专题04 轴对称和中心对称（期末复习讲义，知识必备+12大重难题型+过关验收）八年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学期末复习讲义以“核心考点-复习目标-考情规律”表格为统领，系统梳理轴对称、中心对称等知识，通过对比表格明晰轴对称与轴对称图形的区别联系，分层呈现定义、性质、判定要点，构建清晰知识脉络。 讲义按十二大题型分类，每类配备“解题技巧”，如画轴对称图形的“找-画-连”步骤培养几何直观，垂直平分线判定证明题强化推理意识，图案设计题发展应用意识。分层练习覆盖基础到综合，助力学生自主复习，教师可精准教学。

专题04 轴对称和中心对称（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称图形 掌握轴对称图形的概念 一般在小题中考查 根据轴对称图形的特征进行求解 掌握轴对称图形的特征，并根据轴对称图形的特征判断边、角关系 一般在解答题中考查 画轴对称图形 掌握轴对称图形的画法 一般在作图题中考查 线段垂直平分线的判定与性质 掌握线段垂直平分线的判定与性质 一般在解答题中考查 尺规作垂直平分线 掌握垂直平分线的尺规作图法 一般在作图题中考查 角平分线的判定与性质 掌握角平分线的判定与性质 一般在解答题中考查 尺规作角平分线 掌握角平分线的尺规作图法 一般在作图题中考查 中心对称 掌握中心对称的概念 一般在小题中考查 中心对称性质 掌握中心对称的性质 一般在小题中考查 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案 掌握图形的平移、旋转和轴对称概念，并学会设计图案 一般在解答题中考查 知识点01 轴对称图形 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 4．轴对称变换 一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 【注意】 （1）成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的． （2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的． 5．画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 知识点02 线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 知识点03 角平分线 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上。 知识点04 中心对称 1.中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。 2.作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。 3.中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 4.中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 知识点05 图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 2.旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 3.利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 题型一 轴对称图形 解｜题｜技｜巧 1、对称轴是一条直线，而不是射线或线段． 2、一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． 3、轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 1．地铁是城市生活中重要的交通工具，下列文字上方的西安地铁站名标识中，是轴对称图形的是（   ） A．半坡 B．北客站 C．龙首原 D．延兴门 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可互相重合即为轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：选项A、B、C均不是轴对称图形，不符合题意； 选项D：原图是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．下列图形：线段、角、长方形、直角三角形、平行四边形、等边三角形、圆，其中一定是轴对称图形的有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知， 线段，角，长方形，等边三角形和圆一定是轴对称图形； 直角三角形和平行四边形不一定是轴对称图形， 所以一定是轴对称图形有5个． 故答案为：． 3．观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是 ． 有一条对称轴的图形是 ． 有两条对称轴的图形是 ． 有三条对称轴的图形是 ． 有三条以上对称轴的图形是 ． 【答案】 （1）、（6） （2）、（5） （4） （3） （7）、（8） 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两边的部分能够重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此求解即可． 【详解】解：没有对称轴的图形是（1）、（6）， 有一条对称轴的图形是（2）、（5）， 有两条对称轴的图形是（4）， 有三条对称轴的图形是（3）， 有三条以上对称轴的图形是（7）、（8）， 故答案为：（1）、（6）；（2）、（5）；（4）；（3）；（7）、（8）． 4．如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．，是筝形的对角线．请你通过探究判断下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③平分；④筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线． 【答案】①③/③① 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，筝形的对称性，解决本题的关键是判断出．用直接判断出，逐个分析选项，即可得出结论． 【详解】解：在和中，， ， ，，， 平分． 筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线所在直线， 与不一定相等， ①③正确， 故答案为：①③． 题型二 根据成轴对称图形的特征进行求解 解｜题｜技｜巧 1、两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2、轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3、轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． 4、成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 5．有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 ． 【答案】书 【分析】根据轴对称图形的性质得出这个单词，进而得出答案．本题主要考查了轴对称图形的性质，正确得出单词的名称是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 6．如图，为四边形的对称轴，点，是上的两点．已知，．则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，三角形中线的性质，根据轴对称图形的性质可得垂直平分，则可推出，进而可得，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵为四边形的对称轴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 7．如图，内有一点P，P点关于的对称点是G，P点关于的轴对称点是H，分别交、于点A、B．若的长为14，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，，然后可得答案． 【详解】解：∵P点关于的轴对称点是G，P点关于的轴对称点是H， ∴，， ∵的长为14， ∴的周长为：， 故答案为：14． 8．如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点_______，点的对称点是点______； (2)若，则_______． (3)写出两组相等的线段． 【答案】(1)， (2)45° (3)，．（答案不唯一） 【分析】本题考查了图形成轴对称的定义及性质，根据轴对称的性质即可判断，掌握图形成轴对称的定义及性质是解题的关键． （1）观察图形，根据轴对称的性质即可求解； （2）观察图形，根据轴对称的性质即可求解； （3）根据轴对称的性质即可求解； 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴点的对称点是点，点的对称点是点 故答案为：，． （2）解：∵与关于直线对称， ∴，则45° （3）解：，．（答案不唯一） 题型三 画轴对称图形 解｜题｜技｜巧 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 9．（1）在图1空白的方格中，画出阴影部分的图形沿虚线翻折后的图形； （2）在图2的方格纸上，将图形先向右平移3格，再向下平移4格，画出平移后的图形； 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了轴对称作图和平移作图，用到的知识点为：两点关于某条直线对称，那么这两点的连线被对称轴垂直平分；图形的平移，与对应点的平移一致． （1）分别作出三个顶点关于直线对称的点，再顺次连接即可得到结果； （2）把图形中的一点按照所给平移的距离和方向得到相应的对应点，依次画出其余各点，连接即可； 【详解】解：（1）如图所示， （2）如图所示， 10．如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称； (2)在直线上找一点，使得的和最小；（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据成轴对称图形的特征进行求解，画轴对称图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点即可； （2）连结交m于点D，点D即可为所求作． 【详解】（1）解：如图，作，使它与关于直线对称； （2）连结交m于点D，连结， 因为与关于直线m对称， 所以， 所以， 依据两点之间线段最短，可知点D为所作求的点． 11．如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，和关于直线成轴对称． (1)请在如图所示的网格中作出． (2)连接，则与直线的关系是______． (3)在直线上找一点，使得值最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由轴对称的性质，解答即可． （3）连接，交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵和关于直线成轴对称， ∴； 故答案为： （3）解：如图，连接，交直线l于点P，连接，点P即为所求． 12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点分别在格点上．请在网格中按要求作出下列图形，并标注相应的字母． (1)将向右平移6个单位得到； (2)关于直线l对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了图形的平移和轴对称，准确找到变换后的对应点是关键． （1）找到点向右平移6个单位的对应点，顺次连接即可； （2）找到点关于直线l对称的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求． 题型四 垂直平分线的判定 解｜题｜技｜巧 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 13．如图，，，点E是线段上任意一点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 连接，证得是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质证得即可． 【详解】证明：连接， ，， 在线段的垂直平分线上，B在线段的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线， 在上， ． 14．如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 15．如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 【答案】(1)见解析 (2)点P在边的垂直平分线上，理由见解析 (3)①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等．③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型． （1）运用垂直平分线的性质可得，，进而证明结论； （2）运用垂直平分线的判定定理即可解答； （3）运用(1)中的结论以及确定圆的条件，综合(1)(2)的结论，即可得到相应的结论． 【详解】（1）证明：∵点P是的垂直平分线上的点， ∴． 同理． ∴； （2）解：点P在边的垂直平分线上． 理由：， ∴点P在边的垂直平分线上； （3）解：由（1）、（2）可得： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点． ②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等． ③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 16．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点A、在线段的垂直平分线上，即可证明结论； （3）根据，得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵分别是和的高， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴点A、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 题型五 垂直平分线的性质 解｜题｜技｜巧 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 17．如图，已知．的垂直平分线交于点E交于点F．连结，若，的周长为18，求的周长． 【答案】的周长为12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握此性质是关键； 由线段垂直平分线的性质得，，进而得；由的周长可得，即为的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 由题可知， ， ， 即的周长为12． 18．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，进而得，再根据周长，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴周长． 19．如图，已知． (1)作边的垂直平分线，分别交边，于点，（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作法、垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线，分别交边，于点，即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，再利用三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，边的垂直平分线即为所求： （2）解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∴的周长． 20．如图，在中，，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定； （1）由得出，再加上和，即可得证； （2）由垂直平分线的定义可得垂直平分，进而得出，再由全等的性质可得，可得长度，即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ∴. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴. 题型六 尺规作垂直平分线 21．如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，准确作图是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式和等量代换即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）连接， ∵垂直平分， ∴， ，， 的周长为． 22．按下列要求完成画图： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，在三角形中，C是边上的一点．请用直尺和圆规作，使，且射线交于点F； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的相关方法是解题的关键． （1）在射线依次截取，，线段为题目要求所作线段． （2）分别以点E、C为圆心，大于长度为半径画圆弧，交于点P、Q，连接交于点F，连接并延长至点M，即为题目要求所作角度． 【详解】（1）解：如图，在射线依次截取，，线段为题目要求所作线段． （2）如图，分别以点E、C为圆心，大于长度为半径画圆弧，交于点P、Q，连接交于点F，连接并延长至点M，即为题目要求所作角． 23．如图，已知中边上一点． (1)尺规作图：在上求作一点，并连接，使．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为 【分析】本题考查了尺规作图（垂直平分线的作法与性质）和三角形周长的计算，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）由（1）知，结合周长公式得 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）由（1）知， ∴． 24．操作与探究： 定义：已知两点、位于直线的同侧，在直线上存在一点，使，则点称为两点、的“等距点”．在直线上存在一点，使的和最短，则点称为两点、的“最佳观测点”． (1)在左图和右图中分别作出“等距点”点和“最佳观测点”点（要求尺规作图，保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； (2)如图，在直线上存在一点，使点既是两点、的“等距点”又是两点、的“最佳观测点”，求证：此时两点、所在的直线和直线平行． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的作法与性质，对称的性质，正确作图是解答本题的关键． （1）作出线段的垂直平分线交直线于点，则点为两点、的“等距点”．作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点为两点、的“最佳观测点”． （2）证明，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可得． 【详解】（1）解：如图，点为两点、的“等距点”． 作法：连接，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，过作直线交直线于点，则点为两点、的“等距点”． 如图，点为两点、的“最佳观测点” 作法：过点作直线的垂线，垂足为，截取，连接交直线于点，则点为两点、的“最佳观测点”； （2）解：连接，延长交过点与直线垂直的直线于点， ∵点是两点、的“等距点”， ∴， ∴， 又点是两点、的“最佳观测点”， ∴直线垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∵， ∴． 题型七 角平分线的判定 25．如图，在和中，，，，分别交，于点F，G，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，角平分线的判定． （1）根据判定即可得证． （2）分别过点A作于点M，于点N，证明，可得，再根据角平分线的判定即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ． （2）证明：如图，分别过点A作于点M，于点N， ， ，， ， ， ，， 平分． 26．已知：如图，，，垂足分别为D，E，相交于点O． (1)求证：当时，． (2)求证：当时，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）由，，，根据角平分线的性质，，而，即可根据“”证明，得； （2）由，根据“”证明，得，即可证明平分，则． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点O在的平分线上， ∴平分， ∴． 27．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）过点作于，根据全等三角形的性质，得到，利用面积公式推出，即可得证； （3）证明，，推出，进而得到的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ． （2）过点作于，如图所示： ， ，， 又，即， ， 又，， ， 平分． （3）在和中，， ， 同理：， ， ， 的面积， ， ， 解得：； 故答案为：3． 28．已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4cm 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【详解】（1）证明：，， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 题型八 角平分线的性质 29．（1）提出问题：如图1，已知平分，点D、E分别在上．若，求证：． 思路梳理：（请根据思路梳理的过程填空） 证法1：由平分，，可得①____________，则． 证法2：由平分，，则，其理论依据是②________． （2）类比探究：如图2，已知平分，点D、E分别在上．若，求证：． 【答案】（1）；角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键． （1）方法1：利用全等三角形的性质证明； 方法2：利用角平分线的性质定理证明即可； （2）过点C作于点Q，于点P，证明，可得结论； 【详解】证法1：如图1中，∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； 证法2：∵平分，， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）证明：如图2，过点C作于点Q，于点P， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点C是的平分线上，且， ∴， ∵， ∴， ∴ 30．如图，在中，平分，平分，于点E，于点F． (1)若，求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）角平分线的性质，得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分，， ∴， ∴； （2）解：∵平分，于点E，于点F， ∴， ∴． 31．如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)作出的边上的高； (3)在（1）和（2）的条件下，若的面积为40，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由三角形外角的定义和性质得出，再由角平分线的定义即可求出． （2）过点E作交的延长线与点M． （3）过点作于点，过点作于点．由三角形面积公式求出，由含30度直角三角形的性质得出，由角平分线的性质定理得出，最后根据即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ． 为的角平分线， （2）解：如图，即为所求作 （3）解：如图，过点作于点，过点作于点． ，为的中线， ． ． ． 在中， ， ． 为的角平分线，，， ． ， ， 即． ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，角平分线有关的计算，三角形中线的性质，三角形外角的定义，作三角形高等知识，掌握这些知识是解题的关键． 32．（1）【母题呈现】如图的三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． （2）【知识应用】在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． ①如图1，若，求的面积； ②如图2，求证：平分； ③如图3，过点作于，若，求的长． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；③ 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）①根据折叠得出，，，根据求出结果即可； ②过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可； ③过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）①根据折叠可知：，，， ； ②证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分； ③如图，过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接， 由题可知，，， ， 由（2）可知， ， ， ， ∵，， ∴， 解得：． 题型九 尺规作角平分线 33．用圆规与直尺作图：如图，有两条国道相交于O点，在的内部有两村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作图，作出加油站P的位置（不写作法）． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了角平分线、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法． 作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点P就是所求点． 【详解】解：如图所示：P点即为所求． 34．（1）请你用圆规和直尺在图1中找到点O，使（保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，当时，则________； （3）请用圆规与直尺在图2的外找一点P，使．（点P在直线的上方，但不在射线或射线上，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）作边、的垂直平分线交于点，点O即为所求的点； （2）由等边对等角可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，即可得出结果； （3）作以及的外角的角平分线，交于点，点即为所求的点 【详解】解：（1）如图1，点O即为所求的点． ， 由作图可得：边、的垂直平分线交于点， 由线段垂直平分线的性质可得：，， ∴； （2）， ，， ， ， ， ． （3）如图2，点P即为所求的点． ， 由作图可得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 35．如图所示，在中： (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序是怎样_______．（将序号按正确的顺序写出）． ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③画射线． (2)能说明的依据是_______（填序号）． ①    ②    ③    ④角平分线上的点到角两边的距离相等 (3)如图，若点在的平分线上且，求证：． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的作法等知识点，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）根据尺规作图作角平分线的步骤解答即可； （2）根据全等三角形的判定定理和性质定理即可解答； （3）延长，过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质得出，证明，得出即可． 【详解】（1）解：作 的平分线的正确顺序是②①③， 故答案为：②①③； （2）如图：连接， ， 在和中， ， ∴ ， ∴， 故答案为：①； （3）延长，过点D作于点E，于点F，如图所示： 则， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了用证明三角形全等（），全等的性质和（）综合（或者），角平分线的性质定理，作角平分线(尺规作图)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 36．如图，中，，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)在如图（1）边上求作一点D，使点D到点A、C两点的距离相等； (2)在如图（2）边上求作一点E，使得. 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查尺规作图画已知线段的垂直平分线，尺规作图画已知角的角平分线； （1）作线段的垂直平分线与的交点即为点D； （2）使得的点E到、的距离相等，即的角平分线与的交点. 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点D，连接， 由垂直平分线的性质可知：， 则点D即为所求. （2）解：如图，作的平分线，交于点， 此时点E到、的距离都等于的长度， ∴， 则点E即为所求. 题型十 中心对称 37．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点、、均是格点．将向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图． (1)在网格中画出； (2)在网格中画出，使得与关于点成中心对称； (3)与成______对称（填“中心”或“轴”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)中心 【分析】本题主要考查了平移变换、中心对称变换以及中心对称图形和轴对称图形的识别． （1）根据平移的性质，分别将、、按“向上平移3个单位，再向左平移1个单位”的规则找到对应点、、，再连接成三角形． （2）依据中心对称的性质，找、关于的对称点、，然后连接得到三角形． （3）根据中心对称图形及轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：与成中心对称图形， 故答案为：中心． 38．画一画：如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，点是直线上一点，的顶点均在格点上， (1)画出关于直线对称的； (2)画出将绕点按逆时针旋转所得的； (3)与成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴； (4)与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，请画出对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)成轴对称，见解析 (4)成中心对称，见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转性质和轴对称性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于直线1对称的； （2）根据旋转的性质即可画出将绕点O按逆时针旋转所得的； （3）与成轴对称图形，画出所有的对称轴即可； （4）与成中心对称图形，画出对称中心即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：与成轴对称图形，对称轴是直线a和直线b； （4）解：与是中心对称图形，对称中心是点P． 39．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)平移图中的，使点A移到点的位置，画出平移后的；画出关于点O成中心对称的； (2)与是否成中心对称？若是，画出其对称中心点P的位置； (3)在直线上找一点Q，使的周长最小，请在图中标出点Q的位置． 【答案】(1)见解析 (2)与是中心对称，对称中心点P的位置见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，解题时注意，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，根据轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （1）根据平移的方向和距离进行作图即可；根据中心对称图形的性质作图即可； （2）根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分进行作图确定中心点P的位置； （3）过轴对称来确定，即作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点就是所要找的点． 【详解】（1）解：如图所示：，为所求； （2）解：与是中心对称，对称中心点P的如图所示： （3）解：如图所示，点Q为所求： 40．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和格点． (1)平移，使得点与点重合，画出平移后的； (2)画出关于点成中心对称的； (3)判断与是否成中心对称，如果是并在图中标出对称中心． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)与成中心对称，点的位置见解析． 【分析】（）根据平移的性质作图即可； （）根据中心对称图形的性质作图即可； （）根据中心对称图形的定义判断即可； 本题考查了平移作图，作中心对称图形，掌握平移的性质和中心对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：连接，可得三条线相交于同一点， ∴与成中心对称，交点即可对称中心． 题型十一 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 41．【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】尝试应用：作图见解析 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握其概念是解题关键．由平行四边形的性质可知，对角线的交点为平行四边形的中心，的中心为圆心，结合中心对称的知识，不难发现过中心的直线将图形分割成面积相等的部分． 【详解】解：如图所示： 42．如图，在长方形中，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P在边上运动时， （用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解； （3）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，重合，此时不重合， 当重合时，， ； （3）解：当时，或， 解得，或， 或； （4）解：当点在上时，连接，如图甲所示， ， ， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，如图乙所示， ， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 43．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)15 (3)平行四边形，理由见解析 【分析】（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段AD、CF上，则连接AD和CF，它们的交点即为对称中心O； （2）根据中心对称的两个三角形全等可得到△DEF各边的长，然后计算△DEF的周长； （3）根据中心对称的性质得OA=OD，OC=OF，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形ACDF为平行四边形． 【详解】（1）如图，点O为所作： （2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△DEF， ∴DF=AC=6，DE=AB=5，EF=BC=4， ∴△DEF的周长=4+5+6=15； （3）四边形ACDF为平行四边形．理由如下： ∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴OA=OD，OC=OF， ∴四边形ACDF为平行四边形． 【点睛】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定方法是解答本题的关键． 44．一个L形图如图1所示，现需解决如何画一条直线将其分为面积相等的两部分的问题．    (1)分析问题： 本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，______图形绕其对称中心旋转______后能与原图形重合，因此过其______的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． (2)操作发现 如图2，该图形可以看成由左、右两个正方形构成，分别确定两个正方形的对称中心，然后连线即可得到符合要求的分割线．类似的，该图形还可以看成由上、下两个长方形构成，分别确定两个长方形的对称中心，然后连线也可得到符合要求的分割线．请按此要求画出分割线，在图3上完成（保留作图痕迹，不写画法）． (3)深度探究： 由于本题的分割线不唯一，如果采取把图形右上角弥补一个小正方形，让L形先变为长方形后，再分别找正方形和长方形的……，请再按此要求画出分割线，在图4上完成（保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)中心对称，，对称中心 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义填写即可； （2）（3）根据题干的提示，利用中心对称的性质画图即可． 【详解】（1）解：本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，中心对称图形绕其对称中心旋转后能与原图形重合，因此过其对称中心的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． （2）如图，即为所求；    （3）如图，即为所求．    【点睛】本题考查了中心对称的应用，解题的关键是根据中心对称的性质得到过对称中心的直线将图形面积分为两个相等的部分． 题型十二 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案 45．下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（   ） A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 【答案】D 【分析】此题考查了平面图形的分割与组合，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 根据已知图形，利用分割与组合的原理对图形进行分析即可． 【详解】解：如图所示：图案是由五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠）， 这两种基本图形是②⑤． 故选：D． 46．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成灰色，使整个涂成灰色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 ． 【答案】4 【分析】此题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题的关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有4种选法．根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可． 【详解】解：如图，有4个位置使之成为轴对称图形， 故答案为：4． 47．（1）把一张正方形薄纸片按图示方法对折，并剪去两个相同的角： ①你能猜出将纸片打开后的形状吗？请试着画出这个形状的图形． ②这个图形是轴对称图形吗？如果是，请画出它的所有对称轴． （2）先用一张正方形的纸设计并剪出一个轴对称图形，然后与同学交流各自的剪法． 【答案】（1）①将纸打开后为十二边形，图见解析；②十二边形是轴对称图形，图见解析；（2）见解析 【分析】本题考查剪纸问题，对于此类问题，只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现出来，本题培养了学生的动手能力和空间想象能力． （1）①利用图形的翻折，由翻折前后的图形是全等形，通过动手操作得出答案；②根据轴对称图形的性质求解即可； （2）利用图形的翻折，由翻折前后的图形是全等形，通过动手操作得出答案． 【详解】解：（1）①将纸打开后为十二边形； ②十二边形是轴对称图形，共有十二条对称轴，如下图虚线所示； （2）把一张正方形薄纸片按图示方法对折，并在右上角和左下角剪去相同的正方形， 得到的展开图形如下： 48．如图均为的正方形网格，点A , B , C在格点（小正方形的顶点）上. (1)在图①中确定格点D, 并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图②中确定格点E , 并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)在图③中确定格点F,并画出一个以A、B、C、F为顶点的四边形，使其既为轴对称图形，又是中心对称图形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确把握中心对称和轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． （1）根据轴对称图形的定义画出一个等腰梯形即可； （2）根据中心对称图形的定义画出一个平行四边形即可； （3）根据轴对称及中心对称图形的定义画出一个长方形即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）如图所示即为所求： （3）如图所示即为所求： 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·期末）第十五届全国运动会于2025年11月在广东、香港、澳门举行，会徽中的花瓣分别提取自粤港澳三地代表性植物木棉、紫荆花、莲花的外形与色彩元素．下面关于花瓣的图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据题意要求逐一分析判断选项并选出不是轴对称图形的选项即可． 【详解】解：A项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； B项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，所以不是轴对称图形，符合题意； C项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； D项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末）中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是中心对称图形的为（   ） A．爱 B．我 C．中 D．华 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义（绕某一点旋转180度后能与自身完全重合的图形）是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、爱不是中心对称图形，不符合题意； B、我不是中心对称图形，不符合题意； C、中是中心对称图形，符合题意； D、华不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的性质及相关概念，轴对称图形的对称轴是直线，据此可判断（1）（3），轴对称图形的轴对称可能不止一条，据此可判断（2）；根据轴对称的性质可判断（4）（5）． 【详解】解：（1）角平分线所在的直线是角的对称轴，原说法错误； （2）轴对称图形可能有多条对称轴（如圆有无数条），原说法错误； （3）等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，而非高本身，原说法错误； （4）两个图形成轴对称，则它们全等，原说法正确； （5）若A、B关于直线对称，则垂直平分，而非垂直平分，原说法错误 综上，正确说法有（4），共1个， 故选：A． 4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）围棋是中国古代称为“弈”的传统棋类，拥有超过四千年的历史．观察下列几位同学模拟“对弈”时排列出的图形，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，故本选项符合题意； B、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 5．（24-25八年级上·河北·期末）将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查了轴对称的性质，平角的定义，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质得到，再结合，即可求得答案． 【详解】解：由图形折叠可知，， ， ， 解得． 故答案为：． 6．已知直线，垂足为，则图形①与图形 成轴对称．    【答案】② 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键，根据轴对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：观察图形可知，图形和图形是关于对称的． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，平分，，则点D到的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，平分，， ∴， 即点D到边的距离是5， 故答案为：5． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：18． 9．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在的平分线上，过点作于点，于点，点在边上，且．求点到射线的距离． 【答案】1 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，求得，从而得到P到的距离． 【详解】解：在的平分线上，于点，于点， ， ， ， 点到射线的距离是线段的长，是1． 10．如图所示，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，四边形在直线的左侧，其四个顶点A，B，C，D都在网格的格点上（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点）． (1)请你在所给的网格中画出四边形，使四边形和四边形关于直线对称，其中点，，，分别是点A，B，C，D的对称点； (2)在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出点A到点的距离． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了轴对称变换的知识，掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）根据轴对称的性质，找到各点的对称点，顺次连接即可； （2）结合图形即可得出线段的长度． 【详解】（1）如图，四边形即为所求． （2）由图可知点A和点到直线l的距离都是3网格，即为3，所以点A到点的距离为6． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作、、的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为、、， 、、是的三条角平分线， ， ，的面积为， ， ， 的面积 ， 故选：D 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 13．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得，． 故选：B． 14．（24-25八年级上·河北·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点H，若，，则的面积是（    ） A．3.5 B．7 C．14 D．14.5 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由作图过程可知，射线为的平分线，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由作图过程可知，射线为的平分线， 过点作于点， ， ， 的面积是． 故选：B． 15．（24-25八年级上·河北衡水·期末）如图，把长方形沿折叠后，点D、C分别落在，的位置，若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握利用轴对称的性质的性质求解角度的大小是解题的关键． 首先求出，根据折叠的性质的性质，可以求得，从而可以得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴ 由折叠得，， ∴ 故答案为：． 16．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能运用求解． 先利用垂直平分线的性质得出，结合，可得，再结合，可求得的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短、线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 【详解】解：点与点关于直线对称， ， ， 两点之间，线段最短， 当点、、三点共线时，的值最小为． 故答案为：两点之间，线段最短． 18．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于，的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；由轴对称的性质可知，然后根据及三角形的周长公式可进行求解． 【详解】解：由轴对称的性质可知， ∵，的周长， ∴的周长， 故答案为：9． 19．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程． 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在射线上取点，使； ②作； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点． 所以射线就是所求的角平分线． 根据小帅的作图过程， (1)求证：射线是的平分线； (2)若点到射线的距离为，求的面积． 【答案】(1)见下方解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定以及点到直线的距离和三角形面积公式等知识点． （1）关键在于利用平行线的性质、等腰三角形的性质以及等量代换的思想来证明．利用三角形中等边对等角，再利用同位角相等，两直线平行，再利用平行证明内错角相等，等等量代换即可； （2）关键是理解角平分线的性质，将点到的距离转化为中边上的高． 【详解】（1）由题可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的平分线． （2）过点作于点，于点, 由题可知， 由（1）可知射线是的平分线， ∴， ∴， ， ． 故答案为：． 20．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2)． 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、角平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． （1）由垂直平分线性质得，再由，即可判定平分，进而求得的度数； （2）由垂直平分线性质得，再结合的周长为，的周长为即可得解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ， 又， 平分， ， 即的度数为； （2）解：垂直平分， ， 的周长， 的周长， ， ， 即的长为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解题关键是利用角平分线的判定定理得出角平分线，再结合三角形内角和与外角性质进行角度计算． 利用角平分线判定定理得出相关角的平分线，再结合三角形外角性质和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵，，且， ∴平分．即：， 同理可得：， 又∵，， ∴， ∴ 在中，， ∴． 故选为：C． 22．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：由线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分交于点， ∴， ∴的周长， 即． 故选：D． 23．（24-25八年级上·河北·期末）如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题重点考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由，据此可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 24．如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识．解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：∵中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G． ∴． ∵的周长为16，即， ∵， ∴． 故选：B． 25．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为 ． 【答案】22 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故答案为：22． 26．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据中垂线的性质，得到，进而得到，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，于点D， ∴， 连接，如图， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，当且仅当点为与的交点时取等号， ∵，，的面积为， ∴， 解得：， ∴的周长 故答案为： 7． 27．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中，点D是边上的一点，连接，且，平分，交于点E，过点E作，垂足为F，连接，且．若，，的面积是，则的面积是 ． 【答案】84 【分析】先算出，再结合，，得出，，故平分，再结合角平分线的性质得出，运用三角形面积之间的关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 如图，过E作于N，延长，过E作于H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ， 故答案为：84． 【点睛】本题考查了邻补角互补，三角形内角和性质，角平分线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 28．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，的平分线与的平分线交于点M，作射线，有下列结论：①；②；③射线是的平分线；④，则其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】由角平分线的定义可知．再根据三角形外角的性质得出，即可确定，故①正确；过点M作于点F，于点G，于点H，由角平分线的性质定理可得出．即易证，得出，即说明射线是的角平分线，故③正确；利用反证法，假设，易证，即得出．由，可知，即说明不成立，故②错误；由，即得出．再根据角平分线的定义即得出，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确． 【详解】解：∵为的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点M作于点F，于点G，于点H， ∵为的平分线，为的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴，即射线是的角平分线，故③正确； 假设， ∴． ∵为的平分线，是的角平分线， ∴，， ∴，即， ∴，即． ∵， ∴， ∴假设不成立，故②错误； ∵， ∴． ∵， ∴ ， ∴④正确． 综上可知所有正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键． 29．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中． (1)利用尺规作图，作出边上的垂直平分线，分别交，于点D，E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．若，，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理． （1）分别以点B，点C为圆心大于长为半径画弧，两弧相交于两点，连接圆弧的交点，与交点E，交点D，垂直平分线即为所求； （2）利用线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 30．（23-24八年级上·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质及三角形外角的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应边相等、对应角相等的关系，再结合三角形内角和、外角性质或平角定义推导角的数量关系． （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 【详解】（1）解： 由折叠的性质可得， ， ， ，即； 故答案为： ； （2）解：， ， 由折叠的性质可得， ， ， ； （3）解： 由折叠的性质可得 ， ， ， ， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 轴对称和中心对称（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称图形 掌握轴对称图形的概念 一般在小题中考查 根据轴对称图形的特征进行求解 掌握轴对称图形的特征，并根据轴对称图形的特征判断边、角关系 一般在解答题中考查 画轴对称图形 掌握轴对称图形的画法 一般在作图题中考查 线段垂直平分线的判定与性质 掌握线段垂直平分线的判定与性质 一般在解答题中考查 尺规作垂直平分线 掌握垂直平分线的尺规作图法 一般在作图题中考查 角平分线的判定与性质 掌握角平分线的判定与性质 一般在解答题中考查 尺规作角平分线 掌握角平分线的尺规作图法 一般在作图题中考查 中心对称 掌握中心对称的概念 一般在小题中考查 中心对称性质 掌握中心对称的性质 一般在小题中考查 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案 掌握图形的平移、旋转和轴对称概念，并学会设计图案 一般在解答题中考查 知识点01 轴对称图形 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 4．轴对称变换 一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 【注意】 （1）成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的． （2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的． 5．画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 知识点02 线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 知识点03 角平分线 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上。 知识点04 中心对称 1.中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。 2.作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。 3.中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 4.中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 知识点05 图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 2.旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 3.利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 题型一 轴对称图形 解｜题｜技｜巧 1、对称轴是一条直线，而不是射线或线段． 2、一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． 3、轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 1．地铁是城市生活中重要的交通工具，下列文字上方的西安地铁站名标识中，是轴对称图形的是（   ） A．半坡 B．北客站 C．龙首原 D．延兴门 2．下列图形：线段、角、长方形、直角三角形、平行四边形、等边三角形、圆，其中一定是轴对称图形的有 个． 3．观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是 ． 有一条对称轴的图形是 ． 有两条对称轴的图形是 ． 有三条对称轴的图形是 ． 有三条以上对称轴的图形是 ． 4．如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．，是筝形的对角线．请你通过探究判断下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③平分；④筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线． 题型二 根据成轴对称图形的特征进行求解 解｜题｜技｜巧 1、两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2、轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3、轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． 4、成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 5．有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 ． 6．如图，为四边形的对称轴，点，是上的两点．已知，．则阴影部分的面积为 ． 7．如图，内有一点P，P点关于的对称点是G，P点关于的轴对称点是H，分别交、于点A、B．若的长为14，则的周长为 ． 8．如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点_______，点的对称点是点______； (2)若，则_______． (3)写出两组相等的线段． 题型三 画轴对称图形 解｜题｜技｜巧 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 9．（1）在图1空白的方格中，画出阴影部分的图形沿虚线翻折后的图形； （2）在图2的方格纸上，将图形先向右平移3格，再向下平移4格，画出平移后的图形； 10．如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称； (2)在直线上找一点，使得的和最小；（保留作图痕迹） 11．如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，和关于直线成轴对称． (1)请在如图所示的网格中作出． (2)连接，则与直线的关系是______． (3)在直线上找一点，使得值最小． 12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点分别在格点上．请在网格中按要求作出下列图形，并标注相应的字母． (1)将向右平移6个单位得到； (2)关于直线l对称的． 题型四 垂直平分线的判定 解｜题｜技｜巧 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 13．如图，，，点E是线段上任意一点，连接，．求证：． 14．如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 15．如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 16．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分； (3)若，，求的长． 题型五 垂直平分线的性质 解｜题｜技｜巧 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 17．如图，已知．的垂直平分线交于点E交于点F．连结，若，的周长为18，求的周长． 18．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求周长． 19．如图，已知． (1)作边的垂直平分线，分别交边，于点，（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，的周长为，求的周长． 20．如图，在中，，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当时，求的长． 题型六 尺规作垂直平分线 21．如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 22．按下列要求完成画图： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，在三角形中，C是边上的一点．请用直尺和圆规作，使，且射线交于点F； 23．如图，已知中边上一点． (1)尺规作图：在上求作一点，并连接，使．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)若，，求的周长． 24．操作与探究： 定义：已知两点、位于直线的同侧，在直线上存在一点，使，则点称为两点、的“等距点”．在直线上存在一点，使的和最短，则点称为两点、的“最佳观测点”． (1)在左图和右图中分别作出“等距点”点和“最佳观测点”点（要求尺规作图，保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； (2)如图，在直线上存在一点，使点既是两点、的“等距点”又是两点、的“最佳观测点”，求证：此时两点、所在的直线和直线平行． 题型七 角平分线的判定 25．如图，在和中，，，，分别交，于点F，G，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 26．已知：如图，，，垂足分别为D，E，相交于点O． (1)求证：当时，． (2)求证：当时，． 27．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 28．已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 题型八 角平分线的性质 29．（1）提出问题：如图1，已知平分，点D、E分别在上．若，求证：． 思路梳理：（请根据思路梳理的过程填空） 证法1：由平分，，可得①____________，则． 证法2：由平分，，则，其理论依据是②________． （2）类比探究：如图2，已知平分，点D、E分别在上．若，求证：． 30．如图，在中，平分，平分，于点E，于点F． (1)若，求的度数； (2)若，求的面积． 31．如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)作出的边上的高； (3)在（1）和（2）的条件下，若的面积为40，，求的长． 32．（1）【母题呈现】如图的三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． （2）【知识应用】在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． ①如图1，若，求的面积； ②如图2，求证：平分； ③如图3，过点作于，若，求的长． 题型九 尺规作角平分线 33．用圆规与直尺作图：如图，有两条国道相交于O点，在的内部有两村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作图，作出加油站P的位置（不写作法）． 34．（1）请你用圆规和直尺在图1中找到点O，使（保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，当时，则________； （3）请用圆规与直尺在图2的外找一点P，使．（点P在直线的上方，但不在射线或射线上，保留作图痕迹） 35．如图所示，在中： (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序是怎样_______．（将序号按正确的顺序写出）． ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③画射线． (2)能说明的依据是_______（填序号）． ①    ②    ③    ④角平分线上的点到角两边的距离相等 (3)如图，若点在的平分线上且，求证：． 36．如图，中，，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)在如图（1）边上求作一点D，使点D到点A、C两点的距离相等； (2)在如图（2）边上求作一点E，使得. 题型十 中心对称 37．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点、、均是格点．将向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图． (1)在网格中画出； (2)在网格中画出，使得与关于点成中心对称； (3)与成______对称（填“中心”或“轴”）． 38．画一画：如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，点是直线上一点，的顶点均在格点上， (1)画出关于直线对称的； (2)画出将绕点按逆时针旋转所得的； (3)与成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴； (4)与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，请画出对称中心． 39．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)平移图中的，使点A移到点的位置，画出平移后的；画出关于点O成中心对称的； (2)与是否成中心对称？若是，画出其对称中心点P的位置； (3)在直线上找一点Q，使的周长最小，请在图中标出点Q的位置． 40．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和格点． (1)平移，使得点与点重合，画出平移后的； (2)画出关于点成中心对称的； (3)判断与是否成中心对称，如果是并在图中标出对称中心． 题型十一 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 41．【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 42．如图，在长方形中，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P在边上运动时， （用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 43．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 44．一个L形图如图1所示，现需解决如何画一条直线将其分为面积相等的两部分的问题．    (1)分析问题： 本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，______图形绕其对称中心旋转______后能与原图形重合，因此过其______的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． (2)操作发现 如图2，该图形可以看成由左、右两个正方形构成，分别确定两个正方形的对称中心，然后连线即可得到符合要求的分割线．类似的，该图形还可以看成由上、下两个长方形构成，分别确定两个长方形的对称中心，然后连线也可得到符合要求的分割线．请按此要求画出分割线，在图3上完成（保留作图痕迹，不写画法）． (3)深度探究： 由于本题的分割线不唯一，如果采取把图形右上角弥补一个小正方形，让L形先变为长方形后，再分别找正方形和长方形的……，请再按此要求画出分割线，在图4上完成（保留作图痕迹，不写画法）． 题型十二 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案 45．下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（   ） A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 46．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成灰色，使整个涂成灰色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 ． 47．（1）把一张正方形薄纸片按图示方法对折，并剪去两个相同的角： ①你能猜出将纸片打开后的形状吗？请试着画出这个形状的图形． ②这个图形是轴对称图形吗？如果是，请画出它的所有对称轴． （2）先用一张正方形的纸设计并剪出一个轴对称图形，然后与同学交流各自的剪法． 48．如图均为的正方形网格，点A , B , C在格点（小正方形的顶点）上. (1)在图①中确定格点D, 并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图②中确定格点E , 并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)在图③中确定格点F,并画出一个以A、B、C、F为顶点的四边形，使其既为轴对称图形，又是中心对称图形； 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·期末）第十五届全国运动会于2025年11月在广东、香港、澳门举行，会徽中的花瓣分别提取自粤港澳三地代表性植物木棉、紫荆花、莲花的外形与色彩元素．下面关于花瓣的图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末）中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是中心对称图形的为（   ） A．爱 B．我 C．中 D．华 3．（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）围棋是中国古代称为“弈”的传统棋类，拥有超过四千年的历史．观察下列几位同学模拟“对弈”时排列出的图形，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北·期末）将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是 ． 6．已知直线，垂足为，则图形①与图形 成轴对称．    7．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，平分，，则点D到的距离是 ． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是 ． 9．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在的平分线上，过点作于点，于点，点在边上，且．求点到射线的距离． 10．如图所示，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，四边形在直线的左侧，其四个顶点A，B，C，D都在网格的格点上（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点）． (1)请你在所给的网格中画出四边形，使四边形和四边形关于直线对称，其中点，，，分别是点A，B，C，D的对称点； (2)在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出点A到点的距离． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 13．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．（24-25八年级上·河北·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点H，若，，则的面积是（    ） A．3.5 B．7 C．14 D．14.5 15．（24-25八年级上·河北衡水·期末）如图，把长方形沿折叠后，点D、C分别落在，的位置，若，则的度数为 ． 16．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为 ． 17．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 18．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于，的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是 ． 19．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程． 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在射线上取点，使； ②作； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点． 所以射线就是所求的角平分线． 根据小帅的作图过程， (1)求证：射线是的平分线； (2)若点到射线的距离为，求的面积． 20．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·河北·期末）如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 24．如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 25．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为 ． 26．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是 ． 27．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中，点D是边上的一点，连接，且，平分，交于点E，过点E作，垂足为F，连接，且．若，，的面积是，则的面积是 ． 28．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，的平分线与的平分线交于点M，作射线，有下列结论：①；②；③射线是的平分线；④，则其中正确的有 ．（填序号） 29．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中． (1)利用尺规作图，作出边上的垂直平分线，分别交，于点D，E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．若，，求的度数． 30．（23-24八年级上·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $