专题05 平面图形的初步认识（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学期末复习讲义通过表格梳理核心考点与知识框架图呈现知识脉络，系统整合线段与角计算、相交线性质、平行线判定与性质、多边形内角外角等内容，突出重难点分布及内在逻辑联系，帮助学生构建完整知识体系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，如“平行线拐点模型”专题提供过拐点作平行线的辅助线模板，培养几何直观与推理意识，基础通关练夯实基础，重难突破练提升能力，综合拓展练发展创新思维，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题05 平面图形的初步认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 线段与角度的计算 能运用线段中点、角平分线的定义，结合方程思想解决线段、角度的和、差、倍、分计算问题。 期末填空、解答的基础高频考点。关键在于用几何语言（如“∵…是…中点，∴…”）表述推理过程，易错在漏解（无图多解情况）。 相交线的性质应用 能熟练识别对顶角、邻补角，并利用其性质（对顶角相等、邻补角互补）计算角度；能用“垂线段最短”解决最短路径问题。 常作为复杂图形中的“第一步”计算。邻补角与补角概念易混淆；垂线段最短常与实际问题（如点到直线距离）结合考查。 平行线的判定与性质 能在复杂图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角，并据此判定两直线平行或利用平行线性质求角。 期末几何部分的绝对核心与压轴重点。难点在于“由角定线”（判定）和“由线定角”（性质）的灵活切换，以及添加辅助线构造“三线八角”。 多边形的内角、外角及对角线 能应用多边形内角和公式（(n-2)×180°）、外角和恒等于360°进行边数、角度的计算与推理。 公式应用是基础，常考利用外角和求正多边形边数，或结合方程思想求内角。对角线公式常作为规律探究的载体。 知识点01 线段、射线、直线与角 1.基本事实：（1）两点确定一条直线。 （2）两点之间，线段最短。 2.线段中点：若点M是线段AB的中点，则 AM = MB = AB，且 AB = 2AM = 2MB。 3.角的相关概念： （1）角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角。 （2）余角与补角：和为90°的两个角互余；和为180°的两个角互补。注意：互余、互补是指两个角的关系，与位置无关 ·易错点：求线段长或角度时，无图多解：如果题目没有给出图形，当涉及点在线段延长线上或角的外部时，可能存在两种情况。 知识点02 相交线 1.对顶角：有公共顶点，且两边互为反向延长线。对顶角相等。 2.邻补角：有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线。邻补角互补。 3.垂线： （1）基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。该垂线段的长度叫做点到直线的距离。 ·易错点：混淆“邻补角”与“补角”。邻补角一定是相邻的、有一条公共边的补角；补角只需满足和为180°，不一定相邻。 知识点03 平行线 1.判定（由角→线）：同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。 2.性质（由线→角）：两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。 基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 3.核心思想：“判定”用于证明平行，“性质”是利用平行来求角。使用时必须明确前提。。 ·易错点：在复杂图形中找不到或认错“三线八角”。诀窍：先找到要判断（或已知）平行的两条直线（被截线），再找出截断它们的那条第三条直线（截线），形成的角才是同位角、内错角、同旁内角。 知识点04 多边形 1.n边形内角和：(n - 2) × 180°。推导思想：从一个顶点出发画所有对角线，将多边形分割成(n-2)个三角形。 2.n边形外角和：恒等于360°。推导思想：每个内角与它的一个外角是邻补角，n个内外角总和为n×180°，减去内角和即得。 3.n边形从一个顶点出发的对角线条数：(n - 3)条。共有 条对角线。 ·易错点：计算多边形边数时，误将内角和除以180°直接作为边数。正确做法是：先除以180°，再加2。 题型一 线段与角的综合计算（无图多解、方程思想） 解｜题｜技｜巧 1.分类意识：当题目出现“直线AB上有一点C”、“射线OC在∠AOB外部”等描述时，立即警惕分类讨论。 2.数形结合：根据每种情况迅速画出草图，在图上标注已知和未知量。 3.方程建模：设未知数（如设所求线段长或角度为x），利用中点、角平分线、倍分关系、余角补角关系等，建立关于x的方程。 易｜错｜点｜拨 此类题答案经常不止一个，必须逐一画图验证解的合理性。最后用“综上”总结所有情况。 【典例1】 已知直线MN，从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在直线MN上，并记为点A，该锐角的两边分别记为射线AB，射线AC，且字母A，B，C按顺时针方向排列（射线AB，AC不与直线MN重合）．作射线AD平分∠MAB，射线AE平分∠NAC． （1）如图1，若∠BAC＝45°，∠MAD＝45°，则∠NAE＝ 　 　 °； （2）如图2，若∠DAE＝120°，且∠MAD与∠CAE互余，求∠NAE的度数； （3）将三角尺绕点A旋转，使得射线AD，AE都在直线MN的下方，直接写出∠DAE的度数的所有可能值． 【变式1】已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解． （1）求k的值； （2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是直线AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长． 【变式2】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°且DC＝BC，那么四边形ABCD就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 　 　 个． 题型二 平行线中的“拐点”模型 答｜题｜模｜板 当平行线被折线所截，出现“拐点”时，辅助线做法和结论是固定的。 1.识别模型： （1）拐点在平行线内部。结论：∠B = ∠A + ∠C（过拐点作平行线）。 （2）多个拐点在同侧。结论：所有朝同一方向的角之和相等。 （3）拐点交错。结论：左侧各角之和 = 右侧各角之和。 2.通用解法——过拐点作平行线：这是破解所有平行线拐点问题的金钥匙。通过添加这条辅助线，将原图形分解为两组或更多组基本的“三线八角”结构。 3.推导结论：利用平行线的性质，将分散的角转移到同一条“传送线”上，建立它们之间的关系。 【典例1】探究题： 已知：AB∥CD． （1）如图1，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （2）如图2，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （3）如图3，点E在AB与CD之外，此时∠A、∠C与∠E又有什么关系？直接写出结论． （4）如图4，∠E+∠G与∠A+∠F+∠C之间有何关系？直接写出结论． 【典例2】如图，已知直线AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点G在直线AB，CD内部，且∠AEG＝30°，∠CFG＝45°． （1）求∠EGF的度数． （2）如图2，射线EG绕点E以每秒5°的速度逆时针旋转，交直线CD于点P，设运动时间为t秒（0＜t＜30）．当t＝21时，试探究EP与GF的位置关系，并说明理由． （3）在（2）中，射线FG绕点F同时以每秒10°的速度顺时针旋转得到射线FQ．当FQ∥EP时，请直接写出t的值． 【变式1】如图，平行线AB，CD被直线EF所截，过点B作BG⊥EF于点G，已知∠1＝40°，则∠ABG的度数为（　　） A．50° B．30° C．20° D．40° 【变式2】如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为 E3，…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．若∠En＝1°，那∠BEC等于 　 °． 题型三 多边形角度计算与边数推理（与方程、不等式结合） 答｜题｜模｜板 1.公式正向应用：已知边数n，直接代入内角和公式求内角和，或求正多边形每个内角。 2.公式逆向应用（求边数n）： （1）已知内角和：解方程 (n-2)×180° = 已知和。 （2）已知一个内角度数α：解方程 α = [(n-2)×180°] / n，或利用其外角(180°-α)，结合外角和360°列式：n = 360° / (180° - α)。 （3）已知内角范围（如最多有多少个锐角）：利用“外角为钝角则对应内角为锐角”及外角和为360°进行不等式估算。 3.正多边形拼接问题：围绕一点拼成360°，实质是求正多边形一个内角的倍数等于360°。 【典例1】一个多边形的内角和是外角和的四倍，则这个多边形的边数为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【典例2】观察下面图形，解答下列问题． （1）在图4中，画出缺少的一条对角线． （2）观察规律，把下表填写完整． 边数 3 4 5 6 7 … n 对角线条数 0 2 5 　 　 　 　 … 　 　 （3）若n边形的对角线的条数为35条，求n的值，并写出这个多边形的内角和． 【变式1】若某多边形从一个顶点可分出6个三角形，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【变式2】若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1＝65°，∠2＝40°，则∠DBC＝（　　） A．45° B．35° C．25° D．15° 2.如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图2中，∠EAC的大小是（　　） A．36° B．54° C．72° D．108° 3.将边长相等的正五边形和正六边形如图放置，且顶点A，B，M在同一条直线上，则∠BMN的度数为　 　 ． 4.线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程： （1）课上，老师提出问题：如图①，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段AO、BO的中点，当AB＝16时，求线段CD的长度．下面是小泽根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 未知线段 已知线段 …… 因为C，D分别是线段AO、BO的中点， 所以CD＝CO+DO， ， ， 因为AB＝16， 所以CD＝ 　 　 ， 线段中点的定义 线段的和、差 等式的性质 （2）小泽举一反三，发现有些角度的计算也可以用相似的方法进行转化如图②，已知∠AOC＝80°，OB是角内部的一条射线，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线．求∠DOE的度数．请同学们尝试解决该问题． （3）同组的小丽同学很善于思考，她提出新的问题：如果（2）中其他条件不变，将射线OB绕点O旋转到∠AOC的外部，则∠DOE的度数是 　 　 ． 5.（1）正十二边形每一个内角是多少度？ （2）一个多边形的内角和等于1800°，它是几边形？ 6.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，G是AC边上一点，过点G作GF∥CD交AB于点F，E是BC边上一点，连接DE，∠1+∠2＝180°． （1）判断AC与DE是否平行，并说明理由． （2）若DE平分∠BDC，∠B＝80°，∠DEC＝3∠A+20°，求∠ACD的度数． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.一个多边形共有20条对角线，设这个多边形的边数为n，下列结论错误的是（　　） A．过多边形的一个顶点的对角线有（n﹣3）条 B．用n表示多边形对角线的总条数为n（n﹣3） C．依题意可得方程 D．n＝8 2.小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CB，∠BAE＝85°，∠DCE＝125°，则∠AEC的度数是（　　） A．28° B．30° C．40° D．35° 3.如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长　 　 ．（填“大”或“小”） 4.如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝　 　 ． 5.已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）． （1）用含t的代数式表示∠MOA的度数． （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 6.阅读小明和小红的对话，解决下列问题 我把一个多边形的各内角相加，得到的和为1520°． 多边形的内角和不可能是1520°，我看了你的过程，你多加了一个外角． （1）通过列方程说明“多边形的内角和不可能是1520°”的理由； （2）求该多边形的内角和； 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，点G、C、D共线，点B、E、A、F共线，∠BAC＝40°，∠1＝∠2，则下列结论：①CB⊥CF；②∠1＝70°；③∠3＝2∠4；④∠ACE＝2∠4．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2.汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小圳固定镜面BC，将镜面BA绕点B逆时针转动（30°＜∠ABC＜180°），在光源P处发出的一束光射到水平镜面BC后沿DM反射到镜面AB上，随后沿MN反射出去．已知∠PDC＝28°，当反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线的夹角为60°时，∠ABC＝ 　 　 度． 3.在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板． （1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠1＝27°，求∠2的度数； （2）如图2，过点E作CD∥AB，若HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，求∠EHG的度数； （3）将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面图形的初步认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 线段与角度的计算 能运用线段中点、角平分线的定义，结合方程思想解决线段、角度的和、差、倍、分计算问题。 期末填空、解答的基础高频考点。关键在于用几何语言（如“∵…是…中点，∴…”）表述推理过程，易错在漏解（无图多解情况）。 相交线的性质应用 能熟练识别对顶角、邻补角，并利用其性质（对顶角相等、邻补角互补）计算角度；能用“垂线段最短”解决最短路径问题。 常作为复杂图形中的“第一步”计算。邻补角与补角概念易混淆；垂线段最短常与实际问题（如点到直线距离）结合考查。 平行线的判定与性质 能在复杂图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角，并据此判定两直线平行或利用平行线性质求角。 期末几何部分的绝对核心与压轴重点。难点在于“由角定线”（判定）和“由线定角”（性质）的灵活切换，以及添加辅助线构造“三线八角”。 多边形的内角、外角及对角线 能应用多边形内角和公式（(n-2)×180°）、外角和恒等于360°进行边数、角度的计算与推理。 公式应用是基础，常考利用外角和求正多边形边数，或结合方程思想求内角。对角线公式常作为规律探究的载体。 知识点01 线段、射线、直线与角 1.基本事实：（1）两点确定一条直线。 （2）两点之间，线段最短。 2.线段中点：若点M是线段AB的中点，则 AM = MB = AB，且 AB = 2AM = 2MB。 3.角的相关概念： （1）角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角。 （2）余角与补角：和为90°的两个角互余；和为180°的两个角互补。注意：互余、互补是指两个角的关系，与位置无关 ·易错点：求线段长或角度时，无图多解：如果题目没有给出图形，当涉及点在线段延长线上或角的外部时，可能存在两种情况。 知识点02 相交线 1.对顶角：有公共顶点，且两边互为反向延长线。对顶角相等。 2.邻补角：有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线。邻补角互补。 3.垂线： （1）基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。该垂线段的长度叫做点到直线的距离。 ·易错点：混淆“邻补角”与“补角”。邻补角一定是相邻的、有一条公共边的补角；补角只需满足和为180°，不一定相邻。 知识点03 平行线 1.判定（由角→线）：同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。 2.性质（由线→角）：两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。 基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 3.核心思想：“判定”用于证明平行，“性质”是利用平行来求角。使用时必须明确前提。。 ·易错点：在复杂图形中找不到或认错“三线八角”。诀窍：先找到要判断（或已知）平行的两条直线（被截线），再找出截断它们的那条第三条直线（截线），形成的角才是同位角、内错角、同旁内角。 知识点04 多边形 1.n边形内角和：(n - 2) × 180°。推导思想：从一个顶点出发画所有对角线，将多边形分割成(n-2)个三角形。 2.n边形外角和：恒等于360°。推导思想：每个内角与它的一个外角是邻补角，n个内外角总和为n×180°，减去内角和即得。 3.n边形从一个顶点出发的对角线条数：(n - 3)条。共有 条对角线。 ·易错点：计算多边形边数时，误将内角和除以180°直接作为边数。正确做法是：先除以180°，再加2。 题型一 线段与角的综合计算（无图多解、方程思想） 解｜题｜技｜巧 1.分类意识：当题目出现“直线AB上有一点C”、“射线OC在∠AOB外部”等描述时，立即警惕分类讨论。 2.数形结合：根据每种情况迅速画出草图，在图上标注已知和未知量。 3.方程建模：设未知数（如设所求线段长或角度为x），利用中点、角平分线、倍分关系、余角补角关系等，建立关于x的方程。 易｜错｜点｜拨 此类题答案经常不止一个，必须逐一画图验证解的合理性。最后用“综上”总结所有情况。 【典例1】 已知直线MN，从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在直线MN上，并记为点A，该锐角的两边分别记为射线AB，射线AC，且字母A，B，C按顺时针方向排列（射线AB，AC不与直线MN重合）．作射线AD平分∠MAB，射线AE平分∠NAC． （1）如图1，若∠BAC＝45°，∠MAD＝45°，则∠NAE＝ 　 　 °； （2）如图2，若∠DAE＝120°，且∠MAD与∠CAE互余，求∠NAE的度数； （3）将三角尺绕点A旋转，使得射线AD，AE都在直线MN的下方，直接写出∠DAE的度数的所有可能值． 【解答】解：（1）∵AD平分∠MAB， ∴∠MAB＝2∠MAD＝2×45°＝90°， ∴∠CAN＝180°﹣∠MAB﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵AE平分∠NAC， ∴∠NAE， 故答案为：22.5； （2）∵∠MAD与∠CAE互余， ∴∠MAD+∠CAE＝90°， ∵AD平分∠MAB， ∴∠MAD＝∠BAD， ∵AE平分∠NAC， ∴∠NAE＝∠CAE， ∴∠BAD+∠NAE＝∠MAD+∠CAE＝90°， ∴∠BAN＝∠DAE﹣（∠DAB+∠NAE）＝120°﹣90°＝30°， ∴∠MAB+∠NAC＝2∠MAD+2∠CAE＝2（∠MAD+∠CAE）＝2×90°＝180°， ∵∠MAB+∠BAN＝180°， ∴∠BAN＝∠NAC， ∵∠BAN＝30°， ∴∠NAC＝30°， ∴∠NAE， ∴∠NAE＝15°； （3）∵射线AD，AE都在直线MN的下方， ∴AB，AC也在MN下方， ∵AD平分∠BAM， ∴∠MAD＝∠BAD， ∵AE平分∠NAC， ∴∠NAE＝∠CAE， ∴∠MAD+∠NAE， ∴， 同（2）可知：∠BAC＝30°或45°或60°， 当∠BAC＝30°时，∠DAE＝90°﹣15°＝75°； 当∠BAC＝45°时，∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°； 当∠BAC＝60°时，∠DAE＝90°﹣30°＝60°； ∴∠DAE为75°或67.5°或60°． 【变式1】已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解． （1）求k的值； （2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是直线AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长． 【解答】解：（1）把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k， 解得：k＝2； （2）当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm， ∴AC＝2cm，BC＝4cm， 当C在线段AB上时，如图1， ∵D为AC的中点， ∴CDAC＝1cm； 当C在BA的延长线时，如图2， ∵BC＝2AC，AB＝6cm， ∴AC＝6cm， ∵D为AC的中点， ∴CDAC＝3cm， 即CD的长为1cm或3cm． 【变式2】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°且DC＝BC，那么四边形ABCD就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 　 　 个． 【解答】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知， 所有符合条件的点D共有3个，即图形中的D1，D2，D3， 题型二 平行线中的“拐点”模型 答｜题｜模｜板 当平行线被折线所截，出现“拐点”时，辅助线做法和结论是固定的。 1.识别模型： （1）拐点在平行线内部。结论：∠B = ∠A + ∠C（过拐点作平行线）。 （2）多个拐点在同侧。结论：所有朝同一方向的角之和相等。 （3）拐点交错。结论：左侧各角之和 = 右侧各角之和。 2.通用解法——过拐点作平行线：这是破解所有平行线拐点问题的金钥匙。通过添加这条辅助线，将原图形分解为两组或更多组基本的“三线八角”结构。 3.推导结论：利用平行线的性质，将分散的角转移到同一条“传送线”上，建立它们之间的关系。 【典例1】探究题： 已知：AB∥CD． （1）如图1，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （2）如图2，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （3）如图3，点E在AB与CD之外，此时∠A、∠C与∠E又有什么关系？直接写出结论． （4）如图4，∠E+∠G与∠A+∠F+∠C之间有何关系？直接写出结论． 【解答】解：（1）∠A+∠C＝∠AEC，理由如下： 过点E作EF∥AB， ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴EF∥CD，∠A＝∠AEF， ∴∠C＝∠CEF， ∴∠A+∠C＝∠AEF+∠CEF， ∴∠A+∠C＝∠AEC； （2）∠A+∠C+∠AEC＝360°，理由如下： 过点E作EF∥AB， ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴EF∥CD，∠A+∠AEF＝180°， ∴∠C+∠CEF＝180°， ∴∠A+∠C+∠AEF+∠CEF＝360°， ∴∠A+∠C+∠AEC＝360°； （3）∠A＝∠C+∠E，理由如下： 如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DME． ∵∠DME＝∠C+∠E， ∴∠A＝∠C+∠E； （4）∠A+∠EFG+∠C＝∠E+∠G，理由如下： 过点F作FH∥AB， 由（1）知， ∠A+∠EFH＝∠E，∠HFG+∠C＝∠G， ∴∠A+∠EFH+∠HFG+∠C＝∠E+∠G， ∴∠A+∠EFG+∠C＝∠E+∠G． 【典例2】如图，已知直线AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点G在直线AB，CD内部，且∠AEG＝30°，∠CFG＝45°． （1）求∠EGF的度数． （2）如图2，射线EG绕点E以每秒5°的速度逆时针旋转，交直线CD于点P，设运动时间为t秒（0＜t＜30）．当t＝21时，试探究EP与GF的位置关系，并说明理由． （3）在（2）中，射线FG绕点F同时以每秒10°的速度顺时针旋转得到射线FQ．当FQ∥EP时，请直接写出t的值． 【解答】解：（1）如图所示，过点G作HG∥AB ∵AB∥CD， ∴GH∥CD， ∵∠AEG＝30°，∠CFG＝45°． ∴∠EGH＝∠AEG＝30°，∠HGF＝∠CFG＝45°， ∴∠EGF＝30°+45°＝75°； （2）EP∥GF，理由如下， ∵射线EG绕点E以每秒5°的速度逆时针旋转，t＝21， ∴∠GEP＝21×5°＝105°， ∴∠AEP＝30°+105°＝135°， ∴∠BEP＝45， ∵AB∥CD， ∴∠CPE＝∠BEP＝45°， 又∵∠GFC＝45°， ∴EP∥GF； （3）如图所示，当射线FG绕点F旋转小于180°时， ∵∠GFQ＝10t°，∠GEP＝5t°，∠AEG＝30°，∠CFG＝45°， ∴∠AEP＝（30+5t）°，∠CFQ＝（45+10t）°， ∵AB∥CD， ∴∠AEP＝∠EPD， 又∵EP∥FQ， ∴∠EPF+∠CFQ＝180°， ∴30+5t+45+10t＝180， 解得：t＝7， 如图所示，当射线FG绕点F旋转大于180°时， ∵∠GFQ＝10t°＞180°，∠GEP＝5t°，∠AEG＝30°，∠CFG＝45°， ∴∠AEP＝（30+5t）°，∠CFQ＝360°﹣（45+10t）°＝（315﹣10t）°， ∵AB∥CD，EP∥FQ， ∴∠AEP+∠CPE＝180°，∠EPC＝∠PFQ， 又∠CFQ+∠PFQ＝180°， ∴∠CFQ＝∠AEP， ∴30+5t＝315﹣10t， 解得：t＝19， 综上可知，t的值为7或19． 【变式1】如图，平行线AB，CD被直线EF所截，过点B作BG⊥EF于点G，已知∠1＝40°，则∠ABG的度数为（　　） A．50° B．30° C．20° D．40° 【解答】解：延长BG，交CD于H， ∵∠1＝40°， ∴∠2＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠ABG＝∠BHD， ∵BG⊥EF， ∴∠FGH＝90°， ∴∠ABG＝∠BHD＝90°﹣∠2 ＝90°﹣40° ＝50°． 故选：A． 【变式2】如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为 E3，…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．若∠En＝1°，那∠BEC等于 　 °． 【解答】解：如图①，过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B＝∠1，∠C＝∠2， ∵∠BEC＝∠1+∠2， ∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE； 如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1， ∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC． ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2， ∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC； 如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， ∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3∠ABE2∠DCE2∠CE2B∠BEC； … 以此类推，∠En∠BEC． ∴当∠En＝1°时，∠BEC等于（2n）°． 故答案为：2n． 题型三 多边形角度计算与边数推理（与方程、不等式结合） 答｜题｜模｜板 1.公式正向应用：已知边数n，直接代入内角和公式求内角和，或求正多边形每个内角。 2.公式逆向应用（求边数n）： （1）已知内角和：解方程 (n-2)×180° = 已知和。 （2）已知一个内角度数α：解方程 α = [(n-2)×180°] / n，或利用其外角(180°-α)，结合外角和360°列式：n = 360° / (180° - α)。 （3）已知内角范围（如最多有多少个锐角）：利用“外角为钝角则对应内角为锐角”及外角和为360°进行不等式估算。 3.正多边形拼接问题：围绕一点拼成360°，实质是求正多边形一个内角的倍数等于360°。 【典例1】一个多边形的内角和是外角和的四倍，则这个多边形的边数为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【解答】解：一个多边形的内角和是外角和的四倍， 设该多边形的边数是n， 由题意可得：（n﹣2）•180°＝4×360°， 解得：n＝10， 故选：B． 【典例2】观察下面图形，解答下列问题． （1）在图4中，画出缺少的一条对角线． （2）观察规律，把下表填写完整． 边数 3 4 5 6 7 … n 对角线条数 0 2 5 　 　 　 　 … 　 　 （3）若n边形的对角线的条数为35条，求n的值，并写出这个多边形的内角和． 【解答】解：（1）由多边形对角线的定义，在图4中，画出缺少的一条对角线如图所示（答案不唯一）： （2）六边形的对角线的总条数为9（条）， 七边形的对角线的总条数为14（条）， n边形的对角线的总条数为（条）， 填写的表格如下： 故答案为：； （3）由（2）可知，， 解得n1＝10，n2＝﹣7（舍去）， ∴n＝10， 即这个多边形为十边形， ∴十边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°． 【变式1】若某多边形从一个顶点可分出6个三角形，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【解答】解：设这个多边形是n边形， 依题意得：n﹣2＝6， 解得：n＝8， ∴这个多边形是八边形． 故选：C． 【变式2】若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16 【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…An， 若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1， 若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等， 若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1， 因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15， 故选：C． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1＝65°，∠2＝40°，则∠DBC＝（　　） A．45° B．35° C．25° D．15° 【解答】解：∵MN∥EF，∠1＝65°， ∴∠MBC＝∠1＝65°， ∵∠2＝40°， ∴∠MBD＝∠2＝40°， ∴∠DBC＝∠MBC﹣∠MBD＝25°． 故选：C． 2.如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图2中，∠EAC的大小是（　　） A．36° B．54° C．72° D．108° 【解答】解：由条件可知， ∵AB＝BC， ∴， ∴∠EAC＝108°﹣36°＝72°， 故选：C． 3.将边长相等的正五边形和正六边形如图放置，且顶点A，B，M在同一条直线上，则∠BMN的度数为　 　 ． 【解答】解：如图， 由题意得，，， ∴∠TBM＝60°， ∴∠TMB＝60°， ∴∠BMN＝∠TMB+∠TMN＝168°， 故答案为：168°． 4.线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程： （1）课上，老师提出问题：如图①，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段AO、BO的中点，当AB＝16时，求线段CD的长度．下面是小泽根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 未知线段 已知线段 …… 因为C，D分别是线段AO、BO的中点， 所以CD＝CO+DO， ， ， 因为AB＝16， 所以CD＝ 　 　 ， 线段中点的定义 线段的和、差 等式的性质 （2）小泽举一反三，发现有些角度的计算也可以用相似的方法进行转化如图②，已知∠AOC＝80°，OB是角内部的一条射线，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线．求∠DOE的度数．请同学们尝试解决该问题． （3）同组的小丽同学很善于思考，她提出新的问题：如果（2）中其他条件不变，将射线OB绕点O旋转到∠AOC的外部，则∠DOE的度数是 　 　 ． 【解答】解：（1）∵C，D分别是线段AO、BO的中点， ∴CD＝CO+DO， ， ， ∵AB＝16， ∴CD＝8， 故答案为：BO，AB，8； （2）∵OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线， ∴，， ∴∠DOE＝∠DOB+∠EOB ， ∵∠AOC＝80°， ∴； （3）∵OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线，∠AOC＝80°， ∴，， 分三种情况： 第一种情况：如图1， ∠DOE＝∠EOB﹣∠DOB ＝40°； 第二种情况，如图2， 同理可得：； 第三种情况，如图3， ∠DOE＝∠DOB+∠EOB ＝140°， 综上：∠DOE的度数是40°或140°． 5.（1）正十二边形每一个内角是多少度？ （2）一个多边形的内角和等于1800°，它是几边形？ 【解答】解：（1）正十二边形的每个外角的度数是：30°， 则正十二边形每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°； （2）设多边形的边数是n，则 （n﹣2）•180＝1800， 解得n＝12． 所以它是十二边形． 6.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，G是AC边上一点，过点G作GF∥CD交AB于点F，E是BC边上一点，连接DE，∠1+∠2＝180°． （1）判断AC与DE是否平行，并说明理由． （2）若DE平分∠BDC，∠B＝80°，∠DEC＝3∠A+20°，求∠ACD的度数． 【解答】解：（1）AC∥DE，理由如下： ∵FG∥CD， ∴∠1+∠ACD＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠ACD＝∠2， ∴AC∥DE． （2）设∠A＝x°， ∵AC∥DE， ∴∠A＝∠EDB＝x°， ∵∠CED＝3∠A+20°， ∴∠CED＝3x°+20°， 又∵∠B＝80°， ∴x+80＝3x+20， 解得x＝30， 又∵DE平分∠BDC， ∴∠2＝∠BDE＝30°， 又∵AC∥DE， ∴∠ACD＝∠2＝30°． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.一个多边形共有20条对角线，设这个多边形的边数为n，下列结论错误的是（　　） A．过多边形的一个顶点的对角线有（n﹣3）条 B．用n表示多边形对角线的总条数为n（n﹣3） C．依题意可得方程 D．n＝8 【解答】解：A、过多边形的一个顶点的对角线有（n﹣3）条，正确，不符合题意； B、用n表示多边形对角线的总条数为，错误，符合题意； C、依题意可得方程，正确，不符合题意； D、解C选项中的方程可得n＝8，正确，不符合题意； 故选：B． 2.小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CB，∠BAE＝85°，∠DCE＝125°，则∠AEC的度数是（　　） A．28° B．30° C．40° D．35° 【解答】解：延长DC，交AE于点M，如图所示． ∴AB∥CD， ∴∠CME＝∠BAE＝85°， ∵∠DCE＝125°， ∴∠ECM＝180°﹣125°＝55°， ∴∠AEC＝180°﹣∠ECM﹣∠CME＝180°﹣55°﹣85°＝40°． 故选：C． 3.如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长　 　 ．（填“大”或“小”） 【解答】解：由条件可知两个正多边形的周长差＝AB+BC+CD+DE+EA﹣（AB+BC+CD+DG+GF+FA）＝GE+EF﹣FG， 由GE+EF＞FG，得GE+EF﹣FG＞0， 得AB+BC+CD+DE+EA＞（AB+BC+CD+DG+GF+FA）， 该六边形的周长一定比原五边形的周长小． 故答案为：小． 4.如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝　 　 ． 【解答】解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°， ∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°， 分三种情况： 如图①，AB与CD在EF的两侧时， ∠ACD＝120°﹣（3t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC， 即120°﹣（3t）°＝110°﹣t°， 解得t＝5； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧时， ∠DCF＝360°﹣（3t）°﹣60°＝300°﹣（3t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即300°﹣（3t）°＝110°﹣t°， 解得t＝95； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧时， ∠DCF＝（3t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（3t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即（3t）°﹣300°＝t°﹣110°， 解得t＝95， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行． 故答案为：5秒或95秒． 5.已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）． （1）用含t的代数式表示∠MOA的度数． （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∠MOA＝2t°； （2）如图， 根据题意知：∠AOM＝2t°，∠BON＝4t°， 当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°， 即2t+4t﹣180＝60，解得：t＝40， 故t＝40秒时，∠AOB第二次达到60°； （3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况： ①OB平分∠AOM时，∵∠AOM＝∠BOM， ∴t＝180﹣4t， 解得：t＝36； ②OB平分∠MON时，∵∠BOM∠MON，即∠BOM＝90°， ∴4t＝90，或4t﹣180＝90， 解得：t＝22.5，或t＝67.5； ③OB平分∠AON时，∵∠BON∠AON， ∴4t（180﹣2t）， 解得：t＝18； 综上，当t的值分别为18、22.5、36、67.5秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线． 6.阅读小明和小红的对话，解决下列问题 我把一个多边形的各内角相加，得到的和为1520°． 多边形的内角和不可能是1520°，我看了你的过程，你多加了一个外角． （1）通过列方程说明“多边形的内角和不可能是1520°”的理由； （2）求该多边形的内角和； 【解答】解：（1）理由：设多边形的边数为n． 180°（n﹣2）＝1520°， 解得．n为正整数， ∴多边形内角和不可能为1520°； （2）设一个外角为α，根据题意可得（n﹣2）•180°+α＝1520° α＝1520°﹣（n﹣2）•180°， ∵0＜α＜180°， ∴0＜1520°﹣（n﹣2）•180°＜180°， 解得：n＜10， 该多边形的边数为10， ∴（10﹣2）×180°＝1440°， 故该多边形的内角和为1440°． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，点G、C、D共线，点B、E、A、F共线，∠BAC＝40°，∠1＝∠2，则下列结论：①CB⊥CF；②∠1＝70°；③∠3＝2∠4；④∠ACE＝2∠4．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【解答】解：∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG， ∴， ∵∠ACD+∠ACG＝180°， ∴， ∴CB⊥CF，①正确； ∵CD∥AB，∠BAC＝40°＝∠AFC+∠ACF， ∴∠AFC＝∠4＝∠ACF＝20°，∠BCD＝∠2， ∴∠BCD＝90°﹣∠4＝70°＝∠2， ∴∠1＝∠2＝70°，②正确； ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝40°， ∴∠3＝2∠4，③正确； ∵∠1＝∠BAC+∠ACE， ∴∠ACE＝∠1﹣∠BAC＝30°≠2∠4，④错误； 故选：A． 2.汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小圳固定镜面BC，将镜面BA绕点B逆时针转动（30°＜∠ABC＜180°），在光源P处发出的一束光射到水平镜面BC后沿DM反射到镜面AB上，随后沿MN反射出去．已知∠PDC＝28°，当反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线的夹角为60°时，∠ABC＝ 　 　 度． 【解答】解：①如图所示，∠MNB＝60°， ∵∠PDC＝28°， ∴∠BDM＝∠CDP＝28°， ∵∠MNB＝60°， ∴∠DMN＝∠BNM﹣∠BDM＝32°， ∴∠AMD＝∠BMN74°， 在△BMN中，∠ABC＝180°﹣74°﹣60°＝46°； ②如图所示，当∠ABC是钝角时，此时设反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线交点为点Q，且∠MQD＝60°， ∠BDM＝∠BDC＝28°， 设∠DMB＝∠AMN＝α，则∠BMQ＝∠AMN＝α， 在△QMD中，∠MQD+∠QMD+∠BDM＝180°， ∴2α+60+28＝180， 解得α＝46°， ∴∠ABC＝∠BMQ+∠MQD＝106°； ③如图所示，当∠ABC是钝角时，此时设反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线交点为点Q，且∠MQD＝120°， ∠BDM＝∠BDC＝28°， 设∠DMB＝∠AMN＝α，则∠BMQ＝∠AMN＝α， 在△QMD中，∠MQD+∠QMD+∠BDM＝180°， ∴2α+120+28＝180， 解得α＝16°， ∴∠ABC＝∠BMQ+∠MQD＝136°； 综上，∠ABC＝46°或106°或136°； 故答案为：46或106或136． 3.在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板． （1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠1＝27°，求∠2的度数； （2）如图2，过点E作CD∥AB，若HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，求∠EHG的度数； （3）将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）． 【解答】解：（1）如图1中， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠EGB＝27°， ∵∠2+∠FGE+∠EGB＝180°，∠FGE＝45°， ∴∠2+45°+27°＝180°， 解得∠2＝108°． （2）∵AB∥CD， ∴∠CEG+∠AGE＝180°， 又∵∠FEG+FGE＝90°， ∴∠CEF+∠FGH＝90°， ∵HE平分∠CEF，HG平分∠AGF， ∴∠HEF+∠HGF＝45°， ∴EHG＝180°﹣90°﹣45°＝45°． （3）①如图3﹣1中，当点F在直线CD的上方时，过点F作MN∥AB． ∵MN∥AB，AB∥CD， ∴MN∥CD∥AB， ∴∠AGF＝∠NFG，∠CEF＝∠NFE， ∵∠NFG﹣∠NFE＝∠GFE＝90°， ∴∠AGF﹣∠CEF＝90°． ②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC＝90°． ③当点F在直线AB的下方时，过点F作MN∥AB． ∵MN∥AB，AB∥CD， ∴MN∥CD∥AB， ∴∠AGF＝∠NFG，∠CEF＝∠NFE， ∵∠NFE﹣GFN＝∠GFE＝90°， ∴∠CEF﹣∠AGF＝90°． 综上所述，①当点F在直线CD的上方时，∠AGF﹣∠CEF＝90°．②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC＝90°．③当点F在直线AB的下方时，∠CEF﹣∠AGF＝90°． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $