专题03 一元一次方程（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学一元一次方程期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点，明确复习目标与考情规律，以知识框架图呈现等式性质、解方程步骤及实际应用模型，清晰展现方程的解、含参方程等重难点的内在联系，帮助学生构建完整知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，如含参方程问题通过“用参数表示解再建立方程”培养抽象能力，实际应用题结合行程、利润模型强化模型意识，动态问题（数轴动点）提升推理意识。基础通关、重难突破、综合拓展练习满足不同学生需求，助力教师实施精准分层教学，提升复习效率。

专题03 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 方程的解与解方程 能检验未知数的值是否为方程的解，并能熟练解一元一次方程 基础题，常考去分母、去括号时的符号错误 列一元一次方程解决实际问题 能从行程、工程、配套、盈亏、销售、积分等实际问题中抽象出方程模型 期末解答题压轴高频考点，关键在于找等量关系 方程思想的应用（动点、新定义） 能将图形中的动态问题或新运算规则转化为方程求解 拉分题，考查数学建模和综合分析能力 含参数的一元一次方程 能求解含字母系数的方程，并能根据方程解的情况（如解是某值、有无数解、无解）反求参数的值。 选择填空题的拉分点，考查对方程本质（等式性质）的理解深度，需要分类讨论。 知识点01 等式的基本性质与方程相关概念 1.等式性质（解方程的根本依据）： （1）性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 （2）性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。 2.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值。 3.解方程：求方程的解的过程。 ·易错点：利用性质2时，必须确保乘或除的是同一个非零数。除以一个含有字母的式子时，必须讨论该式子是否为0。 知识点02 解一元一次方程的一般步骤 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1。 1.去分母：找各分母的最小公倍数，方程两边每一项都要乘，分子是多项式时要添括号。 2.去括号：依据分配律，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号。 3.移项：通常把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移动的项一定要变号。 示例：解方程  －1 ＝ 。 去分母（两边乘6）：2(2x－1) － 6 ＝ 3(x＋2)。 去括号：4x － 2 － 6 ＝ 3x ＋ 6。 移项：4x － 3x ＝ 6 ＋ 2 ＋ 6。 合并：x ＝ 14。 ·易错点：去分母时，常数项不要漏乘；去括号时，括号前是负号，括号内每一项都要变号；移项一定要变号。 知识点03 列方程解实际问题的核心模型 1.寻找等量关系的两大途径： （1）抓关键词：“是”、“等于”、“比…多/少”、“合计”、“…与…相同”等。 （2）挖掘不变量：无论情景如何变化，总路程、总工作量、总价、配套比例等通常不变。 2.经典模型： （1）行程问题：路程 ＝ 速度 × 时间。 追及问题：路程差 ＝ 速度差 × 时间 相遇问题：路程和 ＝ 速度和 × 时间。 （2）工程问题：工作量 ＝ 工作效率 × 工作时间。常设总工作量为“1”。 （3）利润问题：利润 ＝ 售价 － 进价；利润率 ＝ 利润 / 进价 × 100%。 （4）配套问题：利用“配套比例”列方程，如“1个螺钉配2个螺母”即“螺母数量 ＝ 2 × 螺钉数量”。 （5）积分问题：胜场得分 ＋ 平场得分 ＋ 负场得分 ＝ 总积分。 题型一 含参方程的解的问题（同解、错解、解的情况问题） 解｜题｜技｜巧 这类问题的核心是忽略参数的干扰，聚焦未知数x。 1.常规求解，用参数表示x：将参数（如a， k， m）当作已知数，按照正常步骤解方程，得到形如“x ＝ 含参数的表达式”的解。 2.根据条件建立关于参数的方程： （1）已知解：将给定的x值代入解出的表达式，解关于参数的方程。 （2）同解问题：分别解出两个含参方程，令其解（用参数表示的式子）相等。 （3）错解问题：先按错误解法求出“错解”，将其代入原方程求参数；再代入正确的参数解原方程。 （4）解的情况讨论：将方程化为最简形式ax＝b，讨论：①当a≠0时，有唯一解；②当a＝0且b＝0时，有无数解；③当a＝0且b≠0时，无解。 易｜错｜点｜拨 在解含参方程的最后一步“系数化为1”时，必须讨论系数是否为0，这是解的情况分类的依据。 【典例1】已知x＝5是方程ax﹣8＝12+a的解，则a的值是（　　） A．5 B．4 C．﹣3 D．2 【典例2】关于x的一元一次方程2xa﹣2﹣m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1】若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是x＝1．则m+n的值是（　　） A．﹣0.5 B．﹣1.5 C．0.5 D．1.5 【变式2】若关于x的方程ax＝b（其中a、b为常数，且a≠0）的解是x＝1，则关于x的方程a（x﹣2025）﹣b＝0的解是 　 ． 【变式3】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程2x＝4和x+2＝0为“和谐方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“和谐方程”，求m的值； （2）若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为n，求n的值． 题型二 一元一次方程的实际应用（压轴题类） 答｜题｜模｜板 1.审：通读题目，明确未知量，常用“问什么设什么”为未知数x。 2.找：寻找所有包含等量关系的语句，并用不同符号标记。有时需要借助图表（如行程线段图、工程进度表）辅助分析。 3.列：用含x的代数式表示出其他相关量。选择一个最直观、最不易出错的等量关系建立方程。 4.解：规范解方程。 5.验与答：检验解的合理性：是否为正数？是否为整数？是否符合实际情景（如人数）？ 规范作答：写出完整的、带单位的答案。 【典例1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．现有一个长方形的周长为20cm，这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为xcm可列方程为（　　） A．x+3＝（20﹣x）﹣2 B． C． D．x﹣2＝（20﹣x）+3 【典例2】以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票．（两车都是从A地出发，到B地停止，未出发时在A地等待） （1）已知该列动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求A，B两地之间的距离． （2）在（1）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km． 【变式1】我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．在金庸先生的武侠著作《射雕英雄传》中的女主角黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九履一，左七右三，五居中央”，如图①就是这个幻方．图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】青竹湖商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 （1）A种商品每件进价为　 　 元，每件B种商品利润率为　 　 ． （2）商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？ （3）在“春节”期间，商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款543元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 题型三 与数轴、代数式综合的动态问题（跨章节题型） 答｜题｜模｜板 1.“动”中取“静”：设运动时间为t秒，用含t的代数式表示出运动点在数轴上的坐标（位置）。 （1）右移：坐标 ＝ 起点 ＋ 速度×时间。 （2）左移：坐标 ＝ 起点 － 速度×时间。 2.翻译条件，列出方程：将题目中描述的点与点之间关系（如“重合”、“相距X个单位”、“中点为某点”）转化为关于它们坐标的等式。 （1）距离关系：用两点坐标差的绝对值表示，即|A － B| ＝ 距离。 （2）中点关系：若C是AB中点，则 C ＝ 。 3.求解并取舍：解出时间t，并判断是否在运动过程的有效范围内（如相遇后是否停止）。 易｜错｜点｜拨 当运动方向改变（如相遇后折返）或存在多段不同速度时，必须分段讨论，时间t的范围不同，点的位置表达式也不同。 【典例1】如图，线段AB＝10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．）当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x秒，当Q恰好落在线段AP的中点上时，x的值为 　 　 ． 【典例2】在数轴上，点A、B分别表示数a，b，且a，b满足|b﹣10|+（a+8）2＝0． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）点P以每秒2个单位长度从点A出发沿数轴始终向右运动．同时点Q以每秒8个单位长度从点B出发沿数轴在B，A两点之间往返运动，当点P运动到B点时，P、Q均停止运动．设运动时间为t秒． ①当P、Q两点第一次重合的时候，求t的值． ②当P、Q两点第二次与第三次重合的时候，请直接写出对应的t的值． 【变式1】已知点A在数轴上对应的数是﹣5，点B在数轴上对应的数是10，点D在数轴上对应的数是﹣2，点E在数轴上对应的数是2．阅读并解决相应问题． 问题发现： 对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：C→[A，B]＝k． （1）初步体会： 如图1，若C→[A，B]＝k，且点C在数轴上对应的数是5，则k＝　 　 ； （2）类比探究： 如图2，点M从D点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从E点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若M→[D，N]＝3，求出t的值； （3）拓展延伸： 如图3，点P从D点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点H从A点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为t秒，在运动的过程中，若存在数轴上点Q满足：Q→[H，B]＝2，点P到点Q的距离记为a，点H到点B的距离记为b，且a＝2b，直接写出所有符合条件的t的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.《算法统宗》中有这样一个问题：一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤＝16两）．设共有x两银子，则可列方程（　　） A．7x﹣4＝5x+8 B． C．7x+4＝5x﹣8 D． 2.已知关于x的方程x（m﹣1）＝3x﹣m+2的解是x＝﹣2，则m的值为（　　） A．6 B．﹣4 C．﹣2 D．2 3.已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，x的值是　 　 ． 4.聪聪在解一元一次方程时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项（﹣1），得到的一元一次方程的解为x＝2． （1）请你求出a的值； （2）求出方程正确的解； （3）根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 5.列方程解应用题： 长期坚持跑步可以增强心肺功能，让身体更加健康．周六早上小健和小乐相约去奥森跑步．小健家离奥森近，决定步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时手表显示信息如图所示． 小乐出发比小健晚了5分钟，且家离奥森比小健家离奥森远1500米，所以小乐决定骑自行车前往，小乐骑行的平均速度是衡小健步行的平均速度的3.5倍，最终小乐与小健在同一时刻到达奥森．求小健步行的平均速度和平均步长． 6.将正整数按一定规律排列如图，其中有一个带阴影的方框，提醒自己要“+倍”努力． （1）如图，方框中的7个数之和是　119　 ． （2）平移表中带阴影的方框，若设框住的7个数中，从小到大排列后第4个数为m，请求出阴影方框框住的7个数的和（用含m的式子表示）． （3）平移表中带阴影的方框，阴影方框框住7个数之和能是336吗？若能，请求出这7个数分别是多少；不能，请说明理由． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.如果a，b为定值时，关于x的方程，无论k为何值时，它的根总是2，则a+b的值为（　　） A．18 B．15 C．12 D．10 2.定义：关于x的方程ax+b＝0与方程bx+a＝0互称为“对称方程”（ab≠0），例如：方程2x﹣1＝0与方程﹣x+2＝0互为“对称方程”． （1）若关于x的方程4x+3m﹣1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“对称方程”，求m﹣n＝　　 ． （2）若关于x的方程﹣3x+p＝1与其“对称方程”的解都是整数，且p也是整数，所有符合条件的p的和为　 　 ． 3.“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有x个人，则可列方程　 ． 4.如图，O为数轴的原点，点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且满足（a+5）2+|b﹣10|≤0，点C为数轴上一动点且对应的数为x． （1）直接写出a的值是　 　 ，b的值是　 　 ；若点C到点A和点B的距离相等，则x的值是　 　 ； （2）数轴上是否存在点C，使得点C到点B的距离是点C到点A的距离的2倍？若存在，求出对应的数x；若不存在，请说明理由； （3）若点P以每秒2个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动．设运动时间为t秒． ①若P，Q在点C处相遇，求出点C对应的数x； ②若P，Q两点均向左运动，当P、Q两点相距6个单位长度时，请直接写出此时t的值是　 　 ． 5.定义：已知x0，y0分别是关于x，y的方程的解，若满足：|x0﹣y0|＝k（k为正数），则称前者是后者的“k属方程”． 例如：方程x﹣2＝0的解是x＝2，方程2y＝6的解是y＝3，且满足|2﹣3|＝1，则称方程x﹣2＝0是方程2y＝6的“1属方程”． （1）下列方程是方程3y﹣1＝5的“1属方程”的是　 　 （请填写正确的序号）； ①2x＝6，②3+x＝2（x+1），③3﹣2x＝3x﹣2． （2）若关于x的方程x＝2是关于y的方程3（2﹣y）＝4a﹣4（y﹣1）的“4属方程”，求整数a的值； （3）若对于任何正数m，关于x的方程2（x﹣3）＝4m﹣9都是关于y的方程3y+2n＝4mn的“m属方程”，求n的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.小军同学在解关于x的方程1去分母时，方程右边的﹣1没有乘2，因而求得方程的解为3，则方程的正确解为 　 ． 2.定义：如果两个一元一次方程的解之和为6，则称这两个方程为“和和方程对”．如果两个一元一次方程的解均为整数且符号相同，则称这两个方程为“美美方程对”；如果两个一元一次方程的解既满足和为6，又满足解均为整数且符号相同，则称这两个方程为“和和美美方程对”． （1）请判断下列说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①关于x的一元一次方程与x﹣9＝0为“和和美美方程对”；（　 　 ） ②关于x的一元一次方程﹣x+k＝0与kx﹣1＝0为“美美方程对”，则k＝±1；（　 　 ） ③关于x的一元一次方程4x+mn+m＝0与﹣4x+mn+n＝0为“和和方程对”，则；（　 　 ） （2）关于x的一元一次方程与ax＝b+5为“和和美美方程对”（其中a为整数），求a，b的值；（3）无论t取何值时，关于x的一元一次方程3x﹣2（2x﹣t）＝s﹣2（s+1）与恒为“和和方程对”，求关于y的方程sy+r＝0的解． 3.数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足|a+1|+（c﹣5）2＝0． （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 ； （2）现将点A、点B和点C分别以每秒3个单位长度、1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒． ①求经过多长时间，AB的长度是BC长度的两倍； ②定义，已知M，N为数轴上任意两点．将数轴沿线段MN的中点Q进行折叠，点M与点N刚好重合，所以我们又称线段MN的中点Q为点M和点N的折点．试问：当t为何值时，A，B，C这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？ 4.将一个数轴弯折成如图所示的样子，我们称这样的数轴为“过山车数轴”，在这个数轴上每个点对应的数就是把数轴拉直后对应的数． 规定：|AB|（线段AB的长度）为A，B两点在拉直后的数轴上的距离． 点A表示的数是﹣7，点B表示的数是3，则|AB|＝10． （1）若T为“过山车数轴”上一点且|TA|+|TB|＝12，请直接写出点T表示的数． （2）定义：在“过山车数轴”的上坡阶段（从E到D或从C到D），点运动的速度是点在水平路线上运动速度的一半；在下坡阶段（从D到C或从D到E），点运动的速度是点在水平路线上运动速度的2倍．动点P从点A出发以每秒4个单位的速度向右运动，经过点E，点D，点C，到点B后立即以原速度沿反方向运动，回到点A时停止．在点P出发的同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，经过点C，点D，点E后继续运动．点P停止运动时，点Q也停止运动．设点P运动的时间为t秒，问： ①点P在第　 　 秒时回到点A． ②点P和点Q在第　 　 秒时重合． ③当t＝　 　 时，|PQ|＝|QC|． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 方程的解与解方程 能检验未知数的值是否为方程的解，并能熟练解一元一次方程 基础题，常考去分母、去括号时的符号错误 列一元一次方程解决实际问题 能从行程、工程、配套、盈亏、销售、积分等实际问题中抽象出方程模型 期末解答题压轴高频考点，关键在于找等量关系 方程思想的应用（动点、新定义） 能将图形中的动态问题或新运算规则转化为方程求解 拉分题，考查数学建模和综合分析能力 含参数的一元一次方程 能求解含字母系数的方程，并能根据方程解的情况（如解是某值、有无数解、无解）反求参数的值。 选择填空题的拉分点，考查对方程本质（等式性质）的理解深度，需要分类讨论。 知识点01 等式的基本性质与方程相关概念 1.等式性质（解方程的根本依据）： （1）性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 （2）性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。 2.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值。 3.解方程：求方程的解的过程。 ·易错点：利用性质2时，必须确保乘或除的是同一个非零数。除以一个含有字母的式子时，必须讨论该式子是否为0。 知识点02 解一元一次方程的一般步骤 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1。 1.去分母：找各分母的最小公倍数，方程两边每一项都要乘，分子是多项式时要添括号。 2.去括号：依据分配律，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号。 3.移项：通常把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移动的项一定要变号。 示例：解方程  －1 ＝ 。 去分母（两边乘6）：2(2x－1) － 6 ＝ 3(x＋2)。 去括号：4x － 2 － 6 ＝ 3x ＋ 6。 移项：4x － 3x ＝ 6 ＋ 2 ＋ 6。 合并：x ＝ 14。 ·易错点：去分母时，常数项不要漏乘；去括号时，括号前是负号，括号内每一项都要变号；移项一定要变号。 知识点03 列方程解实际问题的核心模型 1.寻找等量关系的两大途径： （1）抓关键词：“是”、“等于”、“比…多/少”、“合计”、“…与…相同”等。 （2）挖掘不变量：无论情景如何变化，总路程、总工作量、总价、配套比例等通常不变。 2.经典模型： （1）行程问题：路程 ＝ 速度 × 时间。 追及问题：路程差 ＝ 速度差 × 时间 相遇问题：路程和 ＝ 速度和 × 时间。 （2）工程问题：工作量 ＝ 工作效率 × 工作时间。常设总工作量为“1”。 （3）利润问题：利润 ＝ 售价 － 进价；利润率 ＝ 利润 / 进价 × 100%。 （4）配套问题：利用“配套比例”列方程，如“1个螺钉配2个螺母”即“螺母数量 ＝ 2 × 螺钉数量”。 （5）积分问题：胜场得分 ＋ 平场得分 ＋ 负场得分 ＝ 总积分。 题型一 含参方程的解的问题（同解、错解、解的情况问题） 解｜题｜技｜巧 这类问题的核心是忽略参数的干扰，聚焦未知数x。 1.常规求解，用参数表示x：将参数（如a， k， m）当作已知数，按照正常步骤解方程，得到形如“x ＝ 含参数的表达式”的解。 2.根据条件建立关于参数的方程： （1）已知解：将给定的x值代入解出的表达式，解关于参数的方程。 （2）同解问题：分别解出两个含参方程，令其解（用参数表示的式子）相等。 （3）错解问题：先按错误解法求出“错解”，将其代入原方程求参数；再代入正确的参数解原方程。 （4）解的情况讨论：将方程化为最简形式ax＝b，讨论：①当a≠0时，有唯一解；②当a＝0且b＝0时，有无数解；③当a＝0且b≠0时，无解。 易｜错｜点｜拨 在解含参方程的最后一步“系数化为1”时，必须讨论系数是否为0，这是解的情况分类的依据。 【典例1】已知x＝5是方程ax﹣8＝12+a的解，则a的值是（　　） A．5 B．4 C．﹣3 D．2 【解答】解：由条件可知a×5﹣8＝12+a， 即5a﹣8＝12+a， 移项得5a﹣a＝12+8， 即4a＝20， ∴a＝5． 故选：A． 【典例2】关于x的一元一次方程2xa﹣2﹣m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【解答】解：∵方程2xa﹣2﹣m＝4是一元一次方程， ∴a﹣2＝1， 解得：a＝3， ∴方程为2x﹣m＝4， 又∵方程的解为x＝1， ∴2×1﹣m＝4， 2﹣m＝4， 解得：m＝﹣2． ∴a+m＝3﹣2＝1． 故选：C． 【变式1】若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是x＝1．则m+n的值是（　　） A．﹣0.5 B．﹣1.5 C．0.5 D．1.5 【解答】解：∵关于x的方程（m、n是常数）的解总是x＝1， ∴， 整理得：（4+n）k＝7﹣2m， ∵若不论k取什么数，关于x的方程的解不变， ∴，解得：， ∴m﹣n＝3.5﹣4＝﹣0.5， 故选：A． 【变式2】若关于x的方程ax＝b（其中a、b为常数，且a≠0）的解是x＝1，则关于x的方程a（x﹣2025）﹣b＝0的解是 　 ． 【解答】解：把x＝1代入方程ax＝b得：a＝b， 代入a（x﹣2025）﹣b＝0得：a（x﹣2025）﹣a＝0， ∵a≠0， ∴方程变形得：x﹣2025﹣1＝0， 解得：x＝2026． 故答案为：x＝2026． 【变式3】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程2x＝4和x+2＝0为“和谐方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“和谐方程”，求m的值； （2）若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为n，求n的值． 【解答】解：（1）方程3x+m＝0的解：， 方程4x﹣2＝x+10的解：x＝4， ∴， 解得：m＝12； （2）解：设另一个方程的解为a， ∵其中一个解为n，“和谐方程”的两个解的差为4， ∴|n﹣a|＝4， 则n﹣a＝4或n﹣a＝﹣4； ∵两个方程为“和谐方程”， ∴n+a＝0； 当时，解得：； 当时，解得：； ∴n的值为±2． 题型二 一元一次方程的实际应用（压轴题类） 答｜题｜模｜板 1.审：通读题目，明确未知量，常用“问什么设什么”为未知数x。 2.找：寻找所有包含等量关系的语句，并用不同符号标记。有时需要借助图表（如行程线段图、工程进度表）辅助分析。 3.列：用含x的代数式表示出其他相关量。选择一个最直观、最不易出错的等量关系建立方程。 4.解：规范解方程。 5.验与答：检验解的合理性：是否为正数？是否为整数？是否符合实际情景（如人数）？ 规范作答：写出完整的、带单位的答案。 【典例1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．现有一个长方形的周长为20cm，这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为xcm可列方程为（　　） A．x+3＝（20﹣x）﹣2 B． C． D．x﹣2＝（20﹣x）+3 【解答】解：∵长方形的周长为20cm，且长方形的宽为xcm， ∴长方形的长为（x）cm． 根据题意得：x+3＝（x）﹣2， 即x+3＝（x）﹣2． 故选：C． 【典例2】以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票．（两车都是从A地出发，到B地停止，未出发时在A地等待） （1）已知该列动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求A，B两地之间的距离． （2）在（1）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km． 【解答】解：（1）设A，B两地之间的距离为xkm， 根据题意得：1+1， 解得：x＝1200． 答：A，B两地之间的距离为1200km； （2）设高铁出发y小时后两车相距150km， 当动车在前且两车相距150km时，200（y+1）﹣300y＝150， 解得：y； 当高铁在前（未到站）且两车相距150km时，300y﹣200（y+1）＝150， 解得：y； 当高铁到站且两车相距150km时，200（y+1）+150＝1200， 解得：y． 答：在（1）的条件下，高铁出发或或小时后两车相距150km． 【变式1】我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．在金庸先生的武侠著作《射雕英雄传》中的女主角黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九履一，左七右三，五居中央”，如图①就是这个幻方．图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴﹣3+3＝a+（﹣2）， 解得：a＝2， 故选：B． 【变式2】青竹湖商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 （1）A种商品每件进价为　 　 元，每件B种商品利润率为　 　 ． （2）商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？ （3）在“春节”期间，商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款543元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 【解答】解：（1）设A种商品每件进价为x元， 则（60﹣x）＝50%x， 解得：x＝40． 故A种商品每件进价为40元； 每件B种商品利润率为（80﹣50）÷50＝60%． 故答案为：40；60%； （2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（50﹣m）件， 40m+50（50﹣m）＝2100， 40m+2500﹣50m＝2100， ﹣10m＝400， 解得：m＝40． 即购进A种商品40件． （3）设小华打折前应付款为y元， ①打折前购物金额超过450元，但不超过600元， 由题意得0.9y＝543， 解得：； ，舍去， ②打折前购物金额超过600元， 600×0.8+（y﹣600）×0.7＝543， 解得：y＝690． 综上可得，小华在该商场购买同样商品要付690元． 题型三 与数轴、代数式综合的动态问题（跨章节题型） 答｜题｜模｜板 1.“动”中取“静”：设运动时间为t秒，用含t的代数式表示出运动点在数轴上的坐标（位置）。 （1）右移：坐标 ＝ 起点 ＋ 速度×时间。 （2）左移：坐标 ＝ 起点 － 速度×时间。 2.翻译条件，列出方程：将题目中描述的点与点之间关系（如“重合”、“相距X个单位”、“中点为某点”）转化为关于它们坐标的等式。 （1）距离关系：用两点坐标差的绝对值表示，即|A － B| ＝ 距离。 （2）中点关系：若C是AB中点，则 C ＝ 。 3.求解并取舍：解出时间t，并判断是否在运动过程的有效范围内（如相遇后是否停止）。 易｜错｜点｜拨 当运动方向改变（如相遇后折返）或存在多段不同速度时，必须分段讨论，时间t的范围不同，点的位置表达式也不同。 【典例1】如图，线段AB＝10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．）当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x秒，当Q恰好落在线段AP的中点上时，x的值为 　 　 ． 【解答】解：∵AB＝10， ∴点P从开始到停止运动时共用， ∴Q的运动路程为3×10＝30个单位，即运动过程为由B到A，然后由A到B，最后由B到A；分三种情况求解： ①Q第一次由B到A的运动过程中，点Q恰好落在线段AP的中点上， ∴，即， 解得； ②Q由A到B的运动过程中，点Q恰好落在线段AP的中点上， ∴，即， 解得x＝4； ③Q第二次由B到A的运动过程中，点Q恰好落在线段AP的中点上， ∴，即， 解得； 综上所述，当x的值为或4或时，点Q恰好落在线段AP的中点上 故答案为：或4或． 【典例2】在数轴上，点A、B分别表示数a，b，且a，b满足|b﹣10|+（a+8）2＝0． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）点P以每秒2个单位长度从点A出发沿数轴始终向右运动．同时点Q以每秒8个单位长度从点B出发沿数轴在B，A两点之间往返运动，当点P运动到B点时，P、Q均停止运动．设运动时间为t秒． ①当P、Q两点第一次重合的时候，求t的值． ②当P、Q两点第二次与第三次重合的时候，请直接写出对应的t的值． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴|b﹣10|＝0，（a+8）2＝0， 故a＝﹣8，b＝10． 故答案为：﹣8，10； （2）点P以每秒2个单位长度从点A出发沿数轴始终向右运动．同时点Q以每秒8个单位长度从点B出发沿数轴在B，A两点之间往返运动， t秒时，点P对应的数为﹣8+2t． ①点P、Q第一次重合前，点Q对应的数为10﹣8t， 当P、Q重合时，﹣8+2t＝10﹣8t，解得t＝1.8． 答：点P、Q第一次重合时，t＝1.8． ②点P从A运动到B所需时间为18÷2＝9秒， 点Q从B运动到A所需时间为18÷8＝2.25秒， 当2.25＜t＜4.5时，点Q从点A返回向点B运动， 点Q对应的数为﹣8+8（t﹣2.25）， 当P、Q两点第二次重合时， ﹣8+2t＝﹣8+8（t﹣2.25），解得t＝3． 当4.5＜t＜6.75时，点Q再次从点B向A运动， 点Q对应的数为10﹣8（t﹣4.5）， 当P、Q两点第三次重合时， ﹣8+2t＝10﹣8（t﹣4.5），解得t＝5.4． 答：第二次重合时，t＝3；第三次重合时，t＝5.4． 【变式1】已知点A在数轴上对应的数是﹣5，点B在数轴上对应的数是10，点D在数轴上对应的数是﹣2，点E在数轴上对应的数是2．阅读并解决相应问题． 问题发现： 对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：C→[A，B]＝k． （1）初步体会： 如图1，若C→[A，B]＝k，且点C在数轴上对应的数是5，则k＝　 　 ； （2）类比探究： 如图2，点M从D点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从E点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若M→[D，N]＝3，求出t的值； （3）拓展延伸： 如图3，点P从D点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点H从A点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为t秒，在运动的过程中，若存在数轴上点Q满足：Q→[H，B]＝2，点P到点Q的距离记为a，点H到点B的距离记为b，且a＝2b，直接写出所有符合条件的t的值． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴AC＝5﹣（﹣5）＝10，BC＝10﹣5＝5， ∵10÷5＝2， ∴k＝2； （2）运动时间为t秒后，点M在数轴上对应的数是﹣2+3t，点N在数轴上对应的数是2+t， ∴MD＝﹣2+3t﹣（﹣2）＝3t，MN＝|2+t﹣（﹣2+3t）|＝|4﹣2t|， ∵MD＝3MN， ∴3t＝3|4﹣2t| 即3t＝3（4﹣2t）或3t＝3（2t﹣4）， 解得：或t＝4； （3）运动时间为t秒后，点P在数轴上对应的数是﹣2+t，点H在数轴上对应的数是﹣5+4t， 设点Q在数轴上对应的数是x， ∵QH＝2QB ∴|x﹣（﹣5+4t）|＝2|x﹣10|， 即x﹣（﹣5+4t）＝2（x﹣10）或x﹣（﹣5+4t）＝﹣2（x﹣10）， 解得：x＝25﹣4t或， ∴点Q在数轴上对应的数是25﹣4t或， ①当点Q在数轴上对应的数是25﹣4t时， 则a＝PQ＝|﹣2+t﹣（25﹣4t）|＝|5t﹣27|，b＝HB＝|﹣5+4t﹣10|＝|4t﹣15|， ∵a＝2b， ∴|5t﹣27|＝2|4t﹣15|， 解得：t＝1或； ②当点Q在数轴上对应的数是时， 则，b＝HB＝|4t﹣15|， ∵a＝2b， ∴， 解得或； 综上所述，t的值为1或或或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.《算法统宗》中有这样一个问题：一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤＝16两）．设共有x两银子，则可列方程（　　） A．7x﹣4＝5x+8 B． C．7x+4＝5x﹣8 D． 【解答】解：设共有x两银子， 依题意得， 故选：D． 2.已知关于x的方程x（m﹣1）＝3x﹣m+2的解是x＝﹣2，则m的值为（　　） A．6 B．﹣4 C．﹣2 D．2 【解答】解：将x＝﹣2代入方程x（m﹣1）＝3x﹣m+2， 得﹣2（m﹣1）＝﹣6﹣m+2， 解得m＝6． 故选：A． 3.已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，x的值是　 　 ． 【解答】解：根据题中的新定义化简得：3×5x﹣4（2﹣x）＝18， 去括号得：15x﹣8+4x＝18， 移项合并得：19x＝26， 系数化为1得：x， 故答案为：． 4.聪聪在解一元一次方程时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项（﹣1），得到的一元一次方程的解为x＝2． （1）请你求出a的值； （2）求出方程正确的解； （3）根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 【解答】解：（1）根据题意得：2x﹣1＝x+a﹣1， x＝a， ∴a＝2； （2） 1， 左右两边同时乘以3得：2x﹣1＝x+2﹣3， 移项得：2x﹣x＝2﹣3+1， 合并同类项得：x＝0； （3）注意事项：移项时，注意符号变化．（不唯一） 5.列方程解应用题： 长期坚持跑步可以增强心肺功能，让身体更加健康．周六早上小健和小乐相约去奥森跑步．小健家离奥森近，决定步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时手表显示信息如图所示． 小乐出发比小健晚了5分钟，且家离奥森比小健家离奥森远1500米，所以小乐决定骑自行车前往，小乐骑行的平均速度是衡小健步行的平均速度的3.5倍，最终小乐与小健在同一时刻到达奥森．求小健步行的平均速度和平均步长． 【解答】解：设小健步行的平均速度为x米/分， 根据题意，得（45﹣30）x+1500＝（45﹣30﹣5）×3.5x， 解得x＝75， 小健一共步行2043﹣543＝1500 （步）， 其平均步长为： 75×（45﹣30）÷1500 ＝75×15÷1500 ＝0.75 （米）， 答：小健步行的平均速度为75米/分，平均步长为0.75米． 6.将正整数按一定规律排列如图，其中有一个带阴影的方框，提醒自己要“+倍”努力． （1）如图，方框中的7个数之和是　119　 ． （2）平移表中带阴影的方框，若设框住的7个数中，从小到大排列后第4个数为m，请求出阴影方框框住的7个数的和（用含m的式子表示）． （3）平移表中带阴影的方框，阴影方框框住7个数之和能是336吗？若能，请求出这7个数分别是多少；不能，请说明理由． 【解答】解：（1）∵10+12+16+17+18+22+24＝119， ∴方框中的7个数之和是119． 故答案为：119； （2）∵从小到大排列后第4个数为m， ∴另外6个数分别为m﹣7，m﹣5，m﹣1，m+1，m+5，m+7， ∴阴影方框框住的7个数的和为m﹣7+m﹣5+m﹣1+m+m+1+m+5+m+7＝7m； （3）平移表中带阴影的方框，阴影方框框住7个数之和不能是336，理由如下： 假设平移表中带阴影的方框，阴影方框框住7个数之和能是336，设从小到大排列后第4个数为x， 根据题意得：7x＝336， 解得：x＝48， ∵48＝6×7+6， ∴48在第7行第6列，不符合题意， ∴假设不成立， 即平移表中带阴影的方框，阴影方框框住7个数之和不能是336． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.如果a，b为定值时，关于x的方程，无论k为何值时，它的根总是2，则a+b的值为（　　） A．18 B．15 C．12 D．10 【解答】解：将方程的根，即2，代入原方程并化简得（12﹣b）k＝6﹣2a， ∵当a，b为定值时，对任意的k成立， ∴12﹣b＝0，6﹣2a＝0， 解得：b＝12，a＝3， ∴a+b＝15， 故选：B． 2.定义：关于x的方程ax+b＝0与方程bx+a＝0互称为“对称方程”（ab≠0），例如：方程2x﹣1＝0与方程﹣x+2＝0互为“对称方程”． （1）若关于x的方程4x+3m﹣1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“对称方程”，求m﹣n＝　　 ． （2）若关于x的方程﹣3x+p＝1与其“对称方程”的解都是整数，且p也是整数，所有符合条件的p的和为　 　 ． 【解答】解：（1）∵关于x的方程4x+3m﹣1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“对称方程”， ∴3m+1＝5，﹣n+2＝4， ∴m，n＝﹣2． ∴m﹣n2． 故答案为：； （2）﹣3x+p＝1的“对称方程”为（p﹣1）x﹣3＝0， 由﹣3x+p＝1得，x， 由（p﹣1）x﹣3＝0，得x， 由条件可知与都为整数， ∵p也为整数， ∴p﹣1＝±3， ∴p＝4或﹣2， 则所有符合条件的p的和为2． 故答案为：2． 3.“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有x个人，则可列方程　 ． 【解答】解：设有x个孩童， 则4x+12＝6x， 故答案为：4x+12＝6x． 4.如图，O为数轴的原点，点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且满足（a+5）2+|b﹣10|≤0，点C为数轴上一动点且对应的数为x． （1）直接写出a的值是　 　 ，b的值是　 　 ；若点C到点A和点B的距离相等，则x的值是　 　 ； （2）数轴上是否存在点C，使得点C到点B的距离是点C到点A的距离的2倍？若存在，求出对应的数x；若不存在，请说明理由； （3）若点P以每秒2个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动．设运动时间为t秒． ①若P，Q在点C处相遇，求出点C对应的数x； ②若P，Q两点均向左运动，当P、Q两点相距6个单位长度时，请直接写出此时t的值是　 　 ． 【解答】解：（1）∵（a+5）2+|b﹣10|≤0， ∴a+5＝0，b﹣10＝0， ∴a＝﹣5，b＝10； ∵点C到点A和点B的距离相等， ∴10﹣x＝x﹣（﹣5）， ∴； 故答案为：﹣5，10，； （2）存在点C，对应的数x＝﹣20或0，理由如下： 由题意可得：|x﹣10|＝2|x﹣（﹣5）|， 解得：x＝﹣20或x＝0； （3）①由题意得：点P对应的数为﹣5+2t，点Q对应的数为10﹣3t， ∵P，Q在点C处相遇， ∴﹣5+2t＝10﹣3t， 解得：t＝3， ∴点C对应的数为﹣5+2t＝﹣5+2×3＝1； ②若P，Q两点均向左运动， 则点P对应的数为﹣5﹣2t，点Q对应的数为10﹣3t， 当P、Q两点相距6个单位长度时， ∴|（﹣5﹣2t）﹣（10﹣3t）|＝6， 解得：t＝9或t＝21． 5.定义：已知x0，y0分别是关于x，y的方程的解，若满足：|x0﹣y0|＝k（k为正数），则称前者是后者的“k属方程”． 例如：方程x﹣2＝0的解是x＝2，方程2y＝6的解是y＝3，且满足|2﹣3|＝1，则称方程x﹣2＝0是方程2y＝6的“1属方程”． （1）下列方程是方程3y﹣1＝5的“1属方程”的是　 　 （请填写正确的序号）； ①2x＝6，②3+x＝2（x+1），③3﹣2x＝3x﹣2． （2）若关于x的方程x＝2是关于y的方程3（2﹣y）＝4a﹣4（y﹣1）的“4属方程”，求整数a的值； （3）若对于任何正数m，关于x的方程2（x﹣3）＝4m﹣9都是关于y的方程3y+2n＝4mn的“m属方程”，求n的值． 【解答】解：（1）解3y﹣1＝5得：y＝2； 解2x＝6得：x＝3； 解3+x＝2（x+1）得：x＝1； 解3﹣2x＝3x﹣2得：x＝1， ∵|3﹣2|＝1，|1﹣2|＝1， ∴2x＝6、3+x＝2（x+1）、3﹣2x＝3x﹣2都是方程3y﹣1＝5的“1属方程”， 故答案为：①②③； （2）解关于x的方程得：x＝4﹣a； 解关于y的方程3（2﹣y）＝4a﹣4（y﹣1）得：y＝4a﹣2， 由于关于x的方程是关于y的方程3（2﹣y）＝4a﹣4（y﹣1）的“4属方程”， 则|4﹣a﹣（4a﹣2）|＝4， 解得：a＝2或， 由于a为整数，则不符合题意， 所以a＝2； （3）解关于x的方程2（x﹣3）＝4m﹣9得：； 解关于y的方程3y+2n＝4mn得：； 由题意得：， 即或， 即或 对于， 由题意知，且， 解得：且，矛盾； 对于， 由题意知，且， 解得：且； ∴．本题考查解一元一次方程，新定义，理解新定义，正确解一元一次方程是关键．本题考查解一元一次方程，新定义，理解新定义，正确解一元一次方程是关键． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.小军同学在解关于x的方程1去分母时，方程右边的﹣1没有乘2，因而求得方程的解为3，则方程的正确解为 　 ． 【解答】解：将x＝3代入2x﹣1＝x+m﹣1得：2×3﹣1＝3+m﹣1， 解得：m＝3， ∴原方程为， 去分母得：2x﹣1＝x+3﹣2， 移项合并得：x＝2． 2.定义：如果两个一元一次方程的解之和为6，则称这两个方程为“和和方程对”．如果两个一元一次方程的解均为整数且符号相同，则称这两个方程为“美美方程对”；如果两个一元一次方程的解既满足和为6，又满足解均为整数且符号相同，则称这两个方程为“和和美美方程对”． （1）请判断下列说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①关于x的一元一次方程与x﹣9＝0为“和和美美方程对”；（　 　 ） ②关于x的一元一次方程﹣x+k＝0与kx﹣1＝0为“美美方程对”，则k＝±1；（　 　 ） ③关于x的一元一次方程4x+mn+m＝0与﹣4x+mn+n＝0为“和和方程对”，则；（　 　 ） （2）关于x的一元一次方程与ax＝b+5为“和和美美方程对”（其中a为整数），求a，b的值；（3）无论t取何值时，关于x的一元一次方程3x﹣2（2x﹣t）＝s﹣2（s+1）与恒为“和和方程对”，求关于y的方程sy+r＝0的解． 【解答】解：（1）解：①解得：x＝﹣3， 解x﹣9＝0得：x＝9， ∵x＝﹣3与x＝9符号不同， ∴关于x的一元一次方程与x﹣9＝0不是“和和美美方程对”，故①错误； ②解﹣x+k＝0得：x＝k， 解kx﹣1＝0得：， ∵关于x的一元一次方程﹣x+k＝0与kx﹣1＝0为“美美方程对”， ∴k与均为整数且符号相同， ∴k＝±1，故②正确； ③解4x+mn+m＝0得：， 解﹣4x+mn+n＝0得：， ∵关于x的一元一次方程4x+mn+m＝0与﹣4x+mn+n＝0为“和和方程对”， ∴， ∴， ∴n﹣m＝24， ∴，故③正确； 故答案为：①×；②√；③√； （2），ax＝b+5， 解得：；， ∵两方程“和和美美方程对”， ∴且均为整数且符号相同， ∴3a﹣2为﹣5的约数， ∴3a﹣2＝±5或3a﹣2＝±1， 解得：a＝﹣1或（不符合题意，舍去）或a＝1或（不符合题意，舍去）， 当a＝﹣1时，， ∴， 解得：b＝﹣10； 当a＝1时，， ∴， 此时两个方程的解分别为x＝﹣5，x＝11，不符合题意，舍去； ∴a＝﹣1，b＝﹣10； （3）3x﹣2（2x﹣t）＝s﹣2（s+1）， 解得：x＝2t+s+2； ， 解得：x＝4tr+1； ∵两方程“和和美美方程对”， ∴2t+s+2+4tr+1＝6， 整理得：t（2+4r）+（s+3）＝6， 由条件可知2+4r＝0， 解得：， ∴s+3＝6， 解得：s＝3， 代入方程sy+r＝0得：， 解得：． 3.数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足|a+1|+（c﹣5）2＝0． （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 ； （2）现将点A、点B和点C分别以每秒3个单位长度、1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒． ①求经过多长时间，AB的长度是BC长度的两倍； ②定义，已知M，N为数轴上任意两点．将数轴沿线段MN的中点Q进行折叠，点M与点N刚好重合，所以我们又称线段MN的中点Q为点M和点N的折点．试问：当t为何值时，A，B，C这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？ 【解答】解：（1）由|a+1|+（c﹣5）2＝0，绝对值和平方数均非负，故a+1＝0， 解得a＝﹣1； c﹣5＝0， 解得c＝5， b是最小的正整数，故b＝1， 故答案为：﹣1；1；5； （2）①t秒后，各点位置： A：﹣1+3t， B：1+t， C：5+t， AB＝|（﹣1+3t）﹣（1+t）|＝|2t﹣2|， BC＝|（1+t）﹣（5+t）|＝4， 由AB＝2BC，得|2t﹣2|＝8， 分情况： 2t﹣2＝8， 解得t＝5， 2t﹣2＝﹣8， 解得t＝﹣3（舍去，t＞0）， 故t＝5秒时AB的长度是BC长度的两倍； ②折点即中点，分三种情况讨论： 情况1：A是B、C的折点（A为B、C中点）， 中点公式：﹣1+3t， 化简：﹣1+3t＝3+t， 即2t＝4， 解得t＝2； 情况2：B是A、C的折点（B为A、C中点） 中点公式：1+t， 解得t＝﹣1（舍去，t＞0）， 情况3：C是A、B的折点（C为A、B中点） 中点公式：5+t， 解得t＝5． 当t＝2秒或t＝5秒时，A，B，C这三个点中恰好有一点为另外两点的折点． 4.将一个数轴弯折成如图所示的样子，我们称这样的数轴为“过山车数轴”，在这个数轴上每个点对应的数就是把数轴拉直后对应的数． 规定：|AB|（线段AB的长度）为A，B两点在拉直后的数轴上的距离． 点A表示的数是﹣7，点B表示的数是3，则|AB|＝10． （1）若T为“过山车数轴”上一点且|TA|+|TB|＝12，请直接写出点T表示的数． （2）定义：在“过山车数轴”的上坡阶段（从E到D或从C到D），点运动的速度是点在水平路线上运动速度的一半；在下坡阶段（从D到C或从D到E），点运动的速度是点在水平路线上运动速度的2倍．动点P从点A出发以每秒4个单位的速度向右运动，经过点E，点D，点C，到点B后立即以原速度沿反方向运动，回到点A时停止．在点P出发的同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，经过点C，点D，点E后继续运动．点P停止运动时，点Q也停止运动．设点P运动的时间为t秒，问： ①点P在第　 　 秒时回到点A． ②点P和点Q在第　 　 秒时重合． ③当t＝　 　 时，|PQ|＝|QC|． 【解答】解：（1）当点T在点A左侧时，则T表示的数为﹣8， 当点T在点B右侧时，则T表示的数为4； 综上，T表示的数为﹣8或4； （2）①P从A运动到B，需要时间， 从B运动到A，需要时间， 共用时； 故答案为：； ②由题可知，当Q从B运动到C需要花费时间3s，此时P已经到达点B开始返回， 那么当时，一定在BC上有一次相遇， 设相遇时间为t1， 则， 解得； 当t＝3时，Q在点C处，P在2.5处，那么追击时必然还有一次相遇，Q从C运动到D需要2s，而此时P已经过了点D， ∴设第二次相遇时间为t2， 则， 解得； ∴点P和点Q在第与重合； 故答案为：或； ③要使得|PQ|＝|QC|，即P与C重合或Q为PC“中点”时， 当P与C重合时或； 当时，， 解得； 当时， 若点P在点时，此时用时， 此时Q在，此时QC＞PQ， ∴P在DE段时，， 解得； ∴当或或或时，|PQ|＝|QC|． 故答案为：或或或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $