专题03 实数+二次根式（期末复习讲义，知识必备+24大重难题型+过关验收）八年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学复习讲义通过表格对比、分层梳理构建实数与二次根式知识体系，涵盖平方根、算术平方根、立方根等核心考点，用对比表格明晰概念区别联系，以知识点框架呈现脉络，突出非负性、运算性质等重难点分布。 讲义亮点在于“题型+技巧”双轨设计，24类题型含概念理解、规律探索、实际应用等，如无理数整数部分计算培养抽象能力，二次根式混合运算强化运算能力。分层练习支持不同学生提升，教师可精准教学，助力学生用数学思维解决问题。

专题03 实数+二次根式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 算术平方根 掌握算术平方根的概念，知道算术平方根的表示 一般出现在小题和计算题中 算术平方根的非负性 掌握算术平方根的非负性，能根据算术平方根的非负性求出取值范围 一般出现在小题中 立方根 掌握立方根的相关概念 一般出现在计算题中 平方根、立方根的实际应用 平方根、立方根的实际应用问题，要学会根据实际情况列出关系式 一般出现在应用题中，要注意结果符合实际情况 平方根、立方根的规律探究 掌握平方根、立方根的规律探究，能清楚分辨出两者的规律与区别 一般出现在大题中，属于较难题型 无理数 掌握无理数的相关概念 一般出现在小题中，题型不难 无理数的整数部分与小数部分 能根据无理数的概念找出无理数的整数部分和小数部分 一般出现在解答题中，难度中等，要注意小数部分的表示方法 实数 掌握实数的相关概念 一般出现在小题中，不难 实数的大小比较 掌握实数的大小比较方法 一般出现在小题中，运用实数的大小比较方法 近似数 掌握近似数的相关概念，了解准确数概念，熟练掌握精确度的概念 一般出现在小题中，要注意精确的数位 二次根式相关概念 掌握二次根式的概念及求值，理解二次根式有意义的条件 一般出现在小题中，注意有意义的条件 二次根式化简 掌握二次根式的化简问题 一般出现在解答题中 二次根式混合运算 掌握二次根式的混合运算 一般出现在解答题中，主要以计算题为主 最简二次根式与同类二次根式 掌握同类二次根式的基本概念，掌握同类二次根式的基本概念 一般出现在小题中 分母有理化 掌握分母有理化的计算公式 一般出现在解答题中 二次根式的化简求值 掌握二次根式的化简求值问题 一般出现在解答题中 比较二次根式的大小 掌握二次根式的大小比较问题 一般出现在小题中 二次根式的应用 掌握二次根式的实际应用 一般出现在解答题中 知识点01 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 ； 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 知识点02 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 3.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. 知识点03 立方根 一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 知识点04 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 知识点05 实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数 （2）数轴比较法 （3）法则比较法 （4）作差比较法 （5）作商比较法 （6）倒数比较法 （7）平方比较法 知识点06 近似数 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 知识点07 二次根式 二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点08 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 4.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 5.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 6.分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 题型一 算术平方根、平方根的概念理解 解｜题｜技｜巧 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 1．下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 2．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 3．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 4．一个正实数的两个平方根分别是和，求这个正数． 题型二 求算术平方根 解｜题｜技｜巧 正数和零有算术平方根，负数没有算术平方根；一个数的算术平方根只有一个； 5．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的算术平方根是3，则 ． 7．下列说法正确的是（   ） A．4是8的算术平方根 B．4的平方根是 C．的平方根是 D．16的算术平方根是 8．根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11 x2 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 121 (1)112.36的算术平方根是 ，118.81的平方根是 ； (2)若介于10.1与10.3之间，求满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：s）与下落高度h（单位：m）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 题型三 利用算术平方根的非负性解题 解｜题｜技｜巧 算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 9．现有、、三个有理数，，． (1)求、、的值； (2)若、、分别是三条边的长度，求出此时的周长． 10．已知正数a的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的算术平方根． 11．若，求的值． 12．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 题型四 估计算术平方根的取值范围 解｜题｜技｜巧 估计算术平方根的取值范围，可以先将原数平方，然后看看这个平方的数字在哪两个平方数之间，就可以确定算术平方根的取值范围； 13．估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 14．下表中是给定部分x的值，对应的值： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 15．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 16．利用表格中的数据计算的近似值是 （结果保留整数）． a a2 17 289 4.12 18 324 4.36 题型五 与算数平方根有关的规律探索题 解｜题｜技｜巧 算术平方根的规律问题，主要理解原数和算术平方根中的数字倍数关系，一般满足： 17．小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想： ． 18．在算术平方根的学习中，我们做过以下思考： (1)①___________；②___________；③___________． (2)①___________；②___________；③___________． (3)你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？ 19．先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ (3)试比较与的大小． 20．已知，，，因为，所以． (1)计算下列各式的值：________，________，________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________； (3)由（2）猜想：________（，）； (4)根据（3）计算：． 题型六 算术平方根的实际应用 解｜题｜技｜巧 算术平方根的实际应用问题，要列出关系式，注意要符合实际情况； 21．已知自由落体运动公式．其中，是重力加速度，取，是物体降落的时间，是物体在时间t内降落的高度．如果，那么物体降落的时间t是多少秒？（结果精确到） 22．一个正方形鱼池的边长是，另一个正方形鱼池的面积比它大．求较大鱼池的边长． 23．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值． 24．根据下表所提供的信息解答问题． 4 5 16 25 (1) 的平方根是_____． (2)物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 题型七 立方根的概念理解 解｜题｜技｜巧 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 25．下列说法正确的是 （    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的立方根是 D．没有立方根 26．下列说法，其中正确的说法是（   ） ①负数没有立方根； ②实数和数轴上的点是一一对应的： ③； ④正数的两个平方根互为相反数： ⑤任意实数都存在平方根； ⑥算术平方根等于它本身的数只有0． A．①②③ B．②③⑥ C．②④ D．④⑤ 27．下列说法正确的是 ．（填序号） ①负数没有平方根；②负数的立方根是负数；③平方根等于它本身的数是0和1． 28．已知，，，，则 ． 题型八 求立方根 解｜题｜技｜巧 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 29．若，则的立方根是 ． 30．若，则的立方根是 ． 31．已知的算术平方根是，的立方根为1，求的平方根． 32．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型九 与立方根有关的规律探索题 解｜题｜技｜巧 立方根的规律问题，主要理解原数和立方根中的数字倍数关系，一般满足： 33．（1）填表． a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填写下列空格： 已知，则______，______． 34．观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 35．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 36．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 题型十 无理数整数部分的有关计算 解｜题｜技｜巧 无理数要先判断出在哪两个整数之间，然后整数部分就是较小的那个整数，小数部分就是原数-整数； 37．已知，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 38．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，为． (1)的整数部分是______，小数部分是_______． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 39．已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 40．、、均为实数，且是的整数部分． (1)则的值为__________；的值为___________；的值为___________； (2)求的平方根． 题型十一 实数的相关概念 41．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 42．在下列各数0，，3.14，，0.731，中，无理数的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 43．下列说法正确的是（   ） A．无理数是开方开不尽的数 B．一个实数的绝对值总是正数 C．不存在绝对值最小的实数 D．实数与数轴上的点一一对应 44．下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 题型十二 实数与数轴 45．如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（　　） A． B． C． D．以上都不对 46．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 47．如图，若数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应在线段（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 48．如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则S的值可能为（    ） A． B． C． D． 题型十三 实数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1、比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； 2、数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； 3、法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； 4、作差比较法：当时，；当时，；当时，. 5、作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 6、倒数比较法：a、b为正数，若，则； 7、平方比较法：a、b为正数，若，则. 49．下列各数中最小的是（   ） A． B． C． D． 50．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形、图2是以原点为圆心、以的长方形的对角线OA长为半径画弧，与数轴相交于点B．若点B表示的数为m，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 51．比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 52．（1）过A，B两点画一条数轴，使A，B两点所表示的数互为相反数． （2）在你所画的数轴上表示下列各数：，2，，，并用“<”连接起来． ______<______<______<______． 题型十四 近似数 解｜题｜技｜巧 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 3.一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 53．下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 54．下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．38万精确到个位 D．精确到千位 55．用四舍五入法，把31485926精确到万位，取得的近似数是 （用科学记数法表示）． 56．【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 题型十五 二次根式的相关概念 解｜题｜技｜巧 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 57．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 58．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 59．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 60．下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型十六 二次根式有意义的条件 解｜题｜技｜巧 1、 如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2、如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 61．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．要使得代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 63．若，则的值为 ． 64．已知实数，满足，求的值． 题型十七 利用二次根式的性质化简 解｜题｜技｜巧 要学会根据二次根式的双重非负性化简解题； 65．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 66．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 67．已知，化简： ． 68．当时，化简： 题型十八 最简二次根式与同类二次根式 解｜题｜技｜巧 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同 类二次根式. 69．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 70．下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 71．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 72．如果最简二次根式与在二次根式加减运算中可以合并，求使有意义的x的取值范围． 题型十九 二次根式的混合运算 解｜题｜技｜巧 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件 73．计算： (1)； (2)． 74．计算： (1)； (2) 75．计算： (1)． (2)． 76．计算： (1) (2)． 题型二十 分母有理化 解｜题｜技｜巧 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分； 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分； 77．阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，， 把作为整体，得：．请运用上述方法解决下列问题： 已知，求代数式的值． 78．计算下列各式： (1)； (2)． 79．阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题： (1)由材料可知，___________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 80．阅读下列解题过程：， ，请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： 题型二十一 比较二次根式的大小 81．我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 82．设，，，则a，b，c之间的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 83．比较大小： （填“>”“<”或“=”） 84．比较大小：（1） ，（2） ．（填“”，“”或“”） 题型二十二 二次根式的化简求值 85．先化简再求值：，其中． 86．已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 87．化简求值：，其中， 88．已知，． (1)_____，_____． (2)求代数式的值． 题型二十三 二次根式的应用 89．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 90．根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 91．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 92．海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为，，，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）． 已知的三边长分别为，，；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积，并说说你选择的理由． 题型二十四 二次根式的新定义运算 89．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 90．根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 91．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 92．海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为，，，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）． 已知的三边长分别为，，；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积，并说说你选择的理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·期末）是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北·期末）下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．3是9的算术平方根 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北·期末）计算： ． 6．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）用四舍五入法对取近似值，精确到百分位是 ． 7．（24-25八年级上·河北邢台·期末） 8．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 9．（24-25八年级下·广东珠海·期末）计算：． 10．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ① ② ③ (1)指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）． (2)请写出正确的解题过程． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）在，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数有（    ）个． A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·河北保定·期末）一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·河北唐山·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·河北·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）已知：，那么 ． 16．（24-25八年级上·河北·期末）已知实数满足，则代数式的值为 ． 17．（25-26七年级上·山东泰安·期末）设实数的整数部分为a，小数部分为b，则 18．已知，则= 19．（25-26八年级上·云南昆明·期末）先化简，再求值：，其中． 20．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·湖南·期末）有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中假命题有(   ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 23．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 24．如图，从一个大正方形中裁去面积为和48 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 25．（24-25八年级上·河北唐山·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 26．（24-25八年级上·河北·期末）已知，为实数，，则的平方根是 ． 27．24-25八年级上·河北邢台·期末）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 28．（24-25八年级上·河北·期末）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 29．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）；    （2） （2）验证：； (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：； (2)通过上述探究你能猜测出：（n为自然数，且），并验证你的结论． 30．（24-25八年级上·四川广安·期末）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式这个过程称为分母有理化，例如： ；． (1)请根据以上方法进行分母有理化： ①_______；②_______；③_______； (2)计算： 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数+二次根式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 算术平方根 掌握算术平方根的概念，知道算术平方根的表示 一般出现在小题和计算题中 算术平方根的非负性 掌握算术平方根的非负性，能根据算术平方根的非负性求出取值范围 一般出现在小题中 立方根 掌握立方根的相关概念 一般出现在计算题中 平方根、立方根的实际应用 平方根、立方根的实际应用问题，要学会根据实际情况列出关系式 一般出现在应用题中，要注意结果符合实际情况 平方根、立方根的规律探究 掌握平方根、立方根的规律探究，能清楚分辨出两者的规律与区别 一般出现在大题中，属于较难题型 无理数 掌握无理数的相关概念 一般出现在小题中，题型不难 无理数的整数部分与小数部分 能根据无理数的概念找出无理数的整数部分和小数部分 一般出现在解答题中，难度中等，要注意小数部分的表示方法 实数 掌握实数的相关概念 一般出现在小题中，不难 实数的大小比较 掌握实数的大小比较方法 一般出现在小题中，运用实数的大小比较方法 近似数 掌握近似数的相关概念，了解准确数概念，熟练掌握精确度的概念 一般出现在小题中，要注意精确的数位 二次根式相关概念 掌握二次根式的概念及求值，理解二次根式有意义的条件 一般出现在小题中，注意有意义的条件 二次根式化简 掌握二次根式的化简问题 一般出现在解答题中 二次根式混合运算 掌握二次根式的混合运算 一般出现在解答题中，主要以计算题为主 最简二次根式与同类二次根式 掌握同类二次根式的基本概念，掌握同类二次根式的基本概念 一般出现在小题中 分母有理化 掌握分母有理化的计算公式 一般出现在解答题中 二次根式的化简求值 掌握二次根式的化简求值问题 一般出现在解答题中 比较二次根式的大小 掌握二次根式的大小比较问题 一般出现在小题中 二次根式的应用 掌握二次根式的实际应用 一般出现在解答题中 知识点01 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 ； 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 知识点02 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 3.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. 知识点03 立方根 一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 知识点04 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 知识点05 实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数 （2）数轴比较法 （3）法则比较法 （4）作差比较法 （5）作商比较法 （6）倒数比较法 （7）平方比较法 知识点06 近似数 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 知识点07 二次根式 二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点08 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 4.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 5.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 6.分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 题型一 算术平方根、平方根的概念理解 解｜题｜技｜巧 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 1．下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 【答案】D 【分析】本题考查平方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 利用平方根的概念，正数的平方根有两个，互为相反数，逐一判断即可. 【详解】A、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； B、∵ 且，∴ 的平方根是，说法正确，不符合题意； C、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； D、∵ ，，∴ 的平方根是，说法错误，符合题意． 故选：D． 2．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是明确负数没有平方根，一个正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：A、负数没有平方根，无平方根，此选项不符合题意； B、，的平方根是，此选项不符合题意； C、，故是的平方根，此选项符合题意； D、的平方根是，此选项不符合题意． 故选：C． 3．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根的性质，利用正数的两个平方根互为相反数列方程求解是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解，即可得这个正数的平方根，将其中一个平方根平方，即可得出． 【详解】解：由题意，得 ， 化简得 ， 解得 ， 则一个平方根为 ，另一个平方根为 ， 故这个正数为 ． 故答案为：． 4．一个正实数的两个平方根分别是和，求这个正数． 【答案】25 【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，求出的值是解题的关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，可得，解方程即可求出该数的平方根，即可求解． 【详解】解：∵一个正实数的两个平方根分别是和， ∴， 解得，， ∴这个正数是． 题型二 求算术平方根 解｜题｜技｜巧 正数和零有算术平方根，负数没有算术平方根；一个数的算术平方根只有一个； 5．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选B． 6．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的算术平方根是3，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，算术平方根，已知式子的值求代数式的值．根据互为相反数的性质可得a与b的和为零，根据算术平方根的定义求出m的值，然后代入表达式计算，即可作答． 【详解】解：∵a、b互为相反数，m的算术平方根是3， ∴， ∴， 故答案为：． 7．下列说法正确的是（   ） A．4是8的算术平方根 B．4的平方根是 C．的平方根是 D．16的算术平方根是 【答案】B 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．算术平方根是非负的平方根，平方根包括正负两个值，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是8的算术平方根，故本选项错误，不符合题意； B、4的平方根是，故本选项正确，符合题意； C、的平方根是，故本选项错误，不符合题意； D、16的算术平方根是4，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 8．根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11 x2 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 121 (1)112.36的算术平方根是 ，118.81的平方根是 ； (2)若介于10.1与10.3之间，求满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：s）与下落高度h（单位：m）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 【答案】(1)10.6； (2)103，104，105，106 (3) 【分析】本题主要考查算术平方根，平方根的运用，理解表格信息，掌握平方根的计算是关键． （1）根据表格信息，结合算术平方根，平方根的概念即可求解； （2）根据题意得到，由此即可求解； （3）根据题意，把代入表达式，得到，结合表格即可求解． 【详解】（1）解：∵时，， ∴112.36的算术平方根是， ∵时，，且平方根有两个，互为相反数， ∴118.81的平方根是； （2）解：∵， ∴介于10.1与10.3之间，满足条件的正整数a的值有； （3）解：物体自由下落的时间t（单位：s）与下落高度h（单位：m）之间的关系是， ∴时，，且， ∴结合表格，． 题型三 利用算术平方根的非负性解题 解｜题｜技｜巧 算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 9．现有、、三个有理数，，． (1)求、、的值； (2)若、、分别是三条边的长度，求出此时的周长． 【答案】(1)；；或2 (2)7 【分析】本题考查了平方数的非负性，绝对值的性质，三角形三边关系及三角形周长的计算． （1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据绝对值的性质求出c的值； （2）根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算三角形的周长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴或， 解得：或2． 综上所述，，，或2． （2）解：当时，边长为2、3、6， ，不满足三角形三边关系，无法构成三角形， 当时，边长为2、3、2， ，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴的周长为． 10．已知正数a的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】5 【分析】本题考查平方根和算术平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数，算术平方根的非负性求出的值，进而求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5． 11．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的非负性的应用，由非负数的性质可得，，，再进一步求值即可. 【详解】解：∵， ∴，，， 解得：，，， ∴. 12．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴化简绝对值计算，根据数轴得到，，是解题的关键．先根据数轴得到，，，再根据算术平方根的性质化简即可． 【详解】解：依题意得到，，， 则原式 ． 题型四 估计算术平方根的取值范围 解｜题｜技｜巧 估计算术平方根的取值范围，可以先将原数平方，然后看看这个平方的数字在哪两个平方数之间，就可以确定算术平方根的取值范围； 13．估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，解题的关键是先求出． 先估算的取值范围，然后即可判断的近似值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 14．下表中是给定部分x的值，对应的值： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数比较大小的知识点，将数值1169与表格中行的数值进行比较，判断其所处范围，且准确找到与之间的倍数关系是解题的关键． 通过观察表格中的值，找到1169介于1156和1225之间，从而确定在34和35之间，进而得到在3.4和3.5之间． 【详解】∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴ 即， ∴在之间． 故答案为：A． 15．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)在表中介于和之间，理由见解析． 【分析】本题考查利用表格数据，求平方根，算术平方根，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键． （1）观察表格中的数据可知，，根据平方根定义即可求解； （2）由表中的数据结合开平方先求出即可求解； （3）观察表中数据找到280介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在表中介于和之间即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知：， ∴的平方根是； （2）解：∵由表中数据可知：， ∴， 故答案为：； （3）解：∵由表中数据可知：，，， ∴， ∴在表中介于和之间． 16．利用表格中的数据计算的近似值是 （结果保留整数）． a a2 17 289 4.12 18 324 4.36 【答案】19 【分析】本题考查算术平方根和近似数，根据题干得到算术平方根的值是解题的关键． 根据表格数据，当时，，因此，同理得，据此进行计算，将结果四舍五入保留整数即可． 【详解】解：由表格可知，当时， 所以 又因为， 所以 因此． 故答案为：19． 题型五 与算数平方根有关的规律探索题 解｜题｜技｜巧 算术平方根的规律问题，主要理解原数和算术平方根中的数字倍数关系，一般满足： 17．小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想： ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的规律计算，理解题意，找出计算规律是关键．根据材料提示找出规律即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 18．在算术平方根的学习中，我们做过以下思考： (1)①___________；②___________；③___________． (2)①___________；②___________；③___________． (3)你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？ 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握算术平方根的概念． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）①；②；③． 故答案为：； （2）①；②；③． 故答案为：； （3），理由： 由算术平方根的定义，可知是的算术平方根，则． 根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根是指一个非负数，它的平方等于，记作．因此，由定义可知． 19．先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ (3)试比较与的大小． 【答案】(1)填表见解析；有规律，见解析； (2) (3)当时，；当或时，；当时，． 【分析】本题考查了算术平方根的规律题，根据题意发现规律是解题关键． （1）先根据算术平方根的定义填表，再观察表格，即可发现位置规律； （2）根据（1）所得规律，观察发现小数点向右移动3位为，则被开方数向右移动6位，即可求出的值； （3）根据表格作答即可． 【详解】（1）解：填表如下： ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 0.001 0.01 0.1 1 100 10000 1000000 100000000 ．．． 10 100 1000 10000 ．．． 观察发现，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有规律：当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点左（或向右）移动1位； （2）解：观察发现小数点向右移动3位为， 则被开方数向右移动6位，即； （3）解：由表格可知，当时，；当或时，；当时，． 20．已知，，，因为，所以． (1)计算下列各式的值：________，________，________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________； (3)由（2）猜想：________（，）； (4)根据（3）计算：． 【答案】(1)4；5；20 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）根据（1）的结果即可求解； （3）根据（2）所得的关系即可求解； （4）根据（3）所得猜想计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：4；5；20； （2）解：由（1）的结果可得，， 故答案为：； （3）解：由（2）猜想：， 故答案为：； （4）解：． 题型六 算术平方根的实际应用 解｜题｜技｜巧 算术平方根的实际应用问题，要列出关系式，注意要符合实际情况； 21．已知自由落体运动公式．其中，是重力加速度，取，是物体降落的时间，是物体在时间t内降落的高度．如果，那么物体降落的时间t是多少秒？（结果精确到） 【答案】 【分析】题目主要考查算术平方根的实际应用，理解题意，代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 下落的时间为． 22．一个正方形鱼池的边长是，另一个正方形鱼池的面积比它大．求较大鱼池的边长． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解决本题的关键． 根据求得大鱼池的面积，利用算术平方根解决此题． 【详解】解：一个正方形鱼池的边长是，其面积为， 另一个正方形鱼池的面积比它大， 另一个正方形鱼池的面积为， 较大的鱼池的边长． 答：较大鱼池的边长为． 23．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值． 【答案】此时的值为． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的应用．根据，，，由此即求解． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 答：此时的值为． 24．根据下表所提供的信息解答问题． 4 5 16 25 (1) 的平方根是_____． (2)物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根及算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根及平方根的意义是解题的关键． （1）根据平方根的意义结合表格求解即可； （2）先求出时间t，再根据算术平方根的意义结合表格求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 的平方根是， 故答案为：． （2）解：由题意知，， ， 该物体到达地面需要． 题型七 立方根的概念理解 解｜题｜技｜巧 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 25．下列说法正确的是 （    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的立方根是 D．没有立方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念． 根据定义, 正数的平方根有两个, 算术平方根是非负的；任何实数都有唯一的立方根． 【详解】选项A：的平方根是，故A错误，不符合题意； 选项B：的算术平方根是，故B错误，不符合题意； 选项C：的立方根是，故C正确，符合题意； 选项D：的立方根是，故D错误，不符合题意； 故选C． 26．下列说法，其中正确的说法是（   ） ①负数没有立方根； ②实数和数轴上的点是一一对应的： ③； ④正数的两个平方根互为相反数： ⑤任意实数都存在平方根； ⑥算术平方根等于它本身的数只有0． A．①②③ B．②③⑥ C．②④ D．④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义及实数的性质，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵负数的立方根是负数，∴①错误； ∵实数与数轴上的点一一对应，∴②正确； ∵，∴③错误； ∵正数的两个平方根互为相反数，∴④正确； ∵负数没有平方根，∴⑤错误； ∵算术平方根等于本身的数有0和1，∴⑥错误； ∴正确的说法是②和④， 故选C． 27．下列说法正确的是 ．（填序号） ①负数没有平方根；②负数的立方根是负数；③平方根等于它本身的数是0和1． 【答案】①② 【分析】本题考查平方根定义、立方根定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据平方根和立方根的定义及性质进行判断；负数没有实数平方根；负数的立方根是负数；平方根等于它本身的数只有0；从而确定答案． 【详解】解：①由任何实数的平方均为非负数，即可判断①正确； ②由负数的立方是负数，即可判断②正确； ③的平方根是；的平方根是，即可判断③错误； 综上所述，正确的是①②， 故答案为：①②． 28．已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念等，根据平方根、算术平方根、立方根的概念依次求解即可，属于基础题，熟练掌握其定义是解决本类题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 故答案为：． 题型八 求立方根 解｜题｜技｜巧 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 29．若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值与平方数的非负性、立方根的定义，熟练掌握“几个非负数的和为0时，每一个非负数都为0”是解题的关键． 利用绝对值和平方数的非负性，得出每一项为0，求出、的值，计算后求其立方根． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ 的立方根是， 故答案为：． 30．若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，立方根等知识，根据非负数的性质，平方项和算术平方根项均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出和的值，再计算并求其立方根． 【详解】解：∵， ∴ ，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 31．已知的算术平方根是，的立方根为1，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，立方根的概念，求一个数的平方根． 根据算术平方根的概念，立方根的概念求出，，则，求其平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是，的立方根为1， ，， 解得，． ， 的平方根为． 32．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和立方根的意义，解题的关键是掌握求一个数的立方根的法则． （1）利用求一个数的立方根的法则进行求解即可； （2）利用求一个数的立方根的法则进行求解即可； （3）利用求一个数的立方根的法则进行求解即可； （4）利用求一个数的立方根的法则进行求解即可； （5）利用求一个数的立方根的法则进行求解即可； （6）利用求一个数的立方根的法则进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 题型九 与立方根有关的规律探索题 解｜题｜技｜巧 立方根的规律问题，主要理解原数和立方根中的数字倍数关系，一般满足： 33．（1）填表． a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填写下列空格： 已知，则______，______． 【答案】，，1 ，10 ，100； ， 【分析】本题考查了立方根，与立方根有关的规律题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格的值，分别求出对应的立方根，即可作答． （2）先根据，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，补充表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 （2）∵， 则，， 34．观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 【答案】(1)， (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、和三种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）（3）由题意知，，． ①当时，； ②当时，，此时； ③当时，． 综上，当时，；当时，；当时，． 35．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【详解】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 36．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【答案】(1)， (2)①；②32400 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案； （3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案； ③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，． （2）①解：， ， 故答案为：． ②解：， ， ， 故答案为：． （3）①解：， ， ， ， ， 故答案为：． ②解：， ， 故答案为：． ③， ， ， 故答案为：． 题型十 无理数整数部分的有关计算 解｜题｜技｜巧 无理数要先判断出在哪两个整数之间，然后整数部分就是较小的那个整数，小数部分就是原数-整数； 37．已知，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】此题考查了立方根、算术平方根、平方根和无理数的估算等知识，准确的计算是解决本题的关键． 根据立方根的定义求出a，再根据平方根定义求出，将代入即可求出b，再根据无理数估算求出c，进一步代入计算求出答案即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， ， 当时， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为， ∴当，，时， ， ∴2的平方根为． 38．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，为． (1)的整数部分是______，小数部分是_______． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)4； (2)1 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题意是解题的关键． （1）先估算的大小，即可得出答案； （2）估算无理数、的大小，确定a、b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴的小数部分为， 即， ∵， ∴的整数部分为3， 即， ∴． 39．已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的定义以及无理数的估算，解题关键是根据算术平方根、立方根的定义求出，通过估算无理数确定，再结合平方根定义求解． （1）根据算术平方根定义，由得，解得；根据立方根定义，；估算，因为，所以． （2）将代入中求出结果36，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是， ， ， 是的立方根， ， ， ， 的整数部分为， 是的整数部分， ， 综上所述：． （2）， 的平方根是， 的平方根是． 40．、、均为实数，且是的整数部分． (1)则的值为__________；的值为___________；的值为___________； (2)求的平方根． 【答案】(1)；3；6 (2) 【分析】本题考查了平方根，无理数大小估算，算术平方根和偶次幂非负性，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得，从而求出a，b的值，再利用无理数大小估算求出c的值； （2）把a，b，c的值代入，再根据平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； 故答案为：；3；6 （2）解：当，时， ， ∴的平方根为． 题型十一 实数的相关概念 41．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 42．在下列各数0，，3.14，，0.731，中，无理数的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据无理数的定义即可求解． 【详解】解：在下列各数0，，3.14，，0.731，中，无理数有和两个． 故选：B 【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数是指无限不循环小数，熟知无理数的定义是解题的关键． 43．下列说法正确的是（   ） A．无理数是开方开不尽的数 B．一个实数的绝对值总是正数 C．不存在绝对值最小的实数 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】D 【分析】根据无理数的定义、绝对值的性质、实数与数轴上点的对应关系逐一判断即可． 【详解】解：A．无理数是无限不循环小数，该项说法不正确； B．一个实数的绝对值可以是正数，也可以是零，该项说法不正确； C．绝对值最小的数是0，该项说法不正确； D．实数与数轴上的点一一对应，该项说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查实数的相关概念，掌握无理数、绝对值的性质是解题的关键． 44．下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，实数，有理数，数轴等概念，熟练掌握这些概念是解题的关键； 根据实数的分类及实数与数轴的关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意； B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意； C．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意． D．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 题型十二 实数与数轴 45．如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行判断即可． 【详解】解： ∵ ∴A不符合要求 ∵ ∴，故B符合要求 ∵ ∴C和D不符合要求 ∴被阴影覆盖的可能是． 故选：B． 46．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是根据对应点的位置得出，然后依次判断每个选项即可． 【详解】解：根据实数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知：， A．，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C．，选项错误，不符合题意； D．，选项正确，符合题意； 故选：D． 47．如图，若数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应在线段（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的大小估计， 先估算出，然后根据数轴上点的位置即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 点代表数， 点代表数， 表示的点应在线段上， 故选：D． 48．如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则S的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，结合数轴，点应在3~4之间（E靠近4），即可得出，据此确定S的取值范围． 【详解】解：正方形面积，，点E在数轴上A右侧（A表示1），则E表示． 结合数轴，点应在3~4之间（E靠近4）， ∴， ∴， ∴， 选项B中符合条件，其余选项不符合， 故选B． 题型十三 实数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1、比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； 2、数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； 3、法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； 4、作差比较法：当时，；当时，；当时，. 5、作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 6、倒数比较法：a、b为正数，若，则； 7、平方比较法：a、b为正数，若，则. 49．下列各数中最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数大小的比较，先取各数的近似值，然后计算比较大小解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 最小的是， 故选：D． 50．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形、图2是以原点为圆心、以的长方形的对角线OA长为半径画弧，与数轴相交于点B．若点B表示的数为m，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴的关系，解决此题的关键是充分理解大正方形的面积等于两个长方形的面积和小正方形面积的和；根据题意大正方形的面积为5，根据正方形面积求出边长,再与比较大小即可得到答案． 【详解】解：由题和图可知；大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为：， ∵点B在原点的左侧， ∴点B表示的数为． 又∵， ∴， ∴．即 故选：B． 51．比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 【答案】＞ 【分析】本题考查比较实数的大小，先比较与5的大小，进而即可解答． 【详解】解：∵，即， ∴． 故答案为：＞． 52．（1）过A，B两点画一条数轴，使A，B两点所表示的数互为相反数． （2）在你所画的数轴上表示下列各数：，2，，，并用“<”连接起来． ______<______<______<______． 【答案】（1）见解析；（2）数轴表示见解析，，，2， 【分析】本题考查了数轴，利用数轴比较有理数的大小，以及立方根的意义，熟练掌握利用数轴比较有理数的大小是解题的关键． （1）根据A，B两点间的距离为8个格子的长度，根据A，B两点所表示的数互为相反数，画出数轴即可； （2）先化简，再将各数标在数轴上，根据数轴的性质，越往左越小，越往右越大，进行大小比较即可． 【详解】解：（1）、B两点之间有8个格子，故在A、B之间确定原点O，则A，B两点所表示的数互为相反数． ， （2）， ， 故答案为：，，2， 题型十四 近似数 解｜题｜技｜巧 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 3.一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 53．下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 【答案】C 【分析】本题主要考查近似数的知识点． 根据近似数的精确度定义，科学记数法的精确度由系数的最后一位数字决定，需结合指数判断实际精确位． 【详解】∵ 近似数的精确度取决于最后一位有效数字的位置； 选项A.：最后一位数字0在千分位，故精确到千分位，不是百分位，不符合题意； 选项B.：中系数最后一位在千分位，乘以后精确到十位，不是千分位，不符合题意； 选项C.：中系数最后一位在百分位，乘以后精确到千位，正确，符合题意； 选项D.：万，最后一位有效数字在万位，故精确到万位，不是个位，不符合题意． 故选C． 54．下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．38万精确到个位 D．精确到千位 【答案】D 【详解】本题考查了科学记数法，近似数的精确度判断． 根据小数和科学记数法的精确度规则，逐一分析每个选项． 【分析】解：A．的最后一位是千分位，精确到千分位，不是百分位，错误； B．，最后一位9在十位，精确到十位，不是千分位，错误； C．38万，精确到万位，不是个位，错误； D．，最后一位是千位，即精确到千位，正确； 故选：D． 55．用四舍五入法，把31485926精确到万位，取得的近似数是 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了求近似数． 先确定数字的万位位置，对千位数字进行四舍五入，得到近似数，再转化为科学记数法形式． 【详解】解：数字31485926的万位是8，千位是5， ，向万位进1，万位8变为9，后面数位变为0， 得到31490000， 31490000用科学记数法表示为． 故答案为：． 56．【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 【答案】(1)小强的近似值为10.18，小丽的近似值精确度更高 (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及完全平方公式是正确解答的关键． （1）利用题目所提供的方法进行计算即可； （2）估算无理数的大小，设，得到，忽略，求出的值即可． 【详解】（1）解：设， 则， 即， ， ． 比较小可以忽略不计， ，解得． 即的近似值为． ∴小丽的精确度较高． （2）由于，可设， ， 即， 由于，， 由于较小，忽略不计， ，解得， ∴． 题型十五 二次根式的相关概念 解｜题｜技｜巧 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 57．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 58．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 59．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 60．下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二次根式，不合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、，则是二次根式，不合题意； D、是二次根式，不合题意； 故选：B． 题型十六 二次根式有意义的条件 解｜题｜技｜巧 1、 如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2、如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 61．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数解答即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数非负是解题的关键． 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 62．要使得代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式组的解法，熟记分式及二次根式有意义的条件是解本题的关键．由分式及二次根式有意义的条件可得，再解不等式组即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且． 故选：D． 63．若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式的定义，被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y的值，最后计算． 【详解】解：由二次根式的定义有意义的条件得且， 解得， 代入原式，得， 所以． 故答案为：4． 64．已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． 题型十七 利用二次根式的性质化简 解｜题｜技｜巧 要学会根据二次根式的双重非负性化简解题； 65．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 66．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与数轴上实数的大小比较，掌握二次根式的性质和绝对值的化简规则是解题关键． 先由数轴判断出，再结合及绝对值的化简规则进行求解． 【详解】解：， 由数轴可知，，则， ∴． 故选：． 67．已知，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，二次根式的性质，立方根的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一化简再运算即可． 【详解】因为，所以，，， 因此，原式． 故答案为：． 68．当时，化简： 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．根据，然后再根据二次根式性质，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 题型十八 最简二次根式与同类二次根式 解｜题｜技｜巧 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同 类二次根式. 69．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式．逐一检查选项，A、C、D均不符合条件，只有B符合． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； 故选：B． 70．下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 本题考查最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：，无法再开方，它们是最简二次根式； ，，，中被开方数中含有分母，它们都不是最简二次根式； 则最简二次根式共2个， 故选：A 71．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，据此列出方程求解． 【详解】解： 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得 故答案为：． 72．如果最简二次根式与在二次根式加减运算中可以合并，求使有意义的x的取值范围． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，则；求解所列方程得到a的值，再根据二次根式有意义得到不等式，解此不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：由题意得． ∴． ∴． 要使有意义，只需有意义即可． ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出方程和不等式是解此题的关键． 题型十九 二次根式的混合运算 解｜题｜技｜巧 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件 73．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算乘法，然后计算加减法即可得； （2）先利用乘法公式计算，再计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 74．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键； （1）根据二次根式的乘除法可进行求解； （2）根据二次根式的混合运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 75．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的乘法与乘方，再计算加减法即可得； （2）先计算二次根式的除法与乘法，再计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 76．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的四则混合运算、乘方与绝对值的综合计算，解决本题的关键在于正确运算并熟练掌握二次根式的化简、运算顺序，以及根据被开方数的大小比较判断绝对值内的正负，进而正确化简． （1）分别将​等进行化简，然后计算​的乘积，最后合并同类二次根式得到结果． （2）先计算乘方，再化简​，接着判断绝对值内的正负，得到，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型二十 分母有理化 解｜题｜技｜巧 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分； 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分； 77．阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，， 把作为整体，得：．请运用上述方法解决下列问题： 已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化、完全平方公式、求代数式的值，理解题意是解题的关键． 根据分母有理化得到，再仿照题目的方法解决问题即可． 【详解】解：， 得， 则， 即， ∴， ∴． 78．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化， （1）分子和分母都乘以，再根据平方差公式计算； （2）分子和分母都乘以，再根据平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 79．阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题： (1)由材料可知，___________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是分母有理化的应用、实数的大小比较、二次根式有意义的条件，解题关键是根据分母有理化理解分子有理化的方法． （1）根据题意进行分子有理化即可得解； （2）先根据材料分别给和分子有理化，然后再进行比较即可； （3）先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，然后对无理数部分分子有理化，求最大值即可． 【详解】（1）解：依题得：， 故答案为：； （2）解：， ， 而， ， ； （3）解：，， ， ， 当时，分母有最小值， 有最大值是． 80．阅读下列解题过程：， ，请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了分母有理化的规律，熟练掌握根式的分母有理化的化简方法是解题的关键． （1）观察解题过程，发现分母有理化的规律，进行化简求解即可； （2）仿照题干中的解题过程得到的规律化简序列，再将每个分数按照规律化简计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，根据分母有理化的方法，分子、分母同时乘以得： ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，对于每个正整数，都有， 则 ． 题型二十一 比较二次根式的大小 81．我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别算出，再进行比较大小，即可作答． （2）先根据，，得出，再进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵， ∴ 即． （2）解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 82．设，，，则a，b，c之间的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式大小的比较，先求出，，，然后根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：，，， ，，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 83．比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 84．比较大小：（1） ，（2） ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小： （1）首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大，据此解答即可； （2）先求出两个数的差，再比较差与0的大小关系，即可求解． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 故答案为： （2）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 题型二十二 二次根式的化简求值 85．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，已知字母的值求代数式的值．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，则，化简，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 86．已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)20 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将、的值代入所求代数式计算即可得解； （2）先计算出，再利用完全平方公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 87．化简求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 88．已知，． (1)_____，_____． (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2)59 【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接将值代入化简即可得出的值，将值代入并利用平方差公式计算即可得出的值； （2）将化为，再将（1）中的值代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ． 题型二十三 二次根式的应用 89．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为． 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据通道的总面积等于正方形面积减去个花坛面积，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：由题意得，通道的总面积为： 故通道的总面积为． 90．根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 【答案】6分钟 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内经过的时间． 【详解】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时，， 飞船内经过的时间为秒，即6分钟 答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟． 91．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，开方， 对于（1），根据正方形的面积开方求出边长； 对于（2），根据二次根式的乘法求出解； 对于（3），根据计算比较可得答案． 【详解】（1）解：， 所以裁去的两个正方形木料的边长分别为． 故答案为：； （2）解：，． 所以剩余木料的面积是； （3）解：， ∵， ∴最多可以裁出3块这样的木条． 故答案：3． 92．海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为，，，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）． 已知的三边长分别为，，；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积，并说说你选择的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是理解“海伦公式”及“秦九韶公式”；因此此题可根据“海伦公式”及“秦九韶公式”直接代值求解即可． 【详解】解：的三边长分别为，，，， 则 ； 的三边长分别为，，， 则 ． 计算的面积时，由于三边长为整数，且为整数，使用海伦公式计算较为简便；计算的面积时，由于三边长为二次根式，使用秦九韶公式可以先对边长进行平方运算，从而简化计算． 题型二十四 二次根式的新定义运算 89．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为． 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据通道的总面积等于正方形面积减去个花坛面积，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：由题意得，通道的总面积为： 故通道的总面积为． 90．根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 【答案】6分钟 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内经过的时间． 【详解】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时，， 飞船内经过的时间为秒，即6分钟 答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟． 91．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，开方， 对于（1），根据正方形的面积开方求出边长； 对于（2），根据二次根式的乘法求出解； 对于（3），根据计算比较可得答案． 【详解】（1）解：， 所以裁去的两个正方形木料的边长分别为． 故答案为：； （2）解：，． 所以剩余木料的面积是； （3）解：， ∵， ∴最多可以裁出3块这样的木条． 故答案：3． 92．海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为，，，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）． 已知的三边长分别为，，；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积，并说说你选择的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是理解“海伦公式”及“秦九韶公式”；因此此题可根据“海伦公式”及“秦九韶公式”直接代值求解即可． 【详解】解：的三边长分别为，，，， 则 ； 的三边长分别为，，， 则 ． 计算的面积时，由于三边长为整数，且为整数，使用海伦公式计算较为简便；计算的面积时，由于三边长为二次根式，使用秦九韶公式可以先对边长进行平方运算，从而简化计算． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·期末）是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根；根据算术平方根的定义，表示的算术平方根，结果为． 【详解】解：∵表示的算术平方根，且， ∴ ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北·期末）下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．3是9的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．平方根包括正负两个值（正数），算术平方根为非负值；负数没有平方根． 根据平方根和算术平方根的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．9的平方根是，原说法错误； B．是的其中一个平方根，原说法错误； C．负数没有平方根，原说法错误； D．3是9的算术平方根，原说法正确； 故选：D． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的加法计算，化简二次根式，根据二次根式的性质和二次根式的加法计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级上·河北·期末）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根的计算；先计算乘方运算，再计算算术平方根． 【详解】解：， 故答案为3． 6．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）用四舍五入法对取近似值，精确到百分位是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解一个数的近似数，精确到百分位，即对千分位上的数字进行四舍五入． 【详解】解：数字的千分位是，根据四舍五入规则，需要进位， 因此百分位上的加变成，故近似值为． 故答案为： 7．（24-25八年级上·河北邢台·期末） 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和平方差公式． 利用平方差公式及二次根式的运算法则进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：6． 8．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，解方程即可求出x的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：3． 9．（24-25八年级下·广东珠海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 10．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ① ② ③ (1)指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）化简二次根式错误，，1不能直接开平方到根号外，由此得出错误处； （2）由先化简各数，再合并同类二次根式，即可解得． 【详解】（1）解：， 故步骤①最先出现错误． （2） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）在，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 中是无理数，故属于无理数； ，是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； （每两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数， 无理数有、、（每两个之间依次多一个），共个， 故选：C． 12．（24-25八年级上·河北保定·期末）一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的性质，利用正数的平方根互为相反数求出的值，进而求出一个平方根即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 一个正数的两个不相等的平方根是和， ∴， 解得， ∴一个平方根为， ∴ 这个正数为， 故选：． 13．（24-25八年级上·河北唐山·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题的关键．根据二次根式的运算法则运算即可解答． 【详解】解：A. ，选项计算错误，故不符合题意； B. ，选项计算错误，故不符合题意； C. ，选项计算正确，故符合题意； D. ，选项计算错误，故不符合题意； 故选：C． 14．（24-25八年级上·河北·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的性质和运算法则，逐一判断各等式的正确性． 【详解】解：①，正确； ②，正确； ③，正确； ④，错误； 故选：A． 15．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）已知：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解． 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·河北·期末）已知实数满足，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，代数式求值． 利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入代数式计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 17．（25-26七年级上·山东泰安·期末）设实数的整数部分为a，小数部分为b，则 【答案】14 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先确定的整数部分a和小数部分b，再代入式子，根据二次根式的混合运算计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为∶14． 18．已知，则= 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的代数式进行变形是解题的关键． 将原式通过配方法转化为完全平方式的形式，然后利用已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴原式． 故答案为：9． 19．（25-26八年级上·云南昆明·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练运用分式的运算法则及运算顺序正确化简是解决问题的关键． 根据分式的混合运算法则把所给的分式化为最简分式，再代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式 20．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2 (2) 能量为，会对无防护人体造成伤害 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：2； （2）∵，, ∴， ∴， ∴，而 ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的探究规律，准确分析计算是解题的关键． 观察序列的根号部分和指数部分，根号下数字对应项数，的指数为奇数序列，可表示为． 【详解】第项: , 第项: , 第项: , …… 根号部分为，的指数为， 第n个单项式为； 故选． 22．（25-26八年级上·湖南·期末）有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中假命题有(   ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了判断真假命题，平方根、立方根等相关知识，根据算术平方根和立方根的意义逐项进行判断，进而可得答案． 【详解】解：∵ 对于①，取，，有，但，∴①为假命题； ∵ 对于②，立方根具有唯一性，，则，∴②为真命题； ∵ 对于③，取，，有，但，∴③为假命题； ∵ 对于④， 则 ，∴④为真命题． ∴ 假命题有①和③． 故选：B． 23．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 24．如图，从一个大正方形中裁去面积为和48 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，求出大正方形的边长，分割法求出余下部分的面积即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为和， ∴大正方形的边长为， ∴余下部分的面积为， 故选：D． 25．（24-25八年级上·河北唐山·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 26．（24-25八年级上·河北·期末）已知，为实数，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，平方根，根据二次根式和分式有意义的条件得出，的值，代入求值，再由平方根定义即可求解，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用平方根的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 27．24-25八年级上·河北邢台·期末）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：． 28．（24-25八年级上·河北·期末）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查根式求值，根据题中所给公式，代入三角形的三边长度直接计算即可． 【详解】解：， ∴的面积 ， 故答案为：． 29．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）；    （2） （2）验证：； (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：； (2)通过上述探究你能猜测出：（n为自然数，且），并验证你的结论． 【答案】(1) (2)，验证见解析 【分析】本题考查了二次根式运算的规律性题目，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）按照题干中两个等式及其验证过程的基本思路，猜想即可； （2）先猜测出结果，再仿照原题写出验证过程即可． 【详解】（1）解：按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想；验证如下： ； 故答案为：； （2）解：通过上述探究能猜测出，验证如下： ． 故答案为：． 30．（24-25八年级上·四川广安·期末）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式这个过程称为分母有理化，例如： ；． (1)请根据以上方法进行分母有理化： ①_______；②_______；③_______； (2)计算： 【答案】(1)①；②；③ (2)2022 【分析】本题考查分母有理化； （1）①分子分母同时乘以即可；②分子分母同时乘以即可；③分子分母同时乘以即可； （2）先将括号内的式子分母有理化，找到互相抵消的项，即可算出结果. 【详解】（1）解：①， ②， ③. 故答案为：①；②；③. （2）解： . 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $