精品解析：河南省周口市淮阳区2025-2026学年 2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025－2026学年第一学期第二次教学测评 八年级数学 满分：120分 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 下列实数中，不是无理数的是（ ） A. B. （每两个之间依次多一个） C. D. 2. 如图1所示是生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成图2的等腰三角形，其中．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 将多项式因式分解的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，在直线上任取一点，连接，．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，点，在数轴上，其表示的实数分别为，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小明从水平位置CD上升时，这时小红离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为（　　） A. B. 5 C. D. 9. 如图，中，，其中点D为的中点．若，则阴影部分的面积是（ ） A. 30 B. 35 C. 60 D. 65 10. 如图，在四边形中，，分别以，，，为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 的立方根是__________． 12. 把分解因式时，应提取的公因式是________． 13. 已知，，则的值为________． 14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝117°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C的度数为___． 15. 如图，在中，，，，是边上一动点．将沿折叠，点落在处，交于点，则的最大值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） （1）求摆针摆动的周期． （2）如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 18. 如图，点是长方形的边上的一点，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点，连接，求证：． 19. 习总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动，热爱创造”．某校为促进学生全面发展，健康成长，计划在校园内利用一块四边形空地（如图四边形）建造一个劳动实践基地，已知，，，，． （1）求证：； （2）求这块四边形空地的面积． 20. 北斗卫星导航系统在航海中可以为船舶提供精准的位置、速度和方向信息，有助于提高航行效率，减少航行时间和燃料消耗，一艘货轮在北斗卫星导航系统的精确导航下在海上以每小时海里的速度沿南偏西40°的方向航行，已知货轮在处时，测得灯塔在其北偏西的方向上，航行小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏西的方向上，求货轮到达处时与灯塔的距离． 21. 如图，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的处，折痕为．已知，． （1）判断的形状，并说明你的结论； （2）若，，求的长． 22. 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系． （1）观察图1和图2，请直接写出它们能解释的乘法公式． ①图1：________________________________________________； ②图2：________________________________________________． （2）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其他的等量关系． 请你利用图3来证明勾股定理，即． （3）如图4，将图3中的两个三角形进行图形变换后，若，，求图4中阴影部分的面积． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）应用：把绕点在平面内自由旋转，若，当三点在同一直线上时，则的长是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期第二次教学测评 八年级数学 满分：120分 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 下列实数中，不是无理数的是（ ） A. B. （每两个之间依次多一个） C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比，所以无理数不能写成分数的形式．常见的无理数的表示形式有：用特殊字母表示的数，例如、特定结构的无限小数（如选项B），开方开不尽的数（如选项C）． 【详解】解：A选项：是无限不循环小数，是无理数，故A选项不符合题意； B选项： （每两个之间依次多一个）是无限不循环小数，是无理数，故B选项不符合题意； C选项：是开方开不尽的数，是无理数，故C选项不符合题意； D选项：是分数，可表示为两整数之比，是有理数，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 如图1所示是生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成图2的等腰三角形，其中．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等边对等角的性质即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，，， ， 故选：B． 3. 将多项式因式分解的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握平方差公式分解因式是解题的关键根据进行因式分解即可得解． 【详解】解：， 故选：． 4. 如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，在直线上任取一点，连接，．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线，及线段垂直平分线的性质，掌握以上知识是关键． 根据作图得到是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹知，是线段的垂直平分线， ∴， 故选：D． 5. 如图，点，在数轴上，其表示的实数分别为，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，无理数与数轴，掌握勾股定理，数轴上的点与实数一一对应是关键． 根据勾股定理得到，结合数轴上的点与实数一一对应即可求解． 【详解】解：点，在数轴上，其表示的实数分别为， ∴， ∵过点作，且， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、同底数幂除法、单项式乘法和积的乘方，解答关键是熟练掌握相关运算法则．分别根据完全平方公式、同底数幂除法、单项式乘法和积的乘方逐项计算即可． 【详解】选项：，错误． 选项：，错误． 选项：，错误． 选项：, 与选项一致，正确． 故选． 7. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小明从水平位置CD上升时，这时小红离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：在与中， ， ， ， 小明离地面的高度是， 故选：C． 8. 若，则的值为（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了多项式的乘法，根据多项式的乘法法则展开对比得到，求出m、n的值，即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， 解得 ∴， 故选：C 9. 如图，中，，其中点D为的中点．若，则阴影部分的面积是（ ） A. 30 B. 35 C. 60 D. 65 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形三线合一，结合勾股定理求出的长，根据对称性得到阴影部分的面积等于面积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵D为的中点，，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得，， ∵，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为：， 故选：A． 10. 如图，在四边形中，，分别以，，，为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，根据勾股定理，结合正方形的面积，建立面积关系计算即可． 本题主要考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ， ，， 即， ， 选项符合题意， ，，，大小关系不确定， 其他选项不确定， 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 的立方根是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故答案为：． 12. 把分解因式时，应提取的公因式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，提取公因式，掌握提取公因式的计算方法是关键． 找出多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，确定公因式． 【详解】解：多项式中， 各项系数为，最大公约数为2， 字母部分，x的最小指数为1，y的最小指数为2，z的最小指数为1， ∴公因式为， 故答案为：． 13. 已知，，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的计算，掌握完全平方公式是关键． 利用完全平方公式，将所求代数式用已知条件表示． 【详解】解：∵，已知 ，， ∴代入得， 故答案为：1． 14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝117°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C的度数为___． 【答案】21° 【解析】 【分析】由AB'＝CB'，得∠C＝∠CAB'，根据外角性质可证∠AB'B＝2∠C，由旋转的性质可知AB＝AB'，则∠AB'B＝∠B＝2∠C，根据三角形内角和为180°得∠B＋∠C＋∠CAB＝180°即可解答． 【详解】解：∵AB'＝CB'， ∴∠C＝∠CAB'， ∴∠AB'B＝∠C＋∠CAB'＝2∠C， ∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'， ∴∠C＝∠C'，AB＝AB'， ∴∠B＝∠AB'B＝2∠C， ∵∠B＋∠C＋∠CAB＝180°， ∴3∠C＝180°−117°， ∴∠C＝21°， 故答案为：21°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明出∠B＝2∠C是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，是边上一动点．将沿折叠，点落在处，交于点，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠问题、垂线段最短等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先运用勾股定理求得，根据折叠的性质可得，根据题意得出当时，最小，最大；运用面积法求出，然后作差求得即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， 根据折叠可知，，则， ∴当最小时，最大， ∵垂线段最短， ∴时，最小， 当时，， ∴此时，， ∴此时． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、整式的混合运算． （1）根据算术平方根的定义、立方根的定义，可得：原式，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据完全平方公式和多项式乘多项式的法则把整式展开，可得：原式，再去括号、合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） （1）求摆针摆动的周期． （2）如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】（1） （2）该座钟大约发出了420次滴答声 【解析】 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，； 【小问2详解】 （次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 18. 如图，点是长方形的边上的一点，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点，连接，求证：． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 证明：如图所示， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 习总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动，热爱创造”．某校为促进学生全面发展，健康成长，计划在校园内利用一块四边形空地（如图四边形）建造一个劳动实践基地，已知，，，，． （1）求证：； （2）求这块四边形空地的面积． 【答案】（1） （2）这块四边形空地的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积等知识点，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）如图：连接，由勾股定理可得， 再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可证明结论； （2）根据列式计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图：连接， 在中，，，， ， ，，， ， 为直角三角形，. 【小问2详解】 解：在中，，，在中，，， ， ∴这块四边形空地的面积为． 20. 北斗卫星导航系统在航海中可以为船舶提供精准的位置、速度和方向信息，有助于提高航行效率，减少航行时间和燃料消耗，一艘货轮在北斗卫星导航系统的精确导航下在海上以每小时海里的速度沿南偏西40°的方向航行，已知货轮在处时，测得灯塔在其北偏西的方向上，航行小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏西的方向上，求货轮到达处时与灯塔的距离． 【答案】货轮到达处时与灯塔的距离为海里． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定和性质，方向角，理解题意是解决本题的关键． 根据题意得出，进而根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵由题意，得， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴（海里）． 答：货轮到达处时与灯塔的距离为海里． 21. 如图，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的处，折痕为．已知，． （1）判断的形状，并说明你的结论； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 是直角三角形． 证明：∵， ∴， 由折叠可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）． 【解析】 【分析】()是直角三角形．由易得，再根据等腰三角形的性质以及折叠的性质可得，得到，即可求证； ()设，则，由折叠的性质可得，，结合()，在中，利用勾股定理求解即可获得答案； 本题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴ 设，则， 在中，∵， ∴， ∴， 解得， 即． 22. 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系． （1）观察图1和图2，请直接写出它们能解释的乘法公式． ①图1：________________________________________________； ②图2：________________________________________________． （2）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其他的等量关系． 请你利用图3来证明勾股定理，即． （3）如图4，将图3中的两个三角形进行图形变换后，若，，求图4中阴影部分的面积． 【答案】（1）①，②； （2） 证明：图3大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 所以，即， 整理得：． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、勾股定理的证明以及应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （2）在图4中，图3大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即，然后整理化简即可解答； （3）先用勾股定理求得，即，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：①， ②． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ， ． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）应用：把绕点在平面内自由旋转，若，当三点在同一直线上时，则的长是______． 【答案】（1）， （2） 成立，理由： 由旋转知，， ，， ， ，， 如图2，与的交点记作点，与的交点记作点， ， ， ， ， ， ， ； （3）7或17 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，，在做差，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，，与的交点记作点，与的交点记作点，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点在线段上时，过点作于，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点在线段的延长线上时，过点作于，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【小问1详解】 解： 和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， 点在上，点在上，且， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点在线段上时，如图3， 过点作于， 时等腰直角三角形，且， ， 在中，， 根据勾股定理得，， ； ②当点在线段的延长线上时，如图4， 过点作于， 时等腰直角三角形，且， ， 在中，， 根据勾股定理得，， ； 综上，的长为7或17， 故答案为：7或17． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $