专题02 有理数（期末复习优选题集训 29个高频易错题型讲练 共58题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册培优讲练

该初中数学有理数专题复习讲义通过29个高频易错题型分类框架梳理知识体系，涵盖正负数应用、有理数分类、数轴动点、绝对值几何意义等核心内容，以例题形式呈现重难点分布及内在逻辑，帮助学生构建系统知识脉络。 讲义亮点在于高频易错题型的精准设计，如数轴上钟面滚动的动点问题、绝对值几何意义应用等，结合生活实例（如引体向上测试、冷库进出库）培养运算能力与几何直观。每个题型配地区期中真题，分层练习满足不同学生需求，助力教师精准教学，学生自主突破易错点。

专题02 有理数 （29个高频易错题型讲练 共58题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 正负数的实际应用 2 易错题型2 有理数的分类 2 易错题型3 带“非”字的有理数 3 易错题型4 用数轴上的点表示有理数 3 易错题型5 利用数轴比较有理数的大小 4 易错题型6 数轴上点的平移(动点问题) 4 易错题型7 数轴上找原点 5 易错题型8 数轴上整点覆盖问题 5 易错题型9 数轴上的规律探究 6 易错题型10 绝对值的几何意义 6 易错题型11 绝对值非负性 7 易错题型12 相反数的应用 7 易错题型13 化简多重符号 7 易错题型14 有理数的加减混合运算 8 易错题型15 有理数加减中的简便运算 8 易错题型16 有理数加减混合运算的应用 9 易错题型17 有理数乘除混合运算 9 易错题型18 有理数乘除中的简便运算 10 易错题型19 有理数四则混合运算 10 易错题型20 有理数四则混合运算的实际应用 11 易错题型21 根据点在数轴的位置判断式子的正负 12 易错题型22 数轴上的翻折 12 易错题型23 有理数的乘方运算 13 易错题型24 乘方运算的符号规律 13 易错题型25 乘方的应用 13 易错题型26 用科学记数法表示绝对值大于1的数 14 易错题型27 程序流程图与有理数计算 14 易错题型28 算“24”点 14 易错题型29 含乘方的有理数混合运算 15 易错题型1 正负数的实际应用 1．（25-26七年级上·山西朔州·期中）体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 2．（25-26七年级上·天津南开·期中）某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 易错题型2 有理数的分类 3．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）把下列各数填在相应的集合内：，，，，，． 负数集合：{______…}    ; 分数集合：{______…}; 非负整数集合：{______…}    ; 有理数集合：{______…}． 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）下列数中：，非正有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 易错题型3 带“非”字的有理数 5．（25-26七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则 ． 6．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）把下列各数填在相应集合中：，0，，，，，． 分数集合：{______}；非负数集合：{______} 易错题型4 用数轴上的点表示有理数 7．（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 8．（25-26七年级上·福建南平·期中）如图，数轴上有A、B两点． (1)A、B两点表示的数分别是____，____； (2)若点C表示，点D表示，请你把点C、点D表示在如图所示的数轴上； (3)将A、B、C、D四个点所表示的数用“”连接起来． 易错题型5 利用数轴比较有理数的大小 9．（25-26七年级上·新疆伊犁·期中）将下列数轴补充完整，并把下列各数在数轴上表示出来，再把它们用“”连接起来． 、、2、、、 10．（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，点A，B在数轴上，点表示，点表示． (1)在数轴上表示出点C和点D； (2)在数轴上找一点P，使它与点B的距离为3个单位长度，那么点P表示的数为 ； (3)用“<”把点表示的数连接起来． 易错题型6 数轴上点的平移(动点问题) 11．（25-26七年级上·山西晋城·期中）如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为 ．（用含n的代数式表示） 12．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是 ； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点 重合． 易错题型7 数轴上找原点 13．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． (1)在数轴上标出原点； (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为_____； (3)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，，，． 14．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 易错题型8 数轴上整点覆盖问题 15．（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 16．（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 易错题型9 数轴上的规律探究 17．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合）、到1的距离相等，点（不与重合）、到2的距离相等，点（不与重合）、到3的距离相等，．．．按此规律，点表示的数为 ． 18．（25-26七年级上·江苏·期中）数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ． 易错题型10 绝对值的几何意义 19．（25-26七年级上·山西忻州·期中）数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图，、、、分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是哪个点，并说明理由？ 易错题型11 绝对值非负性 21．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）当 时，代数式有最大值． 22．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 易错题型12 相反数的应用 23．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）求a为何值时，式子与的值满足下列条件： (1)相等； (2)互为相反数． 易错题型13 化简多重符号 25．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）画出数轴并在数轴上表示出下列各数，将这些数用“>”号连接． ，，，，0． 26．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知一组数：，0，，，． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 易错题型14 有理数的加减混合运算 27．（25-26七年级上·河南南阳·期中）计算： (1) (2) 28．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）计算：． 易错题型15 有理数加减中的简便运算 29．（25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 30．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 易错题型16 有理数加减混合运算的应用 31．（25-26七年级上·辽宁阜新·期中）足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练设计了折返跑训练．教练在东西方向的足球场上画了一条直线插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组的行驶记录如下（单位：米）：． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多远？ (3)球员在一组练习过程中，跑了多少米？ 32．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）倩倩最近检测了7次一分钟跳绳的个数，已知第1次的检测成绩为160个，之后把每次的个数都与前一次进行比较，超出的部分记为“”，不足的部分记为“”，下表记录了她第2次到第7次的检测结果． 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 m (1)若第5次的检测成绩为168个，求表中m的值： (2)在（1）的条件下，求出这7次检测成绩超过 160个的次数． 易错题型17 有理数乘除混合运算 33．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）计算： ． 34．（25-26七年级上·广东江门·期中）请你阅读小虎同学的作业后，回答问题：计算： 解：原式① ② ③ (1)上面解题中从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)写出这道计算题的正确解题过程． 易错题型18 有理数乘除中的简便运算 35．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 36．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 易错题型19 有理数四则混合运算 37．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）阅读下面的解题过程： 计算：   解：原式  (第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 解答下列问题： (1)第一步的依据是____________，第二步的依据是__________； (2)上面的解题过程是从第___________步开始出错的，请把正确的解题过程写出来． 38．（25-26七年级上·四川泸州·期中）定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的K倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，： (1)①、两点之间的距离是 ． ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 易错题型20 有理数四则混合运算的实际应用 39．（25-26七年级上·福建福州·期中）中国空军航空大学“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，五次特技飞行高度记录如下：，，，，+1.8．（单位：千米） (1)求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了或低了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗5升燃油，则飞机在这5次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 40．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送______单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单的部分，每单补贴4元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 易错题型21 根据点在数轴的位置判断式子的正负 41．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 42．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 易错题型22 数轴上的翻折 43．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是 ． 44．（25-26七年级上·河南·期中）已知在纸面上有一条数轴，如图所示： (1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数4的点与表示数_____的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，回答下列问题： ①折痕与数轴交点表示的数为_____，表示数9的点与表示数_____的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的，两点也重合，且，两点之间的距离为10（点在点的左侧），求，两点所表示的数分别是多少？ 易错题型23 有理数的乘方运算 45．（25-26七年级上·河北保定·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的有（　　） ①；②；③；④    A．个 B．个 C．个 D．个 46．（25-26七年级上·新疆伊犁·期中）定义一种新运算符号“”，满足：，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 易错题型24 乘方运算的符号规律 47．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 48．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则的值为（  ） A． B．1 C．3 D．4 易错题型25 乘方的应用 49．（25-26七年级上·云南临沧·期中）《庄子》记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，按此方式截一根长为1的木棍，第n天截取后木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则 ， ． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为 ． 易错题型26 用科学记数法表示绝对值大于1的数 51．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为 ． 52．（25-26七年级上·云南昆明·期中）2025年国庆中秋假期，各地推出丰富多彩的文化和旅游产品、服务、活动．全国文化和旅游市场总体平稳有序．经文化和旅游部数据中心测算，国庆中秋假日8天，全国国内出游人次．将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 易错题型27 程序流程图与有理数计算 53．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为30，我们发现第1次输出的结果为15，第2次输出的结果为22，……，第2025次输出的结果为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 54．（25-26七年级上·新疆伊犁·期中）如图所示的程序图，当输入时，输出的结果是 ． 易错题型28 算“24”点 55．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）小哪吒有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大这两张卡片上的数字分别是_________． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，这两张卡片上的数字分别是_________． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加活号），使其运算结果为24，写出运算式子：_________．（写出一种即可） 56．（25-26七年级上·广东阳江·期中）小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题： (1)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是？ (2)从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可） 易错题型29 含乘方的有理数混合运算 57．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）求下列各式的值． (1)若与互为相反数，与互为倒数，的绝对值等于5，且，求的值． (2)已知，，且，异号，求的值． 58．（25-26七年级上·四川泸州·期中）我们平常使用的数是十进制数．而计算机程序处理中，使用的是只有数码0和1的二进制数，但这两种进制数可以相互换算．例如，按照这种方式把十进制数28换算成二进制数 ． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数 （29个高频易错题型讲练 共58题 新教材） 【解析版】 易错题型1 正负数的实际应用 1 易错题型2 有理数的分类 3 易错题型3 带“非”字的有理数 4 易错题型4 用数轴上的点表示有理数 5 易错题型5 利用数轴比较有理数的大小 6 易错题型6 数轴上点的平移(动点问题) 7 易错题型7 数轴上找原点 9 易错题型8 数轴上整点覆盖问题 10 易错题型9 数轴上的规律探究 11 易错题型10 绝对值的几何意义 12 易错题型11 绝对值非负性 14 易错题型12 相反数的应用 15 易错题型13 化简多重符号 16 易错题型14 有理数的加减混合运算 17 易错题型15 有理数加减中的简便运算 18 易错题型16 有理数加减混合运算的应用 20 易错题型17 有理数乘除混合运算 22 易错题型18 有理数乘除中的简便运算 23 易错题型19 有理数四则混合运算 24 易错题型20 有理数四则混合运算的实际应用 26 易错题型21 根据点在数轴的位置判断式子的正负 27 易错题型22 数轴上的翻折 29 易错题型23 有理数的乘方运算 31 易错题型24 乘方运算的符号规律 31 易错题型25 乘方的应用 32 易错题型26 用科学记数法表示绝对值大于1的数 33 易错题型27 程序流程图与有理数计算 34 易错题型28 算“24”点 35 易错题型29 含乘方的有理数混合运算 37 易错题型1 正负数的实际应用 1．（25-26七年级上·山西朔州·期中）体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 【答案】(1)5 (2)5个 【思路点拨】本题重点考查了正负数、平均数的概念，理解正负数的意义是解题的关键． （1）以能做个为标准，当个数时，达到标准，统计个数即可完成求解； （2）标准个数加上所给数据的平均数，即为名男生平均每人做的个数． 【规范解答】（1）解：，，，， 个成绩达到标准，故有人达到标准． 答：这名男生中达到标准的有人． （2）解：（个）． 答：这8名男生平均每人做了个引体向上． 2．（25-26七年级上·天津南开·期中）某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1)周三； (2)减少了，减少了吨 (3)吨 (4)元 【思路点拨】本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键． （1）根据表格作答即可； （2）把出入数据相加即可； （3）根据每周的变化推导即可； （4）运算出总出入的数量，再乘价钱即可求解． 【规范解答】（1）解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为（吨）； 故答案为：周三；； （2）解：， 答：这一周冷库里的水果减少了，变化了吨； （3）解：每周减少吨，则上周有（吨）， 答：一周前冷库里存有水果吨； （4）解：（元）， 答：这一周共需付元装卸费． 易错题型2 有理数的分类 3．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）把下列各数填在相应的集合内：，，，，，． 负数集合：{______…}    ; 分数集合：{______…}; 非负整数集合：{______…}    ; 有理数集合：{______…}． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查有理数的分类，包括负数、分数、非负整数和有理数的定义．根据小于零的数为负数，分数包括正分数和负分数，非负整数包括零和正整数，有理数包括整数和分数，进行分析分类． 【规范解答】解：首先计算各数的值：，。 负数集合：，，，； 分数集合：， ； 非负整数集合：，，； 有理数集合：，，，，， ． 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）下列数中：，非正有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路点拨】本题考查有理数的分类．需要先对题目中给出的数进行化简，再根据非正有理数(即负有理数和0)的定义来判断这些数中非正有理数的个数． 【规范解答】解：是非正有理数； ，是负有理数，非正； ，是正有理数，不符合； 是无理数，不符合； ，是正有理数，不符合； ，是正有理数，不符合； ，是负有理数，非正； 是有限小数，是有理数，且为负数，非正． 符合的非正有理数有：0、、、，共4个． 故选：C． 易错题型3 带“非”字的有理数 5．（25-26七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则 ． 【答案】 13 【思路点拨】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【规范解答】解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）把下列各数填在相应集合中：，0，，，，，． 分数集合：{______}；非负数集合：{______} 【答案】，． 【思路点拨】本题考查了分数、非负数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉分数、非负数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【规范解答】解：根据有理数的分类及定义有： 分数集合：， 非负数集合：， 故答案为：，． 易错题型4 用数轴上的点表示有理数 7．（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 【答案】D 【思路点拨】本题考查数轴表示数，数的大小比较，根据题意得到是解题的关键． 由题可知，再分和讨论可知，进而得到即可． 【规范解答】根据题意，，且， 若，则，不符合； 当时，，符合， ，又，所以，即， 故表示数1的点的位置在点的右边． 故选：D． 8．（25-26七年级上·福建南平·期中）如图，数轴上有A、B两点． (1)A、B两点表示的数分别是____，____； (2)若点C表示，点D表示，请你把点C、点D表示在如图所示的数轴上； (3)将A、B、C、D四个点所表示的数用“”连接起来． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了数轴，理解数轴的性质是解答关键． （1）观察数轴求解． （2）根据数轴的性质点、点表示在如图所示的数轴上即可． （3）根据数轴上右边的数总比左边的大来求解． 【规范解答】（1）解：根据题意得 点表示的数为4，点表示的数为． 故答案为：，； （2）解：根据题意表示如下 （3）解：因为数轴上右边的数总比左边的数大可知： ． 易错题型5 利用数轴比较有理数的大小 9．（25-26七年级上·新疆伊犁·期中）将下列数轴补充完整，并把下列各数在数轴上表示出来，再把它们用“”连接起来． 、、2、、、 【答案】， 【思路点拨】本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的大小比较，解题的关键是掌握：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 【规范解答】解：，如下图，数轴补充完整以及在数轴上表示各数： 所以：． 10．（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，点A，B在数轴上，点表示，点表示． (1)在数轴上表示出点C和点D； (2)在数轴上找一点P，使它与点B的距离为3个单位长度，那么点P表示的数为 ； (3)用“<”把点表示的数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【思路点拨】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴上的两点之间的距离，数轴比较有理数的大小，理解数轴的特点是解题的关键． （1）根据题意得到点表示的数，把数表示在数轴上即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （3）运用数轴的特点比较有理数大小即可． 【规范解答】（1）解：点表示，点表示， ∴点表示， 如图所示，把点表示在数轴上， （2）解：∵数轴上点表示的数为，P与点B的距离为3个单位长度， ∴表示的数为或， ∴点P表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：根据数轴得到， 易错题型6 数轴上点的平移(动点问题) 11．（25-26七年级上·山西晋城·期中）如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】 【思路点拨】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，有理数的乘法的实际应用，理解题意，列出正确的代数式表示对应的点是解本题的关键． 根据题意先得到时针一个格表示数轴上个单位长度，再根据向右滚动的圈数可得到答案． 【规范解答】∵钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴原点重合，再将钟面紧贴数轴沿着数轴 正方向滚动，使钟面上的数字5对应的点与数轴上表示的点重合， ∴时针一个格表示数轴上个单位长度， ∵钟面上1圈对应数轴上的线段的长度为（个单位长度）， ∴钟面滚动n圈（n为正整数），对应的线段长度为（个单位长度）， ∴钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为 故答案为：． 12．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是 ； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点 重合． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． （1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点． 【规范解答】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2025表示的点与点B重合； 故答案为：． 易错题型7 数轴上找原点 13．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． (1)在数轴上标出原点； (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为_____； (3)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，，，． 【答案】(1)图见解析 (2)或0 (3)图见解析， 【思路点拨】本题主要考查了有理数与数轴，计算绝对值和化简多重符号，关键是在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示的数向右移动2个单位长度即为原点的位置； （2）根据点与点的距离为2个单位长度和点表示的数是，进行分类讨论即可； （3）先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【规范解答】（1）解：见下图数轴O； （2）解：∵点与点的距离为2个单位长度，且点表示的数是， ∴当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，， 故答案为：或0； （3）解：∵， ∴各数在数轴表示如下所示： ∴． 14．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【规范解答】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 易错题型8 数轴上整点覆盖问题 15．（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数轴，分类讨论和数形结合的思想方法，注意分类讨论不要遗漏是关键． 分线段的端点与整点重合和线段AB的端点与整点不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论． 【规范解答】解：依题意得：当线段起点在整点时， 则1厘米长的线段盖住2个整点，2017厘米长的线段盖住2018个整点， 当线段起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2017厘米长的线段盖住2017个整点． 故选C． 16．（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路点拨】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【规范解答】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 易错题型9 数轴上的规律探究 17．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合）、到1的距离相等，点（不与重合）、到2的距离相等，点（不与重合）、到3的距离相等，．．．按此规律，点表示的数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查数字变化的规律，能依次求出点(为正整数)所表示的数并发现规律是解题的关键；依次求出点(为正整数)所表示的数，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由题知，数轴上点表示的数为，且(不与重合)，分别到1对应的点的距离相等， 所以， 即点表示的数为4； 依次类推，点表示的数为0，点表示的数为6，点表示的数为2，点表示的数为8，点表示的数为， 所以点(为正整数)表示的数为：，点表示的数为：． 当时，则， 即点表示的数为； 故答案为：． 18．（25-26七年级上·江苏·期中）数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数轴上点的移动规律．奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第n次移动n个单位．每左移右移各一次后，点A右移1个单位，故第2025次右移后，点A向右移动个单位，第2025次左移2025个单位，据此列式计算即可求解． 【规范解答】解：第n次移动n个单位，第2025次左移个单位，每左移右移各一次后，点A右移1个单位， 所以表示的数是． 故答案为：． 易错题型10 绝对值的几何意义 19．（25-26七年级上·山西忻州·期中）数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查数轴及有理数的大小比较，根据题意把，，表示在数轴上，进而根据数轴比较大小，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，把，，表示在数轴上， ∴ 故选：B． 20．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图，、、、分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是哪个点，并说明理由？ 【答案】原点可能是或，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了数轴上点表示有理数，两点之间的距离，绝对值的性质， 分四种情况：当表示的数是原点，由可得； 当表示的数是原点，由，判断即可； 当表示的数是原点，由，判断即可； 当表示的数是原点，由题意可得，可得答案． 【规范解答】解：由题意，、、、分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，分四种情况： 如图：当表示的数是原点，由， 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，， 时， 成立； 如图：当表示的数是原点，由， 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，， 此时不成立； 如图：当表示的数是原点，由， 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，， 不成立； 如图：当表示的数是原点，由， 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，， 时，成立； 综上所述，若，则原点可能是或， 故答案为：或． 易错题型11 绝对值非负性 21．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）当 时，代数式有最大值． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性得出，从而得到当，即时，有最大值，熟练掌握绝对值的非负性是解此题的关键． 【规范解答】解：， ， ， 当，即时，有最大值． 故答案为：1． 22．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） ， ；（2）， 【思路点拨】本题考查了绝对值的非负性． （1）由已知得，，代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性得到，，可知，． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴，， 则，； （2）解：∵，，且， ∴，， ∴，． 易错题型12 相反数的应用 23．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【规范解答】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）求a为何值时，式子与的值满足下列条件： (1)相等； (2)互为相反数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了相反数，解一元一次方程，通过相等以及互为相反数的条件列出代数式是解题的关键． （1）根据两个式子的值相等，即可得到，解方程即可； （2）式子与的值互为相反数，则和是0，据此即可列方程求解． 【规范解答】（1）解：由题意，得， 移项、合并同类项，得， 所以当时，式子与的值相等． （2）解：由题意，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同时除以3，得， 所以当时，式子与的值互为相反数． 易错题型13 化简多重符号 25．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）画出数轴并在数轴上表示出下列各数，将这些数用“>”号连接． ，，，，0． 【答案】数轴见解析， 【思路点拨】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，去括号，先利用绝对值的意义和相反数的定义计算得到，，，．然后把5个数在数轴上表示出来，利用数轴上右边的数总比左边的数大求解． 【规范解答】解：，，，． 用数轴表示各数为： ． 26．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知一组数：，0，，，． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 【答案】(1)见解析； (2) 【思路点拨】本题考查了求绝对值，求相反数，在数轴上表示有理数并比较大小． （1）先计算绝对值、相反数，再在数轴上表示即可； （2）根据数轴比较大小即可． 【规范解答】（1）解：，， 把这些数在下面的数轴上表示如下： （2）解：由数轴可知：． 易错题型14 有理数的加减混合运算 27．（25-26七年级上·河南南阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查有理数的加减混合运算． （1）先去括号，再计算； （2）将小数和分数统一形式后合并计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 28．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）计算：． 【答案】19 【思路点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先求绝对值，再根据有理数的加减混合运算计算即可． 【规范解答】解： ． 易错题型15 有理数加减中的简便运算 29．（25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)有理数减法法则 (2) (3)二；写成了 (4) 【思路点拨】考查有理数的减法法则、加法运算律（交换律、结合律）．解题关键是正确运用减法法则转化运算，利用运算律凑整简化计算；易错点是符号处理错误，或运算律应用时漏变符号． （1）根据“减法变加法（减一个数等于加它的相反数）”确定第一步的变形依据； （2）第二步调整数的位置，对应加法交换律； （3）检查步骤中符号是否正确，发现第二步将误写为； （4）先通过加法交换律调整数的顺序，再用结合律分组计算（小数与小数结合、分数与分数结合），最终得出结果． 【规范解答】（1）有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）． 故答案为：有理数的减法法则． （2）加法交换律：． 故答案为：． （3）从第二步开始出错，错误原因是：将误写为，符号处理错误． 故答案为：二；写成了． （4）原式 30．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键； （1）根据有理数的加法作答即可； （2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可． 【规范解答】（1）解：可将拆为，拆为； 故答案为：，； （2）解： ． 易错题型16 有理数加减混合运算的应用 31．（25-26七年级上·辽宁阜新·期中）足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练设计了折返跑训练．教练在东西方向的足球场上画了一条直线插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组的行驶记录如下（单位：米）：． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多远？ (3)球员在一组练习过程中，跑了多少米？ 【答案】(1)球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点15米 (2)最远处离出发点60米 (3)球员在一组练习过程中，跑277米 【思路点拨】(1)计算各里程的和，正表示向西，负表示向东，0表示回到原来位置解答即可． (2) 计算变化量的和，确定每次运动的最终位置，比较解答即可． (3)计算变化量的绝对值即可 本题考查了正负数的实际应用，绝对值的应用，有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解： （米） 答：球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点15米． （2）解：第一次运动到距离出发点米处， 第二次运动到距离出发点米处， 第三次运动到距离出发点米处， 第四次运动到距离出发点米处， 第五次运动到距离出发点米处， 第六次运动到距离出发点米处， 第七次运动到距离出发点米处， 第八次运动到距离出发点米处， 第九次运动到距离出发点米处， 第十次运动到距离出发点米处， 故离开出发点的位置最远是60米． （3）解： （米） 答：球员在一组练习过程中，跑了277米． 32．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）倩倩最近检测了7次一分钟跳绳的个数，已知第1次的检测成绩为160个，之后把每次的个数都与前一次进行比较，超出的部分记为“”，不足的部分记为“”，下表记录了她第2次到第7次的检测结果． 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 m (1)若第5次的检测成绩为168个，求表中m的值： (2)在（1）的条件下，求出这7次检测成绩超过 160个的次数． 【答案】(1) (2)这7次检测成绩超过160个的次数为4次 【思路点拨】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算，列代数式； （1）先根据第4次检测成绩的个数求出第五次成绩进而求出； （2）根据题意求出每一次成绩的个数，比较即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：第4次检测成绩的个数为：个， ∴； （2）第2次成绩为个； 第3次成绩为个； 第4次成绩为个 第5次168个； 第6次成绩为个； 第7次成绩为个； 可知这7次检测成绩超过160个的次数为4次． 易错题型17 有理数乘除混合运算 33．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查有理数的乘除运算，熟练掌握运算顺序和运算原则是解题的关键． 先将小数化为分数，带分数化为假分数，再根据有理数乘除运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 34．（25-26七年级上·广东江门·期中）请你阅读小虎同学的作业后，回答问题：计算： 解：原式① ② ③ (1)上面解题中从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)写出这道计算题的正确解题过程． 【答案】(1)②，没有按运算顺序算 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了有理数的乘除，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除的混合运算的运算顺序解题即可； （2）根据相关运算法则进行计算． 【规范解答】（1）解：原式 ∴解题从第②步开始出现错误，错误的原因是没有按运算顺序算； 故答案为：②，没有按运算顺序算； （2）解：原式 ． 易错题型18 有理数乘除中的简便运算 35．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 36．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【规范解答】解：的倒数为， ， 所以． 易错题型19 有理数四则混合运算 37．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）阅读下面的解题过程： 计算：   解：原式  (第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 解答下列问题： (1)第一步的依据是____________，第二步的依据是__________； (2)上面的解题过程是从第___________步开始出错的，请把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)乘法的交换律，乘法的结合律 (2)三， 【思路点拨】本题主要考查了有理数乘法的运算律，熟练掌握乘法交换律、结合律的内容及有理数乘法的计算方法是解题的关键． （1）分析每一步所运用的运算律即可作答； （2）检查每一步计算，找出错误步骤并写出正确过程． 【规范解答】（1）解：第一步的依据是乘法交换律，第二步的依据是乘法结合律， 故答案为：乘法的交换律，乘法的结合律； （2）解：原式 ， 故从第三步开始出错，正确结果为． 38．（25-26七年级上·四川泸州·期中）定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的K倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，： (1)①、两点之间的距离是 ． ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【思路点拨】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）①根据两点之间的距离即可求解；②根据新定义，求得、即可求解； （2）根据新定义得到点为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点在线段上和点在线段的延长线上，分别求解即可． 【规范解答】（1）①已知点对应，点对应，点对应， 、的距离为， ②由数轴知： ， ，则； （2）点C在数轴上且， ，则点为的中点， 点表示的数为； （3）解： 是数轴上一点，且， ． 点表示的数为，点表示的数为， ． 当点在点，之间时，点表示的数为； 当点在点的右边时，点表示的数为． 点表示的数为或． 易错题型20 有理数四则混合运算的实际应用 39．（25-26七年级上·福建福州·期中）中国空军航空大学“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，五次特技飞行高度记录如下：，，，，+1.8．（单位：千米） (1)求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了或低了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗5升燃油，则飞机在这5次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 【答案】(1)飞机最后所在的位置比开始位置高，高了1千米 (2)一共消耗50升燃油 【思路点拨】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，有理数加法的实际应用： （1）把所给飞行记录相加，若结果为正，则比开始的位置高，计算的结果即为高的千米数，若结果为负，则比开始的位置低，计算的结果的绝对值即为低的千米数； （2）分别计算出上升和下降的千米数，再分别计算出上升和下降消耗的燃油，二者求和即可得到答案． 【规范解答】（1）千米， 答：飞机最后所在的位置比开始位置高，高了1千米． （2） 升， 答：一共消耗50升燃油． 40．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送______单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单的部分，每单补贴4元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)53单 (3)1236元 【思路点拨】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． （1）用周四的送餐量减去周一的送餐量即可求解； （2）由50单加上超过或不足部分数据求解即可； （3）每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴，按题意计算和即可． 【规范解答】（1）解：（单） 即该外卖小哥这一周送餐里最多的一天比最少的一天多22单； 故答案为：22； （2）解：（单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； （3）解：（元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1236元． 易错题型21 根据点在数轴的位置判断式子的正负 41．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查的是绝对值、数轴、有理数的加法、减法、乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． 先根据点在数轴上的位置，判断出的正负，然后再比较出的大小，最后结合选项进行判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知，，，， ， ，，不可能， A选项是正确的，符合题意；D选项是错误的，不符合题意； ，， ， ， ， B、C选项都是错误的，不符合题意； 故选：A． 42．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了数轴，有理数的乘法，加法运算，数形结合是解题的关键． 观察数轴可得，然后根据有理数的乘法，加法运算，逐项判断，即可求解． 【规范解答】解：A、由图可知：， ∴， ∴． 故A正确，不符合题意． B、∵， ∴， ∵， ∴． 故B不正确，符合题意． C、∵， ∴， ∵， ∴． 故C正确，不符合题意． D、∵，， ∴    ．     故D正确，不符合题意． 故选：B． 易错题型22 数轴上的翻折 43．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是 ． 【答案】0或6 【思路点拨】本题考查了数轴的折叠问题与距离计算，解题的关键是设出点表示的数，根据折叠性质和距离关系分情况列方程． 【规范解答】解：设点表示的数为，则， 折叠后点的对应点为，则． ∵到的距离为，表示的数为， ∴表示的数为或． 当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：或． 44．（25-26七年级上·河南·期中）已知在纸面上有一条数轴，如图所示： (1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数4的点与表示数_____的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，回答下列问题： ①折痕与数轴交点表示的数为_____，表示数9的点与表示数_____的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的，两点也重合，且，两点之间的距离为10（点在点的左侧），求，两点所表示的数分别是多少？ 【答案】(1) (2)①2，；②表示的数是，点表示的数是7 【思路点拨】本题考查有理数与数轴，数轴上两点间的距离，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据重合两点所表示的数发现折痕与数轴的交点是原点，据此解答即可； （2）①表示数6的点与表示数的点重合，求出这两点间的距离，折痕与数轴的交点和这两点的距离相等，据此即可求出折痕与数轴的交点所表示的数，同理即可求出与表示9的点重合的点所表示的数； ②，两点之间的距离为10，折痕与数轴的交点和这两点的距离相等，据此即可求出折痕与数轴交点所表示的数，这个点与，两点的距离都为5，点在点的左侧，据此可求解题目． 【规范解答】（1）解：折叠纸面，使表示数1的点与重合，折叠点对应的数为原点， 则表示4的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）解：①表示数6的点与表示数的点重合，这两点之间的距离为个单位长度， ∴折痕与数轴交点和表示数6的点相距个单位长度， ∴折痕与数轴的交点表示的数为； ∵表示数9的点和折痕与数轴交点的距离为个单位长度， ∴折叠后与9 重合的点是； 故答案为：2，； ②，两点之间的距离为10，即，两点和折痕与数轴交点的距离为个单位长度， ∵点在点的左侧， ∴表示的数是，同理点表示的数是． 易错题型23 有理数的乘方运算 45．（25-26七年级上·河北保定·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的有（　　） ①；②；③；④    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【思路点拨】本题考查了用数轴表示数，绝对值的化简，整式的加减，正确化简绝对值是解答本题的关键； 先判断出，然后对每一个式子进行判断即可； 【规范解答】解：由数轴可知：， ∴，，，， ∴①②③错误，④正确 故选：A ． 46．（25-26七年级上·新疆伊犁·期中）定义一种新运算符号“”，满足：，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据新运算的定义，直接代入计算即可． 【规范解答】解：， ， 故选：D． 易错题型24 乘方运算的符号规律 47．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【规范解答】解：∵ ， 又∵ （指数2025为奇数）， ∴ 原式． 故选：C 48．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则的值为（  ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是非负数的性质，先根据非负数的性质求出m、n的值，再代入代数式进行计算即可． 【规范解答】解：因为， 所以，， 所以， 所以． 故选：B． 易错题型25 乘方的应用 49．（25-26七年级上·云南临沧·期中）《庄子》记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，按此方式截一根长为1的木棍，第n天截取后木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，理解题意，正确找出数字规律，是解答本题的关键．根据题意，先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，利用规律直接推导第n天剩余长度，由此得到答案． 【规范解答】初始长度为1， 第1天截取后剩余：， 第2天截取后剩余：， 第3天截取后剩余：， 则第n天截取后剩余：． 故选：C． 50．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则 ， ． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为 ． 【答案】 11 15 【思路点拨】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． （1）根据所给等式两边数字变化规律可得答案； （2）根据所给等式两边数字变化规律列出等式即可． 【规范解答】解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 易错题型26 用科学记数法表示绝对值大于1的数 51．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将科学记数法表示的数还原为原数，然后统计原数中数字的个数。 【规范解答】解：∵科学记数法， ∴整数为， ∴原数共位， ∵其中非零数字为，其余位均为， ∴的个数为， 故答案为：． 52．（25-26七年级上·云南昆明·期中）2025年国庆中秋假期，各地推出丰富多彩的文化和旅游产品、服务、活动．全国文化和旅游市场总体平稳有序．经文化和旅游部数据中心测算，国庆中秋假日8天，全国国内出游人次．将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【规范解答】解：， 故选：． 易错题型27 程序流程图与有理数计算 53．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为30，我们发现第1次输出的结果为15，第2次输出的结果为22，……，第2025次输出的结果为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【思路点拨】本题考查程序流程图与代数式求值，数字规律探究． 根据流程图，计算出前几次的结果，得到从第8次开始，运算结果以4，2，1，8为一组进行循环，即可得出结果． 【规范解答】解：第1次输出的结果为15， 第2次输出的结果为22， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， 第10次输出的结果为， 第11次输出的结果为， 第12次输出的结果为， 第13次输出的结果为， 第14次输出的结果为， 第15次输出的结果为， ……， 从第8次开始，运算结果以4，2，1，8为一组进行循环， ， 第2025次输出的结果为2， 故选：B． 54．（25-26七年级上·新疆伊犁·期中）如图所示的程序图，当输入时，输出的结果是 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查程序图输入计算以及有理数的混合运算，解题的关键是要正确根据程序图列式计算． 【规范解答】解：根据题意得：， 故答案为：5． 易错题型28 算“24”点 55．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）小哪吒有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大这两张卡片上的数字分别是_________． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，这两张卡片上的数字分别是_________． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加活号），使其运算结果为24，写出运算式子：_________．（写出一种即可） 【答案】(1)， (2) (3)（答案不唯一） 【思路点拨】（1）依题意，积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个卡片即可． （2）依题意，商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可． （3）利用24点游戏规则判断即可． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：依题意，商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值． 则有，，, 商最小的是， ∴这两张卡片是， 故答案为：； （3）解：由题意得： ． 故答案为：（答案不唯一）． 56．（25-26七年级上·广东阳江·期中）小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题： (1)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是？ (2)从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可） 【答案】(1)和 (2) 【思路点拨】本题考查了有理数的乘法、除法、混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）找出两个数字，使其积最大即可； （2）利用24点游戏规则判断即可． 【规范解答】（1）解：，， 可知两张卡片上的数字分别是和时，乘积最大； （2）解：根据题意得： ． 易错题型29 含乘方的有理数混合运算 57．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）求下列各式的值． (1)若与互为相反数，与互为倒数，的绝对值等于5，且，求的值． (2)已知，，且，异号，求的值． 【答案】(1)3 (2)41或49 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关知识点以及有理数的混合运算法则，是解题的关键： （1）根据相反数，倒数和绝对值的定义，得到，再根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）根据绝对值的意义，以及，异号，求出，的值，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：与互为相反数，与互为倒数，的绝对值等于5，且， （2）解：，且异号， 或， 把，代入得：； 把，代入得：； 即的值为41或49． 58．（25-26七年级上·四川泸州·期中）我们平常使用的数是十进制数．而计算机程序处理中，使用的是只有数码0和1的二进制数，但这两种进制数可以相互换算．例如，按照这种方式把十进制数28换算成二进制数 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的运算应用，将十进制数28分解为2的幂次方的和，从而得到对应的二进制数． 【规范解答】解：， 将十进制数28换算成二进制数应为11100， 故答案为：． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $