专题05 走进几何世界（期末复习优选题集训 11个高频易错题型讲练 共33题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册培优讲练

该初中数学讲义以“走进几何世界”为主题，通过梳理11个高频易错题型构建知识体系，涵盖立体图形分类、展开图计算等核心内容，用题型框架图呈现点线面体关系、几何体视图等知识脉络，明确重难点分布与内在逻辑。 讲义亮点在于“易错题型分层突破”设计，如“截正方体后顶点数判断”培养空间观念与几何直观（数学眼光），“由展开图算表面积”结合文创包装盒情境训练模型意识（数学语言）。每题配典型例题与变式，基础生掌握方法，优生深化思维，助力教师实施精准复习与分层教学。

专题05 走进几何世界 （11个高频易错题型讲练 共33题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 立体图形的分类 1 易错题型2 截一个几何体 2 易错题型3 点、线、面、体四者之间的关系 2 易错题型4 平面图形旋转后所得的立体图形 3 易错题型5 由展开图计算几何体的表面积 3 易错题型6 由展开图计算几何体的体积 5 易错题型7 正方体几种展开图的识别 7 易错题型8 正方体相对两面上的字 8 易错题型9 含图案的正方体的展开图 8 易错题型10 补一个面使图形围成正方长 9 易错题型11 从不同方向看几何体 10 易错题型1 立体图形的分类 1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）图1是三棱柱和圆柱，将图1中的圆柱沿竖直方向切开后，得到图2的剩余几何体． (1)图2中的几何体与棱柱、圆柱有很多相同点，请你列举2条与棱柱或圆柱的相同点； (2)如何能求出图2中几何体的体积？请写出你的想法． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列实物：①篮球；②圆柱形笔筒；③地球仪；④课本；⑤热水瓶；⑥粉笔盒．其中形状类似棱柱的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错题型2 截一个几何体 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个正方体，用刀沿一个平面截去一个角后，所得的几何体有 个顶点． 5．（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，剩下的几何体的顶点数不可能是（   ）． A．10 B．7 C．9 D．6 6．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）用一个平面分别截下列几何体，不能得到三角形截面的几何体是（   ） A． B． C． D． 易错题型3 点、线、面、体四者之间的关系 7．（23-24七年级上·江西吉安·月考）流星划过夜空，会留下一条长长的“尾巴”，用数学知识解释这一现象： ． 8．（25-26七年级上·江西九江·期中）画家在画布上用画笔作画，用数学知识可解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 9．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 ．（用“点，线，面，点动成线，线动成面，面动成体”填空） 易错题型4 平面图形旋转后所得的立体图形 10．（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）如图所示为一张长方形纸片，长为，长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周． (1)得到的几何体是 ，这个现象用数学知识解释为 ． (2)若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留π） 11．（25-26七年级上·四川阿坝·月考）现有一个长为，宽为的长方形，将该长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到的圆柱的体积是 ．（结果保留） 12．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，在长方形中，，现将这个长方形纸片绕其一边所在直线旋转一周． (1)旋转后形成的几何体是___________； (2)求旋转后的几何体的体积．（结果保留） 易错题型5 由展开图计算几何体的表面积 13．（25-26七年级上·江西九江·期中）湖口石钟山景区“湖口有礼”文创馆以其独特的文化和创意魅力，生动诠释了“以文塑旅，以旅彰文”的深意，其文创产品都是“设计赋能”的结果，品类多样丰富，文创入手也入心．如图所示的是某个文创礼品的包装盒的表面展开图，其底面为正六边形． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸计算这个几何体的侧面积． 14．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）如图，一个底面直径6厘米的圆柱体木头，沿底面虚线处垂直切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是 平方厘米． 15．（25-26七年级上·重庆·期中）某种包装盒的展开图如图所示，边比边的三倍多2，边的长度为3分米（均不考虑包装盒的黏合处） (1)该包装盒的形状是______； (2)设的长为m分米，则边的长度为______分米，边的长度为______分米；（用含m的式子表示） (3)在（2）的条件下，若分米，现对包装盒外表涂色，每平方分米涂料的价格是元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色） 易错题型6 由展开图计算几何体的体积 16．（25-26七年级上·山东青岛·期中）【问题情境】 某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【拓展探究】 （1）如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是______（填序号）． 综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）． （2）用图①的方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为_____； （3）用图②的方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，，则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （4）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为，，，它缺一个长为，宽为的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该无盖长方体表面展开图的最大外围周长是______． 17．（25-26七年级上·陕西西安·期中）某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作收纳盒，该小组给出了两种设计，收纳盒的展开图如图1、图2所示．请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)利用图1所示的图形，制作的收纳盒形状为______； (2)哪一种收纳盒的容积更大？请根据图中所给信息计算说明． 18．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）综合与实践：制作有盖的长方体收纳盒        【所需材料】如图1所示的长方形硬纸板． 【制作方案】 第一小组：按照图2裁剪，得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盆，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． 第二小组：如图4，沿将长方形剪成两部分，将长方形折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面． 【问题解决】 (1)图3中收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________； (2)图4中棱的长为_____； (3)第三小组同学观察第一、二两个小组的设计，发现第一小组将长方形硬纸板材料经过裁剪之后制成长方体收纳盒，而第二小组利用整张长方形硬纸板制成长方体收纳盒，所以第三小组同学说：第一小组制作的长方体收纳盒比第二小组制作的长方体收纳盒的体积小，你认为这种说法是否正确？请通过计算说明理由． 易错题型7 正方体几种展开图的识别 19．（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去 号小正方形（写出一种情况即可）． 21．（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）某小组利用长为，宽为长方形纸板制作长方体盒子或正方体盒子．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：如图1，若，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒，回答下面两个问题 （1）当，时，图1中无盖长方体纸盒的底面积是__________； （2）当，时，求该无盖长方体纸盒的体积； 动手操作二：如图2，先在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，再沿虚线折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒． （3）请在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形（用阴影表示），并用虚线表示折痕； （4）如图3，当时，在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒，求的值． 易错题型8 正方体相对两面上的字 22．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面上都写有一个数，并且相对两个面上的数相等，则的值为 ． 23．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图所示是一个正方体的表面展开图，若将其折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则的值为 ． 24．（25-26七年级上·福建三明·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b，那么的值为 ． 易错题型9 含图案的正方体的展开图 25．（25-26七年级上·陕西西安·期中）将“数学核心素养”六个字分别写在如图所示的正方体盒子的六个面上，将图1盒子在桌面上向右翻滚，接着按逆时针方向旋转．若把该正方体盒子打开，得到的平面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·辽宁·期中）从四个选项中找出折叠后和已知正方体一致的图形（   ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（    ） A． B． C． D． 易错题型10 补一个面使图形围成正方长 28．（22-23六年级上·山东淄博·期末）如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 29．（22-23七年级上·吉林长春·期末）图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同． 30．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 ． 易错题型11 从不同方向看几何体 31．（23-24七年级上·贵州贵阳·月考）如图所示，由几个相同的边长为的小立方块搭成的几何体． (1)请在下面方格纸中分别画出这个几何体从正面和左面看到的形状图． (2)这个几何体的表面积（包括底面）为______平方单位． 32．（25-26七年级上·山西运城·期中）如图是由9个大小相同的小立方块搭成的几何体．请按要求在方格内分别画出这个几何体从三个不同方向看到的形状图． 33．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，这是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，请在方格内分别画出从三个不同方向看到的这个几何体的形状图． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 走进几何世界 （11个高频易错题型讲练 共33题 新教材） 【解析版】 易错题型1 立体图形的分类 1 易错题型2 截一个几何体 3 易错题型3 点、线、面、体四者之间的关系 4 易错题型4 平面图形旋转后所得的立体图形 5 易错题型5 由展开图计算几何体的表面积 7 易错题型6 由展开图计算几何体的体积 9 易错题型7 正方体几种展开图的识别 13 易错题型8 正方体相对两面上的字 15 易错题型9 含图案的正方体的展开图 17 易错题型10 补一个面使图形围成正方长 18 易错题型11 从不同方向看几何体 20 易错题型1 立体图形的分类 1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥， ⑦， ③ (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面 【思路点拨】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【规范解答】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）图1是三棱柱和圆柱，将图1中的圆柱沿竖直方向切开后，得到图2的剩余几何体． (1)图2中的几何体与棱柱、圆柱有很多相同点，请你列举2条与棱柱或圆柱的相同点； (2)如何能求出图2中几何体的体积？请写出你的想法． 【答案】(1)1、上下底面相同；2、它们的体积都等于底面积乘以高（答案不唯一） (2)见解析 【思路点拨】本题考查了圆柱和棱柱，熟知圆柱和棱柱的特征是解题的关键． （1）根据与圆柱和棱柱相同点，写出两条即可； （2）可以将该几何体放入盛满水的容器里，测量溢出的水的体积，即可得到几何体的体积． 【规范解答】（1）解：图2中的几何体与棱柱、圆柱的相同点：1、上下底面相同；2、它们的体积都等于底面积乘以高； （2）解：可以将该几何体放入盛满水的容器里，测量溢出的水的质量，求出溢出水的体积即为该几何体的体积． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列实物：①篮球；②圆柱形笔筒；③地球仪；④课本；⑤热水瓶；⑥粉笔盒．其中形状类似棱柱的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】此题考查棱柱的定义，熟记定义并正确识别各种物体的形状是解题的关键． 棱柱有两个平行且全等的多边形底面，侧面是矩形，据此判断即可． 【规范解答】解：∵①篮球是球体，不符合棱柱特征；②圆柱形笔筒是圆柱体，底面是圆，侧面是曲面，不符合棱柱特征；③地球仪是球体，不符合棱柱特征；④课本是长方体，底面是矩形，侧面是矩形，符合棱柱特征；⑤热水瓶是圆柱体，不符合棱柱特征；⑥粉笔盒是长方体，符合棱柱特征． ∴类似棱柱的有④和⑥，共2个． 故选B 易错题型2 截一个几何体 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个正方体，用刀沿一个平面截去一个角后，所得的几何体有 个顶点． 【答案】7或8或9或10 【思路点拨】本题主要考查了截一个几何体，可分图1，图2，图3，图4四种情况，分别计算出对应的顶点数即可；正确理解题意是解题的关键． 【规范解答】解：按照图1的截法可知有7个顶点， 按照图2的截法可知有8个顶点， 按照图3的截法可知有9个顶点， 按照图4的截法可知有10个顶点， 综上所述，一个正方体，用刀沿一个平面截去一个角后，所得的几何体有7个或8个或9个或10个顶点； 故答案为：7或8或9或10 5．（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，剩下的几何体的顶点数不可能是（   ）． A．10 B．7 C．9 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题考查正方体的截面与顶点数，解题的关键是分析平面截正方体时不同的截取位置对顶点数的影响． 分析平面截正方体得到三棱锥时，不同截取位置下剩余几何体的顶点数，从而判断不可能的顶点数． 【规范解答】 解：如图所示，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形，剩下的几何体可能有7个顶点、或8个顶点、或9个顶点、或10个顶点，不可能有6个顶点， 故选：D． 6．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）用一个平面分别截下列几何体，不能得到三角形截面的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了几何体的截面，熟练掌握不同几何体的截面形状特点是解题的关键． 分别分析每个几何体被平面截得的截面形状，判断是否能得到三角形截面． 【规范解答】解：长方体用平面斜着截去一个角时，可得到三角形截面，A项不符合题意； 圆锥用平面沿着母线去截，可得到三角形截面，B项不符合题意； 三棱柱用平面斜着截，可得到三角形截面，C项不符合题意； 圆柱的截面形状有圆、长方形、椭圆等，无论怎么截都不能得到三角形截面，D项符合题意， 故选：D． 易错题型3 点、线、面、体四者之间的关系 7．（23-24七年级上·江西吉安·月考）流星划过夜空，会留下一条长长的“尾巴”，用数学知识解释这一现象： ． 【答案】点动成线 【思路点拨】根据点动成线进行回答即可． 【规范解答】流星划过天空时留下一道明亮的光线，用数学知识解释为点动成线． 故答案为：点动成线． 8．（25-26七年级上·江西九江·期中）画家在画布上用画笔作画，用数学知识可解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】A 【思路点拨】本题考查了点、线、面、体四者之间的关系．画家用画笔在画布上作画时，画笔的尖端可视为一个点，移动画笔时点运动形成线条，因此用数学知识解释为点动成线，即可作答． 【规范解答】解：∵画笔尖端是点， ∴移动画笔时点运动，形成线， 即画家在画布上用画笔作画，用数学知识可解释为点动成线． 故选：A 9．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 ．（用“点，线，面，点动成线，线动成面，面动成体”填空） 【答案】 点 线 点动成线 【思路点拨】本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线、线动成面、面动成体是解答本题的关键． 根据点、线、面的几何关系，雨滴视为点，雨视为线解答即可． 【规范解答】雨滴是单个实体，从数学角度可抽象为点；许多雨滴密集下落形成雨，其形态类似线，这说明了点动成线的几何变换． 故答案为：点；线；点动成线． 易错题型4 平面图形旋转后所得的立体图形 10．（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）如图所示为一张长方形纸片，长为，长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周． (1)得到的几何体是 ，这个现象用数学知识解释为 ． (2)若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留π） 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2)或 【思路点拨】本题考查了点、线、面、体的关系及圆柱的体积计算． （1）通过长方形纸片绕一边旋转得到圆柱，体现了“面动成体”这一数学原理，即一个平面图形绕着某条直线旋转可以形成一个立体图形； （2）分情况讨论长方形绕不同边旋转时形成圆柱的底面半径和高，再代入公式计算体积． 【规范解答】（1）解：由题意知，将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周后所得到的几何体为圆柱，用数学知识解释为面动成体． 故答案为：圆柱，面动成体． （2）解：①绕边所在直线旋转时：， ②绕边所在直线旋转时：， ∴形成的几何体的体积是或． 11．（25-26七年级上·四川阿坝·月考）现有一个长为，宽为的长方形，将该长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到的圆柱的体积是 ．（结果保留） 【答案】 或 【思路点拨】本题考查圆柱体积公式，长方形旋转得圆柱，掌握相关知识是解决问题的关键．长方形绕一边旋转一周形成圆柱，旋转轴不同，圆柱的底面半径和高不同，需分情况讨论． 【规范解答】当绕长旋转时，圆柱的高为，底面半径为，体积为 ； 当绕宽旋转时，圆柱的高为，底面半径为，体积为 ． 故答案为：或． 12．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，在长方形中，，现将这个长方形纸片绕其一边所在直线旋转一周． (1)旋转后形成的几何体是___________； (2)求旋转后的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)或 【思路点拨】本题主要考查了面动成体，求圆柱的体积，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）绕长方形的一边所在的直线将长方形旋转一周所得的几何体是圆柱； （2）分绕所在的直线旋转一周和绕所在的直线旋转一周两种情况，根据圆柱的体积计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，旋转后形成的几何体是圆柱； （2）解：当绕所在的直线旋转一周时，则旋转后的几何体的体积为； 当绕所在的直线旋转一周时，则旋转后的几何体的体积为； 综上所述，旋转后的几何体的体积为或． 易错题型5 由展开图计算几何体的表面积 13．（25-26七年级上·江西九江·期中）湖口石钟山景区“湖口有礼”文创馆以其独特的文化和创意魅力，生动诠释了“以文塑旅，以旅彰文”的深意，其文创产品都是“设计赋能”的结果，品类多样丰富，文创入手也入心．如图所示的是某个文创礼品的包装盒的表面展开图，其底面为正六边形． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)六棱柱 (2) 【思路点拨】本题考查了六棱柱．熟练掌握六棱柱的表面展开图，侧面积计算，是解题的关键． （1）根据表面展开图有2个正六边形作底面，6个长方形作侧面，判断包装盒形状； （2）运用长方形面积公式计算侧面积． 【规范解答】（1）解：∵文创礼品的包装盒的表面展开图由2个大小相同的正六边形，6个大小形状相同的长方形组成， ∴这个包装盒形状是六棱柱． （2）解：六棱柱的侧面积 （）， 答：这个几何体的侧面积． 14．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）如图，一个底面直径6厘米的圆柱体木头，沿底面虚线处垂直切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是 平方厘米． 【答案】108 【思路点拨】本题主要考查了三角形面积及正方体表面积的计算，读懂图形是解答关键． 根据题意可知，把圆柱削成一个最大的正方体，圆柱的底面直径等于削成的正方体的底面对角线的长度，把这个正方形分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底等于圆柱的底面直径，高等于圆柱底面的半径，根据三角形的面积公式：，把数据代入公式求出削成正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积公式：，把数据代入公式求出这个正方体的表面积． 【规范解答】解： （平方厘米） 答：这个正方体的表面积是108平方厘米． 故答案为：108． 15．（25-26七年级上·重庆·期中）某种包装盒的展开图如图所示，边比边的三倍多2，边的长度为3分米（均不考虑包装盒的黏合处） (1)该包装盒的形状是______； (2)设的长为m分米，则边的长度为______分米，边的长度为______分米；（用含m的式子表示） (3)在（2）的条件下，若分米，现对包装盒外表涂色，每平方分米涂料的价格是元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色） 【答案】(1)长方体 (2)， (3)23元 【思路点拨】本题主要考查了几何体的展开图、列代数、求几何体的表面积、整式加减的应用等知识点，确定几何体的长宽高是解题的关键． （1）根据展开图的形状即可判断包装盒的形状； （2）根据边比边的三倍多2以及展开图列代数式即可， （3）先求得的长，进而求出表面积，再乘以每平方分米涂料的价格即可． 【规范解答】（1）解：由展开图的形状可知：包装盒的形状为长方体． 故答案为：长方体． （2）解：∵边比边的三倍多2，的长为m分米， ，， 故答案为：，． （3）解：当分米时，， ∴长方体的表面积为：（平方分米）， 费用为：（元）． 答：每个包装盒涂色的费用是23元． 易错题型6 由展开图计算几何体的体积 16．（25-26七年级上·山东青岛·期中）【问题情境】 某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【拓展探究】 （1）如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是______（填序号）． 综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）． （2）用图①的方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为_____； （3）用图②的方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，，则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （4）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为，，，它缺一个长为，宽为的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该无盖长方体表面展开图的最大外围周长是______． 【答案】（1）①③④；（2）；（3）；（4） 【思路点拨】本题考查展开图折叠成几何体，掌握正方体、长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）根据图1可折成的盒子的底面是边长为的正方形，代入数据计算即可； （3）分别求出所折成的长方体的长、宽、高，再根据长方体体积的计算方法进行计算即可； （4）根据“没有剪开的棱越短越好，展开图的周长越大”画出相应的图形，再进行计算即可． 【规范解答】解：（1）根据正方体的表面展开图的特征可知，①③④可以折成无盖的正方体， 故答案为：①③④； （2）图1所折成的盒子的底面是边长为的正方形，因此长方体纸盒的底面周长， 当，， 则长方体纸盒的底面周长为 故答案为：； （3）由题意可知，所作出的长方体的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：1000； （4）要使长方体表面展开图的外围周长最大，则剪开的棱越长越好，即没有剪开的棱越短越好，如图所示，其展开图的周长最大， 所以最大周长为， 故答案为：58． 17．（25-26七年级上·陕西西安·期中）某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作收纳盒，该小组给出了两种设计，收纳盒的展开图如图1、图2所示．请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)利用图1所示的图形，制作的收纳盒形状为______； (2)哪一种收纳盒的容积更大？请根据图中所给信息计算说明． 【答案】(1)三棱柱 (2)图1收纳盒的容积更大，见解析 【思路点拨】本题考查简单几何体的表面展开图，有理数的减法，乘法运算，掌握常见的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据三棱柱的展开图特征即可判断； （2）根据三棱柱和长方体的容积计算即可得解． 【规范解答】（1）解：利用图1所示的图形，制作的收纳盒形状为三棱柱， 故答案为：三棱柱． （2）解：由图1可知，三棱柱的底面积为，高为9， 三棱柱的容积为， 由图2可知，制作的收纳盒形状为长方体，长方体的高为，底面宽，长， 长方体的容积为， ， 图1收纳盒的容积更大． 18．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）综合与实践：制作有盖的长方体收纳盒        【所需材料】如图1所示的长方形硬纸板． 【制作方案】 第一小组：按照图2裁剪，得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盆，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． 第二小组：如图4，沿将长方形剪成两部分，将长方形折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面． 【问题解决】 (1)图3中收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________； (2)图4中棱的长为_____； (3)第三小组同学观察第一、二两个小组的设计，发现第一小组将长方形硬纸板材料经过裁剪之后制成长方体收纳盒，而第二小组利用整张长方形硬纸板制成长方体收纳盒，所以第三小组同学说：第一小组制作的长方体收纳盒比第二小组制作的长方体收纳盒的体积小，你认为这种说法是否正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20，40 (2)5 (3)第三小组的说法不正确，见解析 【思路点拨】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元一次次方程的实际应用等知识． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设，则，找到原图形与折叠剪拼后新图形之间边长的数量关系， 列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （3）分别计算出两个小组制作的长方体收纳盒的体积，比较即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意得，，， 故答案为：20；40； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得：， 即，． （3）解：第一小组制作的长方体收纳盒的体积为∶ 第二小组制作的长方体收纳盒的体积为∶ 所以第一小组制作的长方体收纳盒与第二小组制作的长方体收纳盒体积相同， 第三小组的说法不正确． 易错题型7 正方体几种展开图的识别 19．（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查正方体的平面展开图，根据正方体的表面展开图一一判断即可得出答案． 【规范解答】解：第一个图形可以围成无盖正方体， 第二个图形不能围成正方体， 第三个图形可以围成无盖正方体， 第四个图形可以围成有盖的正方体， 故第一个图形和第三个图形可以围成无盖正方体， 故选C 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去 号小正方形（写出一种情况即可）． 【答案】1或2或6 【思路点拨】本题考查了正方体的展开图，依据正方体表面展开图的特征，判断图中哪些小正方形不能与剩余部分组成正方体，从而确定应剪去的小正方体． 【规范解答】解：根据有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图可知：应剪去1或2或6． 故答案为：1或2或6． 21．（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）某小组利用长为，宽为长方形纸板制作长方体盒子或正方体盒子．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：如图1，若，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒，回答下面两个问题 （1）当，时，图1中无盖长方体纸盒的底面积是__________； （2）当，时，求该无盖长方体纸盒的体积； 动手操作二：如图2，先在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，再沿虚线折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒． （3）请在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形（用阴影表示），并用虚线表示折痕； （4）如图3，当时，在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4） 【思路点拨】本题考查了列代数式，基本几何图形的性质与正方体的展开图． （1）根据图形可知无盖长方体纸盒的底边长为，据此即可求解； （2）根据长方体的体积公式求解即可； （3）实际上是从大长方形纸中剪出一个正方形展开图，故从11种正方体展开图中选择合适的剪出形状即可； （4）根据图形和正方体棱长都相等的性质可得，，继而求出，得到，即可解答． 【规范解答】解：（1）； 故答案为：． （2）当，时，该无盖长方体纸盒的 体积； （3）如图所示：（图形不唯一） （4）由图形可得：，， ∵ ∴，解得， ∴， ∴． 易错题型8 正方体相对两面上的字 22．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面上都写有一个数，并且相对两个面上的数相等，则的值为 ． 【答案】5 【思路点拨】】本题考查正方体相对两个面上的文字，代数式求值，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．利用正方体及其表面展开图的特点以及题意确定、、的值，再代入所求式子计算即可． 【规范解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“1”是相对面， “”与“2”是相对面， “”与“3”是相对面， ∵相对两个面上的数相等， ∴，，， ∴． 故答案为：5． 23．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图所示是一个正方体的表面展开图，若将其折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则的值为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查代数式求值．正确的找到正方体展开图的相对面，是解题的关键． 先确定展开图的相对面，利用相对面上的两个数字之和均为6，求出，再代入代数式进行求值即可． 【规范解答】解：由题意，得 ， 解得， ∴． 故答案为：2． 24．（25-26七年级上·福建三明·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b，那么的值为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题主要考查正方体的特征；根据题意易得5的对面数字是1，6的对面数字是3，2的对面的数字是4，然后问题可求解． 【规范解答】解：由图可知：与相邻，与相邻， ∴5的对面数字是1，3的对面数字是6，2的对面的数字是4， ∵记2的对面的数字为a，5的对面的数字为b， ∴，， ∴； 故答案为：5． 易错题型9 含图案的正方体的展开图 25．（25-26七年级上·陕西西安·期中）将“数学核心素养”六个字分别写在如图所示的正方体盒子的六个面上，将图1盒子在桌面上向右翻滚，接着按逆时针方向旋转．若把该正方体盒子打开，得到的平面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正方体的展开图，关键在于利用空间想象能力还原立体图形．根据正方体的位置变换可知心与素相对，数与核相对，再根据数，学，心三面的斜线构成一个三角形即可得解． 【规范解答】解：由题意知：心与素相对，数与核相对，故排除， 由数，学，心三面的斜线构成一个三角形可知符合， 不符合， 故选：． 26．（24-25七年级上·辽宁·期中）从四个选项中找出折叠后和已知正方体一致的图形（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了展开图折叠成几何体的应用，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养也是解决问题的关键 根据图中A、B、C三个面均相邻，结合展开图分别判断即可得出答案 【规范解答】解：根据图象：A、B、C三个面均相邻， A、折叠后A与C是相对面，不符合题意； B、折叠后C与B是相对面，不符合题意； C、折叠后A与B是相对面，不符合题意； D、折叠后A、B、C三个面均相邻，符合题意； 故选：D 27．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点，利用排除法解题． 【规范解答】解：图2中阴影四边形与三角形相邻，四边形在三角形的左侧， B选项和D选项中，阴影四边形与三角形相对，不合题意， C选项中，阴影四边形与三角形相邻，但四边形在三角形的右侧，不合题意， 选项A中阴影四边形与三角形的位置符合题意． 故选A． 易错题型10 补一个面使图形围成正方长 28．（22-23六年级上·山东淄博·期末）如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【思路点拨】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【规范解答】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 29．（22-23七年级上·吉林长春·期末）图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同． 【答案】画图见解析 【思路点拨】正方体的展开图一共有种，其中型有种，型有种，型有种，型有种，根据以上展开图的形态结合已知图形可得答案． 【规范解答】解：如图所示： 30．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 ． 【答案】A 【思路点拨】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【规范解答】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故答案为：A． 易错题型11 从不同方向看几何体 31．（23-24七年级上·贵州贵阳·月考）如图所示，由几个相同的边长为的小立方块搭成的几何体． (1)请在下面方格纸中分别画出这个几何体从正面和左面看到的形状图． (2)这个几何体的表面积（包括底面）为______平方单位． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【思路点拨】（1）直接把从正面、左面能看的图形画出即可； （2）先从不同方向观察几何体（包括底面），从而得出构成几何体表面的小正方形的个数，继而得出其表面积． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）∵如图所示，由几个相同的边长为的小立方块搭成的几何体， ∴每个小正方形的面积为个平方单位， ∵从正面看有个面，从后面看有个面， 从上面看有个面，与地面接触有个面， 从左面看有个面，从右面看有个面， 里面有个面， ∴（平方单位） ∴这个几何体的表面积为平方单位． 故答案为：． 32．（25-26七年级上·山西运城·期中）如图是由9个大小相同的小立方块搭成的几何体．请按要求在方格内分别画出这个几何体从三个不同方向看到的形状图． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了从不同方向看几何体，良好的空间想象能力是解答本题的关键．根据从不同方向看到的形状画图即可． 【规范解答】解：如解图所示： 33．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，这是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，请在方格内分别画出从三个不同方向看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了从不同方向看几何体得到的图形，解题的关键是掌握相关基础知识，正确作出图形．从不同方向看该几何体，画出图形即可． 【规范解答】解：如图所示. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $