第二十二章圆（下）单元练习2025-2026学年北京版数学九年级上册

第二十二章 圆（下）单元练习 一、单选题 1．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．若的半径为5，点P到圆心O的距离也为5，则经过点P的直线与的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相切或相交 D．相切或相离 3．如图，四边形内接于．过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，点，在上，连接，，，，过点作的切线，交的延长线于点，若的直径为4，，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．怀仁市，因晋王李克用与辽太祖耶律阿保机会盟于云州东城，易袍马约为兄弟，取怀想仁人及《论语》“怀德里仁”之意而命名．如图是以“仁”设计的艺术字，若将“仁”字每一笔画抽象为直线，背景抽象为圆，则图中直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 6．如图，在半径为的中作一个正六边形．则此正六边形的面积为（） A． B． C． D． 7．直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．如图，是等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D．若，则的半径为（   ） A．6 B． C．3 D．4 9．如图，的半径为，直线与相切于点，动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时12s，当点到直线的距离是时，点运动的时间为（    ） A．或 B．或 C． D． 10．如图，，，分别是直径为的圆O的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，给出下面四个结论：①圆O的直径为4；②；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①② C．①②④ D．②③④ 二、填空题 11．如图，已知是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 （用含的式子表示）． 12．如图，在中，，，，D为边上一动点，以点D为圆心的与边相切，当的半径为 时，也与边相切． 13．如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 14．如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长为 ． 15．如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是 （填序号）． 三、解答题 16．如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，与分别交于点E，F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 17．我们知道，过圆外一点可以作两条直线与圆相切．如图，点P为外一点． (1)请过点P作的切线，，切点分别为A，B；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)求证：，是的切线． 18．如图，内接于，为直径，过点C作的切线，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 19．如图，已知为的直径，F为上一点，点C是劣弧的中点，过点作于点，延长交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 20．内接于，直径平分分别交和于E、F， (1)如图1，求证：； (2)若交于D，连接并延长到G，平分交于H， ①如图2，若G正好在的延长线上，，试用含m的式子表示； ②若四边形的外角平分线也是的切线，，请在图3中画出符合条件的草图，并求的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十二章 圆（下）单元练习2025-2026学年北京版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D A B C C A C 1．C 【分析】本题考查正多边形的中心角，正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角相等，因此边数等于除以中心角． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，且每个中心角相等， ∴边数， 故选：C． 2．C 【分析】此题考查了直线与圆的位置．根据点到经过点P的直线的距离小于或等于半径5，则经过点P的直线与的位置关系是相切或相交． 【详解】解：∵的半径为5，点P到圆心O的距离也为5， ∴圆心到经过点P的直线的距离小于或等于半径5， ∴经过点P的直线与的位置关系是相切或相交， 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及圆周角定理．连接、，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】如图，连接，， 是的切线，切点为C， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 4．D 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，圆周角定理和相似三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，如图，先根据切线的性质得到，利用勾股定理可计算出，再根据圆周角定理得到，然后证明，于是利用相似比可求出的长． 【详解】解：连接，如图， 为的切线， ， ， 的直径为4， ，， 在中，，， ， 是的直径， ， ∵， ∴， ∵ ， 而， ， ，即， 解得． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系是解决问题的关键 通过观察发现，“仁”字每一笔画所在直线与背景圆均有公共点，由直线与圆的位置关系直接判断即可得到答案． 【详解】解：通过观察发现，“仁”字每一笔画所在直线与背景圆均有公共点，则图中直线与圆的位置关系是相交， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的性质等知识，根据正六边形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可，掌握正六边形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 六边形是的内接正六边形， ， ， 是正三角形， 在中，，， ， ∴ ， 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直线l与相交， ∴点O到直线l的距离， 又∵， ∴． 故选：C． 8．C 【分析】该题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，连接，根据是等腰三角形，O是底边的中点，得出，根据腰与相切于点D，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，O是底边的中点， ∴， ∵腰与相切于点D， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为3， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，特殊的三角函数值；如图，设当点运动到两点时，点到直线的距离是，连接，，，设与交于点，可知，，先通过三角函数值可知，得到，进而再对P点进行两种情况分析即可得到结果． 【详解】解：如图，设当点运动到两点时，点到直线的距离是，连接，，， 设与交于点，可知，， 则，， 在中，， ∴， ∴， ∵动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时， ∴的运动速度为， 当点运动到点时，运动了，所以运动时间为， 同理可知， 当点运动到点时，运动了，所以运动时间为， 综上点运动的时间为或． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，等边三角形的判定及性质，圆的基本性质等；连接、、，交于，由圆与正多边形的关系，，，结合等边三角形的判定及性质和勾股定理等逐一判断，即可求解． 【详解】解：连接、、，交于， ，，分别是直径为的圆O的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边， ，，，， 是等边三角形，， ， ， 故①②正确； ∵，， ， ， ， ， ， 故③错误； ∵， ， ， ∴， 故④正确； ①②④正确； 故选：C． 11． 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 连接，利用切线的性质得到，根据直角三角形两锐角互余得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 12．2 【分析】本题考查了切线的性质定理，相似三角形的判定和性质． 设与、边相切于点E、F，连接、，可得四边形是正方形，即，根据，可得，对应边成比例即可求出r的值． 【详解】解：设半径为r， 设与、边相切于点E、F， 连接、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 所以当的半径为2时，也与边相切． 故答案为：2． 13．/28度 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，根据切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理计算的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．24 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出是解题的关键． 设与分别相切于点E、F，则，因为与相切于点D，所以，，可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与分别相切于点E、F，则， 与相切于点D， ，， ， ， ， 剪下的的周长为24， 故答案为：． 15．①②③ 【分析】分析题意，连接，若使是的切线，只需证明即可；若添加条件①，由是的直径得到结合，只要证明即可；根据是的一个外角得知，推理可得是等边三角形，至此可判断①的正误；对于②，若，则是等边三角形，，继而可以求得的度数，从而可以作出判断；对于③，根据得到，由三角形内角和定理可得，结合得到，接下来可以得到的度数，从而完成解答． 【详解】解：如图，连接． 是的直径， ． ， ． ①， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， 是的切线． ∴①正确； ②，， 是等边三角形， ． ， ， ， 是的切线． ∴②正确； ③， ． ， ． ， ． ， ， ， 是的切线． ∴③正确； 综上所述，能使成为的切线的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定以及利用勾股定理求圆的半径，解题的关键是通过角的关系证明直线与圆相切，借助矩形性质和勾股定理构建方程求解半径． （1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． 【详解】（1）证明：连接 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：过点作，垂足为点 ，， 四边形是矩形 ， ， 在中， 的半径为． 17．(1)图见详解； (2)证明见详解． 【分析】本题考查尺规作图（作圆的切线）与切线的证明，核心是掌握线段垂直平分线的尺规作法、圆周角定理的推论及切线的判定定理，通过构造辅助圆将切线问题转化为直角问题解决． （1）作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M；②以M为圆心，以为半径作⊙M，与⊙O交于两点A和B；③作直线，直线，则直线和直线是⊙O的两条切线； （2）利用圆周角定理的推论（直径所对圆周角为直角）证明半径与直线垂直，再结合切线判定定理完成证明． 【详解】（1）解：如图所示：、即为所求； （2）证明：连接，，如图， ∵为⊙的直径， ∴； ∴，， 又∵点A，B在⊙O上， ∴，是⊙O的半径，且， ∴，是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，求得，得到，根据角平分线的定义得到结论； （2）由（1）知，，等量代换得到，根据三角函数的定义得到，于是得到结论； 【详解】（1）连接为直径， ∵为直径， ∴， ∴， ∵过点C作的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．(1) (2)证明见解析 (3)的值为2，理由见解析 【分析】本题考查了圆的性质、切线的判定、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用圆的相关定理及全等三角形的判定方法． （1）连接，，由点C是劣弧FB的中点得到，由，从而得到，，即可求解角度； （2）通过连接，证明垂直于来判定切线； （3）构造全等三角形以及，利用线段关系推导常数的值即可． 【详解】（1）解：连接，， ∵点C是劣弧的中点， ，则， ∵， ， ， ， ∵， ， ， 又∵， 是等边三角形，， 在 中，； （2）证明：连接，如图 ∵为的直径， ， ， ∴， ， ， ∵平分， ， ， ∴， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：存在常数，使得的值为2，理由如下， 过点作于点，如图， 则， ， 在和中， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， ∴， ， ， ， 即， ∴存在常数，使得的值为2． 20．(1)证明见解析 (2)①；②草图见解析，的半径是3 【分析】（1）根据圆周角定理可得，从而可得，即可根据圆心角定理的推论证明结论； （2）①根据圆周角定理及直角三角形的两锐角互余，可得，再结合，可推得，即可得到答案； ②连结，根据圆的切线的性质，可得，根据三角形内角和定理及圆周角定理，可逐步推得，进一步可得，因此，所以可证明，即知是的直径，再证明是等边三角形，最后根据等边三角形的性质及勾股定理，即可求得答案． 【详解】（1）证明：直径平分， ， ， ； （2）解：①， ， 和都是所对的圆周角， ， ， 直径平分， ， ， ， ， ； ②草图如图所示； 连结， 四边形的外角平分线是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 和分别是所对的圆心角和圆周角， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的直径， ，， ， ， ， 是正三角形， ， ， ， 直径平分， ，， ， ， ， 解得， 即的半径为3． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，圆周角定理及圆的切线的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $