专题04 锐角三角函数（期末复习专项训练，4大题型）九年级数学上学期北京版

专题04 锐角三角函数 题型1 锐角三角函数 题型3 解直角三角形（难点） 题型2 特殊的锐角三角函数值（常考点） 题型4 测量与计算（易错点） 题型一 锐角三角函数（共2小题） 1．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 2．在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型二 特殊的锐角三角函数值（共3小题） 3．计算：． 4．计算：. 5．学习解直角三角形时，小明编了这样一道题： 已知：在中，，，，解这个直角三角形. 从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤： ①由的度数，根据直角三角形的性质得到的度数； ②由，的值，根据的正切值得到的度数； ③由，的值，根据勾股定理得到的值； ④由，的值，根据的余弦值得到的度数. 请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（    ） A．③④① B．④①③ C．②①③ D．③②① 题型三 解直角三角形（共6小题） 6．在中，，求的长． 7．如图，在中，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 8．如图，在中，，平分交于点D，于点E．若，，求的长． 9．如图，在中，，，，求的长． 10．如图，在矩形中，为对角线，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．如图，在中，，于点D，，，求及的长． 题型四 测量与计算（共5小题） 12．如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为（    ） A． B． C． D． 13．河南妙乐寺塔为国内现存规模最大、保存最完整的五代塔之一，建于唐，后周显德二年(955年)重修，寺已早废，唯塔独存，该塔正吸引着越来越多的旅游观光者，对河南的社会经济、文化发展起到了积极的促进作用．某校数学实践小组开展测量妙乐寺塔的活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量妙乐寺塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果     如图，步骤如下： 在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角； ②沿着方向走到E处，用皮尺测得米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角 …… 已知测角仪的高度为1.5米，点C，E，A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度．(参考数据：，，) 14．某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为，，且，，，的延长线交于点G．请根据他们测量的数据求塔的高度．（参考数据：，，） 15．在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为，向山的方向前进，在点C处测得山顶E的仰角为，已知观测点A，C到地面的距离，．求小山的高度（精确到）．（参考数据：，，，）    16．某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度，方法如下： 方法一：如图1，他们测得同一时刻长度为2米的竹竿的影长为米，线段表示旗杆，旗杆的影长为米； 方法二：如图2，用米高的测角仪在距离旗杆8米的点处测得旗杆顶端的仰角为（，，） 请选取一种方法，根据已知数据，计算旗杆的长约为多少米．（结果精确到） 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 锐角三角函数 题型1 锐角三角函数 题型3 解直角三角形（难点） 题型2 特殊的锐角三角函数值（常考点） 题型4 测量与计算（易错点） 题型一 锐角三角函数（共2小题） 1．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、正弦，熟练掌握正弦的定义是解题关键．先根据网格和勾股定理可得，，再根据正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，由网格可知，， ∴， ∴， 故选：D． 2．在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．根据题意设，然后利用勾股定理求出，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 设， ， ， 故选：A． 题型二 特殊的锐角三角函数值（共3小题） 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，二次根式的加减计算，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和化简二次根式，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 4．计算：. 【答案】3 【分析】本题考查的是实数的运算，零指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值，根据运算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： 5．学习解直角三角形时，小明编了这样一道题： 已知：在中，，，，解这个直角三角形. 从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤： ①由的度数，根据直角三角形的性质得到的度数； ②由，的值，根据的正切值得到的度数； ③由，的值，根据勾股定理得到的值； ④由，的值，根据的余弦值得到的度数. 请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（    ） A．③④① B．④①③ C．②①③ D．③②① 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：A. 由，的值，根据勾股定理得到的值，再由的余弦值得到的度数，进而求出的度数，选项排序正确，不符合题意； B. 条件④需要知道的值，才能得到的余弦值，而的值并没有计算出来，由此可知选项排序错误，符合题意； C. 由，的值，根据的正切值得到的度数，进而求出的度数，再由，的值，根据勾股定理得到的值，选项排序正确，不符合题意； D. 由，的值，根据勾股定理得到的值，再由，的值，根据的正切值得到的度数，进而求出的度数； 故选：B． 题型三 解直角三角形（共6小题） 6．在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 7．如图，在中，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点A作于点D，解直角三角形得，根据即可求解． 【详解】解：过点A作于点D，    则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：D． 8．如图，在中，，平分交于点D，于点E．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质； 先根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质可得，即可求出的长度，再根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， 在中，根据勾股定理可得：， ∵平分， ，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 9．如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，过点A作交底延长线于点D，由，得，易得，根据，求出，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点A作交底延长线于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 10．如图，在矩形中，为对角线，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键； （1）由矩形的性质可得，则，由垂直可得，则，即可得． （2）在中，根据，设，，则．得出．根据矩形性质得出，．在中，得出，．再根据，得出．解出的值即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：在中，， 设，，则． ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 11．如图，在中，，于点D，，，求及的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，由，，，利用勾股定理求出，即可求，在中，求出，再利用在中，，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， 在中，， ∴． 题型四 测量与计算（共5小题） 12．如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坡度、勾股定理的应用，坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比．根据斜坡的坡度为，设，则，根据勾股定理可得，又因为，可知，可得坡顶到水平地面的距离为． 【详解】解：斜坡的坡度为， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 解得：， 坡顶到水平地面的距离为． 故选A 13．河南妙乐寺塔为国内现存规模最大、保存最完整的五代塔之一，建于唐，后周显德二年(955年)重修，寺已早废，唯塔独存，该塔正吸引着越来越多的旅游观光者，对河南的社会经济、文化发展起到了积极的促进作用．某校数学实践小组开展测量妙乐寺塔的活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量妙乐寺塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果     如图，步骤如下： 在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角； ②沿着方向走到E处，用皮尺测得米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角 …… 已知测角仪的高度为1.5米，点C，E，A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度．(参考数据：，，) 【答案】塔的高度为39米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题．根据题意得到米，米，，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由题意得，米，米，，． 在中，， ． 在中， ∵， ∴， ∵米， ∴， 解得， （米）， 答：塔的高度为39米． 14．某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为，，且，，，的延长线交于点G．请根据他们测量的数据求塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】塔高的长约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可设 ，则，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， ， 设 ， ， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 答：塔高的长约为． 15．在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为，向山的方向前进，在点C处测得山顶E的仰角为，已知观测点A，C到地面的距离，．求小山的高度（精确到）．（参考数据：，，，）    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，要求借助仰角构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：依题意可知，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴．    16．某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度，方法如下： 方法一：如图1，他们测得同一时刻长度为2米的竹竿的影长为米，线段表示旗杆，旗杆的影长为米； 方法二：如图2，用米高的测角仪在距离旗杆8米的点处测得旗杆顶端的仰角为（，，） 请选取一种方法，根据已知数据，计算旗杆的长约为多少米．（结果精确到） 【答案】旗杆的长约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．方法一：由题意得，根据即可求解；方法二：由题意得：，根据，求出，即可求出． 【详解】解：方法一：由题意得， ∴， ∵，， ，即， ， 答：旗杆的长约为米． 方法二：由题意得：， ， ，即 ， 答：旗杆的长约为米． 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $