专题05 锐角三角函数（期末真题汇编，北京专用）九年级数学上学期北京版

专题05 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 锐角三角函数 考点02 特殊角的三角函数值 考点03 解直角三角形及其应用 地 城 考点01 锐角三角函数 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京房山区·期末)在中，，，，则是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，在中，，那么的值为（   ）    A． B． C． D． 4．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，在中，． 若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·北京通州区·期末)在中，，如果，，那么的值为（    ） A． B． C． D．2 二、填空题 6．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为 三、解答题 7．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，在中．，是的中线，如果．．求的值．    地 城 考点02 特殊角的三角函数值 一、解答题 1．(24-25九上·北京通州区·期末)计算：． 2．(24-25九上·北京昌平区·期末)计算：． 3．(24-25九上·北京房山区·期末)计算：． 4．(24-25九上·北京平谷区·期末)计算：． 5．(24-25九上·北京石景山区·期末)计算：． 6．(24-25九上·北京顺义区·期末)计算：． 地 城 考点03 解直角三角形及其应用 一、单选题 1．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，在中，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．(24-25九上·北京燕山区·期末)为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)某小组同学为测楼高自制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图1所示，此时观测视线与水平线的夹角为 ，若观测者与楼的距离为（如图2），则可测算长为 m．（结果精确到）       4．(24-25九上·北京平谷区·期末)中国古代建筑中的斜脊结构，既有利于排水，又有利于保温，是古代工匠智慧的体现．.如图，房屋的屋顶截面结构为等腰三角形，若斜脊的坡度i为，房子侧宽为12米， 则斜脊的长为 米．                                       5．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，甲、乙两座建筑物间的距离为，甲建筑物的高为，在甲建筑物的顶端处测得乙建筑物的顶端的仰角为，则乙建筑物的高为 ． 6．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为 ． 三、解答题 7．(24-25九上·北京石景山区·期末)已知：在中，，，，解这个直角三角形． 8．(24-25九上·北京房山区·调研)如图，在中，，，于点，若，求的长． 9．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点A、B作．．和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当．时，求的值． 10．(24-25九上·北京石景山区·期末)首钢园区内的石景山被誉为“燕都第一仙山”，石景山上的功碑阁作为石景山区地标性建筑之一，彰显着地域文化魅力与历史底蕴．某校社会实践小组选择了一处开阔平坦的区域进行测量活动．如图，是水平地面，在F处用高的测角仪测得功碑阁顶A的仰角为，然后沿方向前行到达G处，在G处测得功碑阁顶A的仰角为．根据以上测得的数据，求功碑阁顶A到水平地面的距离约为多少米．（参考数据：，，，，，．） 11．(24-25九上·北京顺义区·期末)某校九年级数学兴趣小组开展测量“学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取，两处（，，在同一条直线上），测得地面上，两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和．请根据他们的测量数据，求旗杆的高大约是多少？（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 12．(24-25九上·北京平谷区·期末)湖光塔坐落在平谷区金海湖中心岛的山顶，七层八角形楼阁式建筑挂满风铃，微风吹过，玲声悠扬，是金海湖景区的主要景观之一.某校组织九年级学生到金海湖景区参加社会实践活动，数学小组的同学最初的目标是测量湖光塔的高度，但是他们通过网络搜索发现，网上可以查到湖光塔的塔高为30米，所以他们把任务确定为测量湖光塔所在的中心岛小山的高度，数学小组设计的方案如图所示，他们在点C处用测角仪测得塔顶A的仰角为，此时，由于树木的遮挡，看不清塔底，他们延水平方向向后走64米在点D处用测角仪测得塔底B的仰角为．请根据他们网上查到的数据和测量数据求中心岛小山的高度约为多少米．（参考数据：） 13．(24-25九上·北京通州区·期末)某学校物理实验室有一种演示桌，收起时桌面与一支架的夹角，打开时桌面与同一支架的夹角（桌面），已知支架，求桌面上升的高度约为多少？（桌面的厚度与前后移动的距离等因素不用考虑）（参考数据：，，，，，）． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 锐角三角函数 考点02 特殊角的三角函数值 考点03 解直角三角形及其应用 地 城 考点01 锐角三角函数 一、单选题 1．(23-24九上·北京通州区·期末)如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理．利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可． 【详解】解：∵，，， ， ． 故选：D． 2．(24-25九上·北京房山区·期末)在中，，，，则是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理．首先由勾股定理求得斜边；然后由锐角三角函数的定义知，然后将相关线段的长度代入计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，在中，，那么的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数，解题的关键是记住正弦函数的定义． 根据锐角正弦函数定义：在中，，的正弦求解即可． 【详解】解：在中，， ∴． 故选：B． 4．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，在中，． 若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、求角的正弦值，先根据勾股定理计算，再根据正弦是对边与斜边的比，得出答案即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 5．(24-25九上·北京通州区·期末)在中，，如果，，那么的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了锐角三角函数，根据正切的意义进行解答即可． 【详解】解：在中，，如果，， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正弦函数，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．设每个网格正方形的边长为1，且，交的延长线于点D，利用勾股定理，正弦函数的定义解答即可． 【详解】解：设每个网格正方形的边长为1，且，交的延长线于点D，根据题意，得， 故， 故， 故答案为：． 三、解答题 7．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，在中．，是的中线，如果．．求的值．    【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，求角的余弦值，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握余弦的定义是解题关键．由直角三角形斜边中线的性质得出，，从而得出，由勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，． 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 地 城 考点02 特殊角的三角函数值 一、解答题 1．(24-25九上·北京通州区·期末)计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算以及零指数幂，原式分别代入特殊角三角函数值，再计算零指数幂，最后再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 2．(24-25九上·北京昌平区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义．由特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义分别进行计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 3．(24-25九上·北京房山区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，根据特殊角三角函数值，计算即可，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ． 4．(24-25九上·北京平谷区·期末)计算：． 【答案】 【分析】此题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，负整数指数幂，绝对值，解题关键在于掌握运算法则． 此题涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式化简，绝对值的性质．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：原式 ． 5．(24-25九上·北京石景山区·期末)计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算特殊角的三角函数值、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，最后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解： 6．(24-25九上·北京顺义区·期末)计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值．根据零指数幂运算法则、特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值的化简等知识，进行计算即可． 【详解】解： 地 城 考点03 解直角三角形及其应用 一、单选题 1．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，在中，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点A作于点D，解直角三角形得，根据即可求解． 【详解】解：过点A作于点D，    则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：D． 2．(24-25九上·北京燕山区·期末)为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键． 根据的正切可得，而，进而即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，， ， 根据题意可得：， ， 故选：A． 二、填空题 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)某小组同学为测楼高自制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图1所示，此时观测视线与水平线的夹角为 ，若观测者与楼的距离为（如图2），则可测算长为 m．（结果精确到）       【答案】 60 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 根据图1得到观测视线与水平线的夹角为，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由图1知，观测视线与水平线的夹角为， 在中，，，， ， 答：长约为， 故答案为：60；． 4．(24-25九上·北京平谷区·期末)中国古代建筑中的斜脊结构，既有利于排水，又有利于保温，是古代工匠智慧的体现．.如图，房屋的屋顶截面结构为等腰三角形，若斜脊的坡度i为，房子侧宽为12米， 则斜脊的长为 米．                                       【答案】 【分析】此题考查了坡度、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，过点作于点H，则，由等腰三角形的性质得到米，根据斜脊的坡度i为得到，则米，利用勾股定理即可求出斜脊的长． 【详解】解：过点作于点H，则，如图， ∵是等腰三角形， ∴米， ∵斜脊的坡度i为， ∴， ∴米， ∴， 故答案为： 5．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，甲、乙两座建筑物间的距离为，甲建筑物的高为，在甲建筑物的顶端处测得乙建筑物的顶端的仰角为，则乙建筑物的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ， 乙建筑物的高为， 故答案为：55． 6．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坡度、勾股定理的应用，坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比．根据斜坡的坡度为，设，则，根据勾股定理可得，又因为，可知，可得坡顶到水平地面的距离为． 【详解】解：斜坡的坡度为， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 解得：， 坡顶到水平地面的距离为． 故答案为： ． 三、解答题 7．(24-25九上·北京石景山区·期末)已知：在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，先求出，得出，再求出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，，． 8．(24-25九上·北京房山区·调研)如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】16 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 先根据正切的定义得出的长，再利用的正切值得出的长，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点A、B作．．和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当．时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线和交于点O， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∵四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是菱形， ∴，，， ∴，， ∴． 10．(24-25九上·北京石景山区·期末)首钢园区内的石景山被誉为“燕都第一仙山”，石景山上的功碑阁作为石景山区地标性建筑之一，彰显着地域文化魅力与历史底蕴．某校社会实践小组选择了一处开阔平坦的区域进行测量活动．如图，是水平地面，在F处用高的测角仪测得功碑阁顶A的仰角为，然后沿方向前行到达G处，在G处测得功碑阁顶A的仰角为．根据以上测得的数据，求功碑阁顶A到水平地面的距离约为多少米．（参考数据：，，，，，．） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意，C，D，B三点共线，，． 设，则米． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 答：功碑阁顶A到水平地面的距离约为． 11．(24-25九上·北京顺义区·期末)某校九年级数学兴趣小组开展测量“学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取，两处（，，在同一条直线上），测得地面上，两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和．请根据他们的测量数据，求旗杆的高大约是多少？（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】旗杆的高度大约是 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用锐角三角函数的定义解直角三角形是解题的关键．设为，分别在和表示出、，再利用列出方程，代入三角函数值的数据解出的值即可解答． 【详解】解：设为， 在中，， ， ， ． 在中，， ， ， ． 又， ， 解得：， 答：旗杆的高度大约是． 12．(24-25九上·北京平谷区·期末)湖光塔坐落在平谷区金海湖中心岛的山顶，七层八角形楼阁式建筑挂满风铃，微风吹过，玲声悠扬，是金海湖景区的主要景观之一.某校组织九年级学生到金海湖景区参加社会实践活动，数学小组的同学最初的目标是测量湖光塔的高度，但是他们通过网络搜索发现，网上可以查到湖光塔的塔高为30米，所以他们把任务确定为测量湖光塔所在的中心岛小山的高度，数学小组设计的方案如图所示，他们在点C处用测角仪测得塔顶A的仰角为，此时，由于树木的遮挡，看不清塔底，他们延水平方向向后走64米在点D处用测角仪测得塔底B的仰角为．请根据他们网上查到的数据和测量数据求中心岛小山的高度约为多少米．（参考数据：） 【答案】小山高度约为94米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意可设米，则米，由列方程求解即可． 【详解】解：设米， 由题意，， ， ∴， ， 解得，， 答：小山高度约为94米． 13．(24-25九上·北京通州区·期末)某学校物理实验室有一种演示桌，收起时桌面与一支架的夹角，打开时桌面与同一支架的夹角（桌面），已知支架，求桌面上升的高度约为多少？（桌面的厚度与前后移动的距离等因素不用考虑）（参考数据：，，，，，）． 【答案】桌面上升的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是解题的关键． 做辅助线，过点作于点，交于点，由三角函数求出、的值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵， ∴，在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴桌面上升的高度约为． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $