专题04 圆（上）（期末复习讲义）九年级数学上学期北京版

该初中数学期末复习讲义以“核心考点-复习目标-考情总结”表格为框架，系统梳理圆的概念、对称性、圆周角等知识，通过知识点解析呈现概念内涵与定理逻辑，结合几何直观突出垂径定理、圆周角定理等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与解题方法指导，基础通关练夯实概念辨析，重难突破练强化垂径定理与勾股定理结合计算，综合拓展练提升推理意识。如垂径定理题型通过作弦心距构造直角三角形，培养运算能力，典例与变式适配不同学生，助力教师实施精准复习教学。

专题04 圆（上）（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情总结 圆的有关概念（圆心、半径、直径、弦、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧） 能准确表述并区分圆的各个基本概念，能在图形中识别出不同的弦、弧（优弧、劣弧、半圆），理解等圆、等弧的含义。 概念辨析是基础，常以选择题或填空题形式考查，需注意区分易混淆概念，如弦与直径、优弧与劣弧的表示方法及区别，等弧的严格定义（不仅长度相等，还要同圆或等圆中）。 过三点的圆（三角形的外接圆、外心） 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆，能阐述三角形外接圆、外心的概念，会找不同类型三角形（锐角、直角、钝角）的外心位置，并能解决简单的过三点作圆的相关问题。 重点考查“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的理解及三角形外心的性质与位置特征。外心位置与三角形形状的关系是易错点，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，常结合三角形知识以选择、填空形式出现。 圆的对称性（轴对称性、中心对称性） 理解圆既是轴对称图形又是中心对称图形，能运用垂径定理及其推论进行相关的计算和证明（如已知弦长、弦心距、半径中的两个量求第三个量），能利用圆的中心对称性解释或解决简单问题。 垂径定理及其推论是本考点的核心，也是高频考点和易错点。常结合勾股定理进行弦长、半径、弦心距之间的计算，证明题中也常涉及。需注意垂径定理中的“直径”条件可以扩展为“过圆心的直线或线段”，推论的条件和结论要准确区分和应用。 圆周角（圆周角定义、圆周角定理及其推论） 能准确识别圆周角，理解并熟练运用圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）及其推论（同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径）进行角的度数计算和相关证明。 圆周角定理及其推论是本章的重中之重，命题频率高，难度中等。主要考查利用定理进行角度转换与计算，常与圆心角、弧、弦的关系结合，也会与三角形内角和、外角性质等知识综合考查。在判断同弧所对的圆周角时，要注意顶点在圆上且两边都与圆相交这两个条件，避免与圆心角混淆。 知识点01 圆的有关概念 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，通常用字母r表示。以点O为圆心的圆。 注：圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径决定。 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，直径等于半径的2倍，即（d为直径）。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧）。 等圆与等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 易错点：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中，且能够完全重合。 知识点02 点与圆的位置关系 设⨀O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有： 点P在圆外 d > r； 点P在圆上 ； 点P在圆内 d < r。 示例：已知⨀O的半径，点P到圆心O的距离，因为(3 < 5)，所以点P在⨀O内；若，则点P在⨀O上；若，则点P在⨀O外。 知识点03 过三点的圆 过一点的圆：过平面内一个点A可以作无数个圆，这些圆的圆心可以是平面内除A外的任意一点，半径为圆心到点A的距离。 过两点的圆：过平面内两点A、B可以作无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，半径为圆心到点A或点B的距离。 过三点的圆： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。（确定圆的条件：圆心和半径，圆心是三角形三边垂直平分线的交点，半径是圆心到三个顶点的距离） 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心（三角形三边垂直平分线的交点），这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 易错点：过同一条直线上的三点不能作圆，因为线段垂直平分线平行，无交点，即没有圆心。 示例：已知，作AB、BC的垂直平分线交于点O，则以O为圆心，OA为半径的圆就是的外接圆，点O是的外心。 知识点04 圆心角 定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 易错点：运用圆心角定理及推论时，必须注意前提条件是“在同圆或等圆中”，否则结论不成立。 知识点05 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 易错点：推论中“弦不是直径”是关键条件，因为圆的任意两条直径互相平分，但不一定垂直。 知识点06 圆周角 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等。 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。圆内接四边形的对角互补。 易错点：圆周角的顶点必须在圆上，且两边都与圆相交，否则不是圆周角。例如，顶点在圆内或圆外的角不是圆周角。 题型一 圆的有关概念 解｜题｜技｜巧 1.准确理解圆的定义，包括静态定义（平面内到定点的距离等于定长的点的集合）和动态定义（平面内一条线段绕其固定端点旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线）。 2.明确圆的各部分名称，如圆心（定点）、半径（定长）、直径（经过圆心的弦，是圆中最长的弦）、弦（连接圆上任意两点的线段）、弧（圆上任意两点间的部分，分为优弧、劣弧和半圆）、圆心角（顶点在圆心的角）、圆周角（顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角）等。 3.掌握半径与直径的关系：在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，即。 4.区分等圆（能够完全重合的两个圆，半径相等）与同心圆（圆心相同，半径不同的圆）。 【典例1】下列说法中，正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 过圆心的线段是直径 D. 圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆 【变式1】有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 题型二 点与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 1.点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。 2.判断点与圆的位置关系的方法是比较点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系：当(d < r)时，点在圆内；当时，点在圆上；当(d > r)时，点在圆外。 3.已知点与圆的位置关系，可以确定d与r的大小关系；反之，已知d与r的大小关系，也可以确定点与圆的位置关系。 4.在解决实际问题时，要先确定圆心和半径，再计算点到圆心的距离，最后进行比较。 【典例1】已知圆的半径为5cm，点P到圆心的距离为3cm，则点P与圆的位置关系是（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【变式1】若点A在以点O为圆心，1cm为半径的圆内，则点A到圆心O的距离d的取值范围是________。 【变式2】已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，且d满足方程，试判断点P与⊙O的位置关系。 题型三 过三点的圆 解｜题｜技｜巧 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆。这里要强调“不在同一条直线上”，如果三个点在同一条直线上，则无法确定一个圆。 2.三角形的三个顶点不在同一条直线上，所以三角形一定有外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径。 3.过在同一条直线上的三个点不能作圆，因为此时三边垂直平分线平行，没有交点。 4.作过不在同一条直线上三点的圆的方法：连接任意两点得到两条线段，分别作这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，圆心到任意一个点的距离就是半径，然后以圆心为圆心，半径为长度作圆即可。 【典例】下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以为半径 C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M 【变式1】下列四个命题，其中正确的是（    ） A．弦是直径 B．经过三个点一定可以作圆 C．三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等 D．两个半圆是等弧 【变式2】如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 题型四 圆心角 解｜题｜技｜巧 1.圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等（简记为“知一推三”）。 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 5.计算圆心角时，要注意结合圆的半径、弦长等条件，利用等腰三角形的性质或勾股定理求解。 【典例】下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【变式1】下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】下列语句正确的有（    ） ①圆心角相等，所对的弧也相等； ②圆心角相等，所对的弦也相等； ③长度相等的两条弦所对的弧是等弧； ④等弧所对的圆心角相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型五 圆周角 解｜题｜技｜巧 1.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 4.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 5.推论3：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 6.在解决圆周角问题时，要注意观察圆周角所对的弧与已知圆心角或其他圆周角所对的 【典例】如图，点A，B，C在上，若的度数为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，是上的三个点，若，则的度数为（   ）     A． B． C． D． 【变式2】如图，点A，B，C为上的点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型六 垂径定理 解｜题｜技｜巧 1. 识别弦、半径、弦心距等条件，确定是否适用垂径定理； 2. 添加辅助线（作垂线、连半径），构造Rt△OAD（O为圆心，D为弦AB中点）； 3. 利用R² = a² + d²（R为半径，a为弦长一半，d为弦心距）建立等量关系； 4. 结合圆心角、弧、圆周角的关系，或方程思想、分类讨论，解决综合问题。 【典例】如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在同一平面内，已知的直径为，，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 2．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 4．如图．为的直径，点、在上，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，弦，圆心O到的距离为4，则的半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 7．如图，是的直径，是弦，于点，，的半径为，则的长为（    ） A． B． C． D．4 8．如图，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 10．如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，在中，弦的长为16，，交于点G，交于点E，．求的长． 12．如图，是的直径，，是上的点，，交于点，，，求的半径． 13．（1）小丽家的房前有一块空地，空地上有三棵树A、B、C（如图），小丽想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小丽把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，求花坛的半径长． 14．如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 15．如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆（上）（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情总结 圆的有关概念（圆心、半径、直径、弦、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧） 能准确表述并区分圆的各个基本概念，能在图形中识别出不同的弦、弧（优弧、劣弧、半圆），理解等圆、等弧的含义。 概念辨析是基础，常以选择题或填空题形式考查，需注意区分易混淆概念，如弦与直径、优弧与劣弧的表示方法及区别，等弧的严格定义（不仅长度相等，还要同圆或等圆中）。 过三点的圆（三角形的外接圆、外心） 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆，能阐述三角形外接圆、外心的概念，会找不同类型三角形（锐角、直角、钝角）的外心位置，并能解决简单的过三点作圆的相关问题。 重点考查“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的理解及三角形外心的性质与位置特征。外心位置与三角形形状的关系是易错点，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，常结合三角形知识以选择、填空形式出现。 圆的对称性（轴对称性、中心对称性） 理解圆既是轴对称图形又是中心对称图形，能运用垂径定理及其推论进行相关的计算和证明（如已知弦长、弦心距、半径中的两个量求第三个量），能利用圆的中心对称性解释或解决简单问题。 垂径定理及其推论是本考点的核心，也是高频考点和易错点。常结合勾股定理进行弦长、半径、弦心距之间的计算，证明题中也常涉及。需注意垂径定理中的“直径”条件可以扩展为“过圆心的直线或线段”，推论的条件和结论要准确区分和应用。 圆周角（圆周角定义、圆周角定理及其推论） 能准确识别圆周角，理解并熟练运用圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）及其推论（同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径）进行角的度数计算和相关证明。 圆周角定理及其推论是本章的重中之重，命题频率高，难度中等。主要考查利用定理进行角度转换与计算，常与圆心角、弧、弦的关系结合，也会与三角形内角和、外角性质等知识综合考查。在判断同弧所对的圆周角时，要注意顶点在圆上且两边都与圆相交这两个条件，避免与圆心角混淆。 知识点01 圆的有关概念 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，通常用字母r表示。以点O为圆心的圆。 注：圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径决定。 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，直径等于半径的2倍，即（d为直径）。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧）。 等圆与等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 易错点：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中，且能够完全重合。 知识点02 点与圆的位置关系 设⨀O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有： 点P在圆外 d > r； 点P在圆上 ； 点P在圆内 d < r。 示例：已知⨀O的半径，点P到圆心O的距离，因为(3 < 5)，所以点P在⨀O内；若，则点P在⨀O上；若，则点P在⨀O外。 知识点03 过三点的圆 过一点的圆：过平面内一个点A可以作无数个圆，这些圆的圆心可以是平面内除A外的任意一点，半径为圆心到点A的距离。 过两点的圆：过平面内两点A、B可以作无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，半径为圆心到点A或点B的距离。 过三点的圆： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。（确定圆的条件：圆心和半径，圆心是三角形三边垂直平分线的交点，半径是圆心到三个顶点的距离） 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心（三角形三边垂直平分线的交点），这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 易错点：过同一条直线上的三点不能作圆，因为线段垂直平分线平行，无交点，即没有圆心。 示例：已知，作AB、BC的垂直平分线交于点O，则以O为圆心，OA为半径的圆就是的外接圆，点O是的外心。 知识点04 圆心角 定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 易错点：运用圆心角定理及推论时，必须注意前提条件是“在同圆或等圆中”，否则结论不成立。 知识点05 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 易错点：推论中“弦不是直径”是关键条件，因为圆的任意两条直径互相平分，但不一定垂直。 知识点06 圆周角 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等。 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。圆内接四边形的对角互补。 易错点：圆周角的顶点必须在圆上，且两边都与圆相交，否则不是圆周角。例如，顶点在圆内或圆外的角不是圆周角。 题型一 圆的有关概念 解｜题｜技｜巧 1.准确理解圆的定义，包括静态定义（平面内到定点的距离等于定长的点的集合）和动态定义（平面内一条线段绕其固定端点旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线）。 2.明确圆的各部分名称，如圆心（定点）、半径（定长）、直径（经过圆心的弦，是圆中最长的弦）、弦（连接圆上任意两点的线段）、弧（圆上任意两点间的部分，分为优弧、劣弧和半圆）、圆心角（顶点在圆心的角）、圆周角（顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角）等。 3.掌握半径与直径的关系：在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，即。 4.区分等圆（能够完全重合的两个圆，半径相等）与同心圆（圆心相同，半径不同的圆）。 【典例1】下列说法中，正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 过圆心的线段是直径 D. 圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆 分析与解答：根据圆的有关概念对各选项进行逐一分析。 选项A：弦是连接圆上任意两点的线段，而直径是经过圆心的弦，所以弦不一定是直径，故A错误； 选项B：半圆是圆上任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧中的一条，所以半圆是弧，故B正确； 选项C：过圆心的线段不一定是直径，因为直径必须两端都在圆上，故C错误； 选项D：圆心相同，半径相等的两个圆能够完全重合，是等圆，而同心圆是圆心相同，半径不同的圆，故D错误。 答案：B 【变式1】有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 分析与解答：①直径是圆中最长的弦，所以直径是弦，故①正确； ②经过不在同一条直线上的三个点一定可以作圆，若三个点在同一条直线上，则不能作圆，故②错误； ③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离都相等，故③正确； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，半径相等的两个半圆能够完全重合，所以是等弧，故④正确。 综上，正确的有①③④，共3个。 答案：B 题型二 点与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 1.点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。 2.判断点与圆的位置关系的方法是比较点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系：当(d < r)时，点在圆内；当时，点在圆上；当(d > r)时，点在圆外。 3.已知点与圆的位置关系，可以确定d与r的大小关系；反之，已知d与r的大小关系，也可以确定点与圆的位置关系。 4.在解决实际问题时，要先确定圆心和半径，再计算点到圆心的距离，最后进行比较。 【典例1】已知圆的半径为5cm，点P到圆心的距离为3cm，则点P与圆的位置关系是（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 分析与解答：已知圆的半径cm，点P到圆心的距离cm。因为，根据点与圆的位置关系判定方法可知点P在圆内。 答案：A 【变式1】若点A在以点O为圆心，1cm为半径的圆内，则点A到圆心O的距离d的取值范围是________。 分析与解答：因为点A在圆内，根据点与圆的位置关系可知，点到圆心的距离小于圆的半径，所以(d < 1)cm。又因为距离不能为负数，所以。 答案： 【变式2】已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，且d满足方程，试判断点P与⊙O的位置关系。 分析与解答：首先解方程，因式分解得，所以或，解得或，即或。已知⊙O的半径，当时，，点P在圆内；当时，，点P也在圆内。所以无论d取何值，点P都在⊙O内。 答案：点P在⊙O内 题型三 过三点的圆 解｜题｜技｜巧 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆。这里要强调“不在同一条直线上”，如果三个点在同一条直线上，则无法确定一个圆。 2.三角形的三个顶点不在同一条直线上，所以三角形一定有外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径。 3.过在同一条直线上的三个点不能作圆，因为此时三边垂直平分线平行，没有交点。 4.作过不在同一条直线上三点的圆的方法：连接任意两点得到两条线段，分别作这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，圆心到任意一个点的距离就是半径，然后以圆心为圆心，半径为长度作圆即可。 【典例】下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以为半径 C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M 分析与解答：本题考查了圆的相关概念． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确 答案：C 【变式1】下列四个命题，其中正确的是（    ） A．弦是直径 B．经过三个点一定可以作圆 C．三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等 D．两个半圆是等弧 分析与解答：本题考查了圆的有关概念，弦，弧，圆的确定，外心等知识点． 根据弦、等弧的概念以及外心的性质，圆的确定条件判断各选项即可． 【详解】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意； B、经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原说法错误，不符合题意； C、三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确，符合题意； D、能够互相重合的弧是等弧，由于两个半圆的半径不一定相等，故两个半圆不一定能重合，原说法错误，不符合题意 答案：C 【变式2】如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长 答案：B 题型四 圆心角 解｜题｜技｜巧 1.圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等（简记为“知一推三”）。 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 5.计算圆心角时，要注意结合圆的半径、弦长等条件，利用等腰三角形的性质或勾股定理求解。 【典例】下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 分析与解答：本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意 答案：B 【变式1】下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 分析与解答：本题考查确定圆的条件，圆的认识，圆心角，弧，弦的关系，根据确定圆的条件，圆心角，弧，弦之间的关系，等弧的定义一一判断即可． 【详解】解：①三点确定一个圆；错误，条件是三个点不在同一直线上； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，条件是在同圆或等圆中； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；正确； ④长度相等的弧称为等弧，错误，长度相等的弧不一定是等弧． 答案：A 【变式2】下列语句正确的有（    ） ①圆心角相等，所对的弧也相等； ②圆心角相等，所对的弦也相等； ③长度相等的两条弦所对的弧是等弧； ④等弧所对的圆心角相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 分析与解答：题考查圆的基本性质，需在同圆或等圆中讨论圆心角、弧、弦的关系．语句①、②未指定同圆或等圆，故不一定成立；语句③忽略优弧和劣弧的区别，故错误；语句④符合等弧的定义和性质，故正确． 【详解】解：∵ 圆心角相等需在同圆或等圆中才保证所对弧相等，①未指定条件，∴ ①错误； ∵ 圆心角相等需在同圆或等圆中才保证所对弦相等，②未指定条件，∴ ②错误； ∵ 长度相等的弦所对弧可能有优弧和劣弧之分，不一定相等，∴ ③错误； ∵ 等弧定义是在同圆或等圆中能重合的弧，故所对圆心角相等，∴ ④正确． 综上，只有④正确 答案：D 题型五 圆周角 解｜题｜技｜巧 1.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 4.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 5.推论3：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 6.在解决圆周角问题时，要注意观察圆周角所对的弧与已知圆心角或其他圆周角所对的 【典例】如图，点A，B，C在上，若的度数为，则（   ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查了圆周角定理，掌握同弧或等弧所对圆周角是圆心角的一半是关键． 根据弧的度数是圆心角的度数得到，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵的度数为， ∴， ∵所对的圆心角是，所对的圆周角是 ∴， 答案：B 【变式1】如图，，是上的三个点，若，则的度数为（   ）     A． B． C． D． 分析与解答：本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 答案：D 【变式2】如图，点A，B，C为上的点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角是圆周角的两倍．根据圆周角定理，由，可得，计算得出结果． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍， ∵， ∴． 答案：D 题型六 垂径定理 解｜题｜技｜巧 1. 识别弦、半径、弦心距等条件，确定是否适用垂径定理； 2. 添加辅助线（作垂线、连半径），构造Rt△OAD（O为圆心，D为弦AB中点）； 3. 利用R² = a² + d²（R为半径，a为弦长一半，d为弦心距）建立等量关系； 4. 结合圆心角、弧、圆周角的关系，或方程思想、分类讨论，解决综合问题。 【典例】如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据垂径定理及等腰三角形三线合一逐项判断即可． 【详解】解：A：，， ∴，正确，故该选项不合题意； B：根据题目条件无法推出，错误，故该选项符合题意； C：由及可知，垂直平分， ∴， D：，， ∴平分， ∴，正确，故该选项不合题意． 答案：B 【变式1】如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 分析与解答：本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 答案：C 【变式2】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 分析与解答：此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标． 【详解】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心， ∴圆心的坐标是， 答案：B 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在同一平面内，已知的直径为，，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆半径的大小． 先求出的半径，再比较与半径的大小，从而确定点的位置． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， 又∵，， ∴点在外． 故选：C． 2．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理证得，根据圆内接四边形的性质，证得，进而求出的度数即可． 【详解】解： 四边形内接于 故选：B． 3．如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据弧中点的意义得出，再根据直径所对的圆周角是直角得出，从而可利用勾股定理得出，进而得到，再利用圆周角定理得出，从而可求得，于是有，从中可求得． 【详解】解：连接， ∵点B是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，圆周角定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 4．如图．为的直径，点、在上，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理． 根据为的直径得到，进而得到，根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，在中，弦，圆心O到的距离为4，则的半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵圆心O到的距离为4， ，， ， ，， ． 即的半径为5． 故选：C． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等弧、等圆的定义以及三角形外心的性质，掌握圆的相关性质是解题关键．根据“等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合”；“等圆半径相等”；“三角形外心到顶点距离相等”逐项判断即可． 【详解】解：A、半径相等的两个半圆，所在圆是等圆，半圆弧长相等且能重合，原说法正确，不符合题意； B、圆面积相等则半径相等，故是等圆，原说法正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中能够完全重合，长度相等的两条弧不一定满足此条件，原说法错误，符合题意； D、三角形的外心是垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 7．如图，是的直径，是弦，于点，，的半径为，则的长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，连接，证明是等边三角形，根据题意得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据垂径定理可得． 【详解】解： 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ 故选：B． 9．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 10．如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】A、 与不一定相等，符合题意；     B、 ∵直径， ∴，故不符合题意； C、∵直径， ∴，故不符合题意； ∴，故D不符合题意， 故选：A． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．如图，在中，弦的长为16，，交于点G，交于点E，．求的长． 【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键．连接，由垂径定理可得，设，则，，再利用勾股定理求出的值，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 是半径，，， ， 设， ， ， ， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， ． 12．如图，是的直径，，是上的点，，交于点，，，求的半径． 【答案】3 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设的半径为， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为． 13．（1）小丽家的房前有一块空地，空地上有三棵树A、B、C（如图），小丽想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小丽把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，求花坛的半径长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可． （2）连接，，由圆周角定理得，则可得，即花坛的半径长为． 【详解】解：（1）如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． （2）连接，， ， ， ， 花坛的半径长为． 【点睛】本题主要考查三角形外接圆的知识，以及圆周角定理．利用圆周角与圆心角的关系作出辅助线是解题的关键． 14．如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，可得，，，再根据全等三角形的判定方法可证，进而得到，结合即可求解． 【详解】证明：与所对的弧相同，与所对的弧相同， ，， ， ， 在和中， ， ． ， 又， ， 为等边三角形 15．如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，外接圆的半径，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解求出，再由勾股定理求解； （2）在中运用勾股定理求解，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）解：∵于点D，，， ∴, ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴外接圆的半径． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $