专题02 全等三角形（期末复习讲义，知识必备+18大重难题型+过关验收）八年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学全等三角形复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标及考情规律，分知识点呈现定义、性质、判定等内容，以框架图形式构建“概念-性质-判定-应用”的知识脉络，突出全等三角形判定方法及性质应用等重难点。 讲义亮点在于题型分类细致，含命题、动点问题等18类题型，每类配解题技巧，如“倍长中线法”培养推理意识，动点问题分情况讨论发展空间观念。分层练习覆盖基础到综合，助力不同学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题02 全等三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 定义与命题 掌握定义与命题的概念 一般出现在小题中 全等图形 能够根据全等图形的概念归纳出全等图形的性质 一般出现在小题中 全等三角形 重点掌握全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边、对应角表示 一般出现在简单题中，注意全等三角形的表示和写全等符号时点的对应关系 全等三角形的性质 掌握全等三角形边、角的对应相等关系，同时掌握对应中线、角平分线和高线的关系 一般出现在小题中，在大题考查时常与其他知识点一起 全等三角形的判定 熟练掌握全等三角形的基本判定方法，能灵活选用判定方法证明三角形全等 所有题型均会考查，容易忽略全等的条件 HL证明三角形全等 掌握“直角边、斜边”的判定方法证明直角三角形全等 一般出现在简单题中 尺规作图 掌握尺规作图的基本技巧与方法 一般出现在解答题中 知识点01 定义与命题 定义 1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义 命题 判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 真假命题 1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 2.说明假命题的方法： 要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例. 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题. 知识点02 全等图形 全等图形的概念 能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形. 全等图形的性质 全等图形的性质：①形状相同，②大小相等. 几何变换与全等图形 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等. 知识点03 全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 知识点04 全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 知识点05 全等三角形的判定 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 知识点06 尺规作图 尺规作图的关键: 1、先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2、读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3、切记作图中一定要保留作图痕迹； 4、无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 题型一 命题 解｜题｜技｜巧 1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项. 2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论， 1．下列命题中，逆命题是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．若，则 2．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 3．命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题是 ． 题型二 证明 4．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 5．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 6．如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 题型三 互逆定理 解｜题｜技｜巧 1、互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。 2、逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。 7．下列说法错误的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 8．下列命题，属于真命题的是（　　） A．三角形的外角等于两个内角的和 B．内错角相等，两直线平行 C．一个定理的逆命题就是这个定理的逆定理 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 9．下列命题中正确的是（    ） A．如果a，b，c是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数 B．如果一个三角形的三个内角的度数之比是1：2：3，那么这个三角形三个内角所对的边之比也是1：2：3 C．如果直角三角形的两边分别是3，4，那么斜边一定是5 D．任何一个定理都有逆定理 题型四 图形的全等 解｜题｜技｜巧 1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形； 2.图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形. 10．下列图形中与已知图形全等的是（） A． B． C． D． 11．如图，四边形四边形，若，，，则 12．如图是由与四边形全等的6个四边形拼成的图形，若，则的长为 cm．    题型五 全等三角形的概念 解｜题｜技｜巧 1、全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； 2、全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； 3、有公共边的，公共边是对应边； 4、有公共角的，公共角是对应角； 5、有对顶角的，对顶角一定是对应角； 6、两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 13．下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 14．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 15．已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 题型六 全等三角形的性质 解｜题｜技｜巧 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 16．如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 17．如图，． (1)写出这两个三角形的对应边和对应角． (2)若，求的度数． 18．已知的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，求x的值． 题型七 全等三角形的动点问题 解｜题｜技｜巧 解决全等三角形的动点问题，关键要抓对应点，然后再分情况讨论； 19．如图，在等腰三角形中，，过点作直线，若点从点出发，以每秒的速度沿射线向左运动，同时，点也从点出发，以每秒的速度在直线上向上或向下运动．连接，，设运动时间为，当为何值时，与全等？（分两种情况讨论） 20．如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为，且． (1) (用含的代数式表示)． (2)如图 2，当点 从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿 向点 运动，是否存在这样的值，使得以 、、 为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 21．如图，在长方形中，，点P在线段上以的速度由A向终点B运动，同时，点Q在线段上由点B向终点C匀速运动，它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等且时，求证：． (2)在运动过程中，若，求此时点Q的运动速度． 题型八 SSS证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 三边分别相等的两个三角形全等； 22．如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：． 23．已知：如图，点，，在同一条直线上，且，，，求证：（填空）． 证明：∵（__________）， ∴__________，即． 在和中， ， ∴（__________）， ∴（__________）． 24．如图，点B、E、F、C在同一条直线上，且． (1)请你添加一个条件，使，你添加的条件是 ． (2)添加条件后，请证明． 题型九 全等的性质与SSS综合 25．已知：如图，，，点、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若．求的度数． 26．如图，为上一点，为上一点，且满足，，．证明： (1)； (2)． 27．如图，点在同一直线上，若． (1)求证： (2)若，求的度数． 题型十 用SAS证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 28．如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接，分别交，于点，，，，．求证：． 29．如图1，A，B，C，D在同一直线上，，，且． (1)求证：； (2)如果将沿着边的方向平行移动，如图2时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 30．如图，相交于点F，若． (1)求证：； (2)求的度数． 题型十一 全等的性质与SAS综合 31．如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 32．如图，在和中，，若． (1)求证：． (2)求的度数． 33．如图，在中，，BD和CE分别是，的角平分线，且BD，CE相交于点O． (1)求的度数； (2)求证：． 题型十二 用ASA（AAS）证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； 34．如图，点，，，在同一条直线上，，，，求证：． 35．如图，在中，是上一点，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 36．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型十三 全等的性质与ASA（AAS）综合 37．如图，是的高线，交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 38．在中，，，直线经过点C，，，垂足分别为D，E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，请直接写出线段，，三者之间的关系：_______； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出线段，，三者之间的关系：_______． 39．如图所示，在和中，，，． (1)求证：； (2)若的延长线交于点F，交于点G，，，，求的度数． 题型十四 灵活选用判定方法证全等 40．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．， B．，， C．，， D．，， 41．如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 42．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量、的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． 题型十五 结合尺规作图的全等三角形问题 43．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 44．如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 45．如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 题型十六 全等三角形的模型问题 46．综合与实践 【问题情境】 倍长中线法是指延长边上的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等．倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“”证明）． 例：如图1，是的中线，若，设，求的取值范围． 小明同学的解题方法：如图2，延长至点，使，连接． 是的中线， 在和中， 在中，， ∴ ① ② 的取值范围是 ③ ． 【问题解决】 （1）将小明同学的解题方法补充完整：①____________；②____________；③____________． 【拓展延伸】 （2）如图3，已知是的中点，是上一点，是上一点，连接，，． （i）若，求证：平分． （ii）若，且，求点到的距离． 47．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 48．如图，在中，，，点C在直线MN上，于D，于E，，，则 ． 题型十七 全等三角形的综合 49．如图，过的顶点作，且，再作，且，交于，交于，与相交于点． 求证： (1)； (2)． 50．已知在四边形中，，． (1)如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：； (2)已知． （ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：； （ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 51．【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 题型十八 三角形的尺规作图 解｜题｜技｜巧 1、先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2、读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3、切记作图中一定要保留作图痕迹； 4、无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 52．如图（1），． (1)如果，那么的度数为______度．若越来越小，则如何变化？答：_________． (2)找出图①中相等的角（直角除外），并说明理由； (3)在图②中利用尺规作，使得． 53．如图1，为外部一点，连接，已知．现在要求用尺规作图“在内求作一点，使．”下面是两位同学的过程． (1)嘉嘉采用了图2的尺规作图，根据作图痕迹，得到的判定依据是__________；（用字母表示） (2)琪琪想通过“”得到， ①请你帮助她在图1中用尺规作图进行实现；（保留作图痕迹，不写作法） ②求证：． 54．如图，为外部一点，连接、，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使；（保留作图痕迹，不用写做法）； (2)根据你的作图，判定的依据是___________； (3)求的度数． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，这是某大桥及其侧面示意图，，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了，使．图1～图3是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的做法中，可直接判定的依据是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北·期末）如图，已知，要使，还需添加的一个条件是 ．（写出一个即可） 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，你认为应带去的一块是 ． 7．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，，，垂足分别为点C、E．若，，，则 ． 8．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，C，D是上的两点，，，，，若，，则的长为 ． 9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在与中，，，与交于点E．求证：． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知：如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为（   ）秒时，和全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 13．（24-25八年级上·河北唐山·期末）某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图所示，点，，，在直线上（点，之间不能直接测量，为池塘的长度），点，在的异侧，且，，测得．若，，则池塘的长度为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 15．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 16．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，，B、C、D三点在同一条直线上，且，，则的长为 ． 17．（24-25八年级上·河北衡水·期末）如图，的面积为8，是边上的高，且平分交于点D，E为的中点，连接，则的面积为 ． 18．（24-25八年级上·河北·期末）如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为 时，能够使与全等． 19．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）数学活动实践课上，小辰所在的小组要测量出一栋教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼与旗杆之间选定一点E，测得旗杆顶C的视线与地面夹角，测得楼顶A的视线与地面夹角．已知，，B，E，D在同一条水平线上，且，均与地面垂直，求教学楼的高度． 20．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，． (1)求证； (2)若，求的度数． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 23．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，，是过A的一条直线，且在异侧，于D，于E．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 24．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 25．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，若，，则的度数为 度 26．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，和均为等腰三角形，，，点在线段上（与不重合），连接，若，，则的长为 ． 27．（24-25八年级上·河北保定·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是 （用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是 （直接填空）． 28．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则 ．（用表示）． 29．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 30．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图①，已知，，是过点A的一条直线，且点B，C在的两侧，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若将图①直线绕点A旋转到如图②所示的位置（），其余条件不变，则、、三者的数量关系如何？（直接写出结论） (3)若将图①直线绕点A旋转到如图③所示的位置（），其余条件不变，则、、三者的数量关系如何？（直接写出结论） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 定义与命题 掌握定义与命题的概念 一般出现在小题中 全等图形 能够根据全等图形的概念归纳出全等图形的性质 一般出现在小题中 全等三角形 重点掌握全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边、对应角表示 一般出现在简单题中，注意全等三角形的表示和写全等符号时点的对应关系 全等三角形的性质 掌握全等三角形边、角的对应相等关系，同时掌握对应中线、角平分线和高线的关系 一般出现在小题中，在大题考查时常与其他知识点一起 全等三角形的判定 熟练掌握全等三角形的基本判定方法，能灵活选用判定方法证明三角形全等 所有题型均会考查，容易忽略全等的条件 HL证明三角形全等 掌握“直角边、斜边”的判定方法证明直角三角形全等 一般出现在简单题中 尺规作图 掌握尺规作图的基本技巧与方法 一般出现在解答题中 知识点01 定义与命题 定义 1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义 命题 判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 真假命题 1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 2.说明假命题的方法： 要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例. 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题. 知识点02 全等图形 全等图形的概念 能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形. 全等图形的性质 全等图形的性质：①形状相同，②大小相等. 几何变换与全等图形 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等. 知识点03 全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 知识点04 全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 知识点05 全等三角形的判定 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 知识点06 尺规作图 尺规作图的关键: 1、先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2、读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3、切记作图中一定要保留作图痕迹； 4、无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 题型一 命题 解｜题｜技｜巧 1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项. 2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论， 1．下列命题中，逆命题是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查命题的逆命题及其真假判断． 写出每个选项原命题的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：A：“内错角相等”的逆命题“如果两个角相等，则它们是内错角”是假命题； B：“对顶角相等”的逆命题“如果两个角相等，则它们是对顶角”是假命题； C：“若，则”的逆命题“若，则”是真命题； D：“若，则”的逆命题“若，则”是假命题； 故选：C． 2．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题与定理、有理数的平方、对顶角、平行线的判定等知识点，熟练掌握相关性质定理成为解题的关键． 先写出逆命题，然后根据直角、有理数的平方、对顶角、平行线的判定逐项判断即可． 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，不符合题意； B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等，逆命题是如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，是假命题，不符合题意； C、对顶角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意． 故选：D． 3．命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角 【分析】该题考查了逆命题，逆命题是通过交换原命题的条件和结论得到的． 【详解】解：原命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“它们相等”． 交换条件和结论，得到逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角． 题型二 证明 4．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 5．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (2)该命题是真命题，详见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 6．如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 【答案】(1)①②③，④ (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定． （1）根据题意利用①②③即可判定出，再利用全等性质及平行线性质即可得到④结论． （2）利用（1）中条件证明即可． 【详解】（1）解：真命题：如果，，，那么； ∴①②③，④； （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（SSS）， ∴， ∴． 题型三 互逆定理 解｜题｜技｜巧 1、互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。 2、逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。 7．下列说法错误的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理.故定理的逆定理一定是真命题，本选项不符合题意； 故选：B． 8．下列命题，属于真命题的是（　　） A．三角形的外角等于两个内角的和 B．内错角相等，两直线平行 C．一个定理的逆命题就是这个定理的逆定理 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】B 【分析】根据三角形外角的性质，平行线的判定，定理与逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解A．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，原说法错误，不符合题意； B．内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； C．一个定理的逆命题是真命题，逆命题就是这个定理的逆定理，原说法错误，不符合题意； D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查命题的真假．熟练掌握三角形外角的性质，平行线的判定，定理与逆定理，是解题的关键． 9．下列命题中正确的是（    ） A．如果a，b，c是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数 B．如果一个三角形的三个内角的度数之比是1：2：3，那么这个三角形三个内角所对的边之比也是1：2：3 C．如果直角三角形的两边分别是3，4，那么斜边一定是5 D．任何一个定理都有逆定理 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义、三角形的性质、勾股定理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、因为a，b，c是一组勾股数，所以，，也是一组勾股数，则是真命题，故本选项符合题意； B、设这一个三角形的三个内角的度数分别为 ，因为，则 ，即这一个三角形的三个内角的度数分别为 ，即该三角形为直角三角形，设最短边长为 ，则斜边长为 ，较长直角边为 ，所以这个三角形三个内角所对的边之比 ，则是假命题，故本选项不符合题意； C、4也可能为斜边，则是假命题，故本选项不符合题意； D、任何一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理，则是假命题，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解勾股数的定义、三角形的性质、勾股定理等知识，属于基础题，比较简单． 题型四 图形的全等 解｜题｜技｜巧 1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形； 2.图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形. 10．下列图形中与已知图形全等的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形全等的定义，能够重合的平面图形为全等图形，将各个选项图形与已知图形就行对比即可得到答案． 【详解】解：B选项的图形和已知图形能够重合，故两个图形全等，其他选项的图形均不能与已知图形完全重合． 故选：B． 11．如图，四边形四边形，若，，，则 【答案】 【分析】本题考查全等图形，四边形的内角和，根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得的度数，进一步可得的度数．解题的关键是掌握全等图形的性质：全等图形的对应边相等，对应角相等． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图是由与四边形全等的6个四边形拼成的图形，若，则的长为 cm．    【答案】 【分析】根据全等图形的性质即可求解． 【详解】∵图形与四边形全等的6个四边形拼成的图形 ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等图形的性质，注意全等图形的对应边相等是解题的关键． 题型五 全等三角形的概念 解｜题｜技｜巧 1、全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； 2、全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； 3、有公共边的，公共边是对应边； 4、有公共角的，公共角是对应角； 5、有对顶角的，对顶角一定是对应角； 6、两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 13．下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的定义，全等三角形的判定与性质，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的周长和面积分别相等，再结合等边三角形的定义，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故原说法是错误的； B、全等三角形的周长和面积分别相等，故原说法是正确的； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； D、所有的等边三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； 故选：B． 14．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 15．已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查全等三角形的概念与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握其概念与性质是做题的关键． （1）根据全等三角形的概念与图示即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：， 和的对应边为：和，和，和， 对应角为：和，和，和． （2）解：在中，， ∴． ∵，， ∴，． 答：的度数为，边的长为． 题型六 全等三角形的性质 解｜题｜技｜巧 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 16．如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与平行线的判定，解题的关键是利用全等三角形的对应角相等、对应边相等进行推理计算． （1）利用全等三角形的对应角相等，结合内错角相等判定两直线平行； （2）利用全等三角形的对应边相等，结合线段和的关系求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解： ，， ， ， ， ， ． 17．如图，． (1)写出这两个三角形的对应边和对应角． (2)若，求的度数． 【答案】(1)对应边：与；与；与；对应角：与；与；与 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，写出对应边和对应角即可； （2）根据全等三角形的性质得出，从而求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴两个三角形的对应边为：与；与；与； 两个三角形的对应角为：与；与；与； （2）解：∵，， ∴， ∴． 18．已知的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，求x的值． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质、解一元一次方程，根据全等三角形的全等三角形的周长相等列方程求解即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴两三角形的周长相等． ， 解得：． 题型七 全等三角形的动点问题 解｜题｜技｜巧 解决全等三角形的动点问题，关键要抓对应点，然后再分情况讨论； 19．如图，在等腰三角形中，，过点作直线，若点从点出发，以每秒的速度沿射线向左运动，同时，点也从点出发，以每秒的速度在直线上向上或向下运动．连接，，设运动时间为，当为何值时，与全等？（分两种情况讨论） 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了全等三角形的性质，动点问题（一元一次方程的应用）．根据当点N在射线上时，当点N在的反向延长线上时，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵点从点出发，以每秒的速度沿射线向左运动， ∴， 依题意，与全等 ∴当点N在射线上，如图所示： ∵也从点出发，以每秒的速度在直线上向上或向下运动． ∴， 则， ， ∴， 解得； 当点N在的反向延长线上时，如图所示： 此时 ∴， 依题意，，， ， ． 综上所述，当秒或秒时，与全等． 20．如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为，且． (1) (用含的代数式表示)． (2)如图 2，当点 从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿 向点 运动，是否存在这样的值，使得以 、、 为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析； 【分析】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． （1）根据题意求出，然后根据计算即可； （2）分和两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵点P的速度是， ∴后， ， 故答案为：； （2）由题意得：，， 只存在和两种情况， 当时， ，， ， ， 解得，，， 当时， ，， ， ， 解得，， 综上所述，当或时，和全等． 21．如图，在长方形中，，点P在线段上以的速度由A向终点B运动，同时，点Q在线段上由点B向终点C匀速运动，它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等且时，求证：． (2)在运动过程中，若，求此时点Q的运动速度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据四边形是矩形，，得出，，因为点Q的运动速度与点P的运动速度相等且，所以证明，即可作答． （2）因为，所以，，因为点P在线段上以的速度由A向终点B运动，所以，．即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等且， ∴ ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵点P在线段上以的速度由A向终点B运动， ∴，． 题型八 SSS证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 三边分别相等的两个三角形全等； 22．如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ∴． 23．已知：如图，点，，在同一条直线上，且，，，求证：（填空）． 证明：∵（__________）， ∴__________，即． 在和中， ， ∴（__________）， ∴（__________）． 【答案】已知；；；；；；；全等三角形的对应角相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的判定条件，根据已知条件，通过全等三角形的判定定理证得，则全等三角形的对应角相等． 【详解】证明：∵（已知）， ∴，即． 在和中， ， ∴（）， ∴（全等三角形的对应角相等）． 24．如图，点B、E、F、C在同一条直线上，且． (1)请你添加一个条件，使，你添加的条件是 ． (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)（） (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 对于（1），根据“边角边”和“边边边”添加即可； 对于（2），先证明，再根据“边角边”和“边边边”证明即可. 【详解】（1）解：（）； 故答案为：（）； （2）证明：添加； ∵， ∴， 即. ∵， ∴； 添加； ∵， ∴， 即. ∵， ∴． 题型九 全等的性质与SSS综合 25．已知：如图，，，点、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据“”即可证明； （2）根据得出，据此得到． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴． 26．如图，为上一点，为上一点，且满足，，．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质求得，，即可得到，即得． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）证明：延长交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 27．如图，点在同一直线上，若． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：∵，， ． 题型十 用SAS证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 28．如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接，分别交，于点，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，熟练运用上述性质是解题的关键． 根据得到，再利用得到，即可证明； 【详解】证明：， ． ， ， 即， 在和中， ， ． 29．如图1，A，B，C，D在同一直线上，，，且． (1)求证：； (2)如果将沿着边的方向平行移动，如图2时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由得到，由得到，然后证明； （2）由得到，由得到，然后证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∴， ∴． 又∵ ∴； （2）成立，证明如下： ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴． 30．如图，相交于点F，若． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理， （1）先证明，利用证明即可； （2）由全等得出，再根据及三角形内角和定理求出结论即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ， ， ； （2）解：∵， ， 设与交于点O， ， ， ， ． 题型十一 全等的性质与SAS综合 31．如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． （1）根据题意可证，由此即可求解； （2）根据线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． （2）解：由（1）知， 又, ， ． 32．如图，在和中，，若． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是关键． （1）根据题意，运用边角边证明即可求证； （2）根据全等三角形的性质得到，在中，根据角度的关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴； （2）解：如图所示，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 33．如图，在中，，BD和CE分别是，的角平分线，且BD，CE相交于点O． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角平分线的性质构造全等三角形． （1）利用三角形内角和求出，结合角平分线性质求，再由三角形内角和求； （2）通过构造全等三角形（SAS或AAS）证明线段相等． 【详解】（1）解：在中，∵， ∴， ∵BD，CE分别是和的角平分线， ∴， ∴； （2）证明：解法1：如图1，在BC上截取，连接OF， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 解法2：如图2，过点O分别作，，，垂足分别为点M，N，G， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵BD，CE分别是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型十二 用ASA（AAS）证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； 34．如图，点，，，在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质．熟悉全等三角形的判定定理（、、、）是解题的关键．本题根据（两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等）判定和全等，进而得到线段相等，从而证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， 又∵点、、、在同一条直线上， ∴． 35．如图，在中，是上一点，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． （1）由平行线的性质得到，，根据定理即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质得到，即可求出． 【详解】（1）证明：， ，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． 36．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用角角边即可求证； （2）根据直角三角形两锐角互余得到，根据全等的性质，三角形内角和等于即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴的度数是． 题型十三 全等的性质与ASA（AAS）综合 37．如图，是的高线，交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 38．在中，，，直线经过点C，，，垂足分别为D，E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，请直接写出线段，，三者之间的关系：_______； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出线段，，三者之间的关系：_______． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）①根据垂线的性质证得，进而证得，根据全等三角形的判定方法证明即可； ②由①可知，根据全等三角形的性质证得和，从而得出结论； （2）与（1）证法类似，通过垂线的性质，结合余角的性质可证得，进而证得 ，根据全等三角形的性质证得和，从而得出结论； （3）证明方法同（2），通过垂线的性质，结合余角的性质可证得，进而证得 ，根据全等三角形的性质证得和，从而得出结论． 【详解】（1）证明：①， 、 在和中， ； ②由①可知， 、 ； （2）解：，理由如下： 、 在和中， ； 、 ； （3）解：，理由如下： 、 在和中， ； 、 ． 39．如图所示，在和中，，，． (1)求证：； (2)若的延长线交于点F，交于点G，，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十四 灵活选用判定方法证全等 40．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A：，，缺少直角边的条件，无法唯一确定三角形，故该选项不合题意； B：，，不是和的夹角，无法唯一确定三角形，故该选项不合题意； C：，，是和的夹边，符合，能画出唯一的，故该选项符合题意； D：，不满足三角形三边关系，这三边不能构成三角形，故该选项不合题意． 故选：C． 41．如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 【答案】乙 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．注意：判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可． 【详解】解：甲图中只有一边和一角与的对应边、角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 乙图中三角形的三边和三边对应相等，故可以根据判定该三角形和全等； 丙图中只有两角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 丁图中有三角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 故答案为：乙． 42．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量、的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． 【答案】甲同学的方案可行，理由见解析 【分析】甲同学利用的是边角边证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙同学的方案只有一组角相等，一组公共边相等，不能证明两三角形全等．本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的定理是解决问题的关键． 【详解】甲同学的方案可行，乙同学方案不可行，理由如下： 甲同学方案：在和中，， ∴， ∴； 乙同学方案：只有，，不能证明两个三角形全等 ∴乙同学方案不可行 ∴只有甲同学的方案可行． 题型十五 结合尺规作图的全等三角形问题 43．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）取格点、，由全等的性质可得； （2）由可知，和同底等高，则过点与平行的直线上的格点为点，可作； （3）取格点、，由全等的性质可得，进而得出，则与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，点即为所求作． 44．如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，根据题意画出不同的三角形再进行判断.判定全等三角形的方法有 (， ， ， ， ) 五种判定方法，但不能判定三角形全等． 【详解】解：如图所示，与 不一定全等． 45．如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【答案】(1)图见解析，答案不唯一 (2)图见解析，答案不唯一 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，明确全等三角形的判定定理是关键； （1）如果公共点为B，取格点E、F，使，，可得出格点三角形即为所求作； （2）以为公共边，是小方格的对角线，可画出，连接，就可得出即为所求作． 【详解】（1）解：即为所求作（答案不唯一）； （2）解：即为所求作（答案不唯一）． 题型十六 全等三角形的模型问题 46．综合与实践 【问题情境】 倍长中线法是指延长边上的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等．倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“”证明）． 例：如图1，是的中线，若，设，求的取值范围． 小明同学的解题方法：如图2，延长至点，使，连接． 是的中线， 在和中， 在中，， ∴ ① ② 的取值范围是 ③ ． 【问题解决】 （1）将小明同学的解题方法补充完整：①____________；②____________；③____________． 【拓展延伸】 （2）如图3，已知是的中点，是上一点，是上一点，连接，，． （i）若，求证：平分． （ii）若，且，求点到的距离． 【答案】（1），10，；（2）（i）证明见解析，（ii） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． （1）结合，代入数据，即可求解； （2）（i）根据等角的余角相等，即可得证； （ii）延长至点，使，连接，．证明，即可推出三点共线，根据三角形的面积公式，求得，设点到的距离为，根据等面积法，即可求解． 【详解】解：（1）是的中线， 在和中， 在中，， ∴ 的取值范围是． 故答案为： ，10，． （2）（i） ， 平分． （ii）如图，延长至点，使，连接，． 是的中点， 在和中， 即三点共线， 设点到的距离为， 则， ，即点到的距离为． 47．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 48．如图，在中，，，点C在直线MN上，于D，于E，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 首先证明，利用“”证明即可；由全等三角形的性质可得，再结合求解即可； 【详解】解：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：4； 题型十七 全等三角形的综合 49．如图，过的顶点作，且，再作，且，交于，交于，与相交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂直的定义，通过三角形内角和定理推导垂直是解题关键． （1）通过“垂直得直角”推出，进而推出，再结合已知边相等，用证明，进而得到． （2）利用全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理，推导，进而证明． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）证明：， ， ， ， ， 即． 50．已知在四边形中，，． (1)如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：； (2)已知． （ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：； （ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）（ⅰ）中的结论不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）先证明，得到，，进而推出，即可证明； （2）（ⅰ）延长至，使，连接．类比（1）同理先证明，得到，，进而推出，再证明，最后结合全等三角形性质求解，即可解题； （ⅱ）延长至，使，连接，类比（ⅰ）的证明过程，先证明，再证明，并结合全等三角形性质进行分析，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ，． ， ， ， . 又， ； （2）（ⅰ）证明：如图，延长至，使，连接． ，， . ，， ， ，， ， ， ， . 又， ， ； （ⅱ）解：（ⅰ）中的结论不成立，， 理由：如图，延长至，使，连接． ，， ， ，， ， ，， ， ， . ， ， ， ， ． ， ， ． 51．【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 题型十八 三角形的尺规作图 解｜题｜技｜巧 1、先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2、读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3、切记作图中一定要保留作图痕迹； 4、无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 52．如图（1），． (1)如果，那么的度数为______度．若越来越小，则如何变化？答：_________． (2)找出图①中相等的角（直角除外），并说明理由； (3)在图②中利用尺规作，使得． 【答案】(1)；越来越大 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角的和差，用尺规作一个角等于已知角，熟练掌握角的和差及用尺规作一个角等于已知角是解题的关键． （1）根据角的和差计算即可求得的度数；根据，即可求得答案； （2）根据，两边同减去即可； （3）根据用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可． 【详解】（1）解：，， ． 故答案为：． ， 越来越小时，越来越大． 故答案为：越来越大． （2）解：图①中相等的角（直角除外）是； 理由是： ， ， ； （3）解：如图，就是所求作的角． 53．如图1，为外部一点，连接，已知．现在要求用尺规作图“在内求作一点，使．”下面是两位同学的过程． (1)嘉嘉采用了图2的尺规作图，根据作图痕迹，得到的判定依据是__________；（用字母表示） (2)琪琪想通过“”得到， ①请你帮助她在图1中用尺规作图进行实现；（保留作图痕迹，不写作法） ②求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由作图知，，，根据即可证明； （2）①根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以利用“”得到； ②结合全等三角形的判定可得，在和中，利用三角形内角和定理可得． 【详解】（1）解：由作图知，，，又， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图，点M即为所求． ②在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． ∴． 54．如图，为外部一点，连接、，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使；（保留作图痕迹，不用写做法）； (2)根据你的作图，判定的依据是___________； (3)求的度数． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3) 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接即可得到答案； （2）①根据（1）中的尺规作图，结合全等三角形的判定定理即可得到答案； （3）结合全等三角形的判定可得，在和中，由三角形内角和定理得到、，数形结合表示出计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 点即为所求； （2）解：由（1）中尺规作图可得， 再由，结合两个三角形全等的判定定理即可得到， 故答案为：； （3）解：在中，由三角形内角和定理可得， 在中，由三角形内角和定理可得， ， ， ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，这是某大桥及其侧面示意图，，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到，进而可求的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据，，判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据两个三角形全等，可知对应相等的两条边的夹角相等，从而求出的度数． 【详解】解：两个三角形全等， 对应相等的两条边的夹角相等， ． 故选：A． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了，使．图1～图3是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的做法中，可直接判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由作图可得，，，再结合全等三角形的判定定理判断即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，，， ． ∴在嘉嘉的做法中，可直接判定的依据是． 故选：B． 5．（24-25八年级上·河北·期末）如图，已知，要使，还需添加的一个条件是 ．（写出一个即可） 【答案】（或、等） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：（或、等）． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，你认为应带去的一块是 ． 【答案】第2块 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，要求学生能对常用的判定方法熟练掌握并能进行灵活运用．解决本题主要看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定即选哪块． 根据已知图形及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：只有第2块玻璃中包含两角及这两角的夹边，符合． ∴应带去的一块是第2块， 故答案为：第2块． 7．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，，，垂足分别为点C、E．若，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得到，，然后进行线段的和与差即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故答案为：3． 8．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，C，D是上的两点，，，，，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据垂线的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，从而求出的长． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：2． 9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在与中，，，与交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，利用即可证明． 【详解】证明：∵，，与交于点E， 在与中， ， ∴． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，，证明，即可作答； （2）结合三角形内角性质以及，即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示： ∵， 即， ∵ ∴， ∵，且 ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，理解并掌握全等三角形对应边相等是关键． 根据全等三角形的性质得到，，则，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵点、、在同一直线上，， ∴， ∴， 故选：B ． 12．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知：如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为（   ）秒时，和全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：由题意得：， 若，， 根据证得， ，即， 若，， 根据证得， ，即． 当t的值为1或7秒时．与全等． 故选：C． 13．（24-25八年级上·河北唐山·期末）某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图所示，点，，，在直线上（点，之间不能直接测量，为池塘的长度），点，在的异侧，且，，测得．若，，则池塘的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．由可得，证明得到，推出，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， ， 故选：B． 14．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形性质，分当时，当时，两种情况分析，然后根据全等三角形的性质即可求解，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解． 【详解】解：设t秒后，与全等， 根据题意得：，， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，a的值为2或． 故选：A 15．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题主要考查了命题之间的关系，解决问题的关键是掌握原命题与逆命题的关系； 原命题的逆命题是“如果两个角互余，那么这两个角的和等于90°”，根据互余角的定义，该逆命题成立． 【详解】解：命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是：“如果两个角互余，那么这两个角的和等于”，逆命题是真命题． 故答案为：真． 16．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，，B、C、D三点在同一条直线上，且，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握．根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴根据全等三角形的性质，，， ∴ 则的长为10， 故答案为：10． 17．（24-25八年级上·河北衡水·期末）如图，的面积为8，是边上的高，且平分交于点D，E为的中点，连接，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质．先证明，求得，再由三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又E为的中点， ∴， 故答案为：2． 18．（24-25八年级上·河北·期末）如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程与动点几何问题，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点的运动速度； 【详解】解：设运动时间为； 当时，， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ∴的运动速度等于点运动速度； ②当时，， ∵点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．，， ∴, ∴， ∴点的运动速度：； 故答案为：或． 19．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）数学活动实践课上，小辰所在的小组要测量出一栋教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼与旗杆之间选定一点E，测得旗杆顶C的视线与地面夹角，测得楼顶A的视线与地面夹角．已知，，B，E，D在同一条水平线上，且，均与地面垂直，求教学楼的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出是解题的关键． 根据题意易得出，进而可求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴教学楼的高度为． 20．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，． (1)求证； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，再结合，，即可证明； （2）先根据三角形内角和性质进行计算，得，结合全等三角形的对应角相等，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴； 由（1）得， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 当添加时，由两边及一边的对角无法判定，故选项符合题意； 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 故选：． 22．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ∴， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故选：A 23．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，，是过A的一条直线，且在异侧，于D，于E．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后证明，得到，最后利用得出答案． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 故选：B． 24．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，正确地作出辅助线并且证明△△是解题的关键． 由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，△与△也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明△△，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明△△，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， △△的另一个条件是， 与不一定相等， △与△不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与题干信息矛盾，故④错误； 故选：． 25．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，若，，则的度数为 度 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的性质得到，因此，即可求出的度数． 【详解】解：≌， ， ， ， ． 故答案为：． 26．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，和均为等腰三角形，，，点在线段上（与不重合），连接，若，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再证明得出，最后根据已知条件得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 27．（24-25八年级上·河北保定·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是 （用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是 （直接填空）． 【答案】 / 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，证明是关键． ①利用证明即可； ②根据三角形三边关系得到，由得到答案． 【详解】解：①是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ②∵， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 28．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则 ．（用表示）． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△△是解题的关键．由，得，而，，即可根据“”证明△△，得，，再推导出，则． 【详解】解：， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， 故答案为：． 29．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等． （1）通过证明，得出对应边相等，从而证明； （2）先证明，结合三角形内角和等知识求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， 在与中，， ∴ ； （2）解：在与中， ∴， ，， ， ． 30．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图①，已知，，是过点A的一条直线，且点B，C在的两侧，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若将图①直线绕点A旋转到如图②所示的位置（），其余条件不变，则、、三者的数量关系如何？（直接写出结论） (3)若将图①直线绕点A旋转到如图③所示的位置（），其余条件不变，则、、三者的数量关系如何？（直接写出结论） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可证，可得，，即可求解； （2）由可证，可得，，即可求解； （3）由可证，可得，，即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）解：，理由如下： ，，， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ， ． （3）解：．理由如下： ，，， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ，即． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $