专题03 实数与二次根式全章24大常考易错压轴题型（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题03 实数与二次根式全章24大常考易错压轴题型 题型1 平方根的相关概念 题型13 利用二次根式的性质化简（重点） 题型2 求平方根 题型14 最简二次根式与同类二次根式 题型3 求一个数的算术平方根 题型15 二次根式的混合运算（常考点） 题型4 算术平方根发的非负性（重点） 题型16 分母有理化（重点） 题型5 算术平方根的实际应用（常考点） 题型17 二次根式的化简求值（重点） 题型6 求立方根 题型18 二次根式的应用（常考点） 题型7 立方根的实际应用 题型19 算术平方根立方根有关的规律题（难点） 题型8 实数的相关概念 题型20 实数的混合运算（难点） 题型9 无理数的整数部分有关计算（重点） 题型21 实数的实际应用（难点） 题型10 实数与数轴 题型22 复合二次根式的化简问题（难点） 题型11 近似数（常考点） 题型23 分母有理化问题（难点） 题型12 二次根式的基本概念 题型24 二次根式新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平方根的相关概念（共3小题） 1．下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 2．一个正数的两个不同的平方根是和，则m的值是（） A． B． C． D． 3．一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ． 题型二 求平方根（共3小题） 4．如果一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ，它的平方根是 ． 5．已知一个正数的两个平方根分别是与5，则的平方根是 ． 6．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 题型三 求一个数的算术平方根（共3小题） 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知方程组的解为，则的算术平方根是 ． 9．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型四 算术平方根发的非负性（共3小题） 10．已知，则等于（   ） A． B．1 C．2025 D． 11．已知的三边长分别为，且满足，则为 三角形． 12．（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 题型五 算术平方根的实际应用（共3小题） 13．（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 14．交通警察通常根据刹车后车轮滑动的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑动的距离（单位：m），f表示动摩擦因数． (1)若某车刹车后车轮滑动的距离，动摩擦因数，这辆车的速度是___________； (2)在某次交通事故调查中，测得，，该路段限速，这辆肇事汽车是否超速？ 15．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形． (1)若小正方形的面积为2，则大正方形的面积是 (2)若大正方形的面积为，则小正方形的面积是 ，边长为 ； (3)如图是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由． 题型六 求立方根（共3小题） 16．已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 17．若，则的立方根为（    ） A．5 B．15 C．25 D． 18．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 题型七 立方根的实际应用（共3小题） 19．熔铸工艺是将物料经高温熔化后，直接浇铸成为成品的方法．张师傅想要将一个长，宽，高的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，熔铸成的正方体铁块的棱长是多少分米？不计损耗 20．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 21．如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 题型八 实数的相关概念（共3小题） 22．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 24．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数： ，，，0，，， 其中，甲说“”，乙说“”，丙说“” （1）甲、乙、丙三个人中，说错的是________． （2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；     题型九 无理数的整数部分有关计算（共3小题） 25．的整数部分为，的小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 26．观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决问题：规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为 ． 27．【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分是1，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 题型十 实数与数轴（共3小题） 28．如图，数轴上A、B、C三个点表示的数分别为a、b、c． (1)若点B为原点，点A与点C到点B的距离相等，，则a的值为__________； (2)若a、b、c为三个连续的正整数，，先化简，再求值：． 29．如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 30．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 题型十一 近似数（共3小题） 31．下列说法正确的有（    ） ①近似数1.60与近似数1.6的精确度一样； ②近似数2.46万是精确到百分位； ③317500精确到千位表示为31.8万，也可以表示为； ④5.1亿是一个9位数； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．按四舍五入法则取近似值： （精确到百分位）； （精确到）； （精确到千位）． 33．根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： (1) （精确到百分位）； (2) （精确到）． (3)近似数精确到 位，有 个有效数字． (4)所有绝对值小于4的整数的积是 ，和是 ． 题型十二 二次根式的基本概念（共3小题） 34．若分式的值为0，则的值为（　　） A．2 B． C． D．0 35．若代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是 ； 36．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 题型十三 利用二次根式的性质化简（共3小题） 37．实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（      ） A． B． C． D． 38．已知，化简 ． 39．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简： (2)若 求（1）中代数式的值． 题型十四 最简二次根式与同类二次根式（共3小题） 40．下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 41．如果两个最简二次根式与能够合并，那么a值为 ． 42．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 题型十五 二次根式的混合运算（共3小题） 43．计算： (1) (2) 44．计算题 (1) (2) (3) (4) 45．计算： (1)； (2)． 题型十六 分母有理化（共3小题） 46．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 47．化简（且），得 ． 48．阅读材料：在二次根式中，当分母为无理数的二次根式时，我们通过运算，把该分母化为有理数的过程，称其为分母有理化或有理化分母． 例：①； ②； (1)分母有理化：； (2)观察上面运算过程，对下列式子进行分母有理化：； (3)请尝试对下列式子进行分母有理化：． 题型十七 二次根式的化简求值（共3小题） 49．已知，求的值． 50．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 51．先化简，再求值：，其中 题型十八 二次根式的应用（共3小题） 52．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 53．据研究，高空抛下的物体下落的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）近似满足公式（不考虑其他因素的影响）． (1)小区居民楼每层高度近似3 m，从21层楼（按20个层高计算）高空抛物到落地所需时间是_________s，从11层楼（按10个层高计算）高空抛物到落地所需时间是________s；（结果保留根号） (2)是的多少倍？ 54．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和． 题型十九 算术平方根立方根有关的规律题（共3小题） 55．观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 56．先观察下列各式：；；；； (1)计算：_________； (2)已知为正整数，通过观察并归纳，请写出_________； (3)应用上述结论，计算的值． 57．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 题型二十 实数的混合运算（共3小题） 58．计算结果为（） A． B． C． D． 59．已知m，n是有理数，且，则 ， ． 60．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)______________，______________，的小数部分＝______________； (2)设的小数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 题型二十一 实数的实际应用（共3小题） 61．阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 和为相邻的两个整数，． 等式两边同时平方，得：． __________得：________________________________． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则______． (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 62．小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 63．我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 题型二十二 复合二次根式的化简问题（共3小题） 64．设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 65．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 66．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 题型二十三 分母有理化问题（共3小题） 67．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，； 利用以上结论解答以下问题： (1)_____； (2)利用上面结论，求的值． 68．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是___________；化简___________； (2)比较与的大小，并说明理由． 69．【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． (1)化简：； (2)计算：； (3)计算：． 题型二十四 二次根式新定义问题（共3小题） 70．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 71．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 72．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数与二次根式全章24大常考易错压轴题型 题型1 平方根的相关概念 题型13 利用二次根式的性质化简（重点） 题型2 求平方根 题型14 最简二次根式与同类二次根式 题型3 求一个数的算术平方根 题型15 二次根式的混合运算（常考点） 题型4 算术平方根发的非负性（重点） 题型16 分母有理化（重点） 题型5 算术平方根的实际应用（常考点） 题型17 二次根式的化简求值（重点） 题型6 求立方根 题型18 二次根式的应用（常考点） 题型7 立方根的实际应用 题型19 算术平方根立方根有关的规律题（难点） 题型8 实数的相关概念 题型20 实数的混合运算（难点） 题型9 无理数的整数部分有关计算（重点） 题型21 实数的实际应用（难点） 题型10 实数与数轴 题型22 复合二次根式的化简问题（难点） 题型11 近似数（常考点） 题型23 分母有理化问题（难点） 题型12 二次根式的基本概念 题型24 二次根式新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平方根的相关概念（共3小题） 1．下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，解题的关键是掌握平方根、算术平方根的概念． 根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A、因为负数没有平方根，而是负数，所以没有平方根，故A错误； B、因为0的平方根是0，故B错误； C、因为若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，，所以1的算术平方根是1，故C正确； D、先计算，因为4的平方根是，所以的平方根是，故D错误． 故选：C． 2．一个正数的两个不同的平方根是和，则m的值是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数．根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出方程求解． 【详解】∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴． 解得． 故选：A． 3．一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ． 【答案】 0或1 0 【分析】本题主要考查了平方和平方根的概念，解题的关键是熟练掌握． 根据平方和平方根的概念进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴一个数的平方等于它本身，这个数是0或1； ∵， ∴一个数的平方根等于它本身，这个数是0； 故答案为：0或1；0． 题型二 求平方根（共3小题） 4．如果一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ，它的平方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查算术平方根，平方根的定义及计算，掌握平方根的计算是关键． 根据算术平方根的定义，算术平方根为，则这个数为 ；再求这个数的平方根，注意平方根有两个值． 【详解】解：设这个数为 ，则其算术平方根为，由题意得 ， 所以 ， 的平方根为， 故答案为：①，②． 5．已知一个正数的两个平方根分别是与5，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求出的值，再求出，然后计算的值，最后求其平方根． 【详解】解：和是正数的两个平方根， ， 解得， 则， ， ， 的平方根为． 故答案为：． 6．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 题型三 求一个数的算术平方根（共3小题） 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的概念，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键；因此此题可根据算术平方根进行求解即可． 【详解】解：∵，∴A错误； ∵，∴B错误； ∵，∴C正确； ∵，∴D错误； 故选C． 8．已知方程组的解为，则的算术平方根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程组的解，算术平方根，将解 代入方程组，先求得，再求得，最后计算的算术平方根即可． 【详解】解：将代入方程，得，即， 解得，， 故， 将，代入方程，得，即， 解得， 则， 16的算术平方根为 4， 即的算术平方根是4． 故答案为：4． 9．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)16 (2) (3) (4) (5)50 (6) 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 题型四 算术平方根发的非负性（共3小题） 10．已知，则等于（   ） A． B．1 C．2025 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据绝对值和算术平方根的非负性，求出，．由绝对值和算术平方根的非负性，可知两个表达式都为零，从而得到关于x和y的方程组，解方程组，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：A． 11．已知的三边长分别为，且满足，则为 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查三角形形状的确定，涉及非负式、非负式和为的条件，根据题意得出的值是解题关键．根据非负数的性质，平方根、绝对值和平方项均非负，其和为零则每个部分均为零，由此求出的值，再根据三角形三边关系判断形状． 【详解】解：∵ ，， ，且， ∴，，， 解得， ∴的三边长分别为， ∵， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 12．（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 【答案】（1），；（2）2025 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负数性质解答即可； （2）根据算术平方根和绝对值的非负数性质得出，再化简求值即可． 本题考查了二次根式有意义的条件以及算术平方根和绝对值的非负数性质，掌握实数的非负数性质是解答本题的关键． 【详解】解：，，， ，， 解得， （2）有意义， ， ， ， ， ， ， ， 题型五 算术平方根的实际应用（共3小题） 13．（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）根据拼接前后的面积相等建立方程求解可得答案． （2）设小长方形的对角线的长度为m，利用面积关系建立方程即可． 【详解】解：（1）设大正方形的边长为x， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：大正方形的边长为4； （2）设小长方形的对角线的长度为m， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：小长方形的对角线的长度为． 14．交通警察通常根据刹车后车轮滑动的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑动的距离（单位：m），f表示动摩擦因数． (1)若某车刹车后车轮滑动的距离，动摩擦因数，这辆车的速度是___________； (2)在某次交通事故调查中，测得，，该路段限速，这辆肇事汽车是否超速？ 【答案】(1) (2)这辆肇事汽车超速了 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）将，代入计算即可； （2）将，代入计算求出车速，进而比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：； （2）解：， ， ， 这辆肇事汽车超速了． 15．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形． (1)若小正方形的面积为2，则大正方形的面积是 (2)若大正方形的面积为，则小正方形的面积是 ，边长为 ； (3)如图是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)面积为；边长为 (3) 【分析】（1）根据拼接前后，面积不变即可求解； （2）根据拼接前后，面积不变即可求解； （3）根据提示即可求解； 【详解】（1）解：∵拼接前后，面积不变， ∴大正方形的面积是； （2）解：∵拼接前后，面积不变， ∴小正方形的面积是；边长为； （3）解：能把它剪开并拼成一个大正方形，裁剪示意图如图所示： ∵原图形的面积是5， ∴裁剪后的正方形面积也是5， ∴大正方形边长为． 题型六 求立方根（共3小题） 16．已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．利用立方根的性质，得，代入已知近似值计算． 【详解】解：∵， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 17．若，则的立方根为（    ） A．5 B．15 C．25 D． 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数都为零．根据非负数的性质，求出x和y的值，再计算的立方根即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为：． 故选：D． 18．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，求出的值，立方根的定义，得到，求出的值即可； （2）根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴； （2）∵， ∴的平方根为，的立方根为． 题型七 立方根的实际应用（共3小题） 19．熔铸工艺是将物料经高温熔化后，直接浇铸成为成品的方法．张师傅想要将一个长，宽，高的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，熔铸成的正方体铁块的棱长是多少分米？不计损耗 【答案】分米 【分析】本题考查认识立体图形，掌握长方体、正方体的形体特征以及体积的计算方法是正确解答的关键．根据熔铸前后的体积相等，求出长方体的体积，即正方体的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：根据熔铸前后体积不变可得， 熔铸成的正方体铁块的棱长为（分米）， 答：熔铸成的正方体铁块的棱长是分米． 20．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 【答案】(1) (2)，，截得的每个小正方体木块的棱长； 【分析】本题主要考查立方根的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程； （1）求一个数的立方根即可； （2）根据题意列出方程，根据求一个数的立方根的概念得到答案即可； 【详解】（1）解：由题可知：， ∴棱长为， 故大正方体木块的棱长为； （2）解：设截得的每个小正方体木块的棱长为， 则截得的这8个小正方体木块的总体积为， 由题意得：， 解得：， 故截得的每个小正方体木块的棱长为， 故答案为：，． 21．如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键． （1）根据正方体的体积公式可得这个铁块的棱长为，计算立方根即可得； （2）设长方体铁块的底面正方形的边长为，根据熔化前后的体积不变建立方程，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：∵这个正方体铁块的体积为， ∴这个铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：长方体铁块的底面正方形的边长为． 题型八 实数的相关概念（共3小题） 22．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的定义，根据实数分为有理数和无理数进行解答． 【详解】解：3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），都是实数，共5个． 故选：D． 23．下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 24．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数： ，，，0，，， 其中，甲说“”，乙说“”，丙说“” （1）甲、乙、丙三个人中，说错的是________． （2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；     【答案】（1）甲；（2）正实数为，，负分数为 【分析】（1）根据无理数的概念即可判断； （2）根据实数相关概念填空即可． 【详解】（1）是负分数，即是有理数范围内的，不是无理数，故甲错； （2）正实数包括正有理数与正无理数，故答案为：、； 负分数为：． 【点睛】本题考查了实数的分类识别，明确基本概念并准确区分是解题关键． 题型九 无理数的整数部分有关计算（共3小题） 25．的整数部分为，的小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键． 直接估算出的取值范围，可求出a，b的值进而得出答案． 【详解】解：∵，的整数部分为， ∴， ∵的小数部分为， ∴， ∴． 故选：A 26．观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决问题：规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求实数的近似值，掌握无理数的估算方法并能熟练运算是解题关键． 的整数部分为3，的整数部分则为4． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分为3，的整数部分则为4． 表示实数的整数部分， ∴． 故答案为：4． 27．【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分是1，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1)8， (2) 【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值，解题的关键是理解材料中无理数估算的过程． （1）根据材料中给定的求小数部分的过程求解即可； （2）先求出a和b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为8． ∴的小数部分为． 故答案为：8，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∴，， ∴． 题型十 实数与数轴（共3小题） 28．如图，数轴上A、B、C三个点表示的数分别为a、b、c． (1)若点B为原点，点A与点C到点B的距离相等，，则a的值为__________； (2)若a、b、c为三个连续的正整数，，先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了实数与数轴，分式的化简求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，求出的长即可得到答案； （2）根据题意可得，据此结合所给条件可求出a的值，再把所求分式变形为，再把分子合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点B为原点，， ∴， ∴； （2）解：∵a、b、c为三个连续的正整数， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴原式． 29．如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 【答案】(1)这个魔方的棱长为4 (2)阴影部分的边长为，阴影部分的面积为8 (3)点D在数轴上所表示的数为 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线的长，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点A表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：． 答：这个魔方的棱长为4； （2）解：∵魔方的棱长为4， ∴每个小立方体的棱长为2， 阴影部分面积为：； 则阴影部分的边长为． （3）解：由（2）得， 则D在数轴上表示的数为． 30．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 【答案】(1)， (2)2， (3)他不能裁出来，理由见详解 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）先列式，则，则长方形纸片的长为，根据，，故，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， 依题意，， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解：他不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为， ∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为， ∴宽为，， 则， ∴（负值已舍去） 则长方形纸片的长为， ∵， ∴， 依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且 ∵ 即， ∴他不能裁出来． 题型十一 近似数（共3小题） 31．下列说法正确的有（    ） ①近似数1.60与近似数1.6的精确度一样； ②近似数2.46万是精确到百分位； ③317500精确到千位表示为31.8万，也可以表示为； ④5.1亿是一个9位数； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度、有效数字和科学记数法的理解，逐个判断各说法的正误：①和②错误，③和④正确. 【详解】解：①：∵近似数1.60精确到百分位，而1.6精确到十分位， ∴精确度不同，故①错误； ②：∵近似数2.46万中，精确到百位，而非百分位， ∴②错误； ③：317500精确到千位，需看百位数字（百位为5，四舍五入）， ∴318000可表示为31.8万，也可表示为 ∴③正确； ④：5.1亿=510000000，该数有9位数字， ∴④正确. 综上，正确说法有2个. 故选：B 32．按四舍五入法则取近似值： （精确到百分位）； （精确到）； （精确到千位）． 【答案】 【分析】本题考查了近似数“一般来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”，熟记近似数的定义是解题关键．根据近似数的定义，利用四舍五入法则求解即可得． 【详解】解：（精确到百分位）； （精确到）； （精确到千位）； 故答案为：；；． 33．根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： (1) （精确到百分位）； (2) （精确到）． (3)近似数精确到 位，有 个有效数字． (4)所有绝对值小于4的整数的积是 ，和是 ． 【答案】(1) (2) (3)千；3 (4)0，0 【分析】本题主要考查精确度、有效数字、绝对值的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）精确到百分位，就是对千分位进行四舍五入； （2）精确到，就是对位进行四舍五入； （3）易得整数数位1所在的数位是十万，看最后的有效数字3在哪一位即可； （4）先求出绝对值小于4的所有整数，再根据有理数的乘法法则求出它们的积，有理数的加法法则求出它们的和． 【详解】（1）精确到百分位，即精确到小数点后第二位，由四舍五入法可得； （2）精确到，即精确到小数点后第三位，由四舍五入法可得； （3）近似数精确到千位，有效数字是1，2，3，一共3个； （4）∵绝对值小于4的整数有：，，，， ∴所有绝对值小于4的整数的积是0，和是0． 题型十二 二次根式的基本概念（共3小题） 34．若分式的值为0，则的值为（　　） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查分式为零的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式为零的条件是且是解答的关键． 根据分式为零的条件得到且，然后解方程即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得且， ∴， 故选：B． 35．若代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是 ； 【答案】且，且 【分析】本题考查了分母不为0，零次幂，二次根式有意义的条件，根据代数式在实数范围内有意义，得，再解出的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴且，且， 故答案为：且，且． 36．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3)，且 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件， 对于（1），根据二次根式有意义的条件可知，可求出答案； 对于（2），根据题意可知，可得答案； 对于（3），根据二次根式和分式有意义的条件可知，且，求出答案； 对于（4），根据题意可得，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知， 解得． 所以当得时，原式有意义； （2）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义； （3）解：根据题意，得，且， 解得，且． 所以当，且时，原式有意义； （4）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义． 题型十三 利用二次根式的性质化简（共3小题） 37．实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简绝对值问题，先根据m、n在数轴上的位置判断出m、n的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简求解即可． 【详解】解：∵由图可知，，， ∴ ． 故选：D． 38．已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．先根据，将二次根式和绝对值分别化简，计算后即可得出结果． 【详解】 ， ， 故答案为：． 39．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简： (2)若 求（1）中代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式、立方根的化简，合并同类项，二次根式的运算等知识，根据字母的取值范围正确化简是解题的关键． （1）由题意可得到，，据此化简原式即可； （2）把字母的值代入（1）中的化简结果即可得到答案． 【详解】（1）解：观察数轴得：，， （2）当时， 原式 题型十四 最简二次根式与同类二次根式（共3小题） 40．下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，被开方数中不含能开方开得尽的因式或因数，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数中含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 41．如果两个最简二次根式与能够合并，那么a值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式；两个最简二次根式能够合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同． 【详解】解：由题意得，最简二次根式与是同类二次根式，因此被开方数相等，即． 解方程：， ， 所以． 故答案为：． 42．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式可以合并， ∴最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 题型十五 二次根式的混合运算（共3小题） 43．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 44．计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再根据二次根式的加减法则计算即可； （2）先根据二次根式的乘除运算法则计算，然后合并同类二次根式即可； （3）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式，最后根据二次根式的除法法则计算即可； （4）先根据完全平方公式、平方差公式计算，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 45．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先把除法运算化为乘法运算，再根据二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可； （2）先利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型十六 分母有理化（共3小题） 46．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分母有理化，根据题意利用平方差知识，分子分母同时乘以，继而得到本题答案． 【详解】解：， 故选：A． 47．化简（且），得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．把分母有理化，即可获得答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 48．阅读材料：在二次根式中，当分母为无理数的二次根式时，我们通过运算，把该分母化为有理数的过程，称其为分母有理化或有理化分母． 例：①； ②； (1)分母有理化：； (2)观察上面运算过程，对下列式子进行分母有理化：； (3)请尝试对下列式子进行分母有理化：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的法则． （1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）利用平方差公式进行分母有理化即可； （3）利用平方差公式进行分母有理化即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型十七 二次根式的化简求值（共3小题） 49．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先计算出的值，再代入代数式，再利用二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 50．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)/ 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．将，代入各式进行化简求值即可求出答案． 【详解】（1）解（1） ． （2）解：（2） ． 51．先化简，再求值：，其中 【答案】 【分析】本题主要考查分式化简求值，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： = = =， 当时， 原式． 题型十八 二次根式的应用（共3小题） 52．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 【答案】(1)这个舞台的宽为米 (2)舞台装饰后的面积是平方米 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用， （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）利用二次根式的混合运算解题即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米） 答：这个舞台的宽为米； （2）解：装饰后矩形舞台的总面积为 （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是平方米． 53．据研究，高空抛下的物体下落的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）近似满足公式（不考虑其他因素的影响）． (1)小区居民楼每层高度近似3 m，从21层楼（按20个层高计算）高空抛物到落地所需时间是_________s，从11层楼（按10个层高计算）高空抛物到落地所需时间是________s；（结果保留根号） (2)是的多少倍？ 【答案】(1)； (2)是的倍 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，熟练掌握运算法则是关键． （1）根据所给公式代值计算即可； （2）根据（1）的计算结果求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：；； （2）解： ∴是的倍． 54．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的应用，根据题意求出正方形的边长是关键． （1）求出正方形的边长为，小正方形的边长为，即可求出答案； （2）用右边长方形面积减去正方形面积即可． 【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴长方形的周长为； 答：长方形的周长为； （2）右边长方形面积为， 减去两个正方形面积： 答：阴影部分的面积和为。 题型十九 算术平方根立方根有关的规律题（共3小题） 55．观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 【答案】(1)， (2)一 (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）根据算术平方根求解即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】（1）解：根据表格数据，，， （2）根据表格数据，被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，相应的算术平方根的小数点就向左（或向右）移动一位． （3）①已知，则， ②已知，若，则． 56．先观察下列各式：；；；； (1)计算：_________； (2)已知为正整数，通过观察并归纳，请写出_________； (3)应用上述结论，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）利用所得规律求解可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）． 【点睛】本题考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． 57．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【答案】(1)， (2)①；②32400 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案； （3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案； ③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，． （2）①解：， ， 故答案为：． ②解：， ， ， 故答案为：． （3）①解：， ， ， ， ， 故答案为：． ②解：， ， 故答案为：． ③， ， ， 故答案为：． 题型二十 实数的混合运算（共3小题） 58．计算结果为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，实数的加减，掌握知识点是解题的关键． 原式为多个绝对值之和，每个绝对值均为两个连续平方根之差．由于平方根函数单调递增，每个绝对值可化简为后一个平方根减前一个平方根，形成望远镜求和，中间项相互抵消，最终结果为最后一个平方根减去第一个平方根． 【详解】解： =， ． 故选：B． 59．已知m，n是有理数，且，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，能够结合有理数加减后仍是有理数这一性质列出二元一次方程组是解题关键． 化简题目中方程可得，根据m，n是有理数，可知，列方程求解即可求出m，n的值． 【详解】解： ， ， ， m，n是有理数， ， 解得． 故答案为：；． 60．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)______________，______________，的小数部分＝______________； (2)设的小数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得和；已知，则可求得的小数部分； （2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得的整数部分和小数部分，进而可求得，遵循同样步骤可求得，将和代入原式即可得解； （3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得的取值范围，进而根据已知条件可求得和，于是可求得，并最终求得的相反数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 的小数部分为， 故答案为：，，； （2）解：， ， ， 的小数部分为， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ，是整数，且， ，， ， 的相反数为． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质，求相反数等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． 题型二十一 实数的实际应用（共3小题） 61．阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 和为相邻的两个整数，． 等式两边同时平方，得：． __________得：________________________________． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则______． (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 【答案】(1)移项； (2) (3) 【分析】本题考查了平方根的应用，完全平方公式： （1）根据证明过程补全即可； （2）根据已知结论，得出，求出的值即可； （3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：和为相邻的两个整数， ， 等式两边同时平方得：， 移项得：． 故答案为：移项；； （2）解：和为两个相邻整数， 由（1）的结论可知：， ， ． 故答案为：25； （3）解：和为相差4的两个整数， ， 等式两边同时平方得：， ， ． 62．小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 63．我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 【答案】(1) (2)①两；②7；③2；④27 (3)这个正方形棱长是72 【分析】本题考查立方根的应用，理解立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据立方根的意义进行计算即可； （2）利用题目提供的方法进行计算即可； （3）利用立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：要得到的结果，可以按如下步骤思考： ①∵，而， ∴， 由此得是两位数； ②∵19683的个位上的数是3，而只有7的立方的个位上的数是3， ∴的个位上的数是7； ③∵，且， 所以的十位上的数字是2； ④综合以上可得，； （3）解：设这个正方形棱长是x， 根据题意得：， 故， 求解如下： 第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为373248的个位上的数是8，而2的立方的个位上的数是8，所以的个位上的数是2； 第三步：确定十位数字，划去373248后面的三位248得到373，因为，而，所以的十位上的数字是7； 综合以上可得，， 故这个正方形棱长是72． 题型二十二 复合二次根式的化简问题（共3小题） 64．设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案． 【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∵的整数部分是， ∴小数部分为， 选项B是，选项C是， 只有选项C最接近答案． 故选：C． 65．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 66．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式得出进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出进而求出即可． 此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． 【详解】（1）； （2）解：． 题型二十三 分母有理化问题（共3小题） 67．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，； 利用以上结论解答以下问题： (1)_____； (2)利用上面结论，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质、二次根式的乘法法则、平方差公式等知识点，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键． （1）分子分母同时乘以，然后根据平方差进行计算即可； （2）先根据例2化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：由例2可得：， ． 68．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是___________；化简___________； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理化因式，平方差公式. （1）理解定义，利用平方差公式计算即可， （2）把分母都看成1，然后第一个式子的分子分母同时乘以，第二个式子分子分母同时乘以，然后比较所得结果的大小可得答案． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； 故答案为：，； （2）， 理由如下： ， ， ， ， 所以． 69．【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． (1)化简：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式将形如的式子化为的形式； （1）直接应用例题的方法求解； （2）分别化简后求和； （3）先把各项中分母的无理式变成的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设，，得，或，． ． （2）解：对于，设，，得，或，． ． 对于，同理，（）． 原式． （3）解： ． 题型二十四 二次根式新定义问题（共3小题） 70．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 71．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 72．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 【答案】(1)①，②； (2)； (3)． 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； 故答案为： ②由①得，已知，两式相加得到， ， 即， 则，解得， 经检验，是原方程的根， 即方程的解是； （2）解： 由二根式有意义的条件得到， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $