数学一模提分卷03（北京专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

22026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟,分值：150分） 注意事项： 1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1．若,则（    ） A． B． C． D． 1.【答案】A 【解析】因为,所以,故.故选A. 2．已知集合,则（    ） A． B． C． D． 2.【答案】B 【解析】由,解得,则,所以.故选B. 3．已知．若动点满足,则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 3.【答案】D 【解析】∵,动点满足,∴动点的轨迹为双曲线且为右支,,,,∴的轨迹的方程为,故选D. 4．若,则（    ） A． B．0 C．1 D．32 4.【答案】D 【解析】由题意得,令,可得, 则,故D正确.故选D. 5．在平面直角坐标系中,已知三点,若向量在上的投影向量相同,则的值为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 5.【答案】D 【解析】∵向量在向量上的投影向量相同,,则, 得,而,得,得,得,得.故选D. 6．设函数,若存在,使得,则的值不可能是（   ）． A． B． C． D． 6.【答案】A 【解析】因为,且存在,使得,则,即,所以,,当,时,得,,因为,所以,.当,时,得,,因为,所以,.综合以上情况得的所有可能取值的集合为,.检验可知均在时对应的区间内,不在该集合对应的任何区间内,所以的值不可能为.故选A. 7．自然界中,大多数生物存在着世代重叠现象,它们在生活史中会持续不断地繁殖后代,且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时,其增长符合模型：,其中为种群起始个体数量,为增长系数,为时刻的种群个体数量．当时,种群个体数量是起始个体数量的2倍．若,则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 7.【答案】B 【解析】由题意可知,即,∴,又∵,即,∴,. 故选B. 8．关于的不等式的解集不可能是 （    ） A．或 B． C． D． 8.【答案】A 【解析】若,则等价于,若,则不等式的解集为,故B不符合题意；若,则不等式的解集为,故D不符合题意；若,则不等式的解集为,故C不符合题意；若,则等价于,则不等式的解集为或；若,则不等式的解集为,综上可知,A选项符合题意.故选A. 9．风筝又称为“纸鸢”,由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期,是人类最早的风筝起源,如图,是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体,为边的中点,四边形为矩形,且,当时,多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 9.【答案】A 【解析】因为D为的中点,,所以,所以,,又,四边形为矩形,,平面, 所以平面,又,,平面,所以平面,故由四边形为矩形得平面,所以由,,得,所以,又由得,所以,所以多面体的体积为.故选A. 10．函数是定义域为R的奇函数,且它的最小正周期是T,已知,．给出下列四个判断： （1）对于给定的正整数n,存在,使得成立； （2）当时,对于给定的正整数n,存在：,使得成立； （3）当时,函数既有对称轴又有对称中心； （4）当时,的值只有0或． 其中正确判断的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10.【答案】C 【解析】对于（4）,当时,,,当时,,当时,,故时,的值域为, 又为奇函数,故当时,的值域为,故, 为平移得到,故的最小正周期也为,故函数的最小正周期为, 故函数值域为,故（4）错误；对于（3）,由于为平移得到,故的最小正周期也为,故只需研究即可,当时,,, 当时,,此时,当时,,此时,故,由于为连续函数,故,故的图象在上关于直线对称,又为奇函数,最小正周期为,结合图象可知,在图象在R上关于直线对称,所以,令,则,将用替换,有,故,所以关于轴对称,又为奇函数,故,所以,又,故,故,故关于对称,所以既有对称轴,又有对称中心,当时,同理可得既有对称轴,又有对称中心,故（3）正确；对于（1）,取,则,由于为奇函数,故,又的最小正周期为,故,即,即,故的图象关于点对称,由（3）知,的图象关于直线对称,故的图象关于直线对称,所以,,所以,当为偶数时,,所以,当为奇数时,,所以,故（1）正确； 对于（2）,由于,所以成立,,故,即,故在上,又的图象关于直线对称,且最小正周期为,故函数的图象关于轴对称,所以,而成立,所以,故存在成立,故（2）正确.故选C. 第二部分（非选择题 共110分） 三、填空题共5小题,每小题5分,共25分. 11．已知抛物线：,则抛物线的准线方程为 ． 11.【答案】 【解析】由,则,所以其准线方程为. 12．若,且,则的值为 . 12.【答案】或 【解析】因为,所以,化简得,解得,所以或,因为,所以或. 13．如图,在直三棱柱中,,,.点在线段上,点到直线的距离的最小值为 . 13.【答案】 【解析】由已知,以B为坐标原点,以所在直线为轴,建立空间直角坐标系, 设直三棱柱的侧棱长为h,则,, 由于点在线段上,设,则,故, 设点到直线的距离为d,则 ,当时,取最小值,则d的最小值为. 14．设函数. （1）当时,的解集为 ； （2）若函数有3个零点,则实数a的取值范围是 . 14.【答案】； . 【解析】当时,函数,当时,,即, 解得；结合,得当时,即, 解得或,结合,得或综上,的解集为； 若函数有3个零点,可得在上有一个零点,在上有两个零点, 当时,,得,因,故,即当时,在上有一个零点；当时,,这是一元二次方程,需有2个正根, 则,解得,综上,a的取值范围是. 15．已知等差数列与等比数列是两个无穷数列,且都不是常数列． 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列,则数列是递增数列； ③对任意的,、、不是等差数列； ④存在数列,对任意的、、,且,使得、、不能构成等比数列． 其中所有正确结论的序号是 ． 15.【答案】①③④ 【解析】由题意设数列的公差为,首项为,数列的公比为,首项为, 则,,对于①：假设是等比数列,则, 所以,因为数列为等比数列,则,所以,所以,可得,与题设条件矛盾,故假设不成立,即数列不是等比数列,①对；对于②,取,,则,由,,,此时数列不是递增数列,故②错误；对于③：假设、、为等差数列,所以, 即,所以,解得与矛盾,故③正确；对于④：取,则,,,若、、能构成等比数列,则,即,化简整理得矛盾,故④正确. 三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．（本小题13分） 在中,,． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知,使得存在且唯一,求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求,第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分． 16．（本小题13分） 【解析】（1）解：因为,由正弦定理得,（1分） 因为,且, 所以,得, 因为,即,（4分） 则,又因为,可得, 所以,可得,可得.（7分） （2）解：选择条件①：,因为且, 由余弦定理得, 即,解得, 所以为方程的根,解得或, 即或,所以三角形的元素不唯一,不符合题意. （选择条件①第（2）问得0分） 选择条件②：,因为,可得, 由正弦定理,可得, 因为且,所以为锐角且唯一,所以存在且唯一,（9分） 又由, 由正弦定理可得,所以,（11分） 可得,即,解得,即边上的高为.（13分） 条件③：,由正弦定理,可得, 因为,所以, 又因为,所以为锐角,且唯一确定,所以存在且唯一,（9分） 又由, 因为, 所以, 又由正弦定理得,所以,（11分） 可得,即,解得,即边上的高为.（13分） 17．（本小题14分） 四棱锥中, 是的中点. (1)为的中点,为上一点,面,证明:为中点； (2)若面面,面面,求:平面与面夹角的余弦值. 17．（本小题14分） 【解析】（1） 取的中点为由三点确定一个平面,交于点, 由面,平面,平面平面, 可得, 又因为为的中点,所以, 又因为,所以,（3分） 由平面,平面,所以平面, 又因为平面,平面平面,所以, 又因为,所以,（5分） 则四边形是平行四边形,故, 又因为, 是的中点., 所以,结合, 可得是的中位线,即为中点; （7分） （2）由可得, 连接,可得四边形是正方形,即可得,所以, 所以,即, 因为面面,面面,面, 所以面,又因为面,所以, 又因为面面面面,面, 所以面, （9分） 如图建立空间直角坐标系,令,则, 即, 所以（10分） 设平面的法向量为, 则, 令,得,所以,（12分） 由于面,所以平面的法向量可以取, 设平面与面的夹角为, 则, 故平面与面的夹角余弦值为.（14分） 18．（本小题13 分） 某品牌汽车计划推出两款新型车,纯电动（EV)和插混电动版(PHEV),为了解某市将来市场情况,在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查,调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体（收入<20万元/年） 中收入群体（收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立,用频率估计概率. (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人,估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p； (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人,在高收入群体中随机抽取1人,记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数,求X的分布列和数学期望； (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2,从该社区随机抽取1人,其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 18．（本小题13 分） 【解析】（1）由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人,频率为,用频率估计概率,从顾客中随机抽取1人,估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为；（3分） （2）用频率估计概率,从全市中收入群体中随机抽1人,愿意购买纯电动版的概率估计,从全市高收入群体中随机抽取1人,愿意购买纯电动版的概率估计,（5分） 由题意可知X可能取值为0,1,2,3, （7分） 分布列如下： X 0 1 2 3 p .（9分） （3）低收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；（10分） 中收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；（11分） 高收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；（12分） 利用全概率公式可得：, 所以.（13分） 19．（本小题15分） 已知椭圆的左、右焦点分别为、,上顶点为,的周长为,且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)两条平行直线、不与坐标轴平行,已知与椭圆交于、两点,与椭圆交于、两点,、、、四点构成四边形,试问四边形是否有可能为等腰梯形,若可能,请求出一组满足要求的直线、,若不可能,请说明理由． 19．（本小题15分） 【解析】（1）椭圆的离心率为,故, 的周长为,解得,（2分）, 故,所以椭圆的标准方程为.（4分） （2）如下图所示： 若四边形为等腰梯形,则, 设直线、交于点,因为,所以,故, 从而,（6分） 分别取线段、的中点、,则,, 故、、三点共线,则,（7分） 不妨设直线的方程为,设点、, 联立可得, ,可得,（9分） 由韦达定理可得, 故,故点, 设直线的方程为,同理可得点,（11分） 直线的斜率为, 因为,即与不垂直, 因此不存在满足题设条件的两条平行直线、,使得四边形为等腰梯形. （15分） 20．（本小题15分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知和在上均单调递增,求实数m的最小值； (3)已知方程与的解集的并集为,且,求证：． 20．（本小题15分） 【解析】（1）易知,所以切点为,（1分） 又,所以切线斜率,（2分） 所以切线方程为.（3分） （2）, 由于, 所以时,单调递增, 所以在上单调递增.（5分） ,令,解得, 所以时,,所以单调递增,即在上单调递增. 又所以, 即的最小值为.（8分） （3）因为的定义域为,的定义域为, 画出两函数图象如下图所示： 由图象可知需满足方程与的解集的并集才有三个元素； 因此两个函数的两个解中有一个解是公共解（即两个函数图像的交点）,所以合并后总共是三个不同的解.（10分） 因为, 所以,所以,所以或, 同理或, 因为,所以, 所以 所以,即, 可得,（12分） 因为,所以,所以, 因为是方程的正根, 令,所以当,所以, 当,因为,所以, 由连续性和单调性以及零点存在定理可得的唯一解, 所以,即,证毕. （15分） 21．（本小题15分） 设,为平面直角坐标系上的两点,其中,令,,若,且,则称点B为点A的“相关点”,记作：.已知（为平面上一个定点,平面上点列满足：,且点的坐标为,其中. (1)请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程；若不在同一个圆上,说明理由； (2)求证：若与重合,一定为偶数； (3)若,且,记,求T的最大值. 21．（本小题15分） 【解析】（1）的“相关点”有个,且都在圆上,（1分） 理由如下： 由,且,, 则,或,,故的“相关点”有个, 又因为,即有, 故这些“相关点”在圆上；（3分） （2）若与重合,则、, 令、, 则,, 则,（5分） 由（1）知,或,, 则必为奇数,即有个奇数相加为, 因为奇数个奇数的和为奇数,故必为偶数；（7分） （3）由题意可得, 又或,则,,,, 则,故,（9分） , 由,或,, 则的个数越多,则的值越大, 而且在序列中,数字的位置越靠前,则相应的的值越大, 则的次数最多时,取的次数才能最多,相应的的值最大；（11分） ①当时,令,, ,,, 则相应的取,,,, 则 ；（13分） ②（i）且为偶数时,设,此时可取个,个, 则所有的都为,为使最大,则所有都取, 且；（14分） （ii）当且为奇数时,设, 令,则其余的中取个,个, 则相应的,其余的时,最大, 此时； 综上所述：（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．若,则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合,则（    ） A． B． C． D． 3．已知．若动点满足,则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 4．若,则（    ） A． B．0 C．1 D．32 5．在平面直角坐标系中,已知三点,若向量在上的投影向量相同,则的值为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 6．设函数,若存在,使得,则的值不可能是（   ）． A． B． C． D． 7．自然界中,大多数生物存在着世代重叠现象,它们在生活史中会持续不断地繁殖后代,且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时,其增长符合模型：,其中为种群起始个体数量,为增长系数,为时刻的种群个体数量．当时,种群个体数量是起始个体数量的2倍．若,则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 8．关于的不等式的解集不可能是 （    ） A．或 B． C． D． 9．风筝又称为“纸鸢”,由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期,是人类最早的风筝起源,如图,是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体,为边的中点,四边形为矩形,且,当时,多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 10．函数是定义域为R的奇函数,且它的最小正周期是T,已知,．给出下列四个判断： （1）对于给定的正整数n,存在,使得成立； （2）当时,对于给定的正整数n,存在：,使得成立； （3）当时,函数既有对称轴又有对称中心； （4）当时,的值只有0或． 其中正确判断的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知抛物线：,则抛物线的准线方程为 ． 12．若,且,则的值为 . 13．如图,在直三棱柱中,,,.点在线段上,点到直线的距离的最小值为 . 14．设函数. （1）当时,的解集为 ； （2）若函数有3个零点,则实数a的取值范围是 . 15．已知等差数列与等比数列是两个无穷数列,且都不是常数列． 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列,则数列是递增数列； ③对任意的,、、不是等差数列； ④存在数列,对任意的、、,且,使得、、不能构成等比数列． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。 16．（本小题13分） 在中,,． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知,使得存在且唯一,求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求,第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分． 17．（本小题14分） 四棱锥中, 是的中点. (1)为的中点,为上一点,面,证明:为中点； (2)若面面,面面,求:平面与面夹角的余弦值. 18．（本小题13 分） 某品牌汽车计划推出两款新型车,纯电动（EV)和插混电动版(PHEV),为了解某市将来市场情况,在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查,调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体（收入<20万元/年） 中收入群体（收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立,用频率估计概率. (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人,估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p； (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人,在高收入群体中随机抽取1人,记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数,求X的分布列和数学期望； (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2,从该社区随机抽取1人,其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 19．（本小题15分） 已知椭圆的左、右焦点分别为、,上顶点为,的周长为,且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)两条平行直线、不与坐标轴平行,已知与椭圆交于、两点,与椭圆交于、两点,、、、四点构成四边形,试问四边形是否有可能为等腰梯形,若可能,请求出一组满足要求的直线、,若不可能,请说明理由． 20．（本小题15分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知和在上均单调递增,求实数m的最小值； (3)已知方程与的解集的并集为,且,求证：． 21．（本小题15分） 设,为平面直角坐标系上的两点,其中,令,,若,且,则称点B为点A的“相关点”,记作：.已知（为平面上一个定点,平面上点列满足：,且点的坐标为,其中. (1)请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程；若不在同一个圆上,说明理由； (2)求证：若与重合,一定为偶数； (3)若,且,记,求T的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D D D A B A A C 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12．或 13． 14．；. 15．①③④ 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤。 16．（本小题13分） 【解析】（1）解：因为,由正弦定理得,（1分） 因为,且, 所以,得, 因为,即,（4分） 则,又因为,可得, 所以,可得,可得.（7分） （2）解：选择条件①：,因为且, 由余弦定理得, 即,解得, 所以为方程的根,解得或, 即或,所以三角形的元素不唯一,不符合题意. （选择条件①第（2）问得0分） 选择条件②：,因为,可得, 由正弦定理,可得, 因为且,所以为锐角且唯一,所以存在且唯一,（9分） 又由, 由正弦定理可得,所以,（11分） 可得,即,解得,即边上的高为.（13分） 条件③：,由正弦定理,可得, 因为,所以, 又因为,所以为锐角,且唯一确定,所以存在且唯一,（9分） 又由, 因为, 所以, 又由正弦定理得,所以,（11分） 可得,即,解得,即边上的高为.（13分） 17．（本小题14分） 【解析】（1） 取的中点为由三点确定一个平面,交于点, 由面,平面,平面平面, 可得, 又因为为的中点,所以, 又因为,所以,（3分） 由平面,平面,所以平面, 又因为平面,平面平面,所以, 又因为,所以,（5分） 则四边形是平行四边形,故, 又因为, 是的中点., 所以,结合, 可得是的中位线,即为中点; （7分） （2）由可得, 连接,可得四边形是正方形,即可得,所以, 所以,即, 因为面面,面面,面, 所以面,又因为面,所以, 又因为面面面面,面, 所以面, （9分） 如图建立空间直角坐标系,令,则, 即, 所以（10分） 设平面的法向量为, 则, 令,得,所以,（12分） 由于面,所以平面的法向量可以取, 设平面与面的夹角为, 则, 故平面与面的夹角余弦值为.（14分） 18．（本小题13 分） 【解析】（1）由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人,频率为,用频率估计概率,从顾客中随机抽取1人,估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为；（3分） （2）用频率估计概率,从全市中收入群体中随机抽1人,愿意购买纯电动版的概率估计,从全市高收入群体中随机抽取1人,愿意购买纯电动版的概率估计,（5分） 由题意可知X可能取值为0,1,2,3, （7分） 分布列如下： X 0 1 2 3 p .（9分） （3）低收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；（10分） 中收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；（11分） 高收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；（12分） 利用全概率公式可得：, 所以.（13分） 19．（本小题15分） 【解析】（1）椭圆的离心率为,故, 的周长为,解得,（2分）, 故,所以椭圆的标准方程为.（4分） （2）如下图所示： 若四边形为等腰梯形,则, 设直线、交于点,因为,所以,故, 从而,（6分） 分别取线段、的中点、,则,, 故、、三点共线,则,（7分） 不妨设直线的方程为,设点、, 联立可得, ,可得,（9分） 由韦达定理可得, 故,故点, 设直线的方程为,同理可得点,（11分） 直线的斜率为, 因为,即与不垂直, 因此不存在满足题设条件的两条平行直线、,使得四边形为等腰梯形. （15分） 20．（本小题15分） 【解析】（1）易知,所以切点为,（1分） 又,所以切线斜率,（2分） 所以切线方程为.（3分） （2）, 由于, 所以时,单调递增, 所以在上单调递增.（5分） ,令,解得, 所以时,,所以单调递增,即在上单调递增. 又所以, 即的最小值为.（8分） （3）因为的定义域为,的定义域为, 画出两函数图象如下图所示： 由图象可知需满足方程与的解集的并集才有三个元素； 因此两个函数的两个解中有一个解是公共解（即两个函数图像的交点）,所以合并后总共是三个不同的解.（10分） 因为, 所以,所以,所以或, 同理或, 因为,所以, 所以 所以,即, 可得,（12分） 因为,所以,所以, 因为是方程的正根, 令,所以当,所以, 当,因为,所以, 由连续性和单调性以及零点存在定理可得的唯一解, 所以,即,证毕. （15分） 21．（本小题15分） 【解析】（1）的“相关点”有个,且都在圆上,（1分） 理由如下： 由,且,, 则,或,,故的“相关点”有个, 又因为,即有, 故这些“相关点”在圆上；（3分） （2）若与重合,则、, 令、, 则,, 则,（5分） 由（1）知,或,, 则必为奇数,即有个奇数相加为, 因为奇数个奇数的和为奇数,故必为偶数；（7分） （3）由题意可得, 又或,则,,,, 则,故,（9分） , 由,或,, 则的个数越多,则的值越大, 而且在序列中,数字的位置越靠前,则相应的的值越大, 则的次数最多时,取的次数才能最多,相应的的值最大；（11分） ①当时,令,, ,,, 则相应的取,,,, 则 ；（13分） ②（i）且为偶数时,设,此时可取个,个, 则所有的都为,为使最大,则所有都取, 且；（14分） （ii）当且为奇数时,设, 令,则其余的中取个,个, 则相应的,其余的时,最大, 此时； 综上所述：（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码 数 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 方 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][C[D] 5[A]B][CD] 9[A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6[A][B][C[D] 10[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 4[A][B][C[D] 8[A]B][C[D] 二、 填空题（每小题5分，共25分) 11 12. 13 14 15. 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 16.(13分) 剂 请在各题目数筝顿内供备邂出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(14分) B 刀 G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） (连9并)逆S巢索嫌 1※￥荡号阴御☒马洲到到毋黹吊避·号功海☒循号阴目循号安典 (SI)O 1※上嵩易明海☒马御到联毋黹甲爵·易劫有习酷易明目醋号尹巢 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．若,则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合,则（    ） A． B． C． D． 3．已知．若动点满足,则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 4．若,则（    ） A． B．0 C．1 D．32 5．在平面直角坐标系中,已知三点,若向量在上的投影向量相同,则的值为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 6．设函数,若存在,使得,则的值不可能是（   ）． A． B． C． D． 7．自然界中,大多数生物存在着世代重叠现象,它们在生活史中会持续不断地繁殖后代,且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时,其增长符合模型：,其中为种群起始个体数量,为增长系数,为时刻的种群个体数量．当时,种群个体数量是起始个体数量的2倍．若,则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 8．关于的不等式的解集不可能是 （    ） A．或 B． C． D． 9．风筝又称为“纸鸢”,由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期,是人类最早的风筝起源,如图,是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体,为边的中点,四边形为矩形,且,当时,多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 10．函数是定义域为R的奇函数,且它的最小正周期是T,已知,．给出下列四个判断： （1）对于给定的正整数n,存在,使得成立； （2）当时,对于给定的正整数n,存在：,使得成立； （3）当时,函数既有对称轴又有对称中心； （4）当时,的值只有0或． 其中正确判断的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知抛物线：,则抛物线的准线方程为 ． 12．若,且,则的值为 . 13．如图,在直三棱柱中,,,.点在线段上,点到直线的距离的最小值为 . 14．设函数. （1）当时,的解集为 ； （2）若函数有3个零点,则实数a的取值范围是 . 15．已知等差数列与等比数列是两个无穷数列,且都不是常数列． 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列,则数列是递增数列； ③对任意的,、、不是等差数列； ④存在数列,对任意的、、,且,使得、、不能构成等比数列． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。 16．（本小题13分） 在中,,． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知,使得存在且唯一,求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求,第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分． 17．（本小题14分） 四棱锥中, 是的中点. (1)为的中点,为上一点,面,证明:为中点； (2)若面面,面面,求:平面与面夹角的余弦值. 18．（本小题13 分） 某品牌汽车计划推出两款新型车,纯电动（EV)和插混电动版(PHEV),为了解某市将来市场情况,在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查,调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体（收入<20万元/年） 中收入群体（收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立,用频率估计概率. (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人,估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p； (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人,在高收入群体中随机抽取1人,记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数,求X的分布列和数学期望； (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2,从该社区随机抽取1人,其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 19．（本小题15分） 已知椭圆的左、右焦点分别为、,上顶点为,的周长为,且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)两条平行直线、不与坐标轴平行,已知与椭圆交于、两点,与椭圆交于、两点,、、、四点构成四边形,试问四边形是否有可能为等腰梯形,若可能,请求出一组满足要求的直线、,若不可能,请说明理由． 20．（本小题15分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知和在上均单调递增,求实数m的最小值； (3)已知方程与的解集的并集为,且,求证：． 21．（本小题15分） 设,为平面直角坐标系上的两点,其中,令,,若,且,则称点B为点A的“相关点”,记作：.已知（为平面上一个定点,平面上点列满足：,且点的坐标为,其中. (1)请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程；若不在同一个圆上,说明理由； (2)求证：若与重合,一定为偶数； (3)若,且,记,求T的最大值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $