专题05 一次函数（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学一次函数期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点，将概念、图象性质、待定系数法等五大模块按考情规律分层呈现，用对比表格归纳易错点与复习目标，构建清晰知识脉络，突出各考点内在联系。 讲义亮点在于素养导向的题型设计与方法指导，如实际应用题型培养模型意识，动点问题提升几何直观与推理能力，典例结合变式训练。练习分基础通关、重难突破、综合拓展三层，适配不同学生，助力教师精准教学，提升复习效率。

专题05 一次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一次函数的概念、图象与性质 能根据定义判断函数是否为一次函数；能根据k、b的符号准确画出草图并描述其增减性及所过象限。 基础必考点，常在选择题中考查对性质的理解。易错点在于忽略k≠0的条件，以及混淆k>0（增）与k<0（减）对应的图象趋势。 待定系数法求函数解析式 能根据已知点坐标、图象信息或实际情境中的两组对应值，求出一次函数的解析式。 高频基础解答题，常作为综合题的第一步。关键在于准确设出解析式（y=kx+b），并代入点坐标建立方程组。 一次函数与方程（组）、不等式的关系 能理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式在“数”与“形”上的统一，并能利用图象求解或判断。 期末选择、填空的压轴热点，考查数形结合与转化思想的核心深度。难点在于从图形中解读出方程的解或不等式的解集。 一次函数的实际应用 能将行程、工程、收费、营销等实际问题抽象为一次函数模型，并利用其性质进行决策（如比较方案、求最值）。 期末解答题的稳定压轴题型，综合性强。考查数学建模、图表信息提取与定量分析能力，需注意自变量的实际取值范围。 一次函数背景下的动点与图形面积问题 能在坐标系中，将动态几何问题（动点、动线）转化为一次函数问题进行分析，并计算运动过程中图形面积的变化。 期末综合题的难点与拉分点，融合了坐标系、几何图形、运动与函数，考查综合分析能力。 知识点01 函数与一次函数的概念 1.函数：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么称y是x的函数。 核心：“一对一”或“多对一”的确定性对应关系。 2.一次函数：形如 y = kx + b (k, b为常数，且k ≠ 0) 的函数。当b=0时，即y=kx，称为正比例函数，是特殊的一次函数。 ·易错点：①判断函数关系时，忽视“唯一确定”原则。②忽略一次函数定义中 k ≠ 0 的条件。 知识点02 一次函数的图象与性质 1.图象：一条直线。因此，作一次函数图象只需确定两个点（通常选与坐标轴的交点）。 2.系数k， b的几何意义： （1）k（斜率）：决定直线的倾斜方向与程度。 k>0：直线从左向右上升，y随x的增大而增大。 k<0：直线从左向右下降，y随x的增大而减小。 |k|越大，直线越陡。 （2）b（截距）：直线与y轴交点的纵坐标，即当x=0时，y=b。交点为(0， b)。 3.直线经过的象限：由k和b共同决定。 k>0，b>0：经过一、二、三象限。 k>0，b<0：经过一、三、四象限。 k<0，b>0：经过一、二、四象限。 k<0，b<0：经过二、三、四象限。 ·易错点：记忆象限规律时，可结合草图分析。特别注意b=0时，直线过原点（正比例函数）。 知识点03 待定系数法及一次函数与方程、不等式 1.待定系数法求解析式步骤： （1）设：设一次函数解析式为 y = kx + b (k ≠ 0)。 （2）代：将已知的两组x、y对应值（或点的坐标）代入。 （3）解：得到关于k、b的二元一次方程组，并解之。 （4）写：将k、b的值代回所设解析式。 2.一次函数与一元一次方程： 从“数”看：解方程kx+b=0 (k≠0)。 从“形”看：求直线y=kx+b与x轴交点（此时y=0）的横坐标。 3.一次函数与一元一次不等式： 不等式kx+b > 0 的解集，是直线y=kx+b在x轴上方部分对应的x的取值范围。 不等式kx+b < 0 的解集，是直线y=kx+b在x轴下方部分对应的x的取值范围。 4.一次函数与二元一次方程组： 从“数”看：方程组的解是一对使两个等式同时成立的数(x， y)。 从“形”看：方程组的解是两条直线y=k₁x+b₁与y=k₂x+b₂交点的坐标。 题型一 一次函数图象与性质的深层辨析 解｜题｜技｜巧 此类题常给出含参数的解析式或草图，要求判断系数符号或比较大小。 1.由“形”定“数”： 看趋势：直线上升则k>0，下降则k<0。 找交点：看与y轴交点，在正半轴则b>0，负半轴则b<0。 看象限：结合直线经过的象限反推k、b符号。 2.由“数”定“形”或比较： 比较不同直线k的大小：在同一坐标系中，|k|越大越陡；k同为正，越大越陡；k同为负，绝对值越大越陡。 关注特殊点：如直线与坐标轴交点、两直线交点等。 易｜错｜点｜拨 此当讨论函数值y随x的增减性时，必须指明是在整个定义域内。对于分段函数或不连续图象，需分段讨论。 【典例1】 如果一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点在y轴正半轴上，且y随x的增大而减小，那么（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 【典例2】【教材再现】两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同，函数y＝﹣6x的图象经过原点，函数y＝﹣6x+5的图象与y轴交于点（0，5），即它可以看作直线y＝﹣6x向上平移5个单位长度而得到． 【结论应用】一次函数y＝x﹣3的图象可以看作正比例函数 的图象向 　 　 平移 　 　 个单位长度而得到； 【类比思考】如果将直线y＝﹣6x的图象向右平移5个单位长度，那么得到的直线的函数解析式是怎样的呢？ 我们可以这样思考：在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6），将点A（0，0）和B（1，﹣6）向右平移5个单位得到点C（5，0）和D（6，﹣6），连接CD，则直线CD就是直线AB向右平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将C（5，0）和D（6，6）代入得到：．解得，所以直线CD的解析式为：y＝﹣6x+30； ①将直线y＝﹣6x向左平移5个单位长度，则平移后得到的直线解析式为 　 ． ②若先将直线y＝﹣6x向左平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，得到直线l，则直线l的解析式为 　 ； 【拓展应用】已知直线l：y＝2x+3与直线l′关于x轴对称，求直线l'的解析式． 【变式1】通过函数及其图象的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法， 求出这条直线对应的一次函数表达式，有这样一个问题：直线l1的函数表达式为y＝2x+3，求把直线l1向右平移4个单位后所得直线l2的函数表达式下面是小明的解题思路，请补充完整： 第一步：分别求出直线l1与x轴、y轴的交点A、B的坐标； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线l1； 第三步：分别求点A、B向右平移4个单位后的对应点A'、B'的坐标； 第四步：由点A′、B′的坐标，利用待定系数法，即可求出直线l2的函数表达式． 小明求出的直线l2的表达式是 　 ． 请你参考小明的解题思路，继续解决下面的问题： （1）若直线l3与直线l1关于x轴对称，则直线l3对应的函数表达式为 　 ； （2）将直线l1绕原点O顺时针旋转90°，得到直线l4，求直线l4对应的函数表达式． 【变式2】在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律． 同学们通过讨论，积极发言，主要把k进行分类，得出一次函数的部分性质： 对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）， 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小． 【跟进练习】对于函数y＝﹣2x+3，当﹣3＜x＜3时，则y的取值范围是 　 　 ． 爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：y＝﹣2x+3与这两条直线是互相垂直的． 这是一种巧合还是存在着某种联系？ 沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论： “若两条直线函数表达式为y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2（k1，k2均不为0），当k1•k2＝﹣1时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论． 【结论理解】若直线y1＝mx+n与直线互相垂直，则m＝　 　 ． 【灵活运用】如图2，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，且B（﹣4，0），C（2，0），延长CA交y轴于点E（0，4），求点A的坐标． 【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx+5经过点A（﹣3，3），与y轴的交点为B，点C在坐标轴上，若以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点C的坐标． 题型二 一次函数与方程、不等式结合的数形解法定规 答｜题｜模｜板 1.明确问题：看清是求方程的解、不等式的解集，还是判断大小关系。 2.找准图象：在坐标系中准确画出涉及的一次函数图象，或利用已知图象。 3.“翻译”条件： “求kx+b=0的解” → 找直线与x轴交点的横坐标。 “求kx+b>0的解集” → 找x轴上面对应直线在上方部分的x范围。 “比较y₁与y₂大小” → 找y₁=k₁x+b₁的图象位于y₂=k₂x+b₂图象上方的x范围。 4.确定边界与方向：交点坐标是分界点，图象的上下位置决定不等号方向。最终答案通常用不等式或区间表示。 【典例1】已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）． （1）求a，b的值； （2）方程组的解为 　 　 ． （3）不等式的解集为 　 ． （4）在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例2】如图，已知两个一次函数，y1＝x与y2＝﹣2x﹣2的图象相交于点P． （1）求点P的坐标； （2）观察图象，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围； （3）点A（t，0）为x轴上的一个动点，过点A作x轴的垂线与直线l1和12分别交于点M，N，当MN＝4时，求t的值． 【变式1】小魏同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，以下是他的研究步骤，请补全他的研究过程： 第一步：函数中，自变量x的取值范围是 　 ． 第二步：根据自变量取值范围列表： x ﹣1 0 1 2 3 4 … 0 1 m 2 … m＝　 　 ． 第三步：描点画出函数图象． 在描点的时候，遇到了这样的点，小魏同学用勾股定理的知识，找到了画图方法，如图所示： 你能否从中得到启发，在下面的y轴上标出表示、m、的点，并描点画出的函数图象． 第四步：分析函数的性质． 请写出你发现的函数的性质（写两条）： 　 ；　 　 ； 第五步：利用函数图象解含二次根式的方程和不等式． （1）请在上面坐标系中画出的图象，并直接写出方程的解 　 ． （2）不等式的解集是　 　 ． 【变式2】请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数y＝|2x﹣1|的图象和性质，并解决问题． （1）根据函数解析式，填写下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 　 　 1 0 　 　 3 5 … （2）利用（1）中表格画出函数y＝|2x﹣1|的图象； （3）观察图象，当x　 　 时，y随x的增大而减小； （4）利用图象，直接写出不等式|2x﹣1|＜x+1的解集． 【变式3】如图，直线l1：y＝2x+m经过点（﹣3，﹣2），且与x轴，y轴分别交于点B，点A；直线l2：y＝kx+b经过点（2，﹣2），且与x轴交于点D（6，0），与y轴交于点C．两直线相交于点P． （1）求直线l1，l2的解析式； （2）求S△ACP：S△ACD的值． 题型三 一次函数的实际应用与方案决策（跨学科/生活应用） 答｜题｜模｜板 1.审题建模： 确定自变量x和因变量y的实际意义。 识别问题属于哪种类型（分段计费、行程相遇、原料分配、方案比较）。 从文字、表格、图象中提取关键数据（初始值、变化率、极限值）。 2.列解析式：根据“总价=单价×数量+基础费”、“路程=速度×时间”等基本关系，列出分段或整体的一次函数解析式。务必注明x的取值范围。 3.分析求解： 比较方案：计算不同方案在自变量取值范围内的函数值，或求两函数解析式相等时的临界点，分段判断优劣。 求最值：在一次函数的单调性下，最值通常在自变量取值区间的端点取得（需验证）。 4.作答验证：用语言完整回答实际问题，并检查结果是否符合常识和取值范围。 【典例1】如表给出A，B，C三种宽带网的收费方式． 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/小时 超时费/（元/分钟） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 100 不限时 设上网时间为t小时，方案A、B、C的费用分别为y1、y2、y3． （1）t＝30时，求y1、y2的值．（直接写出结果） （2）分别求出y1、y2、y3关于t的函数关系式，并注明变量t的取值范围． （3）在同一坐标系中画出函数y1、y2、y3的图象，并选择出上网费用最低的收费方式． 【典例2】A、B两地相距90km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，结合图象回答下列问题： （1）表示乙离A地的距离与时间关系图象是 （填l1或l2）；甲的速度是 　 　 km/h；乙的速度是 　 　 km/h； （2）甲出发多少小时两人恰好相距15km？ 【变式1】某市出租车收费标准分白天和夜间分别计费，具体见下表． 行驶路程 收费标准 白天 夜间 不超过2km的部分 起步价6元 起步价7元 超过2km不超出10km的部分 每公里2元 每公里2.4元 超出10km的部分 每公里3元 每公里3.6元 设行驶路程为xkm时，白天收费y1元，夜间收费y2元，根据表中信息，完成下列各题： （1）当2＜x≤10时，求y1关于x的函数表达式； （2）若幸福小区到阳光小区的路程为12km，小明从幸福小区乘出租车去阳光小区，白天收费比夜间收费少多少元？ 题型四 一次函数与动点、图形面积综合（跨章节题型） 解｜题｜技｜巧 1.“动”化“静”：设运动时间为t，用含t的代数式表示出动点的坐标，进而表示出动线（线段）所在的一次函数解析式。 2.“形”联“数”： （1）求面积：利用“割补法”或“水平宽×铅垂高”公式，将图形面积S表示为含t的代数式（即S关于t的函数）。 （2）求特殊点：当面积等于某定值，或图形成为特殊形状（如等腰）时，得到关于t的方程，解之即得运动时间。 3.分段讨论：当运动过程导致图形形状发生根本改变（如动点越过某临界位置）时，必须分段建立函数关系式进行分析。 易｜错｜点｜拨 动点问题中，自变量的取值范围（t的范围）至关重要，它由运动起点、终点和速度共同决定，必须首先明确，并在最终答案中考虑。 【典例1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，△ABC的顶点A、B坐标分别为（2，0）、（﹣3，0），顶点C在y轴正半轴上，AD⊥BC，垂足为D，AD与y轴交于点E，AD＝DC． （1）求△AEC的面积； （2）动点P从点E出发沿EC以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点Q从点A出发沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，点P到达终点C停止运动，点Q随之停止运动，设点P运动时间为t（单位：秒），连接EQ、PQ，请用含t的式子表示△EPQ的面积； （3）在（2）的条件下，点G在直线BC上，且BG＝AE，连接AP、QG，t为何值时，△AEP≌△GBQ，并求出此时△EPQ的面积． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知OA＝5，OC＝3，点D为x轴上一点，坐标为（2，0），连接CD．点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒． （1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式； （2）连接PC、PD，求点P在整个运动过程中△CPD的面积S关于t的函数表达式； （3）在点P的运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】在梯形ABCO中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C三点的坐标分别是A（8，0），B（8，10），C（0，4）．点D（4，7）为线段BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OAB的路线运动，运动时间为t秒． （1）求直线BC的解析式； （2）设△OPD的面积为s，求出s与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； （3）当t为何值时，△OPD的面积是梯形OABC的面积的？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.已知点A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝3x﹣5的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 2．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5的图象不经过的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．函数y＝（k2﹣9）x2+（k+1）x是关于x的正比例函数，且y随x的增大而减小，则k的值为　 　 ． 4．小翼从家跑步到学校，接着立即沿原路步行回家．如图是小翼离家的路程y（m）与时间t（min）之间关系的图象，则小翼跑步的平均速度是　 　 m/min，步行回家的平均速度是　 　 m/min． 5．工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故障停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲个．乙组加工数量为y乙个，其函数图象如图所示： （1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）甲组加工多长时间时，甲，乙两组加工零件的总数为480个． 6．某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，租书费为每册4元；另一种是会员卡租书，办卡费每月48元，租书费为每册1.6元．小军经常来该店租书，设他每月租书数量为x册，以零星租书方式每月应付的金额为y1元，以会员卡租书方式每月应付的金额为y2元． （1）请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）当小军租多少本书时，选择两种租书方式的金额相同？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝﹣3x+5交于点A（a，﹣1），那么关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．关于x的一次函数y＝（2m+1）x+m﹣2，若y随x的增大而减小，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m＞2 3．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车分别从这条高速公路两端的入口处同时驶入（城区与入口的距离忽略不计），并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，已知甲车以90千米/时的速度匀速行驶．两车之间的距离s（千米）与行驶时间x（小时）之间的关系如图．给出下列结论：①A、B两城相距300千米；②乙车与甲车相遇之前速度为60千米/时；③C点的横坐标为；④两车相遇时距离A城180千米；⑤乙车与甲车相遇后，速度改为90千米/时．以上结论中正确的是　 　 （填序号）． 4.跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动速度随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动速度v（cm/s）的数据． 【收集整理数据】 运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 … 运动速度v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 … 【数学建模探究】 【画图】根据表格中的数据在图2的平面直角坐标系中描点、连线． 【猜想】观察图象，猜想v与t之间的函数关系式为　 　 ． 【检验】请代入一组数据验证你的猜想． 5．综合与探究 问题情境：2025年世界机器人运动大会竞速项目中，甲、乙两款机器人在120m的直线跑道上进行比赛．他们从跑道的同一起点同时出发，跑到终点，然后沿原路返回起点． 问题探究：比赛过程中，机器人实时位置到起点的距离y（单位：m）与时间t（单位：s）的函数图象（不完整）如图所示，其中折线OM﹣MN是甲款机器人的图象，线段OP是乙款机器人的部分图象，已知OM对应的函数关系式为y＝4t． 问题解决：（1）①点M的坐标为　 　 ． ②求线段OP对应的函数关系式． （2）乙款机器人到达终点后，因故障耽误了5s，然后以原来的速度返回起点，请你在图中画出乙款机器人返回时的大致函数图象（线段），用字母标注两个端点，并写出两个端点的坐标． （3）从乙款机器人到达终点后开始探究，当两款机器人到起点的距离之差为25m时，直接写出t的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．关于x的函数图象如图所示，其图象分两部分，一部分在直线x＝m（m＞﹣1）和直线x＝1之间，另一部分在直线x＝1的右侧，则下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a+b＜0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＜0 2．已知一次函数y＝ax﹣3﹣a（a≠0）． （1）当y＝﹣3时，则x＝　 　 ； （2）当﹣4≤y≤﹣1时，自变量x的负整数值恰好有2个，则a的取值范围为　 　 ． 3．小亮在学习了《光的反射定律》后，知道入射光线经过反射后形成反射光线．如图1，ON是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角，入射光线上一点P关于反射面的对称点P′在反射光线的反向延长线上．同时，他还发现可以用一次函数的图象来刻画光线的反射．如图2，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），请用两种不同的方法求2m﹣n的值． 4．甲、乙两地相距skm．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发ah后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地．两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息1h后，提速50%，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地．在整个行程中，慢车离甲地的距离y1（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． （1）在图中画出快车离甲地的距离y2（单位：km）与时间t之间的函数图象． （2）a＝ 　 　 ． （3）已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地30km处有一个治安警亭． ①若s＝120，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是 　 ． 5．王明同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是他的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是 　 ； （2）下表是y与x的几组对应值：则m的值为　 　 ； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 … y … m 0 ﹣1 3 2 … （3）如图所示，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象； （4）观察图象，写出该函数的一条性质 　 ； （5）若函数的图象上有三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1，y2，y3之间的大小关系是 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一次函数的概念、图象与性质 能根据定义判断函数是否为一次函数；能根据k、b的符号准确画出草图并描述其增减性及所过象限。 基础必考点，常在选择题中考查对性质的理解。易错点在于忽略k≠0的条件，以及混淆k>0（增）与k<0（减）对应的图象趋势。 待定系数法求函数解析式 能根据已知点坐标、图象信息或实际情境中的两组对应值，求出一次函数的解析式。 高频基础解答题，常作为综合题的第一步。关键在于准确设出解析式（y=kx+b），并代入点坐标建立方程组。 一次函数与方程（组）、不等式的关系 能理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式在“数”与“形”上的统一，并能利用图象求解或判断。 期末选择、填空的压轴热点，考查数形结合与转化思想的核心深度。难点在于从图形中解读出方程的解或不等式的解集。 一次函数的实际应用 能将行程、工程、收费、营销等实际问题抽象为一次函数模型，并利用其性质进行决策（如比较方案、求最值）。 期末解答题的稳定压轴题型，综合性强。考查数学建模、图表信息提取与定量分析能力，需注意自变量的实际取值范围。 一次函数背景下的动点与图形面积问题 能在坐标系中，将动态几何问题（动点、动线）转化为一次函数问题进行分析，并计算运动过程中图形面积的变化。 期末综合题的难点与拉分点，融合了坐标系、几何图形、运动与函数，考查综合分析能力。 知识点01 函数与一次函数的概念 1.函数：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么称y是x的函数。 核心：“一对一”或“多对一”的确定性对应关系。 2.一次函数：形如 y = kx + b (k, b为常数，且k ≠ 0) 的函数。当b=0时，即y=kx，称为正比例函数，是特殊的一次函数。 ·易错点：①判断函数关系时，忽视“唯一确定”原则。②忽略一次函数定义中 k ≠ 0 的条件。 知识点02 一次函数的图象与性质 1.图象：一条直线。因此，作一次函数图象只需确定两个点（通常选与坐标轴的交点）。 2.系数k， b的几何意义： （1）k（斜率）：决定直线的倾斜方向与程度。 k>0：直线从左向右上升，y随x的增大而增大。 k<0：直线从左向右下降，y随x的增大而减小。 |k|越大，直线越陡。 （2）b（截距）：直线与y轴交点的纵坐标，即当x=0时，y=b。交点为(0， b)。 3.直线经过的象限：由k和b共同决定。 k>0，b>0：经过一、二、三象限。 k>0，b<0：经过一、三、四象限。 k<0，b>0：经过一、二、四象限。 k<0，b<0：经过二、三、四象限。 ·易错点：记忆象限规律时，可结合草图分析。特别注意b=0时，直线过原点（正比例函数）。 知识点03 待定系数法及一次函数与方程、不等式 1.待定系数法求解析式步骤： （1）设：设一次函数解析式为 y = kx + b (k ≠ 0)。 （2）代：将已知的两组x、y对应值（或点的坐标）代入。 （3）解：得到关于k、b的二元一次方程组，并解之。 （4）写：将k、b的值代回所设解析式。 2.一次函数与一元一次方程： 从“数”看：解方程kx+b=0 (k≠0)。 从“形”看：求直线y=kx+b与x轴交点（此时y=0）的横坐标。 3.一次函数与一元一次不等式： 不等式kx+b > 0 的解集，是直线y=kx+b在x轴上方部分对应的x的取值范围。 不等式kx+b < 0 的解集，是直线y=kx+b在x轴下方部分对应的x的取值范围。 4.一次函数与二元一次方程组： 从“数”看：方程组的解是一对使两个等式同时成立的数(x， y)。 从“形”看：方程组的解是两条直线y=k₁x+b₁与y=k₂x+b₂交点的坐标。 题型一 一次函数图象与性质的深层辨析 解｜题｜技｜巧 此类题常给出含参数的解析式或草图，要求判断系数符号或比较大小。 1.由“形”定“数”： 看趋势：直线上升则k>0，下降则k<0。 找交点：看与y轴交点，在正半轴则b>0，负半轴则b<0。 看象限：结合直线经过的象限反推k、b符号。 2.由“数”定“形”或比较： 比较不同直线k的大小：在同一坐标系中，|k|越大越陡；k同为正，越大越陡；k同为负，绝对值越大越陡。 关注特殊点：如直线与坐标轴交点、两直线交点等。 易｜错｜点｜拨 此当讨论函数值y随x的增减性时，必须指明是在整个定义域内。对于分段函数或不连续图象，需分段讨论。 【典例1】 如果一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点在y轴正半轴上，且y随x的增大而减小，那么（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点在y轴正半轴上， ∴b＞0， ∵y随x的增大而减小， ∴k＜0， 故选：C． 【典例2】【教材再现】两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同，函数y＝﹣6x的图象经过原点，函数y＝﹣6x+5的图象与y轴交于点（0，5），即它可以看作直线y＝﹣6x向上平移5个单位长度而得到． 【结论应用】一次函数y＝x﹣3的图象可以看作正比例函数 的图象向 　 　 平移 　 　 个单位长度而得到； 【类比思考】如果将直线y＝﹣6x的图象向右平移5个单位长度，那么得到的直线的函数解析式是怎样的呢？ 我们可以这样思考：在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6），将点A（0，0）和B（1，﹣6）向右平移5个单位得到点C（5，0）和D（6，﹣6），连接CD，则直线CD就是直线AB向右平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将C（5，0）和D（6，6）代入得到：．解得，所以直线CD的解析式为：y＝﹣6x+30； ①将直线y＝﹣6x向左平移5个单位长度，则平移后得到的直线解析式为 　 ． ②若先将直线y＝﹣6x向左平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，得到直线l，则直线l的解析式为 　 ； 【拓展应用】已知直线l：y＝2x+3与直线l′关于x轴对称，求直线l'的解析式． 【解答】解：【结论应用】一次函数y＝x﹣3的图象可以看作正比例函数y＝x的图象向下平移3个单位长度而得到． 故答案为y＝x，下，3； 【类比思考】①在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6）， 将点A（0，0）和B（1，﹣6）向左平移5个单位得到点C（﹣5，0）和D（﹣4，﹣6），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 将C（﹣5，0）和D（﹣4，﹣6）代入得到：，解得， 所以直线CD的解析式为：y＝﹣6x﹣30． 故答案为y＝﹣6x﹣30； ②在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6）， 将点A（0，0）和B（1，﹣6）向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C（﹣4，5）和D（﹣3，﹣1），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的直线， 设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 将C（﹣4，5）和D（﹣3，﹣1）代入得到：，解得， 所以直线l的解析式为：y＝﹣6x﹣19． 故答案为y＝﹣6x﹣19； 【拓展应用】在直线l：y＝2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5）， 则点A和B关于x轴的对称点分别为C（0，﹣3）或D（1，﹣5），连接CD，则直线CD就是直线AB关于x轴对称的直线， 设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 将C（0，﹣3）或D（1，﹣5）代入得到：，解得， 所以直线l′的解析式为y＝﹣2x﹣3． 【变式1】通过函数及其图象的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法， 求出这条直线对应的一次函数表达式，有这样一个问题：直线l1的函数表达式为y＝2x+3，求把直线l1向右平移4个单位后所得直线l2的函数表达式下面是小明的解题思路，请补充完整： 第一步：分别求出直线l1与x轴、y轴的交点A、B的坐标； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线l1； 第三步：分别求点A、B向右平移4个单位后的对应点A'、B'的坐标； 第四步：由点A′、B′的坐标，利用待定系数法，即可求出直线l2的函数表达式． 小明求出的直线l2的表达式是 　 ． 请你参考小明的解题思路，继续解决下面的问题： （1）若直线l3与直线l1关于x轴对称，则直线l3对应的函数表达式为 　 ； （2）将直线l1绕原点O顺时针旋转90°，得到直线l4，求直线l4对应的函数表达式． 【解答】解：∵直线l1的表达式为y＝2x+3， ∴直线l1与x轴的交点A的坐标为（，0），与y轴的交点B的坐标为（0，3）， ∴点A、B向右平移4个单位后的对应点A'、B'的坐标分别为A'（，0）、B'（4，3）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 则，解得k＝2，b＝﹣5， ∴直线l2的表达式为：y＝2x﹣5． 故答案为：y＝2x﹣5； （1）∵B（0，3）， ∴B点的坐标关于x轴的对称点为（0，﹣3）， 设直线l3的解析式为y＝ax+c， 则，解得， ∴直线l3的表达式为：y＝﹣2x﹣3． 故答案为：y＝﹣2x﹣3； （2）∵A（，0），B（0，3）， ∴将直线l1绕原点O顺时针旋转90°，则对应点的坐标为（0，）、（3，0）． 设直线l4的解析式为y＝mx+n， 则，解得， ∴直线l4的表达式yx． 【变式2】在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律． 同学们通过讨论，积极发言，主要把k进行分类，得出一次函数的部分性质： 对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）， 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小． 【跟进练习】对于函数y＝﹣2x+3，当﹣3＜x＜3时，则y的取值范围是 　 　 ． 爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：y＝﹣2x+3与这两条直线是互相垂直的． 这是一种巧合还是存在着某种联系？ 沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论： “若两条直线函数表达式为y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2（k1，k2均不为0），当k1•k2＝﹣1时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论． 【结论理解】若直线y1＝mx+n与直线互相垂直，则m＝　 　 ． 【灵活运用】如图2，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，且B（﹣4，0），C（2，0），延长CA交y轴于点E（0，4），求点A的坐标． 【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx+5经过点A（﹣3，3），与y轴的交点为B，点C在坐标轴上，若以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点C的坐标． 【解答】解：【跟进练习】∵y＝﹣2x+3，﹣3＜x＜3， ∴当x＝﹣3时，y＝9；当x＝3时，y＝﹣3， ∴﹣3＜y＜9， 故答案为：﹣3＜y＜9； 【结论理解】∵直线y1＝mx+n与直线互相垂直， ∴， ∴， 故答案为：； 【灵活运用】∵C（2，0），E（0，4）， ∴直线CE的解析式为：y＝﹣2x+4， 设直线AB的解析式为：， 将B（﹣4，0）代入得b＝2， ∴， 由得， ∴； 【延伸拓展】∵直线y＝kx+5经过点A（﹣3，3）， ∴3＝﹣3k+5得， ∴， 与y轴的交点B（0，5）， ∵A（﹣3，3），B（0，5），C为顶点的三角形是直角三角形， 如图， 当AC⊥BC，点C在y轴上时，C点坐标是C（0，3）， 当AC⊥AB时，直线，直线AC与坐标轴交点即可所求点C， 点C在y轴上时，C点坐标是， 点C在x轴上时，C点坐标是C（﹣1，0）， 当BC⊥AB时，直线，直线BC与坐标轴交点即可所求点C， 点C在x轴上时，C点坐标是， 综上所述：C点坐标可以是以下各点： C（0，3），，C（﹣1，0），． 题型二 一次函数与方程、不等式结合的数形解法定规 答｜题｜模｜板 1.明确问题：看清是求方程的解、不等式的解集，还是判断大小关系。 2.找准图象：在坐标系中准确画出涉及的一次函数图象，或利用已知图象。 3.“翻译”条件： “求kx+b=0的解” → 找直线与x轴交点的横坐标。 “求kx+b>0的解集” → 找x轴上面对应直线在上方部分的x范围。 “比较y₁与y₂大小” → 找y₁=k₁x+b₁的图象位于y₂=k₂x+b₂图象上方的x范围。 4.确定边界与方向：交点坐标是分界点，图象的上下位置决定不等号方向。最终答案通常用不等式或区间表示。 【典例1】已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）． （1）求a，b的值； （2）方程组的解为 　 　 ． （3）不等式的解集为 　 ． （4）在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题知，点C（1，a）在y＝2x的图象上， 所以a＝1×2＝2， 所以点C 的坐标为（1，2）， 因为点C（1，2）在的上， 所以2b， 所以b＝2.5； （2）∵一次函数yx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，2）， ∴方程组的解为， 故答案为：； （3）由图象可知，yx+b≥2x的解答为：x≤1； 故答案为：x≤1； （4）存在，理由如下： ∵点P在y＝2x的图象上， ∴设点P 的坐标为（x，2x）， ∵一次函数为， ∴点A的坐标为（0，2.5），点B的坐标为（5，0）， 作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， ∴△BOP的面积为，△AOP的面积为， 当5|x|时，解得， ∴， ∴点P的坐标为或． 【典例2】如图，已知两个一次函数，y1＝x与y2＝﹣2x﹣2的图象相交于点P． （1）求点P的坐标； （2）观察图象，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围； （3）点A（t，0）为x轴上的一个动点，过点A作x轴的垂线与直线l1和12分别交于点M，N，当MN＝4时，求t的值． 【解答】解：（1）联立y1＝x与y2＝﹣2x﹣2， 解得x，y， ∴点P坐标为（，）； （2）根据图象可知，y1＞y2时自变量x的取值范围：x； （3）根据题意，得点M（t，t），点N（t，﹣2t﹣2）， ∴MN＝|t﹣（﹣2t﹣2）|＝|3t+2|， 当MN＝4时，|3t+2|＝4， 解得t或t＝﹣2， ∴t或t＝﹣2． 【变式1】小魏同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，以下是他的研究步骤，请补全他的研究过程： 第一步：函数中，自变量x的取值范围是 　 ． 第二步：根据自变量取值范围列表： x ﹣1 0 1 2 3 4 … 0 1 m 2 … m＝　 　 ． 第三步：描点画出函数图象． 在描点的时候，遇到了这样的点，小魏同学用勾股定理的知识，找到了画图方法，如图所示： 你能否从中得到启发，在下面的y轴上标出表示、m、的点，并描点画出的函数图象． 第四步：分析函数的性质． 请写出你发现的函数的性质（写两条）： 　 ；　 　 ； 第五步：利用函数图象解含二次根式的方程和不等式． （1）请在上面坐标系中画出的图象，并直接写出方程的解 　 ． （2）不等式的解集是　 　 ． 【解答】解：第一步：∵x+1≥0， ∴x≥﹣1， ∴函数中，自变量x的取值范围是x≥﹣1， 故答案为：x≥﹣1； 第二步：把x＝2，y＝m代入得m， 故答案为：； 第三步：如图所示； 第四步：函数的性质：①y随x的增大而增大，②函数图象与y轴交于（0，1）； 故答案为：y随x的增大而增大，函数图象与y轴交于（0，1）； 第五步：（1）的图象如图所示；由图象知方程的解为x1＝﹣1，x2＝3； 故答案为：x1＝﹣1，x2＝3； （2）由函数图象知不等式的解集是﹣1＜x＜3， 故答案为：﹣1＜x＜3． 【变式2】请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数y＝|2x﹣1|的图象和性质，并解决问题． （1）根据函数解析式，填写下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 　 　 1 0 　 　 3 5 … （2）利用（1）中表格画出函数y＝|2x﹣1|的图象； （3）观察图象，当x　 　 时，y随x的增大而减小； （4）利用图象，直接写出不等式|2x﹣1|＜x+1的解集． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝|2x﹣1|＝|﹣3|＝3， 当x＝1时，y＝|2x﹣1|＝|2﹣1|＝1， 故答案为：3，1； （2）函数图象如图所示： （3）当y＝|2x﹣1|＝0时， 解得x， 根据图象可知，当x时，y随x的增大而减小， 故答案为：； （4）画出函数y＝x+1的图象，如图所示： 由图象可得，不等式|2x﹣1|＜x+1的解集是0＜x＜2． 【变式3】如图，直线l1：y＝2x+m经过点（﹣3，﹣2），且与x轴，y轴分别交于点B，点A；直线l2：y＝kx+b经过点（2，﹣2），且与x轴交于点D（6，0），与y轴交于点C．两直线相交于点P． （1）求直线l1，l2的解析式； （2）求S△ACP：S△ACD的值． 【解答】解：（1）∵l1：y＝2x+m经过点（﹣3，﹣2）， ∴﹣2＝2×（﹣3）+m， 解得：m＝4， ∴l1：y＝2x+4； ∵l2：y＝kx+b经过点（2，﹣2）且与x轴交于点D（6，0）， ∴， 解得：， ∴． （2）联立两函数解析式，得： ， 解得：， ∴， 过点P作PM⊥y轴于M，如图， ∴， ∵△ACP与△ACD同底， ∴面积的比等于高的比． ∴． ∴S△ACP：S△ACD＝7：9． 题型三 一次函数的实际应用与方案决策（跨学科/生活应用） 答｜题｜模｜板 1.审题建模： 确定自变量x和因变量y的实际意义。 识别问题属于哪种类型（分段计费、行程相遇、原料分配、方案比较）。 从文字、表格、图象中提取关键数据（初始值、变化率、极限值）。 2.列解析式：根据“总价=单价×数量+基础费”、“路程=速度×时间”等基本关系，列出分段或整体的一次函数解析式。务必注明x的取值范围。 3.分析求解： 比较方案：计算不同方案在自变量取值范围内的函数值，或求两函数解析式相等时的临界点，分段判断优劣。 求最值：在一次函数的单调性下，最值通常在自变量取值区间的端点取得（需验证）。 4.作答验证：用语言完整回答实际问题，并检查结果是否符合常识和取值范围。 【典例1】如表给出A，B，C三种宽带网的收费方式． 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/小时 超时费/（元/分钟） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 100 不限时 设上网时间为t小时，方案A、B、C的费用分别为y1、y2、y3． （1）t＝30时，求y1、y2的值．（直接写出结果） （2）分别求出y1、y2、y3关于t的函数关系式，并注明变量t的取值范围． （3）在同一坐标系中画出函数y1、y2、y3的图象，并选择出上网费用最低的收费方式． 【解答】解：（1）当t＝30时，y1＝30+（30﹣25）×60×0.05＝45，y2＝50， ∴y1的值为45，y2的值为50． （2）当0≤t≤25时，y1＝30；当t＞25时，y1＝30+（t﹣25）×60×0.05＝3t﹣45， ∴y1关于t的函数关系式为y1． 当0≤t≤50时，y2＝50；当t＞50时，y2＝50+（t﹣50）×60×0.05＝3t﹣100， ∴y2关于t的函数关系式为y2． y3关于t的函数关系式为y3＝100（t≥0）． （3）在同一坐标系中画出函数y1、y2、y3的图象如图所示： 当3t﹣45＝50时，解得t（点P的横坐标）； 当3t﹣100＝100时，解得t（点Q的横坐标）． 由图象可知，当0≤t时，y1＜y2＜y3； 当t时，y1＝y2＜y3； 当t时，y2＜y1，y2＜y3； 当t时，y2＝y3＜y1； 当t时，y3＜y2＜y1； ∴当0≤t时，选择A收费方式； 当t时，选择A收费方式或B收费方式均可； 当t时，选择B收费方式； 当t时，选择B收费方式或C收费方式均可； 当t时，选择C收费方式． 【典例2】A、B两地相距90km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，结合图象回答下列问题： （1）表示乙离A地的距离与时间关系图象是 （填l1或l2）；甲的速度是 　 　 km/h；乙的速度是 　 　 km/h； （2）甲出发多少小时两人恰好相距15km？ 【解答】解：（1）∵甲先出发，乙后出发， ∴表示乙离A地的距离与时间关系的图象是l2， 甲的速度是：90÷2＝45km/h， 乙的速度是：90÷（3.5﹣0.5）＝90÷3＝30km/h， 故答案为：l2，45，30； （2）设甲对应的函数解析式为y＝ax+b， ， 得， ∴甲对应的函数解析式为y＝﹣45x+90， 设乙对应的函数解析式为y＝cx+d， ， 得， 即乙对应的函数解析式为y＝30x﹣15， ∴|（﹣45x+90）﹣（30x﹣15）|＝15， 解得x1＝1.2，x2＝1.6， 答：甲出发后1.2h或1.6h时两人恰好相距15km． 【变式1】某市出租车收费标准分白天和夜间分别计费，具体见下表． 行驶路程 收费标准 白天 夜间 不超过2km的部分 起步价6元 起步价7元 超过2km不超出10km的部分 每公里2元 每公里2.4元 超出10km的部分 每公里3元 每公里3.6元 设行驶路程为xkm时，白天收费y1元，夜间收费y2元，根据表中信息，完成下列各题： （1）当2＜x≤10时，求y1关于x的函数表达式； （2）若幸福小区到阳光小区的路程为12km，小明从幸福小区乘出租车去阳光小区，白天收费比夜间收费少多少元？ 【解答】解：（1）当2＜x≤10时， 设y1＝2x+m，过点F（2，6）， 则2×2+m＝6， 解得：m＝2， ∴y1＝2x+2（2＜x≤10）； （2）x＝12＞10， ∴y1＝6+2×（10﹣2）+3×（12﹣10）＝28（元）y2＝7+2.4×（10﹣2）+3.6×（12﹣10）＝33.4（元）， ∴y1﹣y2＝33.4﹣28＝5.4（元） 即白天收费比夜间收费少5.4元． 题型四 一次函数与动点、图形面积综合（跨章节题型） 解｜题｜技｜巧 1.“动”化“静”：设运动时间为t，用含t的代数式表示出动点的坐标，进而表示出动线（线段）所在的一次函数解析式。 2.“形”联“数”： （1）求面积：利用“割补法”或“水平宽×铅垂高”公式，将图形面积S表示为含t的代数式（即S关于t的函数）。 （2）求特殊点：当面积等于某定值，或图形成为特殊形状（如等腰）时，得到关于t的方程，解之即得运动时间。 3.分段讨论：当运动过程导致图形形状发生根本改变（如动点越过某临界位置）时，必须分段建立函数关系式进行分析。 易｜错｜点｜拨 动点问题中，自变量的取值范围（t的范围）至关重要，它由运动起点、终点和速度共同决定，必须首先明确，并在最终答案中考虑。 【典例1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，△ABC的顶点A、B坐标分别为（2，0）、（﹣3，0），顶点C在y轴正半轴上，AD⊥BC，垂足为D，AD与y轴交于点E，AD＝DC． （1）求△AEC的面积； （2）动点P从点E出发沿EC以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点Q从点A出发沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，点P到达终点C停止运动，点Q随之停止运动，设点P运动时间为t（单位：秒），连接EQ、PQ，请用含t的式子表示△EPQ的面积； （3）在（2）的条件下，点G在直线BC上，且BG＝AE，连接AP、QG，t为何值时，△AEP≌△GBQ，并求出此时△EPQ的面积． 【解答】解：（1）∵点A、B坐标分别为（2，0）、（﹣3，0）， ∴AO＝2，BO＝3， ∴AB＝5， ∵AD⊥CD，AB⊥CO， ∴∠CBA+∠DAB＝90°，∠CBA+∠BCO＝90°， ∴∠BCO＝∠DAB，且CD＝AD，∠CDE＝∠BDA＝90°， ∴△ABD≌△CED（AAS） ∴CE＝AB＝5， ∴S△AECCE×AO＝5 （2）如图1，①当0＜t时， SOQ1×EP13t×2t＝3t2 ②当t≤5时， SOQ2×EP2（3t﹣2）×t （3）如图2，①当G在CB的延长线上时， △AEP≌△GBQ 则BQ1＝P1E ∴t＝5﹣3t ∴t ∴SP1E×OQ1 ②当点G在AB线段上时 △AEP≌△GBQ 则P2E＝BQ2 ∴t＝3t﹣5 ∴t ∴SP2E×OQ2 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知OA＝5，OC＝3，点D为x轴上一点，坐标为（2，0），连接CD．点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒． （1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式； （2）连接PC、PD，求点P在整个运动过程中△CPD的面积S关于t的函数表达式； （3）在点P的运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）∵四边形ABCO是矩形， ∴∠COD＝∠OCP， ∵OC＝CO， ∴当CP＝OD＝2时，△CPO≌△ODC， ∴P（2，3）， 设直线OP的解析式为y＝kx， 则：3＝2k， ∴直线OP的解析式为yx； （2）当点P在线段BC上时，如图1中， S•CP•COt（0＜t≤5）， 当点P在线段AB上时，如图2中， BP＝t﹣5，AP＝3﹣（t﹣5）＝8﹣t， S＝3×52×35×（t﹣5）3×（8﹣t）＝﹣t（5＜t≤8）， 综上所述，S； （3）如图3中， ∵OD＝2，OC＝3， ∴CD， ①当DC＝DP1时，P1（，3）， ②当DC＝DP2时，当点P2在BC上时，点P2与点C关于直线x＝2对称， ∴P2（4，3）． 当点P3在AB上时，AP32， ∴P3（5，2）． ④当P4C＝P4D时，设P4C＝a， 则：a2＝32+（a﹣2）2， 解得a， ∴P4（，3）， 综上所述，满足条件的点P坐标为（，3）或（，3）或（4，3）或（5，2）． 【变式1】在梯形ABCO中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C三点的坐标分别是A（8，0），B（8，10），C（0，4）．点D（4，7）为线段BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OAB的路线运动，运动时间为t秒． （1）求直线BC的解析式； （2）设△OPD的面积为s，求出s与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； （3）当t为何值时，△OPD的面积是梯形OABC的面积的？ 【解答】解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将C（0，4），B（8，10）代入得： ， 解得：， 即yx+4， 所以直线BC的解析式为：yx+4． （2）有两种情况： ①当P在OA上运动时； ∴OP＝t×1＝t，△OPD的边OP上的高是7， ∴△OPD的面积为： St×7 即St（0＜t≤8）， ②当P在AB上运动时： ∵A（8，0），B（8，10），C（0，4），D（4，7）， △ODC的面积为： S14×4＝8， △OPA的面积是： S28×（t﹣8）＝4t﹣32， △DBP的面积是： S3{10﹣（t﹣8）}×（8﹣4）＝36﹣2t， 四边形OABC的面积是： S4（4+10）×8＝56， ∴△ODP的面积是： S＝S4﹣S1﹣S2﹣S3＝56﹣8﹣（4t﹣32）﹣（36﹣2t）＝﹣2t+44， 即S＝﹣2t+44（8＜t≤18）， ∴S； （3）由（2）可知： a：t56， 解得t＝6秒， b：﹣2t+4456， 解得t＝11.5秒， ∴t＝6秒或t＝11.5秒． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.已知点A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝3x﹣5的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【解答】解：∵k＝3＞0， ∴y随x增大而增大， 又∵点A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝3x﹣5的图象上且﹣3＜﹣2＜1， ∴y2＜y1＜y3， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5的图象不经过的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵在y＝x+5中，1＞0，5＞0， ∴一次函数y＝x+5的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 3．函数y＝（k2﹣9）x2+（k+1）x是关于x的正比例函数，且y随x的增大而减小，则k的值为　 　 ． 【解答】解：由题意得：k2﹣9＝0，且k+1＜0， ∴k＝﹣3． 故答案为：﹣3． 4．小翼从家跑步到学校，接着立即沿原路步行回家．如图是小翼离家的路程y（m）与时间t（min）之间关系的图象，则小翼跑步的平均速度是　 　 m/min，步行回家的平均速度是　 　 m/min． 【解答】解：由图象可知小翼家到学校的距离是600m， 小翼跑步的平均速度是120（m/min）． 从5分钟到15分钟的一段线段代表小翼步行回家． 其步行速度为600÷（15﹣5）＝60（m/min）． 故答案为：120，60． 5．工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故障停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲个．乙组加工数量为y乙个，其函数图象如图所示： （1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）甲组加工多长时间时，甲，乙两组加工零件的总数为480个． 【解答】解：（1）设y乙与t之间的函数关系式为y乙＝kt+b（k≠0）， 将（5，0），（8，360）代入y乙＝kt+b（k≠0）得， 解得， ∴y乙＝120t﹣600（5≤t≤8）； （2）设甲组加工m小时时，甲，乙两组加工零件的总数为480个， 由函数图象可知甲组工人每小时加工个零件，且甲组工人检修机器花费4﹣3＝1小时， ∴当乙组工人开始工作时，甲组工人一共加工40×（5﹣1）＝160个零件， ∴160+40（m﹣5）+120m﹣600＝480， 解得m＝7， 答：甲组加工7小时时，甲，乙两组加工零件的总数为480个． 6．某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，租书费为每册4元；另一种是会员卡租书，办卡费每月48元，租书费为每册1.6元．小军经常来该店租书，设他每月租书数量为x册，以零星租书方式每月应付的金额为y1元，以会员卡租书方式每月应付的金额为y2元． （1）请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）当小军租多少本书时，选择两种租书方式的金额相同？ 【解答】解：（1）根据题意列出函数关系式可得： 零星租书，租书费为每册4元，每月租书数量为x册，故y1＝4x； 会员卡租书，办卡费每月48元，租书费为每册1.6元，故y2＝1.6x+48． （2）由题意得y1＝y2，4x＝1.6x+48， 解得x＝20， ∴当小军租20本书时，选择两种租书方式的金额相同． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝﹣3x+5交于点A（a，﹣1），那么关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：把A（a，﹣1）代入y＝﹣3x+5得： ﹣1＝﹣3a+5， 解得a＝2， ∴A（2，1）， ∴的解为， 故选：A． 2．关于x的一次函数y＝（2m+1）x+m﹣2，若y随x的增大而减小，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m＞2 【解答】解：关于x的一次函数y＝（2m+1）x+m﹣2中， ∵y随x的增大而减小， ∴2m+1＜0，即． ∵图象与y轴的交点在x轴下方， ∴当x＝0时，y＝m﹣2＜0，即m＜2． ∴m的取值范围是且m＜2，即． 故选：A． 3．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车分别从这条高速公路两端的入口处同时驶入（城区与入口的距离忽略不计），并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，已知甲车以90千米/时的速度匀速行驶．两车之间的距离s（千米）与行驶时间x（小时）之间的关系如图．给出下列结论：①A、B两城相距300千米；②乙车与甲车相遇之前速度为60千米/时；③C点的横坐标为；④两车相遇时距离A城180千米；⑤乙车与甲车相遇后，速度改为90千米/时．以上结论中正确的是　 　 （填序号）． 【解答】解：由函数图象可知，当行驶时间为0时，两车的距离为300千米， ∴A、B两城相距300千米，故①正确； ∵行驶2小时后，甲、乙两车的距离为0，即此时两车相遇， ∴乙车与甲车相遇之前速度为千米/时，故②正确； 由函数图象可知C点表示的实际意义此时甲车到达B地， ∴C点的横坐标为，故③正确； ∵在甲到达B地时，乙车再行驶小时共行驶（300﹣200）＝100千米， ∴乙车与甲车相遇后，速度改为千米/时，故④错误； 故答案为：①②③． 4.跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动速度随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动速度v（cm/s）的数据． 【收集整理数据】 运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 … 运动速度v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 … 【数学建模探究】 【画图】根据表格中的数据在图2的平面直角坐标系中描点、连线． 【猜想】观察图象，猜想v与t之间的函数关系式为　 　 ． 【检验】请代入一组数据验证你的猜想． 【解答】解：【画图】根据表格中的数据分别在图2的平面直角坐标系中描点、连线如图所示： 【猜想】观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示， 故答案为：一次函数； 【检验】设v＝kt+b，把t＝4，v＝10，t＝0，v＝12，代入v＝kt+b可得， 解得， ∴v与t之间的关系式为v＝﹣0.5t+12； 验证：当t＝8时，v＝﹣0.5×8+12＝8，与表格数据一致． 5．综合与探究 问题情境：2025年世界机器人运动大会竞速项目中，甲、乙两款机器人在120m的直线跑道上进行比赛．他们从跑道的同一起点同时出发，跑到终点，然后沿原路返回起点． 问题探究：比赛过程中，机器人实时位置到起点的距离y（单位：m）与时间t（单位：s）的函数图象（不完整）如图所示，其中折线OM﹣MN是甲款机器人的图象，线段OP是乙款机器人的部分图象，已知OM对应的函数关系式为y＝4t． 问题解决：（1）①点M的坐标为　 　 ． ②求线段OP对应的函数关系式． （2）乙款机器人到达终点后，因故障耽误了5s，然后以原来的速度返回起点，请你在图中画出乙款机器人返回时的大致函数图象（线段），用字母标注两个端点，并写出两个端点的坐标． （3）从乙款机器人到达终点后开始探究，当两款机器人到起点的距离之差为25m时，直接写出t的值． 【解答】解：（1）①∵OM对应的函数关系式为y＝4t，观察图象知点M的纵坐标为120， ∴120＝4t， 解得t＝30， ∴点M的坐标为（30，120）， 故答案为：（30，120）； ②观察图象知P（40，120），设线段OP对应的函数关系式为y＝kt（k≠0）， 把点P（40，120）代入，得120＝40k， 解得k＝3， ∴线段OP对应的函数关系式为y＝3t； （2）根据题意画出图象如图所示： ∵乙款机器人到达终点后，因故障耽误了5s， ∴点E的横坐标为40+5＝45， ∴E（45，120）， 因为是以相同的速度返回起点，所以返回所用的时间与来时用的时间相同，为40s， ∴点F的横坐标为45+40＝85， ∴F（85，0）， ∴E（45，120），F（85，0）； （3）设线段MN对应的函数关系式y＝at+b（a≠0），由题意可得： ∴， 解得， ∴线段MN对应的函数关系式y＝﹣2t+180， 设线段EF对应的函数关系式y＝mt+n（a≠0）， ∴， 解得， ∴线段EF对应的函数关系式y＝﹣3t+255， 当40＜t＜90时， 当乙款机器人还未动，但与甲款机器人相距25m时，则有120﹣（﹣2t+180）＝25， 解得， 则有|（﹣3t+255）﹣（﹣2t+180）|＝25， 解得t＝50或t＝100（舍去）， 故答案为：t的值为或50． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．关于x的函数图象如图所示，其图象分两部分，一部分在直线x＝m（m＞﹣1）和直线x＝1之间，另一部分在直线x＝1的右侧，则下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a+b＜0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＜0 【解答】解：由题易知x+a＞0，x+b≠0， ∴x＞﹣a，x≠﹣b， 由函数解析式和图象可知， 函数是由两段组成，并且是由原函数图象向右平移﹣a和﹣b个单位， ∴﹣a＝m，﹣b＝1， 即a＝﹣m，b＝﹣1， ∵m＞﹣1， ∴m+1＞0， ∴a+b＝﹣m﹣1＝﹣（m+1）＜0， 故选：B． 2．已知一次函数y＝ax﹣3﹣a（a≠0）． （1）当y＝﹣3时，则x＝　 　 ； （2）当﹣4≤y≤﹣1时，自变量x的负整数值恰好有2个，则a的取值范围为　 　 ． 【解答】解：（1）y＝ax﹣3﹣a， y＝a（x﹣1）﹣3， ∴无论a取何值x＝1时，y＝﹣3． ∴当x＝﹣3时，则x＝1； 故答案为：1； （2）①当a＞0时，y随x增大而增大， ∴当﹣4≤y≤﹣1时，可得﹣4≤ax﹣3﹣a≤﹣1， 解得1x≤1， ∵自变量x的负整数值恰好有两个， ∴负整数值只能是﹣1、﹣2， 则， 解得a； ②当a＜0时， 同理可得1x≤1， ∵自变量x的负整数值恰好有两个， ∴负整数值只能是﹣1、﹣2， ∴， 解得a， ∴a； 综上，a的取值范围为a或． 故答案为：a或． 3．小亮在学习了《光的反射定律》后，知道入射光线经过反射后形成反射光线．如图1，ON是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角，入射光线上一点P关于反射面的对称点P′在反射光线的反向延长线上．同时，他还发现可以用一次函数的图象来刻画光线的反射．如图2，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），请用两种不同的方法求2m﹣n的值． 【解答】解：方法一：由题意，∵A（﹣2，5），B（0，1）， ∴直线AB为y＝﹣2x+1． 又∵直线BC与直线AB关于直线y＝1对称， ∴直线BC为2﹣y＝﹣2x+1，即y＝2x+1． 又∵C（m，n）在y＝2x+1的图象上， ∴2m+1＝n． ∴2m﹣n＝﹣1． 方法二：由题意，∵A（﹣2，5），B（0，1）， ∴直线AB为y＝﹣2x+1． 又∵直线AB与直线BC关于y轴对称， ∴直线BC为y＝2x+1． 又∵C（m，n）在y＝2x+1的图象上， ∴2m+1＝n． ∴2m﹣n＝﹣1． 4．甲、乙两地相距skm．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发ah后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地．两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息1h后，提速50%，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地．在整个行程中，慢车离甲地的距离y1（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． （1）在图中画出快车离甲地的距离y2（单位：km）与时间t之间的函数图象． （2）a＝ 　 　 ． （3）已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地30km处有一个治安警亭． ①若s＝120，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是 　 ． 【解答】解：（1）如图，折线ABCD即为所求． （2）根据图形可知，快车去乙地时速度为v快，用时（2﹣a）小时，返回速度为1.5v快，用时1小时， ∴（2﹣a）•v快＝1×1.5v快， 解得a＝0.5， 故答案为：0.5． （3）①s＝120时， ∵v慢＝120÷2＝60（km/h）， ∴yOB＝60t， ∵返回时，v快＝60×2＝120（km/h）， ∴从甲地到乙地时，v快＝12080（km/h）， ∴yAB＝80（t）＝80t﹣40， yBD＝120﹣60（t﹣2）＝﹣60t+240， yCD＝120﹣120（t﹣3）＝﹣120r+480， 慢车从甲地到乙地时，yOB﹣90＝90﹣yAB， ∴60t﹣90＝90﹣（80t﹣40）， 解得t； 慢车、快车同时到达乙地时，t＝2； 慢车从乙地回甲地时，90﹣yBD＝30， ∴90﹣（﹣60t+240）＝30， 解得t＝3； 综上所述，t或2或3． ②根据题意可知v慢（km/h）， ∴yOBt，yBDt+2s， ∵返回时，v快s（km/h）， ∴从甲地到乙地时，v快＝ss（km/h）， ∴yABst，yCD＝﹣st+4s， 令yOB＝s﹣30，即t＝s﹣30， 解得tOB2； 令yAB＝s﹣30，即sts﹣30， 解得tAB2， 令yCD＝s﹣30，即﹣st+4s＝s﹣30， 解得tCD3， 令yBD＝s﹣30，即t+2s＝s﹣30， 解得tBD2， 根据题意可得， ，即， 解得， ∴s≥90， 故答案为：s≥90． 5．王明同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是他的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是 　 ； （2）下表是y与x的几组对应值：则m的值为　 　 ； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 … y … m 0 ﹣1 3 2 … （3）如图所示，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象； （4）观察图象，写出该函数的一条性质 　 ； （5）若函数的图象上有三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1，y2，y3之间的大小关系是 ． 【解答】解：（1）∵x﹣3≠0， ∴x≠3， 故答案为：x≠3； （2）把x＝﹣1代入中， 得y， 故答案为：； （3）可以把解析式整理为y＝1， 把（﹣2，）（﹣1，）（0，），（1，0）（2，﹣1）， 描点，用平滑的曲线连接， （4）x＞3时，y随x的增大而减小； （5）根据图象得出，y2＞y3＞y1， 故答案为：y2＞y3＞y1． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $