专题05 圆（上）（期末复习专项训练，10大题型）九年级数学上学期北京版

专题05 圆（上） 题型1 圆的基本概念 题型6 圆周角定理（常考点） 题型2 判断点与圆的位置关系（常考点） 题型7 同弧或等弧所对圆周角相等 题型3 圆最值问题（难点） 题型8 直径所对圆周角是直角（常考点） 题型4 垂径定理（易错点） 题型9 90°圆周角所对弦是直径 题型5 垂径定理实际应用 题型10 圆内接四边形 题型一 圆的基本概念（共3小题） 1．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． 【答案】②③ 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合解答即可． 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②③． 故答案为：②③． 2．下列事件为必然事件的是（   ） A．在平面上画一个三角形，其内角和是 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D．购买1张彩票，中奖 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此并结合相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、在平面上画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故该选项不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故该选项不符合题意； C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆是必然事件，故该选项符合题意； D、购买1张彩票，中奖是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．小云从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的图中角的度数为（    ） A．60° B．70° C．72° D．75° 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质，涉及周角为，由将圆五等分得到的图中角，列式即可得到答案，读懂题意，掌握周角为是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：C． 题型二 判断点与圆的位置关系（共3小题） 4．已知的半径为5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，那么点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系． 根据圆心A的坐标是，点P的坐标是，可以求得的长，然后用的长与圆的半径比较大小即可判断点P与的位置关系． 【详解】解：∵圆心A的坐标是，点P的坐标是， ∴， ∵的半径为5，， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故选：C． 5．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，的半径为2．下列说法不正确的是（     ） A．当时，点B在内 B．当时，点B在内 C．当时，点B在外 D．当时，点B在外 【答案】A 【分析】题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．先找出与点的距离为2的点1和5，再根据点与圆的位置关系的判定方法即可解． 【详解】解：设点A，B之间的距离为d，由于圆心A在数轴上所表示的实数为3，圆的半径， ∴当时，与数轴交于两点，所表示的实数分别是1和5， 故当或时，点B在上； 当，即当时，点B在内； 当，即当或时，点B在外． 由以上结论可知B项、C项、D项不符合题意，A项符合题意． 故选A． 6．如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（ ） A．，，都不在 B．只有 C．只有， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题；掌握勾股定理，点与圆的位置关系的判断方法，求出三角形三个顶点到点的距离是解题的关键． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，且， 点是斜边的中点， ，， 如图，以为圆心，为半径画圆， ， 点A，B，C都不在覆盖范围内， 故选：A． 题型三 圆最值问题（共3小题） 7．如图，在直角坐标系中，的半径为3，圆心坐标为，y轴上有点，点C是上的动点，点P是的中点，则的范围是 ． 【答案】 【分析】如图，在y轴上取一点，连接，，由勾股定理求出，由三角形中位线定理求，当C在线段上时，的长度最小值，当C在线段延长线上时，的长度最大值，即可求解． 【详解】如图，在y轴上取一点，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 当C在线段上时，的长度最小值为：， 当C在线段延长线上时，的长度最大值为：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆外一点到圆上点距离的最值，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是解答本题的关键． 8．如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为 ． 【答案】2 【分析】取AC中点O，由勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，则点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，取AC中点O， ∵，即， ∴∠ADC=90°， ∴点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上， 作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为， ∵，，∠ACB=90°， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D的运动轨迹． 9．如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值． 【详解】解：连结BP， ∵抛物线与轴交于A、两点， 当y=0时，， 解得， ∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4， 在直角△COB中， BC=， ∵Q是AP上的中点，O是AB的中点， ∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP， 又∵P在圆C上，且半径为2， ∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大， 此时BP=BC+CP=5+2=7， OQ=BP=． 故选择C． 【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况． 题型四 垂径定理（共3小题） 10．如图，的半径为10，弦的长为12，，交于点D，交于点C，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握勾股定理，由垂径定理求出AD的长是解题的关键．根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵的半径为10， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：8． 11．如图，是的直径，弦于点，且为中点，． (1)求的半径的长； (2)过作的垂线段交延长线于，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的基本性质，特别是垂径定理及其推论，同时结合直角三角形的勾股定理，直角三角形中所对边是斜边的一半；解题的关键是灵活运用垂径定理得到弦心距与弦长的关系，并利用勾股定理建立方程求半径；对于第二问，通过直角三角形中所对边是斜边的一半的灵活应用转化条件，再结合勾股定理求解． （1）连接，由垂径定理可得，由为中点得，在中利用勾股定理列出关于半径的方程求解； （2）由，求得，，相互垂直平分，可得，，等边对等角得出，，在中，利用所对边是斜边的一半，求得的长． 【详解】（1）解：连接， ∵直径 ∴ 又∵为中点 ∴ 在中， 即 解得或（舍） （2）解：连接， 由（1）得 ∵， ∴， ∵为中点，且 ∴ ∴ ∴ 又∵垂直平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵在中，， ∴ 12．如图，内接于，是的直径，，垂足为D． (1)求证：； (2)已知的半径为5，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由垂径定理，得到，进而得到，三线合一，得到，等边对等角，得到，即可得出； （2）先求出的长，勾股定理求出的长，垂径定理得到即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵的半径为5，， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 题型五 垂径定理实际应用（共3小题） 13．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，取点为圆心，过点作于点，交于点，连接，， ∴， ∵， ∴， ∵纸条宽为，，． ∴，， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径长为． 14．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【答案】26 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 15．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为5米 (2)水面上涨的高度为1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度． 【详解】（1）解：过O作于点C，交于点D，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面上涨的高度为（米）． 题型六 圆周角定理（共3小题） 16．已知等腰三角形的一边长等于它的外接圆的半径，则它的顶角度数是 ． 【答案】或或 【分析】等腰三角形的一边长等于外接圆半径，分两种情况讨论：若底边等于半径，根据等边三角形的性质以及圆周角定理，圆内接四边形的性质即可得出它的顶角度数；若腰等于半径，根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】情况1：底边等于它的外接圆的半径， 如图，，， ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴它的顶角度数是或 情况2：腰等于它的外接圆的半径， 如图，当时，连接， 则， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 即它的顶角度数是 综上所述，顶角可能为、或． 故答案为或或． 17．在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：中，所对的圆周角为，圆心角为． 求证：． 证明： 情况一（如图1）： 点在的一边上． ， ． ， 、 即． 情况二（如图2）： 点在的内部． 情况三（如图3）： 点在的外部． 【答案】见解析 【分析】情况、连接，延长交于点，根据等边对等角可知、，根据三角形外角的性质可知； 情况、连接并延长，交于点，根据等边对等角可知、，根据三角形外角的性质可知、，因为，所以可知，可证结论成立． 【详解】解：选择情况，证明过程如下： 连接，延长交于点， ， ， 又 ， ， ， ， 又 ， ， ， ； 选择情况，证明过程如下图所示， 连接并延长，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质、圆周角定理，解决本题的关键是添加辅助线构造等腰三角形，根据等边对等角找到相等的角，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到圆心角与圆周角之间的关系． 18．已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，当时，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理， 对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，                      再根据同角的余角相等得，然后根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案；                        对于（2），连接，先说明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可. 【详解】（1）证明：连接，    ∵为直径 ∴，                       ∴，                      ∵， ∴，                           ∴，                        ∴，                                   ∵，                        ∴； （2）解：连接，    ∵， ∴，                  ∴， ∵为直径，， ∴，                                       在中，，              ∴，                                       设的半径为x，， ∵， ∴ ， 解得， ∴的半径为. 题型七 同弧或等弧所对圆周角相等（共3小题） 19．如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理的推论以及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由，可求得的度数，再根据直角三角形的性质求出答案． 【详解】解∶ 是的直径， ． ， ． ． 故选：C． 20．如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于． 由是的直径，得，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 故选：D． 21．如图，是半圆O的直径，半径，点D是的中点，连接，与交于点E，给出下面三个结论：①平分；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，则，进而可判断②的正误；由，可得，则，证明，则，计算求解，可判断③是正误． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∴， ∴平分，①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴，②正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，角平分线，圆周角定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，角平分线，圆周角定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键． 题型八 直径所对圆周角是直角（共3小题） 22．如图，是的直径，C为上一点，，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为4，则长的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，由得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， ∴交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 23．下面是小宁设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程．    已知：平行四边形． 求作：，垂足为E． 作法：如图所示，    ①连接，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②作直线，交于点O； ③以点O为圆心，长为半径作圆，交线段于点E（点E不与点C重合），连接． 所以线段就是所求作的高． 根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：，________， 点P、Q都在线段的垂直平分线上， 直线为线段的垂直平分线， O为中点． 为直径，与线段交于点E， _______（                          ）（填推理的依据） ． 【答案】(1)见详解 (2)，，直径所对圆周角为直角 【分析】本题考查了圆周角定理，垂线的止尺规作图，线段垂直平分线的判定与性质， （1）按照题干要求作图，即可； （2）按照题干给出的思路，结合直径所对圆周角为直角的知识证明即可． 【详解】（1）作图如下：    线段就是所求作的高 （2）连接，，，，如图，      ，， 点P、Q都在线段的垂直平分线上， 直线为线段的垂直平分线， O为中点，即． ∴为直径，与线段交于点E， （直径所对圆周角为直角） ． 24．问题：如图，是的直径，点C在内，请仅用无刻度的直尺，作出中边上的高． 小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程． 作法：如图， ①延长交于点D，延长交于点E； ②分别连接，并延长相交于点F； ③连接并延长交于点H． 所以线段即为中边上的高． (1)根据小芸的作法，补全图形； (2)完成下面的证明． 证明：是的直径，点D，E在上， ______．（____________）（填推理的依据） ，． ，______是△ABC的两条高线． ，所在直线交于点F， 直线也是的高所在直线． 是中边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)90，直径所对的圆周角是直角， 【分析】（1）根据所给作图步骤作图即可； （2）根据圆周角定理可知，进而可得，是的两条高线，再根据三角形的三条高线所在直线交于一点即可证明． 【详解】（1）解：补全后图形如下所示： ． （2）证明：是的直径，点D，E在上， ．（直径所对的圆周角是直角） ，． ，是的两条高线． ，所在直线交于点F， 直线也是的高所在直线． 是中边上的高． 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，． 【点睛】本题考查圆周角定理以及三角形高线的特点，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，以及三角形的三条高线所在直线交于一点． 题型九 90°圆周角所对弦是直径（共3小题） 25．如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点的运动轨迹，结合圆的性质得到最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理和圆周角定理的应用． 【详解】如图， ∵， ∴点在以中点为圆心，为直径的圆上， 则长的最小时，点三点共线， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 26．丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8cm，CB为6cm，则该圆形镜子的半径是 cm． 【答案】5 【分析】连接，根据圆周角定理可得：是该圆形镜子的直径，进而直接根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】如图，连接， ∵， ∴是该圆形镜子的直径， 在Rt中，cm，cm， ∴cm， ∴该圆形镜子的半径是cm， 故答案为：5． 【点睛】本题考查圆周角定理和勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，证得是该圆形镜子的直径． 27．Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P 是△ABC 内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段 CP 长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时CP最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题． 【详解】解：∵∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠PBC=90°， ∵∠PAB=∠PBC ∴∠BAP+∠ABP=90°， ∴∠APB=90°， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=3，OB=2， ∴OC=， ∴CP=OC-OP=. ∴CP最小值为. 故选：D．    【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 题型十 圆内接四边形（共3小题） 28．如图，四边形内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补得出度数即可判断． 【详解】解：∵四边形内接于，若， ∴． 故选：B． 29．如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴； 故选B． 30．如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为 ． 【答案】/128度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，结合，得，再利用圆周角定理求解． 【详解】四边形为圆内接四边形， ， 又， ， 在中，由圆周角定理，可得， 故答案为：． 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆（上） 题型1 圆的基本概念 题型6 圆周角定理（常考点） 题型2 判断点与圆的位置关系（常考点） 题型7 同弧或等弧所对圆周角相等 题型3 圆最值问题（难点） 题型8 直径所对圆周角是直角（常考点） 题型4 垂径定理（易错点） 题型9 90°圆周角所对弦是直径 题型5 垂径定理实际应用 题型10 圆内接四边形 题型一 圆的基本概念（共3小题） 1．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． 2．下列事件为必然事件的是（   ） A．在平面上画一个三角形，其内角和是 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D．购买1张彩票，中奖 3．小云从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的图中角的度数为（    ） A．60° B．70° C．72° D．75° 题型二 判断点与圆的位置关系（共3小题） 4．已知的半径为5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，那么点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 5．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，的半径为2．下列说法不正确的是（     ） A．当时，点B在内 B．当时，点B在内 C．当时，点B在外 D．当时，点B在外 6．如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（ ） A．，，都不在 B．只有 C．只有， D．，， 题型三 圆最值问题（共3小题） 7．如图，在直角坐标系中，的半径为3，圆心坐标为，y轴上有点，点C是上的动点，点P是的中点，则的范围是 ． 8．如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为 ． 9．如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ） A． B． C． D． 题型四 垂径定理（共3小题） 10．如图，的半径为10，弦的长为12，，交于点D，交于点C，则 ． 11．如图，是的直径，弦于点，且为中点，． (1)求的半径的长； (2)过作的垂线段交延长线于，求的长． 12．如图，内接于，是的直径，，垂足为D． (1)求证：； (2)已知的半径为5，，求长． 题型五 垂径定理实际应用（共3小题） 13．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 14．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 15．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 题型六 圆周角定理（共3小题） 16．已知等腰三角形的一边长等于它的外接圆的半径，则它的顶角度数是 ． 17．在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：中，所对的圆周角为，圆心角为． 求证：． 证明： 情况一（如图1）： 点在的一边上． ， ． ， 、 即． 情况二（如图2）： 点在的内部． 情况三（如图3）： 点在的外部． 18．已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，当时，求半径的长． 题型七 同弧或等弧所对圆周角相等（共3小题） 19．如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 20．如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 21．如图，是半圆O的直径，半径，点D是的中点，连接，与交于点E，给出下面三个结论：①平分；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型八 直径所对圆周角是直角（共3小题） 22．如图，是的直径，C为上一点，，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为4，则长的最大值是 ． 23．下面是小宁设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程．    已知：平行四边形． 求作：，垂足为E． 作法：如图所示，    ①连接，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②作直线，交于点O； ③以点O为圆心，长为半径作圆，交线段于点E（点E不与点C重合），连接． 所以线段就是所求作的高． 根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：，________， 点P、Q都在线段的垂直平分线上， 直线为线段的垂直平分线， O为中点． 为直径，与线段交于点E， _______（                          ）（填推理的依据） ． 24．问题：如图，是的直径，点C在内，请仅用无刻度的直尺，作出中边上的高． 小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程． 作法：如图， ①延长交于点D，延长交于点E； ②分别连接，并延长相交于点F； ③连接并延长交于点H． 所以线段即为中边上的高． (1)根据小芸的作法，补全图形； (2)完成下面的证明． 证明：是的直径，点D，E在上， ______．（____________）（填推理的依据） ，． ，______是△ABC的两条高线． ，所在直线交于点F， 直线也是的高所在直线． 是中边上的高． 题型九 90°圆周角所对弦是直径（共3小题） 25．如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 26．丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8cm，CB为6cm，则该圆形镜子的半径是 cm． 27．Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P 是△ABC 内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段 CP 长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 题型十 圆内接四边形（共3小题） 28．如图，四边形内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 29．如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 30．如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为 ． 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $