专题05 圆（下）（期末复习讲义）九年级数学上学期北京版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理圆的核心考点，涵盖直线与圆的位置关系、切线性质与判定、正多边形计算等内容，以“核心考点-复习目标-考情规律”框架呈现知识脉络，结合知识点分点解析和题型分类示例，清晰呈现重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，基础通关练夯实概念（如直线与圆位置关系判定），重难突破练强化推理（如切线证明中“作半径证垂直”技巧），综合拓展练提升建模能力（如正多边形与圆的计算综合题）。通过典例变式训练培养数学思维与几何直观，助力不同层次学生掌握解题方法，为教师精准教学提供系统支持。

专题05 圆（下）（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线与圆的位置关系（相离、相切、相交的概念及判定） 能根据直线到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系，准确判定直线与圆的位置关系（d>r⇔相离；d=r⇔相切；d<r⇔相交）；能根据直线与圆的公共点个数判断位置关系 常以选择题、填空题或解答题的小问形式出现，考查对概念的理解和基本计算，命题时可能结合几何图形的性质进行综合判断，易错点是忽略圆心到直线的距离的正确计算方法 切线的性质 能运用切线的性质定理（圆的切线垂直于经过切点的半径）解决简单的几何证明和计算问题，如已知切线求角度、线段长度等 是重点考查内容，常出现在解答题中，与三角形、四边形等知识结合，需要学生能准确识别切线，并灵活运用其性质进行推理和计算，易错点是忽略“经过切点”这一条件 切线的判定 能运用切线的判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）及定义（直线与圆有唯一公共点）判定一条直线是否为圆的切线 是难点也是高频考点，多在解答题中考查证明，需要学生掌握两种判定方法，尤其是“作半径证垂直”或“作垂直证半径”的辅助线添加技巧，易错点是证明过程不严谨，未完整体现判定定理的条件 切线长定理 能理解切线长的概念，运用切线长定理（从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角）解决与切线长相关的计算和证明问题，如求角度、线段相等、三角形周长等 常以选择题、填空题或解答题的小问形式考查，难度中等，需要学生掌握定理的内容，并能结合图形进行应用，易错点是对定理中“夹角”的平分线理解不清或应用错误 正多边形的有关概念（中心、半径、边心距、中心角） 能准确识别正多边形的中心、半径、边心距、中心角，并理解它们之间的关系 多以选择题或填空题形式考查基本概念，难度较低，主要考查对正多边形各元素定义的记忆和识别，易错点是混淆正多边形的半径和边心距的概念 正多边形与圆的关系 理解正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆，且它们是同心圆；能根据圆的半径求正多边形的中心角、边长、边心距等 常与正多边形的计算结合考查，可能出现在填空题或解答题中，需要学生掌握正多边形的边长、半径、边心距、中心角之间的数量关系，并能进行相关计算，易错点是公式记忆不牢或计算失误 正多边形的有关计算（边长、中心角、边心距、周长、面积） 能运用正多边形的相关公式，结合解直角三角形的知识，计算正n边形的边长、中心角、边心距、周长和面积 是重点考查内容，常以填空题、解答题形式出现，难度中等，需要学生熟练掌握将正多边形问题转化为解直角三角形问题的方法，命题时可能会给出正多边形的边数和半径，求其他元素，易错点是特殊角的三角函数值记忆错误或计算过程粗心 知识点01 直线与圆的位置关系及判定 位置关系：相离、相切、相交，由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系决定。 相离：(d > r)，直线与圆没有公共点。 相切：，直线与圆有且只有一个公共点（切点）。 相交：(d < r)，直线与圆有两个公共点（交点）。 示例：已知圆的半径，圆心到直线l的距离，则直线l与圆的位置关系是相离；若，则相切；若，则相交。 易错点：混淆“圆心到直线的距离”与“直线上某点到圆心的距离”。判定位置关系时，必须用圆心到直线的垂线段长度（距离d）与半径比较。 知识点02 切线的性质与判定 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 易错点：判定切线时，忽略“经过半径外端”或“垂直于半径”两个条件中的一个。例如，仅由“直线垂直于半径”不能判定为切线，需强调“经过外端”。 知识点03 切线长定理 切线长：从圆外一点引圆的两条切线，这点到切点的线段长叫做切线长。 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 示例：从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，若，，则⊙O的半径为。 知识点04 正多边形的有关计算 中心角： 内角：每个内角的度数为 边长： 边心距： 周长： 面积：（也可表示为n个等腰三角形面积之和，每个三角形面积为） 示例：求半径为4的正三角形（等边三角形）的边长、边心距和面积。 解：， 边长； 边心距； 面积。 知识点05 正多边形与圆的关系 正多边形的外接圆：把正多边形的各个顶点都在同一个圆上，这个圆叫做正多边形的外接圆，正多边形叫做圆的内接正多边形。 正多边形的内切圆：与正多边形各边都相切的圆叫做正多边形的内切圆，正多边形叫做圆的外切正多边形。 易错点：误认为“各边相等的多边形是正多边形”或“各角相等的多边形是正多边形”。反例：菱形各边相等但各角不一定相等（不是正多边形）；矩形各角相等但各边不一定相等（不是正多边形）。必须同时满足“各边相等”和“各角相等”才是正多边形。 题型一 直线与圆的位置关系判定 解｜题｜技｜巧 1. 明确直线与圆的三种位置关系：相离（无公共点）、相切（唯一公共点）、相交（两个公共点） 2. 掌握核心判定方法：计算圆心到直线的距离(d)与圆半径(r)的大小关系 3. 相离判定：(d > r)；相切判定：；相交判定：(d < r) 4. 距离公式应用：若直线方程为，圆心坐标为，则距离 【典例1】已知圆的方程为，直线方程为，判断直线与圆的位置关系。 【变式1】已知圆与直线相切，求m的值。 【变式2】已知直线与圆相离，求k的取值范围。 题型二 切线的性质与判定 解｜题｜技｜巧 1. 切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2. 切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 4. 常用辅助线：已知切线时，连接圆心与切点得垂直关系；证明切线时，连半径证垂直或作垂直证半径 【典例1】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（　　） A．44 B．42 C．46 D．47 【变式1】如图，在中，是弦，切于点，交射线于点，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，则的∠ACB度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 题型三 正多边形的作图与性质综合 解｜题｜技｜巧 1. 正多边形作图核心：将圆(n)等分，顺次连接各分点 2. 利用圆规和量角器作图：①用量角器作中心角；②用圆规截取等弧 3. 正多边形对称性：都是轴对称图形，偶数边正多边形还是中心对称图形 4. 同圆中不同正多边形的关系：边长随边数增加而减小，边心距随边数增加而增大 【典例】正六边形的中心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【变式2】按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型四 正多边形和圆的综合 解｜题｜技｜巧 1. 紧扣定义联系：明确正多边形中心、半径、边心距、中心角等概念，利用正多边形外接圆半径等于其半径，内切圆半径等于边心距的性质建立联系。 2. 活用中心角公式：正n边形中心角为，结合等腰三角形性质（半径与边长构成等腰三角形），通过解该三角形求边长、边心距等。 3. 构造直角三角形：连中心与顶点得半径，作边心距得直角三角形，其斜边为半径、一条直角边为边心距、另一条为边长一半，利用勾股定理或三角函数（sin、cos、tan）建立已知量与未知量关系。 4. 借助圆的性质：利用同圆半径相等、直径是最大弦等性质，已知圆半径可直接得正多边形半径；通过圆周角与中心角关系（同弧所对圆周角是中心角一半）解决角度相关问题。 【典例】若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（   ） A．2 B．6 C．6 D．12 【变式1】如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 【变式2】如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在直角坐标系中，点，以点P为圆心，4为半径作，则与y轴的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．通过计算圆心到y轴的距离，与半径比较，判断圆与y轴的位置关系，即可作答． 【详解】解：∵点， ∴圆心到y轴的距离为4， ∵以点P为圆心，4为半径作， ∴圆P与y轴相切． 故选：B． 2．已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得． 【详解】解： 的半径 ，直线 l 与 相交， 圆心到直线的距离 ，即 ． 选项中只有 A．，故的值可以是1． 故选：A． 3．正六边形的中心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形中心角的定义，注意准确掌握定义是关键． 根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案． 【详解】解：正六边形的中心角度数． 故选：B． 4．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道展直长度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：管道展直长度是， 故选：D． 5．如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解题即可． 【详解】∵， ∴． 故选：A． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，内切圆和外接圆的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． 假设正方形内切圆的半径为1，则，利用勾股定理求出外接圆的直径，然后利用圆的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，假设正方形内切圆的半径为1，则， 根据勾股定理得， ∴外接圆的半径为， ∴内切圆的面积为； 外接圆的面积为， ∴阴影部分的面积为； ∴图中空白部分与阴影部分的面积比值为1， 故选：C． 7．已知圆的直径是，圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程、直线与圆的位置关系等，熟记一元二次方程的解法及直线与圆的位置关系判定方法是解决问题的关键． 先通过求解一元二次方程得到圆心到直线的距离，再与圆的半径比较，进而判断直线与圆的位置关系即可得到答案． 【详解】解：∵ 圆的直径是， ∴ 半径， ∵ 一元二次方程， ∴ 因式分解得， 解得，， ∵ 圆心到直线的距离不能为负数， ∴圆心到直线的距离， ∵， ∴ 直线与圆相交， 故选：C． 8．如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质定理，等腰三角形的性质和判定；连接，根据切线的性质得到，得到为等边三角形，为等边三角形，即可求出． 【详解】解：如图，连接，     ∵与相切于点，         ∴，         ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 9．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 10．如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和平行线的性质． 连接，如图，先根据切线的性质得，则利用互余可计算出，再根据圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数． 【详解】解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F，连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据三线合一性质得出，则可得出，然后结合三角形内角和定理可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 12．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点O，以点O为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)的半径为 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，切线的性质，勾股定理的综合运用，理解题意，掌握切线的性质，勾股定理是关键． （1）根据切线的性质，角平分线的性质定理，运用尺规作角平分线即可求解； （2）根据题意得到，则，设，则，在中，由列式求解即可． 【详解】（1）解：∵以为半径，与相切于点， ∴， ∵，切线与半径相互垂直， ∴得到即为的角平分线， ∴尺规作的角平分线即可，如图所示， ∴点即为所求点的位置； （2）解：∵， ∴， ∵是切线，切点是点， ∴，即，且， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径为． 13．如图，直线与相切于点，是的弦且平行直线，连接半径交于点，弦与交于点，连接， (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，先证明直线l，，可推导出，则，根据，得到，即可解答； （2）根据勾股定理，先求出，证明，得到，即可解答． 【详解】（1）证明：连接 直线是切线， 直线， 平行直线， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， ， ， 14．如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． (1)求证：为的切线． (2)连接，若，，求的半径． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出，得到，即可得到得到结论； （2）利用直径定理得出，然后利用含30度的直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：如图所示， ∵在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】此题考查角平分线的性质定理，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形，正确连接辅助线解题是此题的关键． 15．如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质． （1）在等腰中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角的度数； （2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到为等边三角形，设正六边形的边长为，从而得到的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积比． 【详解】（1）解：连接， ∵的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：过作于，设正六边形的边长为． ∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为的等边三角形， ∴，， ∴正方形的面积为， ∴， 正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆（下）（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线与圆的位置关系（相离、相切、相交的概念及判定） 能根据直线到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系，准确判定直线与圆的位置关系（d>r⇔相离；d=r⇔相切；d<r⇔相交）；能根据直线与圆的公共点个数判断位置关系 常以选择题、填空题或解答题的小问形式出现，考查对概念的理解和基本计算，命题时可能结合几何图形的性质进行综合判断，易错点是忽略圆心到直线的距离的正确计算方法 切线的性质 能运用切线的性质定理（圆的切线垂直于经过切点的半径）解决简单的几何证明和计算问题，如已知切线求角度、线段长度等 是重点考查内容，常出现在解答题中，与三角形、四边形等知识结合，需要学生能准确识别切线，并灵活运用其性质进行推理和计算，易错点是忽略“经过切点”这一条件 切线的判定 能运用切线的判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）及定义（直线与圆有唯一公共点）判定一条直线是否为圆的切线 是难点也是高频考点，多在解答题中考查证明，需要学生掌握两种判定方法，尤其是“作半径证垂直”或“作垂直证半径”的辅助线添加技巧，易错点是证明过程不严谨，未完整体现判定定理的条件 切线长定理 能理解切线长的概念，运用切线长定理（从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角）解决与切线长相关的计算和证明问题，如求角度、线段相等、三角形周长等 常以选择题、填空题或解答题的小问形式考查，难度中等，需要学生掌握定理的内容，并能结合图形进行应用，易错点是对定理中“夹角”的平分线理解不清或应用错误 正多边形的有关概念（中心、半径、边心距、中心角） 能准确识别正多边形的中心、半径、边心距、中心角，并理解它们之间的关系 多以选择题或填空题形式考查基本概念，难度较低，主要考查对正多边形各元素定义的记忆和识别，易错点是混淆正多边形的半径和边心距的概念 正多边形与圆的关系 理解正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆，且它们是同心圆；能根据圆的半径求正多边形的中心角、边长、边心距等 常与正多边形的计算结合考查，可能出现在填空题或解答题中，需要学生掌握正多边形的边长、半径、边心距、中心角之间的数量关系，并能进行相关计算，易错点是公式记忆不牢或计算失误 正多边形的有关计算（边长、中心角、边心距、周长、面积） 能运用正多边形的相关公式，结合解直角三角形的知识，计算正n边形的边长、中心角、边心距、周长和面积 是重点考查内容，常以填空题、解答题形式出现，难度中等，需要学生熟练掌握将正多边形问题转化为解直角三角形问题的方法，命题时可能会给出正多边形的边数和半径，求其他元素，易错点是特殊角的三角函数值记忆错误或计算过程粗心 知识点01 直线与圆的位置关系及判定 位置关系：相离、相切、相交，由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系决定。 相离：(d > r)，直线与圆没有公共点。 相切：，直线与圆有且只有一个公共点（切点）。 相交：(d < r)，直线与圆有两个公共点（交点）。 示例：已知圆的半径，圆心到直线l的距离，则直线l与圆的位置关系是相离；若，则相切；若，则相交。 易错点：混淆“圆心到直线的距离”与“直线上某点到圆心的距离”。判定位置关系时，必须用圆心到直线的垂线段长度（距离d）与半径比较。 知识点02 切线的性质与判定 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 易错点：判定切线时，忽略“经过半径外端”或“垂直于半径”两个条件中的一个。例如，仅由“直线垂直于半径”不能判定为切线，需强调“经过外端”。 知识点03 切线长定理 切线长：从圆外一点引圆的两条切线，这点到切点的线段长叫做切线长。 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 示例：从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，若，，则⊙O的半径为。 知识点04 正多边形的有关计算 中心角： 内角：每个内角的度数为 边长： 边心距： 周长： 面积：（也可表示为n个等腰三角形面积之和，每个三角形面积为） 示例：求半径为4的正三角形（等边三角形）的边长、边心距和面积。 解：， 边长； 边心距； 面积。 知识点05 正多边形与圆的关系 正多边形的外接圆：把正多边形的各个顶点都在同一个圆上，这个圆叫做正多边形的外接圆，正多边形叫做圆的内接正多边形。 正多边形的内切圆：与正多边形各边都相切的圆叫做正多边形的内切圆，正多边形叫做圆的外切正多边形。 易错点：误认为“各边相等的多边形是正多边形”或“各角相等的多边形是正多边形”。反例：菱形各边相等但各角不一定相等（不是正多边形）；矩形各角相等但各边不一定相等（不是正多边形）。必须同时满足“各边相等”和“各角相等”才是正多边形。 题型一 直线与圆的位置关系判定 解｜题｜技｜巧 1. 明确直线与圆的三种位置关系：相离（无公共点）、相切（唯一公共点）、相交（两个公共点） 2. 掌握核心判定方法：计算圆心到直线的距离(d)与圆半径(r)的大小关系 3. 相离判定：(d > r)；相切判定：；相交判定：(d < r) 4. 距离公式应用：若直线方程为，圆心坐标为，则距离 【典例1】已知圆的方程为，直线方程为，判断直线与圆的位置关系。 分析与解答： 由圆方程可知圆心坐标为(0,0)，半径。根据点到直线距离公式，计算圆心到直线的距离： 因为，所以直线与圆相交。 答案：相交 【变式1】已知圆与直线相切，求m的值。 分析与解答： 由圆方程可得圆心，半径。因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离等于半径： 解得，即 答案：或 【变式2】已知直线与圆相离，求k的取值范围。 分析与解答： 圆心(0,0)，半径。直线与圆相离需满足d > r： 两边平方得，即，解得，所以 答案： 题型二 切线的性质与判定 解｜题｜技｜巧 1. 切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2. 切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 4. 常用辅助线：已知切线时，连接圆心与切点得垂直关系；证明切线时，连半径证垂直或作垂直证半径 【典例1】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（　　） A．44 B．42 C．46 D．47 分析与解答：根据圆的切线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AD+BC＝AB+CD＝22， ∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44 答案：A 【变式1】如图，在中，是弦，切于点，交射线于点，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 分析与解答：连接CO，根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】连接CO，∵ ∴ ∵切于点， ∴ 故= 答案：B 【变式2】如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，则的∠ACB度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 分析与解答：先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数． 【详解】解：连接OA、OB， ∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°， ∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°． 答案：B 题型三 正多边形的作图与性质综合 解｜题｜技｜巧 1. 正多边形作图核心：将圆(n)等分，顺次连接各分点 2. 利用圆规和量角器作图：①用量角器作中心角；②用圆规截取等弧 3. 正多边形对称性：都是轴对称图形，偶数边正多边形还是中心对称图形 4. 同圆中不同正多边形的关系：边长随边数增加而减小，边心距随边数增加而增大 【典例】正六边形的中心角的度数为（    ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查了正多边形中心角的定义，注意准确掌握定义是关键． 根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案． 【详解】解：正六边形的中心角度数． 答案：B 【变式1】如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 分析与解答：本题考查圆与正多边形，根据正n边形的中心角为计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n，则 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． ∴这个多边形是正五边形． 答案：C 【变式2】按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 答案：A 题型四 正多边形和圆的综合 解｜题｜技｜巧 1. 紧扣定义联系：明确正多边形中心、半径、边心距、中心角等概念，利用正多边形外接圆半径等于其半径，内切圆半径等于边心距的性质建立联系。 2. 活用中心角公式：正n边形中心角为，结合等腰三角形性质（半径与边长构成等腰三角形），通过解该三角形求边长、边心距等。 3. 构造直角三角形：连中心与顶点得半径，作边心距得直角三角形，其斜边为半径、一条直角边为边心距、另一条为边长一半，利用勾股定理或三角函数（sin、cos、tan）建立已知量与未知量关系。 4. 借助圆的性质：利用同圆半径相等、直径是最大弦等性质，已知圆半径可直接得正多边形半径；通过圆周角与中心角关系（同弧所对圆周角是中心角一半）解决角度相关问题。 【典例】若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（   ） A．2 B．6 C．6 D．12 分析与解答：本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，掌握正多边形的性质是解题关键． 根据题意可得正六边形的外接圆半径等于其边长，可直接计算周长． 【详解】解：如图，六边形是正六边形，是正六边形的外接圆， ，， 是等边三角形， ， 该正六边形的周长为， 答案：D 【变式1】如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 分析与解答：本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角．构造弧所对的圆心角后即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， ∴是正九边形的一条边， 答案：A 【变式2】如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关性质定理是解题的关键．连接，，过点作，垂足为点，根据正多边形的性质和圆的性质证明是等边三角形， 得到、的长，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中， ， 即它的内切圆半径为 ， 答案：D 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在直角坐标系中，点，以点P为圆心，4为半径作，则与y轴的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．通过计算圆心到y轴的距离，与半径比较，判断圆与y轴的位置关系，即可作答． 【详解】解：∵点， ∴圆心到y轴的距离为4， ∵以点P为圆心，4为半径作， ∴圆P与y轴相切． 故选：B． 2．已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得． 【详解】解： 的半径 ，直线 l 与 相交， 圆心到直线的距离 ，即 ． 选项中只有 A．，故的值可以是1． 故选：A． 3．正六边形的中心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形中心角的定义，注意准确掌握定义是关键． 根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案． 【详解】解：正六边形的中心角度数． 故选：B． 4．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道展直长度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：管道展直长度是， 故选：D． 5．如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解题即可． 【详解】∵， ∴． 故选：A． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，内切圆和外接圆的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． 假设正方形内切圆的半径为1，则，利用勾股定理求出外接圆的直径，然后利用圆的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，假设正方形内切圆的半径为1，则， 根据勾股定理得， ∴外接圆的半径为， ∴内切圆的面积为； 外接圆的面积为， ∴阴影部分的面积为； ∴图中空白部分与阴影部分的面积比值为1， 故选：C． 7．已知圆的直径是，圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程、直线与圆的位置关系等，熟记一元二次方程的解法及直线与圆的位置关系判定方法是解决问题的关键． 先通过求解一元二次方程得到圆心到直线的距离，再与圆的半径比较，进而判断直线与圆的位置关系即可得到答案． 【详解】解：∵ 圆的直径是， ∴ 半径， ∵ 一元二次方程， ∴ 因式分解得， 解得，， ∵ 圆心到直线的距离不能为负数， ∴圆心到直线的距离， ∵， ∴ 直线与圆相交， 故选：C． 8．如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质定理，等腰三角形的性质和判定；连接，根据切线的性质得到，得到为等边三角形，为等边三角形，即可求出． 【详解】解：如图，连接，     ∵与相切于点，         ∴，         ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 9．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 10．如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和平行线的性质． 连接，如图，先根据切线的性质得，则利用互余可计算出，再根据圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数． 【详解】解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F，连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据三线合一性质得出，则可得出，然后结合三角形内角和定理可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 12．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点O，以点O为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)的半径为 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，切线的性质，勾股定理的综合运用，理解题意，掌握切线的性质，勾股定理是关键． （1）根据切线的性质，角平分线的性质定理，运用尺规作角平分线即可求解； （2）根据题意得到，则，设，则，在中，由列式求解即可． 【详解】（1）解：∵以为半径，与相切于点， ∴， ∵，切线与半径相互垂直， ∴得到即为的角平分线， ∴尺规作的角平分线即可，如图所示， ∴点即为所求点的位置； （2）解：∵， ∴， ∵是切线，切点是点， ∴，即，且， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径为． 13．如图，直线与相切于点，是的弦且平行直线，连接半径交于点，弦与交于点，连接， (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，先证明直线l，，可推导出，则，根据，得到，即可解答； （2）根据勾股定理，先求出，证明，得到，即可解答． 【详解】（1）证明：连接 直线是切线， 直线， 平行直线， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， ， ， 14．如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． (1)求证：为的切线． (2)连接，若，，求的半径． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出，得到，即可得到得到结论； （2）利用直径定理得出，然后利用含30度的直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：如图所示， ∵在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】此题考查角平分线的性质定理，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形，正确连接辅助线解题是此题的关键． 15．如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质． （1）在等腰中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角的度数； （2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到为等边三角形，设正六边形的边长为，从而得到的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积比． 【详解】（1）解：连接， ∵的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：过作于，设正六边形的边长为． ∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为的等边三角形， ∴，， ∴正方形的面积为， ∴， 正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $