专题06 圆（下）（期末复习专项训练，7大题型）九年级数学上学期北京版

专题06 圆（下） 题型1 判断直线与圆的位置关系 题型5 圆与正多边形 题型2 圆切线判定与性质（常考点）（难点） 题型6 弧长、扇形面积 题型3 切线长定理 题型7 圆新定义（难点） 题型4 圆尺规作图 题型一 判断直线与圆的位置关系（共3小题） 1．已知直线上两点，点在上，点在外，则直线与的关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．点在圆上，点在圆外，直线经过和，因此直线与圆至少有一个交点，可能相切或相交． 【详解】解：点在上，直线与至少有一个公共点． 点在外，直线上存在点在圆外． 直线可能与相切（仅有一个公共点）或相交（有两个公共点，包括）． 直线与的关系是相交或相切． 故选：D． 2．已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与的位置关系是（　　） A．无法确定 B．相切 C． 相交 D．相离 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法是解题的关键． 按照判断直线和圆的位置关系的方法进行判断即可． 【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，且， ∴直线l与的位置关系是相交， 故选：C． 3．已知⊙O的直径为13cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关 系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】C 【分析】根据直径长可得半径为，圆心O到直线l的距离为8cm，由此可得直线l与⊙O的位置关系. 【详解】解：∵⊙O的直径为13cm， ∴⊙O的半径， ∵圆心O到直线l的距离d为8cm， ∴， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离， 故答案为C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系.直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离. （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点，； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点，； （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离，.（d为圆心到直线的距离） 题型二 圆切线判定与性质（共5小题） 4．如图，是的直径，点为上一点，的平分线交于点，交于点，延长到点，使得． (1)求证：与相切； (2)若的半径为．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质和圆周角定理证明，即可得证． （2）过O作于F，过C作于H， 设，，则，根据勾股定理可得，根据等面积法可得，根据垂径定理和勾股定理可得，根据等面积法可得，进而可得，代入，解一元二次方程可求y，再根据勾股定理求出，再由勾股定理即可得解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 是直径， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 与相切； （2）解：过O作于F，过C作于H， 设，，则， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， 把代入得， ， 把代入得， 整理得， 解得：或（舍去）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的综合，涉及垂径定理，切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，运用数形结合思想． 5．如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用圆周角定理，求出，利用等腰直角三角形的性质求得，过点B作于F，利用30角的直角三角形的性质得，得，即得 【详解】（1）证明：连接 ∵是的直径， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：过B作于F， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键． 6．如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作．交的延长线于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决问题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理进行解答即可； （2）设与交于点F，利用含角的直角三角形的性质，勾股定理求得和的长度，再利用相似三角形的判定与性质求得和的长度，最后利用勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的平分线， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线． （2）解：设与交于点F，如图， 为的直径， ，， ，， ， ，， 过点C作于点H，则， ， ， ， ， ， 令，则， ， ， ，， ， ， ． 答：的长为． 7．已知：如图，过正方形的顶点A，B，且与边相切于点E．点F是与的交点，连接，点G是延长线上一点，连接，且 (1)求证：是的切线； (2)如果正方形边长为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定、正方形的性质、垂径定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是第一问通过角度关系证明直线与直径垂直判定切线，第二问构造辅助线利用勾股定理求半径，再通过相似三角形对应边成比例计算线段长度． （1）由正方形性质得，确定为直径；利用圆周角定理和已知角度关系推出，从而证明是切线； （2）连接，过O作，结合切线性质和矩形性质转化线段关系，设半径为r，用勾股定理列方程求出r，进而得、长度；通过证明，利用相似比求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴是的直径； ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的切线， ∴， 过O作于H， 则四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，点P为外一点，过点P作的切线和，切点分别是点A和点B，连接，直线与交于点C和点E，交于点D，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长的性质可证，得到，由等腰三角形的定义即可求解； （2）连接，可得，由全等三角形的性质可得，则，可得，根据同弧所对圆周角相等可得，则有，设，则，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：，是的切线， ， ∴平分， ． 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：连接， 是的直径， ， ， ． ， 又， ， ，平分， ， ， ， 设，则，有， 即， 解得：（负根舍去），即． 【点睛】本题主要考查切线的性质，切线长的性质，直径对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，三角函数的计算，勾股定理等知识的综合运用，掌握切线及切线长的性质，三角函数的计算方法是解题的关键． 题型三 切线长定理（共3小题） 9．如图，过点A作的切线，切点分别是B，C，连接．过上一点D作的切线，交于点E，F．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆切线和等腰直角三角形．熟练掌握切线长定理，勾股定理，是解题的关键． 根据切线长定理可得，，根据勾股定理得． 【详解】解：∵为的切线， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵的周长为4， ∴ ， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 10．如图，是的直径，分别切于．若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线长定理的应用，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，根据是的直径，得出，结合已知得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据切线的性质以及切线长定理得出，，进而证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵分别切于． ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ 故答案为：． 11．如图，，分别与相切于点，，点为上的点，过点的切线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，，再根据三角形周长公式计算，即可得到答案． 【详解】解：∵、分别切于、两点， ∴， 同理可得：， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选A． 题型四 圆尺规作图（共3小题） 12．下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：的切线． 作法： ①作射线； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D； ③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B； ④作直线． 则直线即为所求作的的切线. 根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明. 证明：连接，． 由作图可知， ， ． ∴ ． ∵ 点A在上， ∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ． 【答案】(1)见解析； (2)；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可； （2）结合作图，完成证明过程即可． 【详解】（1）补全图形如图所示， （2）证明：连接，． 由作图可知， ，． ∴， ∵ 点A在上， ∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线， 故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键． 13．已知：点，，在上，且． 求作：直线，使其过点，并与相切． 作法：①连接； ②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点； ③作直线． 直线就是所求作直线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，， ∵， ∴四边形是菱形， ∵点，，在上，且， ∴______°（_________________）（填推理的依据）． ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵为半径， ∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析； (2)90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示； （2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 14．已知：如图，是的切线，为切点． 求作：的另一条切线，为切点． 作法：以为圆心，长为半径画弧，交于点； 作直线． 直线即为所求． (1)根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明过程． 证明：连接，，． ∵是的切线，为切点， ∴． ∴． 在与中， ∴．∴． ∴于点．∵是的半径， ∴是的切线（____________________）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析 (2)，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】（1）按照作法作出图形即可； （2）连接，，，证明即可证明是的切线． 【详解】（1）补全图形，如图所示： （2）连接，，． ∵是的切线，A为切点， ∴． ∴． 在与中， ∴．∴． ∴于点．∵是的半径， ∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】本题考查了尺柜作图，切线的性质和判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键． 题型五 圆与正多边形（共3小题） 15．以外接圆半径为2的正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则（   ） A．不能构成三角形 B．这个三角形是等边三角形 C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，特殊角的三角函数，勾股定理的逆定理，计算正三角形、正方形、正六边形的边心距，得到三边长分别为、、 ，验证能构成三角形，且满足勾股定理逆定理，故为直角三角形． 【详解】如图，∵正三角形、正方形、正六边形都内接于半径为2的圆，边心距分别为，，，，，，， ∴， ， ， ∵， ∴这个三角形是直角三角形， 故选C． 16．半径为，圆心角为的扇形面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用．根据扇形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：扇形的面积， 故答案为：． 17．如图，正六边形内接于，若的半径为4，则正六边形的面积为 . 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角函数的应用，连接，，根据正六边形的性质可得，进而可得是等边三角形，则得，再求出等边的面积，进而可求解． 【详解】解：连接，，过F点作于点H，如图： 六边形是正六边形，的半径为4， ， ，且， 是等边三角形，且边长， 等边的面积为：， 正六边形的面积为：， 故答案为：． 题型六 弧长、扇形面积（共3小题） 18．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，已知正六边形的边长是4，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，弧长公式，先根据中心角定义求出的度数，然后证明是等边三角形，可求出圆的半径，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解∶如图， ∵正六边形的边长是4， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 19．圆心角是，半径为20的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用弧长计算． 【详解】解：圆心角是，半径为20的扇形的弧长． 故选：． 【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为． 20．如图，，，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中， ①该圆的半径为2；        ②的长为； ③平分；        ④连接，，则与的面积比为． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据圆内接正六边形、内接正方形的性质、弧长公式，勾股定理逐一判断可选项即可． 【详解】解：根据题干补全图形，连接， 根据内接正六边形的性质可知：， ∴是等边三角形， ，圆的半径为2，所以①正确； 根据内接正方形的性质可知：， 的长为：，所以②错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 所以③正确； 过点A作交延长线于点H，交延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 设交于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，所以④正确； 因此正确的结论：①③④ 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查圆内接正六边形、内接正方形的性质、弧长公式，勾股定理，得出圆形的半径是解题的关键． 题型七 圆新定义（共5小题） 21．在平面直角坐标系xOy中，对于内的一点M，若存在点N使得线段的中点恰好在上，则称点N是点M关于的“关联点”；特别地，当点N是点M关于的“关联点”且为直角三角形时，则称点N是点M关于的“直角关联点”． (1)如图，已知点，的半径为2． ①在点，，中，点A关于的“关联点”是_______； ②若点B是点A关于的“直角关联点”，且点B在第一象限，直接写出点B的坐标； ③若直线上有且只有一个点是点A关于的“关联点”，且该点恰好为点A关于的“直角关联点”，直接写出k的值； (2)已知的半径为3，若存在半径为r的，对于上的任意一点Q，都存在上的点C与内一点D，满足，且点Q为点D关于的“直角关联点”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①，；②；③的值为或 (2)，或，或 【分析】本题主要考查“中点坐标公式”“勾股定理”“点与圆的位置关系”，正确理解题目中的新定义，并根据定义，找到合适的等量关系是解题关键． （1）①分别计算这三个点与点A连线的中点是否在圆上，即连线中点与圆心的距离是否等于半径即可； ②利用直角确定点B的纵坐标，再通过的中点在圆上，计算点B的横坐标即可； ③先设出关联点坐标，借助关联点与点A连线的中点在圆上，且具有唯一性，通过一元二次方程根的判别式，得到k与b的关系，再通过直角，计算的到关联点的坐标，代入到一次函数中，得到第二个k与b的关系，解方程组，求出k的值即可； （2）由于圆具有旋转对称性，因此利用圆上一点，确定以该点为点C的情况下，点D的直角关联点的位置，进而利用这个位置，通过上对于任意一点均满足，得到圆心的位置的可能情况，从而求出r的取值范围． 【详解】（1）解：①的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为，故点符合定义； 的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为，故点符合定义； 的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为，故点不符合定义； 故答案为：，． ②根据定义，为直角三角形， ∵，， 由图可知，若，则点B在x轴上，不符合题意； 若，则，则点B在内，不符合题意； 故只有一种情况， ∴轴， ∴点B的纵坐标为1， 设，则的中点坐标为，即， ∴， 解得，或（由题意，负值舍去）， ∴． ③设该点为点， 由定义，可知的中点坐标为 ，即， 由定义，得， 整理，得， ∵有且只有一个点满足定义， ∴， ∴， 求点A关于的“直角关联点”，由②可知，的情况不存在， 所以分两种情况： 当时，由②可知，点C在x轴上，∴， 此时的中点坐标为，即， ∴， 解得，或， ∴，即或，即， 分别代入，解得（负值已舍去）， 当时，由②可知，，或，， ∴，即，或，即， 分别代入，解得（负值已舍去）， ∴的值为或． （2）解：如图，构造，由题意，可知，点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，且在内， 当时，由图可知，点D存在两种临界情况，即点D在上，为最近端，和点D在上，为最远端， 显然，当点D在上时，记为，此时点Q也在上， 当点D在上时，记为，设此时的“直角关联点”为点M，中点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的圆弧均在如图所示的圆环中时，满足题意， 分两种情况，第一种：的圆心在圆环中，直径小于圆环宽度，即， ∴， 第二种，的圆心与点重合，圆弧在圆环内，且当为圆环最外部时仍满足题意，即， ∴， 当时，由图可知，点D存在两种临界情况，即点D在上，为最近端，和点D在上，为最远端， 当点D在上时，记为，设此时的“直角关联点”为点，中点为， ∵， ∴， ∴， 当点D在上时，记为，设此时的“直角关联点”为点M，中点为， 同理，可得， ∴， 同之前说理，分两种情况，第一种：在圆环内，此时， 第二种：的圆心与点P重合，此时， 综上，，或，或． 22．在平面直角坐标系中，对于点P和半径为1的给出如下定义：若过点P的直线l交于A，B两点，在P，A，B三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点P为的关联点． (1)当点C与O重合时， ①在点，中，的关联点是______； ②已知点在直线上，若点P为的关联点，求m的取值范围； (2)的圆心，直线与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段上存在的关联点P，则c的取值范围是______． 【答案】(1)①D② (2) 【分析】本题在新定义的基础上，考查了点和圆的位置关系，根据一次函数求点的坐标，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据新定义转化为点和圆的位置关系． ①点D在内，连接，过点D作的垂线，交于两点A，B，则D是的中点，点E在圆外，点E到最小的距离为3，大于的直径2，进一步得出结果； ②设直线与x轴和y轴分别相交于点A，B，则，，点A、B到的最小距离是2，圆的直径是2，当点P在线段时，点P是的关联点，进一步得出结果； 先求得M和N坐标，作于A，作轴于B，当时，点A是的关联点，解直角三角形得出和的长，进一步求得点A，从而得出点C坐标；当M是的关联点时，，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：①点D在内，连接，过点D作的垂线，交于两点A，B，则D是的中点（垂径定理）， 故点D是的关联点，点E不是， 故答案为：D； ②如图1， 设直线与x轴和y轴分别相交于点A，B，则，， 点A、B到的最小距离是2，圆的直径是2， 当点P在线段时，点P是的关联点， ； （2）如图2， 当时，， ，， 当时， ， ， ，， ， ， 作于A， ， ， 当时，点A是的关联点， ， ， 当时， ， ， ， 点C在点O处，， 当M是的关联点时，点C在图中点处，， ， 故答案为： 23．在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”． (1)如图1，已知点； ①点，，中是关于的“弦中点”的是______； ②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值； (2)如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】（1）①作直线，根据垂径定理可知，则可得点在以为圆心，1为半径的圆上，再结合所给的点进行判断即可； ②由①可知，点在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心，由题意可知直线与圆相切，过点作垂直直线交于点，先证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）由（1）可知，点在以为直径的圆弧上，由题意可得直线与圆弧相交或相切，分两种情况求出的值，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：①作直线， ∵点是弦的中点， ， ， ∴点在以为直径的圆上， ， ∴点在以为圆心，1为半径的圆上， ∵点在该圆上， ∴点是关于的“弦中点”， 故答案为：； ②由①可知，点在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心， ∵直线上只存在一个关于的“弦中点”， ∴直线与圆相切， 过点作垂直直线交于点， 当直线与轴交于正半轴时， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 当直线与轴交于负半轴时，同理可得， 综上所述，的值为或； （2）解： 由（1）可知，点在以为直径的圆弧上， ∵直线上存在关于的“弦中点”， ∴直线与圆相切或相交， 过点作垂直直线交于点，当直线经过点时，m取得最大值， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ， ∴圆的半径为3， ，， ， ， ； 当直线经过点时，m取得最小值， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过点作 ， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：． ∴的取值范围． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形，勾股定理等，熟练掌握垂径定理，直线与圆相切的性质，弄清定义，确定点的运动轨迹是解题的关键． 24．在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和点，给出如下定义：若在上或其内部存在一点使得四边形是菱形且是该菱形的对角线，则称点是弦的“伴随点”． (1)如图，点． ①在点中，弦的“伴随点”是点 ； ②若点是弦的“伴随点”且，则长为 ； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的伴随点．记点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)且 【分析】（1）①根据新定义，弦的“伴随点”在的垂直平分线上（除的中点外），且在上或其内部存在一点，且，结合坐标系，即可求解； ②根据圆周角定理，圆内接四边形对角互补得出，根据新定义得出点在外，且只有1个，进而解直角三角形，即可求解； （2）分析新定义，结合（1）②可得弦的“伴随点”是线段除点外上的点，而，根据新定义得出点的轨迹为线段（除点）上任意一点，当旋转时，构成的图形如图所示，是两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为的圆（虚线部分）；根据对称性分别求得，进而根据且，得出的范围，根据与轴的夹角为，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，点关于对称的点分别为 只有在的垂直平分线上（除的中点外），且在内部存在一点， 故答案为：． ②如图所示，设为的中点，,为的垂直平分线与的交点， ∵ ∴，则是等腰直角三角形， ∴的垂直平分线为一三象限的平分线上即，点在一三象限的平分线上 ∵， ∴ 如图所示，则分别为关于的对称点，弦的“伴随点”是线段除点外上的点， 又∵点是弦的“伴随点”且 ∴点在外，且只有1个， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． （2）解：由（1）②可得，弦的“伴随点”是线段除点外上的点，而， ∵在上，且， 设，则 ∴，即， 同理，则 ∵，则，则 ∴，，， 当是直线上一点，且存在的弦，点是弦的伴随点． ∴点的轨迹为线段（除点）上任意一点，当旋转时，构成的图形如图所示，是两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为的圆（虚线部分） ∴且 即且 又∵与轴的夹角为 ∴的横坐标为 ∴且． 【点睛】本题考查了几何新定义，圆周角定理，菱形的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识正确的分析新定义是解题的关键． 25．对于平面直角坐标系中的，点，点，给出如下定义：线段为⊙的弦，点是弦上任意一点．若，则称点是点关于的倍关联点． 已知，的半径为2，点的坐标为． (1)在点，，中，是点关于的2倍关联点的是 ； (2)在直线上，若是点关于⊙的2倍关联点，直接写出的取值范围； (3) 与轴正半轴交于点，对于线段上任意一点，在  上都存在点，使得点是点关于的倍关联点，直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)、； (2)； (3)最小值是1，最大值是． 【分析】（1）根据新定义可知，，所以是的中点，连接，根据垂径定理可知，，据此判断可得出结果； （2）可推出点在以为直径的圆上运动，当直线于相切于点时，设直线交轴于，交轴于，解求得，进而得出，解求得结果，当直线于相切于点时，设直线交轴于，交轴于，同样的方法得出结果； （3）根据，，可求得的最小值是，此时点在点或点处，；连接，，可得出，从而，进而得到，从而得到，进一步得出结果． 【详解】（1）如图， 图中， ∵，，则应为，但此时不在圆上，故点不是点关于⊙的倍关联点， 图中， ∵，，则在圆上，故点是点关于⊙的倍关联点， 图， 连接，作于， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是点关于⊙的倍关联点． 故答案为、． （2）如图， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 当直线于⊙相切于点时，设直线交轴于，交轴于， 可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当直线于⊙相切于点时，设直线交轴于，交轴于， 连接， 可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴的最小值是， 当点在点或点时，， 如图， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即点是的中点，最大，当，最小，此时， 此时， 综上所述，的最小值是，最大值时． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，与圆有关的位置关系，一次函数的图像和性质等知识，解决问题的关键是根据新定义转化题意． 2 / 44zxxk.com 1 / 44zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆（下） 题型1 判断直线与圆的位置关系 题型5 圆与正多边形 题型2 圆切线判定与性质（常考点）（难点） 题型6 弧长、扇形面积 题型3 切线长定理 题型7 圆新定义 题型4 圆尺规作图 题型一 判断直线与圆的位置关系（共3小题） 1．已知直线上两点，点在上，点在外，则直线与的关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2．已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与的位置关系是（　　） A．无法确定 B．相切 C． 相交 D．相离 3．已知⊙O的直径为13cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关 系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 题型二 圆切线判定与性质（共5小题） 4．如图，是的直径，点为上一点，的平分线交于点，交于点，延长到点，使得． (1)求证：与相切； (2)若的半径为．求的长． 5．如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 6．如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作．交的延长线于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 7．已知：如图，过正方形的顶点A，B，且与边相切于点E．点F是与的交点，连接，点G是延长线上一点，连接，且 (1)求证：是的切线； (2)如果正方形边长为2，求的长． 8．如图，点P为外一点，过点P作的切线和，切点分别是点A和点B，连接，直线与交于点C和点E，交于点D，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 题型三 切线长定理（共3小题） 9．如图，过点A作的切线，切点分别是B，C，连接．过上一点D作的切线，交于点E，F．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 10．如图，是的直径，分别切于．若，则的长是 ． 11．如图，，分别与相切于点，，点为上的点，过点的切线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型四 圆尺规作图（共3小题） 12．下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：的切线． 作法： ①作射线； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D； ③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B； ④作直线． 则直线即为所求作的的切线. 根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明. 证明：连接，． 由作图可知， ， ． ∴ ． ∵ 点A在上， ∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ． 13．已知：点，，在上，且． 求作：直线，使其过点，并与相切． 作法：①连接； ②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点； ③作直线． 直线就是所求作直线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，， ∵， ∴四边形是菱形， ∵点，，在上，且， ∴______°（_________________）（填推理的依据）． ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵为半径， ∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）． 14．已知：如图，是的切线，为切点． 求作：的另一条切线，为切点． 作法：以为圆心，长为半径画弧，交于点； 作直线． 直线即为所求． (1)根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明过程． 证明：连接，，． ∵是的切线，为切点， ∴． ∴． 在与中， ∴．∴． ∴于点．∵是的半径， ∴是的切线（____________________）（填推理的依据）． 题型五 圆与正多边形（共3小题） 15．以外接圆半径为2的正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则（   ） A．不能构成三角形 B．这个三角形是等边三角形 C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是等腰三角形 16．半径为，圆心角为的扇形面积是 ． 17．如图，正六边形内接于，若的半径为4，则正六边形的面积为 . 题型六 弧长、扇形面积（共3小题） 18．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，已知正六边形的边长是4，则长为 ． 19．圆心角是，半径为20的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 20．如图，，，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中， ①该圆的半径为2；        ②的长为； ③平分；        ④连接，，则与的面积比为． 所有正确结论的序号是 ． 题型七 圆新定义（共5小题） 21．在平面直角坐标系xOy中，对于内的一点M，若存在点N使得线段的中点恰好在上，则称点N是点M关于的“关联点”；特别地，当点N是点M关于的“关联点”且为直角三角形时，则称点N是点M关于的“直角关联点”． (1)如图，已知点，的半径为2． ①在点，，中，点A关于的“关联点”是_______； ②若点B是点A关于的“直角关联点”，且点B在第一象限，直接写出点B的坐标； ③若直线上有且只有一个点是点A关于的“关联点”，且该点恰好为点A关于的“直角关联点”，直接写出k的值； (2)已知的半径为3，若存在半径为r的，对于上的任意一点Q，都存在上的点C与内一点D，满足，且点Q为点D关于的“直角关联点”，直接写出r的取值范围． 22．在平面直角坐标系中，对于点P和半径为1的给出如下定义：若过点P的直线l交于A，B两点，在P，A，B三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点P为的关联点． (1)当点C与O重合时， ①在点，中，的关联点是______； ②已知点在直线上，若点P为的关联点，求m的取值范围； (2)的圆心，直线与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段上存在的关联点P，则c的取值范围是______． 23．在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”． (1)如图1，已知点； ①点，，中是关于的“弦中点”的是______； ②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值； (2)如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围． 24．在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和点，给出如下定义：若在上或其内部存在一点使得四边形是菱形且是该菱形的对角线，则称点是弦的“伴随点”． (1)如图，点． ①在点中，弦的“伴随点”是点 ； ②若点是弦的“伴随点”且，则长为 ； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的伴随点．记点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围． 25．对于平面直角坐标系中的，点，点，给出如下定义：线段为⊙的弦，点是弦上任意一点．若，则称点是点关于的倍关联点． 已知，的半径为2，点的坐标为． (1)在点，，中，是点关于的2倍关联点的是 ； (2)在直线上，若是点关于⊙的2倍关联点，直接写出的取值范围； (3) 与轴正半轴交于点，对于线段上任意一点，在  上都存在点，使得点是点关于的倍关联点，直接写出的最大值和最小值． 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $