． D、若，则，不符合题意． 故选：C． 6. 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，设该分派站有x名快递员，则可列方程为（ ） A. 10x﹣6＝12x＋6 B. 10x＋6＝12x﹣6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意：若每个快递员派送10件，还剩6件，则快递总数是：件，若每个快递员派送12件，还差6件，则快递总数是：件，据此即可列出方程． 【详解】解：根据题意：若每个快递员派送10件，还剩6件，则快递总数是：件；若每个快递员派送12件，还差6件，则快递总数是：件； 可得：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键． 7. 下列说法：①直线与直线是同一条直线；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③若线段，，则线段；④两点之间，线段最短；⑤若，则点是线段的中点．其中正确的有 （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直线，线段，解题的关键是熟记直线，线段的联系与区别． 根据直线的定义对①进行判断；根据两点间的距离的定义对②进行判断；根据线段的和差对③进行判断；根据线段公理对④进行判断；根据线段中点的定义对⑤进行判断． 【详解】解：①直线与直线是同一条直线，故本说法正确； ②应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故本说法错误； ③若线段，，则线段或，故本说法错误； ④两点之间，线段最短，故本说法正确； ⑤若，则点是线段的中点，说法错误，因为、、三点不一定共线； 综上所述，正确的有①④共个； 故选：B． 8. 如图，阴影部分是正方形，图中最大的长方形的周长是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了长方形周长的计算，整式加减的应用，解题的关键是利用正方形的边长相等，确定长方形的长与宽的和． 设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为；周长为，进而判断选项． 【详解】解：设正方形的边长为，则最大长方形的长为，宽为． 其周长为． 故选：C． 9. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，第2种如图②有2个碳原子6个氢原子，第3种如图③有3个碳原子8个氢原子，第n种化合物的分子结构模型中碳原子、氢原子的个数分别是（ ） A. n， B. n， C. n， D. n， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，找到碳原子、氢原子的个数的变化规律是解答的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中碳原子和氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中碳原子个数为：1，氢原子个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中碳原子个数为：2，氢原子个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中碳原子个数为：3，氢原子个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中碳原子个数为n个，氢原子个数为个． 故选：C． 10. 如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 2或4 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据列方程，求解即可．找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：动点所表示的数是， 是线段的中点， 点所表示的数是， ， ， ，或， 解得或． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 有、两根木条，长度分别为24 cm、18 cm，将它们的一端重合且放在同一条直线上，此时、两根木条中点之间的距离为_______cm． 【答案】3或21 【解析】 【分析】假设端点B和端点D重合，分两种情况如图：①不在上时，，②在上时，，分别代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：假设端点B和端点D重合 如图， 设较长的木条为，较短的木条为， ∵M、N分别为、的中点， ∴，， ①如图1，不在上时，（cm）， ②如图2，在上时，（cm）， 综上所述，两根木条的中点间的距离是21cm或3cm， 故答案为：3或21． 【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，解题的关键是在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 12. 根据下面明明和小齐两人的对话，判断小齐买自行车的预算是_____元． 明明：小齐，你之前提到的自行车买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多100元呢！ 明明：听说它现在正在打7折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少50元！ 【答案】400 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并据此列出方程．设小齐买自行车的预算是x元，则原售价为元，现售价为0.7（x+100）元，根据“预算-现售价=50”列方程求解即可． 【详解】解：设小齐买自行车的预算是x元， 则原售价为元，现售价为元， 根据题意知，， 解得：， 答：小齐买自行车的预算是400元． 故答案为：400． 13. 比较大小：______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握角度的单位制是解题的关键． 根据度分秒的换算方法，将角度不同的单位转化成相同单位，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义． 把关于的方程化成，然后根据关于的一元一次方程的解为，求出关于的一元一次方程的解即可． 【详解】解：， ， 观察知：关于y的方程，形式与变形后的关于x的方程相似， 令． 关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程的解为： ， 故答案为：． 15. 如图，，两地之间有一条东西走向的道路．在地的正东方向处设置第一个广告牌，之后每往东就设置一个广告牌．一汽车从地出发，沿此道路向东行驶当经过第个广告牌时，此车所行驶的路程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式，根据题意，画出图形，那么此车所行驶的路程=出发地与第1个广告牌之间的距离+每两个相邻广告牌之间的距离，依此列式计算即可． 【详解】解：由题意可得，一辆汽车在A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为：， 故答案为：． 16. 若关于x的方程﹣x＝1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元一次方程，根据解为正整数，求得的整数解，再求其和即可 【详解】﹣x＝1 是正整数， 或或 或或 符合条件的所有整数a的和为 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次方程，数的整除，找到4的因数是解题的关键． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 17. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据整式加减的运算法则即可求解． 【详解】 ∵ 原式 【点睛】本题考查整式加减的运算法则，解题的关键是能够熟练掌握整式加减的法则，正确计算． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握等式的性质是解题关键． （1）根据去括号、移项合并、系数化1解方程即可； （2）根据去分母、去括号、移项合并、系数化1解方程即可． 【小问1详解】 解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问2详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 四、解答题：本题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 为了解老龄人口的状况，某社区开展了一次年龄（单位：岁）调查．如图，根据统计的结果，绘制出61~65岁（包含61岁和65岁）年龄段的人数统计图． 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的老年人共有 人，的值为 ； （2）补全条形统计图； （3）图①中63岁所对应的扇形的圆心角的度数为 ； （4）该社区组织迎新春慰问活动，其中为61~65岁老人准备了150份慰问品，若按照人均分配，求给64岁和65岁老人准备的慰问品总数． 【答案】（1）50，24 （2） 补画条形统计图如下图所示： （3）36 （4）应该给64岁和65岁老人78份慰问品 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、求扇形统计图的圆心角等知识，解题关键是通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息． （1）由接受调查的老人中61岁老人人数除以其占比，即可求得本次接受调查的老年人总数；通过接受调查老人中65岁老人人数除以总人数乘以，即可求得的值； （2）首先求得接受调查老人中，62岁老人人数和64岁老人人数，然后补画条形统计图即可； （3）通过接受调查老人中63岁老人人数除以总人数乘以，即可获得答案； （4）由“慰问品总数64岁和65岁老人的占比”，即可获得答案． 【小问1详解】 解：本次接受调查的老年人共有（人）， 接受调查老人中，65岁老人占比为，即． 故答案为：50；24 【小问2详解】 接受调查老人中，62岁老人人数为人， 64岁老人人数为人， 【小问3详解】 63岁所对应的扇形的圆心角的度数为． 故答案为：36； 【小问4详解】 （份）， 答：给64岁和65岁老人准备的慰问品总数为78份． 20. 如图，点C为线段上一点，点D为线段的中点，且，． （1）求的长； （2）若点E在直线上，且，求的长． 【答案】（1）6 （2）2或10 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的中点、线段的和差等知识点，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）根据线段的中点可求出，然后根据线段的和差即可解答； （2）分点在线段上在线段的延长线上两种情况，分别根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：∵点为的中点，， ∴，即； ∵， ∴， ∴的长为6． 【小问2详解】 解：分两种情况： ①当点在线段上时，如图： ∵，， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图： ∵，， ∴． 综上所述：的长为2或10． 21. 【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第135页探究1的部分内容． 探究1销售中的盈亏 （1）一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是_____元和_____元，卖这两件衣服总的是_____（填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． 【解决问题】： 七年级实践小组去商场调查，了解到某款服装以每件80元的价格购进了100件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的服装在原售价的基础上每件打7折销售，并全部销售完毕．已知这批服装总利润是3640元，请你算一算打折前共售出多少件？ 【答案】（1）48；80；亏损；解决问题：降价前共售出90件 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据利润售价进价分别求出两件衣服的原本售价即可得到答案； （2）设降价前共售出x件，则降价后售出件，根据利润（单价售价单价进价） 销售量列出方程求解即可． 【详解】解：（1）（元），（元）， ∴盈利的衣服的原本售价为48元，亏损的衣服的原本售价为80元， ∵（元）， ∴卖这两件衣服总的是亏损了8元， 故答案为：48；80；亏损； （2）设降价前共售出件，则降价后售出件， 由题意得，． 解得， 答：降价前共售出90件． 22. 如果射线在的内部，并且与角的两边、构成，，共3个角，若其中有一个角是另一个角的2倍，则称射线是的“倍分线”． （1）一个角的角平分线________这个角的“倍分线”．（填“是”或“不是”） （2）在图1中，若，且射线是的“倍分线”，求的度数； （3）如图2，若，射线是的“倍分线”，则________（用含的式子表示所有可能的结果） 【答案】（1）是 （2）的度数为或或 （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“倍分线”的定义是解题的关键． （1）根据“倍分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答； （2）根据“倍分线”定义，分、、，三种情况求解即可； （3）根据“倍分线”定义，分、、三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴, ∴根据倍分线定义可得是这个角的“倍分线”． 故答案为：是． 【小问2详解】 解：①当时，则, 解得：； ②当时，则 解得：； ③当时，则． 综上，的度数为或或． 【小问3详解】 解：①当时，则； ②当，则， 解得：； ③当，则， 解得：． 综上，可以为． 23. 综合与实践： 定义：我们称关于的方程与方程（、均为不等于的整数）互为“交换方程”，如；方程与方程互为“交换方程”． （1）判断：①与；②与；③与；其中互为“交换方程”的有_______；（填写序号） （2）若关于的方程与方程互为“交换方程”，求的值； （3）若关于的方程，为整数且满足无论取多少，多项式与的和始终等于，求其“交换方程”的解． 【答案】（1）②③； （2）128； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，解方程，熟练掌握新定义“交换方程”并能正确应用是解题的关键． （1）根据新定义“交换方程”及示例，即可判断各式，得到结果； （2）根据“交换方程”的定义，得到，的值，即可得到结果； （3）根据题意，得到的式子，得到的值，表示出方程的“交换方程”，解方程，得到结果． 【小问1详解】 解：①与中第一个方程的，第二个方程的，不符合题意； ②与中对应的、的值均相等，符合题意； ③先将变形为，与对应的、的值均相等，符合题意； 故答案为：②③． 【小问2详解】 ∵关于的方程与方程互为“交换方程”， 又∵关于的方程与方程互为“交换方程”， ∴，， ∴，， ∴． 【小问3详解】 ∵与， ∴， ， ． ∵无论取多少，多项式与的和始终等于， ∴，解得， ∴， ∴， ∵关于的方程的“交换方程”为， ∴， 解得． 24. 【问题提出】 （1）如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，已知与是同类项，点C是线段的中点． ①________，点C表示的数是________； ②若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点Q从点C出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，P、Q两点之间的距离为2？ 【方法迁移】 （2）如图2，，平分．现有射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度也绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线同时停止旋转．问经过几秒后，射线、所成的角为？ 【拓展运用】 （3）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示7点整（如图3，时针指向7，分针指向12），此时请直接写出经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 【答案】（1）①，2；②4秒或6秒；（2）7秒或17秒；（3）分钟 【解析】 【分析】（1）①由与是同类项，可得，，知，点是线段的中点，即得； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为，得，解方程可得答案； （2）求出，经过秒后，射线、的夹角为，可得：或，解方程即可； （3）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成，根据分钟时针旋转，分针旋转，有，即可解得答案． 【详解】(1) ①与是同类项， ，， ， 点是线段的中点， ， 故答案为：；2； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为， 、两点之间的距离为， ， 即或， 解得：或， 答：经过4秒或6秒后，、两点之间的距离为； （2），平分， ， 设经过秒后，射线、的夹角为， 由题意得：或 ， 解得：或 由旋转一周时，这两条射线同时停止旋转，可得， ， 经过秒或17秒后，射线、所成的角为； （3）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成， 分钟时针旋转，分针旋转，点整时，时针分针夹角为， ， 解得， 经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成. 【点睛】本题考查了同类项，解一元一次方程，角平分线的定义，线段中点定义，绝对值的意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级竞学竞练数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 上午时，钟表的分针与时针夹角的度数是（ ） A. 105度 B. 85度 C. 95度 D. 115度 3. 在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点，折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点C、D分别是线段AB上两点（，），用圆规在线段CD上截取，，若点E与点F恰好重合，，则（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 5. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，设该分派站有x名快递员，则可列方程为（ ） A. 10x﹣6＝12x＋6 B. 10x＋6＝12x﹣6 C. D. 7. 下列说法：①直线与直线是同一条直线；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③若线段，，则线段；④两点之间，线段最短；⑤若，则点是线段的中点．其中正确的有 （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，阴影部分是正方形，图中最大的长方形的周长是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，第2种如图②有2个碳原子6个氢原子，第3种如图③有3个碳原子8个氢原子，第n种化合物的分子结构模型中碳原子、氢原子的个数分别是（ ） A. n， B. n， C. n， D. n， 10. 如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 2或4 D. 或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 有、两根木条，长度分别为24 cm、18 cm，将它们的一端重合且放在同一条直线上，此时、两根木条中点之间的距离为_______cm． 12. 根据下面明明和小齐两人的对话，判断小齐买自行车的预算是_____元． 明明：小齐，你之前提到的自行车买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多100元呢！ 明明：听说它现在正在打7折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少50元！ 13. 比较大小：______．（填“>”“<”或“=”） 14. 若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为_______． 15. 如图，，两地之间有一条东西走向的道路．在地的正东方向处设置第一个广告牌，之后每往东就设置一个广告牌．一汽车从地出发，沿此道路向东行驶当经过第个广告牌时，此车所行驶的路程为______． 16. 若关于x的方程﹣x＝1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为 ___． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 17. 化简求值：，其中． 18. 解方程： （1）； （2）． 四、解答题：本题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 为了解老龄人口的状况，某社区开展了一次年龄（单位：岁）调查．如图，根据统计的结果，绘制出61~65岁（包含61岁和65岁）年龄段的人数统计图． 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的老年人共有 人，的值为 ； （2）补全条形统计图； （3）图①中63岁所对应的扇形的圆心角的度数为 ； （4）该社区组织迎新春慰问活动，其中为61~65岁老人准备了150份慰问品，若按照人均分配，求给64岁和65岁老人准备的慰问品总数． 20. 如图，点C为线段上一点，点D为线段的中点，且，． （1）求的长； （2）若点E在直线上，且，求的长． 21. 【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第135页探究1的部分内容． 探究1销售中的盈亏 （1）一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是_____元和_____元，卖这两件衣服总的是_____（填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． 【解决问题】： 七年级实践小组去商场调查，了解到某款服装以每件80元的价格购进了100件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的服装在原售价的基础上每件打7折销售，并全部销售完毕．已知这批服装总利润是3640元，请你算一算打折前共售出多少件？ 22. 如果射线在的内部，并且与角的两边、构成，，共3个角，若其中有一个角是另一个角的2倍，则称射线是的“倍分线”． （1）一个角的角平分线________这个角的“倍分线”．（填“是”或“不是”） （2）在图1中，若，且射线是的“倍分线”，求的度数； （3）如图2，若，射线是的“倍分线”，则________（用含的式子表示所有可能的结果） 23. 综合与实践： 定义：我们称关于的方程与方程（、均为不等于的整数）互为“交换方程”，如；方程与方程互为“交换方程”． （1）判断：①与；②与；③与；其中互为“交换方程”的有_______；（填写序号） （2）若关于的方程与方程互为“交换方程”，求的值； （3）若关于的方程，为整数且满足无论取多少，多项式与的和始终等于，求其“交换方程”的解． 24. 【问题提出】 （1）如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，已知与是同类项，点C是线段的中点． ①________，点C表示的数是________； ②若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点Q从点C出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，P、Q两点之间的距离为2？ 【方法迁移】 （2）如图2，，平分．现有射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度也绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线同时停止旋转．问经过几秒后，射线、所成的角为？ 【拓展运用】 （3）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示7点整（如图3，时针指向7，分针指向12），此时请直接写出经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $