专题01 有理数全章20种题型复习（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材华东师大版

专题01 有理数 题型1 正数和负数的概念 题型11 倒数 题型2 具有相反意义的量及其表示方法 题型12 有理数的加减混合运算（重点） 题型3 有理数的概念及分类 题型13 有理数的乘除混合运算（重点） 题型4 数轴的概念与画法 题型14 有理数的乘方（重点） 题型5 用数轴上的点表示有理数（重点） 题型15 有理数的混合运算（常考易错点） 题型6 在数轴上求两点间距离（难点） 题型16 有理数的综合应用（常考点） 题型7 相反数的概念、性质与化简（重点） 题型17 近似数 题型8 数轴的规律探究（难点） 题型18 巧用运算律进行计算（重难点) 题型9 绝对值的定义、性质与化简（重点） 题型19 有理数的规律探究（重难点） 题型10 比较有理数的大小（难点） 题型20 新定义类问题（常考点） 题型1 正数和负数的概念（共3小题） 1．（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列各数是负数的是（　　） A．2 B． C． D．2.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了负数的识别，小于0的数叫做负数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，四个数中只有是负数， 故选：C． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）在下列各数中，负数有（   ） ，0，，，，，2024 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查负数的定义，掌握负数的定义是解题的关键．根据负数的定义（小于零的数），逐一判断每个数是否为负数即可． 【详解】解：负数是指小于零的数， 在给定的数中：，是负数； ，不是负数； ，不是负数； ，是负数； ，是负数； ，不是负数； ，不是负数； 负数有3个：， ，， 故选：C． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了正负数的意义，解决本题的关键是掌握正负数的相关概念．根据正负数的意义逐一判断即可． 【详解】解：①0既不是正数也不是负数，因此0不是最小的正数，故①错误； ②任意一个正数，前面加一个“”号，表示它的相反数，是负数，故②正确； ③大于0的数是正数，这是正数的定义，故③正确； ④字母a可以表示正数或负数，但不能同时既是正数又是负数，故④错误． ∴正确的说法有②③． 故答案为：②③． 题型2 具有相反意义的量及其表示方法（共3小题） 4．（25-26七年级上·全国·期末）如果温度上升，记作，那么温度下降记作______． 【答案】 【分析】此题考查了正负数来表示具有意义相反的两种量：上升记为正，则下降就记为负，据此求解即可． 【详解】解：∵温度上升，记作， ∴温度下降记作． 故答案为：． 5．（25-26六年级上·上海虹口·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，正负数的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 盈利记为正数，则亏损记为负数． 【详解】解：∵盈利元记作元， 盈利记为正，则亏损用负数表示， ∴亏损元记作元， 故选：B． 6．（25-26六年级上·山东淄博·期中）下面各组量中，不具有相反意义的是（   ） A．进3个球和输3场比赛 B．浪费1吨水和节约2吨水 C．盈利400元和亏损300元 D．增长和减少 【答案】A 【分析】本题考查相反意义的量的概念．相反意义的量是指表示相反方向变化的量，如增加与减少、收入与支出等．选项A中的“进3个球”和“输3场比赛”不是同一类量，且不构成直接相反意义；而选项B、C、D中的量均具有明显相反意义． 【详解】解：∵ 相反意义的量需满足方向相反，如正负对应． 选项A：“进球”指得分增加，“输比赛”指比赛结果失败，二者概念不同，无直接相反关系； 选项B：“浪费”与“节约”行为相反； 选项C：“盈利”与“亏损”状态相反； 选项D：“增长”与“减少”趋势相反． ∴ 不具有相反意义的是选项A． 故选：A． 题型3 有理数的概念及分类（共3小题） 7．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）下列数，2.6，，0，15，中，负有理数的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，负数的定义，负有理数是小于0的整数和分数，据此求解即可． 【详解】解：在数，2.6，，0，15，中，负有理数有，，中，共3个， 故选：C． 8．（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，注意区分无限循环小数与无限不循环小数．根据有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而无限不循环小数是无理数，不属于有理数． 【详解】解：有理数是能表示为两个整数之比的数， ①有限小数可以写成分母为10的幂的分数，是有理数，正确； ②有理数不一定是有限小数，如无限循环小数（如）是有理数但不是有限小数，原说法错误； ③无限循环小数可以化成分数，正确； ④分数的分子除以分母必得小数（有限或无限循环），正确； ⑤无限小数包括无限不循环小数（如π），是无理数，不是有理数，原说法错误． ∴正确的有①③④，共3个． 故选：B． 9．（25-26七年级上·全国·期末）下列7个数：，，0，，3.3，，（每两个1之间依次多一个4）其中有理数有（  ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数，掌握有理数的分类是解题的关键．根据整数和分数统称为有理数，进行判断即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； （每两个1之间依次多一个4）是无限不循环小数，不属于有理数； 则有理数共有5个． 故选：C． 题型4 数轴的概念与画法（共3小题） 10．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 11．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查数轴的定义，有理数与数轴，根据数轴的定义，以及用数轴表示有理数逐一进行判断即可． 【详解】解：规定了原点、单位长度，正方向的直线是数轴；故①说法错误； 数轴上两个不同的点不能表示同一个有理数；故②说法错误； 有理数在数轴上能表示出来；故③说法错误； 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点；故④说法正确； 故选A． 12．（24-25七年级上·全国·期末）下列选项中，能正确表示数轴的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的是数轴，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：A、此数轴无正方向，本选项不符合题意； B、此数轴无原点，本选项不符合题意； C、此数轴表示正确，本选项符合题意； D、此数轴单位标注错误，本选项不符合题意； 故选：C． 题型5 用数轴上的点表示有理数（共3小题） 13．（25-26七年级上·重庆渝北·月考）如图，数轴上有四点A、B、C、D，其中表示有理数的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【分析】本题考查数轴与有理数，根据表示有理数的点在表示和表示的点中间进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴表示有理数的点在表示和表示的点中间； 故表示有理数的点是A点； 故选A． 14．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在数轴上，与表示和5的点距离相等的点所表示的数为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的中点问题． 求数轴上与两点距离相等的点，即求两点中点． 【详解】解：在数轴上，与表示和5的点距离相等的点所表示的数为． 故选：C． 15．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，嘉嘉借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，由图可得刻度尺上的cm对应数轴1个单位长度，点A在原点O的左侧5个单位长度处，即可得点A对应的实数． 【详解】解：观察数轴图可得，O为原点，刻度尺上的cm对应数轴1个单位长度，点A在原点O的左侧5个单位长度处， ∴数轴上点A对应的实数为． 故答案为：． 题型6 在数轴上求两点间距离（共3小题） 16．（25-26七年级上·北京·期中）已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为3，则点表示的数为___． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点之间距离求法、数轴上的点表示有理数等知识，由数轴上点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离，计算即可得到答案．掌握数轴上两点之间距离的求法是解决问题的关键． 【详解】解：已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为3，则点表示的数为或， 故答案为：或． 17．（25-26七年级上·山东济南·期中）A，B均为数轴上的点，且点A表示的数为5，若，则点B表示的数为______． 【答案】12或 【分析】本题考查两点间的距离，根据数轴上两点间距离的定义，点B可能在点A的右侧或左侧，分别计算即可． 【详解】解：点A表示的数为5，表示点A与点B之间的距离为7个单位． 若点B在点A右侧，则点B表示的数为； 若点B在点A左侧，则点B表示的数为． 故点B表示的数为12或； 故答案为：12或． 18．（24-25七年级上·贵州·期末）在数轴上与相距3个单位长度的点对应的数是____________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离计算，解题的关键是考虑所求点在已知点左侧和右侧两种情况． 在数轴上，与一个点相距一定单位长度的点有两个，分别在该点的左侧和右侧；计算左侧的点时用已知数减去距离，计算右侧的点时用已知数加上距离． 【详解】解：设在数轴上与相距3个单位长度的点对应的数是x． 则，即． 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：和． 题型7 相反数的概念、性质与化简（共3小题） 19．（25-26七年级上·湖北十堰·期末）的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，解题关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，一个数的相反数是只有符号不同的数. 【详解】解∶的相反数是， 故选：A． 20．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）的相反数是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，解题关键是掌握相反数的定义进行求解． 根据相反数的定义求解． 【详解】解：与4只有符号不同，它们互为相反数， 所以的相反数是4， 故选：B． 21．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）可以表示一个数的相反数，这个数是（   ） A． B． C． D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，先计算的值，再根据相反数的定义求解． 【详解】解：∵，且2025表示一个数的相反数， ∴这个数为． 故选：B． 题型8 数轴的规律探究（共3小题） 22．（25-26七年级上·天津南开·期中）（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 【答案】（1）①这根木棒的长为7；②；（2）①；②， 【分析】本题考查了一个线段模型的运用，数轴上两点的距离，有理数的加减法和除法，解题的关键在于运用材料的解题模型去求解奶奶与小明的年龄差，进而求出奶奶的年龄和小明的年龄． （1）①最大数减去最小数，再除以3即可；②依次加7即可解答； （2）①；②用减去得到奶奶年龄，再减55即可得到小明年龄． 【详解】解：（1）①，， 这根木棒的长为7； ②图中点所表示的数是：，点所表示的数是：， 故答案为：； （2）①奶奶和小明的年龄差为：（岁）， ②奶奶现在的年龄：（岁），小明现在的年龄：（岁）． 故答案为：，． 23．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 24．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 【答案】或/1112或1115 【分析】本题考查了数轴上的动点问题．根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 题型9 绝对值的定义、性质与化简（共3小题） 25．（25-26七年级上·四川资阳·期中）在 ，， ， 0 ， 中，负数的个数有 （   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了负数的定义，绝对值的化简； 先化简各数，再根据负数的定义进行判断． 【详解】解：∵，， ∴，是负数，有2个， 故选：A． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法：①4的绝对值是4；②的绝对值是4；③绝对值等于4的数是4或；④绝对值最小的有理数是0．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义，绝对值的非负性判断解答即可． 本题考查了绝对值的意义，非负性，熟练掌握意义和性质是解题的关键． 【详解】解：①4的绝对值是4，正确，符合题意； ②的绝对值是4，正确，符合题意； ③绝对值等于4的数是4或，正确，符合题意； ④绝对值最小的有理数是0，正确，符合题意． 四个都正确， 故选：D． 27．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 先根据，得到p与q的值，然后结合，选取满足条件的p，q的值，分别计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴当时，； 当时，； ∴的值为10或． 故选：C． 题型10 比较有理数的大小（共3小题） 28．（25-26七年级上·全国·期末）北京、上海、广州、宜昌这四个城市某一时刻的气温分别为，，，，则这四个城市在这一时刻气温最低的是_______． 【答案】北京 【分析】本题考查了有理数的大小比较，会比较多个有理数（含负数）的大小是解题的关键． 比较四个气温数值的大小，找出最小值即可得出． 【详解】解：∵， ∴这四个城市在这一时刻气温最低的是北京． 故答案为：北京． 29．（20-21七年级上·江苏泰州·月考）比较大小：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较：比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵，， 通分后，， ∴， ∴． 故答案为：． 30．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）比较大小：________． 【答案】 【分析】本题考查负数的比较大小，掌握负数比较大小的方法是解题的关键． 两个负数比较大小时，需要先比较它们的绝对值，绝对值较大的负数反而较小． 【详解】将进行通分得， 比较 和， 由于， 所以， 即， 故答案为：． 题型11 倒数（共3小题） 31．（25-26七年级上·江苏南京·期末）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，一个数a的倒数是（）． 根据倒数的定义作答即可． 【详解】解：的倒数为， 故选：C． 32．（25-26六年级上·上海·期末）某数的倒数的相反数是，这个数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义、倒数的定义、绝对值的定义． 先求出的值，再根据相反数的定义、倒数的定义逐步倒推即可． 【详解】解：， 某数的倒数的相反数是，则某数的倒数是， 某数的倒数是，则这个数是． 故选：C． 33.（24-25七年级上·吉林·期末）用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算：______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了新定义运算中的规律探究，熟练掌握从已知运算中总结对应规律并代入计算是解题的关键．先从已知运算结果中总结出正整数和分数对应的运算规律，再代入计算和，最后求差值． 【详解】解： 对于正整数，， ∴ ． ∵ 对于的整数，有” ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 题型12 有理数的加减混合运算（共3小题） 34．（25-26七年级上·天津南开·期中）计算的结果为________． 【答案】7 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：7． 35．（25-26七年级上·全国·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用有理数的加减法则，绝对值的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 36．（24-25六年级上·上海金山·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先观察式子，把减法化为加法，再整理得，然后运算括号内，最后运算加法，即可作答． 【详解】解： 题型13 有理数的乘除混合运算（共3小题） 37．（25-26七年级上·广东湛江·期中）计算： 【答案】7 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，约分化简，即可得出结果． 【详解】解：原式． 38．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）计算：得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键;将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，最后约分简化． 【详解】解：， 故选：B． 39．（25-26七年级上·河南南阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则（包括符号规则和运算顺序）进行验证，只有选项B的计算正确． 【详解】解：A： ， ， ，故A错误； B：，，故B正确； C：， ，故C错误； D：，，故D错误， 故选：B． 题型14 有理数的乘方（共3小题） 40．（25-26七年级上·江西抚州·月考）下列各组运算中，结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，化简绝对值与多重符号，分别计算各数即可求解． 【详解】解：A. 与相等，故该选项符合题意； B. 与不相等，故该选项不符合题意；     C. 与不相等，故该选项不符合题意； D. 与不相等，故该选项不符合题意； 故选：A． 41．（2026·江苏连云港·模拟预测）近年来，中国铁路快速发展，截至2024年底，全国铁路营业里程已突破16万千米，其中高铁营业里程约4.8万千米．中国国家铁路集团有限公司发布的最新数据显示，在为期40天的2024年铁路春运中，全国铁路累计发送旅客5.1亿人次．将数据5.1亿用科学记数法表示为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法要求形式为，其中，n为整数，5.1亿即． 【详解】1亿=， 亿=． 亿用科学记数法表示为． 故选B． 42．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理_______个基本数据单元．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．根据芯片处理一个基本数据单元的时间，计算一秒内处理的数量，需用总时间除以每个单元的时间，并将结果用科学记数法表示，即可作答． 【详解】解：∵处理一个基本数据单元的时间为纳秒，已知一纳秒等于秒， 因此处理一个单元的时间为秒， 设一秒内处理的基本数据单元个数为n， 则． 故答案为：． 题型15 有理数的混合运算（共3小题） 43．（25-26七年级上·福建泉州·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，先计算小括号内的减法，再计算乘方，接着计算除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 44．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，先算乘方，再算除法，最后算加减即可． 【详解】解：原式 ． 45．（25-26七年级上·河南南阳·期中）计算： 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可 【详解】解： . ． 题型16 有理数的综合应用（共3小题） 46．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某市规定：每户居民每月用水不超过15立方米，按每立方米元收费，超过15立方米，则超过部分按每立方米元收费．小明家六月份实际用水19立方米，则小明家六月份应交水费___________元． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．根据水费规定，用水量超过15立方米时，水费由两部分组成：前15立方米按基本单价收费，超过部分按更高单价收费，进行列式计算即可． 【详解】解：小明家六月份应交水费： （元）． 故答案为：． 47．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况超产为正，减产为负： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产_______辆． (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_______辆． (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车可得元，若超额完成任务则超出部分每辆另奖元；若未完成任务，则以计划任务量为基准，每少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)601 (2)23 (3)84075元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数四则运算的应用，理解题意是关键； （1）前三天计划生产600辆，根据增减记录求和得到实际增减量，相加得实际产量； （2）比较每天增减记录，最大值与最小值之差即为多生产量； （3）计算一周增减总和得实际产量，根据超额情况计算工资，包括基本工资和奖励． 【详解】（1）解：前三天计划生产（辆）， 增减记录为，总和为（辆）， ∴前三天共生产（辆）， 故答案为：601； （2）解：产量最多的一天增减为，产量最少的一天增减为， ∴多生产（辆）； 故答案为：23； （3）解：一周增减总和为（辆）， 实际生产（辆）． ∵实际生产1401辆，计划1400辆， ∴超额1辆，工资总额为（元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是84075元． 48．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）随着电商的兴起，很多农产品实行了网上售卖，小明把自家种植的山药也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤山药，但由于种种原因，实际每天的销量与100斤相比有出入，下表是某一周的销售情况（超过100斤的部分记为正，不足100斤的部分记为负．单位：斤）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量（斤） (1)根据记录的数据，销量最多的一天比销量最少的一天多卖出_斤； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由； (3)若小明每斤山药种植成本为3元，山药网上每斤按10元出售，每斤山药需要小明支付的平均运费是3元，那么小明本周销售山药纯收入多少元？ 【答案】(1) (2)本周实际销量达到了计划数量，见解析 (3)小明本周纯收入元 【分析】本题主要考查正数和负数的加减运算，有理数混合运算的应用． （1）根据最大正数和最小负数的差值得出结论即可； （2）根据所有差值的和的正负来判断即可； （3）根据单价减去运费和成本，再乘以销量得出纯收入即可． 【详解】（1）解：（斤）， 故答案为：29； （2）解：本周实际销量达到了计划数量． 因为， 所以本周实际销量达到了计划数量； （3）解： （元）． 答：小明本周纯收入元． 题型17 近似数（共3小题） 49．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）用四舍五入将数精确到十分位为_______． 【答案】 【分析】本题考查近似数． 对百分位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入将数精确到十分位为． 故答案为：． 50．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）下列说法错误的是（   ） A．0．814精确到个位为1 B．18.04精确到0.1为18.0 C．6．4万精确到了百分位 D．356700精确到千位为 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断，需根据各选项的数值单位及精确位数逐一分析． 【详解】解：A、0.814精确到个位为1，正确，不符合题意； B、18.04精确到0.1为18.0，正确，不符合题意； C、6．4万即64000，精确到了千位，不是百分位，原说法错误，符合题意； D、356700精确到千位为，正确，不符合题意； 故选C． 51．（25-26七年级上·海南·期中）下列近似数的叙述不正确的是（    ） A．0．013精确到千分位 B．1008精确到个位 C．2．7万精确到万位 D．精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数的精确度“精确度表示一个近似数与准确数的接近程度．一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”，熟记近似数的精确度的定义是解题关键．根据近似数的精确度的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、的最后一位数字3在千分位，则精确到千分位，则此项正确，不符合题意； B、1008的最后一位数字8在个位，则1008精确到个位，则此项正确，不符合题意； C、万，数字7在千位，则万精确到千位，则此项错误，符合题意； D、，数字4在千位，则精确到千位，则此项正确，不符合题意； 故选：C． 题型18 巧用运算律进行计算（共3小题） 52．（25-26七年级上·四川广元·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算和利用运算律简便计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先把除法统一成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）先把改写成，再按乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 53．（25-26七年级上·湖南湘潭·月考）计算下列各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）将分母相同的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解； （2）逆用乘法运算律简算即可； （3）根据去括号法则先去掉括号，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 54．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型19 有理数的规律探究（共3小题） 55．（25-26七年级上·山东日照·期中）观察下面两行数，并按规律填空： ①，，，，，，······ ②，，，，，，······ 请你取每行数的第个数，计算这两个数的和是______． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，第一行中的第个数为，所以第个数为，第二行中的第个数为，所以第个数为． 【详解】第一行中的第个数为，所以第个数为， 第二行中的第个数为，所以第个数为， 所以两个数的和为． 故答案为： 56．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【答案】 11 15 【分析】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． （1）根据所给等式两边数字变化规律可得答案； （2）根据所给等式两边数字变化规律列出等式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 57．（25-26七年级上·福建莆田·期中）观察下列三行数，并完成后面的问题： ①，…； ②，…； ③，… (1)思考第①行数的规律，写出第n个数______； (2)设x，y，z分别表示第①、②、③行数的第10个数字，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了数字变化规律，含乘方的有理数的混合运算，代数式求值，观察得出每行之间的关系是解题的关键． （1）利用数字的排列规律得到第①行数的第n个数字为，即可解答； （2）先找到各行的规律，继而求出①的第10个数字为、②的第10个数字为、③的第10个数字为，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵①； ②，，； ③， ∴①的第10个数字为、②的第10个数字为、③的第10个数字为， ∴，， ∴ ． 题型20 新定义类问题（共3小题） 58．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在有理数范围内，定义一种新运算“”：，例如：，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键，根据新运算的法则列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 59．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）对于任意的有理数a、b，定义一种新运算：，例如，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键．根据新运算的定义，先计算括号内的运算，再计算运算． 【详解】解：∵新运算： ∴， ∴ ． 故答案为：． 60．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解定义的新运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）先求出，再列出算式求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 题型1 正数和负数的概念 题型11 倒数 题型2 具有相反意义的量及其表示方法 题型12 有理数的加减混合运算（重点） 题型3 有理数的概念及分类 题型13 有理数的乘除混合运算（重点） 题型4 数轴的概念与画法 题型14 有理数的乘方（重点） 题型5 用数轴上的点表示有理数（重点） 题型15 有理数的混合运算（常考易错点） 题型6 在数轴上求两点间距离（难点） 题型16 有理数的综合应用（常考点） 题型7 相反数的概念、性质与化简（重点） 题型17 近似数 题型8 数轴的规律探究（难点） 题型18 巧用运算律进行计算（重难点) 题型9 绝对值的定义、性质与化简（重点） 题型19 有理数的规律探究（重难点） 题型10 比较有理数的大小（难点） 题型20 新定义类问题（常考点） 题型1 正数和负数的概念（共3小题） 1．（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列各数是负数的是（　　） A．2 B． C． D．2.5 2．（2025七年级上·全国·专题练习）在下列各数中，负数有（   ） ，0，，，，，2024 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 题型2 具有相反意义的量及其表示方法（共3小题） 4．（25-26七年级上·全国·期末）如果温度上升，记作，那么温度下降记作______． 5．（25-26六年级上·上海虹口·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．（25-26六年级上·山东淄博·期中）下面各组量中，不具有相反意义的是（   ） A．进3个球和输3场比赛 B．浪费1吨水和节约2吨水 C．盈利400元和亏损300元 D．增长和减少 题型3 有理数的概念及分类（共3小题） 7．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）下列数，2.6，，0，15，中，负有理数的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（25-26七年级上·全国·期末）下列7个数：，，0，，3.3，，（每两个1之间依次多一个4）其中有理数有（  ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 题型4 数轴的概念与画法（共3小题） 10．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 12．（24-25七年级上·全国·期末）下列选项中，能正确表示数轴的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型5 用数轴上的点表示有理数（共3小题） 13．（25-26七年级上·重庆渝北·月考）如图，数轴上有四点A、B、C、D，其中表示有理数的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 14．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在数轴上，与表示和5的点距离相等的点所表示的数为（    ） A． B．0 C．1 D．2 15．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，嘉嘉借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为_______． 题型6 在数轴上求两点间距离（共3小题） 16．（25-26七年级上·北京·期中）已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为3，则点表示的数为___． 17．（25-26七年级上·山东济南·期中）A，B均为数轴上的点，且点A表示的数为5，若，则点B表示的数为______． 18．（24-25七年级上·贵州·期末）在数轴上与相距3个单位长度的点对应的数是____________． 题型7 相反数的概念、性质与化简（共3小题） 19．（25-26七年级上·湖北十堰·期末）的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 20．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）的相反数是（   ） A． B．4 C． D． 21．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）可以表示一个数的相反数，这个数是（   ） A． B． C． D．2025 题型8 数轴的规律探究（共3小题） 22．（25-26七年级上·天津南开·期中）（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 23．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 24．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 题型9 绝对值的定义、性质与化简（共3小题） 25．（25-26七年级上·四川资阳·期中）在 ，， ， 0 ， 中，负数的个数有 （   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法：①4的绝对值是4；②的绝对值是4；③绝对值等于4的数是4或；④绝对值最小的有理数是0．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 题型10 比较有理数的大小（共3小题） 28．（25-26七年级上·全国·期末）北京、上海、广州、宜昌这四个城市某一时刻的气温分别为，，，，则这四个城市在这一时刻气温最低的是_______． 29．（20-21七年级上·江苏泰州·月考）比较大小：______． 30．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）比较大小：________． 题型11 倒数（共3小题） 31．（25-26七年级上·江苏南京·期末）的倒数是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26六年级上·上海·期末）某数的倒数的相反数是，这个数是（    ） A．2026 B． C． D． 33.（24-25七年级上·吉林·期末）用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算：______． 题型12 有理数的加减混合运算（共3小题） 34．（25-26七年级上·天津南开·期中）计算的结果为________． 35．（25-26七年级上·全国·期末）计算：． 36．（24-25六年级上·上海金山·期末）计算：． 题型13 有理数的乘除混合运算（共3小题） 37．（25-26七年级上·广东湛江·期中）计算： 38．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）计算：得（    ） A． B． C． D． 39．（25-26七年级上·河南南阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型14 有理数的乘方（共3小题） 40．（25-26七年级上·江西抚州·月考）下列各组运算中，结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 41．（2026·江苏连云港·模拟预测）近年来，中国铁路快速发展，截至2024年底，全国铁路营业里程已突破16万千米，其中高铁营业里程约4.8万千米．中国国家铁路集团有限公司发布的最新数据显示，在为期40天的2024年铁路春运中，全国铁路累计发送旅客5.1亿人次．将数据5.1亿用科学记数法表示为 （    ） A． B． C． D． 42．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理_______个基本数据单元．（用科学记数法表示） 题型15 有理数的混合运算（共3小题） 43．（25-26七年级上·福建泉州·月考）计算： 44．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）计算：． 45．（25-26七年级上·河南南阳·期中）计算： 题型16 有理数的综合应用（共3小题） 46．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某市规定：每户居民每月用水不超过15立方米，按每立方米元收费，超过15立方米，则超过部分按每立方米元收费．小明家六月份实际用水19立方米，则小明家六月份应交水费___________元． 47．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况超产为正，减产为负： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产_______辆． (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_______辆． (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车可得元，若超额完成任务则超出部分每辆另奖元；若未完成任务，则以计划任务量为基准，每少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 48．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）随着电商的兴起，很多农产品实行了网上售卖，小明把自家种植的山药也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤山药，但由于种种原因，实际每天的销量与100斤相比有出入，下表是某一周的销售情况（超过100斤的部分记为正，不足100斤的部分记为负．单位：斤）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量（斤） (1)根据记录的数据，销量最多的一天比销量最少的一天多卖出_斤； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由； (3)若小明每斤山药种植成本为3元，山药网上每斤按10元出售，每斤山药需要小明支付的平均运费是3元，那么小明本周销售山药纯收入多少元？ 题型17 近似数（共3小题） 49．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）用四舍五入将数精确到十分位为_______． 50．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）下列说法错误的是（   ） A．0．814精确到个位为1 B．18.04精确到0.1为18.0 C．6．4万精确到了百分位 D．356700精确到千位为 51．（25-26七年级上·海南·期中）下列近似数的叙述不正确的是（    ） A．0．013精确到千分位 B．1008精确到个位 C．2．7万精确到万位 D．精确到千位 题型18 巧用运算律进行计算（共3小题） 52．（25-26七年级上·四川广元·月考）计算： (1)； (2)． 53．（25-26七年级上·湖南湘潭·月考）计算下列各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) 54．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 题型19 有理数的规律探究（共3小题） 55．（25-26七年级上·山东日照·期中）观察下面两行数，并按规律填空： ①，，，，，，······ ②，，，，，，······ 请你取每行数的第个数，计算这两个数的和是______． 56．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 57．（25-26七年级上·福建莆田·期中）观察下列三行数，并完成后面的问题： ①，…； ②，…； ③，… (1)思考第①行数的规律，写出第n个数______； (2)设x，y，z分别表示第①、②、③行数的第10个数字，求的值． 题型20 新定义类问题（共3小题） 58．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在有理数范围内，定义一种新运算“”：，例如：，则 __________． 59．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）对于任意的有理数a、b，定义一种新运算：，例如，则的值为______． 60．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $