专题02 代数式（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学代数式期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，将代数式书写求值、整式概念、加减运算等知识分模块细化，结合易错点解析构建完整知识脉络，突出重点难点的内在联系。 讲义亮点在于“整体思想”“规律探究”等题型设计，如代数式求值中的整体代入技巧、图形规律的“差相等模型”等方法指导，培养抽象能力与推理意识。分层练习覆盖基础到综合，附答题模板与易错点拨，助力学生自主复习，教师可精准实施分层教学。

专题02 代数式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的规范书写、意义及求值 能根据语言叙述或图形规律列代数式；能用数值规范、准确地求出代数式的值。 基础题型，常与代入负数、分数、乘方的运算结合考查。易错点在于代入负数或分数时忘记加括号。 整式的相关概念（单项式、多项式） 能识别单项式、多项式，并准确说出其次数、系数、项等概念。 常以选择题或填空题出现，辨析概念细节（如常数项的次数是0，π是数字因数）。 整式的加减运算（合并同类项） 能准确识别同类项，并熟练进行去括号、合并同类项的运算。 期末必考计算题。核心难点是去多重括号时的符号处理，以及合并时只系数相加减、字母及指数不变。 代数式表示图形规律或数量关系 能从具体图形（点阵、瓷砖、火柴棒等）或数字序列中抽象出通用代数式（第n个图形/数的表达式）。 期末选择填空的拉分点，考查抽象思维和归纳能力。关键在于从变化中寻找不变的结构。 代数式的实际应用与简单推理 能用代数式表示实际情境（面积、售价、增长率等），并进行简单的比较、推理或求值。 连接应用题，为方程学习奠基。考查从文字到数学符号的转化能力，是综合题的雏形。 知识点01 代数式的概念、书写与求值 1.概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和表示数的字母连接而成的式子。 2.书写规范： （1）数字与字母、字母与字母相乘，乘号省略或用“·”；数字在前，字母在后（如2×a写作2a）。 （2）除法运算通常写成分数形式（如a÷b写作 ）。 （3）带单位时，若代数式是和或差的形式，应把整个式子用括号括起来再写单位。 3.求值：用具体数值代替字母，按照运算顺序计算。关键步骤：代入时，若该数值是负数、分数或需乘方，务必加上括号。 ·示例：当a ＝ －2时，求代数式 a² － 2a ＋ 1 的值。正确代入：(－2)² － 2×(－2) ＋ 1 ＝ 4 ＋ 4 ＋ 1 ＝ 9。错误代入：－2² － 2×－2 ＋ 1 会导致计算错误。 ·易错点：①书写不规范，如 1a， a×b。②代入求值时，忽略括号，导致符号和运算顺序错误。 知识点02 整式及其相关概念 1.单项式：由数与字母的积组成的代数式。单独一个数或一个字母也是单项式。 （1）系数：单项式中的数字因数（包含符号）。如 －3x²y 的系数是 －3。 （2）次数：所有字母的指数之和。如 －3x²y 的次数是 2＋1＝3。 2.多项式：几个单项式的和。 （1）项：每个单项式叫做多项式的项（注意带符号）。 （2）常数项：不含字母的项。 （3）次数：多项式中次数最高的项的次数。 3.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。与系数无关。 ·示例：多项式 2x²y － 3xy ＋ 5 － x²y 中，有4项；2x²y 与 －x²y 是同类项；次数是3；常数项是5。 ·易错点：判断同类项时，只关注字母部分，x²y 与 xy² 不是同类项（指数不同）。 知识点03 合并同类项与去括号法则 1.合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 2.去括号法则（根本依据是乘法分配律）： （1）括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变。括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变。 （2）核心思想：化简整式就是“去括号”和“合并同类项”两个步骤的循环。 ·易错点：去括号时，最容易错的是括号前是负号，只改变第一项的符号，忘记改变后面每一项的符号。 题型一 代数式求值中的“整体思想” 解｜题｜技｜巧 当题目中给出的条件不能或不方便直接求出每个字母的值时，需要观察所求代数式与已知条件式之间的结构关系，将已知条件式或其变形式视为一个“整体”直接代入。 1.对比结构：将已知等式和所求代数式对齐书写，寻找相同的代数“模块”。 2.恒等变形：对已知等式进行变形（移项、系数化等），构造出所求代数式中需要的“整体”。 3.整体代入：将变形后得到的“整体”表达式，作为一个整体数值代入计算。 易｜错｜点｜拨 1.整体代入后，原来“整体”作为一个整体，必须加上括号，再参与后续运算。 2.当需要构造多个整体时，注意运算顺序。 【典例1】 当x＝1时，整式ax3+bx+1的值为2024，则当x＝﹣1时，整式ax3+bx﹣2的值是（　　） A．2025 B．﹣2025 C．2024 D．﹣2024 【解答】解：由题意可得a+b+1＝2024， ∴a+b＝2023， ∴当x＝﹣1时，ax3+bx﹣2＝﹣a﹣b﹣2＝﹣（a+b）﹣2， ∵a+b＝2023， ∴ax3+bx﹣2＝﹣（a+b）﹣2＝﹣2023﹣2＝﹣2025， 故选：B． 【典例2】若实数x满足x2+2x﹣1＝0，则2x3+7x2+4x+2025的值为 　 　 ． 【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0， ∴x2+2x＝1， ∴2x3+7x2+4x+2025 ＝2x3+4x2+3x2+4x+2025 ＝2x（x2+2x）+3x2+4x+2025 ＝2x+3x2+4x+2025 ＝3x2+6x+2025 ＝3（x2+2x）+2025 ＝3+2025 ＝2028， 故答案为：2028． 【变式1】关于x的多项式3x4﹣（m+5）x3+（n﹣1）x2﹣5x+3不含x3和x2，则（　　） A．m＝5，n＝1 B．m＝5，n＝﹣1 C．m＝﹣5，n＝1 D．m＝﹣5，n＝﹣1 【解答】解：∵多项式3x4﹣（m+5）x3+（n﹣1）x2﹣5x+3不含x3项和x2项， ∴﹣m﹣5＝0且n﹣1＝0， 解得m＝﹣5，n＝1． 故选：C． 【变式2】我们知道，4x+2x﹣x＝（4+2﹣1）x＝5x，类似地，若我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝（4+2﹣1）（a+b）＝5（a+b）．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： （1）把（a﹣b）2看成一个整体，计算3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是　 ； （2）已知x2+2y＝5，求代数式3x2+6y﹣21的值； （3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值． 【解答】解：（1）原式＝（3﹣7+2）（a﹣b）2 ＝﹣2（a﹣b）2； 故答案为：﹣2（a﹣b）2； （2）∵x2+2y＝5， ∴3x2+6y﹣21 ＝3（x2+2y）﹣21 ＝3×5﹣21 ＝﹣6； （3）由题意可得： 原式＝a﹣c+2b﹣d﹣2b+c ＝（a﹣2b）+（2b﹣c）+（c﹣d） ＝3+（﹣5）+10 ＝8． 题型二 探究图形或数字的规律 答｜题｜模｜板 1.数出前几项：耐心、准确地计算出第1、2、3、4个图形中的数量（如点数、周长、面积、火柴棒根数）。 2.列表找关联：将序号（n）与对应数量（an）列成表格，观察相邻两项的差（是否为固定值→差相等），或比值（是否为固定值→商相等），或与序号n本身的运算关系。 3.猜想并验证：根据规律猜想第n项的表达式，并代入n＝1,2,3进行验证。 4.常用模型： （1）差相等模型：每次增加固定数量m，则 an ＝ 初始值 ＋ m×(n－1)。 （2）平方、三角形数模型：与n²或相关。 （3）分组分块模型：图形由固定部分和重复部分组成，an ＝ 固定量 ＋ 重复单元 × n。 【典例1】如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒…若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2030根小木棒，则n的值为（　　） A．252 B．254 C．336 D．337 【解答】解：观察发现规律：第一个图形需要小木棒6根， 第二个图形需要小木棒14根； 第三个图形需要小木棒：22＝6×3+4， …， ∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n﹣1）＝8n﹣2． ∴8n﹣2＝2030， 得n＝254， 故选：B． 【典例2】根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，a﹣b﹣c的值是（　　） A．﹣512 B．﹣514 C．510 D．512 【解答】解：观察所给图形可知， 左上角的数字依次为：﹣2，4，﹣8，16，…， 所以第n个图形中左上角的数字可表示为：（﹣2）n． 右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2， 所以第n个图形中右上角的数字可表示为：（﹣2）n+2． 下方的数字为同一个图形中左上角数字的， 所以第n个图形中下方的数字可表示为：． 当n＝10时， （﹣2）n＝（﹣2）10＝1024， （﹣2）n+2＝1026， ， 所以a﹣b﹣c＝1024﹣1026﹣512＝﹣514． 故选：B． 【变式1】柿蒂纹是我国传统经典纹样，由四个半圆瓣状结构组成．兼具自然形态与对称美，广泛用于服饰刺绣、古代园林装饰．它象征四季更替、周而复始，寄寓生命力与繁荣，显东方美学，凝古代劳动人民智慧． （1）用含a的代数式表示图2中图案实线周长为　 ． （2）用含a、b的代数式表示图4中图案实线周长为　 ． （3）当a＝1，b＝3，求图4周长． 【解答】解：（1）由题知， 图2中实线部分的周长为：； 故答案为：8a+4πa； （2）由题知， 图4中实线部分的周长为：2πa+4b； 故答案为：2πa+4b； （3）当a＝1，b＝3时， 2πa+4b＝2×π×1+4×3＝2π+12， 所以图4周长为2π+12． 【变式2】将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．如图，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形，当长方形内有3个点时，可分得8个三角形（不计被分割的三角形），当长方形内有2025个点时，可分得三角形的个数为（　　） A．22025个 B．20252个 C．4050个 D．4052个 【解答】解：当长方形内有1个点时，可分得4个三角形； 当长方形内有2个点时，可分得6个三角形， 当长方形内有3个点时，可分得8个三角形， ……， 以此类推，可知当长方形内有n个点时，可分得2（n+1）个三角形， ∴当长方形内有2025个点时，可分得三角形的个数为2×（2025+1）＝4052个， 故选：D． 题型三 代数式的实际应用与推理 答｜题｜模｜板 1.明确基准量与变量：确定问题中“谁”在变，以“谁”为标准。通常设变化的、需求的量为字母。 2.逐句翻译成式：像翻译外语一样，把题目中的每一句描述转化为含有字母的等式或代数式。注意“大”、“小”、“多”、“少”、“倍”、“几分之几”等关键词。 3.组合与比较：将翻译出的各个代数式，根据问题要求进行组合（加、减、乘、除）或比较大小。 4.下结论：用一句完整的数学语言或生活语言回答题目的问题。结论通常是一个含有字母的代数式，或一个比较结果。 【典例1】某超市出售一种方便面，原价为每箱a元．现有三种调价方案：方案一，先提价20%，再降价20%；方案二，先降价20%，再提价20%；方案三，先提价15%，再降价15%．三种调价方案中，最终价格最高的是（　　） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．都一样 【解答】解：方案一：（1+20%）（1﹣20%）a＝0.96a（元）； 方案二：（1﹣20%）（1+20%）a＝0.96a（元）； 方案三：（1+15%）（1﹣15%）a＝0.9775a（元）； 综上可知：三种调价方案中，方案三的价格最高； 故选：C． 【典例2】如图是一块直角三角形的空地，直角三角形一条直角边长为a，另一条直角边长为b，现在在半径为r的半圆形的空地上种花，其余部分种草，请问种草的面积为　 　 平方厘米．（用代数式表示，结果保留π） 【解答】解：直角三角形的面积为， 种花的面积为， 则种草的面积为． 故答案为：． 【典例3】科技改变生活．小王是一名摄影爱好者，他最近新买入了一台无人机进行航拍，小王将无人机放在距离地面1.5米的台面上，以a米/秒的速度匀速上升40秒后进行拍照，然后以（a﹣2）米/秒的速度匀速下降25秒后进行第二次拍照． （1）用含a的式子表示无人机第二次拍照时距地面的高度； （2）当a＝12时，求无人机完成第二次拍摄后，仍以（a﹣2）米/秒的速度匀速落回台面所用的时间． 【解答】解：（1）以（a﹣2）米/秒的速度匀速下降25秒后进行第二次拍照． 拍照时距地面的高度为初始高度加上升距离减下降距离初始高度为1.5m， ∴上升距离为a×40＝40am，下降距离为（a﹣2）×25＝25（a﹣2）（m）， 用含a的式子表示无人机第二次拍照时距地面的高度： 1.5+40a﹣25（a﹣2） ＝1.5+40a﹣25a+50 ＝15a+51.5（m）， ∴无人机第二次拍照时距地面的高度为（15a+51.5）m； （2）当a＝12时，第二次拍照时的高度为15×12+51.5＝231.5（m）， ∴台面高度为1.5m下降距离为231.5﹣1.5＝230（m）， ∵下降速度为a﹣2＝12﹣2＝10（m/s）， 下降时间为230÷10＝23s， 所以落回台面所用的时间为23s． 【变式1】将4个如图①所示的长为x、宽为y（x＞y）的小矩形按照图②的方式不重叠地摆放在大矩形ABCD中，CD＝4，大矩形ABCD中未被覆盖的两部分分别记为C1和C2． （1）求图形C2的周长（用含x，y的式子表示）； （2）要求图形C1和C2的周长和，嘉嘉认为必须告诉x，y的值；淇淇认为不用告诉x，y的值，你认为谁的看法正确？请说明理由． 【解答】解：（1）由题图可知图形C2的长DG＝2y，宽DF＝4﹣x， ∴图形C2的周长＝2（2y+4﹣x）＝4y﹣2x+8； （2）淇淇的看法正确，理由如下： 图形C1和C2的周长和为2（EH+BE+DG+DF）＝2（BC+BE+DF）＝2（x+2y+4﹣2y+4﹣x）＝16， ∴淇淇的看法正确． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第10个图案用的木棍根数是（　　） A．49 B．54 C．59 D．64 【解答】解：由图可知：第1个图案用了9根木棍， 第2个图案用了14根木棍， 第3个图案用了19根木棍， 第4个图案用了4+5×4＝24根木棍， ……， ∴第n个图案用的木棍根数是4+5n； 当n＝10时，4+5×10＝54， 故选：B． 2.下列各式中，一定成立的是（　　） A．﹣a+b﹣c+d＝﹣（a+b﹣c）+d B．﹣a+b﹣c+d＝﹣a+b﹣（c+d） C．﹣a+b﹣c+d＝﹣a+（b﹣c+d） D．﹣a+b﹣c+d＝﹣（a﹣b﹣c+d） 【解答】解：A、﹣a+b﹣c+d≠﹣（a+b﹣c）+d，故A错误； B、﹣a+b﹣c+d≠﹣a+b﹣（c+d），故B错误； C、﹣a+b﹣c+d，故C正确； D、﹣a+b﹣c+d≠﹣（a﹣b﹣c+d），故D错误． 故选：C． 3.如果单项式与2x4yn+3的和是单项式，那么（m+n）2024的值为（　　） A．22024 B．0 C．1 D．﹣1 【解答】解：由同类项的定义可知m+3＝4，n+3＝1， 解得m＝1，n＝﹣2， ∴（m+n）2024＝[1+（﹣2）]2024＝1． 故选：C． 4.定义一种运算：a※b＝3a+2b．则（x+y）※（x﹣y）化简后的结果是　 ． 【解答】解：由题意可得：原式＝3（x+y）+2（x﹣y） ＝3x+3y+2x﹣2y ＝5x+y． 故答案为：5x+y． 5.有这样一道题“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b，我们把5a+3b看成一个整体，把式子5a+3b＝﹣4两边乘以2得10a+6b＝﹣8． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知a2﹣2a＝1，则2a2﹣4a+1＝　 　 ． （2）已知m+n＝2，mn＝﹣4，求2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值． 【拓展提高】 （3）已知a2+2ab＝﹣5，ab﹣2b2＝﹣3，求代数式a2+ab+2b2的值． 【解答】解：（1）∵a2﹣2a＝1， ∴原式＝2（a2﹣2a）+1 ＝2×1+1 ＝3； （2）∵m+n＝2，mn＝﹣4， ∴原式＝2mn﹣6m﹣6n+3mn ＝5mn﹣6（m+n） ＝5×（﹣4）﹣6×2 ＝﹣20﹣12 ＝﹣32； （3）∵a2+2ab＝﹣5，ab﹣2b2＝﹣3， ∴原式＝（a2+2ab）﹣（ab﹣2b2） ＝﹣5﹣（﹣3） ＝﹣5+3 ＝﹣2． 6.随着科技的快速发展，我国多个城市开放运营无人自动驾驶网约车，这将减少人为驾驶的错误干扰，有助于提高城市交通安全水平．某市的一款无人自动驾驶网约车的计价规则如表所示，且“车费＝里程费用+时长费用+远途费用”．其中，远途费用的收取方式为：行车里程10千米以内（含10千米）不收远途费，超过10千米的，超出部分每千米1.2元． 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/千米 0.2元/分钟 1.2元/千米 设小辰乘坐该款网约车，行车里程为a千米，行车时间为b分钟． （1）若a＜10，用含a，b的式子表示出小辰乘车的费用是　 　 元； （2）若a＞10，用含a，b的式子表示出小辰乘车的费用；（结果要化简） （3）若a＝15，b＝25，则小辰乘车的费用是多少元？ 【解答】解：（1）若a＜10，则乘车费用是：（1.8a+0.2b）元； 故答案为：（1.8a+0.2b）元； （2）若a＞10，用含a，b的式子表示出小辰乘车的费用： 若a＞10，则乘车费用是： 1.8a+0.2b+（a﹣10）×1.2 ＝1.8a+0.2b+1.2a﹣12 ＝（3a+0.2b﹣12）元； （3）若a＝15，b＝25， 则小辰乘车费用是：3a+0.2b﹣12＝3×15+0.2×25﹣12＝38（元）， 故小辰乘车的费用是38元． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.分形的概念是由数学家本华•曼德博提出的．如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形，第2个图案有4个三角形，第3个图案有8个三角形，第4个图案有16个三角形，…，按此规律分形得到第n个图案中三角形的个数是（　　） A．2n B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n 【解答】解：∵第1个图案中三角形的个数是：2＝21， 第2个图案中三角形的个数是：4＝22， 第3个图案中三角形的个数是：8＝23， 第1个图案中三角形的个数是：16＝24， ……， ∴第n个图案中三角形的个数是2n， 故选：D． 2.我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，如：max{1，3}＝3，按这样的规定，如果，那么x的值为　 　 ． 【解答】解：∵max{，3}＝3，max{，1﹣x}﹣max{，3}＝2， ∴当1﹣x时，max{，1﹣x}，则，解得x＝20， 当1﹣x时，max{，1﹣x}＝1﹣x，则1﹣x﹣3＝2，解得x＝﹣4， 综上所述，x的值为20或﹣4． 故答案为：20或﹣4． 3.“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如下所示是老师安排的作业题． 代数式x2+x+3的值为7，求代数式2x2+2x﹣3的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为x2+x+3＝7，所以x2+x＝4，所以2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式x2+x+3的值为15，求代数式3﹣2x2﹣2x的值； （2）当x＝8时，代数式ax3+bx+4的值为11，求当x＝﹣8时，代数式ax3+bx+4的值； 【拓展应用】 当x＝m时，代数式ax3+bx+4的值为10，求当x＝﹣m时，代数式ax3+bx+4的值． 【解答】解：（1）∵x2+x+3＝15， ∴x2+x＝12， ∴3﹣2x2﹣2x＝3﹣2（x2+x）＝3﹣2×12＝﹣21， ∴代数式3﹣2x2﹣2x的值为﹣21； （2）当x＝8时，83a+8b+4＝11， ∴83a+8b＝7， ∴当x＝﹣8时，ax3+bx+4＝﹣83a﹣8b+4＝﹣（83a+8b）+4＝﹣7+4＝﹣3； ∴代数式ax3+bx+4的值为﹣3； （3）当x＝m时，m3a+mb+4＝10， ∴m3a+mb＝6， ∴当x＝﹣m时，ax3+bx+4＝﹣m3a﹣mb+4＝﹣（m3a+mb）+4＝﹣6+4＝﹣2， ∴代数式ax3+bx+4的值为﹣2． 4．（1）化简：3a+2b﹣（5a﹣b）； （2）先化简，再求值：（3x2y﹣xy2）﹣3（x2y﹣2xy2），其中x＝﹣4，y＝2． 【解答】解：（1）原式＝3a+2b﹣5a+b ＝3a﹣5a+2b+b ＝﹣2a+3b； （2）原式＝3x2y﹣xy2﹣3x2y+6xy2 ＝3x2y﹣3x2y+6xy2﹣xy2 ＝5xy2， 当x＝﹣4，y＝2时，原式＝5×（﹣4）×22 ＝5×（﹣4）×4 ＝﹣5×4×4 ＝﹣80． 5.小吴做一道题：已知两个整式A、B，求2A+B的值．他误将2A+B看成A+2B，求得结果为9a2﹣2a﹣1，已知B＝a2+3a+3，求正确的答案． 【解答】解：将2A+B看成A+2B，求得结果为9a2﹣2a﹣1， ∵A+2B＝9a2﹣2a﹣1，B＝a2+3a+3， ∴A+2a2+6a+6＝9a2﹣2a﹣1， ∴A＝9a2﹣2a﹣1﹣2a2﹣6a﹣6＝7a2﹣8a﹣7， ∴2A+B＝2（7a2﹣8a﹣7）+a2+3a+3 ＝14a2﹣16a﹣14+a2+3a+3 ＝15a2﹣13a﹣11． 6.如图，公园有一块长为（2a﹣1）米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是b米的小路，余下部分设计成花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． （1）花圃的宽AB为 　 　 米，花圃的长BC为 　 　 米；（用含a，b的式子表示） （2）求篱笆的总长度；（用含a，b的式子表示） （3）若a＝30，b＝5，篱笆的单价为60元/米，请计算篱笆的总价． 【解答】解：（1）由题意得，AB＝（a﹣b）米，BC＝（2a﹣1）﹣2b＝（2a﹣2b﹣1）米， 故答案为：（a﹣b），（2a﹣2b﹣1）； （2）由图可得，花圃的长为（2a﹣1﹣2b）米，宽为（a﹣b）米， ∴篱笆的总长度为（2a﹣1﹣2b）+2（a﹣b）＝2a﹣1﹣2b+2a﹣2b＝（4a﹣4b﹣1）米； （3）当a＝30，b＝5时， 篱笆的造价为（4a﹣4b﹣1）×60＝（4×30﹣4×5﹣1）×60＝5940元， 答：全部篱笆的造价为5940元． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.综合与探究 【问题情境】 整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．例如已知x2+x＝1，求x2+x+2024的值，我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝1+2024＝2025． 【探索发现】 如图，若a﹣b＝4，求长方形A与B的面积差． 【尝试应用】 若当x＝2时，代数式ax5+bx3+cx﹣1的值为m，当x＝﹣2时，求代数式ax5+bx3+cx+4的值．（用含m的代数式表示） 【解答】解：【探索发现】 4（5a﹣2b）﹣3（6a﹣2b） ＝20a﹣8b﹣18a+6b ＝2a﹣2b， ∵a﹣b＝4， ∴原式＝2（a﹣b）＝8． 【尝试应用】 当x＝2时，则m＝32a+8b+2c﹣1， 所以m+1＝32a+8b+2c， 当x＝﹣2时， ax5+bx3+cx+4 ＝﹣32a﹣8b﹣2c+4 ＝﹣（32a+8b+2c）+4 ＝﹣（m+1）+4 ＝﹣m+3． 2.【探索数的奇妙规律】 小明同学在学习数学时发现了一个有趣的规律：对于任意一个四位数（定义：，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数可以被3整除．例如，数1245，1+2+4+5＝12，12能被3整除，则1245能被3整除；数5489，5+4+8+9＝26，26不能被3整除，则5489不能被3整除． （1）根据规律，判断：①2025；②4786；③9543，其中可以被3整除是　 　 （填序号）； （2）如果a+b+c+d可以被3整除，证明四位数可以被3整除； （3）判断是否可以被99整除，并说明理由． 【解答】（1）解：①2025，2+0+2+5＝9，9能被3整除，则2025能被3整除； ②4786，4+7+8+6＝25，25不能被3整除，则4786不能被3整除； ③9543，9+5+4+3＝21，21能被3整除，则9543能被3整除； 故可以被3整除是①③． 故答案为：①③． （2）证明：∵a+b+c+d可以被3整除， 故设a+b+c+d＝3k， 对于四位数，， 则这个四位数1000a+100b+10c+d＝999a+99b+9c+a+b+c+d＝3（333a+33b+3c）+a+b+c+d， 将a+b+c+d＝3k代入，得3（333a+33b+3c）+3k， 整理得3（333a+33b+3c+k）； ∵3（333a+33b+3c+k）能被3整除， ∴能被3整除． （3）解：是，理由： 对于四位数，， 对于四位数，， 故 ＝1000a+100b+10c+d﹣（1000c+100d+10a+b） ＝990a+99b﹣990c﹣99d ＝99（10a+b﹣10c﹣d）； ∵99（10a+b﹣10c﹣d） 能被99整除， 故能被99整除． 3.阅读材料：如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： （a+b）0＝1，它只有一项，系数为1： （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1； （a+b）2＝a2+2ab+b2它有三项，系数分别为1，2，1； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定（a+b）n的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． （1）应用规律： ①直接写出（a+b）4的展开式，（a+b）4＝ ； ②先化简，再求值：（y﹣1）6+（y+1）6，其中y2＝2． （2）杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5和a6＝8，…该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即an+2＝an+1+an，若Tn＝a1+a2+a3+⋯+an且T2025＝k，则a2027的值为 　 （用k表示）． 【解答】解：（1）①（a+b）4的展开式有五项，系数分别为1，4，6，4，1， ∴（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； ②（y﹣1）6+（y+1）6 ＝y6+6y5×（﹣1）+15y4×（﹣1）2+20y3×（﹣1）3+15y2×（﹣1）4+6y×（﹣1）5+（﹣1）6+y6+6y5×1+15y4×12+20y3×13+15y2×14+6y×15+16 ＝2y6+30y4+30y2+2， ∵y2＝2， 原式＝2×（y2）3+30×（y2）2+30y2+2 ＝2×8+30×4+30×2+2 ＝198． （2）∵an+2＝an+1+an， ∴a2027＝a2025+a2026， ∵Tn＝a1+a2+a3+⋯+an， ∴T2025＝a1+a2+a3+⋯+a2025＝k， ∴a1+a2+a3+⋯+a2025+a2＝k+a2＝k+1， ∴a2027＝a2025+a2026 ＝a2025+a2024+a2023+……+a2+a1+a2＝k+1． 故答案为：k+1． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 代数式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的规范书写、意义及求值 能根据语言叙述或图形规律列代数式；能用数值规范、准确地求出代数式的值。 基础题型，常与代入负数、分数、乘方的运算结合考查。易错点在于代入负数或分数时忘记加括号。 整式的相关概念（单项式、多项式） 能识别单项式、多项式，并准确说出其次数、系数、项等概念。 常以选择题或填空题出现，辨析概念细节（如常数项的次数是0，π是数字因数）。 整式的加减运算（合并同类项） 能准确识别同类项，并熟练进行去括号、合并同类项的运算。 期末必考计算题。核心难点是去多重括号时的符号处理，以及合并时只系数相加减、字母及指数不变。 代数式表示图形规律或数量关系 能从具体图形（点阵、瓷砖、火柴棒等）或数字序列中抽象出通用代数式（第n个图形/数的表达式）。 期末选择填空的拉分点，考查抽象思维和归纳能力。关键在于从变化中寻找不变的结构。 代数式的实际应用与简单推理 能用代数式表示实际情境（面积、售价、增长率等），并进行简单的比较、推理或求值。 连接应用题，为方程学习奠基。考查从文字到数学符号的转化能力，是综合题的雏形。 知识点01 代数式的概念、书写与求值 1.概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和表示数的字母连接而成的式子。 2.书写规范： （1）数字与字母、字母与字母相乘，乘号省略或用“·”；数字在前，字母在后（如2×a写作2a）。 （2）除法运算通常写成分数形式（如a÷b写作 ）。 （3）带单位时，若代数式是和或差的形式，应把整个式子用括号括起来再写单位。 3.求值：用具体数值代替字母，按照运算顺序计算。关键步骤：代入时，若该数值是负数、分数或需乘方，务必加上括号。 ·示例：当a ＝ －2时，求代数式 a² － 2a ＋ 1 的值。正确代入：(－2)² － 2×(－2) ＋ 1 ＝ 4 ＋ 4 ＋ 1 ＝ 9。错误代入：－2² － 2×－2 ＋ 1 会导致计算错误。 ·易错点：①书写不规范，如 1a， a×b。②代入求值时，忽略括号，导致符号和运算顺序错误。 知识点02 整式及其相关概念 1.单项式：由数与字母的积组成的代数式。单独一个数或一个字母也是单项式。 （1）系数：单项式中的数字因数（包含符号）。如 －3x²y 的系数是 －3。 （2）次数：所有字母的指数之和。如 －3x²y 的次数是 2＋1＝3。 2.多项式：几个单项式的和。 （1）项：每个单项式叫做多项式的项（注意带符号）。 （2）常数项：不含字母的项。 （3）次数：多项式中次数最高的项的次数。 3.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。与系数无关。 ·示例：多项式 2x²y － 3xy ＋ 5 － x²y 中，有4项；2x²y 与 －x²y 是同类项；次数是3；常数项是5。 ·易错点：判断同类项时，只关注字母部分，x²y 与 xy² 不是同类项（指数不同）。 知识点03 合并同类项与去括号法则 1.合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 2.去括号法则（根本依据是乘法分配律）： （1）括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变。括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变。 （2）核心思想：化简整式就是“去括号”和“合并同类项”两个步骤的循环。 ·易错点：去括号时，最容易错的是括号前是负号，只改变第一项的符号，忘记改变后面每一项的符号。 题型一 代数式求值中的“整体思想” 解｜题｜技｜巧 当题目中给出的条件不能或不方便直接求出每个字母的值时，需要观察所求代数式与已知条件式之间的结构关系，将已知条件式或其变形式视为一个“整体”直接代入。 1.对比结构：将已知等式和所求代数式对齐书写，寻找相同的代数“模块”。 2.恒等变形：对已知等式进行变形（移项、系数化等），构造出所求代数式中需要的“整体”。 3.整体代入：将变形后得到的“整体”表达式，作为一个整体数值代入计算。 易｜错｜点｜拨 1.整体代入后，原来“整体”作为一个整体，必须加上括号，再参与后续运算。 2.当需要构造多个整体时，注意运算顺序。 【典例1】 当x＝1时，整式ax3+bx+1的值为2024，则当x＝﹣1时，整式ax3+bx﹣2的值是（　　） A．2025 B．﹣2025 C．2024 D．﹣2024 【典例2】若实数x满足x2+2x﹣1＝0，则2x3+7x2+4x+2025的值为 　 　 ． 【变式1】关于x的多项式3x4﹣（m+5）x3+（n﹣1）x2﹣5x+3不含x3和x2，则（　　） A．m＝5，n＝1 B．m＝5，n＝﹣1 C．m＝﹣5，n＝1 D．m＝﹣5，n＝﹣1 【变式2】我们知道，4x+2x﹣x＝（4+2﹣1）x＝5x，类似地，若我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝（4+2﹣1）（a+b）＝5（a+b）．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： （1）把（a﹣b）2看成一个整体，计算3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是　 ； （2）已知x2+2y＝5，求代数式3x2+6y﹣21的值； （3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值． 题型二 探究图形或数字的规律 答｜题｜模｜板 1.数出前几项：耐心、准确地计算出第1、2、3、4个图形中的数量（如点数、周长、面积、火柴棒根数）。 2.列表找关联：将序号（n）与对应数量（an）列成表格，观察相邻两项的差（是否为固定值→差相等），或比值（是否为固定值→商相等），或与序号n本身的运算关系。 3.猜想并验证：根据规律猜想第n项的表达式，并代入n＝1,2,3进行验证。 4.常用模型： （1）差相等模型：每次增加固定数量m，则 an ＝ 初始值 ＋ m×(n－1)。 （2）平方、三角形数模型：与n²或相关。 （3）分组分块模型：图形由固定部分和重复部分组成，an ＝ 固定量 ＋ 重复单元 × n。 【典例1】如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒…若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2030根小木棒，则n的值为（　　） A．252 B．254 C．336 D．337 【典例2】根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，a﹣b﹣c的值是（　　） A．﹣512 B．﹣514 C．510 D．512 【变式1】柿蒂纹是我国传统经典纹样，由四个半圆瓣状结构组成．兼具自然形态与对称美，广泛用于服饰刺绣、古代园林装饰．它象征四季更替、周而复始，寄寓生命力与繁荣，显东方美学，凝古代劳动人民智慧． （1）用含a的代数式表示图2中图案实线周长为　 ． （2）用含a、b的代数式表示图4中图案实线周长为　 ． （3）当a＝1，b＝3，求图4周长． 【变式2】将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．如图，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形，当长方形内有3个点时，可分得8个三角形（不计被分割的三角形），当长方形内有2025个点时，可分得三角形的个数为（　　） A．22025个 B．20252个 C．4050个 D．4052个 题型三 代数式的实际应用与推理 答｜题｜模｜板 1.明确基准量与变量：确定问题中“谁”在变，以“谁”为标准。通常设变化的、需求的量为字母。 2.逐句翻译成式：像翻译外语一样，把题目中的每一句描述转化为含有字母的等式或代数式。注意“大”、“小”、“多”、“少”、“倍”、“几分之几”等关键词。 3.组合与比较：将翻译出的各个代数式，根据问题要求进行组合（加、减、乘、除）或比较大小。 4.下结论：用一句完整的数学语言或生活语言回答题目的问题。结论通常是一个含有字母的代数式，或一个比较结果。 【典例1】某超市出售一种方便面，原价为每箱a元．现有三种调价方案：方案一，先提价20%，再降价20%；方案二，先降价20%，再提价20%；方案三，先提价15%，再降价15%．三种调价方案中，最终价格最高的是（　　） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．都一样 【典例2】如图是一块直角三角形的空地，直角三角形一条直角边长为a，另一条直角边长为b，现在在半径为r的半圆形的空地上种花，其余部分种草，请问种草的面积为　 　 平方厘米．（用代数式表示，结果保留π） 【典例3】科技改变生活．小王是一名摄影爱好者，他最近新买入了一台无人机进行航拍，小王将无人机放在距离地面1.5米的台面上，以a米/秒的速度匀速上升40秒后进行拍照，然后以（a﹣2）米/秒的速度匀速下降25秒后进行第二次拍照． （1）用含a的式子表示无人机第二次拍照时距地面的高度； （2）当a＝12时，求无人机完成第二次拍摄后，仍以（a﹣2）米/秒的速度匀速落回台面所用的时间． 【变式1】将4个如图①所示的长为x、宽为y（x＞y）的小矩形按照图②的方式不重叠地摆放在大矩形ABCD中，CD＝4，大矩形ABCD中未被覆盖的两部分分别记为C1和C2． （1）求图形C2的周长（用含x，y的式子表示）； （2）要求图形C1和C2的周长和，嘉嘉认为必须告诉x，y的值；淇淇认为不用告诉x，y的值，你认为谁的看法正确？请说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第10个图案用的木棍根数是（　　） A．49 B．54 C．59 D．64 2.下列各式中，一定成立的是（　　） A．﹣a+b﹣c+d＝﹣（a+b﹣c）+d B．﹣a+b﹣c+d＝﹣a+b﹣（c+d） C．﹣a+b﹣c+d＝﹣a+（b﹣c+d） D．﹣a+b﹣c+d＝﹣（a﹣b﹣c+d） 3.如果单项式与2x4yn+3的和是单项式，那么（m+n）2024的值为（　　） A．22024 B．0 C．1 D．﹣1 4.定义一种运算：a※b＝3a+2b．则（x+y）※（x﹣y）化简后的结果是　 ． 5.有这样一道题“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b，我们把5a+3b看成一个整体，把式子5a+3b＝﹣4两边乘以2得10a+6b＝﹣8． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知a2﹣2a＝1，则2a2﹣4a+1＝　 　 ． （2）已知m+n＝2，mn＝﹣4，求2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值． 【拓展提高】 （3）已知a2+2ab＝﹣5，ab﹣2b2＝﹣3，求代数式a2+ab+2b2的值． 6.随着科技的快速发展，我国多个城市开放运营无人自动驾驶网约车，这将减少人为驾驶的错误干扰，有助于提高城市交通安全水平．某市的一款无人自动驾驶网约车的计价规则如表所示，且“车费＝里程费用+时长费用+远途费用”．其中，远途费用的收取方式为：行车里程10千米以内（含10千米）不收远途费，超过10千米的，超出部分每千米1.2元． 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/千米 0.2元/分钟 1.2元/千米 设小辰乘坐该款网约车，行车里程为a千米，行车时间为b分钟． （1）若a＜10，用含a，b的式子表示出小辰乘车的费用是　 　 元； （2）若a＞10，用含a，b的式子表示出小辰乘车的费用；（结果要化简） （3）若a＝15，b＝25，则小辰乘车的费用是多少元？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.分形的概念是由数学家本华•曼德博提出的．如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形，第2个图案有4个三角形，第3个图案有8个三角形，第4个图案有16个三角形，…，按此规律分形得到第n个图案中三角形的个数是（　　） A．2n B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n 2.我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，如：max{1，3}＝3，按这样的规定，如果，那么x的值为　 　 ． 3.“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如下所示是老师安排的作业题． 代数式x2+x+3的值为7，求代数式2x2+2x﹣3的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为x2+x+3＝7，所以x2+x＝4，所以2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式x2+x+3的值为15，求代数式3﹣2x2﹣2x的值； （2）当x＝8时，代数式ax3+bx+4的值为11，求当x＝﹣8时，代数式ax3+bx+4的值； 【拓展应用】 当x＝m时，代数式ax3+bx+4的值为10，求当x＝﹣m时，代数式ax3+bx+4的值． 4．（1）化简：3a+2b﹣（5a﹣b）； （2）先化简，再求值：（3x2y﹣xy2）﹣3（x2y﹣2xy2），其中x＝﹣4，y＝2． 5.小吴做一道题：已知两个整式A、B，求2A+B的值．他误将2A+B看成A+2B，求得结果为9a2﹣2a﹣1，已知B＝a2+3a+3，求正确的答案． 6.如图，公园有一块长为（2a﹣1）米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是b米的小路，余下部分设计成花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． （1）花圃的宽AB为 　 　 米，花圃的长BC为 　 　 米；（用含a，b的式子表示） （2）求篱笆的总长度；（用含a，b的式子表示） （3）若a＝30，b＝5，篱笆的单价为60元/米，请计算篱笆的总价． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.综合与探究 【问题情境】 整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．例如已知x2+x＝1，求x2+x+2024的值，我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝1+2024＝2025． 【探索发现】 如图，若a﹣b＝4，求长方形A与B的面积差． 【尝试应用】 若当x＝2时，代数式ax5+bx3+cx﹣1的值为m，当x＝﹣2时，求代数式ax5+bx3+cx+4的值．（用含m的代数式表示） 2.【探索数的奇妙规律】 小明同学在学习数学时发现了一个有趣的规律：对于任意一个四位数（定义：，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数可以被3整除．例如，数1245，1+2+4+5＝12，12能被3整除，则1245能被3整除；数5489，5+4+8+9＝26，26不能被3整除，则5489不能被3整除． （1）根据规律，判断：①2025；②4786；③9543，其中可以被3整除是　 　 （填序号）； （2）如果a+b+c+d可以被3整除，证明四位数可以被3整除； （3）判断是否可以被99整除，并说明理由． 3.阅读材料：如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： （a+b）0＝1，它只有一项，系数为1： （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1； （a+b）2＝a2+2ab+b2它有三项，系数分别为1，2，1； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定（a+b）n的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． （1）应用规律： ①直接写出（a+b）4的展开式，（a+b）4＝ ； ②先化简，再求值：（y﹣1）6+（y+1）6，其中y2＝2． （2）杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5和a6＝8，…该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即an+2＝an+1+an，若Tn＝a1+a2+a3+⋯+an且T2025＝k，则a2027的值为 　 （用k表示）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $