专题01 有理数（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学有理数期末复习讲义通过表格系统梳理了五大核心考点，明确各考点的复习目标与考情规律，构建“概念-运算-应用”的知识体系。知识点部分按“定义+示例+易错点”分层呈现，如数轴、相反数、绝对值结合几何意义讲解，用具体例子揭示内在联系，突出重点难点分布。 讲义亮点在于题型分类指导与分层练习设计。针对绝对值化简、实际应用等题型，提供“数轴分析法”“答题模板”等方法，如实际应用题引导学生提取关键信息建立模型，培养模型意识与应用意识。典例与变式题结合生活情境，动态问题融入数轴与方程思想发展几何直观。练习分基础、重难、拓展三层，适配不同学生需求，助力教师实施精准分层教学，提升复习效率。

专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的概念与分类 能准确判断有理数，并能按要求（如正负、整数分数）进行多角度分类。 常在选填空题中考查。 数轴、相反数、绝对值的综合运用 会利用数轴比较大小，能借助数形结合理解绝对值的几何意义（距离），并会化简含多重符号或绝对值的式子。 期末常将三者结合，以“距离”为背景出题，是填空选择的常客。难点在于利用数轴分析绝对值化简。 有理数的混合运算（含乘方） 能熟练、准确地进行含乘方、括号的四则混合运算，并能运用运算律进行合理简算。 期末必考计算题，分值高。核心失分点是：运算顺序混乱、乘方符号错误、分配律使用不当。 科学记数法与近似数的表示 能用科学记数法表示绝对值较大或较小的数，能按要求对一个数取近似值并指出其精确度。 通常以一道基础填空题形式出现，属于“送分题”，但需注意a的取值范围及n的确定方法。 有理数运算的实际应用 能将实际问题（如增长率、质量误差、股票涨跌、方案优化）转化为有理数运算模型并求解。 期末详解题的稳定考点，考查建模能力。关键在于从文字中提取有效数学信息，并选择正确的运算。 知识点01 有理数的概念与分类 整数和分数统称为有理数。有理数也可以分为正有理数、0和负有理数。正有理数和0属于非负数。 ·示例：5， －3， 0是整数，也是有理数；，－0.3， 3.14是分数，也是有理数；而无限不循环小数π等，是无理数（八年级学习）。 ·易错点：①误认为“分数”就是“小数”。分数可以化成有限小数或无限循环小数，反之亦然。 知识点02 数轴、相反数、绝对值 1.数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线。数轴实现了“数”与“点”的对应。 2.相反数：只有符号不同的两个数。a的相反数是－a；0的相反数是0。求一个式子的相反数，需整体加括号再变号。 3.绝对值：（1）代数定义：|a| ＝ { a (a≥0)； －a (a<0) }。 （2）几何意义：数a在数轴上对应的点到原点的距离。|a| ≥ 0。 ·示例：若|a|＝3，则a＝±3，表示数轴上与原点距离为3的点有两个。若|x－1|＝2，则表示数轴上与点“1”的距离为2的点x，解得x＝3或x＝－1。 ·易错点：化简绝对值时，必须先判断内部式子的正负，再根据定义去绝对值。 知识点03 有理数的运算（法则与顺序） 1.运算法则核心：“先定符号，再算绝对值”。 加减：转化为加法，利用加法交换律、结合律凑整（如相反数凑0、同号结合、同分母结合）。 乘除：同号得正，异号得负。 乘方：求n个相同因数的积。负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正。如 (－2)3 ＝ －8， (－2)4 ＝ 16。 2.运算顺序（生命线）：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 ·易错点：－32与(－3)2结果不同，前者是3的平方的相反数结果为－9，后者是（－3）的平方结果为9。 题型一 含多重绝对值或符号的化简与求值 解｜题｜技｜巧 1.数轴分析法（根本方法）：当化简涉及多个绝对值（如|a|＋|b|或|a－b|）时，画出数轴，根据各字母在数轴上的可能位置分类讨论，确定每个绝对值内部的符号。 2.零点分段法（进阶技巧）：令每个绝对值式子为0，求出“零点”（如令|x－2|＝0，得x＝2），这些零点将数轴分成若干段，在每一段内所有绝对值内部的符号是确定的，从而可以统一化简。 3.特殊值代入法（检验或选择题）：在允许的范围内取满足条件的简单数值代入验证。 易｜错｜点｜拨 1.切忌直接去掉绝对值！必须“先判后去”。 2.若题目给出字母在数轴上的位置关系，要转化为具体的不等式条件（如a<0<b，且|a|>|b|）。 【典例1】 已知|x－5|＋|y＋4|＝0，则代数式（x＋y）2025的值是（　　） A．1 B．－1 C．0 D．±1 【详解】解：∵|x－5|＋|y＋4|＝0， ∴x－5＝0，y＋4＝0， ∴x＝5，y＝－4， ∴（x＋y）2025＝（5－4）2025＝1． 故选：A． 【典例2】 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|b|＞|c|＞|a|． （1）用“＞”“＜”或“＝”填空： a＋c　 　 0，c－b　 　 0，b－a　 　 0； （2）化简：|c|＋2|c－b|－2|a＋b|＋|a＋c|． 【详解】解：（1）由数轴得|b|＞|c|＞|a|，b＜c＜0＜a， ∴a＋c＜0，c－b＞0，b－a＜0． 故答案为：＜，＞，＜． （2）由数轴得，|b|＞|c|＞|a|，b＜c＜0＜a， ∴a＋b＜0，a＋c＜0，c＜0，c－b＞0， ∴原式＝－c＋2（c－b）＋2（a＋b）－（a＋c） ＝－c＋2c－2b＋2a＋2b－a－c ＝a． 【变式1】数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4－0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示O的点）之间的距离，又如式子|7－3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a－b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示－3的点之间的距离的式子是　 　 ；式子|a＋5|的几何意义是　 　 ． （2）根据绝对值的几何意义，当|x－2|＝3时，x＝　 　 ； （3）当表示x的点在－2与5之间移动时，|x－5|＋|x＋2|的值为一个固定的值是　 　 ； （4）探究：|x＋1|＋|x－7|的最小值是　 　 ． 【详解】解：（1）几何意义是数轴上表示2的点与表示－3的点之间的距离的式子是|2－（－3）|；式子|a＋5|的几何意义是数轴上表示a的点与表示－5的点之间的距离； 故答案为：|2－（－3）|；数轴上表示a的点与表示－5的点之间的距离； （2）根据绝对值的几何意义，当|x－2|＝3时，x＝－1或5； 故答案为：－1或5； （3）当表示x的点在－2与5之间移动时，|x－5|＋|x＋2|的值为一个固定的值是7； 故答案为：7； （4）探究：|x＋1|＋|x－7|的最小值是8． 故答案为：8． 【变式2】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并详解题目后提出的“探究”． 【问题背景】知识点：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝－a． 【提出问题】如果有理数a、b，求的值． 【解决问题】分类讨论：讨论a，b的符号．解：由题意得： ①当a，b都是正数，即a＞0，b＞0时，则； ②当a，b都是负数，即 　 时，则　　 ＋　　 ＝ 　 　 ； ③当a，b有一个为正数，另一个为负数时，则　 　 ； 故：的值为：　 　 ． 【类比探究】三个有理数a，b，c，满足abc＜0，则　 　 ． 【详解】解：【解决问题】①当a，b都是正数，即a＞0，b＞0时，则； ②当a，b都是负数，， 故答案为：a＜0，b＜0；； ③当a，b有一个为正数，另一个为负数时，令a＞0，b＜0时，， 故答案为：0； 综上所述，的值为2或－2或0； 【类比探究】三个有理数a，b，c，满足abc＜0， ∴令a＜0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0， 当a＜0，b＞0，c＞0时， ， 当a＜0，b＜0，c＜0时， ， 故答案为：0或－4． 题型二 有理数运算的实际应用 答｜题｜模｜板 1.信息提取与标注：用笔圈出题目中的关键数据（如基准值、变化量、极值）和描述性词语（如“超过”、“不足”、“比…多/少”、“最大利润”、“最省费用”）。 2.建立数学模型：将实际问题转化为有理数运算式。常用方法： （1）累加法：适用于连续变化（如一周的收支记录）。 （2）比较法：涉及多种方案时，分别列出每种方案的代数式。 （3）极限或最优法：通过计算、比较，找出符合题目要求（如最小、最大）的方案。 3.规范书写详解： 解：设……（如需设未知数）。 列式：根据模型列出算式或方程。 计算：给出详细计算过程。 答：写出符合题目问法的最终结论，并注意单位。 【典例1】根据背景素材，探索解决问题． 周末小明一家打算去露营基地野餐 素材1 野餐准备计划路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下： －3，＋6，＋2.5，－5，－12； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【详解】解：（1）－3＋6＋2.5－5－12＝－11.5（km）， 即露营基地在家的西边11.5km处； （2）8＋（6－3）×2＝14（元）， 即炸鸡店到面包店所需费用14元； （3）∵8＋（5－3）×2＝12元，8＋（12－3）×2＝26元，8＜12＜26， ∴8＋14＋8＋[8＋（5－3）×2]×0.8＋[8＋（12－3）×2]×0.7＝57.8（元） 即水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费57.8元． 【典例2】2025年我县百香果植基地某种植户包装20袋百香果，以每袋10千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值/千克 －0.2 －0.15 －0.1 0 0.1 0.2 袋数/袋 1 4 2 3 2 8 （1）与标准质量比较，这20袋百香果总计超过或不足多少千克？ （2）若百香果每千克的售价10元，则出售这20袋百香果可获得多少元？ 【详解】解：（1）－0.2－0.15×4－0.1×2＋0.1×2＋0.2×8＝0.8（千克）＞0， 所以这20袋百香果总计超过0.8千克； （2）这20袋百香果的总质量为10×20＋0.8＝200.8（千克）， 总价为10×200.8＝2008（元）， 答：出售这20袋百香果可获得2008元． 【变式1】我们平常用的数都是十进制的，如：3456＝3×103＋4×102＋5×101＋6．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数101＝1×22＋0×21＋1，等于十进制数5；二进制数10110＝1×24＋0×23＋1×22＋1×21＋0，等于十进制数22，那么二进制数110101等于十进制数多少呢？ 【详解】解：二进制数110101＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20 ＝53， 故二进制数11010等于十进制数53． 题型三 以数轴为背景的动态问题（跨章节/与方程思想结合） 答｜题｜模｜板 1.“静”化“动”：将运动时间设为t秒，用含t的代数式表示运动点当前的位置坐标。 （1）向右运动：当前位置 ＝ 起点 ＋ 速度×时间。 （2）向左运动：当前位置 ＝ 起点 － 速度×时间。 2.分析关系，列出方程：根据题目要求（如“相遇”、“相距a个单位”、“中点”），将点与点之间的位置关系（通常是两点坐标之差的绝对值）用等式或不等式表示出来。 3.求解并检验：解出时间t，并检查是否在运动过程的有效时间内。 易｜错｜点｜拨 （1）务必注意运动方向。涉及往返时，要分段考虑。 （2）理解“距离”是绝对值，因此列出的方程可能是带绝对值的方程，通常对应两个解。 【典例1】在数轴上点A、B表示的数分别为－20，10．若点N从A点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向B匀速运动，点M从B点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向A匀速运动．设点M，N同时出发，运动时间为t秒，点P为线段MN的中点，经过　 　 秒后，P点到原点的距离为2． 【详解】解：点N从A点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向B匀速运动，点M从B点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向A匀速运动， 设运动时间为t秒，则点N为－20＋2t；点M为10－t． ∵点P为MN的中点， ∴点P为， ∵P点到原点的距离为2， ∴， 解得t＝14或t＝6 故答案为：6或14． 【典例2】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【详解】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB－OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为－4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6－6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10＋4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10＋4a－6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10＋4a＋8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【变式1】正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点A和F对应的数分别为1和0，若正六边形ABCDEF绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为－1．按此规律继续翻转下去，数轴上－2025所对应的顶点是（　　） A．A B．B C．C D．D 【详解】解：根据题意得：点E所对应的数为－1， 点D所对应的数为－2， 点C所对应的数为－3， 点B所对应的数为－4， 点A所对应的数为－5， 点F所对应的数为－6， 根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数六个数一循环，2025÷6＝337⋯⋯3， 数轴上－2025所对应的顶点是C． 故选：C． 【变式2】数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”，已知点A，B表示的数分别为－1，1，点C为数轴上一动点，若A，B，C三点满足“中点关系”时，则点C表示的数为　 　 ． 【详解】解：依题意，设点C表示的数为x， 当点A是点B和点C的中点时，，解得x＝－3； 当点B是点A和点C的中点时，，解得x＝3； 当点C是点A和点B的中点时，． ∴点C表示的数是－3或3或0， 故答案为：－3或3或0． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1. 已知a，b，c的大小关系如图所示，则下列三个结论中正确的个数是（　　） ①abc＜0；②a－b＋c＞0；③|a－b|－|a＋b|＞0． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【详解】解：由数轴可得：|c|＞|b|＞|a|，b＜0＜a＜c， ∴a＋b＜0，abc＜0，a－b＞0， ∴|a－b|－|a＋b|＝a－b＋a＋b＝2a＞0，a－b＋c＞0， ∴①②③正确，正确的个数是3个， 故选：D． 2.中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约35500m2．将35500用科学记数法表示应为（　　） A．35.5×104 B．3.55×104 C．3.55×105 D．0.355×105 【详解】解：35500＝3.55×104． 故选：B． 3.按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出的值是　 　 ． 【详解】解：当输入x的值为3时， 输出值为：（3＋5）2－7＝64－7＝57． 故答案为：57． 4.某小学要购买60个足球，现有甲、乙两个商店可以选择，两个商店里每个足球的标价都是68元，采购人员应到哪家商店购买足球？ 甲商店 每满10个足球就免费送2个． 乙商店 满10个足球就打八折销售． 【详解】解：甲：60÷（10＋2）＝60÷12＝5（组）， （60－5×2）×68＝50×68＝3400（元）， 乙：60×68×80%＝4080×0.8＝3264（元）， ∵3264＜3400， 答：采购人员应到乙商店购买足球． 5.根据素材，解决实际问题． 周末小智一家打算去露营基地野餐 素材一 行动路线图：家→面包店→水果店→超市→凉菜店→露营基地； 素材二 行动路线近似看成东西走向，规定向东为正，向西为负，小智一家按该路线的行走里程（单位：km）如下：－2，＋4，＋3，－6，－14； 素材三 网约车计费标准：起步价（不超过3km）车费8元，超过3km时，超出部分每千米加价2元，原价消费满12元赠送一张7折优惠券和一张6折优惠券（每张优惠券只能使用一次，且每次只能使用一张优惠券）． 问题解决 问题1 露营基地在小智家的哪个方向？距离小智家有多少千米？ 问题2 小智从超市乘坐网约车去凉菜店，买完东西后，又乘坐另一辆网约车前往露营基地．这个过程中，小智先使用7折优惠券，后使用6折优惠券，他一共付了多少元的车费？ 【详解】解：（1）根据正负数的意义以及有理数的加法计算可得： －2＋（＋4）＋（＋3）＋（－6）＋（－14）＝－15（千米）． 所以露营基地在小智家的西边，距离小智家有15千米． （2）超市与凉菜店距离6km，凉菜店和露营基地距离14km． 所以从超市到凉菜店的车费原价为：8＋（6－3）×2＝14（元）， 从凉菜店到露营基地的车费原价为：8＋（14－3）×2＝30（元）． 先使用7折优惠券，后使用6折优惠券， 车费总和为：14×0.7＋30×0.6＝27.8（元）． 答：他一共付了27.8元的车费． 6.计算： （1）（）×（－24）； （2）－14＋16÷（－2）3×|－3－1|． 【详解】解：（1）（）×（－24） （－24）（－24）（－24） ＝16－15＋4 ＝5； （2）－14＋16÷（－2）3×|－3－1| ＝－1＋16÷（－8）×4 ＝－1－8 ＝－9． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.若|a－2|＝|a|＋|－2|，则a为（　　） A．非负数 B．非正数 C．正数 D．负数 【详解】解：当a≥2时，|a－2|＝a－2＝|a|－|－2|； 当0＜a＜2时，|a－2|＝2－a＝|－2|－|a|； 当a≤0时，|a－2|＝－（a－2）＝－a＋2＝|a|＋|－2|， 故选：B． 2.有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①b－a＞0；②|a|＜|b|；③a＋b＞0；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【详解】解：根据图示，可得a＜0，b＞0，|a|＜b， ∴①b－a＞0，故正确； ②|a|＜|b|，故正确； ③a＋b＞0，故正确； ④0，故错误． ∴正确的是①②③． 故选：B． 3.已知a•b≠0，则的值为　 　 ． 【详解】解：当a＞0，b＞0时，， 当a＞0，b＜0时，， 当a＜0，b＜0时，， 当a＜0，b＞0时，， 故答案为：0，－2，2． 4.如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是0＋2＋（－5）＝－3． （1）点A从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是　 　 ； （2）点B从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点C从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点B运动到－3.5所在点的位置时，求B，C两点之间的距离； （3）点M从表示－5的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度…依次操作2026次后，求点M表示的数． 【详解】解：（1）3－5＋4＝2； 故答案为：2； （2）点B运动了2.5－（－3.5）＝6个单位长度， 运动时间为6÷2＝3（秒）． 这段时间点C运动了1×3＝3个单位长度． ∵点C从原点出发， ∴点C运动到3所在点的位置， ∵3－（－3.5）＝6.5， ∴B，C两点之间的距离是6.5个单位长度； （3）－5－1＋2－3＋4－5＋6－7＋⋯－2021＋2022－2023＋2024－2025＋2026 ＝－5＋（－1＋2）＋（－3＋4）＋⋯＋（－2023＋2024）＋（－2025＋2026） ＝－5＋1013 ＝1008． 所以点M表示的数为1008． 5.如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为－8，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm． （1）在图1的数轴上，AC＝　 　 个单位长度（AC表示点A到点C的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的　 　 cm；点B所对应的数b为　 　 ； （2）若Q是数轴上一点，且满足点A到点Q的距离是点A到点B距离的2倍，求点Q所对应的数． 【详解】解：（1）AC＝4－（－8）＝12， ∵数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度6.3cm， ∴6.3÷12＝0.525， ∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的0.525cm． ∵刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm， ∴， ∴AB＝124， ∴点B所对应的数b为－8＋4＝－4． 故答案为：12；0.525；－4； （2）由（1）可知点B所对应的数为－4，AB＝4， ∵点A到点Q的距离是点A到点B距离的2倍， ∴点A到点Q的距离是 4×2＝8， 当点Q在点A左侧时，点Q所对应的数为－8－8＝－16； 当点Q在点A右侧时，点Q所对应的数为－8＋8＝0． 综上，点Q所对应的数为－16或0． 6.已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，x是到原点的距离为3的数且x＞0，|y|＝5且y＜0． （1）a＋b＝　 　 ，cd＝　 　 ，x＝　 　 ，y＝　 　 ； （2）求3x－cd＋2（a＋b）－y2的值． 【详解】解：（1）∵a与b互为相反数， ∴a＋b＝0， ∵c与d互为倒数， ∴cd＝1， ∵x是到原点的距离为3的数且x＞0， ∴x＝3， ∵|y|＝5，且y＜0， ∴y＝－5， 故答案为：0；1；3；－5； （2）a与b互为相反数，c与d互为倒数，x是到原点的距离为3的数且x＞0，|y|＝5且y＜0． 由（1）可知a＋b＝0，cd＝1，x＝3，y＝－5， ∴3x－cd＋2（a＋b）－y2 ＝3×3－1＋2×0－（－5）2 ＝9－1＋0－25 ＝－17． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如果在一类数中任取两个进行某种运算（除法运算时除数不为0），结果仍然是这类数，我们就说这类数对这种运算封闭，否则就不封闭．例如，整数2，3的商是，因为不是整数，所以整数对除法运算不封闭．下列结论：①整数对乘法运算封闭；②正数对加法、乘法运算都封闭；③有理数对四则运算都封闭．其中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【详解】解：①整数×整数＝整数，所以整数对乘法运算封闭，故该项正确； ②3＋（－3）＝0，0不是正数，故本项错误； ③有理数对四则运算都封闭，故该项正确． 故选：B． 2.【新知理解】 点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段AB的长度为6，点C在AB上，AC的长度为2，则点C是线段AB的其中一个“优点”． （1）若点C为图1中线段AB的“优点”，且AC＝3（AC＜BC），则AB＝ 　 　 ； （2）若点D也是图1中线段AB的“优点”（不同于点C），则AC　 　 BD（填“＞”“＜”或“＝”）； 【解决问题】 如图2，数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4； （3）若M点在N点的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，则线段MN的长为 　 　 ； （4）若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，则点G表示的数为 　 　 ． 【详解】解：（1）由条件可知BC＝2AC＝6， ∴AB＝AC＋BC＝9； 故答案为：9； （2）由条件可知AD＝2BD， ∴， ∴AC＝BD； 故答案为：＝； （3）由条件可知OF＝4， 根据题意可知， ∴； 故答案为：； （4）由条件可知EF＝3， ∵线段EF与GF互为“优点”伴侣线段， 当EF＝2GF时，GF＝1.5， ∴点G表示的数为5.5， 当GF＝2EF时，GF＝6， ∴点G表示的数为10， 综上，点G表示的数为5.5或10． 故答案为：5.5或10． 3.在一张长方形纸条上画一条数轴，我们定义：点M，N为数轴上任意两点，若折叠纸条使点M与点N刚好重合，折痕与数轴的交点为点Q，我们称点Q为点M和点N的“折点”． 例如：若折叠纸条，使数轴上表示－2的点M与表示2的点N重合，则原点为点M和点N的“折点”． 如图2，数轴上依次有三点A，B，C，它们在数轴上表示的数依次为－1，3，5． （1）若将数轴折叠，使A，C两点重合，则点A和点C的“折点”表示的数是 　 　 ，此时与点B重合的点表示的数是 　 　 ； （2）若线段BC以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，运动时间为t秒． 当t为何值时，A，B，C三个点中，恰好一点为另外两点的“折点”？ 【详解】解：（1）∵2， ∴点A和点C的“折点”表示的数是2， 设与点B重合的点表示的数是x， 2－x＝3－2， ∴x＝1， 与点B重合的点表示的数是1， 故答案为：2，1； （2）由题意得：点B向左运动后表示的数是：3－t，点C向左运动后表示的数是：5－t， 当点B为折点时，3－t，则t＝2， 当点C为折点时，5－t，则t＝8， 当点A为折点时，1，则t＝5， 答：t的值为2，8或5． 4.已知数轴上两点A、B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2．对于在数轴一点M（不与点A、点B重合），若线段AM与BM的长度之比为m，则称M叫做点A、B的“m倍伴随点”，记作r（M）＝m． 例如，图1所示：若点O是线段AB的中点时，有AO＝BO，则称点O为点A、B的“1倍伴随点”，记作r（O）＝1． 请根据上述规定回答下列问题： （1）已知，如图2，点M1，M2，M3为数轴上三个点，点M1表示的数是． ①r（M1）＝　 　 ； ②比较r（M1）、r（M2）与r（M3）的大小 　 （用“＜”连接）； （2）已知点C是数轴上点A、B的“3倍伴随点”，请你直接写出点C表示的数为 　 　 ； （3）已知数轴上三点D，E，F，点E、F分别为AD、BD的中点，满足EB+FA＝8，且此时点D是点A、B的“d倍伴随点”，求d的值及点D表示的数． 【解答】解：（1）①由图可知：， ∴， ∴， 故答案为：； ②由题意，得：， 由图可知：AM3＞AM1＞AM2，BM3＜BM1＜BM2， ∵分数的分子越大，分母越小，分数就越大， ∴， ∴r（M2）＜r（M1）＜r（M3）， 故答案为：r（M2）＜r（M1）＜r（M3）； （2）∵点C是数轴上点A、B的“3倍伴随点”， ∴， ∴AC＝3BC， 设：C点所表示的数为x， 当C在AB中间时：x﹣（﹣2）＝3（2﹣x），解得：x＝1； 当C在B的右侧时：x﹣（﹣2）＝3（x﹣2），解得：x＝4； 综上：C点表示的数为：1或4； 故答案为：1或4； （3）设D点表示的数为a， 当D在A点左侧时，AD＝﹣2﹣a，BD＝2﹣a， ∵点E、F分别为AD、BD的中点， ∴， ∴， ， ∵EB+FA＝8， ∴， 解得：a＝﹣8， ∴AD＝﹣2﹣（﹣8）＝6，BD＝2﹣（﹣8）＝10， ∴； 当D在B点右侧时，AD＝a+2，BD＝a﹣2， ∵点E、F分别为AD、BD的中点， ∴， ∴， ， ∵EB+FA＝8， ∴， 解得：a＝8， ∴AD＝a+2＝8+2＝10，BD＝a﹣2＝8﹣2＝6， ∴； 综上：，点D表示的数为8；点D表示的数为﹣8． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的概念与分类 能准确判断有理数，并能按要求（如正负、整数分数）进行多角度分类。 常在选填空题中考查。 数轴、相反数、绝对值的综合运用 会利用数轴比较大小，能借助数形结合理解绝对值的几何意义（距离），并会化简含多重符号或绝对值的式子。 期末常将三者结合，以“距离”为背景出题，是填空选择的常客。难点在于利用数轴分析绝对值化简。 有理数的混合运算（含乘方） 能熟练、准确地进行含乘方、括号的四则混合运算，并能运用运算律进行合理简算。 期末必考计算题，分值高。核心失分点是：运算顺序混乱、乘方符号错误、分配律使用不当。 科学记数法与近似数的表示 能用科学记数法表示绝对值较大或较小的数，能按要求对一个数取近似值并指出其精确度。 通常以一道基础填空题形式出现，属于“送分题”，但需注意a的取值范围及n的确定方法。 有理数运算的实际应用 能将实际问题（如增长率、质量误差、股票涨跌、方案优化）转化为有理数运算模型并求解。 期末详解题的稳定考点，考查建模能力。关键在于从文字中提取有效数学信息，并选择正确的运算。 知识点01 有理数的概念与分类 整数和分数统称为有理数。有理数也可以分为正有理数、0和负有理数。正有理数和0属于非负数。 ·示例：5， －3， 0是整数，也是有理数；，－0.3， 3.14是分数，也是有理数；而无限不循环小数π等，是无理数（八年级学习）。 ·易错点：①误认为“分数”就是“小数”。分数可以化成有限小数或无限循环小数，反之亦然。 知识点02 数轴、相反数、绝对值 1.数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线。数轴实现了“数”与“点”的对应。 2.相反数：只有符号不同的两个数。a的相反数是－a；0的相反数是0。求一个式子的相反数，需整体加括号再变号。 3.绝对值：（1）代数定义：|a| ＝ { a (a≥0)； －a (a<0) }。 （2）几何意义：数a在数轴上对应的点到原点的距离。|a| ≥ 0。 ·示例：若|a|＝3，则a＝±3，表示数轴上与原点距离为3的点有两个。若|x－1|＝2，则表示数轴上与点“1”的距离为2的点x，解得x＝3或x＝－1。 ·易错点：化简绝对值时，必须先判断内部式子的正负，再根据定义去绝对值。 知识点03 有理数的运算（法则与顺序） 1.运算法则核心：“先定符号，再算绝对值”。 加减：转化为加法，利用加法交换律、结合律凑整（如相反数凑0、同号结合、同分母结合）。 乘除：同号得正，异号得负。 乘方：求n个相同因数的积。负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正。如 (－2)3 ＝ －8， (－2)4 ＝ 16。 2.运算顺序（生命线）：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 ·易错点：－32与(－3)2结果不同，前者是3的平方的相反数结果为－9，后者是（－3）的平方结果为9。 题型一 含多重绝对值或符号的化简与求值 解｜题｜技｜巧 1.数轴分析法（根本方法）：当化简涉及多个绝对值（如|a|＋|b|或|a－b|）时，画出数轴，根据各字母在数轴上的可能位置分类讨论，确定每个绝对值内部的符号。 2.零点分段法（进阶技巧）：令每个绝对值式子为0，求出“零点”（如令|x－2|＝0，得x＝2），这些零点将数轴分成若干段，在每一段内所有绝对值内部的符号是确定的，从而可以统一化简。 3.特殊值代入法（检验或选择题）：在允许的范围内取满足条件的简单数值代入验证。 易｜错｜点｜拨 1.切忌直接去掉绝对值！必须“先判后去”。 2.若题目给出字母在数轴上的位置关系，要转化为具体的不等式条件（如a<0<b，且|a|>|b|）。 【典例1】 已知|x－5|＋|y＋4|＝0，则代数式（x＋y）2025的值是（　　） A．1 B．－1 C．0 D．±1 【典例2】 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|b|＞|c|＞|a|． （1）用“＞”“＜”或“＝”填空： a＋c　 　 0，c－b　 　 0，b－a　 　 0； （2）化简：|c|＋2|c－b|－2|a＋b|＋|a＋c|． 【变式1】数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4－0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示O的点）之间的距离，又如式子|7－3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a－b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示－3的点之间的距离的式子是　 　 ；式子|a＋5|的几何意义是　 　 ． （2）根据绝对值的几何意义，当|x－2|＝3时，x＝　 　 ； （3）当表示x的点在－2与5之间移动时，|x－5|＋|x＋2|的值为一个固定的值是　 　 ； （4）探究：|x＋1|＋|x－7|的最小值是　 　 ． 【变式2】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并详解题目后提出的“探究”． 【问题背景】知识点：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝－a． 【提出问题】如果有理数a、b，求的值． 【解决问题】分类讨论：讨论a，b的符号．解：由题意得： ①当a，b都是正数，即a＞0，b＞0时，则； ②当a，b都是负数，即 　 时，则　　 ＋　　 ＝ 　 　 ； ③当a，b有一个为正数，另一个为负数时，则　 　 ； 故：的值为：　 　 ． 【类比探究】三个有理数a，b，c，满足abc＜0，则　 　 ．题型二 有理数运算的实际应用 答｜题｜模｜板 1.信息提取与标注：用笔圈出题目中的关键数据（如基准值、变化量、极值）和描述性词语（如“超过”、“不足”、“比…多/少”、“最大利润”、“最省费用”）。 2.建立数学模型：将实际问题转化为有理数运算式。常用方法： （1）累加法：适用于连续变化（如一周的收支记录）。 （2）比较法：涉及多种方案时，分别列出每种方案的代数式。 （3）极限或最优法：通过计算、比较，找出符合题目要求（如最小、最大）的方案。 3.规范书写详解： 解：设……（如需设未知数）。 列式：根据模型列出算式或方程。 计算：给出详细计算过程。 答：写出符合题目问法的最终结论，并注意单位。 【典例1】根据背景素材，探索解决问题． 周末小明一家打算去露营基地野餐 素材1 野餐准备计划路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下： －3，＋6，＋2.5，－5，－12； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【典例2】2025年我县百香果植基地某种植户包装20袋百香果，以每袋10千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值/千克 －0.2 －0.15 －0.1 0 0.1 0.2 袋数/袋 1 4 2 3 2 8 （1）与标准质量比较，这20袋百香果总计超过或不足多少千克？ （2）若百香果每千克的售价10元，则出售这20袋百香果可获得多少元？ 【变式1】我们平常用的数都是十进制的，如：3456＝3×103＋4×102＋5×101＋6．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数101＝1×22＋0×21＋1，等于十进制数5；二进制数10110＝1×24＋0×23＋1×22＋1×21＋0，等于十进制数22，那么二进制数110101等于十进制数多少呢？ 题型三 以数轴为背景的动态问题（跨章节/与方程思想结合） 答｜题｜模｜板 1.“静”化“动”：将运动时间设为t秒，用含t的代数式表示运动点当前的位置坐标。 （1）向右运动：当前位置 ＝ 起点 ＋ 速度×时间。 （2）向左运动：当前位置 ＝ 起点 － 速度×时间。 2.分析关系，列出方程：根据题目要求（如“相遇”、“相距a个单位”、“中点”），将点与点之间的位置关系（通常是两点坐标之差的绝对值）用等式或不等式表示出来。 3.求解并检验：解出时间t，并检查是否在运动过程的有效时间内。 易｜错｜点｜拨 （1）务必注意运动方向。涉及往返时，要分段考虑。 （2）理解“距离”是绝对值，因此列出的方程可能是带绝对值的方程，通常对应两个解。 【典例1】在数轴上点A、B表示的数分别为－20，10．若点N从A点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向B匀速运动，点M从B点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向A匀速运动．设点M，N同时出发，运动时间为t秒，点P为线段MN的中点，经过　 　 秒后，P点到原点的距离为2． 【典例2】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【变式1】正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点A和F对应的数分别为1和0，若正六边形ABCDEF绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为－1．按此规律继续翻转下去，数轴上－2025所对应的顶点是（　　） A．A B．B C．C D．D 【变式2】数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”，已知点A，B表示的数分别为－1，1，点C为数轴上一动点，若A，B，C三点满足“中点关系”时，则点C表示的数为　 　 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1. 已知a，b，c的大小关系如图所示，则下列三个结论中正确的个数是（　　） ①abc＜0；②a－b＋c＞0；③|a－b|－|a＋b|＞0． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约35500m2．将35500用科学记数法表示应为（　　） A．35.5×104 B．3.55×104 C．3.55×105 D．0.355×105 3.按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出的值是　 　 ． 4.某小学要购买60个足球，现有甲、乙两个商店可以选择，两个商店里每个足球的标价都是68元，采购人员应到哪家商店购买足球？ 甲商店 每满10个足球就免费送2个． 乙商店 满10个足球就打八折销售． 5.根据素材，解决实际问题． 周末小智一家打算去露营基地野餐 素材一 行动路线图：家→面包店→水果店→超市→凉菜店→露营基地； 素材二 行动路线近似看成东西走向，规定向东为正，向西为负，小智一家按该路线的行走里程（单位：km）如下：－2，＋4，＋3，－6，－14； 素材三 网约车计费标准：起步价（不超过3km）车费8元，超过3km时，超出部分每千米加价2元，原价消费满12元赠送一张7折优惠券和一张6折优惠券（每张优惠券只能使用一次，且每次只能使用一张优惠券）． 问题解决 问题1 露营基地在小智家的哪个方向？距离小智家有多少千米？ 问题2 小智从超市乘坐网约车去凉菜店，买完东西后，又乘坐另一辆网约车前往露营基地．这个过程中，小智先使用7折优惠券，后使用6折优惠券，他一共付了多少元的车费？ 6.计算： （1）（）×（－24）； （2）－14＋16÷（－2）3×|－3－1|． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.若|a－2|＝|a|＋|－2|，则a为（　　） A．非负数 B．非正数 C．正数 D．负数 2.有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①b－a＞0；②|a|＜|b|；③a＋b＞0；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 3.已知a•b≠0，则的值为　 　 ． 4.如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是0＋2＋（－5）＝－3． （1）点A从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是　 　 ； （2）点B从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点C从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点B运动到－3.5所在点的位置时，求B，C两点之间的距离； （3）点M从表示－5的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度…依次操作2026次后，求点M表示的数． 5.如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为－8，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm． （1）在图1的数轴上，AC＝　 　 个单位长度（AC表示点A到点C的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的　 　 cm；点B所对应的数b为　 　 ； （2）若Q是数轴上一点，且满足点A到点Q的距离是点A到点B距离的2倍，求点Q所对应的数． 6.已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，x是到原点的距离为3的数且x＞0，|y|＝5且y＜0． （1）a＋b＝　 　 ，cd＝　 　 ，x＝　 　 ，y＝　 　 ； （2）求3x－cd＋2（a＋b）－y2的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如果在一类数中任取两个进行某种运算（除法运算时除数不为0），结果仍然是这类数，我们就说这类数对这种运算封闭，否则就不封闭．例如，整数2，3的商是，因为不是整数，所以整数对除法运算不封闭．下列结论：①整数对乘法运算封闭；②正数对加法、乘法运算都封闭；③有理数对四则运算都封闭．其中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 2.【新知理解】 点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段AB的长度为6，点C在AB上，AC的长度为2，则点C是线段AB的其中一个“优点”． （1）若点C为图1中线段AB的“优点”，且AC＝3（AC＜BC），则AB＝ 　 　 ； （2）若点D也是图1中线段AB的“优点”（不同于点C），则AC　 　 BD（填“＞”“＜”或“＝”）； 【解决问题】 如图2，数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4； （3）若M点在N点的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，则线段MN的长为 　 　 ； （4）若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，则点G表示的数为 　 　 ． 3.在一张长方形纸条上画一条数轴，我们定义：点M，N为数轴上任意两点，若折叠纸条使点M与点N刚好重合，折痕与数轴的交点为点Q，我们称点Q为点M和点N的“折点”． 例如：若折叠纸条，使数轴上表示－2的点M与表示2的点N重合，则原点为点M和点N的“折点”． 如图2，数轴上依次有三点A，B，C，它们在数轴上表示的数依次为－1，3，5． （1）若将数轴折叠，使A，C两点重合，则点A和点C的“折点”表示的数是 　 　 ，此时与点B重合的点表示的数是 　 　 ； （2）若线段BC以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，运动时间为t秒． 当t为何值时，A，B，C三个点中，恰好一点为另外两点的“折点”？ 4.已知数轴上两点A、B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2．对于在数轴一点M（不与点A、点B重合），若线段AM与BM的长度之比为m，则称M叫做点A、B的“m倍伴随点”，记作r（M）＝m． 例如，图1所示：若点O是线段AB的中点时，有AO＝BO，则称点O为点A、B的“1倍伴随点”，记作r（O）＝1． 请根据上述规定回答下列问题： （1）已知，如图2，点M1，M2，M3为数轴上三个点，点M1表示的数是． ①r（M1）＝　 　 ； ②比较r（M1）、r（M2）与r（M3）的大小 　 （用“＜”连接）； （2）已知点C是数轴上点A、B的“3倍伴随点”，请你直接写出点C表示的数为 　 　 ； （3）已知数轴上三点D，E，F，点E、F分别为AD、BD的中点，满足EB+FA＝8，且此时点D是点A、B的“d倍伴随点”，求d的值及点D表示的数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $